与圆相关的最值问题(人教A版)
一、单选题(共9道,每道11分)
1.已知点M是直线上的动点,点N为圆上的动点,则
的最小值是( )
A. B.
C. D.
答案:C
解题思路:
试题难度:三颗星知识点:与圆相关的最值问题
2.已知点P在圆上,点Q在圆上,则
的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案:A
解题思路:
试题难度:三颗星知识点:与圆相关的最值问题
3.已知点P在圆上,点Q在直线上上,若的最小值为,则k=( )
A.1
B.-1
C.0
D.2
答案:B
解题思路:
试题难度:三颗星知识点:与圆相关的最值问题
4.从动点向圆作切线,切点为Q,则的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案:B
解题思路:
试题难度:三颗星知识点:与圆相关的最值问题
5.设是圆上的任意点,则的最小值为( )
A.5
B.25
C.4
D.16
答案:D
解题思路:
试题难度:三颗星知识点:与圆相关的最值问题
6.在圆内,过点的最短弦和最长弦分别是AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )
A. B.
C. D.
答案:B
解题思路:
试题难度:三颗星知识点:与圆相关的最值问题
7.已知圆,直线,若直线被圆C截得的弦长最短,则m的值为( )
A. B.
C. D.
答案:A
解题思路:
试题难度:三颗星知识点:与圆相关的最值问题
8.若实数x,y满足,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案:D
解题思路:
试题难度:三颗星知识点:与圆相关的最值问题
9.已知圆,点,P是圆C上的动点,当
取最大值时,点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
答案:C
解题思路:
试题难度:三颗星知识点:与圆相关的最值问题
半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直 例1 如图,在△ ABC中,AB=AC,以AB为直径的O O交BC于D,交AC于E, B为切点的切线交OD延长线于F. 求证:EF与O O相切. 例2 如图,AD是/ BAC的平分线,P为BC延长线上一点,且PA=PD. 求证:PA与O O相切. 证明一:作直径AE,连结EC. ?/ AD是/ BAC的平分线, ???/ DAB= / DAC. ?/ PA=PD , ???/ 2=Z 1+ / DAC. ???/ 2=Z B+ / DAB , ???/ 仁/ B. 又???/ B= / E, ???/ 仁/ E ?/ AE是O O的直径, ?AC 丄EC,/ E+ / EAC=90°. ???/ 1 + / EAC=90°. 即OA丄PA. ? PA与O O相切. 证明二:延长AD交O O于E,连结OA , OE. ?/ AD是/ BAC的平分线, ?BE=C1E, c ? OE 丄BC. ?/ E+/ BDE=900. ?/ OA=OE , ? / E=/ 1.
例5 如图,AB 是O O 的直径,CD 丄AB ,且 OA 2=OD ? OP. 求证:PC 是O O 的切线. 说明: 求证: ?/ PA=PD , ???/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE, ???/ 1 + Z PAD=90 0 即OA 丄PA. ? PA 与O O 相切 此题是通过证明两角互余,证明垂直的,解题中要注意知识的综合运用 如图,AB=AC , AB 是O O 的直径,O O 交BC 于D , DM 与O O 相切. 例4 如图,已知:AB 是O O 的直径,点 C 在O O 上,且/ CAB=30°, BD=OB , D 在AB 的延长线上 求证:DC 是O O 的切线
与圆有关的位置关系 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第2讲与圆有关的位置关系 一、【教学目标】 1. 熟悉点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系,能够将半径与到圆心的距离与之对应. 2. 了解三角形的内心和外心及内切圆、外接圆、内接三角形、外切三角形的概念. 3. 了解切线相关的概念,掌握切线长及切线长定理. 二、【教学重难点】 1.教学重点:直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、切线及切线长定理 2.教学难点:灵活应用切线及切线长定理,易错题中对位置关系的全面分析 三、【考点聚焦】 考点一. 点和直线与圆的位置关系 1.点与圆的位置关系 (1).点到圆心的距离(d)、圆的半径(r) 不在同一直线上的三个点确定一个圆.(圆心怎么找) 注意:经过三角形三个顶点可以画一个圆,并且只能画一个. (3).经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形(三角形三条边的垂直平分线的交点).
