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第八章参数估计习题

第八章参数估计习题
第八章参数估计习题

第八章 参数估计习题

一、 填空题:

1.设总体),(~2σμN X ,n X X X ,,,21 是来自X 的一个样本,参数2,σμ都是未知的,

则μ的矩估计量为 。2

σ的矩估计量为 。 2.设总体),(~2σμN X ,其中2

σ未知,μ已知,n X X X ,,,21 是来自X 的一个样本,

做样本函数如下①∑=-n i i X n 12)(1μ,②2

1])([∑=-n

i i X σμ,③∑=-n i i X X n 12)(1,④

∑=--n i i

X X n 12

)(11,⑤∑=+--n

i i i X X n 121)()

1(21,这些样本函数中,是统计量的有 , 统计量中是的无偏估计量的有 。

3.设某总体X 的密度函数为??

???<<-=其他

,00,

)(2

);(2ααα

αx x x f ,对容量为n 的样本,

参数α的矩估计量为 。

4.假设总体)81.0,(~μξN ,n X X X ,,,21 是来自ξ的样本,测得样本均值5=x ,则置

信度是0.99的μ的置信区间是

5.设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,对总体方差进行估计时,常用的无偏估计量是 。

6.设总体X 在区间],0[θ上服从均匀分布,则未知参数θ的矩法估计量为 。

二、选择题:

1.设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,2

)(,)(σμ==x D x E ,并且和是未知参数,下面结论中是错误的[ ]。

(A )X =1?μ

是μ的无偏估计; (B )12?X =μ是μ的无偏估计; (C )21??μμ比有效; (C )21

)(1∑=-n

i i X n μ是2σ的 极大似然估计量。

2.设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,X 的分布函数);(θX F 含未知参数,则下列结论中,正确的是[ ]。

(A ) 用矩估计法和极大似然估计法求出θ的估计量相同; (B ) 用矩估计法和极大似然估计法求出θ的估计量不同;

(C ) 用矩估计法和极大似然估计法求出θ的估计量不一定相同; (D ) 用极大似然估计法求出的估计量是唯一的;

3.在区间估计中αθθθ-=<<1)??(2

1P 的正确含义是[ ] (A)θ以α-1的概率落在区间)?,?(21θθ内; (B)θ落在区间)?,?(21θθ以外的概率为α; (C)θ不落在区间)?,?(21θθ以外的概率为α; (D)随机区间)?,?(2

1θθ包含θ的概率为α-1。 4.设n X X X ,,,21 独立同分布,2

)(σ=x D ,∑==n i i X n X 11,∑=--=n i i X X n S 1

22

)(11,则[ ]

(A) S 是2

σ的无偏估计; (B) S 是σ的极大似然估计;

(C) S 是σ的相合(一致)估计; (D) S 与X 相互独立。

5.设总体),(~2

σμN X ,其中2

σ未知,则总体均值μ的置信区间长度L 与致信度α-1 的关系是[ ]

(A) 当α-1缩小时,L 缩短; (B) 当α-1缩小时,L 增大; (C) 当α-1缩小时,L 不变; (D) 以上说法都不变。

三、计算题:

1.总体的密度函数为

)0;,1,0();(+∞<<==

-θθθθ

x x

e x

f x

用矩估计量及极大似然法求θ的估计量θ?(设样本容量为n )。

2.设某总体X 的密度函数为??

???>≥=-其他

,00,0,

1);(θθ

θ?θx e x x

,求

(1) θ的极大似然估计量θ?; (2) 判断θ?是否为θ的无偏估计;

3.设某车间生产的螺杆直径服从正态分布),(2σμN ,今随机地从中抽取5只,测得直径分别为22.3 , 21.5 , 22.0 , 21.8 , 21.4 (单位:mm),求直径均值μ的置信度是0.95的置信区间,其中总体标准差0.3。若σ未知,则置信区间又如何?

4.设总体为),(2σμN ,3=σ。如果要求μ的置信度α-1置信区间的长度不超过2,如取水平01.01.0或=α,那么需要抽取的样本容量n 应该分别是多少?

5.一批产品中含有废品,从中随机得抽取60件,发现废品4件,试用矩估计法估计这批产品的废品率。

四、证明题:

1. 设θ?是参数θ的无偏估计,且有0)(>θD ,试证2

不是2

θ的无偏估计。

2. 设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2

σμN 的一个样本,其中μ已知,试证

∑=-=n

i i X n 1

22

)(1?μσ

是2σ的无偏估计和相合估计。

(完整版)统计学习题答案第5章参数估计

第5章 参数估计 ●1. 从一个标准差为5的总体中抽出一个容量为40的样本,样本均值为25。 (1) 样本均值的抽样标准差x σ等于多少? (2) 在95%的置信水平下,允许误差是多少? 解:已知总体标准差σ=5,样本容量n =40,为大样本,样本均值x =25, (1)样本均值的抽样标准差 x σσ5=0.7906 (2)已知置信水平1-α=95%,得 α/2Z =1.96, 于是,允许误差是E = α/2 σ Z 6×0.7906=1.5496。 ●2.某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额,在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。 (3) 假定总体标准差为15元,求样本均值的抽样标准误差; (4) 在95%的置信水平下,求允许误差; (5) 如果样本均值为120元,求总体均值95%的置信区间。 解:(1)已假定总体标准差为σ=15元, 则样本均值的抽样标准误差为 x σσ15=2.1429 (2)已知置信水平1-α=95%,得 α/2Z =1.96, 于是,允许误差是E = α/2 σ Z 6×2.1429=4.2000。 (3)已知样本均值为x =120元,置信水平1-α=95%,得 α/2Z =1.96, 这时总体均值的置信区间为 α/2 x Z 0±4.2=124.2115.8 可知,如果样本均值为120元,总体均值95%的置信区间为(115.8,124.2)元。 ●3.某大学为了解学生每天上网的时间,在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽取36人,调查他们每天上网的时间,得到下面的数据(单位:小时): 3.3 3.1 6.2 5.8 2.3 4.1 5.4 4.5 3.2 4.4 2.0 5.4 2.6 6.4 1.8 3.5 5.7 2.3 2.1 1.9 1.2 5.1 4.3 4.2 3.6 0.8 1.5 4.7 1.4 1.2 2.9 3.5 2.4 0.5 3.6 2.5

