不等式及其性质(基础)知识讲解
不等式及其性质（基础）知识讲解
【学习目标】
1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.
2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.
3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.
【要点梳理】
要点一、不等式的概念
一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
要点诠释：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
要点二、不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
要点诠释：
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a 而言，x ＞a 或x ≥a 向右画；对边界点a 而言，x ＜a 或x ≤a 向左画．
注意：在表示a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
【高清课堂：一元一次不等式370042 不等式的基本性质】
要点三、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c ．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc (或a b c c
>)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc (或
a b c c <)． 要点诠释：
不等式的基本性质的掌握注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
【典型例题】
类型一、不等式的概念
1．用不等式表示：
(1)x 与-3的和是负数；
(2)x 与5的和的28％不大于-6；
(3)m 除以4的商加上3至多为5．
【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式．
【答案与解析】
解：(1)x -3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)34
m +≤5． 【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x 是非负数，则x ≥0；若x 是非正数，则x ≤0；若x 大于y ，则有x -y ＞0；若x 小于y ，则有x -y ＜0等．
举一反三： 【变式】a a +的值一定是（ ）．
A.大于零
B.小于零
C.不大于零
D. 不小于零
【答案】D
类型二、不等式的解及解集
2.对于不等式4x+7(x-2)＞8不是它的解的是()
A．5 B．4 C．3 D．2
【思路点拨】根据不等式解的定义作答．
【答案】D
【解析】
解：当x＝5时，4x+7(x-2)＝41＞8，
当x＝4时，4x+7(x-2)＝30＞8，
当x＝3时，4x+7(x-2)＝19＞8，
当x＝2时，4x+7(x-2)＝8．
故知x＝2不是原不等式的解．
【总结升华】不等式的解的定义与方程的解的定义是类似的，其判定方法是相同的．
3.不等式x＞1在数轴上表示正确的是()
【思路点拨】根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法画数轴即可．
【答案】C
【解析】
解：∵不等式x＞1
∴在数轴上表示为:
故选C．
【总结升华】用数轴表示解集时，应注意两点：一是“边界点”，如果边界点包含于解集，则用实心圆点；二是“方向”，相对于边界而言，大于向右，小于向左，同时还应善于逆向思维，通过读数轴写出对应不等式的解集．
【高清课堂：一元一次不等式370042练习2】
举一反三：
【变式】如图，在数轴上表示的解集对应的是( )．
A．－2＜x＜4 B.－2＜x≤4 C.－2≤x＜4 D.－2≤x≤4
【答案】B
类型三、不等式的性质
4.如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是( )
A．a+c＞b+c B．c-a＞c-b C．ac＞bc D．a b c c
【思路点拨】根据不等式的性质分析判断．【答案】A
【解析】
解：A 、在不等式的两边同时加上c 不等号方向不变，故本选项正确；
B 、在不等式的两边同时乘以-1，加上c 后不等号方向改变，故本选项错误；
C 、两边同时乘以负数c ，不等号方向改变，故本选项错误；
D 、两边同时除以负数c ，不等号方向改变，故本选项错误；
【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．
举一反三：
【变式】三角形中任意两边之差与第三边有怎样的关系？ 【答案】
解：如图，设c ,b ,a 为任意一个三角形的三条边，则：
b a
c ,a c b ,c b a >+>+>+
移项可得：a b c ,c a b ,b c a ->->->
即：三角形两边的差小于第三边．
高中不等式知识点总结
