2015年高考模拟杭州命题比赛高三数学28

2015年高考模拟试卷 数学卷（理科）

本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷上无效。

参考公式： 球的表面积公式 S =4πR 2

球的体积公式 V =

43

πR 3 其中R 表示球的半径 锥体的体积公式 V =13

Sh

其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高

柱体的体积公式 V=Sh

其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式

()

121

3

V h S S =

其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高 台体的表面积公式

22)(R r l R r S πππ+++=

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知条件:1p x ≤，条件1

:

1q x

<，则q p ?是成立的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 【原创】此题主要考查逻辑推理问题，属容易题。

2.在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若5321......a a a a a m ++++=，

则=m （ ） A 、11

B 、12

C 、10

D 、13

【原创】此题主要考查等差数列的定义及通项公式，属容易题。 3.已知函数x x f y +=)(是偶函数，且=-=)2(,1)2(f f 则（ ） A 、-1 B 、1 C 、-5 D 、5

①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；

③已知α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，若α⊥m ，则β⊥n ； ④m 、n 在平面α内的射影互相垂直，则m 、n 互相垂直．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【改编】此题主要考查两直线的位置关系，属中档题。

5. 已知函数()cos (,0)4f x x x ωω?

?

=+

∈> ??

?

R 的最小正周期为π，为了得到函数()sin g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）

A. 向左平移34π个单位长度

B. 向右平移34

π

个单位长度

C. 向左平移

38π个单位长度 D. 向右平移38

π个单位长度 【根据2014年浙江省深化改革协作学校文科数学卷改编】此题主要考察三角函数性质，属

中档题。

6.已知21,F F 是椭圆的两个交点，若椭圆上存在点P ，使得21PF PF ⊥,则椭圆的离心率的取值范围是（ ）

A.???????1,55

B.???????1,22

C.??? ??55,0

D.??

?

??22,0 【根据2015年杭州市第一次高科科目教学质量检测改编】此题主要考察椭圆性质，属中档题。

7.设点G 是ABC ?的重心，若

120=∠A ， 1-=?AC AB ，则的最小值是

A ．

43 B ． 32 C ．3

2

D ．33 【改编】此题主要考查向量的几何意义及运算，属中档题。

8 已知函数=)(x f 2

21,0,2,0,x x x x -?-≥?+

1,0.

x x x x x

?-≥?

?

之和是（ ）

A. 321+-

B. 321+

C.

231+-

D. 231+ 【根据2014年杭州地区七校高三第一学期期末模拟联考改编】此题主要考察函数零点问题属难题

非选择题部分（共110分）

注意事项：

1.用黑色的字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题：(本大题共7小题，其中第9至12题每小题6分，第13至15每小题4分，共36分)

9.已知集合A={}

03≤-∈x N x ，B={}

022

≤-+∈x x Z x ，则B A ?= .

A B = . ()

Z C A B = .

【原创】此题主要考查集合基本关系及其运算问题，属容易题。

10. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －1

3，且1

a 1的值为________，k 的值为________．

【原创】此题主要考查数列前n 项和和通项关系，属容易题

11.如图，ABC ACD ??与都是等腰直角三角形，且AD=DC=2，AC=BC ，平面DAC ⊥平面ABC ，

如果以ABC 平面为水平平面，正视图的观察方向与AB 垂直，则三棱锥D —ABC 左视图的 面积为 ，三棱锥D —ABC 的体积为 [改编]本题主要考察立体几何的三视图问题，属中档题。

12、已知实数,x y 满足??

?

??≤-+≤≥0

92,,

0y x x y x ，这y x z -=的最小值是 ，

221

1

y x x

+--)(的取值范围是 .

[改编]本题主要考察线性规划问题，属中档题。

13. 设12n ??????a ,a ,,a ,是按先后顺序排列的一列向量，若1(2014,13)=-a ，且1(1,1)

n n --=a a ，则其中模最小的一个向量的序号n = ． 【原创】此题主要考查向量和数列相结合，属中档题

14.已知正实数y x ,满足42=++y x xy ，则y x +的最小值为 . 【根据2012年浙江高考卷改编】此题主要考察基本不等式属中难题

15. 设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE AB ⊥于E (如图)，

2AE EB DE ===．现将ADE ?沿DE 折起，使二面角A DE B --为 90，,P Q 分别是

线段AE 和线段EB 上任意一点，若PN MQ ⊥时，求PQ 长度的取值范围 . 【原创】本题主要考查立体几何中的二面角及相关运算，属难题。

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分15分）

已知函数1cos 2cos sin 32)(2+-=x x x x f 。 （1）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间； （2）若ABC ?