参数估计习题课

第21讲 参数估计习题课 教学目的:1. 通过练习使学生进一步掌握矩估计和最大似然估计的计算方法; 2. 通过练习使学生理解无偏性和有效性对于评价估计量标准的重要性; 3. 通过练习使学生进一步掌握正态总体参数的区间估计和单侧置信限。 教学重点:矩估计和最大似然估计,无偏性与有效性,正态总体参数的区间估计。 教学难点:矩估计,最大似然估计,正态总体参数的区间估计。 教学时数:2学时。 教学过程: 一、知识要点回顾 1. 矩估计 用各阶样本原点矩n k i i 11x n k V ==∑ 作为各阶总体原点矩k EX 的估计,1,2,k =L 。若有参 数2g(,(),,)k E X E X E X θ=L ()(),则参数θ的矩估计为 n n n 2i=1i=1i=1 111?(,,,)k i i i X X X n n n θ=∑∑∑L 。 2. 最大似然估计 似然函数1()(;)n i i L f x θθ==∏,取对数ln[()]L θ,从 ln() d d θθ =0中解得θ的最大似然估计θ ?。 3. 无偏性,有效性 当θθ=?E 时,称θ?为θ的无偏估计。 当21?D ?D θθ<时,称估计量1?θ比2 ?θ有效。 二 、典型例题解析 1.设,0()0, 0x e x f x x θθ-?>=?≤?,求θ的矩估计。 解 ,0 dx xe EX x ?+∞ -=θθ设du dx u x x u θ θ θ1 ,1 ,= = = 则0 0011 1()0()u u u EX ue du ue e du e θθθθ+∞+∞--+∞ --+∞????==-+=+-??? ?????=θ 1

统计学第七章、第八章课后题答案

统计学复习笔记 第七章参数估计 一、思考题 1.解释估计量和估计值 在参数估计中,用来估计总体参数的统计量称为估计量。估计量也是随机变量。如样本均值,样本比例、样本方差等。 根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。 2.简述评价估计量好坏的标准 (1)无偏性:是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。 (2)有效性:是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估计量,有更小方差的估计量更有效。 (3)一致性:是指随着样本量的增大,点估计量的值越来越接近被估总体的参数。 3.怎样理解置信区间 在区间估计中,由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差(即置信区间),并不说明置信度,也不给出被调查的人数,这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄(显得“精确”),有误导读者之嫌。在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度(由后面给出的公式),反之亦然。 4.解释95%的置信区间的含义是什么 置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。也就是说,无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%(的区间)包含参数。 不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间,就以为该区间以的概率覆盖总体参数。 5.简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。 1. 估计总体均值时样本量n 为 (z 2 )2 2其中: E z n n E22 其中: E z 2 n 2. 样本量n 与置信水平1- α、总体方差、估计误差E之间的关系为与置信水平 成正比,在其他条件不变的情况下,置信水平越大,所

第八章 参数估计

第八章参数估计 一、思考题 1.什么是参数估计?参数估计有何特点? 2.评价估计量优劣的准则是什么? 3.什么是点估计、区间估计?二者有何联系和区别? 4.确定必要的抽样数目有何意义?必要抽样数目受哪些因素影响? 二、练习题 (一)填空题 1.参数估计的方法有_________和_________。 2.若样本方差(s n21-)的期望值等于总体方差(σ2),则称s n21-为σ2的____________估计量 3.总体参数的估计区间是由_________和_________组成。 4.允许误差是指与的最大绝对误差范围。 5.如果总体平均数落在区间960~1040内的概率是95%,则抽样平均数是 ______,允许误差是______。 6.在同样的精度要求下,不重复抽样比重复抽样需要的样本容量。 x=5,7.设总体X的方差为1,从总体中随机取容量为100的样本,得样本均值 =2.58) 则总体均值的置信水平为99%的置信区间_____________。(Z 0.005 (二)判断题 1( )参数估计就是用样本统计量去估计总体的参数。 2( )随机抽样是参数估计的前提。 3( )参数估计的抽样误差可以计算和控制。 4( )估计量的数学期望等于相应的总体参数值,则该估计量就被称为相应总体参数的无偏估计量。 5( )区间估计就是根据样本估计量以一定的置信度推断总体参数所在的区间范围。

