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巧用平面法向量求空间角和空间距离

巧用平面法向量求空间角和空间距离
巧用平面法向量求空间角和空间距离

巧用平面法向量求空间角和空间距离

平面法向量的定义为:如果α⊥a ,那么向量a 叫做平面α的法向量.除此之外再也没有涉及其他任何知识点,笔者发现巧用平面法向量处理空间角和空间距离等问题,可以化繁为简,迎刃而解.现举例说明:

一、巧用平面法向量求斜线与平面所成的角 方法指导:如图1,P A 为平面α的斜线,PO 为平面α的垂线,根据定义,斜线PA 与平面α所成的角P A O θ=∠,

可以转化为直线的方向向量PA

与平面的法向量n 的夹

角?的余角或其补角的余角.即如果PA

与n 的夹角?

为锐角,则斜线P A 与平面α所成的角为?π

θ-=

2

;如

果PA

与n 的夹角?为钝角,则斜线PA 与平面α所成

的角为2

π

θ?=-

. 故斜线P A 与平面α所成角的θ的正弦值sin θ等于斜线的方向向量

PA

与平面α的法向量n 夹角余弦的绝对值,即sin cos ,PA n PA n PA n θ?=<>=? ,arcsin PA n

PA n

θ?=? .

金题示例1:如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB =90°,侧棱AA 1=2,D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点,点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G .求A 1B 与平面ABD 所成角的大小. 命题意图:主要考查线面关系和直棱柱等基础知识,同时考查 空间想像能力和推理运算能力.

知识依托:空间向量的坐标运算、平面法向量的应用及

数量积公式.

解法过程:如图所示建立坐标系,坐标原点为O ,设 CA =2a ,则 A (2a ,0,0),B (0,2a ,0),D (0,0,1), A 1(2a ,0,2),E (a ,a ,1),)3

1

3232(

,,a a

G . ∴ 2

()333

a a G E = ,,,)120(,-,a BD =.

∴ 032

32

2

=+

-

=?a BD GE ,解得 a =1. ∴ 1(222)BA =

-,,()2,2,0BA =- ,()0,2,1BD =- .

A

1

1

x

设平面ABD 的法向量(),,n x y z = ,则220,

20.

n B A x y n B D y z ??=-=???=-+=?? 于是取()1,1,2n = .

111cos ,3BA n BA n BA n

?<>==

=

, 因为A 1B 与平面ABD 所成角θ的正弦值sin θ

=1cos ,3

BA n <>=

所以A 1B 与平面ABD

所成角是arcsin 3

二、巧用平面法向量求二面角

方法指导:因为两个半平面的法向量1n 、2n

的夹角等于二面角的平面角或者其补角.

注意结合图形观察二面角的平面角θ的大小从而决定它与两个法向量夹角的关系:

如果θ是锐角,则121212cos cos ,n n n n n n θ?==?

,1212

arccos n n n n θ?=? ;

如果θ是钝角,则121212

cos cos ,n n n n n n θ?=-=-? ,1212arccos n n n n θ??

? ?=- ???

?

.

金题示例2:如图,在五面体ABCDEF 中,FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ,AB ⊥AD ,M 为EC 的中点,AF=AB=BC=FE=

12

AD .

求二面角A —CD —E 和M —AC —B 的大小.

命题意图:考二面角等基础知识,考查用空间向量解决立体 几何问题的方法,考查空间想像能力、运算能力和推理论证 能力.

知识依托:空间向量的坐标运算、平面法向量的应用. 解法过程:如图所示,以点A 为坐标原点,分别以AB 、AD 、

AF 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A —xyz .设,1=AB 依题意得(),,,001B (),,,011C (),,,020D (),,,110E (),,,100F .21121M ??? ??,, ()1,1,0,DC =- ()0,1,1DE =-

可取平面ABCD 的一个法向量()0,0,1n AF ==

,设平面CDE 的法向量(),,u x y z = ,则

0,

0.

u D C u D E ??=???=??

于是0,0.x y y z -=??-+=?令1x =,可得()1,1,1u = ,

所以cos ,3u n u n u n

?<>===

,结合图形可知二面角A —CD —E 为锐二面角,

其大小与两个法向量的夹角相等为arccos

3

.

设平面CMA 的法向量(),,v x y z = ,则0,

0.v AC v AM ??=???=?? 于是0,11

0.22

x y x y z +=???++=??令2x =, 可得()2,2,2v =-

,所以cos ,3v n v n v n

?<>===

, 结合图形可知二面角M —AC —B 为钝二面角,其大小与两个法向量的夹角互补, 所以二面角M —AC —B

的大小为arccos 3?

-

??

,即arccos 3π-. 三、巧用平面法向量求点到平面的距离

方法指导:若点P 为平面α外一点,点A 为平面α内任一点, 平面的法向量为n ,设点P 在平面α内的射影为点O , 显然,0n AO ?= ,PO PA AO =+ ,

∴()

n PO n PA AO n PA n AO n PA ?=?+=?+?=? ,

而n PO n PO ?=±?

