概率统计习题册答案
一、概率公式的题目
1、已知()
()()0.3,0.4,
0.5,P A P B P AB === 求
()
.P B A B ?
解：()
()
()
()()()()
()
0.70.51
0.70.60.54
P A P AB P AB P B A B P A B P A P B P AB --?==
=
=+-?+-
2、已知()()()0.7,0.4,0.2,P A P B P AB === 求()
.P A A B ?
解：()
()()
()
()()()
0.22
0.70.29
P A A B P AB P A A B P A B P A P B P AB ??????=
=
=
=+?+-。
3、已知随机变量(1)X P ，即X 有概率分布律{}1
(0,1,2)!
e P X k k k -==
= ，
并记事件{}{}2,
1A X B X =≥=<。 求：
（1）()P A B ?； （2） ()P A B -； （3） ()
P B A 。解：（1）()()
{}{}1
11()12,1111P A B P A B P AB P X X P X e -?=-?=-=-<≥=-==-；
（2）(){}{}{}{}1
()2,1210112;P A B P AB P X X P X P X P X e --==≥≥=≥=-=-==-
（3）()
()
()
{}{}{}{}{}111,201
.20122P BA P X X P X e P B A P X P X P X e P A --<<==
====<=+=
4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，它是甲射中的概率是多少？
解： 设A=“甲射击一次命中目标”，B=“乙射击一次命中目标”， (())()
()()()()()P A A B P A P A A B P A B P A P B P AB 侨==+-=
0.660.750.60.50.60.58
==+-
5、为了防止意外，在矿内同时设两种报警系统,A B ，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A 为0.92，系统B 为0.93，在A 失灵的条件下，B 有效的概率为0.85，求： （1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。 解：设=A “系统A 有效”,=B “系统B 有效”,
()()()
0.92,0.93,0.85P A P B P B A ===,
()()()()()()()()()()1.0.988P A B P A P B P AB P A P AB P A P A P B A ?=+-=+=+=
()()()()()()()()()()()
0.070.080.152.0.8290.07P AB
P B P A P B A P B P AB P A B P B P B P B ---?=
====
6、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A ）的概率为4
15
，刮风（记作事件B ）的概率为
715，既刮风又下雨的概率为110
，求()()()(1);(2);(3)P A B P B A P A B ?。 解：()()()1
3
10(1)714
15
P AB P A B P B ===； ()()()1
3
10(2)4815P AB P B A P A ===
()()()()47119(3)15151030
P A B P A P B P AB ?=+-=
+-=。
二、已知密度（函数）求概率的题目
1、某批晶体管的使用寿命X(小时)的密度函数 ???????<≥=100
0100100
)(2x x x x f ， ， ，
任取其中3只，求使用最初150小时内，无一晶体管损坏的概率。
解：任一晶体管使用寿命超过150小时的概率为
设Y 为任取的5只晶体管中使用寿命超过150小时的晶体管数，则)3
2
,
3(~B Y .故有
2、某城市每天耗电量不超过一百万千瓦小时，该城市每天耗电率（即每天耗电量/百万瓦小时）是一个
随机变量X ，它的分布密度为()()??
???<<-=其他
0101122
x x x x f ，
若每天供电量为80万千瓦小时，求任一天供电量不够需要的概率？
解：每天供电量80万千瓦小时，所以供给耗电率为：80万千瓦小时/百分千瓦小时=0.8，供电量不够需
要即实际耗电率大于供给耗电率。所以
{}()()11
2
0.8
0.8
0.81210.0272P X f x dx x x dx >==-=??。
3、某种型号的电子管的寿命X （以小时计）具有以下的概率密度
?????>=其它010001000)(2
x x x f ，
现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于
1500小时的概率是多少？
3
2
100100)()150(150
150
2150=-===>=∞+∞+∞+?
? x
dx x dx x f X P p 27
8)31()32()3(03
33=?==C Y P
解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为
3
2)321(1)1(1000110001)1500(1)1500(15001000
150010002
=-
-=??
????--=-
=≤-=>?
x dx x X P X P
令Y 表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则)3
2
,
5(~B Y ，{}24323224311132511)31()32()31(1)1()0(1)2(1)2(5
41
55=
-=?+-=??
??????+-==+=-=<-=≥C Y P Y P Y P Y P
4、某些生化制品的有效成分如活性酶，其含量会随时间而衰减。当有效成分的含量降至实验室要求的有效计量下，该制品便被视为失效。制品能维持其有效剂量的时间为该制品的有效期，它显然是随机变量，记为X 。多数情况下，可以认为X 服从指数分布。设它的概率密度函数为：
?
??≥<=-0,0,
0)(x e x x f x λλ （x 的单位为月）
（1）从一批产品中抽取样品，测得有50％的样品有效期大于３4个月，求参数λ的值。
（2）若一件产品出厂12个月后还有效，再过12个月后它还有效的概率有多大？
解：指数分布的分布函数为{}??
?<≥-=≤=-00
1x x e x X P x F x λ）（ （１）{}34ln 2
341(34)0.5,0.0234
P X F e
λ
λ->=-===
≈解出 （２）{}{}{}787.0122412421202.01202.024
02.0===>>=>>?-?-?-e e
e X P X P X X P
5、设K 在（-1，5）上服从均匀分布，求x 的方程2
4420x Kx K +++=有实根的概率。
解：要想x 有实根，则()22
4161620B AC K K ?=-=-?+≥则2K 1K ≥≤-或者，
又因为()~1,5K U -
三、分布函数、密度函数的题目
1、设随机变量X 的分布函数为0()arcsin
1x a x F x A B a x a
a x a
≤-?