2.直线与圆的位置关系 (1) r为圆的半径,d为圆心到直线的距离: 考点二. 切线及切线长定理 3.圆的切线 (1)定义:和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线,这个公共点叫切点. (2)切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. (3)切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 推论:①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点,②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 4.切线长定理 (1)切线长定义:圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. (2)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. 注意:切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量. 5.三角形的内切圆:与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆. 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.这个三角形叫做圆的外切三角形. 注意:三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点. 6.三角形外心、内心有关知识比较
人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含 答案 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
圆 24.1.1圆 知识点一圆的定义 圆的定义:第一种:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心,线段OA叫作半径。第二种:圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知:第一种定义是圆的形成进行描述的,第二种是运用集合的观点下的定义,但是都说明确定了定点与定长,也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 (1)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫作直径。 (2)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。 (3)等圆:等够重合的两个圆叫做等圆。 (4)等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段,弧是曲线,判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中,只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧,而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 (1)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。如图所示,直径为CD,AB是弦,且CD⊥AB, A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 如上图所示,直径CD与非直径弦AB相交于点M, CD⊥ABAM=BMAC=BC AD=BD 注意:因为圆的两条直径必须互相平分,所以垂径定理的推论中,被平分的弦必须不是直径,否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系(1)弦、弧、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。 (2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量也相等。 (3)注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件,如果丢掉这个条件,即使圆心角相等,所对的弧、弦也不一定相等,比如两个同心圆中,两个圆心角相同,但此时弧、弦不一定相等。
老师 姓名 汪小勇学生姓名李亿兴教材版本北师大 学科 名称 数学年级9 上课时间2014.04.05(08:00-10:00) 课题 名称 圆的有关证明 教学 重点 圆的切线证明 教学过程知识梳理 一、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 知识点一:判定切线的方法: (1)若切点明确,则“连半径,证垂直”。 常见手法有:全等转化;平行转化;直径转化;中线转化等;有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直; (2)若切点不明确,则“作垂直,证半径”。 常见手法:角平分线定理;等腰三角形三线合一,隐藏角平分线; 方法一:若直线l过⊙O上某一点A,证明l是⊙O的切线,只需连OA,证明OA⊥l就行了,简称“连半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直. 例1如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,交AC于E,B为切点的切线交OD延长线于F. 求证:EF与⊙O相切. 变式1 如图,AD是∠BAC平分线,P为BC延长线上一点,且PA=PD. 求证:PA与⊙O相切.