,所以点P 到平面α的距离为

PA n d PO n

?==

,即点P 到平面α的距离为经过点P 的平面α的任意一个向量PA

在平面的法向量n 上的投影的绝对值.

金题示例3:在金题示例1中求点A 1到平面AED 的距离.

解法过程:由例1有A (2,0,0),A 1(2,0,2),E (1,1,1),D (0,0,1).

(111)A E =- ,,,(110)ED =-- ,,,设平面AED 的法向

量(),,n x y z = ,则0,0.

n A E n E D ??=???=?? 于是0,0.x y z x y -++=??--=?

令1x =,可得()1,1,2n =- ,又()10,0,2A A =

所以点A 1到平面AED

的距离13A A n d n

?===

. 注: 求线面距,面面距,可先转化为点面距,再用此法求解. 利用向量方法求解空间距离问题,可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤,而转化为向量间的计算问题.

x

以多面体为载体,在空间向量与立体几何处设计试题,考查空间角、空间距离的计算等问题和运用向量研究空间图形的思想方法,是近年高考立几试题的显著特点和趋势,应该很好掌握.

利用空间向量求空间角教案设计

利用空间向量求空间角 一、高考考纲要求: 能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题.体会向量法在立体几何中的应用. 二、命题趋势: 在高考中,本部分知识是考查的重点内容之一,主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算,属中档题,综合性较强,与平行垂直联系较多. 三、教学目标 知识与技能:能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题,了解向量法在研究立体几何问题中的应用; 过程与方法:通过向量这个载体,实现“几何问题代数化”的思想,进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力; 情感态度价值观:通过数形结合的思想和方法的应用,进一步让学生感受和体会空间直角坐标系,方向向量,法向量的魅力. 四、教学重难点 重点:用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角; 难点:将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程 (一)空间角公式 1、异面直线所成角公式:如图,设异面直线l ,m 的方向向量分别为a r ,b r ,异面直线l ,m

2、线面角公式:设直线l 为平面α的斜线,a r 为l 的方向向量,n r 为平面α的法向量,θ为 l 与α所成的角,则sin cos ,a n θ==r r a n a n ?r r r r . 3、面面角公式:设1n r ,2n r 分别为平面α、β的法向量,二面角为θ,则12,n n θ=r r 或 12,n n θπ=-r r (需要根据具体情况判断相等或互补) ,其中121212 cos ,n n n n n n ?=r r r r r r . α θ O n r a

(二)典例分析 如图,已知:在直角梯形OABC 中,//OA BC ,90AOC ∠=o ,SO ⊥面OABC ,且 1,2OS OC BC OA ====.求: (1)异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值; (2)OS 与面SAB 所成角α的正弦值; (3)二面角B AS O --的余弦值. 解:如图建立空间直角坐标系,则(0,0,0)O , (2,0,0)A ,(1,1,0)B ,(0,1,0)C ,(0,0,1)S , 于是我们有(2,0,1)SA =-u u r ,(1,1,0)AB =-u u u r ,(1,1,0)OB =u u u r ,(0,0,1)OS =u u u r , (1)cos ,5SA OB SA OB SA OB ?== =u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r , 所以异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值为5 . (2)设平面SAB 的法向量(,,)n x y z =r , 则0,0, n AB n SA ??=???=??r u u u r r u u r ,即0,20.x y x z -+=??-=? 取1x =,则1y =,2z =,所以(1,1,2)n =r , sin cos ,3OS n OS n OS n α?∴=== =u u u r r u u u r r u u u r r . (3)由(2)知平面SAB 的法向量1(1,1,2)n =u r , 又OC ⊥Q 平面AOS ,OC ∴u u u r 是平面AOS 的法向量, 令2(0,1,0)n OC ==u u r u u u r ,则有121212 cos ,n n n n n n ?== =u r u u r u r u u r u r u u r . ∴二面角B AS O --O A B C S

向量法求空间距离教案

A B C D O S x y z 图2 A B C D α n a b 龙文学校——您值得信赖的专业化个性化辅导学校 龙文学校个性化辅导教案提纲 教师:_______ 学生:_______ 年级:______ 授课时间:_____年___月___日_____——_____段 一、授课目的与考点分析:向量法求空间距离 能用向量方法解决空间距离问题,了解向量方法在研究集合问题中的应用. 二、授课内容及过程: 1、点到平面的距离 方法:已知AB 为平面α的一条斜线段,n 为平面α的法向量, 则A 到平面α的距离d =AB n n ? . 2、两条异面直线距离: 方法:a 、b 为异面直线,a 、b 间的距离为:AB n d n ?= . 其中n 与a 、b 均垂直,A 、B 分别为两异面直线上的任意两点 题型1:异面直线间的距离 例1、如图2,正四棱锥S ABCD -的高2SO =,底边长2AB =。求异面直线BD 和SC 之间的距离? 题型2:点面距离 如图,在长方体1111ABCD A BC D -,中,11,2AD AA AB ===,点E 在棱AD 上移动.(1)证明:11D E A D ⊥; (2)当E 为AB 的中点时,求点E 到面1ACD 的距离; (3)AE 等于何值时,二面角1D EC D --的大小为4 π. 解:以D 为坐标原点,直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴, 建立空间直角坐标系,设AE x =,则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C (1).,0)1,,1(),1,0,1 (,1111E D DA x E D DA ⊥=-=所以因为