6( )样本统计量n x x s ∑-=22)(是总体参数2σ的无偏估计量。 7( )估计量的有效性是指估计量的方差比其它估计的方差小。 8( )点估计是以样本估计量的实际值直接作为相应总体参数的估计值。 9( )抽样估计的置信水平就是指在抽样指标与总体参数构造的置信区间中, 包含总体参数真值的区间所占的比重。 10( )样本容量一定时,置信区间的宽度随置信水平的增大而减小。 (三)单选题 1.极限误差是指样本统计量和总体参数之间( )。 A.抽样误差的平均数 B.抽样误差的标准差 C.抽样误差的可靠程度 D.抽样误差的最大可能范围 2.参数估计的主要目的是( )。 A.计算和控制抽样误差 B. 为了深入开展调查研究 C.根据样本统计量的数值来推断总体参数的数值 D. 为了应用概率论 3.参数是指基于( )计算的指标值。 A.样本 B.某一个样本 C.多个样本 D.总体 4.总体参数很多,就某一参数(如均值)而言,它的取值( )。 A.是唯一的 B.不是唯一的 C.随样本的变化而变化 D.随抽样组织形式的变化而变化 5.样本统计量很多,就某一统计量(如均值)而言,它的取值( )。 A.是唯一的 B.随样本的变化而变化 C.由总体确定 D.由抽样的组织形式唯一确定 6.以样本均值x 估计正态总体的均值μ时,如果总体方差2σ已知,这时将会需要查阅( )。 A.正态分布表 B.标准正态分布表 C.t 分布表 D.2χ分布表 7.以样本均值x 估计正态总体的均值μ时,如果总体方差2σ未知,这时将会需要查阅( )。

参数估计习题参考答案

参数估计习题参考答案

参数估计习题参考答案 班级:姓名:学号:得分 一、单项选择题: 1、关于样本平均数和总体平均数的说法,下列正确的是( B ) (A)前者是一个确定值,后者是随机变量(B)前者是随机变量,后者是一个确定值 (C)两者都是随机变量(D)两者都是确定值 2、通常所说的大样本是指样本容量( A ) (A)大于等于30 (B)小于30 (C)大于等于10 (D)小于10 3、从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4,16,36的样本,当样本容量增大时,样本均值的标准差将( B ) (A)增加(B)减小(C)不变(D)无法确定 4、某班级学生的年龄是右偏的,均值为20岁,标准差

为 4.45.如果采用重复抽样的方法从该班抽取容量为100的样本,那么样本均值的分布为( A ) (A)均值为20,标准差为0.445的正态分布(B)均值为20,标准差为4.45的正态分布 (C)均值为20,标准差为0.445的右偏分布(D)均值为20,标准差为4.45的右偏分布 5. 区间估计表明的是一个( B ) (A)绝对可靠的范围(B)可能的范围(C)绝对不可靠的范围(D)不可能的范围 6. 在其他条件不变的情形下,未知参数的1-α置信区间,( A ) A. α越大长度越小 B. α越大长度越大 C. α越小长度越小 D. α与长度没有关系 7. 甲乙是两个无偏估计量,如果甲估计量的方差小于乙估计量的方差,则称( D ) (A)甲是充分估计量(B)甲乙一样有效(C)乙比甲有效(D)甲比乙有效 8. 设总体服从正态分布,方差未知,在样本容量和置信度保持不变的情形下,根据不同的样本值得到总体均

参数估计习题参考答案

参数估计习题参考答案 班级: __________ 姓名: ______________ 学号: __________ 得分 ___________ 、单项选择题: 1、关于样本平均数和总体平均数的说法,下列正确的是 (A )增加 (B )减小 (C )不变 (D )无法确定 4. 某班级学生的年龄是右偏的,均值为 20岁,标准差为4.45.如果 采用重复抽样的方法从该班抽取容量 为100的样本,那么样本均值的分布为 (A ) (A )均值为20,标准差为0.445的正态分布(B )均值为20,标准差为4.45的正态分布 (C )均值为20,标准差为0.445的右偏分布(D )均值为20,标准差为4.45的右偏分布 5. 区间估计表明的是一个 (B ) (A )绝对可靠的范围 (B )可能的范围 (C )绝对不可靠的范围 (D )不可能的范围 6. 在其他条件不变的情形下,未知参数的 1-a 置信区间, (A ) C. a 越小长度越小 D. a 与长度没有关系 7. 甲乙是两个无偏估计量,如果甲估计量的方差小于乙估计量的方差,则称 (D ) (A )甲是充分估计量 (B )甲乙一样有效 (C )乙比甲有效 (D )甲比乙有效 8. 设总体服从正态分布,方差未知,在样本容量和置信度保持不变的情形下,根据不同的样本值得到总 体均值的置信区间长度将 (D ) (A )增加 (B )不变 (C )减少 (D )以上都对 9 ?在其他条件不变的前提下,若要求误差范围缩小 1 / 3,则样本容量 (C ) (A )增加9倍 (B )增加8倍 (C )为原来的2.25倍 (D )增加2.25倍 10设容量为16人的简单随机样本,平均完成工作时间 13分钟,总体服从正态分布且标准差为 若想对完成工作所需时间构造一个 90%置信区间,则 (A ) A.应用标准止态概率表查出 z 值 B.应用 t-分布表查出t 值 C.应用一项分布表查出 p 值 D.应用泊松分布表查出 入值 11. 100(1- a % 是 (C ) A.置信限 B.置信区间 C.置信度 D.可靠因素 12. 参数估计的类型有 (D (A )点估计和无偏估计(B )无偏估计和区间估计 (C )点估计和有效估计(D )点估计和区间估计 13、抽样方案中关于样本大小的因素,下列说法错误的是 (C ) A 、总体方差大,样本容量也要大 B 、要求的可靠程度高,所需样本容量越大 (A )前者是一个确定值,后者是随机变量 (B )前者是随机变量,后者是一个确定值 (C )两者都是随机变量 (D )两者都是确定值 2、通常所说的大样本是指样本容量 (A )大于等于30 ( B )小于30 (C )大于等于10 3、从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为 4,16, 36 标准差将 (A ) (D )小于10 的样本,当样本容量增大时,样本均值的 (B ) A. a 越大长度越小 B. a 越大长度越大 3分钟。