中，3)

12

(=-

π

A f ，且4=+c b ，求A ∠的大小及边长a 的最小值。

[原创]：（1）考查三角变换：二倍角公式（降次公式）、两角和差公式（合一变形）； （2）考查三角函数的性质：周期性单调性；

（3）考查解三角形的能力，灵活应用正弦、余弦定理。 （4）基本不等式的灵活应用。

E P Q 第15题图

段贴的中点. ΔAOC 是由绕直线AO 旋转而成，记二面角B-AO-C 的大小为θ.

(I)

当平面COD 丄平面AOB 时，求θ的值；

【根据2013年金华十校联考改编】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础

知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力，属中档题

18. （本小题满分15分）

已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y a x C 经过点)22

,1(P ，且两焦点与短轴的一个端点构成等

腰直角三角形。

【根据2014年嘉兴市第一学期摸底考试卷改编】考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的定值

在数列{}n a 中，41=a ，前n 项和n S 满足n a s n n +=+1 (1)求n a 的值

（2）令n

n n na b 121+==，数列{}

2

n b 的前n 项和为n T ，求证：45,<∈?*n T N n 。

【根据2014年广东高考卷改编】此题主要考察求数列通项，求数列前n 项和，与不等式结

合属中等偏难题

20. （本小题满分14分）

设函数R b a b ax x x f ∈+-=,,)(2

,

(1) 已知)(x f 在区间)1,(-∞上单调递增，求a 的取值范围；

(2) 存在实数a ，使得当[]6)(2,0≤≤∈x f b x 时，恒成立，求b 的最大值及此时a 的值。 【引用】本题主要考查二次函数单调性，对参数的讨论，函数与方程思想，数形结合思想，

属难题。

学校_____ __班级 姓名 学号 考场 座位

密 封 线 内 不 得 答 题

2015年浙江省高考模拟卷

数学（理）答题卷

一、选择题：（本题满分40分）

二、填空题：（本题满分36分, 9-12题每题6分，13-15题每题4分） 9 . ， ， 10. ， 11. ， 12. ，

13.

14. 15.

三、解答题：（本题满分74分） 16．（本题满分15分）

已知函数1cos 2cos sin 32)(2+-=x x x x f 。 （1）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间； （2）若ABC ?中，3)12

(=-π

A f ，且4=+c b ，求A ∠的大小及边长a 的最小值。

直线AO 旋转而成，记二面角B-AO-C 的大小为θ.

求二面角B －OD －C 的余弦值

18．（本题满分15分）

已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y a x C 经过点)22,1(P ，且两焦点与短轴的一个端点构成等

腰直角三角形。

（1）求椭圆的方程；

19．（本题满分15）

在数列{}n a 中，41=a ，前n 项和n S 满足n a s n n +=+1 (1)求n a 的值

（2）令n

n n na b 121+==，数列{}

2

n b 的前n 项和为n T ，求证：45,<∈?*n T N n 。

20．（本题满分14分）

设函数R b a b ax x x f ∈+-=,,)(2,

(3) 已知)(x f 在区间)1,(-∞上单调递增，求a 的取值范围；

(4) 存在实数a ，使得当[]6)(2,0≤≤∈x f b x 时，恒成立，

求b 的最大值及此时a 的值。

2015年高考模拟试卷数学卷（理）参考答案及评分标准

二、填空题：（本题满分36分, 9-12题每题6分，13-15题每题4分）

9 . {}3,2,1,0,1,2-- ， {}1,0 ， {}1,2-- 10. 1 ， 6

11. 80 ， 135 12. -2 ， ??

???

?--3

1,7

13. 1001或1002 14. 362- 15. ]1,5

5

[

三、解答题（本大题有5小题, 共72分） 16.

（

本

小

题

满

分

15分）

时，由余弦定理可知，

当分或或又分知由分

单调递增区间为分

，得令分最小正周期为分

解：3

9 (2)

3323

23

3

207 (2)

3

)3

2sin(3)3

2sin(2)12

()1()2(6...........................................................],3

,

6

[)(5 (3)

6

22

6

222

4.................................................................................22)(3...................................................) (6)

2sin(22cos 2sin 3)(.16π

π

πππ

π

π

ππ

π

π

ππ

ππ

ππ

ππ

πππ

ππ

ππ

π

=

==∴=

-

=

-∴<<=

-

∴=-

=-

∈++-∴∈+≤

≤+-+≤

-

≤+-

==∴-=-=A A A A A A A A A f Z k k k x f Z k k x k k x k T x f x x x x f

分

。的最小值为时，；当的最小值为时，当分的最小值为此时时等号成立当且仅当时，由勾股定理可知，当分的最小值为此时时等号成立当且仅当15 (222)

23

14 (2228)

)2(

2)(2)(211...................................................224)2

(

3)(3)(cos 22

222222

2222222a A a A a c b c b c b bc c b c b a A a c b c b c b bc c b bc c b A bc c b a π