例2 如图,AB=AC ,AB 是⊙O 的直径,⊙O 交BC 于D ,DM ⊥AC 于M 求证:DM 与⊙O 相切. 变式2、如图,已知:AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,且∠CAB=300,BD=OB ,D 在AB 的延长线上.求证:DC 是⊙O 的切线 方法二:若直线l 与⊙O 没有已知的公共点,又要证明l 是⊙O 的切线,只需作OA ⊥l ,A 为垂足,证明OA 是⊙O 的半径就行了,简称:“作垂直;证半径”(一般用于函数与几何综合题) 例3:如图,AB=AC ,D 为BC 中点,⊙D 与AB 切于E 点. 求证:AC 与⊙D 相切. 与圆有关的计算典型基本图型: 图形1:如图:Rt ⊿ABC 中,∠ACB=90°。点O 是AC 上一点,以OC 为半径作⊙O 交AC 于点E ,基本结论有: 图2E G O F D C B A 图1 E O D C B A
与圆的切线有关的计算与证明(1) 类型之一与切线的性质有关的计算或证明 【经典母题】 如图Z12-1,⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P,C为切点,若∠P =30°,⊙O的半径为1,则PB的长为__1__. 图Z12-1 经典母题答图 【解析】如答图,连结OC. ∵PC为⊙O的切线,∴∠PCO=90°, 在Rt△OCP中,∵OC=1,∠P=30°, ∴OP=2OC=2, ∴PB=OP-OB=2-1=1. 【思想方法】(1)已知圆的切线,可得切线垂直于过切点的半径;(2)已知圆的切线,常作过切点的半径,得到切线与半径垂直. 【中考变形】 [2017·天津]已知AB是⊙O的直径,AT是⊙O的切线,∠ABT=50°,BT交⊙O于点C,E是AB上一点,延长CE交⊙O于点D. (1)如图Z12-2①,求∠T和∠CDB的大小; (2)如图②,当BE=BC时,求∠CDO的大小. 图Z12-2
解:(1)如答图①,连结AC, ∵AT是⊙O的切线,AB是⊙O的直径, ∴AT⊥AB,即∠TAB=90°, ∵∠ABT=50°,∴∠T=90°-∠ABT=40°, 由AB是⊙O的直径,得∠ACB=90°, ∴∠CAB=90°-∠ABC=40°,∴∠CDB=∠CAB=40°; 中考变形答图①中考变形答图② (2)如答图②,连结AD, 在△BCE中,BE=BC,∠EBC=50°, ∴∠BCE=∠BEC=65°,∴∠BAD=∠BCD=65°, ∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD=65°, ∵∠ADC=∠ABC=50°, ∴∠CDO=∠ODA-∠ADC=65°-50°=15°. 【中考预测】 [2017·宿迁]如图Z12-3,AB与⊙O相切于点B,BC为⊙O的弦,OC⊥OA,OA与BC相交于点P. (1)求证:AP=AB; (2)若OB=4,AB=3,求线段BP的长. 图Z12-3 中考预测答图 解:(1)证明:∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC, ∵AB是⊙O的切线,∴OB⊥AB,
2015圆的有关证明及计算 1.如图,直线AB与O O相切于点A,弦CD // AB,E,F为圆上的两点,且/ CDE= / ADF .若 O 0的半径为2j2 , CD=4.求弦EF的长. 2.如图,直线I与半径为4的O 0相切于点A, P是O 0上的一个动点(不与点A重合),过点P作PB丄I,垂足为B,连接PA.设PA=x, PB=y. 求(X- y)的最大值. 3.如图,已知AB为O 0的直径,AB=2, AD和BE是圆0的两条切线,A、B为切点,过 圆上一点C作O 0的切线CF,分别交AD、BE于点M、N, 求AM的长. 4.如图,O O的直径AB为10cm,弦BC为5cm, D、E分别是/ ACB的平分线与O 0, AB 的交点,P为AB延长线上一点,且PC=PE. (1)求AC、AD的长;
(2)试判断直线PC与O 0的位置关系,并说明理由. P
5.如图,点D在O O的直径AB的延长线上,点C在O O上,AC=CD , / ACD=120 ° (1)求证:CD是O O的切线; (2)若O O的半径为2,求图中阴影部分的面积. 6.如图,O O与RtA ABC的斜边AB相切于点D,与直角边AC相交于E、F两点,连结DE , 已知/ B=30 ° O O的半径为12,弧DE的长度为4 n 求证:DE // BC; (2) 若AF=CE,求线段BC的长度. 7.如图,在RtA ABC中,/ ACB=90 °以AC为直径作O O交AB于点D,连接CD . (1)求证:/ A=/ BCD ; (2)若M为线段BC上一点,试问当点M在什么位置时,直线DM与O O相切?并说明理由.
24.2与圆有关的位置关系知识点 24.2.1 点和圆的位置关系 (1)设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有: 点P在⊙O内则d<r 点P在⊙O上则d=r 点P在⊙O外则d>r (2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆 a、经过三角形三个顶点可以画一个圆,并且只能画一个. b、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆 c、三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。 d、这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 e、三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点,它到三角形三 个顶点的距离相等。 f、锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外. (3)反证法:先假设命题的结论不成立,然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾),由矛盾判定假设不正确,从而得到原命题成立,这种方法叫做反证法. 反证法常用于解决用直接证法不易证明或不能证明的命题,主要有: a、命题的结论是否定型的; b、命题的结论是无限型的; c、命题的结论是“至多”或“至少”型的.