参数估计-例题讲解

参数估计-例题讲解

参数估计——借助假设检验操作结果 一、单样本总体均值的区间估计 (2) 二、两独立样本总体均值差的区间估计 (3) 三、两匹配样本总体均值差的区间估计 (5) 四、单样本总体比率区间估计 (6) 五、两个独立样本总体比率差区间估计 (7) 一、单样本总体均值的区间估计 例题: 学校网管中心为合理制定校园网络管理条例,需要掌握每天全校学生的平均上网时间。但由于时间及人力限制,无法就全校10000名学生展开全面调查,因而也无从计算每天全校学生平均上网时间的具体数值。为此,网管中心从全校10000名学生中随机抽取了36名学生,调查他们每天的上网时间,获得样本数据。 由于SPSS软件直接面对的是样本数据,默认为总体方差总是未知的,所以总体均值的区间估计在SPSS中都是通过构造统计量来完成。SPSS软件中,实现单样本总体均值区间估计的过程是单样本检验(One-Sample T Test)。针对表中36名学生每天上网时间的样本数据(见所附数据集“data5_01 36名学生每天上网时间样本数据”),以95%的保证程度进行总体均值的区间估计。

/2 x t n ασ ±? SPSS操作: 单样本检验 检验值= 0 t 自由度显著性(双尾)平均差差值的95% 置信区间下限上限 上网时间12.365 35 .000 3.3166667 2.772142 3.861192 差值的95%的置信区间就是: /2 x t n α σ±? 差值xi→(xi-0),则差值(xi-0)的95%置信区间就是xi的置信区间方法二: 描述性分析—探索 二、两独立样本总体均值差的区间估计 例题:

参数估计习题

第八章 参数估计习题 一、 填空题: 1.设总体),(~2σμN X ,n X X X ,,,21 是来自X 的一个样本,参数2,σμ都是未知的, 则μ的矩估计量为 。2 σ的矩估计量为 。 2.设总体),(~2σμN X ,其中2 σ未知,μ已知,n X X X ,,,21 是来自X 的一个样本, 做样本函数如下①∑=-n i i X n 12)(1μ,②2 1])([∑=-n i i X σμ,③∑=-n i i X X n 12)(1,④ ∑=--n i i X X n 12 )(11,⑤∑=+--n i i i X X n 121)() 1(21,这些样本函数中,是统计量的有 , 统计量中是的无偏估计量的有 。 3.设某总体X 的密度函数为?? ???<<-=其他 ,00, )(2 );(2ααα αx x x f ,对容量为n 的样本, 参数α的矩估计量为 。 4.假设总体)81.0,(~μξN ,n X X X ,,,21 是来自ξ的样本,测得样本均值5=x ,则置 信度是0.99的μ的置信区间是 5.设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,对总体方差进行估计时,常用的无偏估计量是 。 6.设总体X 在区间],0[θ上服从均匀分布,则未知参数θ的矩法估计量为 。 二、选择题: 1.设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,2 )(,)(σμ==x D x E ,并且和是未知参数,下面结论中是错误的[ ]。 (A )X =1?μ 是μ的无偏估计; (B )12?X =μ是μ的无偏估计; (C )21??μμ比有效; (C )21 )(1∑=-n i i X n μ是2σ的 极大似然估计量。

统计学第七章、第八章课后题答案

统计学复习笔记 第七章 参数估计 一、 思考题 1. 解释估计量和估计值 在参数估计中,用来估计总体参数的统计量称为估计量。估计量也是随机变量。如样本均值,样本比例、样本方差等。 根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。 2. 简述评价估计量好坏的标准 (1)无偏性:是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。 (2)有效性:是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估计量,有更小方差的估计量更有效。 (3)一致性:是指随着样本量的增大,点估计量的值越来越接近被估总体的参数。 3. 怎样理解置信区间 在区间估计中,由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差(即置信区间),并不说明置信度,也不给出被调查的人数,这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄(显得“精确”),有误导读者之嫌。在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度(由后面给出的公式),反之亦然。 4. 解释95%的置信区间的含义是什么 置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。也就是说,无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%(的区间)包含参数。 不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间,就以为该区间以的概率覆盖总体参数。 5. 简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。 1. 估计总体均值时样本量n 为 2. 样本量n 与置信水平1-α、总体方差、估计误差E 之间的关系为 其中: 2222α2222)(E z n σα=n z E σα2=

应用回归分析,第8章课后习题参考答案

第8章 非线性回归 思考与练习参考答案 8.1 在非线性回归线性化时,对因变量作变换应注意什么问题? 答:在对非线性回归模型线性化时,对因变量作变换时不仅要注意回归函数的形式, 还要注意误差项的形式。如: (1) 乘性误差项,模型形式为 e y AK L αβε =, (2) 加性误差项,模型形式为 y AK L αβε=+。 对乘法误差项模型(1)可通过两边取对数转化成线性模型,(2)不能线性化。 一般总是假定非线性模型误差项的形式就是能够使回归模型线性化的形式,为了方便通常省去误差项,仅考虑回归函数的形式。 8.2为了研究生产率与废料率之间的关系,记录了如表8.15所示的数据,请画出散点图,根据散点图的趋势拟合适当的回归模型。 表8.15 生产率x (单位/周) 1000 2000 3000 3500 4000 4500 5000 废品率y (%) 5.2 6.5 6.8 8.1 10.2 10.3 13.0 解:先画出散点图如下图: 5000.00 4000.003000.002000.001000.00x 12.00 10.00 8.006.00 y