利用空间向量求空间角和距离

利用空间向量求空间角和距离 A 级——夯基保分练 1.如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知M ,N 分别是BD 和AD 的中点,则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为( ) A.30 30 B .3015 C. 3010 D. 1515 解析:选C 建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则B 1(2,2,2),M (1,1,0),D 1(0,0,2),N (1,0,0),∴B 1M ―→ =(-1,-1,-2),D 1N ―→ =(1,0,-2), ∴B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为|B 1M ―→·D 1N ―→ | |B 1M ―→|·|D 1N ―→|= |-1+4|1+1+4×1+4=30 10 . 2.如图,已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AD =AA 1=1,AB =3,E 为线段AB 上一点,且AE =1 3AB ,则DC 1与平面D 1EC 所成角的 正弦值为( ) A.33535 B .277 C.33 D.24 解析:选A 如图,以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则C 1(0,3,1),D 1(0,0,1),E (1,1,0),C (0,3,0), ∴DC 1―→=(0,3,1),D 1E ―→=(1,1,-1),D 1C ―→ =(0,3,-1). 设平面D 1EC 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则????? n ·D 1E ―→=0,n · D 1C ―→=0,即????? x +y -z =0,3y -z =0,取y =1,得n =(2,1,3). ∴cos DC 1―→,n =DC 1―→·n |DC 1―→|·|n| =33535, ∴DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为335 35 .

向量法求空间点到平面的距离教案

学习必备 欢迎下载 向量法求空间点到面距离(教案) 新课导入: 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开,那还有别的方法吗? 对!绕过去。在生活中我们都知道转弯,那么在学习上我们不妨也让思维转个弯,绕过难点 用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离,就必须要先找到这个距离,而找这个距离恰恰是 一个比较难解决的问题,我们今天就让思维转个弯,用向量法解决这个难题。 一、复习引入: 1、 空间中如何求点到面距离? 方法1、直接做或找距离; 方法2、;等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a · b =a b cos θ(θ为a 与b 的夹角) 二、向量法求点到平面的距离 教材分析 重点: 点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点: 找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1. 能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2. 能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3. 加强坐标运算能力的培养,提高坐标运算的速度和准确性。

学习必备欢迎下载

学习必备 欢迎下载 若AB 是平面α的任一条斜线段,则在BOA Rt ? ABO COS ∠? ? 如果令平面的法向量为n ,考虑到法向量的方向,可以得到点B 到平面的距离为 BO 因此要求一个点到平面的距离,可以分为以下三步:(1)找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量(2)求出该平面的一个法向量(3)求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量? 例1、在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量. 解:设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z = 则n AB n AC ⊥⊥,.∵(3,4,0)AB =-,(3,0,2)AC =- ∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0x y z x y z ?-=???-=?即340320x y x z -+=??-+=? ∴3432y x z x ?=????=?? 取4x =,则(4,3,6)n = ∴(4,3,6)n =是平面ABC 的一个法向量. 例2、如图,已知正方形ABCD 的边长为4,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,GC ⊥平面ABCD ,且GC =2,求点B 到平面EFG 的距离. 解:如图,建立空间直角坐标系C -xyz . 由题设C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0), D(4,0,0),E(2,4,0), F(4,2,0),G(0,0,2). (2,2,0),(2,4,2),B (2,0,0)EF EG E =-=--=设平面EFG 的一个法向量 为(,,)n x y z = 2202420 11(,,1)33 n EF n EG x y x y n ⊥⊥-=?∴?--+=?∴=,

第43讲 利用空间向量求空间角和距离(讲)(解析版)

第43讲 利用空间向量求空间角和距离 思维导图 知识梳理 1.异面直线所成角 设异面直线a ,b 所成的角为θ,则cos θ=|a ·b | |a ||b |, 其中a ,b 分别是直线a ,b 的方向向量. 2.直线与平面所成角 如图所示,设l 为平面α的斜线,l ∩α=A ,a 为l 的方向向量,n 为平面α的法向量,φ为l 与α所成的角,则sin φ=|cos 〈a ,n 〉|=|a ·n | |a ||n | 3.二面角 (1)若AB ,CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角,如图(1). (2)平面α与β相交于直线l ,平面α的法向量为n 1,平面β的法向量为n 2,〈n 1,n 2〉=θ,则二面角α -l -β为θ或π-θ.设二面角大小为φ,则|cos φ|=|cos θ|= |n 1·n 2| |n 1||n 2| ,如图(2)(3). 4.利用空间向量求距离 (1)两点间的距离