24.2.2 直线和圆的位置关系 (1)直线与圆相离 <=> d>r 直线与圆相切 <=> d=r 直线与圆相交 <=> d 九年级圆测试题 一、选择题(每题3分,共30分) 1.如图,直角三角形ABC 中,∠C =90°,AC =2,AB =4,分别以AC 、BC 为直径作半圆,则图中阴影的面积为 ( ) A 2π-3 B 4π-43 C 5π-4 D 2π-23 2.半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 ( ) A 1∶2∶3 B 1∶2∶3 C 3∶2∶1 D 3∶2∶1 3.在直角坐标系中,以O(0,0)为圆心,以5为半径画圆,则点A(3-,4)的位置在 ( ) A ⊙O 内 B ⊙O 上 C ⊙O 外 D 不能确定 4.如图,两个等圆⊙O 和⊙O ′外切,过O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ,A 、B 是切点,则∠AOB 等于 ( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5.在Rt △ABC 中,已知AB =6,AC =8,∠A =90°,如果把此直角三角形绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥,其表面积为S 1;把此直角三角形绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥,其表面积为S 2,那么S 1∶S 2等于 ( ) A 2∶3 B 3∶4 C 4∶9 D 5∶12 6.若圆锥的底面半径为 3,母线长为5,则它的侧面展开图的圆心角等于 ( ) A . 108° B . 144° C . 180° D . 216° 7.已知两圆的圆心距d = 3 cm ,两圆的半径分别为方程0352 =+-x x 的两根,则两圆的位置 O O' A B 第4题图 关系是() A 相交 B 相离 C 相切 D 内含 8.四边形中,有内切圆的是() A 平行四边形 B 菱形 C 矩形 D 以上答案都不对9.如图,以等腰三角形的腰为直径作圆,交底边于D,连结AD,那么() A ∠BAD +∠CAD= 90° B ∠BAD>∠CAD C ∠BA D =∠CAD D ∠BAD <∠CAD B C A . 10.下面命题中,是真命题的有()①平分弦的直径垂直于弦;②如果两个三角形的周长之比为3∶2,则其面积之比为3∶4;③ 圆的半径垂直于这个圆的切线;④在同一圆中,等弧所对的圆心角相等;⑤过三点有且只有一个圆。 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二、填空题(每题3分,共24分) 11.一个正多边形的内角和是720°,则这个多边形是正边形; 12.现用总长为m 80的建筑材料,围成一个扇形花坛,当扇形半径为_______时,可使花坛的面积最大; 13.如图是一个徽章,圆圈中间是一个矩形,矩形中间是一个菱形,菱形的边长 是 1 cm ,那么徽章的直径是; 14.如图,弦AB的长等于⊙O的半径,如果C是? AmC上任意一点,则sinC = ; 与圆有关的证明与计算 1.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,点D 、E 、F 分别在AC 、BC 、AB 的边上,以AF 为直径的⊙O 恰好经过点D 、E ,且DE =EF . (1)求证:BC 是⊙O 的切线; (2)若∠B =30°,求CE CD 的值. 第1题图 (1)证明:如解图,连接OD ,OE ,DF , ∵AF 是⊙O 的直径, ∴∠ADF =90°, ∵∠C =90°, ∴DF ∥BC , ∵DE =EF , ∴DE ︵=EF ︵, ∴OE ⊥DF , ∴OE ⊥BC , ∵OE 是⊙O 的半径, ∴BC 是⊙O 的切线; 第1题解图 (2)解:∵∠B =30°,且OE ⊥BC , ∴∠BOE =60°, ∵OE =OF , ∴△OEF 是等边三角形, ∴∠OEF =60°, 又∵DE =EF ,OE ⊥DF , ∴∠OED =∠OEF =60°, ∴∠CED =30°, ∴∠CDE =60°, 在Rt △CDE 中, ∵tan ∠CDE =tan60°=CE CD =3, ∴ CE CD = 3. 2.如图,在Rt △BGF 中,∠F =90°,AB 是⊙O 的直径,⊙O 交BF 于点E ,交GF 于点D ,AE ⊥OD 于点C ,连接BD . (1)求证:GF 是⊙O 的切线; (2)若OC =2,AE =43,求∠DBF 的度数. 第2题图 (1)证明:∵AB 是⊙O 的直径,∴∠AEB =90°, 又∵∠F =90°, ∴∠AEB =∠F ,∴AE ∥GF , ∵AE ⊥OD ,∴OD ⊥GF , ∵OD 是⊙O 的半径, ∴GF 是⊙O 的切线; (2)解:∵OD ⊥AE , ∴AC =CE =1 2AE =23, ∵OA =OB , ∴OC 是△ABE 的中位线, ∴BE =2OC =4, ∴在Rt △AOC 中,OA =OC 2+AC 2=22+(23)2=4, ∵∠CEF =∠DCE =∠F =90°, ∴四边形CDFE 是矩形, ∴DF =CE =23,EF =CD =OD -OC =4-2=2, ∴BF =BE +EF =4+2=6, ∴tan ∠DBF =DF BF =236=3 3, ∴∠DBF =30°. 3.如图,点C 是⊙O 的直径AB 的延长线上一点,点D 在⊙O 上,且∠DAC =30°,∠BDC =1 2∠ABD . (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若OF ∥AD 分别交BD 、CD 于点E 、F ,BD =2,求OE 、CF 的长. 