从散点图大致可以判断出x 和y 之间呈抛物线或指数曲线,由此采用二次方程式和指数函数进行曲线回归。 (1)二次曲线 SPSS 输出结果如下: 从上表可以得到回归方程为:72? 5.8430.087 4.4710y x x -=-+? 由x 的系数检验P 值大于0.05,得到x 的系数未通过显著性检验。 由x 2的系数检验P 值小于0.05,得到x 2的系数通过了显著性检验。 (2)指数曲线

ANOVA .5731.57379.538.000 .0365.007 .6096 Regression Residual Total Sum of Squares df Mean Square F Sig. The independent variable is x. Coe fficients .000.000.9708.918.000 4.003.34811.514.000 x (Constant) B Std. E rror Unstandardized Coefficients Beta Standardized Coefficients t Sig. The dependent variable is ln(y). 从上表可以得到回归方程为:0.0002t ? 4.003 y e 由参数检验P值≈0<0.05,得到回归方程的参数都非常显著。 从R2值,σ的估计值和模型检验统计量F值、t值及拟合图综合考虑,指数拟合效果更好一些。

第八章方差分析与回归分析

第八章 方差分析与回归分析 一、教材说明 本章内容包括:方差分析,多重比较,方差齐性检验,一元线性回归,一元非线性回归.主要讲述方差分析和一元线性回归两节内容. 1、教学目的与教学要求 (1)了解方差分析的统计模型,掌握平方和的分解,熟悉检验方法和参数估计,会解决简单的实际问题. (2)了解效应差的置信区间的求法,了解多重比较问题,掌握重复数相等与不相等场合的方法,会解决简单的实际问题. (3)熟练掌握Hartley 检验,Bartlett 检验以及修正的Bartlett 检验三种检验方法,会解决简单的实际问题. (4)理解变量间的两类关系,认识一元线性和非线性回归模型,熟悉回归系数的估计方法,熟练掌握回归方程的显著性检验.能用R 软件来进行回归分析,会解决简单的实际问题. 2、本章的重点与难点 本章的重点是平方和的分解,检验方法和参数估计、重复数相等与不相等场合的方法、检验方法的掌握,回归系数的估计方法,回归方程的显著性检验,难点是检验方法和参数估计,重复数相等与不相等场合的方法. 实际问题的检验,回归方程的显著性检验. 二、教学内容 本章共分方差分析,多重比较,方差齐性检验,一元线性回归,一元非线性回归等5节来讲述本章的基本内容. §8.1 方差分析 教学目的:了解方差分析的统计模型,掌握平方和的分解,熟悉检验方法和参数估计,会 解决简单的实际问题. 教学重点:平方和的分解,检验方法和参数估计 教学难点:检验方法和参数估计 教学内容: 本节包括方差分析问题的提出,单因子方差分析的统计模型,平方和分解,检验方法,参数估计,重复数不等情形. 8.1.1 问题的提出 在实际工作中经常会遇到多个总体均值的比较问题,处理这类问题通常采用方差分析方法. 例8.1.1 8.1.2 单因子方差分析的统计模型 在例8.1.1中,我们只考察一个因子,称为单因子试验.记因子为A ,设其有r 个水平,记为1r A , ,A ,在每一水平下考察的指标可看做一个总体,故有r 个总体,假定 (1)每一总体均为正态总体,记为2 i i N(,)μσ,i 1,2,,r =; (2)各总体方差相同,即22 2212r σσσσ== ==

参数估计习题

第5章参数估计练习题 一.选择题 1.估计量的含义是指() A.用来估计总体参数的统计量的名称 B.用来估计总体参数的统计量的具体数值 C.总体参数的名称 D.总体参数的具体取值 2.一个95%的置信区间是指() A.总体参数有95%的概率落在这一区间内 B.总体参数有5%的概率未落在这一区间内 C. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中,有95%的区间包含该总体参数。 D.在用同样方法构造的总体参数的多个区间中,有95%的区间不包含该总体参数。 3.95%的置信水平是指() A.总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是95% B.在用同样方法构造的总体参数的多个区间中,包含总体参数的区间比例为95% C.总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是5% D.在用同样方法构造的总体参数的多个区间中,包含总体参数的区间比例为5% 4.根据一个具体的样本求出的总体均值的95%的置信区间() A.以95%的概率包含总体均值 B.有5%的可能性包含总体均值 C.一定包含总体均值 D.要么包含总体均值,要么不包含总体均值 5. 当样本量一定时,置信区间的宽度() A.随着置信水平的增大而减小 B. .随着置信水平的增大而增大 C.与置信水平的大小无关D。与置信水平的平方成反比 6.当置信水平一定时,置信区间的宽度() A.随着样本量的增大而减小 B. 随着样本量的增大而增大 C.与样本量的大小无关 D.与样本量的平方根成正比 7.在参数估计中,要求通过样本的统计量来估计总体参数,评价统计量的标准之一是使它与总体参数的离差越小越好。这种评价标准称为() A.无偏性 B. 有效性 C. 一致性D. 充分性 8、对一总体均值进行估计,得到95%的置信区间为(24, 38),则该总体均值的点估计为() A.24 B. 48 C. 31 D. 无法确定 9. 在总体均值和总体比例的区间估计中,边际误差由() A.置信水平决定 B. 统计量的抽样标准差确定

