六年下册奥数试题 最大与最小 全国通用含答案

第八讲最大与最小

在实际生活与生产实践中，人们总是想用最少的财力、物力、人力以及时间等在可能的范围内取得最佳效益。况且，在许多现实问题中有时很难确定或者就不需要具体的每个数值，有时只关心最大、最小等极值。

这一讲就来研究某个量在一定条件下取得最大值或最小值问题。这类问题题目中经常出现“最小”、“至少”、“至多”等术语。经常只能根据具体问题，综合运用所学知识进行求解。例1 某校六年级一班准备用100元钱买圣诞树装饰品。在花店这样的装饰品成束出售，由20朵花组成的花束每束价值4元，由35朵花组成的花束每束价值6元，由50朵花组成的花束每束价值9元，请问每种花束各买多少才能买到最多的花朵？

分析：想用100元钱买到最多的花朵，题目中有三种花束：

A种：由20朵花组成的花束价值4元

B种：由35朵花组成的花束价值6元

C种：由50朵花组成的花束每束价值9元

平均1元钱可买A种花朵5朵或B种花朵5.8朵或C种花朵5.5朵，为了买到最多的花朵，应该多买B种花束

解：经分析可知由35朵花组成的B种花束中的花朵最便宜，宜多买。由于每束6元，故100元钱可买16束，还剩4元钱，这4元钱恰好买一束由20朵花组成的A种花束，这时共买花朵：16×35+20=580（朵），若B种花束少买几束，增加A种或C种花束的数量，都不能使花朵数达到580朵。

因此，应买由35朵花组成的花束16束和由20朵花组成的花束1束，可使花朵数量最多：580朵。

说明：此题也可设A种、B种、C种花束各买x束、y束、z束时，可使花朵最多，列方程：4x+6y+9z=100，x，y，z是自然数

可以先缩小字母的取值范围。例如12元能买3束A种花束或2束B种花束，分别得到60朵花和70朵花，于是很清楚在最优解中A种花束不应超过2束。同理，比较B种花束和C种花束，发现要使花朵最多，C种花束不应超过1束，即x≦2，z≦1，下面只有很少的几种情况了，可以一一列举，同样可以求得x=1，z=0，y=16

例2 有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字恰好是它前面两个数字之和，如134，1459等等，求这类数中最大的自然数和最小的自然数。

分析：要得到最大的自然数，应使得这个自然数的位数尽可能地多。如果最前面的两个数字越大，则按规则构造的位数越少，所以若想按规则构造最大的自然数，前两个数字应取10，这类数中，最小的应是三位数，先考虑百位为1的自然数，若十位数字为a，则个位数字为（a+1），只有当a+（a+1）>9时，即a≥5时，才能保证按规则构造的数是三位数，取a=5。

解：这类数中最大的是10112358，最小的是156。

说明：在自然数中求满足条件的某个量的最值问题（常称离散最值问题）往往解法比较灵活，但只要仔细分析条件，进行深入细致的推理，是不难解决的。这对培养学生的创新思维能力是非常好的材料。

例3 设四个不同的正整数构成的四数组中，最小的数与其余三数的平均值之和为17，而最大数与其余三数的平均值之和为29，在满足上述条件的所有四数组中，找出最大的那个数。

分析：设四个不同的正整数从大到小依次为a，b，c，d，依题意可列出两个方程：

1

将这两个方程变形为：

a=18+d

②-①得：即

dc＞，利用不等式的性质就可以估计d的取值范围了。由a＞b＞ c＞d，依题意有＞b、c、d，且ab＞、解：设此四个正整数分别为：a

即：

a=18+d

即则用这两个方程相减得：d+1

≥≥＞又ab＞c＞d，则bd+2，C由①式得：23 a=18+d≤，即：7+2d≤17d≤5，由此得23 时，当a=23，b=7，c=6，d=5a取得最大值，则前三个较大的说明：（1）本题也可以设这四个数的和为y，最小的数为x，最大的数为s，也可以作类似的讨论。数的平均数为，后三个较小的数的平均数为、b此时还要构造出a≤）（2用不等式求离散最值，如若a23，则有最大值23，（或求出）a、 c、，注意这一步是必不可少的。23d的值，说明确实能取到AE=5FEADAB，厘米的正方形一个边长为 4例如图，10ABCD在两边和上分别有点和点，边上选一点，并与原有的两点连成一个三角形，使三角形的面CD或BCAF=6厘米，厘米，请你在积尽可能地大，求这个三角形面积的最大值。2

的面积比较困难，因此可厘米，直接求△EFG在BC边上，并设BG=x分析：先假设所求的点G FGCD 的面积之和。、△BEG与梯形由已知条件可用正方形的面积减去△AEF=

EFG的面积△

上的情况G在CD类似地可以讨论厘米BC边上，设BG=x解：假设所求的点在 EFG△的面积

=100-15-2.5x-(70-5x)

=15+2.5x

厘米。此时BG=BC=10取最大值就行了。因此G点应取在C点，要使△EFG的面积最大，只要x 10=40（平方厘米）（即△EFC）的面积最大，为15+2.5×△EFG 的面积最大吗？边上还有这样的点在CDK也使得△EFK 厘米，则设DK=y 的面积△EFK

=100-15-2y-（75-5y）=10+3y

K点就是点。C要使△EFK的面积最大，应使y的值最大，y最大为10，此时平方厘米。的面积最大，最大值是40综上所述，所求的点即为C点，△CEF最值点往往在特殊位置取得，或由

极端情形出发，逐步调整到最值状态。此题也可以这说明：CEFG的面积越大，而过FE、两点一定，所以以EF为△EFG的底，对应的高越长，△来说，由于的面积最大。EFGEF的高线是最长的，因此当G与C重合时，△点作点返回原码头。已知河水的流12某甲于上午9时15分由码头划船出游，最迟于中午例5

15千米/小时，如果甲每划30分钟就要休息/速为1.4千米小时，划船时，船在静水中速度可达3 分钟，并且船在划行中不改变方向，只能在某次休息之后往回划，求甲最多能划离码头多远。分钟。他16545分钟，即分到中午分析：甲从上午9时1512时返回码头，共划行了2小时个4165=30分钟，所以由×4+15×3，即甲一共可分为15每划行30分钟，休息分钟，周期为45 分钟划行时间段，中间有有3个15分钟休息。30 分两种情况讨论：个14个划行时间段，由于还要原路返回，故甲最多只能用（一）甲先向下游划，由于只有 30分钟的时间段向下游划，否则他将无法返回。3030（二）甲先向上游划，则他至少可以用2个分钟的时间段向上游划。先验证可否用3个分钟的时间段向上游划。分钟，休息先假设甲向下游划，则他划行解：3015分钟共航行的距离为： 3