1．不等式的解法 （1）同解不等式（(1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解； （2）m f x g x >>0，()()与mf x mg x ()()>同解， m f x g x <>0，()()与mf x mg x ()()<同解； （3） f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解）； 2．一元一次不等式 ax b a a a >?>=≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之，还要注意?=-b ac 2 4的三种情况，即?>0或 ?=0或?<0，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。 一般地有： |f(x)|
(完整版)不等式及其基本性质知识点复习及例题讲解
不等式的概念及其基本性质 一、知识点复习： 1. 用 不等号 连接起来的式子叫不等式；常见的不等号有“>，≥，<，≤，≠”。 2．不等式的基本性质： （1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 如果a b >，那么c b c a +>+，c b c a ->-； （2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果)0(>>c b a ，那么ac bc >，a b c c >； （3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果)0(<>c b a ，那么bc ac <， c b c a <； （4）如果a b >，那么b a <； （5）如果a b >，b c >，那么a c >。 二、经典题型分类讲解： 题型1：考察不等式的概念 1. （2017春金牛区校级月考）式子：①02>；②14≤+y x ；③03=+x ；④7-y ；⑤35.2>-m 。其中不等式有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 题型2：考察不等式的性质 2.（2017连云港四模）已知b a >，下列关系式中一定正确的是（ ） A 、22b a < B 、b a 22< C 、22+<+b a D 、b a -<- 3. 若0a b <<，则下列式子：12a b +<+ , 1a b > , a b ab +< , 11a b <,其中正确的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4．下列说法不一定成立的是（ ） A ．若a b >，则a c b c +>+ B ．若a c b c +>+，则a b > C ．若a b >，则22ac bc > D ．若22ac bc >，则a b >
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劳动保障协理员基础知识重点 第一章职业道德 1、概念：职业道德是从事一?定职业的人们在职业活动中所应遵循的道德原则和行为规范的总和。 2、职业道德的主要内容 主要包括职业道德概念、职业道德原则、职业道德行为规范、职业守则、职业道德评价、职业道德修养等。 （为人民服务）是社会主义职业道德的核心，（集体主义）是社会主义职业道德的基本原则。 3、职业道德的基本特征 1）鲜明的职业性2）内容、形式的多样性3）较强的适用性4）相对的稳定性和连续性 4、职业道德的作用 1）培养具有职业道德品质的劳动者，促进事业发展 2）调整职业关系，为共同的目标努力奋斗 3）有助于个人的提高和发展，在职业实践中实现人生价值 4）有助于提高整个社会的道德风尚 5、职业道德修养的概念 修养是一?个合成词，“修”原意是指学习、锻炼、陶冶和提高，“养”原意是指培养、养育和熏陶。修养是指一?个人的素质经过长期锻炼或改造，所达到的一?定结果和水平。 职业道德修养是指从业人员在道德意识、道德行为方面的自我锻炼、自我改造和自我提高, 在职业实践中形成的道德品质以及应达到的职业道德境界。 6、严格执行国家、地方的劳动保障法律、法规和有关政策 1）劳动保障法律、法规和政策，是国家和人民群众根本利益的重要保证 2）执行政策，注重落实，是劳动保障协理员职业道德的重要内容 7、热爱本职，钻研业务，保持勤奋、求实、创新的工作作风，不断提高工作效能和服务质量 1）（“乐业”）是热爱本职的基础2）（“勤业”）就是要做到忠于职守，尽职尽责 3）（“精业”）就是要做到钻研业务，就是创新 8、以人为本，乐于奉献，做到文明礼貌，优质服务 1）以人为本的内涵2）乐于奉献，积极为辖区居民和用工单位提供便捷、优质的服务 3）举止文明，礼貌待人 9、顾全大局、团结协作，工作上互相支持配合 1）顾全大局的内涵和意义2）团结协作是劳动保障事业成功的保证 10、遵纪守法，廉洁奉公，坚决抵制不正之风 1）遵纪守法的含义2）廉洁奉公的含义 3）劳动保障协理员遵纪守法、廉洁奉公的基本要求 （1）“以遵纪守法为荣，以违法乱纪为耻”。严以律己，从我做起，从小事做起，养成遵纪守法、廉洁奉公的良好习惯 （2）要认真学习相关法律、法规和劳动保障协理员职业守则，提高遵纪守法的自觉性，在工作中严格要求自己，做到遵纪守法、廉洁奉公 （3）严禁以权谋私，利用职权“吃、拿、卡、要”，利用岗位之便搞等价交换、互相利用, 甚至权钱交易，拉关系、走后门等。接受群众监督，以主人翁的责任感，维护法律尊严，洁身 自好，坚决抵制一?切不正之风 第二章劳动就业 11、就业的概念 就业是指在法定劳动年龄内，具有劳动能力的人员，依法从事获得相应的劳动报酬或经营收