与圆有关的位置关系(习题) ?巩固练习 1.在数轴上,点A所表示的实数为3,点B所表示的实数为a,⊙A的半径为2.下 列说法中不正确 ...的是() A.当a<5时,点B在⊙A内 B.当1<a<5时,点B在⊙A内 C.当a<1时,点B在⊙A外 D.当a>5时,点B在⊙A外 2.如图,若△ABC的顶点都在⊙P上,则点P的坐标是______. 第2题图第3题图 3.小英家的圆形镜子被打碎了,她拿了如图所示(网格中每个小正方形的边长 均为1)的一块碎片到玻璃店,配制成形状、大小与原来一致的镜面,则这个镜面的半径是__________. 4.已知⊙O1,⊙O2的半径分别是r1=2,r2=4,若两圆相交,则圆心距O1O2可 能取的值是() A.2 B.4 C.6 D.8 5.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=4,⊙O是以AB为直径的圆,则直线 CD与⊙O的位置关系是() A.相离B.相切C.相交D.无法确定 D C B A 第5题图第6题图 6.如图,已知⊙O是以数轴的原点O为圆心,半径为1的圆,∠AOB=45°.点 P在数轴上运动,若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点,设OP=x,则x的取值范围是______. 7.如图,PA,PB是⊙ O的两条切线,切点分别为A,B.如果OP=4,PA= 那么∠AOB=_______. A 第7题图 第8题图 8. 如图,AB 是⊙O 的直径,点D 在线段AB 的延长线上,DC 切⊙O 于点C .若∠A =25°,则∠D =_________. 9. 如图,P A ,PB 是⊙O 的两条切线,切点分别为A ,B ,AC 是⊙O 的直径.若 ∠BAC =35°,则∠P =________. 10. 已知宽为3 cm 的刻度尺的一边与⊙O 相切,另一边与⊙O 的两个交点处的 读数如图所示(单位:cm ),则⊙O 的半径为__________cm . 11. 如图1,将一个量角器与一张等腰直角三角形(△ABC )纸片放置成轴对称 图形,∠ACB =90°,CD ⊥AB ,垂足为D ,半圆(量角器)的圆心与点D 重合,且CE =5 cm .如图2,将量角器沿DC 方向平移2 cm ,半圆(量角器)恰与△ABC 的边AC ,BC 相切,则AB 的长为________cm .(结果保留根号) E C B A A B C D 图1 图2 ? 思考小结 1. 判断与圆有关的位置关系,关键是找准_____和_______,在直线与圆位置关 系中,它们分别代表____________________和_________________. 2. 已知圆锥的母线长为l ,底面圆的半径为r ,借助扇形及其所围成圆锥间的等 量关系,推导圆锥的侧面积公式S =πlr .(写出证明的关键环节) 《圆》 圆是常见的几何图形, 是平面几何中基本的图形之一,它具有独特的性质。本章是在学生在小学学过的圆的知识的基础上,系统研究圆的概念和性质,点与圆、 直线与圆的位置关系、正多边形和圆的关系,以及圆的弧长与面积的计算等问题。 本小节是圆这一章的第一节课,主要是研究圆的概念及其相关概念,本节内容是继续研究圆的性质的基础。教材一开始是让学生观察生活中有关圆的形象的物体,结合小学学过的有关圆的知识,通过用圆规画圆的方法导入圆的定义的。圆的定义方法有两种,一种是描述性定义,一种是集合性定义。圆的描述性定义,要让学生用自己的语言尝试表述,教师可以引导学生通过观察画加深理解;圆的集合定义,应通过观察、体会画圆的过程,引导学生从圆和点两个方面去思考得出圆的集合定义。得出圆的定义后,接着介绍圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧等相关性质。教材中的例1是证明四点共圆,只要证明矩形的四个顶点到对角线的交点距离相等即可,进一步让学生体会圆的集合定义的应用。 【知识与能力目标】 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念; 2.了解等圆、等弧的概念。 【过程与方法目标】 从感受圆在生活中大量存在到圆的概念的形成过程中,让学生体会圆的不同定义方法,感受圆和实际生活的联系。 【情感态度价值观目标】 在探索圆的概念的过程中让学生体会数学知识无处不在,感受生活中处处有数学。 【教学重点】 对圆的两种定义的理解。 【教学难点】 对圆的集合定义的理解。 多媒体课件、教具等。 一、创设情境,引入新课 问题1 观察下列图形,你能从中找出它们的共同特征吗? 追问:你能再举出一些生活中类似的实例吗? 设计意图:让学生观察图形,感受圆和实际生活的密切联系,为学习圆的相关概念打下基础,同时还可以激发学生的学习热情。 二、探索新知,形成概念 问题2 观察下列画圆的过程,你能由此说出圆的形成过程吗? 与圆有关的位置关系(讲义)?知识点睛 1.点与圆的位置关系 d表示__________的距离,r表示___________. ①点在圆外?_____________; ②点在圆上?_____________; ③点在圆内?_____________. 三点定圆定理:_________________________________. 注:三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心. 2.直线与圆的位置关系 d表示__________________的距离,r表示__________. ①直线与圆相交?____________; ②直线与圆相切?____________; ③直线与圆相离?____________. 切线的判定定理:__________________________________ __________________________________________________; 切线的性质定理:__________________________________.*切线长定理:______________________________________ __________________________________________________.注:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆 的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.*3. 圆与圆的位置关系 d表示__________的距离,R表示________,r表示 _________. ①圆与圆外离?_________________; ②圆与圆外切?_________________; ③圆与圆内切?_________________; ④圆与圆内含?_________________; ⑤圆与圆相交?_________________. 4.圆内接正多边形 _______________________________叫做圆内接正多边形,这个圆叫做该正多边形的_________. 正多边形的中心:___________________________________; 正多边形的半径:___________________________________; A 学生姓名: 就读年级: 九年级 任课教师: 教导处签名: 日期: 2017 年 10月 21 日 圆的有关性质 课题圆的有关性质 教学目标1、在探索的过程中,能从两种不同的角度理解圆的概念 2、了解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等于圆有关的概念,理解概念之间的区别与联系。 3、能够通过图形直观地认识弦、弧等概念,能够从具体图形中识别出与圆有关的一些元素。 知识要点及重难点重点:圆的概念的解析与应用难点:圆的有关概念的解析 作业评价 ○好○很好○一般○差备注: 作业布置 学生课后评价(学生填 写)学生对本次课的评价: 1、学习心情:□愉悦□紧张□沉闷 2、学习收获:□很大□一般□没有 3、教学流程:□清晰□一般□混乱 4、其它: 。 家长反馈 签名:日期:年月日一、课前复习 1、旋转 2、中心对称 3、中心对称图形 4、求关于原点对称的点的坐标 二、新课导入 初中阶段我们有几种几何是必须掌握的:三角形,四边形,圆。关于前两个已经在前期的学习中接触过了,那么本章我们将重点学习圆的相关性质以及相关的知识点,本章也是中考内容中的重点部分,所以需要打起精神,认真将知识点掌握并灵活应用起来。 三、新课讲授 圆的有关性质 知识点1圆的定义以及表示方法(重点;理解) 1、描述性定义 在一个平面内,线段OA绕它固定一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆,其中固定的端点O 叫做圆心,线段OA叫做半径。 2、集合性定义 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 3、圆的表示方法 以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O” 命题1圆的定义的理解 例1:下列条件中,能确定圆的是() A. 以已知点O为圆心 B. 以1cm长为半径 C. 经过已知点A,且半径为2cm D. 以点O为圆心,1cm为半径 针对练习: 1、与已知点A的距离为3cm的点所组成的平面图形是______. 命题点2判断四点共圆的问题 例2:矩形的四个顶点能否在同一个圆上?如果不在,说明理由;如果在,指出这个圆的圆心和半径. 中考几何证明题 1、如图:A 是⊙O 外一点,B 是⊙O 上一点,AO 的延长线交⊙O 于C ,连结BC ,∠C =22.50,∠BAC =450。 第 1 题图 C 2. 如图,割线ABC 与⊙O 相交于B 、C 两点,D 为⊙O 上一点,E 为BC 的中点,OE 交BC 于F ,DE 交AC 于G ,∠ADG =∠AGD . ⑴求证:AD 是⊙O 的切线; ⑵如果AB =2,AD =4,EG =2,求⊙O 的半径. . 3.,正三角形ABC 的中心O 恰好为扇形ODE 的圆心,且点B 在扇形内.要使扇形ODE 绕点O 无论怎样转动,△ABC 与扇形重叠部分的面积总等于△ABC 的面积的3 1 ,扇形的圆心角应为多少度?说明你的结论。 4、如图:已知在Rt △ABC 中,∠B =900,AC =13,AB =5,O 是AB 上的点,以O 为圆心,0B 为半径作⊙O 。 (1)当OB =2.5时,⊙O 交AC 于点D ,求CD 的长。 (2)当OB =2.4 时,AC 与⊙O 的位置关系如何?试证明你的结论。 第 4 题图 C B D E 第3 题图 第2题 ⌒ 5、如图:已知A 、D 两点分别是正三角形DEF 、正三角形ABC 的中心,连结GH 、AD ,延长AD 交BC 于M ,延长DA 交EF 于N ,G 是FD 与AB 的交点,H 是ED 与AC 的交点。 (1)写出三个不同类型的、必须经过至少两步推理才能得到的正确结论(不要求写出证明过程); (2)问FE 、GH 、BC 有何位置关系?试证明你的结论。 第 5 C M B D H G A E N F 6.如图(a ),已知直线AB 过圆心O ,交⊙O 于A 、B ,直线AF 交⊙O 于F (不与B 重合),直线l 交⊙O 于C 、D ,交AB 于E ,且与AF 垂直,垂足为G ,连结AC 、AD . 求证:①∠BAD =∠CAG ;②AC ·AD =AE ·AF . (2)在问题(1)中,当直线l 向上平行移动,与⊙O 相切时,其他条件不变. ①请你在图(b )中画出变化后的图形,并对照图(a ),标记字母; ②问题(1)中的两个结论是否成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由. 7. 如图,△ABC 中,∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ,⊙O 过点A ,且和BC 切于D ,和AB 、AC 分别交于E 、F 。 设EF 交AD 于G ,连结DF 。 (1) 求证:EF ∥BC ; (2) 已知:DF =2 ,AG =3 ,求 EB AE 的值。 