（3+1.4）×0.5+1.4×0.25=2.55（千米）而返回时用3个30分钟，2个15分钟休息，可以航行的距离为：（3-1.4）×1.5-1.4×0.5=1.7千米

由此可见，甲如果开始向下游划，那么到12点时将不能回到出发地。

如果甲开始向上游划，划了3个30分钟的时间段，并休息了2个15分钟后，从第3个休息的15分钟起就已经随水流向回去的方向漂了。

因此，甲离开码头最远的距离为：

（3-1.4）×1.5-1.4×0.5=1.7千米

再验证一下剩下的时间他能否返回原码头：此时还余一个15分钟的休息时间和一个30分钟的划行时间，可行驶的距离为：

1.4×0.25+（3+1.4）×0.5=

2.55千米，可见，他不到12点时就能返回到出发点。

所以甲最远只能离开码头1.7千米

说明：（1）当题目中没有指明航行的方向时，应分情况讨论。

（2）注意船向上游划了3个30分钟，并休息了3个15分钟后，开始往回划，在第三个15分钟休息开始后，船离码头已经逐渐变近了，千万不能用（3-1.4）×1.5-1.4×0.25×3当作船离开码头的最远距离。（3）注意题目中单位要一致。

例6要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米的钢管，那么只有当锯得的38毫米的钢管和90毫米的钢管各多少段时，所损耗的钢管才能最少？

分析：要使损耗的钢管最少，应该使锯的次数最少，而且1米长的钢管不要有剩余。

解：设38毫米、90毫米的钢管分别锯了x段、y段，一共需要锯（x+y-1）次，由题意得：

38x+90y+（x+y-1）=1000，并且要使x+y最小，化简方程得

y都是正整数，得：，由于x、y=11-

y=8

要使锯的次数最少，应取x=7， 8段时，才能使钢管的损耗最少。738毫米的钢管段，90毫米的

钢管即当锯得

阅读材料最少几架飞机、最少几箱油但飞机的油它们都停放在同一个飞机场，现在要绕地球做环球飞行，有一批同一型号的飞机，箱不够大，即使油箱装满油，飞机也只能绕地球飞半圈。假设飞机可以在任何地方停留，飞机和飞，但要求所有的飞机都有足够的机可以在任何地点互相加油（也就是把一架飞机的油倒给另一架）请问，要保证一架飞机完成环球飞行，机场里的飞机数量最少是几？消耗的油最少油返回飞机场。机场里最少有几架飞机才能保证其中的一架完成环球飞行，。也就是说，是多少？（以油箱为单位）最少消耗多少油箱油？

4

练习题的倍数，在这样的自然数中，最小的一个的差是65的倍数，与31．一个自然数与3的和是是多少？的差3、32……与、17、22、27解：与3的和是5的倍数的自然数从小到大依次为：2、7、12是第一个同时符合两个2745……、33、39、、是6的倍数的自然数从小到大依次为：9、15、2127 。条件的自然数，故满足条件的最小的自然数是27 将符合某条件的自然数一一列举，逐一比较，从中找出最值，这种方法叫枚举法。说明：元的画片几张？张，则最多可买1角、1元的画片共152．用10元钱买4角、8）张，共用了角的画片买了（15-x-y角的画片买了y张，则4解：设1元的画片买了x张，8+0.8y+x=10

15-x-y）10元钱，可列方程：0.4（15-x-y=8

，x=6，x2y+3x=20，，最大，y应该最小，故y=1即因此，1元的画片最多买6张元的开始，逐渐减少，直到买6张为止。说明：此题也可以一一试验，从买9张1．某人从金坛出发去扬州、常州、苏州、杭州各一次，最后返回金坛。已知各城市之间的路3 费如表所示，请为他设计一条路费最省的路线。（单位：元）

杭州常州金坛扬州苏州60 30 40 50 金坛0

30 0 常州30 25 15

25 扬州40 15 15 0

15 15 苏州25 50 0

30

60

杭州25

15

分析：画张图，帮助思考，将两个城市之间的旅费标在这两个城市的连线上，很容易找到一条价钱是130元的路线。下面说明这是最少的费用。

5

解：任一条路线都有一段是经过扬州、常州、苏州和杭州的折线。如果取都标15元的三段，从金坛进出就要（15×3+30+60）元，总价钱超过130元；如果这条折线上有两段标15，一段标25，那么从金坛进出就要（40+60+2×15+25）或（30+50+2×15+25）元，总价超过130元。而只有路线：金坛→常州→杭州→苏州→扬州→金坛或金坛→扬州→苏州→杭州→常州→金坛共需130元，这是最少的路费。

4．六位同学数学考试的平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高分是99分，最低分是76分，则按分数从高到低居第三位的同学至少得多少分？

分析：六位同学的总分为92.5×6=555分，要使第三名同学得分尽可能少，第二名应仅次于第一名的得分99分，因此第二名同学得98分，同时应使第四、第五名同学的得分尽可能与第三名同学的得分接近。

解：92.5×6-99-98-76=282

第三、四、五名同学的总分是282分。

由于282÷3=94分，因此要使这三名同学得分接近，应为95、94、93分。所以按分数从高到低排列居第三名的同学至少得95分。

都是自然数，求的最小值。，A和B，A小于B，B不大于155．已知2不大于A A、B都是自然数≤A＜B≤15，且解：由题意知2

B=15

尽可能大，故A=14，要使最小，应使A、B

57厘米，在这个盒子里放长6．有一个长方体的盒子，从里面量长40厘米，宽12厘米，高 3厘米的长方体木块最多能放多少块？厘米、宽4厘米、高怎样才能不浪费一点空间呢？=56，可知最多可放56块，）×12×7）÷（5×4×3：分析由（40=24）×（12÷4）（第一层摆长为5厘