设点A (x 1,y 1,z 1),点B (x 2,y 2,z 2),则|AB |=|AB ―→ |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2+(z 1-z 2)2. (2)点到平面的距离 如图所示,已知AB 为平面α的一条斜线段,n 为平面α的法向量,则B 到平面α的距离为|BO ―→|=|AB ―→ ·n | |n | . 题型归纳 题型1 异面直线所成的角 【例1-1】(2020?济南模拟)已知直角梯形ABCD 中,//AD BC ,AB BC ⊥,1 2 AB AD BC == ,将直角梯形ABCD (及其内部)以AB 所在直线为轴顺时针旋转90?,形成如图所示的几何体,其中M 为CE 的中点. (1)求证:BM DF ⊥; (2)求异面直线BM 与EF 所成角的大小. 【分析】(1)建立空间坐标系,得出BM ,DF 的坐标,根据向量的数量积为0得出直线垂直; (2)计算BM 和EF 的夹角,从而得出异面直线所成角的大小. 【解答】(1)证明: AB BC ⊥,AB BE ⊥,BC BE B =, AB ∴⊥平面BCE , 以B 为原点,以BE ,BC ,BA 为坐标轴建立空间坐标系B xyz -,如图所示: 设1AB AD ==,则(0D ,1,1),(1F ,0,1),(0B ,0,0),M 0), ∴(2BM =,0),(1DF =,1-,0),

用向量法求空间距离

用向量法求空间距离 湖南省冷水江市七中(417500) 李继龙 在高中立体几何中引入空间向量,为解决立体几何问题提供了一种新的解题方法,有时也能降低解题难度.下面通过例题介绍用向量法求空间距离的方法. 一、 求两点之间的距离 用向量求两点间的距离,可以先求出以这两点为始点和终点的向量,然后求出该向量的模,则模就是两点之间的距离. 例1 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点P 是AD 1的中点,Q 是BD 上一点, DQ=4 1 DB ,求P 、Q 两点间的距离. 解 如图1,以1DD DC DA 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ,则 0)4 141(Q )21021(,,、,,P , 所以)21 -4141(-,,=. 46= ,即P 、Q 两点的距离为4 6. 二、 求点到直线之间的距离 已知如图2,P 为直线a 外一点,Q 为a 上任意一点,PO ⊥a 于点O ,所以点P 到直线a 的距离为|PO|=d . 则有>= < 故>

例2 在长方体OABC-O 1A 1B 1C 1中,OA=2,AB=3,AA 1=2.求点O 1到直线AC 的距离. 解 建立如图3所示的空间直角坐标系,连结AO 1,则A(2,0,0),C(0,3,0),O 1(0,0,2). 所以0)32-(AC 2)02-(AO 1,,,,,==. 故 d = 13 286 213168=- = 所以点O 1到直线AC 的距离为13 286 2. 三、 求点到平面的距离 如图4设A 是平面α外一点,AB 是平面α的一条斜线,交平面α于点B ,而是平面α的法向量,那么向量 在方向上的射影长就是点A 到平面α的距离d ,所以 d ==>

空间向量的应用----求空间角与距离

空间向量的应用----求空间角与距离 一、考点梳理 1.自新教材实施以来,近几年高考的立体几何大题,在考查常规解题方法的同时,更多地关注向量法(基向量法、坐标法)在解题中的应用。坐标法(法向量的应用),以其问题(数量关系:空间角、空间距离)处理的简单化,而成为高考热点问题。可以预测到,今后的高考中,还会继续体现法向量的应用价值。 2.利用法向量求空间角和空间距离,其常用技巧与方法总结如下: 1)求直线和直线所成的角 若直线AB 、CD 所成的角是α,cos α=|,cos |>

计算公式为: 4).利用法向量求点面距离 如图点P 为平面外一点,点A 为平面内的任一点,平面的法向量为n ,过点P 作平面α的垂线PO ,记∠OPA=θ,则点P 到平面的距离 θcos ||||PA PO d == 5).法向量在距离方面除应用于点到平面的距离外,还能处理异面直线间的距离,线面 间的距离,以及平行平面间的距离等。其一,这三类距离都可以转化为点面间的距离;其二, 异面直线间的距离可用如下方法操作:在异面直线上各取一点A 、B ,AB 在n 上的射影长即 为所求。n 为异面直线AD 、BC 公共垂直的方向向量,可由0n AD ?=及0n BC ?=求得,其计算公式为: || || n AB d n =。其本质与求点面距离一致。 向量是新课程中引进的一个重要解题工具。而法向量又是向量工具中的一朵厅葩,解题方法新颖,往往能使解题有起死回生的效果,所以在学习中应起足够的重视。 二、范例分析 例1 已知ABCD 是上、下底边长分别为2和6,3将它沿对称轴1 OO n α A P O θ