劳动防护用品基本知识
劳动防护用品基本知识 （第二季度培训教材） 第一节基本概念与分类 一、概念与用品分类 所谓劳动防护用品，是指职工在生产过程中为免遭或减轻事故伤害和职业危害，个人随身穿（佩）戴的用品，简称防护品。劳动防护品分为，特种防护用品和一般防护用品两种。 1、特种防护用品：是指职工在劳动过程中预防或减轻严重伤害和职业危害的劳动防护用品。 2、一般防护用品：除了特种防护用品以外的防护用品。 二、防护部位分类 1、头部防护用品 头部防护普遍采用安全头盔和头部保护器，即安全帽。通常没有帽███。他们的功能是提供对阳光、雨水和对头部冲击的防护。头部保护器对重装的防护能力是相当局限的，它主要是在有限的空间中提供对冲撞击的保护，因此它代替不了安全头盔。安全头盔的使用寿命在3年左右，当过长地暴露在紫外线下或者收到反复冲击时，其寿命还会缩短。 2、呼吸器官防护用品 呼吸保护装置一般分为两大类：一类是过滤呼吸保护器，它通过讲空气吸入过滤装置去除污染而使空气净化；另一类是提供气式呼吸保护器，它是通过一个未受污染的外部气源，向佩戴者提供洁净空气
的装置。绝大多数设备尚不能提供完全的保护，总有少量的污染物补课避免地吸入呼吸区。
（1）过滤式呼吸保护器 过滤式呼吸保护器有5类： 口罩：覆盖鼻子和嘴，由可以去除污染的过滤材料制成。 半面罩呼吸保护器：覆盖鼻子和嘴部位的面罩，用橡皮或塑料制成，带有一个或多个可拆卸的过滤盒。 全面罩呼吸保护器：覆盖眼、鼻子及嘴部，有课拆卸的过滤罐。 动力空气净化呼吸保护器：用泵讲空气松紧过滤器，在呼吸保护器内形成微正压，防止污染物从缝隙中进入呼吸保护器。 动力头盔呼吸保护器：包括过滤器及装载头盔上的风扇。净化的空气吹到头盔之内供呼吸使用。 需要说明的是，过滤式呼吸保护器在缺氧空气中起不到任何保护作用。 （2）供气式呼吸保护器 供气式呼吸保护器主要有3种： 长管洁净空气呼吸器：它通过未污染的气流提供洁净的空气。 压缩空气呼吸器：压缩气流通过柔性长管向佩戴者提供空气。 在器官上要有过滤装置以出去空气中的氮氧化物及油污。要有面罩或头盔，空气的压力由阀门来减压。 自被气源呼吸器：空气从钢瓶中通过特殊的面罩提供给佩戴者，全套装置均佩戴在操作者身上。
必修五-不等式知识点总结
不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式
1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2112a b a b +≥+（当 a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结： ①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? ②无理不等式：转化为有理不等式求解 ()0()0()()f x g x f x g x ?≥????≥?? ?>? 定义域 ???<≥?????>≥≥?>0 )(0)()] ([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ??? ??<≥≥?<2 )] ([)(0 )(0 )()()(x g x f x g x f x g x f
基本不等式知识点和基本题型
基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则22111 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则22222 ()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：2222222 1231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：2 2 2 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6、选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、选修4—5：不等式选讲： 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2 23322-≥- 题型二：利用不等式求函数值域
3.7劳动保障基础知识考试