??
=+-<≤??
>??
，
(1) 求系数A ，B ； (2) 求2
2a
a P X ??-
<
解：（1）由F(x)在,a a -处的右连续性知?????
=+=-1202B A B A π
π 解之得??
??
?=
=π121B A （2）1
22223
a a a a P X F F ??????-
<<=--=?? ? ???????
（3）因为)()('x F x f =
，则()0x a
f x x a
<=≥?
2、设随机变量X 的分布函数为 ()0,
arctan ,1,
x a x F x A B a x a
a x a ≤-???
=+-<≤??
>??，
求：（1）常数,
A B ； （2
）0P X ??<
； （3）X 的密度函数()f x 。
解：（1）由分布函数的右连续性知：
()()()()0lim lim arctan 4arctan lim 14x a x a x a x F a F x A B A B a a F a A B A B F x a ππ+++
→-→-→?-===+=-????=+=+==??，所以1124
204A A B B A B πππ??
=+=???????
??=
-=????； （2
）()1003P X F F ??<<=-=???????
； （3） ()()222,
()0,
a a x a
a x f x F x π?
-<
?其它
。
3、设随机变量X 的分布函数为 ()2
0,0,
01
1,1
x F x Ax x x ≤??=<≤??>?
，
求：)1(常数A ； )2({}0.30.7P X <<； )3(X 的密度函数()f x 。
解：（1）由分布函数的右连续性知：()()1
1lim 1x F A F x +
→===，所以1A =； （2）{}()()0.30.70.70.30.4P X F F <<=-=； （3） ()2,
01()0,
x x f x F x <
。
4、设随机变量X 的分布函数为()??
??
?
≤>+=-0
00,
22
x x e B A x F x 求：（1）系数B A ,； （2）{
}
9ln 4ln < 解： (1) 由于()x F 在()∞+∞-,内连续，()()00lim lim 2002 ==+=??? ? ??+=- →→+ +F B A Be A x F x x x 又 ()1lim lim 2 2==? ??? ? ? +=-+∞→+∞→A Be A x F x x x 故1-= B ()?????≤>-=-0 0,122 x x e x F x (2) { }9ln 4ln < =()() 4ln 9ln F F -=6 1 3121=- (3) X 的密度函数为 ()()?????≤>='=-0 002 2 x x e x x F x f x , , 5、设连续性随机变量X 的分布函数为 2,0 ()0,0.x A Be x F x x -?+>=?≤? ， 求：(1)常数A ，B ； (2){11}P X -<<； (3) X 的密度函数()f x 。 解：（1）由分布函数的右连续性及性质知： ()()()()20000lim lim 1lim x x x x F F x A Be A B F F x A ++ -→→→+∞?===+=+??+∞===?? ，所以0111A B A A B +==???? ?==-??； （2）{}()()211111P X F F e --<<=--=-； （3） ()22,0()0, x e x f x F x x -?>'==? ≤?。 6、设随机变量X 的概率密度函数为 ()?? ???≥<-=1 ,01,12 x x x A x f ， (1) 求常数A ； (2) 求{}0.50.5P X -<≤； (3) 求X 的分布函数。 解： (1) ()()A x A dx x A dx x f π=?=-== ? ? -+∞ ∞ -101 1 2 arcsin 211 所以 π 1 = A (2) {}0.50.5P X -<≤()dx x dx x f ? ? ---==5 .05 .02 5 .05 .011 π()3 1 arcsin 2 5 .00= = x π （3）()()001===-≤? ? ∞ -∞ -dt dt t f x F x x x 时 当 ()()()()dt x dt t f dt t f dt t f x F x x x x ? ???---∞ -∞ --=+==≤<-1 2 1 1 11 11π时 当 ()2 1 arcsin 1 arcsin 2 1+ = =-x t x π π ()()()()()111 11 1 2 1 1 1 1 =-=++==>? ??? ? ---∞ -∞ -dt x dt t f dt t f dt t f dt t f x F x x x π时 当 所以()???? ???>≤<-+-≤=1 1 11arcsin 12110x x x x x F π 7、设连续型随机变量X 的密度函数为()cos ,2 0,2 a x x f x x π π ? =? ?≥ ?? ， 求：()1系数a ； ()2X 的分布函数； ()304P X π? ? << ??? ? 。 解：（1）由222 2 1()cos sin 2f x dx a xdx a x a π π ππ +∞ -∞ -- = ===? ?，12 a =； （2 ）440 0110cos sin 4224 P X xdx x ππ π? ?<<=== ??? ??； （3）2002 2 1 sin 1()()cos 2222 2 21 12 2x x x x x F x f t dt tdt x x x x ππ π πππ π π π -∞ - ? ? <- <-???? +??= =-≤<=- ≤ ≥???? ? ? 8、设随机变量X 的密度函数为 ()2, 010, Ax x f x ?<<=? ?其它 ， 求：（1）常数A ； （2）1 12 4P X ??- < 解：（1）由3 1 2 10 01()3 3 x A f x dx Ax dx A +∞ -∞ = === ? ?，3A =； （2）1 123 440 01 11 32 464 P X x dx x ??-<<=== ?????； （3）2300,0 0, 0()()3, 01, 011, 1 1, 1x x x x F x f t dt t dt x x x x x -∞ ?= =≤<=≤ ??? ? 9、设随机变量X 的密度函数为 (), 010, Ax x f x < ?其它 ，求 （1）常数A ； （2）{}0.50.5P X -<<； （3）X 的分布函数()F x 。 解：（1）由2 1 1 01()2 2 x A f x dx Axdx A +∞ -∞ = === ? ?，2A =； （2）{}112220 10.50.524 P X xdx x -<<= == ? ； （3）200,0 0, 0()()2, 01, 011, 1 1, 1x x x x F x f t dt tdt x x x x x -∞ ?