上海复旦附中2018-2019年自招真题数学试卷(含答案)
复旦附中自招题
1. 已知a 、b 、c 是一个三角形的三边，则2
2
2
2
2
2
4
4
4
222a c c b b a c b a ---++的值是（ ）
A .恒正
B .恒负
C .可正可负
D .非负
解：选B
222222444222a c c b b a c b a ---++
2
2
2
22
2
4)(c b c b a ---=
)2)(2(2
2
2
2
2
2
bc c b a bc c b a ---+--=
])(][)([2
2
2
2
c b a c b a +---=
))()()((c b a c b a c b a c b a --+++--+= ∵a 、b 、c 是一个三角形的三边，
∴0>-+c b a ，0>+-c b a ，0>++c b a ，0<--c b a ， ∴0))()()((<--+++--+c b a c b a c b a c b a
2. 设m ，n 是正整数，满足mn n m >+，给出以下四个结论：① m ，n 都不等于1；② m ，n 都
不等于2；③ m ，n 都大于1；④m ，n 至少有一个等于1，其中正确的结论是（ ）
A .①
B .②
C .③
D .④
解：选D
由mn n m >+得()()111<--n m
若m ，n 均大于1，则,11,11≥-≥-n m ()()111≥--n m ，矛盾， ∴m ，n 至少有一个等于1。
3. 已知关于x 的方程a x a x +=+2有一个根为1，则实数a 的值为（ ）
A .
251+- B .251-- C .2
5
1±- D .以上答案都不正确 解：选A
将1=x 代入，得12+=+a a ，
两边平方，得012
=++a a ，2
5
1±-=
a ， 当25
1--=
a 时，1=x 不是原方程的根，舍 ∴2
5
1+-=
a 4. 已知a ，
b ，
c 是不完全相等的任意实数，若c b a x +-=2，c b a y 2-+=，c b a z ++-=2，
则关于x ，y ，z 的值，下列说法正确的是（ ）
A .都大于0
B .至少有一个大于0
C .都小于0
D .至多有一个大于0
解：选B
0=++z y x ，
若x ，y ，z 均小于0，则0<++z y x ，矛盾； 故至少有一个大于0。
5. 已知a ，b ，c 不全为无理数，则关于三个数b a +，c b +，a c +，下列说法错误的是（ ）
A .可能均为有理数
B .可能均为无理数
C .可能恰有一个为有理数
D .可能恰有两个为有理数
解：选D
若c b a ,,均为有理数，A 正确； 若2=a ，3=b ，0=c ，B 正确； 若2=
a ，2-=
b ，0=
c ，C 正确;
6. 关于x ，y 的方程组?
??=--+-+=--0)12()2(0
)2)((2
2y x y x y x y x 的实数解有（ ） A .1组 B .2组 C .3组 D .4组
解：选A
由①得0=-y x 或02=-y x ， 由②得02=-+y x 且012=--y x ， ∴只有??
?==1
1
y x 一组解。
7. 为了得到函数2
3x y =的图像，可以将函数1632
+--=x x y 的图像（ ）
A .先关于x 轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位
B .先关于x 轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移4个单位
C .先关于y 轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位
D .先关于y 轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移4个单位
解：选A
由于两个函数二次项系数为相反数，故先关于x 轴对称，得到1632
-+=x x y ，
即()4132
-+=x y ，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位，得到2
3x y =。
8. 若关于x 的方程a b x =--2有四个实数解，则化简
b
b
a a
b a b a b a b a ++--+++的结果是（ ） A .2- B .0 C .2 D .4
x
解：选C
画出b x y --=2和a y =的函数图像， ∵有四个交点，∴ b a <<0， ∴
21111=++-=++--+++b
b
a a
b a b a b a b a 方法二：
∵a b x =--2，
∴a b x =--2或a b x -=--2， ∴b a x +=-2或a b x -=-2， ∵原方程有四个实数解，
∴0>a ，0>+b a ，0>-a b ， ∴0>b ，
∴原式21111=++-=
9. 如果方程0)2)(1(2
=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范
围是（ ）
A .10≤≤m
B .43≥
m C .143≤ 3 ≤≤m 解：选C 设022 =+-m x x 的两根为1x ，2x ， 则?? ? ??≥?<->+011 2121x x x x 解得 14 3 ≤ 隙？（ ） .A 2 种 .B 3种 .C 4种 .D 5种 解：选B 关键是看正多边形的内角和，如果围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角之和恰是一个周角，则可以铺满整个平面而不留缝隙，只有正三角形、正四边形和正六边形可以。 11. 已知对于满足：3<-b a ，4<-c b 的实数c b a ,,，均有k c b a <--2恒成立，则实数k 的最 小值为 （ ） .A 7 .B 8 .C 9 .D 10 解：选D 7<-+-<-+-=-c b b a c b b a c a 102<-+-<--c a b a c b a ，所以k 最小是10 12. 设1)(2 3 4 +-+-=x x x x x f ，则关于)(x f 的性质，正确的一项为 （ ） .A 对任意实数x ，)(x f 总是大于0 .B 对任意实数x ，)(x f 总是小于0 .C 当0>x 时，0)(≤x f .D 以上均不对 解：选A 222234)1()1(1)(x x x x x x x x x f +++-=+-+-=恒大于0 13. 已知实数c b a ,,满足0>>b a ，且0=++c b a ，抛物线02 =++=c bx ax y 在x 轴上截得线段长 度为l ，则l 的取值范围为 （ ） .A 10< 2 2212 212144)(a ac b x x x x x x -=-+=- ∵ 0>a ，)( c a b +-= ∴ a c a c a a ac b a a c b -=-=-=-14422 2 ∵ )(b a c +-= ∴ a b a c +=- 21，∴ 3221<- =-+=--y y y x 。则 2y y x -的值为（ ） 。 0.A 21.B 1.C 2 3 .D 解：选D 2y y x -2 323 2633 ==-+ +=-= y y y y y y y x . 15. 已知二次函数222 -+=ax x y .当自变量x 的取值范围为11≤≤-x ，y 的取值既有正值又有负 值。则实数a 的取值范围为（ ）. 21.≥ a A 21-.≤a B 2 1.≥a C 或21 -≤a .D 以上答案都不正确 解：选D 显然，二次函数与x 轴有两个交点，令交点横坐标为2,1x x ，21x x <。由韦达定理得221-=x x 若1121≤<≤-x x ，则121≤x x 与221-=x x 矛盾， ∴0)1()1(<-?f f ， ∴02 21)(221(<-+--）a a ， ∴21> a 或2 1
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