劳动保障基础知识考试 一、填空题（每小题1 分，共15 分） 1.《劳动法》于1995 年1 月1 日施行，《劳动合同法》于2008 年 1 月 1 日起施行。 2. 《劳动合同法》的立法宗旨是：完善劳动合同制度，明确劳动合同双方当事人的权利和义务，保护劳动者的合法权益，构建和发展和谐稳定的劳动关系。 3. 用人单位自用工之日起与劳动者建立劳动关系。 4. 《就业促进法》中规定：国家鼓励各类企业在法律、法规规定的范围内，通过兴办产业或者拓展经营，增加就业岗位。 5. 《劳动合同法》调整的劳动关系是一种 6. 用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付2 倍的工资。 7. 用人单位安排加班不支付加班费的，由劳动行政部门责令限期支付；逾期不支付的，有关部门责令用人单位按应付金额50％以上1 倍以下的标准向劳动者加付赔偿金。 8. 就业援助是国家采取措施，通过公益性岗位安置等途径，对就业困难人员实行优先扶持和重点帮助。 9. 《就业促进法》规定，劳动者依法享有享有平等就业和自主择业的权利。劳动者就业，不因民族、种族、性别、宗教信仰等不同而受歧视。 10. 订立劳动合同双方应遵循平等自愿、协商一致、诚实信用原则协商确定。 11. 用人单位工作日安排劳动者延长工作时间的，支付不低于工资的150%的工资报酬；在法定休假日安排劳动者工作的，支付不低于工资的300%的工资报酬。 12. 无固定期限劳动合同是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。 13. 用人单位与劳动者约定的劳动报酬不得低于当地最低工资标准，也不得低于集体
合同中约定的劳动报酬水平。 14. 劳动保障监察遵循公正、公开、高效、便民的原则。 15.《劳动保障监察条例》中规定：劳动保障监察员应当忠于职守,秉公执法,勤政廉洁,保守秘密。 二、单项选择题（在每小题列出的四个备选项中只有一个是正确的，请将正确项的代码填写在题干的括号内。每小题 1 分，共15 分。） 1. 用人单位自用工之日起满（）不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。 A.6 个月 B. 1 年 C.3 年 D.10 年 2. 非全日制用工，是指以小时计酬为主，劳动者在同一用人单位一般平均每日工作时间不超过4 小时，每周工作时间累计不超过（）小时的用工形式。 A. 36 B. 24 C.8 D. 28 3. 国家对从事涉及公共安全、人身健康、（）等特殊工种的劳动者，实行职业资格证书制度。 A.国家财产 B.消费者利益 C.生命财产安全 D.国家重大工程
不等式知识点整理
元一次不等式和一元一次不等式组 概念： 定义1：一般地，用符号“V” （或“W”），“>”（或“》”）连接的式子叫做不等式。 定义2：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。（不等式的解有时有无数个，有时有有限个，有时无解。）定义3：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。 定义5：左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的不等式，叫做一元一次不等式。 定义6：一般地, 关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起, 就组成一个一元一次不等式组。 定义7：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 定义8：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 基本性质： 等式的基本性质”和“不等式的基本性质” 1）等式的基本性质：等式基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个整式，等式仍旧成立女口果a=b, 那么a± c=b± c 等式基本性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，等式仍旧成女口果a=b，那么ac=bc, a*c = b*c （c工0）2）不等式的基本性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些异同点不等式的基本性质有三条，等式的基本性质有两条；两个性质中在两边都加上（或都减去）同一个整式时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个正数时，结果相似；在两边都乘以（或除以）同一个负数时，结果不同 三、相关知识归纳： 一）、将不等式的解集表示在数轴上时，要注意：1、指示线的方向, “>”向右, “<”向左. 2、不等式的解集在数轴上表示时，当解集的符号是“》”或“W”时，用实心圆点表示，当解集的符号是“>”或“V”时，用空心圆圈表示。 3、不等式的解与解集的联系与区别: 二者的区别在于, 不等式的解是指能使不等式成立的每一个值; 不等式的解集是指所有解的全体。联系是不等式的所有解组成一个解集, 或者说不等式的解集包含不等式的每一个解。 4、将不等式的解集表示在数轴上,一般分三步:一是正确地画数轴,注意数轴的三要素;二是确定界点,注意区分实心圆点还是空心圆圈;三是辨别方向,大于指向界点的右方, 小于指向界点的左方。 二）、解一元一次不等式的一般步骤： 1）去分母不等式性质2或3 注意： ①勿漏乘不含分母的项； ②分子是两项或两项以上的代数式时要加括号； ③若两边同时乘以一个负数，须注意不等号的方向要改变 2）去括号——去括号法则和分配律 注意： ①勿漏乘括号内每一项； ②括号前面是“-”号，括号内各项要变号 3）移项——移项法则（不等式性质1） 注意：移项要变号.