米、宽为4厘米、高为3厘米的长方体木块，40÷5解：个，÷3）=32厘米的长方体木块，（40÷5）×（12厘米、个，第二层摆长为5厘米、宽为3高为4 块。，恰好可以摆放两层，因此最多能放56由于7=4+3块，还必须要指明是如何摆放的。同一个小长方体木块既可以看成高为56说明：最多可摆放厘米。厘米，也可以看成高为34只，若每个笼里放57．将若干只鸡放入若干个笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；则有一笼无鸡可放，求最少有几个笼？x 只鸡时，有一笼无鸡可放，这说明4x+1解：设有x个笼，则共有（）只鸡，当每个笼中放5）个笼里放满x-25只，但至少1只至多5只，有（个笼中有一个空笼，还有一个笼中不一定放满时，有鸡x=66，且当x6≤x≤10，由是整数，则x最小取5515只。故≤4x+1－（x-2）≤，解得6个鸡笼。25只，满足题意，故至少有800每关最多可得从第一关开始打，8．有一种电子游戏，打通一关进入下一关，共有很多关，分……以后各得一分、分就可获得一次奖励（即在得到10002000分、3000分，另外每获得1000分，至少要打次奖励），每一次奖励最多为500分，打到第四关，最多可得多少分？要得到12000 到第几关？分，21001600解：打通第一关得到800分，打通第二关得到分，其间得到奖励分500分，共其间得到奖励第三关得到2600分，分时又获得奖励在得到2000500共得分，2600+800=3400分，6

分500分，共得3900分，第四关得到3900+800=4700分，其间在4000分时获得奖励500分，共计5200分，其间在5000分时获得奖励500分，所以在打通第四关时得分是5700分。

假定打到某一关时得分超过12000分，那么由于满整千分就可以得到奖励分，因此在得到12000分以前，已经获得了11次奖励，共得奖励分最多为500×11=5500分，所以各层打的分至少有12000-5500=6500分，每关得分800，6500÷8=8……100，因此至少要打到第9关。

9．由三个非零数字组成的三位数与这三个数字之和的商记为K，如果K为整数，那么K的最大值是多少？

解：设这个三位数的各位数字之和为a，由三个数字均不为零，知3≤a≤27。

当a≤9时，对每一个确定的a，要使K最大，应使这个三位数最大，即十位数字和个位数字都取1，百位数字取（a-2），当a=3，4，5，6，7，8，9时，K=37，52.75，62.2，68.5，73，101.83，79，因此当a≤9时，最大的整数K=711÷（7+1+1）=79。下面证明K=79是最大的。

若a=10，则aK的个位数字是0，即这个三位数的个位数字是0，与题意不符。

若a=11，则三位数最大是911，911÷11=82.8，商不是整数。而81×11=891，82×11=902，80×11=880均不合要求。

若a=12，最大的三位数是921，而921÷12<79

若a≥13，由于a×79≥13×79=1027＞1000，这与题意不符。

综上所述，K的最大值是79。

10．如果a，b为正整数，且24a+168b为完全平方数，求a+b的最小值。

分析：由于a，b为正整数，要求a+b的最小值。因此我们可以从最小的正整数开始试验。a=1，b=1；a=1，b=2；a=1，b=3……a=2，b=1；a=2，b=2；a=2，b=3……a=3，b=1；a=3，b=2；a=3，b=3……不难得出当a=3，b=3时，24a+168b为24的平方，则a+b的最小值是6。

如果a+b的最小值很大，显然这种方法是不太好的。下面我们换一种方法来做。

24a+168b=2×2×3×（a+7b），又a，b为正整数，则a+7b≥8，要使2×2×3×（a+7b）2 22解：

是完全平方数，则a+7b必有因数6×K，K是正整数。要使a+b的值最小，则K应该最小。因此K=2，当K=2时，a+7b=24

即当a=3，b=3时，a+b的值最小是6，此时24a+168b是24的平方。

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小学奥数最大值最小值问题汇总

小学奥数最大值最小值问题汇总 1．三个自然数的和为15，这三个自然数的乘积最大可能是_______。3．一个长方形周长为24厘米，当它的长和宽分别是_______厘米、_______厘米时面积最大，面积最大是_______平方厘米。 4．现在有20米的篱笆，利用一堵墙围一个长方形鸡舍，要使这个鸡舍面积最大，长应是_______米，宽应是_______米。 5．将16拆成若干个自然数的和，要使和最大，应将16拆成_______。6．从1，2，3，…，2003这些自然数中最多可以取_______个数，才能使其中任意两个数之差都不等于5。 7．一个两位小数保留整数是6，这个两位小数最大是_______，最小是_______。 8．用1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个和一架天平，最多可以称出_______种不同的整数的重量。 9．有一架天平，左右都可以放砝码，要称出1～80克之间所有整克数的重量，如果使砝码个数尽可能少，应该用_______的砝码。 10．如下图，将1～9这9个数填入圆圈中，使每条线上的和相等，使和为A，A最大是_____。二、解答题（30分） 1．把19分成若干个自然数的和，如何分才能使它们的积最大？2．把1～6这六个数分别填在下图中三角形三条边的六个圆圈内，使每条边上三个圆圈内的数的和相等，求这个和的最大值与最小值。3．自行车的前轮轮胎行驶9000千米后要报废，后轮轮胎行驶7000千米后要报废。前后轮可在适当时候交换位置。问一辆自行车同时换

上一对新轮胎，最多可行驶多少千米？ 4．如下图，有一只轮船停在M点，现需从OA岸运货物到OB岸，最后停在N点，这只船应如何行走才能使路线最短？ 5．甲、乙两厂生产同一型号的服装，甲厂每月生产900套，其中上衣用18天，裤子用12天；乙厂每月也生产900套，但上衣用15天，裤子也要用15天。两厂合并后，每月最多可以生产多少套衣服？ 6．现在有若干千克苹果，把苹果装入筐中，要求能取出1~63千克所有整千克数的苹果，并且每次都是整筐整筐地取出。问：至少需要多少个空筐？如何装？ B卷（50分） 一、填空题（每题2分，共20分） 1．在六位数865473的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的七位数中最小的是_____。 2．用1～8这八个数码组成两个四位数，要使这两个数的差尽量小，这个差是______。 3．三个质数的和是100，这三个质数的积最大是______。 4．有一类自然数，自左往右它的各个数位上的数字之和为8888，这类自然数中最小的 (1)求最大量的最大值：让其他值尽量小。 例：21棵树载到5块大小不同的土地上，要求每块地栽种的棵数不同，问栽树最多的土地最多可以栽树多少棵? 解析：要求最大量取最大值，且量各不相同，则使其他量尽可能的小且接近，即为从“1”开始的公差为“1”的等差数列，依次为1、