8、 已知:如图,CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高,且BC =a ,AB =c ,CD =h ,AD =q ,DB =p 。 求证:q p h ?=2 ,c p a ?=2 8 题 · B D C F E A G O 图(a) B O A F D C G E l · B O A 图(b) 第6题· 与圆有关的证明问题 (时间:100分钟总分:100分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给 出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的) 1.已知AB、CD是⊙O的两条直径,则四边形ADBC一定是() A.等腰梯形B.正方形C.菱形 D.矩形 2.如图1,DE是⊙O的直径,弦AB⊥ED于C,连结AE、BE、AO、BO, 则图中全等三角形有() A.3对B.2对C.1对D.0对 (1)(2) (3) (4) 3.垂径定理及推论中的四条性质:①经过圆心;②垂直于弦;③平 分弦;④平分弦所对的弧.由上述四条性质组成的命题中,假命题 是() A.①②?③④B.①③?②④ C.①④?②③D.②③?①④ 4.Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,给出下列三个结论:①以点C为圆心,?长为半径的圆与AB相离;②以点C为圆心,长为半径的圆与AB相切;?③以点C为圆心,长为半径的圆与AB 相交,则上述结论正确的有() A.0个B.1个C.2个D.3个 5.在⊙O中,C是AB的中点,D是AC上的任意一点(与A、C不重合),则() A.AC+CB=AD+DB B.AC+CB 圆的性质及与圆有关的位置关系 一、圆的有关概念 1.与圆有关的概念和性质 (1)圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. (2)弦与直径:连接圆上任意两点的线段叫做弦,过圆心的弦叫做直径,直径是圆内最长的弦.(3)弧:圆上任意两点间的部分叫做弧,小于半圆的弧叫做劣弧,大于半圆的弧叫做优弧. (4)圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角. (5)圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角. (6)弦心距:圆心到弦的距离. 2.注意 (1)经过圆心的直线是该圆的对称轴,故圆的对称轴有无数条; (2)3点确定一个圆,经过1点或2点的圆有无数个. (3)任意三角形的三个顶点确定一个圆,即该三角形的外接圆. 二、垂径定理及其推论 1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合,解题时往往需要添加辅助线,一般过圆心作弦的垂线,构造直角三角形. 2.推论 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧. 三、圆心角、弧、弦的关系 1.定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立. 2.推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 四、圆周角定理及其推论 1.定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 2.推论 (1)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等. (2)直径所对的圆周角是直角. 圆内接四边形的对角互补.在圆中求角度时,通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化;同弧或等弧的圆周角间的转化;连直径,得到直角三角形,通过两锐角互余进行转化等.五、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为d. (1)d O B A 第4题图 D C O 第5题图 C B A O 第6题图 C B A 第8题图 O E D C B A ⑤OP 平分AB. 圆测试题 一、选择题: 1、下列命题:①直径是弦;②弦是直径;③半圆是弧;④弧是半圆.其中真命题有( )。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、如图4,⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于点P ,且点P 是半径OB 的中点,CD =6cm ,则直径AB 的长是( )。 A 、cm B 、4cm C 、2cm D 、4cm 3、如 图5,点A 、B 、C 在⊙O 上, AO ∥BC ,∠OAC =20°, 则 ∠AOB 的度数是( )。 A 、10° B 、20° C 、40° D 、70° 4、如图6,△ABC 三顶点在⊙O 上,∠C =45°,AB =4,则⊙O 的半径是( )。 A 、 B 、2 C 、4 D 、2 5、如图8,AB 是⊙O 的直径,⊙O 过BC 的中点D ,DE ⊥AC 于E ,连结AD ,则下列结论正确的个数是 。 ①AD ⊥BC ;②∠EDA =∠B ;③OA =AC ;④DE 是⊙O 的切线。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6、从⊙O 外一点P 向⊙O 作两条切线PA 、PB ,切点分别为A 、B.下列结论:①PA =PB ;②OP 平分∠APB ;③AB 垂直平分OP ; ④△AOP ≌△BOP ; 其中正确结论的个数是 。 A 、5 B 、4 C 、 3 D 、2 7、若两圆的半径之比为1∶2,当两圆相切时,圆心距为6cm , 则大圆的半径为 。 O 第15题图D C B A 第16题图 O D C B A 第17题图 M B A O D E C B A O A、12cm B、4cm或6cm C、4cm D、4cm或12cm 8、正六边形的边长、外径、边心距的比是。 