基本不等式学习知识梳理
基本不等式 【考纲要求】 1. 2 a b +≤ 的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2. 2 a b +≤ 解决最大（小）值问题. 3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【知识网络】 【考点梳理】 考点一：重要不等式及几何意义 1．重要不等式： 如果,R a b ∈，那么2 2 2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 2．基本不等式： 如果,a b 是正数，那么 2a b +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 要点诠释：22 2a b ab +≥ 和2 a b +≥ （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”。 （3）2 2 2a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b ab +≥可以变形为：2()2 a b ab +≤. 3.如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD . 易证~Rt ACD Rt DCB ??，那么2 CD CA CB =?，即CD ab = . 这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2 ，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立. 要点诠释：1.在数学中，我们称 2 b a +为,a b 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把 2 b a +看作是正数,a b 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 考点二：基本不等式2 a b ab +≤的证明 1. 几何面积法 如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a 、b 22a b +4个直角三角形 的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为2 2 a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所 以：22 2a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有2 2 2a b ab +=。
劳动防护用品安全知识培训记录(正式版)
文件编号：TP-AR-L8757 In Terms Of Organization Management, It Is Necessary To Form A Certain Guiding And Planning Executable Plan, So As To Help Decision-Makers To Carry Out Better Production And Management From Multiple Perspectives. （示范文本） 编订：_______________ 审核：_______________ 单位：_______________ 劳动防护用品安全知识 培训记录(正式版)
劳动防护用品安全知识培训记录(正 式版) 使用注意：该安全管理资料可用在组织/机构/单位管理上，形成一定的具有指导性，规划性的可执行计划，从而实现多角度地帮助决策人员进行更好的生产与管理。材料内容可根据实际情况作相应修改，请在使用时认真阅读。 一、劳动防护用品简介： 劳动防护用品又称个人防护用品，是指劳动者在 劳动中为防御物理、化学、生物等外界因素伤害人体 而穿戴和配备的各种防护用品。个人防护用品供劳动 者个人随身使用，是保护劳动者不受职业危害的最后 一道防线。当劳动安全卫生技术措施尚不能消除生产 劳动过程中的危险及有害因素，达不到国家标准、行 业标准及有关规定，也暂时无法进行技术改造时，使 用护品就成为既能完成生产劳动任务，又能保障劳动 者的安全与健康的唯一手段。
二、劳动防护用品分类： 劳动防护用品按照防护部位一般可分为九类： (1)安全帽类。是用以保护头部，防撞击、挤压等伤害的护具。如安全帽、一般防护帽、防尘帽、防水帽、防寒帽、防静电帽、防高温帽、防昆虫帽等。 (2)呼吸护具类。是用以预防尘肺和职业病的重要护具。如防毒面具、过滤式防毒面具、滤毒罐(盒)、防尘口罩、复式防尘口罩、过滤式防微粒口罩、长管面具等。 (3)眼防护类。是用以保护作业人员眼睛、面部，防止外来伤害的护具。如电焊面罩、焊接镜片及护目镜、一般眼镜、防冲击眼护具、有机防护眼镜等。 (4)听力防护类。是用以保护听力的护具。如耳塞、耳罩、耳帽等。
基本不等式知识点归纳
向量不等式： 【注意】：同向或有； 反向或有； 不共线.(这些和实数集中类似) 代数不等式： 同号或有； 异号或有. 绝对值不等式： 双向不等式： （左边当时取得等号，右边当时取得等号.） 放缩不等式： ①，则. 【说明】：（，糖水的浓度问题）. 【拓展】：. ②，，则； ③，； ④，. ⑤,. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞； 单调递减区间：(0, ，[0). 基本不等式知识点总结 重要不等式
1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)． 【变形】：①（当a = b 时，） 【注意】： ， 2、均值不等式： 两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均” *.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ）; 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） *.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）： （，）； *不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时， ab b a 222≥+同时除以ab 得 2≥+b a a b 或b a a b -≥-11。 *,,b a 均为正数，b a b a -≥22 八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2 )2(b a ab +≤； ③2)2( 222b a b a +≤+ ④)(22 2 b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则b a b a +≥+4 11；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11( 2≥+； ⑧ 若0≠ab ，则2 22)11(2111b a b a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“ b a =”。 最值定理 （积定和最小）
不等式知识点不等式基础知识