五年级奥数最大公因和最小公倍数终审稿)

五年级奥数最大公因和 最小公倍数 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

课题：最大公因数和最小公倍数 专题简析1：（最大公因数） 几个公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。我们可以把自然数a、b的最大公因数记作（a、b），如果 （a、b）=1，则a、b互质。 求几个数的的最大公因数可以用列举法、分解质因数法和断除法等方法。 例1 求下面每组数的最大公因数。 45和18 51和17 28和96 24、38和18 60和36 180和240 72和60 60、36和72 例2 120的因数有多少个？ 例3 一张长方形的纸，长7分米5厘米、宽6分米。现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块 例4 有三根小棒，长分别是12厘米，14厘米，16厘米，要把它们都裁成同样长的小棒，不许有剩余，每根小棒最长能有多少厘米？ 例5 一个数除200余4；除300余6；除500余10.求这个数最大是多少？ 举一反三 1、将一块长80米、宽60米土地划分成面积相等的小正方形。问：小正方形的面积最大是多少？ 2、一个长方体木块，长2.7米，宽18分米、高15分米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余。、，正方体的棱长最大是多少分米？

3、一个数除150余6，除250余10，除350余14，这个数最大是多少？ 4、有一个三角形花圃，三边的长度分别是56米、36米、24米。现在这三条边上等距离栽菊花，并且每两株菊花之间的距离尽量大。问：一共栽多少株菊花？ 5、一块三角形地，要在三条边上按等距离插红旗（三个顶点必须各插一面），要使插的面数最少，应该准备多少面红旗？ 甲 48米 72米 乙 54米丙 专题简析2：（最小公倍数） 几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数可以记作〔a、b〕，当（a、b）=1时，〔a、b〕=a×b。两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系： 最大公因数×最小公倍数=两数的积即（a、b）×〔a、b〕= a×b 要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通常就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公因数问题混淆。 例1 两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？ 例2两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？ 例3 三位朋友每人隔不同的天数到图书馆去看书，甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。一个星期一，他们三人在图书馆相遇，至少再过多少天他们又在图书馆相遇相遇时是星期几

五年级奥数第最大最小

最大最小 例1两个自然数的和是15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？ 结论1如果两个整数的和一定，那么这两个整数的（），他们的乘积越大。特别地，当这两个数相等时，他们的乘积最大。 例2比较下面两个乘积的大小： a=57128463×87596512， b=57128460×87596515。 例3用长36米的竹篱笆围成一个长方形菜园，围成菜园的最大面积是多少？ 例4、用1、2、3、4、5、6这六个数字组成两个三位数，使这两个三位数的积最小，最小的积是多少？如果要最大有是多少？ 思考：用1、2、3、4、5、6、7这七个数字组成四位数乘三位数，使积最小，最小的积是多少？如果要最大有是多少？ 例5要砌一个面积为72米2的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？ 例6把17分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？ 结论把一个数拆分成若干个自然数之和，如果要使这若干个自然数的乘积最大，那么这些自然数应全是（）或( )，且( )最多不超过( )个。 例7把49分拆成几个自然数的和，这几个自然数的连乘积最大是多少？ 作业 1、试求和为8，积为最大的两个自然数。 2、试求和为13，积为最大的两个自然数。 3、用2到9这八个数字分别组成两个四位数，使这两个四位数的乘积最大。 4、试比较下列两数的大小： a=8753689×7963845 b=8753688×7963846 5.把19分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的积最大？ 6.1～8这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四位数各是多少？ 7、用2、3、4、5这四个数字组成两个两位数，使这两个两位数的积最小，最小的积是( )。 8、用1、2、3、4这四个数字组成两个两位数，使这两个两位数的积最大，最大的积是( )。

四年级数学A班奥数专题-“最大与最小”问题

四年级数学A班奥数专题->“最大与最小”问题 在应用数学知识解决日常生活中的一些实际问题时，经常会出现解决方案不止一种，有时还会有无数种的情况。在这种情况下，我们往往需要找最大量或最小量。 例1试求乘积为36，和为最小的两个自然数。 分析与解不考虑因数顺序，乘积是36的两个自然数有以下五种情况：1×36、2×18、3×12、4×9、6×6。相应的两个乘数的和是：1+36=37、2+18=20、3+12=15、4+9=13、6+6=12。显然，乘积是36，和为最小的两个自然数是6与6。 例2试求乘积是80，和为最小的三个自然数。 分析与解不考虑因数顺序，乘积是80的三个自然数有以下八种情况：1×2×40、1×4×20、1×5×16、1×8×10、2×2×20、2×4×10、2×5×8、4×4×5。经过计算，容易得知，乘积是80，和为最小的三个自然数是4、4、5。 结论一：从上述两例可见，m个自然数的乘积是一个常数，则当这m 个乘数相等或最相近时，其和最小。 例3试求和为8，积为最大的两个自然数。

分析与解不考虑加数顺序，和为8的两个自然数有以下四种情况：1+7、2+6、3+5、4+4。相对应的两个加数的积是：1×7=7、2×6=12、3×5=15、4×4=16。显然，和为8，积为最大的两个自然数是4和4。例4试求和为13，积为最大的两个自然数。 分析与解不考虑加数顺序，和为13的两个自然数有以下六种情况：1+12、2+11、3+10、4+9、5+8、6+7。经过计算，不难发现，和为13，积为最大的两个 结论二：从上述两例可知，m个自然数的和是一个常数，则当这m个数相等或最相近时，其积最大。 例5砌一平方米的围墙要用砖50块，现有5600块砖，用来砌一个矩形晒谷场的围墙。如果围墙高2米，则砌成的晒谷场的长和宽各是多少米时，晒的谷最多？ 分析与解根据题意，首先可知5600块砖可砌围墙（5600÷50÷2=）56米，即长方形晒谷场的周长为56米。要使晒谷场晒的谷最多，实际就是长方形晒谷场的面积（长×宽）要最大。而长方形的周长56米一定，即长与宽的和（56÷2=）28米也一定，因此只有当长与宽相等（都是14米）时，面积才最大。所以，晒谷场的长和宽都是14米时，晒的谷最多。这时晒谷场的面积是： 14×14=196（平方米）