向量法求空间点到平面的距离教案

向量法求空间点到面距离(教案) 新课导入: 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开,那还有别的方法吗? 对!绕过去。在生活中我们都知道转弯,那么在学习上我们不妨也让思维转个弯,绕过难点 用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离,就必须要先找到这个距离,而找这个距离恰恰是 一个比较难解决的问题,我们今天就让思维转个弯,用向量法解决这个难题。 一、复习引入: 1、 空间中如何求点到面距离? 方法1、直接做或找距离; 方法2、;等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a · b =a b cos θ(θ为a 与b 的夹角) 二、向量法求点到平面的距离 剖析:如图, BO 平面 ,垂足为O ,则点B 到平面 的距离是线段BO 的长度。 教材分析 重点: 点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点: 找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1. 能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2. 能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3. 加强坐标运算能力的培养,提高坐标运算的速度和准确性。

若AB 是平面 的任一条斜线段,则在BOA Rt ABO COS ? 如果令平面的法向量为n ,考虑到法向量的方向,可以得到点B 到平面的距离为 BO 因此要求一个点到平面的距离,可以分为以下三步:(1)找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量(2)求出该平面的一个法向量(3)求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量? 例1、在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量. 解:设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z r 则n AB n AC r u u u r r u u u r ,.∵(3,4,0)AB u u u r ,(3,0,2)AC u u u r ∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0x y z x y z 即340320x y x z ∴3432y x z x 取4x ,则(4,3,6)n r ∴(4,3,6)n r 是平面ABC 的一个法向量. 例2、如图,已知正方形ABCD 的边长为4,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,GC ⊥平面ABCD ,且GC =2,求点B 到平面EFG 的距离. 解:如图,建立空间直角坐标系C -xyz . 由题设C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0), D(4,0,0),E(2,4,0), F(4,2,0),G(0,0,2). (2,2,0),(2,4,2),B (2,0,0)EF EG E u u u r u u u r u u u r 设平面EFG 的一个法向量 为(,,)n x y z r 2202420 11(,,1)33 n EF n EG x y x y n r u u u r r u u u r r ,

用向量法求二面角的平面角教案

第三讲:立体几何中的向量方法——利用空间向量求二面角的平面角 大家知道,立体几何是高中数学学习的一个难点,以往学生学习立体几何时,主要采取“形到形”的综合推理方法,即根据题设条件,将空间图形转化为平面图形,再由线线,线面等关系确定结果,这种方法没有一般规律可循,对人的智力形成极大的挑战,技巧性较强,致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中,向量知识的引入,为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题,体现了数形结合的思想。并且引入向量,对于某些立体几何问题提供通法,避免了传统立体几何中的技巧性问题,因此降低了学生学习的难度,减轻了学生学习的负担,体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要,需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值,激发学生学习向量的兴趣,从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角,不需要繁杂的推理,只需要将几何问题转化为向量的代数运算,方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角,下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生会求平面的法向量; 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法; 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题; 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点

求平面的法向量; 求解二面角的平面角的向量法. 教学难点 求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式: 1、二面角的平面角:(范围:],0[πθ∈) 向量夹角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”: (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(化为向量问题) (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算) (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。(回到图形) Ⅱ、典例分析与练习 例1、如图,ABCD 是一直角梯形,?=∠90ABC ,⊥SA 面ABCD ,1===BC AB SA ,

向量法求空间距离和角

用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点.向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题. 1 求空间角问题 空间的角主要有:异面直线所成的角;直线和平面所成的角;二面角. (1)求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b (2)求线面角 设l 是斜线l 的方向向量,n 是平面α的法 向量, 则斜线l 与平 面 α 所成的角 α=arcsin | ||||| l n l n (3)求二面角 法一、在α内a l ⊥,在β内b l ⊥,其方向如图,则二面角 l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b 法二、设12,,n n 是二面角l αβ--的两

个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角 l αβ--的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离,这里着重介绍点面距离的求法,象异面直线间的距离、线面距离;面面距离都可化为点面距离来求. (1)求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量,在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示,可确定点O 的位置,从而求出||AO . (2)求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β,则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离,又转化为点A 到平面β的距离. 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别 为异面直线a 、b 的方向向量,求n (n a ⊥,n b ⊥),则异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ==(此方法移植于点面距离的求法).

用向量法求空间距离

A B C D m n 1 图向量法求空间距离 向量融形、数于一体,具有几何形式和代数形式的“双重身份”,向量成为中学数学知识的一个交汇点,空间向量将空间元素的位置关系转化为数量关系,将过去的形式逻辑证明转化为数值计算,化繁难为简易,化复杂为简单,成为解决立体几何问题的重要工具。 1.异面直线n m 、的距离 分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的向量,分别在 n m 、上各取一个定点B A 、,则异面直线n m 、的距离 d 等于在上的射影长,即| |n d = 证明:如图1,设CD 为公垂线段,取b a ==, | |||)(?=?∴?++=?∴++= | |||||n n AB d ?= =∴ 2平面外一点P 到平面α的距离 如图2,先求出平面α的法向量,在平面内任取一定 点A ,则点p 到平面α的距离d 等于在上的射影长,即| |n d = 因为空间中任何向量均可由不共面的三个基向量来线性表示,所以在解题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量,把相关线段根据向量的加法、数乘运算法则与基向量联系起来。再通过向量的代数运算,达到计算或证明的目的。一般情况下,选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量。 [例 1] 如图3,已知正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长为2, 底面边长为1,M 是BC 的中点,当1AB MN ⊥时,求点1A 到平面AMN 的距离。 图2 A B C M N 1 A 1 B 1 C 图3