不等式的知识要点 1.不等式的基本概念 2.不等式的基本性质 （1）a b b a （对称性） （2）c a c b b a >?>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+?>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>> 0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>? <（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)(0*2N n a n ∈≥（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）非负式：0,0||,2≥≥∈a a R a 则若；.0,0≥≥a a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）二元均值不等式：如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b +（当仅当a=b 时取等号） 常用为：a b +≥a=b 时取等号），2()2 a b ab +≤（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. 不等式链：如果a ,b 都是正数，那么 2 112a b a b +≤+（当仅当a=b 时取等号） ,3 a b c a b c R +++∈(4)三元均值不等式：若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b a ab a b >+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 4.几个著名不等式 （1）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则 若n n n n n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ΛΛΛΛΛΛ332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,
劳动保障基础知识试题
劳动保障基础知识试题 一、辨析题错打“Χ”，对打“√” 1、积极劳动力市场政策和消极劳动力市场政策的主要区别在于，后者主要是对 失业者进行生活救助而不会增加就业岗位，这种政策需要以强大的经济实力做后盾，而且会对失业者重新就业产生一些消极影响。（） 2、我国在计划经济条件下，劳动关系的建立、变更和终止以及在劳动过程中主 体权利义务是以行政方式实现，在市场经济体制条件下则以劳动合同等法律形式实现。（） 3、如果劳动力不投入使用，不和生产资料相结合，不进入劳动过程，便不会产 生劳动关系。（） 4、用人单位解除劳动合同必须提前30天以书面形式通知劳动者本人。（） 5、当劳动争议发生时，当事人双方可以通过向政府各级信访部门反映，以求达 到问题的解决。（） 6、集体协商与集体谈判制度是随着市场经济和社会化大生产的发展而产生，是 劳资双方不断调整劳动关系的必然结果。( ) 7、个人劳动合同的劳动标准可以与集体合同规定的标准不同。( ) 8、工资指导线是指劳动部门根据企业工资情况统计所编制的特定地区、特定行 业和特定职位的工资标准。( ) 9、在劳动年龄内具有劳动能力而没有工作的人员就是失业人员.( ) 10、劳动力供给是指在一定的市场工资率的条件下,愿意提供劳动力的数 量.( ) 11、均衡工资是指劳动力市场上劳动力供给和需求相等时的工资率.( ) 12、劳动力供给的替代效应是指,随着工资率的提高,劳动者因收入增加,而 更多地选择闲暇,用闲暇替代劳动，而减少劳动力的供给.( ) 13、一个地区的劳动力需求是指这一地区众多用人单位需要劳动力的总和 ( ) 14、自然失业率是即使在长期中它本身也不能消除的失业量。（） 15、如果失业率下降，我们就可以肯定，更多的工人有了工作。（） 16、最低工资对于熟练工人市场的影响大于非熟练工人市场。（） 17、工会的存在会提高会员（局内人）的工资，并降低局外人的工资。（） 18、如果工资总是在竞争的均衡时，就绝对没有失业。（） 19、由于“丧失信心的工人”的存在，官方失业率会高估真实失业率。（） 20、失业保障的存在会降低失业率，因为失业津贴的领取者不属于劳动力。（）
防护用品规范
用人单位劳动防护用品管理规范 第一章总则 第一条为规范用人单位劳动防护用品的使用和管理，保障劳动者安全健康及相关权益，根据《中华人民共和国安全生产法》、《中华人民共和国职业病防治法》等法律、行政法规和规章，制定本规范。 第二条本规范适用于中华人民共和国境内企业、事业单位和个体经济组织等用人单位的劳动防护用品管理工作。 第三条本规范所称的劳动防护用品，是指由用人单位为劳动者配备的，使其在劳动过程中免遭或者减轻事故伤害及职业病危害的个体防护装备。 第四条劳动防护用品是由用人单位提供的，保障劳动者安全与健康的辅助性、预防性措施，不得以劳动防护用品替代工程防护设施和其他技术、管理措施。 第五条用人单位应当健全管理制度，加强劳动防护用品配备、发放、使用等管理工作。 第六条用人单位应当安排专项经费用于配备劳动防护用品，不得以货币或者其他物品替代。该项经费计入生产成本，据实列支。 第七条用人单位应当为劳动者提供符合国家标准或者行业标准的劳动防护用品。使用进口的劳动防护用品，其防护性能不得低于我国相关标准。 鼓励用人单位购买、使用获得安全标志的劳动防护用品。 第八条劳动者在作业过程中，应当按照规章制度和劳动防
护用品使用规则，正确佩戴和使用劳动防护用品。 第九条用人单位使用的劳务派遣工、接纳的实习学生应当纳入本单位人员统一管理，并配备相应的劳动防护用品。对处于作业地点的其他外来人员，必须按照与进行作业的劳动者相同的标准，正确佩戴和使用劳动防护用品。 第二章劳动防护用品选择 第十条劳动防护用品分为以下十大类： （一）防御物理、化学和生物危险、有害因素对头部伤害的头部防护用品。 （二）防御缺氧空气和空气污染物进入呼吸道的呼吸防护用品。 （三）防御物理和化学危险、有害因素对眼面部伤害的眼面部防护用品。 （四）防噪声危害及防水、防寒等的听力防护用品。 （五）防御物理、化学和生物危险、有害因素对手部伤害的手部防护用品。 （六）防御物理和化学危险、有害因素对足部伤害的足部防护用品。 （七）防御物理、化学和生物危险、有害因素对躯干伤害的躯干防护用品。 （八）防御物理、化学和生物危险、有害因素损伤皮肤或引起皮肤疾病的护肤用品。 （九）防止高处作业劳动者坠落或者高处落物伤害的坠落防护用品。
不等式知识点整理