= =≤<=≤ ??? ? 四、变一般正态为标准正态分布求概率 1、调查某地方考生的外语成绩X 近似服从正态分布，平均成绩为72分， 96分以上的占考生总数的2.3% 。试求： （1）考生的外语成绩在60分至84分之间的概率； （2）该地外语考试的及格率； （3）若已知第三名的成绩是96分，求不及格的人数。（ ()8413.01=Φ， 977.0)2(=Φ ） 解：依题意，{}2~(72,)960.023X N P X σ≥=且 {}9672 0.0231961( )12P X σσ -=-≤=-Φ?=查表得 (1){}60842(1)10.6826P X ≤≤=Φ-= (2) {}60(1)0.8413P X ≥=Φ= (3)设全班人数为n ， 由(2) 知不及格率为0.1587， 则023 .02 =n ，则不及格人数为141587.0≈n 2、某高校入学考试的数学成绩近似服从正态分布()65,100N ，如果85分以上为“优秀”，问数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几。()() 20.9772Φ= 解：依题意，~(65,100)X N ，85分以上学生为优秀，则 {}{}()6585658518511210.97720.0228 2.28% 10 10X P X P X P --?? ≥=-<=-<=-Φ=-==???? 所以优秀学生为2.28%。 3、设某工程队完成某项工程所需时间X （天）近似服从2 (100,5)N 。工程队上级规定：若工程在100天内完工，可获得奖金7万元；在100~115天内完工可获得奖金3万元；超过115天完工，罚款4万元。求该工程队在完成此项工程时，所获奖金的分布律。 （参考数据：()()5 .009987 .03=Φ=Φ） 解：设所获奖金为Y 万元，Y 是X 的函数，可取值为 －4，3，7 {}{}(){}{}()()4987 .05.09987.00311510030013 .031510011511154=-=Φ-Φ=≤<===Φ-=?? ? ??-Φ-=>=-=X P Y P X P Y P {}5.07==Y P 所以，可获奖金Y 的分布律为 ： 4、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高() 2 ~170,6X N ， 问车门的高度应如何确定？（()2.330.99Φ=） 解：设车门的高度为x 厘米，则 {}17017010.010.996 6X x X x P X x P P μμσσ----????≤=≤=≤≥-=????????， ()2.330.99Φ= 所以170 2.33,18 3.986 x x -= 。即车门的高度至少要183.98厘米。 5、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高() 2 168,7X N ， 问车门的高度应如何确定？(()2.330.99Φ=) 解：设车门的高度为x 厘米，则 {}16816810.010.9977X x X x P X x P P μμσσ----???? ≤=≤=≤≥-=???????? ， ()2.330.99Φ= 所以 168 2.33,184.317 x x -= 。即车门的高度至少要184.31厘米。 6、某地区18岁的女青年的血压（以mm-Hg 计）服从)10,110(2 N ，在该地区任选一18岁女青年，测 量她的血压X 。求：（1）P (X ≤105)；（2）P (100 解：3085.06915.01)5.0(1)5.0()10 110 105( )105()1(=-=Φ-=-Φ=-Φ=≤X P (2) 6826 .018413.021)1(2) 1()1()10 110 100()10110120()120100(=-?=-Φ=-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤ 五、数学期望、方差的题目 1、 设随机变量X 的概率密度为： ?? ???≤≤-<≤-+=其它 ,010 ,101 ,1)(x x x x x f ， 求：)(),(X D X E 解： ()()()()01 10 110E X xf x dx x x dx x x dx ∞-∞-==++-=??? ()()()0 1 2 2 221 1()116 E X x f x dx x x dx x x dx ∞ -∞ -==++-= ? ?? 所以 ()()()[]6 122=-=X E X E X D 2、一工厂生产的某种设备的寿命X (以年计) 服从指数分布, X 的密度函数为 41, 0()4 0,0 x e x f x x -?>?=??≤? 工厂规定,出售的设备若售出一年之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费200元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。 解：设Y 表示厂方出售一台设备净赢利,有 ()?? ?<<-≥==1 0200 1001 100 X X X g Y ()()()()1 44 011110010044 x x E Y E g X g x f x dx e dx e dx +∞ +∞---∞ ===-?+?????? ?? 1002004 1 -=- e 所以每台的净赢利的数学期望为1002004 1--e 元 3、假设有10只同种电器元件，其中有两只废品，从这批元件中任取一只，如是废品则扔掉重取一只，如仍是废品则扔掉再取一只，求：在取到正品之前，已取出的废品数的期望和方差。 解：设X 为取到正品之前已取出的废品数，则X 的分布为 故 ()45459E X = += 2()454545 E X =+= 2212488 ()()[()]4581405 D X E X E X =-=-= 4、一袋中有n 张卡片，分别记为1,2,n ，从中有放回的抽取k 张来，以X 表示取出的k 张卡片的号码之和，求()E X 。 解：设m X 表示第m 次取出的号码，则m X 的分布律为 {}1 ,1,2,,1,2m P X i i n m k n ==== ， 所以()1 1 2 n i i i n E X n =+== ∑ ，12k X X X X =+++ ， 则()()121 2 k n E X E X X X k +=+++= 5、已知随机变量X 的密度函数为()1 cos ,2 2 0,2 x x f x x π π ?≤??=? ?> ?? ， 对X 独立观察3次，用Y 表示观察值大于6 π 的次数。求：（1）Y 的分布律； （2）Y 的分布函数； （3）()2E Y 解：令22 66 111 cos sin 6224 p P X xdx x πππππ? ?