几何体中容易找到共点不共面且互相垂直的三个向量,于是有如下解法: 解:当1AB MN ⊥时,如图4 , 、)0,0,0(A )81 ,1,0()0,43,43()2,21,23(1N M B 、、、)2,0,0(1A ,则 )2,0,0(),0,4 3,43( ),8 1 ,41,43(1==- =AA AM MN , 设向量),,(z y x n =与平面AMN 垂直,则有 )0()1,1,3(8 ),81,83( 8183 0434********>-=-=∴?????? ?-==?=???????=+=++-??????⊥⊥z z z z z n z y z x y x z y x AM n MN n 取)1,1,3(0-=n 向量1AA 在0n 上的射影长即为1A 到平面AMN 的距离,设为d ,于是 5 5 21)1()3(|)1,1,3()2,0,0(||||,cos |||2 2201011011= +-+-?= =>

向量法求空间角(高二数学,立体几何)

A B C D P Q 向量法求空间角 1.(本小题满分10分)在如图所示的多面体中,四边形ABCD 为正方形,四边形ADPQ 是直角梯形,DP AD ⊥,⊥CD 平面ADPQ ,DP AQ AB 2 1==. (1)求证:⊥PQ 平面DCQ ; (2)求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小. 2.(满分13分)如图所示,正四棱锥P -ABCD 中,O 为底面正方形的中心,侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为 2 6. (1)求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小; (2)若E 是PB 的中点,求异面直线PD 与AE 所成角的正切值; (3)问在棱AD 上是否存在一点F ,使EF ⊥侧面PBC ,若存在,试确定点F 的位置;若不存在,说明理由. B

3.(本小题只理科做,满分14分)如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点. (1)求证:AF//平面BCE; (2)求证:平面BCE⊥平面CDE; (3)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小. P-中,PD⊥底面ABCD,且底面4.(本小题满分12分)如图,在四棱锥ABCD ABCD为正方形,G PD =分别为CB PC, ,的中点. = PD F ,2 E AD, , AP平面EFG; (1)求证:// (2)求平面GEF和平面DEF的夹角.

H P G F E D C B 5.如图,在直三棱柱111AB C A B C -中,平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==. (Ⅰ)求证:AB BC ⊥; (Ⅱ)若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6 π,求锐二面角1A A C B --的大小. 6.如图,四边形ABCD 是正方形,EA ⊥平面ABCD ,EA PD ,2AD PD EA ==,F ,G , H 分别为PB ,EB ,PC 的中点. (1)求证:FG 平面PED ; (2)求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小.

利用向量法求空间角经典教案

利用空间向量求空间角 目标:会用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方法; 一、复习回顾向量的有关知识: (1)两向量数量积的定义:><=?,cos ||||(2)两向量夹角公式:| |||,cos b a b a >= < 二、知识讲解与典例分析 知识点1:两直线所成的角(范围:]2 , 0(π θ∈) (1)定义:过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a′与b′,那么直线a′与b′ 所成的锐角或直角,叫做异面直线a 与b 所成的角. (2)用向量法求异面直线所成角,设两异面直线a 、b 的方向向量分别为a 和b , 问题1: 当与的夹角不大于90°时,异面直线 的角θ与 和 的夹角的关系? 问题 2:与的夹角大于90°时,,异面直线a 、θ与a 和b 的夹角的关系? 结论:异面直线a 、b 所成的角的余弦值为| ||||,cos |cos n m = ><=θ 例1如图,正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2,求1AC 和1CB 所成的角. 解法步骤:1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。 解:如图建立空间直角坐标系xyz A -,则)2,,0(),0,2 1 ,23(),2,21,23(),0,0,0(11a a B a a C a a a C A -- ∴ )2,21,23(1a a a AC - =,)2,2 1 ,23(1a a a CB = 即21323,cos 22 111111==>= <11,cos BE DF 与>

第8讲立体几何中的向量方法求空间角 (1)

第8讲立体几何中的向量方法(二)——求空间角 一、选择题 1.(2016·长沙模拟)在正方体A1B1C1D1-ABCD中,AC与B1D所成的角的大小为() A.π 6 B. π 4 C. π 3 D. π 2 解析建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体边长为1,则A(0,0,0),C(1,1,0),B1(1,0,1),D(0,1,0). ∴AC→=(1,1,0),B1D →=(-1,1,-1), ∵AC→·B1D →=1×(-1)+1×1+0×(-1)=0, ∴AC→⊥B1D →, ∴AC与B1D所成的角为π2. 答案 D 2.(2017·郑州调研)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为() A. 3 2 B. 3 3 C. 3 5 D. 2 5 解析设正方体的棱长为1,以D为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如 图所示.则B(1,1,0),B1(1,1,1),A(1,0,0),C(0,1, 0),D1(0,0,1), 所以BB1→=(0,0,1),AC→=(-1,1,0),AD1 →=(-1,0,1). 令平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则n·AC→=-x+y=0,n·AD1 →=-x+z =0,令x=1,可得n=(1,1,1),