五年级奥数最大公因和最小公倍数

课题：最大公因数和最小公倍数 专题简析1：（最大公因数） 几个公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。我们可以把自然数a、b的最大公因数记作（a、b），如果 （a、b）=1，则a、b互质。 求几个数的的最大公因数可以用列举法、分解质因数法和断除法等方法。 例1 求下面每组数的最大公因数。 45和18 51和17 28和96 24、38和18 60和36 180和240 72和60 60、36和72 例2 120的因数有多少个？ 例3 一张长方形的纸，长7分米5厘米、宽6分米。现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？ 例4 有三根小棒，长分别是12厘米，14厘米，16厘米，要把它们都裁成同样长的小棒，不许有剩余，每根小棒最长能有多少厘米？ 例5 一个数除200余4；除300余6；除500余10.求这个数最大是多少？ 举一反三 1、将一块长80米、宽60米土地划分成面积相等的小正方形。问：小正方形的面积最大是多少？ 2、一个长方体木块，长2.7米，宽18分米、高15分米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余。、，正方体的棱长最大是多少分米？ 3、一个数除150余6，除250余10，除350余14，这个数最大是多少？ 4、有一个三角形花圃，三边的长度分别是56米、36米、24米。现在这三条边上等距离栽菊花，并且每两株菊花之间的距离尽量大。问：一共栽多少株菊花？ 5、一块三角形地，要在三条边上按等距离插红旗（三个顶点必须各插一面），要使插的面数最少，应该准备多少面红旗？ 甲 48米 72米 乙 54米丙 专题简析2：（最小公倍数） 几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数可以记作〔a、b〕，当（a、b）=1时，〔a、b〕=a ×b。两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系： 最大公因数×最小公倍数=两数的积即（a、b）×〔a、b〕= a×b 要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通常就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公因数问题混淆。 例1 两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？ 例2两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？

六年级奥数最大最小问题答案

第二十五周 最大最小问题 例1： a 和 b 是小于100的两个不同的非零自然数，求a －b a+b 的最大值。 根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99 a － b a+b 的最大值是99－199+1 =4950 答：a －b a+b 的最大值是4950 。 练习1： 1、 设x 和y 是选自前100个非零自然数的两个不同的数，求x －y x+y 的最大值。 2、 a 和b 是小于50的两个不同的非零自然数，且a ＞b ，求a －b a+b 的最小值。 3、 设x 和y 是选自前200个非零自然数的两个不同的数，且x ＞y ，①求x+y x －y 的最大值；②求x+y x －y 的最小值。 例2： 有甲、乙两个两位数，甲数27 等于乙数的23 。这两个两位数的差最多是多少？ 甲数：乙数=23 ：27 =7：3，甲数的7份，乙数的3份。由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56 答：这两个两位数的差最多是56。 练习2： 1、 有甲、乙两个两位数，甲数的310 等于乙数的45 。这两个两位数的差最多是多少？

2、 甲、乙两数都是三位数，如果甲数的56 恰好等于乙数的14 。这两个三位数的和最小是多少？ 3、 加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48 个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？ 例3： 如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。问：这样的数对共有多少个？ 在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和减数同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。为了保证减数是四位数，最多可以减去78，因此，这样的数对共有78+1＝79个。 答：这样的数对共有79个。 练习3 1、 两个四位数的差是8921。这两个四位数的和的最大值是多少？ 2、 如果两个三位数的和是525，就说这两个三位数组成一个数对。那么这样的数对共有 多少个？组成这样的数对的两个数的差最小是多少？最大是多少？ 3、 如果两个四位数的差是3456，就说这两个数组成一个数对。那么，这样的数对共有多 少个？组成这样的数对的两个数的和最大是多少？最小是多少？

五年级奥数专题-最大最小问题

五年级奥数专题-最大最小问题 【专题导引】 在日常生活中,人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题,这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题,最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题,我们称这些问题为“最大最小问题”。 解答最大最小问题通常要用下面的方法： 1、枚举比较法。当题中给定的范围较小时,我们可以将可能出现的情形一 一举出再比较。 2、着眼于极端情形,即充分运用已有知识和生活常识,一下子从“极端”情 形入手,缩短解题过程。 【预备思考题】1、3、5、8组成的四位数中,最大的数比最小的数多多 【典型例题】 【例1】把1、2、3……16分别填进图中16个三角形里,使每 边上7个小三角形内数的和相等。问这个和最大值是多少？ 【试一试】 1、将5、6、7、8、9、10 圆圈内,使三角形每条边上的和相等, 这个和最大是多少？ 2、把2～9分别填入下图圆圈内, 个大圆上的五个数的和相等, 【例2】有8个西瓜,它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。把它们分成三堆,要使最重的一堆西瓜尽可能轻些,那么,最重的一堆应是多少千克？

· A B C E D 【试一试】 1、一把钥匙只能开一把锁。现有9把钥匙和9把锁,但不知道哪把钥匙开哪把锁。最多要试开多少次才能配好全部的钥匙和锁？ 2、如果四个人的平均年龄是25岁,其中没有小于17岁的,且四人年龄都不相同。那么年龄最大的最多是几岁？ 【例3】一次数学考试满分100分,6位同学平均分为91分,且6人分数互不相同,其中得分最少的同学仅得65分,那么排第三名的同学至少得多少分？（分数取整数） 【试一试】 1、一个三位数除以43,商a 余数是b(a 、b 都是整数)。求a+b 的最大值。 2、如右图,有两条垂直相交的线段AB 、CD,交点为E 。已知DE=2CE,BE=3AE 。在AB 和CD 取3个点画三角形。问：怎样取这三个点,画出的三角形面积最大？ 【例4】一个农场里收的庄稼有大豆、 谷子、高梁、小米,每一种庄稼需要先收割好,捆好,然后往回运输。现由两个小组分别承包这两项工作,工时如下表（一种庄稼不割好、捆好,不准运输）,这两组从开工到完工最少经过多少小时？ 大豆 谷子 高梁 小米 割好、捆好 7 3 5 5 运完 5 6 1 9 作 物 小 时 工 作