=>=== ??? ?? （1）Y 的分布律为：{}3313,0,1,2,3.44k k k P Y k C k -???? === ? ? ???? （2） ()0,027,016427, 1232 63,23641.3 y y y F y y y ； （3） ()()()2222 2 21319334448 E Y D Y E Y npq n p =+=+??=??+?= ??? 6、某车间生产的圆盘直径在区间(),a b 服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。 解：设X 为圆的直径，S 为圆的面积，则 24 S X π = ，因为()~,X U a b 所以 X 的密度函数为 ()1 ,0,a x b f x b a ?< =-???其它 所以 ()()()223 2 2144 1212 b b a a E S E X x dx x a a b b b a b a ππ ππ ??==?== ++ ?--??? 7、某厂生产一种化工产品，这种产品每月的市场需求量X （吨）服从区间[ 0 ，5 ]上的均匀 分布．这种产品生产出来后，在市场上每售出1吨可获利6万元。如果产量大于需求量，则每多生产1吨要亏损4万元．如果产量小于需求量，则不亏损，但只有生产出来的那一部分产品能获利。问：为了使每月的平均利润达到最大，这种产品的月产量 a 应该定为多少吨？ 解：因为X ～)5,0(U ，X 的概率密度为 105 ()0x f x ≤≤?=?? 其它。 设Y 为该厂每月获得的利润（单位：万元），根据题意 ()Y g X =64()1046X a X X a X a a X a --=-≤?=? >? 当时 当时 。 该厂平均每月利润为： )(Y E ＝(())()()E f X f x g x dx +∞-∞ =? ??+-=50d 56d 5410a a x a x a x 22 265 665a a a a a -=-+= 。 由 =a Y E d )(d 026)6(d d 2=-=-a a a a 可解得 3=a （吨）。 可见，要使得每月的平均利润达到最大，月产量应定为3吨。 8、设随机变量X 的概率密度为,02,(),24,0,ax x f x cx b x ?< =+≤≤???其他. 已知 3 ()2,(13)4 E X P X =<<= 求：（1）,,a b c 的值； （2）随机变量X Y e =的数学期望。 解：（1） 24 2 1()()f x dx axdx cx b dx +∞-∞ ==++? ?? 244 22202226,22a c x x bx a b c = ++=++ 2 4 2 022()()xf x dx ax dx cx b xdx +∞-∞ ==++? ??856 633 a c b =++ 2312335 ()422 axdx cx b dx a c b =++=++??， 解方程组 1132481856613132524a b c a a b c b a b c c ?? ++==???? ++=?=??????++==- ?? ； （2） 242202111 ()()()(1)(1)444 X x x x E Y E e e f x dx xe dx x e dx e +∞-∞===+-+=-??? 9、设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工 作日里无故障，可获利润10万元，发生一次故障可获利润5万元，发生两次故障获利0万元，发生三次或三次以上故障则亏损2万元，求一周内的利润期望。 解：设一周5个工作日内发生故障的天数为X ，则()~5,0.2X B ，设T 为一周内获得的利润， 则T 为离散型随机变量，其所有可能取 值为10,5,0,2-（万元）其分布律为： {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}0551 1452 2 3 5 1000.20.80.328 510.20.80.410 020.20.80.205 23110500.057 P T P X C P T P X C P T P X C P T P X T T T ====??=====??=====??==-=≥=-=-=-== 即可获利润T 的分布律为 ： ()20.05700.20550.410100.328 5.216E T =-?+?+?+?=。 六、点估计（矩估计和极大似然估计）的题目 1、设总体X 概率密度为：()?????≤≤=-其他, 01 0,1x x x f θθ，其中参数0>θ且未知，设n X X X ,,,21 为 总体的一个样本, n x x x ,,,21 是样本值，求θ的矩估计量和极大似然估计量。 2、已知随机变量X 的密度函数为 (1)01()(1)0 x x f x θθθ?+<<=>-? ?其他 ， 其中θ为未知参数，求θ的矩估计量与极大似然估计量。 3、设总体X 概率密度为???<<-=-其他 ,01 0 ,)1()(1x x x f θθ，其中θ为未知参数，n X X X ,,,21 为总体的 一个样本, n x x x ,,,21 是样本值，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量。 4、设总体X 具有分布律 ： 其中)10(<<θθ为未知参数，已知取得了样本值121321===x x x ，，。 试求θ的矩估计值和极大似然估计值。 5、设总体X 的密度函数为：()??? ??≤>=-0, 00,1x x e x f x θθ，其中0>θ为未知参数, n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量。 6、设12,,,n X X X ???为总体X 的一个样本, X 的密度函数1,01 ()0, x x f x ββ-?<<=??其他（其中未知参数 0β>），n x x x ,,,21 是样本值，求参数β的矩估计量和最大似然估计量。 7、设12,,,n X X X ???为总体X 的一个样本, X 的密度函数,0 ()0,x e x f x x λλ-?>=?≤? 0， 其中未知参数0>λ，n x x x ,,,21 是样本值，求参数λ的矩估计量和最大似然估计量。 8、已知随机变量X 的密度函数为 (1)(5)56()(1)0 x x f x θ θθ?+-<<=>-? ?其他 ， 其中θ为未知参数，设n X X X ,,,21 为总体的一个样本, n x x x ,,,21 是样本值，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量 七、区间估计 1、为考察某大学成年男性的胆固醇水平,现抽取了样本容量为25的一个样本,并测得样本均值为186=x , 样本标准差为12=s 。假定胆固醇水平),(~2σμN X ,μ与2 σ均未知,求总体标准差σ的置信度为 90%的置信区间。（ 20.05(24)36.415χ=，()848.13242 95.0=χ ） 2、设某异常区磁场强度服从正态分布2(,)N μσ，现对该地区进行磁测，今抽测16个点，算得样本均值 12.7,x =样本方差003.02=s ，求出2σ的置信度为95%的置信区间。