所以sin θ=|cos 〈n ,BB 1→ 〉|=13×1=3 3 . 答案 B 3.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E 为BB 1的中点,则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A.12 B.23 C.33 D.22 解析 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A -xyz ,设棱长为1, 则A 1(0,0,1), E ? ????1,0,12,D (0,1,0), ∴A 1D →=(0,1,-1), A 1E →=? ????1,0,-12, 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1=(1,y ,z ),所以有???A 1D →·n 1=0,A 1E →·n 1=0,即???y -z =0,1-12z =0,解得????? y =2,z =2. ∴n 1=(1,2,2). ∵平面ABCD 的一个法向量为n 2=(0,0,1), ∴ cos 〈n 1,n 2〉=23×1=23. 即所成的锐二面角的余弦值为2 3. 答案 B 4.(2017·西安调研)已知六面体ABC -A 1B 1C 1是各棱长均等于a 的正三棱柱,D 是侧棱CC 1的中点,则直线CC 1与平面AB 1D 所成

用向量法求空间角与距离

用向量法求空间角与距离 1.1. 向量的数量积和坐标运算 b a ,是两个非零向量,它们的夹角为 ,则数 cos |||| b 叫做与的数量积(或内积),记作b a ,即.cos |||| 其几何意义是a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是: 若),,(),,,(222111z y x b z y x a ,则 ①212121z z y y x x b a ; ②2 22222212121||,||z y x b z y x a ; ③212121z z y y x x b a ④2 2 2 22 22 12 12 12 12121,cos z y x z y x z z y y x x b a 1.2. 异面直线n m ,所成的角 分别在直线n m ,上取定向量,,b a 则异面直线n m ,所成的角 等于向量b a ,所成的角或其补角(如图1所示),则 .||||| |cos b a b a (例如2004年高考数学广东卷第18题第(2)问) 1.3. 异面直线n m 、的距离 分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的 向量,分别在n m 、上各取一个定点B A 、,则异面直线n m 、的距离d 等于在 上的射影长,即| |n d . 图1

证明:设CD 为公垂线段,取b a ,(如图1所示),则 | |||)( | |||n d 设直线n m ,所成的角为 ,显然.||||| |cos b a b a 1.4. 直线L 与平面 所成的角 在L 上取定,求平面 的法向量2所示), 再求 | |||cos n AB 2 为所求的角. 1.5. 二面角 方法一:构造二面角 l 的两个半平面 、的法向量 21n n 、(都取向上的方向,如图3所示),则 ① 若二面角 l 是“钝角型”的如图3甲所示,那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角,即| |||cos 2121n n (例如2004年高考数学广 东卷第18题第(1)问). ② 若二面角 l 是“锐角型”的如图3乙所示, 那么其大 小等于两法向量21n n 、的夹角, 即| |||cos 2121n n (例如 2004年高考数学广东卷第18题第(1)问). 方法二:在二面角的棱l 上确定两个点B A 、,过B A 、分别在平面 、内求出与l 垂直的向量21n n 、(如图4所示) ,则二面角 l 的大小等于向量21n n 、的夹角,即 图3乙 图3 图4 图2

向量法求空间点到平面的距离教案

向量法求空间点到面距离(教案) 教材分析 重点:点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点:找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1.能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2.能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3.加强坐标运算能力的培养,提高坐标运算的速度和准确性。 新课导入: 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开,那还有别的方法吗 对!绕过去。在生活中我们都知道转弯,那么在学习上我们不妨也让思维转个弯,绕过难点用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离,就必须要先找到这个距离,而找这个距离恰恰是 一个比较难解决的问题,我们今天就让思维转个弯,用向量法解决这个难题。 一、复习引入: 1、空间中如何求点到面距离 方法1、直接做或找距离; 方法2、;等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a ? b = a b cos 0(0为a与b的夹角) 二、向量法求点到平面的距离

