数学形态学及其在图像分析中的应用

第35卷，增刊红外与激光工程2006年10月

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数学形态学及其在图像分析中的应用

陈爱军

(东北林业大学机电工程学院，黑龙江哈尔滨150040)

摘要：数学形态学作为一门新兴的、以形态为基础对图像进行分析的学科，已得到人们的广泛关注，并应用于图像处理的许多方面，如噪声抑制、特征提取、边缘检测、图像分割、形状识别、纹理分析、图像恢复与重建等。首先介绍了几种基本的数学形态学算子及其特点，然后介绍了星体分布统计和粒子分析两个运用数学形态学进行图像分析的具体例子，给出了具体实现步骤，并通过编程得到了实验结果。最后对全文进行了总结。

关键词：数学形态学；图像分析；高帽变换；低帽变换；粒子分析

中圈分类号：T P391文l畎标识码：A文章编号：1007—2276(2006)增D．0465．04

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O引育

数学形态学(m a t hem at i c al m o叩hol ogy)诞生于1964年，最初它只是分析几何形状和结构的数学方法，是建立在数学基础上用集合论方法定量描述几何结构的科学。1982年，随着Serr a的专著《图像分析和数学形态学》的问世，数学形态学在许多领域(如图像处理、模式识别、计算机视觉等)得到广泛的重视和应用，此书的出版被认为是数学形态学发展的重要里程碑。近年来，数学形态学逐渐发展成为数字图像处理的一个主要研究领域，其基本理论和方法在计算机文字识别、计算机显微图像分析、医学图像处理、工业检测、机

收■日一-20080r7一17

作者■介t陈爱军(1sr76-)，男，江苏如东人，讲师，博士研究生，主要从事图像处理和模式识面的研究。

红外与激光工程：光电信息处理技术第35卷器人视觉等方面都取得了许多非常成功的应用‘卜31。

1数学形态学的基本知识

数学形态学是由一组形态学的代数运算子组成的，最基本的形态学运算子有：膨胀、腐蚀、开和闭，用这些运算子及其组合可进行图像形状和结构的分析及处理【41。

1．1构元素

所谓结构元素就是一定尺寸的背景图像，通过将输入图像与之进行各种形态学运算，实现对输入图像的形态学变换。结构元素没有固定的形态和大小，它是在设计形态变换算法的同时根据输入图像和所需信息的形状特征一并设计出来的，结构元素形状、大小及与之相关的处理算法选择得恰当与否，将直接影响对输入图像的处理结果【5】。通常结构元素的形状有正方形、矩形、圆盘形、菱形、球形以及线形等。

1．2膨胀与腐蚀

膨胀与腐蚀这两种操作是形态学处理的基础，许多形态学算法都是以这两种原始运算为基础的。

使用结构元素B对集合A进行膨胀和腐蚀运算分别定义为：

A oB={zI(B)：nA≠痧}(1)

A eB={zI(且)：∈A}(2)式中：(雪)。=f cI c=z一易，易∈B】，即对集合曰做关于原点的映射后，再沿向量z的平移；

(B)，={cI c=z+6，6∈研，即将集合B沿向量z的平移。

膨胀在数学形态学中的作用是把图像周围的背景点合并到物体中。如果两个物体之间距离比较近，那么膨胀运算可能会使这两个物体连通在一起，所以膨胀对填补图像分割后物体中的空洞很有用。腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体边界点，它可以把小于结构元素的物体去除，选取不同大小的结构元素可以去掉不同大小的物体。如果两个物体之间有细小的连通，当结构元素足够大时，通过腐蚀运算可以将两个物体分开【4】。1．3开操作与闭操作。

使用结构元素B对集合A进行开操作，表示为A o曰，定义为：

A o曰=(A e B)o B(3)

因此，用曰对A进行开操作就是用B对A进行腐蚀，然后用B对结果进行膨胀。

同样，使用结构元素B对集合A的闭操作，表示为A B，定义为：

A召=(A o B)e B(4)公式(4)说明，使用结构元素曰对集合A的闭操作就是用B对A进行膨胀，然后用B对结果进行腐蚀。

开操作一般使对象的轮廓变得光滑，断开狭窄的间断和消除细的突出物；闭操作同样使轮廓线更为光滑，但与开操作相反的是，它通常消弥狭窄的间断和长细的鸿沟，消除小的孔洞，并填补轮廓线中的断裂【6】。1．4高帽(t op_hat)变换与低帽(bot-hat)变换

对图像进行所谓的t op-ha t形态学变换，用啊表示，定义为：

．}zl=，一(-厂。易)(5)对图像进行所谓的bot-hat形态学变换，用髓表示，定义为：

％=，一，(．厂易)(6)式中：，为输入图像；易为结构元素。高帽变换实际上就是图像开操作与原始图像之差；低帽变换则是图像闭操作与原始图像之差。高帽变换可用来增强图像的对比度；低帽变换用来寻找图像的灰度谷值随71。