参考数据： () 2 222 0.025 0.9750.0250.975(15)27.5,(15) 6.26,(16)28.845,(16)7.564χ χχχ==== 3、某单位职工每天的医疗费服从正态分布2(,)N μσ，现抽查了25天，得170x =，30s =求职工每天 医疗费均值μ的置信水平为0.95的置信区间。 （()()711.124064 .22405.0025.0==t t ） 4、某超市抽查80人，调查他们每月在酱菜上的平均花87费，发现平均值为 5.9x =元，样本标准差 1.2s =元。求到超市人群每月在酱菜上的平均花费μ的置信度为95% 的区间估计。 （96.1)180(025.0025.0=≈-u t ，65.1)180(05.005.0=≈-u t ） 5、随机地取某种炮弹9发做试验，测得炮口速度的样本标准差()11s m s =，设炮口速度服从正态分布，求 这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间。 ()2222 0.975 0.0250.9750.025(8) 2.18,(8)17.535,(9) 2.7,(9)19.023χ χχχ==== 6、从某商店一年来的发票存根中随机抽取26张,算得平均金额为78.5元,样本标准差为20元。假定发 票金额服从正态分布,求该商店一年来发票平均金额的置信度为90%的置信区间。 ()0.050.050.0250.025(25) 1.7081,(26) 1.7056,(25) 2.0595,(26) 2.0555t t t t ==== 八、假设检验 1、设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取25位考生的成绩，算得平均成绩为x =66分，标准差=s 20分，问在显著性水平05.0=α下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为71分？并给出检验过程。（参考数据：0639.2)24(025.0=t ，7109.1)24(05.0=t ） 2、机器自动包装食盐，设每袋盐的净重服从正态分布，要求每袋盐的标准重量为500克。某天开工后，为了检验机器是否正常工作，从已经包装好的食盐中随机取9袋，测得样本均值499, x =样本方差 2216.03S =. 问这天自动包装机工作是否正常（0.05α=）？（参考数据： ()()8595.18306.2805.0025.0==t t ） 3、设有正态分布总体() 2 ~,X N μσ的容量为100的样本，样本均值22.7,,x μσ=均未知，而 ()100 2 1 225i i X X =-=∑，在0.05α=水平下，是否可以认为总体方差为2.5？ ()()()220.025 0.975 99129.56,9974.22χχ== 4、设总体X 服从正态分布2(,)N μσ,从中抽取一个容量为16的样本，测得样本标准差10S =，取显著性水平0.05α=，是否可以认为总体方差为80? （20.025(15)27.488χ=；210.025(15) 6.262χ-=；20.025(16)28.845χ=；210.025(16) 6.908χ-=） 5、设某次概率统计课程期末考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为72x = 分，样本标准差为9.3s =分，问在显著性水平0.1α=下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。 ()0.0250.050.0250.05(35) 2.0301,(35) 1.6896,(36) 2.0281,(36) 1.6883t t t t ==== 6、某百货商场的日销售额服从正态分布，去年的日均销售额为53.6万元，方差为36.今年随机抽查了10个日销售额，算得样本均值57.7x =万元，根据经验，今年日销售额的方差没有变化。问：今年的日平均销售额与去年相比有无显著性变化（05.0=α）？ （()2622.29,96.1025.0025.0==t u ） 7、某广告公司在广播电台做流行歌曲磁带广告，它的广告是针对平均年龄为21岁的年轻 人。广告公司想了解其节目是否为目标听众所接受。假定听众的年龄服从正态分布，现随机抽取400 位听众进行调查，得25x =岁，2 16s =，以显著性水平0.05α=判断广告公司的广告策划是否符合 实际？ 检验假设0010:21; :H H μμμμ==≠ (0.0250.025(4001) 1.96t u -≈=) 六、点估计（矩估计、极大似然估计）的答案 1、解：1 )(10 1 += = ? -θθθθdx x x X E , 令 X =+1θθ ,得θ的矩估计量2 1???? ? ? ?-=X X θ 似然函数为1 /2 1 1 1 1 ()())(n n n n i i i i i L f x x θθ ==== ==∏∏∏ ∑=-+=n i i x n L 1 ln )1(ln 2ln θθ.由 0ln 212ln 1 =+ =∑=n i i x n d L d θθθ 得θ的极大似然估计量 2 12)ln (?∑==n i i X n θ 。 2、解：6 66 115 5 5 1 (1)(5)(5)6(5)62 EX x x dx xd x x dx θθθθθ++= +-=-=--=- +? ?? 故θ 的矩估计量为 1 ?26X θ =-- 似然函数1 1 ()(;)(1)(5)n n n i i i i L f x x θθθθ=== =+-∏∏, 故 1 1 5 1 ln ()ln(1)ln(5) ln ()ln(5)01?1 ln(5) n i i n i i i i L n x d L n x d n X θθθθθθθθ ====++-=+-=+=---∑∑∑的极大似然估计量为 3、解：?? ----=-= 1 11 1)1(1)1()(dt t t x t dx x x X E θθθθ令1 1 += θ 令 X =+11θ,得θ的矩估计量为 11?-=X θ。 似然函数为 1 11 1 1 ()()((1) )((1))n n n n i i i i i i L f x x x θθθθθ--==== =-=-∏∏∏ ∑=--+=n i i x n L 1 )1ln()1(ln ln θθ.由 0)1ln(ln 1=-+=∑=n i i x n d L d θθ 《概率论与数理统计》练习题7答案7 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、设随机事件A 、B 互斥，(), (),P A P P B q ==则()P A B =( )。 A 、q B 、1q - C 、 p D 、1p - 答案：D 2、某类灯泡使用时数在500小时以上的概率为0.5，从中任取3个灯泡使用，则在使用500小时之后无一损坏的概率为：( )。 