小学五年级奥数教案--第38讲-最大最小问题

第38讲最大最小问题 一、专题简析： 在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。 解答最大最小问题通常要用下面的方法： 1、枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较； 2、着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。 二、精讲精练 例题1把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内数的和相等。问这个和最大值是多少？ 练习一 1、将5、6、7、8、9、10六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上的和相等，这个和最大是多少？

2、把2——9分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，并且最大。 例题2 有8个西瓜，它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。把它们分成三堆，要使最重的一堆西瓜尽可能轻些，那么，最重的一堆应是多少千克？ 练习二 1、一把钥匙只能开一把锁。现有9把钥匙和9把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。最多要试开多少次才能配好全部钥匙和锁？ 2、如果四个人的平均年龄是25岁，其中没有小于17岁的，且四人年龄都不相同。那么年龄最大的最多是几岁？

例题3 一次数学考试满分100分，6位同学平均分为91分，且6人分数互不相同，其中得分最少的同学仅得65分，那么排第三名的同学至少得多少分？（分数取整数） 练习三 1、一个三位数除以43，商a余数是b（a、b都是整数），求a＋b的最大值。 2、如下图，有两条垂直相交的线段AB、CD，交点为E。已知DE=2CE，BE=3AE。在AB和CD取3个点画三角形，问：怎样取三个点，画出的三角形面积最大？

小学奥数第1讲--最值问题(含解题思路)

1、最值问题 【最小值问题】 例1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、 乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。为了保证安全，上级决定在沿 途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都 相等。现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少 要增加______位民警。 （《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题） 讲析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有 一位民警，共有7位民警。他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。 由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民 警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。 例2 在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图 5.92所示，它们爬行的速度相等。若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪 点会面最省时？ （湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题） 讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须 三者同时到达，即各自行的路程相等。 我们可将正方体表面展开，如图5.93，则A、B、C三点在同一平面上。这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。 所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出 AO=OC=OB。 故，O点即为三只蚂蚁会面之处。 【最大值问题】 例1 有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c。判断：图5.94的三个梯形中，第 几个图形面积最大？ （全国第二届“华杯赛”初赛试题）

六年级奥数第17讲-最大最小问题(教)

学科教师辅导讲义 学员编号：年级：六年级课时数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第17讲-最大最小问题 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结 教学目标①学会在题目中判断出限制条件； ②学会分数知识的综合运用； ③从题目限制条件中分析最大最小问题。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。 解答最大最小问题通常要用下面的方法： 1、枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较； 2、着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。 人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。 知识梳理 典例分析

考点一：简单最大最小问题 例1、把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内数的和相等。问这个和最大值是多少？ 【解析】为了方便描述，我们把图中部分三角形注上字母，从图中可以看出：中心处D中填的数和三条边上的和没有关系，因此，应填最小的数1。而三个角上的a、b、c六个三角形中的数都被用过两次，所以要尽可能填大数，即填11——16。然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的和相等”这一条件，就可以计算出这个和的最大值了。 （2＋3＋4＋…＋16＋11＋12＋13＋14＋15＋16）÷3=72 例2、有8个西瓜，它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。把它们分成三堆，要使最重的一堆西瓜尽可能轻些，那么，最重的一堆应是多少千克？ 【解析】3堆西瓜的总重量是42.5千克，要使最重的一堆尽可能轻些，另两堆就得尽可能重些。 根据42.5÷3=14千克……0.5千克可知： 最重的一堆是14＋0.5=14.5千克， 即由6千克和8.5千克组成，另外两堆分别是14千克。 例3、一次数学考试满分100分，6位同学平均分为91分，且6人分数互不相同，其中得分最少的同学仅得65分，那么排第三名的同学至少得多少分？（分数取整数） 【解析】除得65分的同学外，其余5位同学的总分是91×6－65=481分。 根据第三名同学得分要至少，也就说其他四人得分要尽量高，第一、第二名分别得100分和99分，而接近的三个不同分是93、94、95。所以，第三名至少得95分。 例4、一个农场里收的庄稼有大豆、谷子、高梁、小米，每一种庄稼需要先收割好、捆好，然后往回运输。现由两个小组分别承包这两项工作，工时如下表（一种庄稼不割好、捆好，不准运输），这两组从开工到完工最少经过多少小时？

五年级奥数-最大最小问题

最大最小问题 专题简析： 在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。 解答最大最小问题通常要用下面的方法： 1，枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较； 2，着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。 例1.把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内数的和相等。问这个和最大值是多少？ 变式训练 1.将5、6、7、8、9、10六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上的和相等，这个和最大是多少？ 2.把2——9分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，并且最大。 3.将1——9这九个自然数分别填进九个小三角形中，使每4个小三角形组成的三角形内的4个数的和都等于20。 例2.有8个西瓜，它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5

千克、10千克。把它们分成三堆，要使最重的一堆西瓜尽可能轻些，那么，最重的一堆应是多少千克？ 变式训练 1.一把钥匙只能开一把锁。现有9把钥匙和9把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。最多要试开多少次才能配好全部钥匙和锁？ 2.如果四个人的平均年龄是25岁，其中没有小于17岁的，且四人年龄都不相同。那么年龄最大的最多是几岁？ 3.五位同学捐款，他们捐的钱有3张1元的，4张2元的，3张5元的和3张10元的。这五位同学捐款数各不相同，问：捐款最多的同学至少捐了多少元？ 例3.一次数学考试满分100分，6位同学平均分为91分，且6人分数互不相同，其中得分最少的同学仅得65分，那么排第三名的同学至少得多少分？（分数取整数） 变式训练 1.一个三位数除以43，商a余数是b（a、b都是整数），求a＋b的最大值。 2.如下图，有两条垂直相交的线段AB、CD，交点为E。已知DE=2CE，BE=3AE。在AB和CD 取3个点画三角形，问：怎样取三个点，画出的三角形面积最大？