增刊陈爱军：数学形态学及其在图像分析中的应用

2数学形态学在图像分析中的应用

数学形态学在图像分析中具有广泛的应用，下面仅举两例加以说明。

2．1星体分布统计

为了测试图l (a)(174像素×368像素)中星体的分布情况，即统计某一大小星体所占的比例，首先将原图像进行灰度变换，变换后的图像如图1(b)所示。由于某些星体处于背景较亮的地方，因而显得很模糊。为此，利用一个高帽变换(t op-hat )消除图像背景中那些不一致的背景亮度，变换后的图像如图1(c)所示。可以利用一个逐渐增大尺寸的圆盘形结构元素对图1(c)不断地进行图像形态开操作，当每一次使用不同尺寸的结构元素处理之后，初始图像图1(c)和经过开操作处理的图像(图1(d)为用半径为8个像素结构元素对图1(c)进行开操作的结果)的差异可以计算出来。这里统计开操作后对象的剩余面积。从图1(e)可以看出，随着结构元素尺寸的增大，对象的剩余面积发生锐减。最后，通过计算两次开操作前、后的剩余面积的一阶差分即可估计出图像中相同大小星体所占比例，其结果见表1。

由表1可以看出，原始图像中半径为2个像素的星体所占的比例最大，约为16．3167％；半径为8个像素的星体所占比例最小，约为3．9808％：星体最大半径为10个像素。

图1星体分布

Fig ．1St ar di s 仃i bud ∞

裹1相同大小星体所占比例

Tab ．1P e r c ent age of di ff er ent s t a 瑙结构元素半径／像素

(e)

半霾鼍看蓁，榭哲覆羹篓比例c ％，半径(像素)榭像素数篓比总像素数“刚””半径(像素)

像素数总像素数“刚””1

246228610．76l 2720622869．01142

373228616．316789122863．98083

301228613．167l 914422866．29924

182228607．96151012522865．468l 5

349228615．266811O 22860

6269228611．76732．2粒子分析

图2(a)为一幅199像素×199像素的原子显微图像。在图2(a)

中，可以看到许多相互接触的不同尺寸的对

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象。由于图像中各个对象的灰度比较接近，因而在图像分割之前应将对比度调至最大。进行这种对比度调节的通常方法是综合利用基于图像形态操作的高帽变换和低帽变换。由于在图2(a)中我们通常感兴趣的对象看起来像圆盘，所以在此处我们使用一个半径为15个像素的圆盘形结构元素进行图像的形态操作。图2(b)为对图2(a)进行高帽变换后的结果，图2(c)为对图2(a)进行低帽变换后的结果。可以看出高帽变换体现了适合结构元素的对象的灰度峰值，而低帽变换则体现了感兴趣对象间的灰度谷值。为了取得最佳对比度，将高帽变换结果与原始图像相加后再与低帽变换结果相减，其结果见图2(d)。为了便于观察，我们将图像进行反色，其结果见图2(e)。然后搜索图2(e)中灰度值小于给定阈值丁(这里取殆22)的所有谷值，得到一幅二值图像图2(f )，并将图像中所有谷值像素设置为O ，结果见图2(g)，用分水岭算法对图2(g)进行分割，结果见图2(h)。现在便可以从分割图像中抽取感兴趣对象的特征，如面积、方向、质心等。这里只抽取区域面积和区域方向这两个特征，将这两个特征分别看成函数的因变量与值域进行绘制，结果如图2(i )所示。

3结束语

图2粒子分析

Fig ．2Pa rt i cl e 柚al ysi s

通过两个具体的实例，介绍了数学形态学在图像分析中的一些应用。随着计算机技术的飞速发展和图像分析在各生产领域中的应用，要求新的方法和新的算法来满足日益增长的图像分析的需求。如何应用数学形态学理论和方法来解决实际工程中图像分析的需求是非常值得研究的一个问题。

◆考文献。

【1】崔屹．图像处理与分析——数学形态学方法及应用【M 】．北京：科学出版社，2000．

【2】唐常青．数学形态学方法及其应用【M 】．北京：科学出版社，1990．

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【4】何斌，马天予．vi sual C ++数字图像处理[M 】．北京：人民邮电出版社，2001．

【5】郭景峰，蔺旭东．数学形态学中结构元素的分析研究[J 】．计算机科学，2002，29(7)：113—115．

【6】冈萨雷斯．字图像处理(第二版)【M 】．北京：电子工业出版社，2003．

【7】徐飞，施晓红．M A =11，A B 应用图像处理【M 】．西安：西安电子科技大学出版社，2002

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