π

π

=

=

∴∴===+-+≥-+=+==

∴===+-+≥-+=-+=-+=

17. （本小题满分15分）

(Ⅰ) 解：在平面AOB 内过B 作OD 的垂线，垂足为E ， 因为平面AOB ⊥平面COD ， 平面AOB ∩平面COD ＝OD ，

所以BE ⊥平面COD ， ……………3分 故BE ⊥CO ． 又因为OC ⊥AO ， 所以OC ⊥平面AOB ， 故OC ⊥OB ．

又因为OB ⊥OA ，OC ⊥OA ，

所以二面角B －AO －C 的平面角为∠COB ，即θ＝2

π

． ……………7分

(Ⅱ) 解：当θ=

23

π

时， 过C 作OB 的垂线，垂足为F ，过F 作OD 的垂线，垂足为G ，连结CG ，

则∠CGF 的补角为二面角C －OD －B 的平面角． ……………10分 在Rt △OCF 中，CF ＝3，OF ＝1， 在Rt △CGF 中，GF ＝OF sin

3

π＝23，CG ＝215，

所以cos ∠CGF ＝

FG CG

＝

5

5． 所以二面角C －OD －B 的余弦值的取值范围为???

??

?-31,55． ……………15分 解法二：

F

C

A

O

B D (第20题) G

E

(Ⅰ)以O 为原点，在平面OBC 内垂直于OB 的直线为x 轴，OB ，OA 所在的直线分别为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，则A (0，0，

)，B (0，2，0)， D (0，1

，C )0,1,3(-．

设1n ＝(x ，y ，z )为平面COD 的一个法向量， 由110,

0,

n OD n OC ?=?=?????

得??

???=+=-030

3z y y x 取z ＝1，则1n ＝(－1

，1)． 又因为平面AOB 的一个法向量为2n ＝(1，0，0)， 设

二

面

角

C

－

OD

－

B

的

大

小

为

α

,5

5

1

311cos -

=++-=

=

a 故

二

面

角

C －

OD －B 的余弦值为

??

?

???-

31,55 …………15分 18. （本题满分15分）

解：（1）∵椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直

角三角形，

∴a =∴22

2212x y b b

+=

又∵椭圆经过点(1,

2

P ，代入可得1b =，

∴a =故所求椭圆方程为.1222

=+y x …………3分 （2）首先求出动直线过（0，1

3

-）点． …………5分

当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：222

)34()31(=++y x …………6分

当L 与y 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：12

2=+y x (7)

分

由??

?==??

???=+=++101

)34()31(22222

y x y x y x 解得

即两圆相切于点（0，1）,因此，所求的点T 如果存在，只能是（0，1）。事实上，点T （0，1）就是所求的点。 …………9分 证明如下: 当直线L 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点T （0，1）

若直线L 不垂直于x 轴，可设直线L ：3

1

-

=kx y

由01612)918(:12

312222

=--+???????

=+-=kx x k y y x kx y 得消去

记点),(11y x A 、???

??

?

?

+-=+=+9181691812),,(22122122k x x k k x x y x B 则 …………12分

)1,(),1,(2211-=-=y x y x 又因为

)3

4

)(34()1)(1(21212121--+=--+=?kx kx x x y y x x 所以

916

)(34)1(21212++-

+=x x k x x k 09

16

918123491816)1(222=++?-+-?+=k k k k k

所以TA ⊥TB ，即以AB 为直径的圆恒过点T （0，1） 所以在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件． …………15分 （注：其他解法相应给分）

分

所以分

分分

当）当（154

5

141

1)

111........()3121()211(1............211111)1(1191

12,22

1,122222

211-----------------<----------------------------=--+-+-<+++=------------------------<=

-------------------=+=≥=

=-n n n n n n T n

n n n

T n n n b n na b n b n 20. （本题满分14分）

[][][]分，此时的最大值是，的取值范围是

综上，分

无解）若分无解此时）若分无解此时）若分得此时）若分解得上单调递增，在）若恒成立，时，）当（分

）由题意（14.233,213------------------,6)0()(2

)()(,2511--------,6

)0()(2

)2

()(,2049------------,6

)0()(2

)2

()(,0372,6

)()(2

)2

()(,02520a 6)()(2)0()(,0)(,01,

06)(2,0232,12

1max min min min max min max min ---=?

??≤=≥=≥?????

≤=≥=<<

≤=≥==<-------=?????

≤=≥=<<--??

?==???≤=≥=≤>≤≤∈------------≥≥a b b f x f b f x f b a f x f a f x f b a b f x f a f x f b a a b f x f a f x f b a b b f x f f x f b x f a b x f b x a a mzx mzn