第八章(第一节极大似然估计)

第八章参数估计 第一节参数的点估计 二、极大似然估计法 极大似然估计最早是由高斯于1821年提出,但一般将之归功于英国统计学家Fisher,R.A,因为Fisher,R.A在1922年证明了极大似然估计的性质,并使得该方法得到了广泛的应用。 这里介绍估计的另一种常用方法-极大似然估计法。 先看一个简单的例子: 某位同学与一位猎人一起外出打猎,一只野兔从前方窜过.只听到一声枪响,野兔应声倒下.如果要你推测,是谁打中的呢?你会如何想呢? 你就会想,只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命

中的概率.看来这一枪有极大的可能是猎人射中的. 这个推断很符合人们的经验事实,这里的“极大的可能”就是“极大似然”之意。 这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想. 极大似然法的基本思想在社会思维意识中常有所体现。例如某地发生了一个疑难案件,警察欲破案或民众推测嫌疑人,一般是将重点集中在作案可能性较大的可疑人身上。 为了说明极大似然估计的原理,我们先来考察一个简单的估计问题。 设袋中装有许多白球和黑球。只知两种球的数目之比为3:1,试判断是白球多还是黑球多。 显然,从袋中任取一球为黑球的

概率p 是41或者43,如果是41 ,则袋中 白球多,如果是4 3 ,就是黑球多。现 在我们从袋中有放回的任取3只球,那么黑球数目X 服从二项分布: x x x p p C p x X P --==33 )1(};{, 3,2,1,0=x ; 4 3 ,41=p 其中p 为取到黑球的概率. 从常识上可以接受这样的判断: (1)若取出的3只中有0只黑球, 3只白球,则我们以较大的把握认为袋中白球多, 应认为是从黑球概率 为4 1 =p 的总体中取来的. (2)若取出的3只中有1只黑球, 2只白球,则我们以较大的把握认为

参数估计习题课

第21讲 参数估计习题课 教学目的:1. 通过练习使学生进一步掌握矩估计和最大似然估计的计算方法; 2. 通过练习使学生理解无偏性和有效性对于评价估计量标准的重要性; 3. 通过练习使学生进一步掌握正态总体参数的区间估计和单侧置信限。 教学重点:矩估计和最大似然估计,无偏性与有效性,正态总体参数的区间估计。 教学难点:矩估计,最大似然估计,正态总体参数的区间估计。 教学时数:2学时。 教学过程: 一、知识要点回顾 1. 矩估计 ) 用各阶样本原点矩n k i i 11x n k V ==∑ 作为各阶总体原点矩k EX 的估计,1,2, k =。若有参 数2g(,(),,)k E X E X E X θ=()(),则参数θ的矩估计为 n n n 2 i=1i=1i=1 111?(,, ,)k i i i X X X n n n θ=∑∑∑。 2. 最大似然估计 似然函数1()(;)n i i L f x θθ==∏,取对数ln[()]L θ,从 ln() d d θθ =0中解得θ的最大似然估计θ ?。 3. 无偏性,有效性 当θθ=?E 时,称θ?为θ的无偏估计。 当21?D ?D θθ<时,称估计量1?θ比2 ?θ有效。 二 、典型例题解析 1.设,0()0, 0x e x f x x θθ-?>=?≤?,求θ的矩估计。 解 ,0 dx xe EX x ?+∞ -=θθ设du dx u x x u θ θ θ1 ,1 ,= = = 则0 0011 1()0()u u u EX ue du ue e du e θθθθ+∞+∞--+∞ --+∞????==-+=+-??? ?????=θ 1

第八章 参数估计习题

第八章 参数估计习题 一、 填空题 1.设总体),(~2σμN X ,n X X X ,,,21 是来自X 的一个样本,参数2,σμ都是 未知的,则μ的矩估计量为 。2 σ的矩估计量 为 。 2.设总体),(~2σμN X ,其中2 σ未知,μ已知,n X X X ,,,21 是来自X 的一 个样本,做样本函数如下①∑=-n i i X n 1 2)(1μ,② 21 ])([∑=-n i i X σμ,③ ∑=-n i i X X n 12)(1,④∑=--n i i X X n 12 )(11,⑤∑=+--n i i i X X n 121)() 1(21,这些样本函数中,是统计量的有 。 3.假设随机变量)1,(~μξN ,n X X X ,,,21 是来自ξ的样本,如果关于置信度是0.95的μ 的置信区间是(9.02,10.98),则样本容量______=n 4.设某总体X 的密度函数为?? ???<<-=其他 ,00, )(2 );(2 ααααx x x f ,对容量为n 的样 本,参数α的矩估计量为 。 5.假设总体)81.0,(~μξN ,n X X X ,,,21 是来自ξ的样本,测得样本均值5=x , 则置信度是0.99的μ的置信区间是 6.设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,对总体方差进行估计时,常用的无偏估计量是 。 7.设总体X 在区间],0[θ上服从均匀分布,则未知参数θ的矩法估计量 为 。