A 、 18 B 、2 8 C 、38 D 、 4 8 答案：A 3、设ξ的分布函数为1()F x ，η的分布函数为2()F x ，而12()()()F x aF x bF x =-是某随机 变量ζ的分布函数，则, a b 可取( )。 A 、32, 55a b = =- B 、2 3a b == C 、13 , 22a b =-= D 、13 , 22 a b ==- 答案：A 4、设随机变量ξ,η相互独立,其分布律为: 则下列各式正确的是( )。 A 、{}1P ξη== B 、{}14 P ξη== C 、{}12 P ξη== D 、{}0P ξη== 答案：C ^^ 5、两个随机变量的协方差为cov(,)ξη=( )。 A 、() () 2 2 E E E ηηξξ-- B 、()()E E E E ξξηη-- C 、()()2 2 E E E ξηξη-? D 、()E E E ξηξη-? 答案：D 6、设随机变量ξ在11,22?? -???? 上服从均匀分布sin ηπξ=的数学期望是( )。 A 、0 B 、1 C 、 1π D 、2π 答案：A 7、设12100,,,ξξξ???服从同一分布，它们的数学期望和方差均是2，那么 104n i i P n ξ=?? <<≥???? ∑( )。 A 、 12 B 、212n n - C 、12n D 、1 n 答案：B 8、设12, , , n X X X 是来自正态总体2(, )N μσ的样本( )。 A 、2 11~(,)n i i X X N n μσ==∑ B 、2 11()~(0, )n i X N n n σμ=-∑ C 、22 2111()~(1)n i i X n n μχσ=?--∑ D 、22 21 11()~()n i i X X n n χσ=?-∑ 答案：B 9、样本12(,, , )n X X X ，2n >,取自总体ξ，E μξ=，2D σξ=，则有( )。 西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 2101 1811515515 k X p -- 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙 企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取 1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 ,03()2,342 0, kx x x f x x ≤ 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ D ）。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ B ） A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。（ C ） A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ A ） A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（ A ） A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为（ C ） （A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/8 题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 概率统计考试试卷及答案 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1. 设)(~λP X ,且)()(21===X P X P ,则_________)(==3X P . 2. 设随机变量X 的分布函数)(,)(+∞<<-∞+= -x e A x F x 1,则___=A 3. 已知,)|(,)|(,)(21 31 41 ===B A P A B P A P 则_____)(=?B A P 4. 已知随机变量),,(~10U X 则随机变量X Y ln 2-=的密度函数___)(=y f Y 5. 设随机变量X 与Y 相互独立，且,2σ==DY DX 则____)(=-Y X D 42 二、 计算下列各题(每小题8分，共40分） 1. 设随机变量X 的概率密度为?? ???≤>=-000 x x e x f x ,,)( 已知Y=2X,求E(Y), D(Y). 2. 两封信随机地投入标号为I,II,III,IV 的四个邮筒，求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。 3. 设X,Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0,1)上服从均匀分布，Y 的概率密度为 ?? ? ??≤>=-000212y y e y f y Y ,,)( 求含有a 的二次方程022=++Y Xa a 有实根的概率。 4. 假设91X X ,, 是来自总体 ) ,(~220N X 的简单随机样本，求系数a,b,c 使 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从2χ分布，并求其自由 度。 5. 某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X 服从正态分布。从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 若总体方差0602.=σ, 求总体均值μ的置信区间(9610502.,./==ααz ) 《概率论与数理统计》练习题8答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、设有10个人抓阄抽取两张戏票，则第三个人抓到有戏票的事件的概率等于( )。 A 、0 B 、1 4 C 、18 D 、15 答案：D 2、如果,A B 为任意事件，下列命题正确的是( )。 A 、如果,A B 互不相容，则,A B 也互不相容 B 、如果,A B 相互独立，则,A B 也相互独立 C 、如果,A B 相容，则,A B 也相容 D 、AB A B =? 答案：B 3、设随机变量ξ具有连续的分布密度()x ξ?，则a b ηξ=+ (0,a b ≠是常数)的分布密度为( )。 A 、 1y b a a ξ?-?? ? ?? B 、1y b a a ξ?-?? ??? C 、1y b a a ξ?--?? ??? D 、 1y b a a ξ??? - ? ??? 答案：A 4、设,ξη相互独立，并服从区间[0，1]上的均匀分布则( )。 A 、ζξη=+服从[0，2]上的均匀分布， B 、ζξη=-服从[- 1，1]上的均匀分布， C 、{,}Max ζξη=服从[0，1]上的均匀分布， D 、(,)ξη服从区域01 01x y ≤≤??