不等式知识点整理 一、不等关系： 1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系： 0>-?>b a b a ； 0<-? （自反性） （2）c a c b b a >?>>, （传递性） （3）c b c a b a +>+?> （可加性） （4）bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, （可乘性） （5）d b c a d c b a +>+?>>, （同向加法） （6）bd ac d c b a >?>>>>0,0； （同向乘法） （7）n n n n b a b a n N n b a >>?>∈>>,1,,0。 （同向乘方） 3．常用的基本不等式和重要的不等式 （1）0,0,2≥≥∈a a R a ， 当且仅当0a =取“=”. （2）ab b a R b a 2,,22≥+∈则（当且仅当a b =时取“=”） （3）+∈R b a ,，则ab b a 2≥+（当且仅当a b =时取“=”） 注：2 a b +——集几何平均数. （4）222()22 a b a b ++≥（当且仅当a b =时取“=”） （5）2222()33 a b c a b c ++++≥（当且仅当a b c ==时取“=”） （6）22222()()()a b c d ac bd ++≥+（当且仅当a b c d =时取“=”）（柯西不等式） 4、最值定理：设,0,x y x y >+≥由 （1）如积xy P =为定值，则当且仅当x y =时x y +有最小值 （2）如和x y S +=为定值，则当且仅当x y =时x y ?有最大值2()2 S . 即：积定和最小，和定积最大. 注：运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等. 5．含绝对值的不等式性质： b a b a b a +≤±≤±（注意等号成立的情况）. 二、不等式的证明方法 1．比较法 （1）作差比较法：作差——变形（通分、因式分解等）——判别符号； （2）作商比较法：作商——变形（化为幂的形式等）——与1比大小.（分母要为正的） 2．综合法——由因导果（由前面结论）
初中不等式知识点总结
初中不等式知识点总结 一、不等式的概念 1、不等式 用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2、不等式的解集 对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 三、一元一次不等式 1、一元一次不等式的概念 一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。 2、一元一次不等式的.解法 一般步骤： （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）将 x 项的系数化为 1。 四、一元一次不等式组 1、一元一次不等式组的概念 几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 2、一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集。 （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
第九章不等式与不等式组 一、目标与要求 1.感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上; 2.经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想; 3.通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识;让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域。 二、知识框架 三、重点 理解并掌握不等式的性质; 正确运用不等式的性质; 建立方程解决实际问题，会解"ax+b=cx+d"类型的一元一次方程; 寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型; 一元一次不等式组的解集和解法。 四、难点 一元一次不等式组解集的理解; 弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式; 正确理解不等式、不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上。 五、知识点、概念总结 1.不等式：用符号"<"，">"，"≤"，"≥"表示大小关系的式子叫做不等式。 2.不等式分类：不等式分为严格不等式与非严格不等式。 一般地，用纯粹的大于号、小于号">"，"<"连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于号)"≥"，"≤"连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。 3.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 4.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 5.不等式解集的表示方法： (1)用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式表达出来，例如：x-1≤2的解集是x≤3 (2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形
高中不等式知识点总结(2020年九月整理).doc
1 1．不等式的解法 （1）同解不等式（(1)与同解； （2）与同解，与同解； （3）与同解）； 2．一元一次不等式 情况分别解之。 3．一元二次不等式 或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0????≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。 一般地有： |f(x)|
1 线哪一侧的平面区域。特别地，当0C ≠时，通常把原点作为此特殊点。 （2）有关概念 引例：设2z x y =+，式中变量,x y 满 足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ，求z 的最大值和最 小值。 由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些 平面区域的公共区域。由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当 0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上， 作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大。 由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大， 当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小，所以， max 25212z =?+=，min 2113z =?+=。 在上述引例中，不等式组是一组对变量,x y 的约束条件，这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式，所以又称 为线性约束条件。2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式，叫目标函数。又由于2z x y =+是 ,x y 的一次解析式，所以又叫线性目标函数。 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。 O y x A C 430x y -+= 1x = 35250x y +-=
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