如果令平面的法向量为 n ,考虑到法向量的方向,可以得到点 B 到平面的距离为 _r BA?n BO=—:— n 因此要求一个点到平面的距离, 可以分为以下三步:(1)找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量 (2)求出该平面的一个法向量 (3)求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量 ? 例1、在空间直角坐标系中,已知A(3,0,0), B(0,4,0) , C(0,0,2),试求平面 ABC 的一个 法向量. 解:设平面ABC 的一个法向量为 r n (x, y, z) r uuu r uuur uuu unr 则 n AB , n AC . v AB (3,4,0), AC (3,0, 2) ? (x, y, z)( 3,4,0) 0即 3x 4y 0 3 y x (x, y, z)( 3,0,2) 0 3x 2z 0 . 4 取x 4,则n (4, 3,6) 3 z x 2 ??? n (4, 3,6)是平面 ABC 的一个法向量 例2、如图,已知正方形 ABCD 的边长为4, E 、F 分别是AB 、AD 的 中点,GC 丄平面 ABCD ,且GC = 2,求点B 到平面EFG 的距离. 解:如图,建立空间直角坐标系 C-xyz. 由题设 C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0), D(4,0,0),E(2,4,0), F(4,2,0),G(0,0,2). uuir uuur EF (2, 2,0), EG ( 2, 4,2), uuu BE (2,0,0) 设平面EFG 的一个法向量 若AB 是平面 的任一条斜线段,则在 Rt BOA 中,BO = BA?COS ABO BA?BO B A B O BO 剖析:如图,BO 平面 ,垂足为0,则点B 到平面 的距离是线段 BO 的长度。 =网? BA? BO

《用向量法求直线与平面所成的角》教案

第二讲:立体几何中的向量方法——利用空间向量求直线与平面所成的 角大家知道,立体几何是高中数学学习的一个难点,以往学生学习立体几何时,主要采取“形到形”的综合 推理方法,即根据题设条件,将空间图形转化为平面图形,再由线线,线面等关系确定结果,这种方法没有一般 规律可循,对人的智力形成极大的挑战,技巧性较强,致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中,向量知识的引入,为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题,体现了数形结合的思想。并且引入向量,对于某些立体几何问题提供通法,避免了传统立体几何中的技巧性问题,因此降低了学生学习的难度,减轻了学生学习的负担,体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要,需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值,激发学生学习向量的兴趣,从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角,不需要繁杂的推理,只需要将几何问题转化为向量的代数运算,方便快捷。 空间角主要包括线线角、线面角和二面角,下面对线面角的求法进行总结。 教学目标 1. 使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法; 2. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题; 3. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量; 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学难点 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学过程 I、复习回顾 一、回顾有关知识: 1

1、直线与平面所成的角:(范围:二? [0,—]) 2 思考:设平面:的法向量为n,则::n,BA .与二的关系? JT ■■二日=----- < n, BA > 2 (图 ) 2

用空间向量求空间角和距离

用空间向量求空间角和距离 四川省通江中学 徐荣德 空间中角和距离的计算问题是立体几何的重要内容,也是近几年高考的热点之一。空间向量为求空间角和距离提供了新的方法,可以使几何问题中的逻辑推理转化为向量的代数运算,使问题的解决更简洁、清晰,有较强的规律性,易于掌握。 一、求空间中的角 1、两异面直线所成的角 设异面直线AB 、CD 所成的角为])2 ,0((π αα∈ (如图1),则|| |||||,cos |cos CD AB ?=><=α。 2、直线与平面所成的角 设直线PA 与平面α(),αα?∈P A 所成的角 为])2 , 0[(π θθ∈,平面α的法向量为(如图2), 则|| |||| |,cos |sin n AP ?=><=θ。 3、二面角 设二面角βα--l 的大小为θ(),0(πθ∈), 平面βα,的法向量分别为n m ,(如图3), 则><-=>=<,,πθθ或。 例1、四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方 形,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且侧面PAD 与底面ABCD 垂直,E 为DP 的中点。 (1) 求异面直线AE 与PB (2) 求直线BE 与平面PCD 所成的角; (3) 求二面角E —AC —D 的大小。 解:建立如图4所示的空间直角坐标系,则 (1) A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,1,3),E(0,23∴23 ,23,0(),3,1,2(=-=AE BP 4 6| |||,cos =?>= <∴AE BP ∴异面直线AE 与PB 所成的角4 6arccos .

(2) C(2,2,0),D(0,2,0),)2 3 , 23,2(),3,1,2(),0,0,2(-=--=-=∴BE CP CD , 设平面PCD 的一个法向量),,,(z y x = 则? ???? ?==∴=+--=-z y x z y x x 30,03202,取1=z ,得)1,3,0(= 设直线BE 与平面PCD 所成的角为θ,则 =θsin 7 21 || |,cos |= =>< ∴直线BE 与平面PCD 所成的角为7 21arcsin 。 (3))0,2,2(),2 3 , 23,0(==AC AE ,设平面ACE 的一个法向量),,(z y x n =, 则???-=-=∴?????=+=+y z y x y x z y 3,0 2202323 ,取1-=y ,得)3,1,1(-=n , 显然)1,0,0(=m 是平面ACD 的一个法向量, 5 15 ,cos = >= <∴n m ∴ 二面角E —AC —D 的大小为5 15arccos 。 二、求空间中的距离 1、两异面直线的距离 设异面直线b a ,间的距离为d ,AB 是b a ,的公垂线 段,D 、C 分别是b a ,上的一点,n 是AB 的方向向量(如图5)。 | |||n d CD n AB n DB CD AC AB = =∴?=?∴++= 2、点到平面的距离 设平面α外一点P 到平面α的距离为d ,点A 是平面α 任一点,是平面α的法向量(如图6)。则

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