≤≤? 上的均匀分布 答案：D 5、~(0, 1), 21,N ξηξ=-则~η( )。 A 、(0, 1)N B 、(1, 4)N - C 、(1, 2)N - D 、(1, 3)N - 答案：B 6、设1ξ，2ξ都服从区间[0，2]上的均匀分布，则12()E ξξ+=( )。 A 、1 B 、2 C 、0.5 D 、4 答案：B 7、设随机变量ξ满足等式{||2}116P E ξξ-≥=，则必有( )。 A 、14D ξ= B 、14 D ξ> C 、1 4 D ξ< D 、{} 15216 P E ξξ-<= 答案：D 8、设1(,,)n X X 及1(,,)m Y Y 分别取自两个相互独立的正态总体21(, )N μσ及 2 2(, )N μσ的两个样本，其样本(无偏)方差分别为21 S 及22 S ，则统计量2 122 S F S =服从F 分 布的自由度为( )。 A 、(1, 1)n m -- B 、(, )n m C 、(1, 1)n m ++ D 、( 1, 1,)m n -- 答案：A 9、在参数的区间估计中，给定了置信度，则分位数( )。 A 、将由置信度的大小唯一确定； B 、将由有关随机变量的分布唯一确定； C 、可按置信度的大小及有关随机变量的分布来选取； D 、可以任意规定。 答案：C 10、样本容量n 确定后,在一个假设检验中,给定显著水平为α,设此第二类错误的概率为β，则必有( )。 概率统计重修复习题型 填空题： 1. 已知P (A )=0.4，P (B )=0.6，P (AB ) =0.2，则P (A ∪B )= 。 2. 已知P (A )=0.3，P (B )=0.5，P (A ∪B )=0.7，则=)(A B P 。 3. 已知P (A )=0.5，P (B )=0.4，P (A ∪B )=0.7，则=-)(B A P 。 4. 已知P (B )=0.1，则P (B ) = 。 5. 从5双鞋子中选取4只，这4只鞋中恰有两支配成一双的概率为 。 6. 一袋中有20个乒乓球，其中8个是黄球，12个是白球. 今有2人依次随机 地从袋中各取一球，取后不放回。则第二个人取得黄球的概率是 。 7. 有6支笔，其中2支蓝笔，4支红笔. 今有3人依次随机地从中各取一支笔， 取后不放回。则第三个人取得红笔的概率是 。 8. 已知随机变量X 的密度为，其他?? ?<<=, 01 0,)(x x a x f 则a = 。 9. 设X 是连续型随机变量，则P {X = 5} = 。 10. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f += π,+∞<<∞-x ,则Y = 2X 的概 率密度为 。 11. 设二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度函数为(,)f x y ，则X Y +的概率密度函数()X Y f z += 。 12. 设随机变量 X 与Y 相互独立，且 X 的分布函数为F (x ), Y 的分布函数为 G (x )，则 Z = max{ X ,Y }的分布函数为 。 13. 设随机变量 X 与Y 相互独立，且 X 的概率密度函数为f (x ), Y 的概率密度 函数为g (y )，则X 与Y 的联合概率密度函数(,)f x y = 。 14. 设随机变量X 服从指数分布，且=)(X D 0.2，则=)(X E 。 15. 设随机变量X 服从泊松分布，且=)(X D 0.3，则=)(X E 。 16. 设~U(1,5),X -则=)(X E ，()D X = 。 17. 设~b(5,0.1),X ~π(2),Y 且,X Y 相互独立，则()E XY = 。 18. 设),5,2(~),4,3(~N Y N X 且,2),(-=Y X Cov 则=-)32(Y X D 。 19. 设),5,2(~),4,3(~N Y N X 且,2),(-=Y X Cov 则相关系数为 。 中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 1．某人射击时，中靶的概率为4 3 ，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（ ）. (A) 43412?）（ (B) 343）（ (C) 41432?）（ (D) 34 1）（ 2．n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为（ ）. （A ） a ,2n b （B ）a ,n b (C)a ,n b 2 （D ）n a ,b 3．若100张奖券中有5张中奖，100个人分别抽取1张，则第100个人能中奖的概率为（ ）. (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是（ ）. (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5．已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E （ ）. 已知二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ?<<<<=其他。 ，； ，， 010104),(y x xy y x f 则X 与Y 相互独立 【解：由二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ?<<<<=其他。 ， ； ，， 010104),(y x xy y x f 可得两个边缘密度函数分别为： ?? ?<<==?∞+∞ -其他。， ； ， 0102),()(x x dy y x f x f X ?? ?<<==? ∞ +∞ -其他。 ， ； ， 0102),()(y y dx y x f y f Y 从而可得)()(),(y f x f y x f Y X ?=，所以X 与Y 相互独立。 ■12、设二维随机变量(X , Y ) ~4,01,01 (,)0,xy x y f x y <<<===??? ()1()0.5P Y X P X Y ≥=->=】 <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分 概率论与数理统计复习题 一、计算题： 1、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。 2、已知随机变量X 服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y ＝2X +1，求Y 的概率密度函数。 