二、选择题 1.设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,2)(,)(σμ==x D x E ,并且和是未知参数,下面结论中是错误的[ ]。 (A )X =1?μ 是μ的无偏估计; (B )12?X =μ是μ的无偏估计; (C )21??μμ 比有效; (C )21 )(1∑=-n i i X n μ是2σ的 极大似然估计量。 2 在区间估计中αθθθ-=<<1)??(2 1P 的正确含义是[ ] (A)θ以α-1的概率落在区间)?,?(2 1θθ内; (B)θ落在区间)?,?(21θθ以外的概率为α; (C)θ不落在区间)?,?(21θθ以外的概率为α; (D)随机区间)?,?(2 1θθ包含θ的概率为α-1。 3.设n X X X ,,,21 独立同分布,2 )(σ =x D ,∑==n i i X n X 1 1, ∑=--=n i i X X n S 1 22 )(11,则[ ] (A) S 是2 σ的无偏估计; (B) S 是σ的极大似然估计; (C) S 是σ的相合(一致)估计; (D) 2 S 与X 相互独立。 4. 假设总体X 的期望值μ的置信度是0.95,置信区间上、下限分别为样本函数 ),,,(21n X X X b 与),,,(21n X X X a ,则该区间的意义是[ ] (A) 95.0)(=<

统计学第七章、第八章课后题答案.doc

统计学复习笔记 第七章 一、 思考题 1. 解释估计量和估计值 在参数估计中,用来估计总体参数的统计量称为估计量。估计量也是随机变量。如样本均值,样本比例、样本方差等。 根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。 2. 简述评价估计量好坏的标准 (1)无偏性:是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。 (2)有效性:是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估计量,有更小方差的估计量更有效。 (3)一致性:是指随着样本量的增大,点估计量的值越来越接近被估总体的参数。 3. 怎样理解置信区间 在区间估计中,由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差(即置信区间),并不说明置信度,也不给出被调查的人数,这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄(显得“精确”),有误导读者之嫌。在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度(由后面给出的公式),反之亦然。 4. 解释95%的置信区间的含义是什么 置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。也就是说,无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%(的区间)包含参数。 不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间,就以为该区间以0.95的概率覆盖总体参数。 5. 简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。 1. 估计总体均值时样本量n 为 2. 样本量n 与置信水平1-α、总体方差、估计误差E 之间的关系为 其中: 2222α2222)(E z n σα=n z E σα2=

第八章(第一节矩估计法)

第八章 参数估计 第一节 参数的点估计 在研究总体X 的性质时,如果知道总体X 的概率分布,那是再好不过了。然而,在许多情况下,对总体的情况知道甚少或只知道部分信息。 在实际问题中遇到的许多总体,根据以往的经验和理论分析可以知道总体X 的分布函数的形式,但分布中的一个或几个参数未知,一旦这些参数确定以后,总体X 的概率分布就完全确定了。例如,总体),(~2 σμN X ,但不知道其中参数μ和2 σ的具体数值,我们要想法确定 参数2 ,μσ 。 设总体X 的分布函数(;)F x θ形式已知,其中θ是未知参数(也可以是未知向量1 2 (,,,)m θθθθ=???)。

试问怎样由样本n X X X ,,,2 1 ???提供的 信息,建立样本的函数即统计量来 对未知参数作出估计? 这类问题,称为参数的估计问题。 参数估计主要有参数的点估计和参数的区间估计。 现从总体X 中抽得一个样本 n X X X ,,,2 1 ???, 相应的一个样本值观察值为 n x x x ,,,2 1 ???; 点估计的问题就是要构造一个适当的统计量12?(,,,)n X X X θ???,用它的观察值12?(,,,)n x x x θ???来估计未知参数θ。 统计量12?(,,,)n X X X θ???称为θ的估计量,12?(,,,)n x x x θ???称为θ的估计值。 在不致混淆的情况下,估计量与估计值统称为估计,并都简记为?θ。

下面介绍参数点估计的两种方法: 矩估计法和极大似然估计。 一、 矩估计法 矩估计是由英国统计学家Pearson,K.于1900年提出的一种参数估计方法,在统计学中有广泛的应用。 例1 若要考察成人的身高分 布情况。 (人类学、遗传变异学、社会学要用。) 每一个人的身高是一个体,全体人的身高构成一个总体。 由于随机因素的影响,不同人的身高一般是不一样的。 由中心极限定理和实际经验知道,人体身高),(~2 σμN X 。

参数估计_例题讲解

参数估计——借助假设检验操作结果 一、单样本总体均值的区间估计 (1) 二、两独立样本总体均值差的区间估计 (2) 三、两匹配样本总体均值差的区间估计 (4) 四、单样本总体比率区间估计 (5) 五、两个独立样本总体比率差区间估计 (7) 一、单样本总体均值的区间估计 例题: 学校网管中心为合理制定校园网络管理条例,需要掌握每天全校学生的平均上网时间。但由于时间及人力限制,无法就全校10000名学生展开全面调查,因而也无从计算每天全校学生平均上网时间的具体数值。为此,网管中心从全校10000名学生中随机抽取了36名学生,调查他们每天的上网时间,获得样本数据。 由于SPSS软件直接面对的是样本数据,默认为总体方差总是未知的,所以总体均值的区间估计在SPSS中都是通过构造统计量来完成。SPSS软件中,实现单样本总体均值区间估计的过程是单样本检验(One-Sample T Test)。针对表中36名学生每天上网时间的样本数据(见所附数据集“data5_01 36名学生每天上网时间样本数据”),以95%的保证程度进行总体均值的区间估计。

/2x t n ασ ±? SPSS 操作: 单样本检验 检验值 = 0 t 自由度 显著性 (双尾) 平均差 差值的 95% 置信区间 下限 上限 上网时间 12.365 35 .000 3.3166667 2.772142 3.861192 差值的95%的置信区间就是: /2x t n ασ ±? 差值xi →(xi-0),则差值(xi-0)的95%置信区间就是xi 的置信区间 方法二: 描述性分析—探索 二、两独立样本总体均值差的区间估计 例题:

参数估计习题参考答案精编版

参数估计习题参考答案 班级:姓名:学号:得分 一、单项选择题: 1、关于样本平均数和总体平均数的说法,下列正确的是( B ) (A)前者是一个确定值,后者是随机变量(B)前者是随机变量,后者是一个确定值 (C)两者都是随机变量(D)两者都是确定值 2、通常所说的大样本是指样本容量( A ) (A)大于等于30 (B)小于30 (C)大于等于10 (D)小于10 3、从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4,16,36的样本,当样本容量增大时,样本均值的标准差将( B )(A)增加(B)减小(C)不变(D)无法确定 4、某班级学生的年龄是右偏的,均值为20岁,标准差为4.45.如果采用重复抽样的方法从该班抽取容量为100的样本,那么样本均值的分布为(A ) (A)均值为20,标准差为0.445的正态分布(B)均值为20,标准差为4.45的正态分布 (C)均值为20,标准差为0.445的右偏分布(D)均值为20,标准差为4.45的右偏分布 5. 区间估计表明的是一个( B ) (A)绝对可靠的范围(B)可能的范围(C)绝对不可靠的范围(D)不可能的范围 6. 在其他条件不变的情形下,未知参数的1-α置信区间,(A ) A. α越大长度越小 B. α越大长度越大 C. α越小长度越小 D. α与长度没有关系 7. 甲乙是两个无偏估计量,如果甲估计量的方差小于乙估计量的方差,则称( D ) (A)甲是充分估计量(B)甲乙一样有效(C)乙比甲有效(D)甲比乙有效 8. 设总体服从正态分布,方差未知,在样本容量和置信度保持不变的情形下,根据不同的样本值得到总体均值的置信区间长度将( D )(A)增加(B)不变(C)减少(D)以上都对 9.在其他条件不变的前提下,若要求误差范围缩小1/3,则样本容量( C )(A)增加9倍(B)增加8倍(C)为原来的2.25倍(D)增加2.25倍 10设容量为16人的简单随机样本,平均完成工作时间13分钟,总体服从正态分布且标准差为3分钟。 若想对完成工作所需时间构造一个90%置信区间,则( A ) A.应用标准正态概率表查出z值 B.应用t-分布表查出t值 C.应用二项分布表查出p值 D.应用泊松分布表查出λ值 11.100(1-α)%是( C ) A.置信限 B.置信区间 C.置信度 D.可靠因素 12.参数估计的类型有( D ) (A)点估计和无偏估计(B)无偏估计和区间估计(C)点估计和有效估计(D)点估计和区间估计 13、抽样方案中关于样本大小的因素,下列说法错误的是( C ) A、总体方差大,样本容量也要大 B、要求的可靠程度高,所需样本容量越大 C、总体方差小,样本容量大 D、要求推断比较精确,样本容量要大 14.在其他条件不变的情况下,提高抽样估计的可靠程度,其精度将(C )(A)增加(B)不变(C)减少(D)以上都对

参数估计习题课复习课程

参数估计习题课

第21讲 参数估计习题课 教学目的:1. 通过练习使学生进一步掌握矩估计和最大似然估计的计算方法; 2. 通过练习使学生理解无偏性和有效性对于评价估计量标准的重要性; 3. 通过练习使学生进一步掌握正态总体参数的区间估计和单侧置信限。 教学重点:矩估计和最大似然估计,无偏性与有效性,正态总体参数的区间估计。 教学难点:矩估计,最大似然估计,正态总体参数的区间估计。 教学时数:2学时。 教学过程: 一、知识要点回顾 1. 矩估计 用各阶样本原点矩n k i i 11x n k V ==∑ 作为各阶总体原点矩k EX 的估计,1,2, k =。若有 参数2g(,(),,)k E X E X E X θ=()(),则参数θ的矩估计为 n n n 2 i=1i=1i=1 111?(,, ,)k i i i X X X n n n θ=∑∑∑。 2. 最大似然估计 似然函数1()(;)n i i L f x θθ==∏,取对数ln[()]L θ,从 ln() d d θθ =0中解得θ的最大似然估计θ ?。 3. 无偏性,有效性 当θθ=?E 时,称θ?为θ的无偏估计。 当21?D ?D θθ<时,称估计量1?θ比2 ?θ有效。 二 、典型例题解析

1.设,0 ()0, 0x e x f x x θθ-?>=?≤?,求θ的矩估计。 解 ,0dx xe EX x ?+∞ -=θθ设du dx u x x u θ θ θ1 ,1 ,= = = 则0 01 1 1()0() u u u EX ue du ue e du e θ θθθ+∞ +∞--+∞ --+∞????==-+=+-? ?? ?????=θ 1 故1EX θ= ,所以x 1?=θ 。 2. 设总体X 在[]b a ,上服从均匀分布,求a 和b 的矩估计。 解 由均匀分布的数学期望和方差知 1 ()()2 E X a b =+ (1) 21()()12 D X b a =- (2) 由(1)解得a EX b -=2,代入(2)得2)22(12 1 a EX DX -= , 整理得2)(3 1 a EX DX -=,解得 ()()a E X b E X ?=-?? =?? 故得b a ,的矩估计为 ??a x b x ?=-? ?=+?? 其中∑=-=n i i x x n 1 22 )(1?σ 。 3.设总体X 的密度函数为(;)! x e f x x θ θθ-= ,求θ的最大似然估计。

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