五年级奥数第四讲最大公因数和最小公倍数

北外启航五年级春季班数学 第四讲最大公因数和最小公倍数 教学目标： 1.熟练掌握求最大公因数及最小公倍数的方法。 2.能运用最大公因数和最小公倍数的知识正确解答有关的问题。 知识点拨： 1.公因数和最大公因数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。我们可以把自然数a、b的最大公因数记作（a、b）。 求几个数的的最大公因数可以用列举法、分解质因数法和短除法等方法。 2.公倍数和最小公倍数 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。我们可以把自然数a、b的最小公倍数记作〔a、b〕。 3.互质数 如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫做互质数。当（a、b）=1时，〔a、b〕=a×b。两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系： 最大公因数×最小公倍数=两数的积即（a、b）×〔a、b〕= a×b 经典例题： 例1.求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 15和12 90和45 42和70 39和65 例2.一块长方体木料，长72厘米，宽60厘米，高36厘米，请你把它锯成同样大小的正方体木块，且木块的体积要最大，木料又不能剩。算一算可以锯成几块？

例3. 用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？ 例4. 两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数的和是多少？ 例5. 三位朋友每人隔不同的天数到图书馆去看书，甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。一个星期一，他们三人在图书馆相遇，至少再过多少天他们又在图书馆相遇？ 例6.有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1.这个自然数最小是多少？ 巩固练习： 1.两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？

(完整)四年级奥数之最值问题

四年级奥数之最值问题 知识点睛：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最大最小问题”。“最大”、“最小”是我们所熟悉的两个概念，多年来各级数学竞赛中经常会 出现求最值问题，解决办法有： 一、枚举法 例1一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？ （北京市第三届“迎春杯”数学竞赛试题） 分析与解开第一把锁，按最坏情况考虑试了3把还未成功，则第4把不用试了，它一定能打开这把锁，因此需要3次。同样的道理开第二把锁最多试2次，开第三把锁最多试1次，最后一把锁则不用再试了。这样最多要试的次数为：3＋2＋1=6（次）。 二、综合法 例2x3=84A（x、A均为自然数）。A的最小值是______。（1997年南通市数学通讯赛试题） 分析与解根据题意，84A开立方的结果应为自然数，于是我们可以把84分解质因数，得84=2×2×3×7，因此x3=2×2×3×7×A，其中A的质因数至少含有一个2、两个3、两个7，才能满足上述要求。 即A的最小值为（2×3×3×7×7=）882。 三、分析法 例3一个三位数除以43，商是a，余数是b，（a、b均为自然数），a＋b 的最大值是多少？ （广州市五年级数学竞赛试题） 分析与解若要求a＋b的最大值，我们只要保证在符合题意之下，a、b尽可能大。由乘除法关系得 43a＋b=一个三位数 因为b是余数，它必须比除数小，即b＜43b的最大值可取42。 根据上面式子，考虑到a不能超过23。（因为24×43＞1000，并不是一个三位数）

当a=23时，43×23＋10=999，此时b最大值为10。 当a=22时，43×22＋42=988，此时b最大值为42。 显然，当a=22，b=42时，a＋b的值最大，最值为22+42=64。 四、公式法 例4两个自然数的和为18，那么，这两个自然数的积的最大值为多少？（广州市小学数学竞赛试题） 我们经常说的一句话就是"和一定，差小积大，差大积小"那么到底应该如何准确理解并应用它解决实际问题呢？ A＋B＝C 和一定，指的是A与B的和是不变的，为C。 差小积大，'差'指的是A和B的差距，A和B差距越小，乘积越大； 差大积小，理解方法同上，A和B差距越大，乘积越小。 所以，当a=b=9时，这两个自然数的积最大。为91。 五、图表法 例5某公共汽车从起点站开往终点站，中途共有9个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中从这一站到以后的每一 站正好各有一位乘客上下车。为了使每位乘客都有座位。那么这辆汽车至少应有座位多少个？ （北京市“迎春杯”数学竞赛试题） 分析与解根据题意，每站下车的乘客数最少要等于该站后面的车站数，列表如下： 从表中可以看出，车上乘客最多时，是在第五站乘客上下车后的人数，此时人数为 （10＋9＋8＋7＋6）-（1＋2＋3＋4）=30（人） 所以这辆汽车至少应有座位30个。

六年级奥数--最大最小问题

六年级奥数——最大最小问题 一、知识要点 人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。 二、精讲精练 【例题1】 a 和 b 是小于100的两个不同的自然数，求a －b a+b 的最大值。 … 根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99 a － b a+b 的最大值是99－199+1 =49 50 答：a －b a+b 的最大值是4950 。 练习1： 1、设x 和y 是选自前100个自然数的两个不同的数，求 x －y x+y 的最大值。 2、a 和b 是小于50的两个不同的自然数，且a ＞b ，求 a －b a+b 的最小值。

3、设x和y是选自前200个自然数的两个不同的数，且x＞y，①求 x+y x－y 的最大值；② 求x+y x－y 的最小值。 % 【例题2】 有甲、乙两个两位数，甲数2 7 等于乙数的 2 3 。这两个两位数的差最多是多少 甲数：乙数=2 3 ： 2 7 =7：3，甲数的7份，乙数的3份。由甲是两位数可知，每份的数量 最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56 & 答：这两个两位数的差最多是56。 练习2： 1、有甲、乙两个两位数，甲数的 3 10 等于乙数的 4 5 。这两个两位数的差最多是多少 2、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的5 6 恰好等于乙数的 1 4 。这两个两位数的和最小是 多少 3、加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、

小学五年级奥数最大公约数和最小公倍数

第三讲最大公因数和最小公倍数 1.公因数和最大公因数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 例如：12的因数有：1，2，3，4，6，12； 18的因数有：1，2，3，6，9，18。 12和18的公因数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公因数，记作（12，18）=6。 2.公倍数和最小公倍数 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，… 18的倍数有：18，36，54，72，90，… 12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。 3.互质数 如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫做互质数。 例1用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？ 例2一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？ 例3有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少 例4加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？ 例5一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？

例6一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米.要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大.问：这样的正方形的边长是多少厘米？ 例7用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。 例8求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？ 例9两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？ 例10求21672和11352的最小公倍数。 第四讲带余数的除法 前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：16÷3=5…1，即16=5×3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余除

奥数最大和最小

第2讲最大和最小 最大最小问题涉及的知识多，灵活性强，解题时要善于运用所学综合运用所学的各种知识。 例1从1～9这9个自然数中选出8个填在下面8个○内，使算式的结果尽可能大。这个最大的结果是（）。 [○÷○×（○＋○）]－（○×○＋○－○） 例2从多位数123456789101112…100中划出100个数字，使剩下的数字（顺序不变）组成的多位数最大，剩下的数是多少？ 例3有47位小朋友，老师要给每人发1支红笔和1支蓝笔。商店中每种笔都是5支一包或3支一包，不能打开包零售。5支一包的红笔61元，蓝笔70元；3支一包的红笔40元，蓝笔47元。那么，老师买所需的笔至少要花多少钱？ 例4把14分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？最大的乘积是多少？ 例5将5、6、7、8、9、0这6个数字填入下面算式中，怎样才能使乘积最大？ □□□×□□□ 使图中3个“2×2”的正方形中4个数的和相等。求这个和的 最小值并填写完整。