A、1∶2∶ B、1∶1∶ C、2∶2∶ D、4∶4∶3 二、填空题: 9、P为⊙O内一点,OP=3cm,⊙O的半径为5cm,则经过点P的最短弦长为;最长弦长为。 10、圆的半径为3,则弦AB的取值范围是。 11、如图15,在半圆中,A、B是半圆的三等分点,若半圆的半径为5cm,则弦AB长。 12、如 图16,点D在以AC为直径的⊙O上,如果∠BDC=20°,则∠ACB=。 13、如图17所示,已知∠AOB=30°,M为OB边上一点,以M为圆心,2cm长为半径作⊙M,若点M在OB边上运动,那么当OM= cm时,⊙M与OA相切。 14、直角三角形的两条直角边长是5cm,12cm,则它的外接圆半径R=,内切圆半径r =。 15、半径分别为R cm和r cm的两个同心圆,大圆的弦AB与小圆相切于点C,且AB=8cm,则两圆的环形面积为。 16、已知关于x的一元二次方程x2-2x+=0没有实数根,其中R、r分别为⊙O1和⊙O2的半径,d为两圆圆心距,则两圆的位置关系是。 三、解答题:(本大题共52分) 17、(6分)如图,DE是⊙O的直径,弦AB⊥DE,垂足为点C,已知AB=6,CE=1,求CD 的长。 专题提升五 与圆有关的证明与计算 一、选择题 1.(2016·邵阳)如图所示,AB 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 外一点,CA ,CD 是⊙O 的切线,A ,D 为切点,连结BD ,AD ,若∠ACD =30°,则∠DBA 的大小是( D ) A .15° B .30° C .60° D .75° ,第1题图) ,第2题图) 2.(2016·潍坊)如图,在平面直角坐标系中,⊙M 与x 轴相切于点A(8,0),与y 轴分别交于点B(0,4)和点C(0,16),则圆心M 到坐标原点O 的距离是( D ) A .10 B .8 2 C .413 D .241 3.(2016·昆明)如图,AB 为⊙O 的直径,AB =6,AB ⊥弦CD ,垂足为G ,EF 切⊙O 于点B ,∠A =30°,连结AD ,OC ,BC ,下列结论不正确的是( D ) A .EF ∥CD B .△COB 是等边三角形 C .CG =DG D.BC ︵的长为3 2 π ,第3题图) ,第4题图) 4.(2016·枣庄)如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,∠CDB =30°,CD =23,则阴影部分的面积为( D ) A .2π B .π C.π3 D.2 3 π 二、填空题 6.(2016·黔西南州)如图,AB 是⊙O 的直径,CD 为弦,CD ⊥AB 于E ,若CD =6,BE =1,则⊙O 的直径为__10__. ,第6题图) ,第7题图) 7.(2016·青岛)如图,AB 是⊙O 的直径,C ,D 是⊙O 上的两点,若∠BCD =28°,则∠ABD =__62°__. 8.(2016·成都)如图,△ABC 内接于⊙O ,AH ⊥BC 于点H ,若AC =24,AH =18,⊙O 的 半径OC =13,则AB =__39 2 __. 第二十四章 圆的专题复习 专题一、与圆的切线有关的计算与证明 1.如图, I 是△ABC 的内心,∠ 1+∠ 2=65°,求∠ BAC 的度数. 2.(黄石中考 )如图,⊙ O 的直径 AB =4,∠ ABC = 30°, BC 交⊙O 于D ,D 是BC 的中点. (1) 求 BC 的长; (2) 过点 D 作 DE ⊥ AC ,垂足为 E ,求证:直线 DE 是⊙ O 的切线. 3.如图, AB =BC ,以 AB 为直径的⊙ O 交 AC 于点 D ,过 D 作DE ⊥ BC ,垂足为 E. (1)求 证: DE 是⊙O 的切线; (2)作 DG ⊥ AB 交⊙ O 于G ,垂足为 F ,若∠ A =30°, AB =8,求弦 DG 的长. 分别交于 A ,D 两点,过 C 作CE ⊥BD 于点 E. (1)求证: CE 是⊙ O 的切线; (2)若∠ D =30°,BD =2+2 3,求⊙ O 的半径 r. (1)如图 1,当直线 l 与⊙ O 相切于点 C 时,若∠ DAC =30°,求∠ BAC 的大小; (2)如图 2,当直线 l 与⊙ O 相交于点 E ,F 时,若∠ DAE = 18°,求∠ BAF 的大小. 4.如图所示, MN 是⊙ O 的切线, B 为切点, BC 是⊙ O 的弦且∠ CBN = 45°,过 C 的直线与⊙ O ,MN 5.已知直线 l 与⊙O ,AB 是⊙O 的直径, AD ⊥l 于点 D. 6.如图,⊙ O 是边长为 6 的等边△ ABC 的外接圆,点 D 为BC 的中点,过点 D 作 DE ∥BC ,DE 交 AC 的 延长线于点 E ,连接 AD ,CD. (1)DE 与⊙O 的位置关系是 ________ (2)求△ ADC 的内切圆半径 r. 7.(桂林中考 )如图,四边形 ABCD 是⊙ O 的内接正方形, AB =4,PC ,PD 是⊙ O 的两条切线, C ,D 为 切点. (1)如图 1,求⊙ O 的半径; (2)如图 1,若点 E 是 BC 的中点,连接 PE ,求 PE 的长度; (3) 如图 2,若点 M 是 BC 边上任意一点 (不含 B , C),以点 90°,交直线 CP 于点 N ,求证: AM =MN. 专题二、证明切线的两种常用方法 类型 1 直线与圆有交点 方法归纳: 直线过圆上某一点,证明直线是圆的切线时,只需 “连半径,证垂直,得切线 ”.“ 证垂 直” 时通常利用圆中的关系得到 90°的角,如直径所对的圆周角等于 90°等. 【例 1】 如图,AB =AC ,AB 是⊙ O 的直径,⊙ O 交BC 于D ,DM ⊥AC 于M.求证: DM 与⊙ O 相切. M 为直角顶点,在 BC 的上方作∠ AMN =新人教版九年级圆测试题及复习资料全
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