3、已知二元离散型随机变量(X ,Y )的联合概率分布如下表所示： Y X 1 1 2 1 2 (1) 试求X 和Y 的边缘分布率 (2) 试求E (X ),E (Y ),D (X ),D (Y ),及X 与Y 的相关系数XY 4、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取15个进行检验，算出平均使用寿命为1950小时，样本标准差s 为300小时，以95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。 二、填空题 1. 已知P (A )=, P (B |A )=, 则P (A B )= __________ 2．.设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=< 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 概率统计练习题答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 《概率论与数理统计》练习题 2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连 续抽两次，则使P A ()=1 3成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又 12,,, ,n c k k k ，为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()111n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()() 42 1 1x x ?π= + 答案：D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数)，那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、 11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案：B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本， 2 211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2n S 独立 B 、 ~(0, 1)X N μ σ - 任课教师 专业名称 学生姓名 学号 密 封 线 X X 工业大学概率统计B 期末考试试卷（A 卷） } 分 分 108 求：（1）常数k ，（2）P(X<1,Y<3) (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y ≤4) 解：（1）由()1)6(1 )(20 4 =--=???? +∞∞-+∞ ∞ -dx dy y x k dxdy xy f 即 解得24 1 = k 2分 （2）P(X<1,Y<3)=()dx dy y x )6241(1030--??=2 1 4分 (3) P(X<1.5)=()16 13 )6241(5.1040=--??dx dy y x 7分 （4）P(X+4≤Y ) =()9 8 21616241)6241(2202040=+-=--???-dx x x dx dy y x x 10分 4. 已知随机变量)3,1(~2N X ，)4,0(~2N Y ，且X 与Y 相互独立，设 2 3Y X Z += (1) 求)(Z E ，)(Z D ； (2) 求XZ ρ 解：(1)??? ??+=23)(Y X E Z E )(21)(3 1 y E X E += 021131?+?= 3 1 = 2分 =??? ??+=23)(Y X D Z D ()()2 2 22)23(23?? ? ??+-??? ??+=-Y X E Y X E EZ Z E =22 2)2 3()439( EY EX Y XY X E +-++ = 9 1 4392 2 -++EY EXEY EX 又因为()10192 2=+=+=EX DX EX 16016)(22=+=+=EY DY EY 所以DZ= 59 1 416910=-+ 6分 (2)),(Z X Cov ) ,(1 1Y X X Cov += =EX( 23Y X +)-EXE(23Y X +) EXEY -EX -EXEY +EX =21 )(31213122 233 1 ?==3 则XZ ρ= ()DZ DX Z X Cov ,= 5 5 5 33= 10分 5. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ?????≤≤≤≤=其它, 00,20,163),(2x y x xy y x f （1） 求X 的数学期望EX 和方差DX （2） 求Y 的数学期望EY 和方差DY 解：（1）dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= ()()xyd dy y x f x f x x ? ? ==∞ +∞ -20 16 3 ,y dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= = 分 27 12)163(2 2 =? ?dx xydy x x () ()分 549 3)712( 33)16 3 (22 2 22 2 22 =-====EX EX -EX =???∞ +∞ -DX dx xydy x dx x f x DX x X () ()分 72)16 3 (),()()(24 02====?? ???+∞∞ -+∞ ∞ -∞ +∞ -dy xydx y dy dx y x yf dy y yf Y E y Y ()()5 24 4323)163(),()(4034 02 2 22 2 =-====?????? +∞ ∞ -+∞∞ -∞ +∞-dy y y dy xydx y dy dx y x f y dy y f y EY y Y DY=()分 105 4452422 =-=EY -EY 6. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f X += π，求随机变量 31X Y -=的概率密度函数。 ()()( )( ) ()() ( ) ()()()() ()()()()( )() ()() 分 分 解：10111311311315)1(111)1(16 2 3 2 2 33 3 3 3y y y f y y y f dy y dF y f y F y X y X y X y Y y F X X Y Y X Y -+-= --=----== ∴ --=-概率统计练习题答案
《概率统计》试题及答案
概率统计习题及答案
概率统计试题和答案
概率论与数理统计题库及答案
概率统计习题含答案
概率统计试题库及答案
概率统计考试试卷及答案
概率统计练习题8答案
概率统计复习题201301
概率统计期末考试试题附答案
概率统计例题
概率统计试题及答案
概率论与数理统计试卷A答案
概率论与数理统计习题集及答案
概率论与数理统计试题库
概率统计练习题答案
概率统计 期末考试试卷及答案