练习 1. 有3个数字，能组成6个不相同的三位数，这6个三位数之和等于2886，那么其中最小的三位数是多少？ 2. 若干连续自然数1，2，3，…的乘积的最末13位都是0，其中最大的一个自然数是多少？ 3. 从多位数123456789101112…484950中划去80个数字，使剩下的数字（先后顺序不变）组成的多位数最大。这个最大的多位数是多少？ 4. 用2、3、4、5、6这5个数字组成一个两位数和一个三位数，要使乘积最大，应该是（）×（），请试着说说这样组数的理由。（见四年级期末试卷填空第12题） 5.有两个同心圆，一个半径5米，另一个半径为12米。有两只小虫分别沿着这两个圆爬，它们之间距离最远时是多少米？它们之间距离最近时又是多少米？ 6.把一根32厘米的铁丝折成一个直角，将它的两端靠在直尺 上，得到一个直角三角形（如右图所示）。怎样折得到的直角三角形 面积最大？最大的面积是多少？

小学数学5年级培优奥数讲义 第29讲 最大最小问题(教师版)

第29讲最大最小问题 教学目标学会在题目中判断出限制条件； 学会分数知识的综合运用； 从题目限制条件中分析最大最小问题。 在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。 解答最大最小问题通常要用下面的方法： 1、枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较； 2、着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。 人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。 考点一：简单最大最小问题 例1、把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内数的和相等。问这个和最大值是多少？ 【解析】为了方便描述，我们把图中部分三角形注上字母，从图中可以看出：中心处D中填的数和三条边上的和没有关系，因此，应填最小的数1。而三个角上的a、b、c六个三角形中的数都被用过两次，所以要尽可能填大数，即填11——16。然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的和相等”这一条件，就可以计算出这个和的最大值了。 典例分析 知识梳理 教学目标

(2＋3＋4＋…＋16＋11＋12＋13＋14＋15＋16)÷3=72 例2、有8个西瓜，它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。把它们分成三堆，要使最重的一堆西瓜尽可能轻些，那么，最重的一堆应是多少千克？ 【解析】3堆西瓜的总重量是42.5千克，要使最重的一堆尽可能轻些，另两堆就得尽可能重些。 根据42.5÷3=14千克……0.5千克可知： 最重的一堆是14＋0.5=14.5千克， 即由6千克和8.5千克组成，另外两堆分别是14千克。 例3、一次数学考试满分100分，6位同学平均分为91分，且6人分数互不相同，其中得分最少的同学仅得65分，那么排第三名的同学至少得多少分？(分数取整数) 【解析】除得65分的同学外，其余5位同学的总分是91×6－65=481分。 根据第三名同学得分要至少，也就说其他四人得分要尽量高，第一、第二名分别得100分和99分，而接近的三个不同分是93、94、95。所以，第三名至少得95分。 例4、一个农场里收的庄稼有大豆、谷子、高梁、小米，每一种庄稼需要先收割好、捆好，然后往回运输。现由两个小组分别承包这两项工作，工时如下表(一种庄稼不割好、捆好，不准运输)，这两组从开工到完工最少经过多少小时？ 【解析】先把各类庄稼从开工到完工所用的时间分别算出来：大豆7+5=12小时，谷子3+6=9小时，高梁5+1=6小时，小米5+9=14小时。平均每个小组用(12+9+6+14)÷2=20.5小时，但实际做不到。因此，根据各类庄稼所需时间相加，使其最接近20.5小时。 12+9=21小时是最少经过的时间。 例5、A、B、C是三个风景点，从A出发经过B到达C要走18千米，从A经过C到B要走16千米，从B经过A到C要走24千米。相距最近的是哪两个风景点？它们之间相距多少千米？ 【解析】根据题意可知，AB+BC=18千米，AC+BC=16千米，AB+AC=24千米，用(18+16+24)÷2就能算出AB+BC+AC=29千米。 因此，AC=29-18=11千米，AB=29-16=13千米，BC=29-24=5千米。 B、C两个风景点的距离最近，只相距5千米。

(完整版)四年级奥数最优化问题较简单

最优化问题 知识要点 在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。以上的问题实际上都是“最优化问题”。 精讲精练 【例题1】用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，煎一个饼需要2分钟（规定正反面各需要1分钟）。问煎3个饼至少需要多少分钟？ 【思路】先将两个饼同时放入锅中一起煎，一分钟后两个饼都熟了一面，这时可将一个取出，另一个翻过去，再放入第三个。又煎了一分钟，将两面都熟的那个取出，把第三个翻过去，再将第一个放入煎，再煎一分钟就会全部煎好。所以，煎3个饼至少需要3分钟。 【练习1】 1.烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。小丽用来烤面包的架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分钟？ 2.用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要烙3个大饼，最少要用几分钟？ 3.小华用平底锅烙饼，这只锅同时能放4个大饼，烙一个要用4分钟（每面各需要2分钟）。可小华烙6个大饼只用了6分钟，他是怎样烙的？ 【例题2】妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？

【思路】经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。水壶不洗，不能烧开水，因此，洗水壶和烧开水不能同时进行。而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。 根据以上的分析，可以这样安排：先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，共需要16分钟。 【练习2】 1.小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟。他完成这几件事最少需要多少分钟？ 2.小强给客人沏茶，烧开水需要12分钟，洗茶杯要2分钟，买茶叶要8分钟，放茶叶泡茶要1分钟。为了让客人早点喝上茶，你认为最合理的安排，多少分钟就可以了？ 3.在早晨起床后的1小时内，小欣要完成以下事情：叠被3分钟，洗脸刷牙8分钟，读外语30分钟，吃早餐10分钟，收碗擦桌5分钟，收听广播30分钟。最少需要多少分钟？ 【例题3】五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？ 【思路】校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后治疗，才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。这样，三位同学留在卫生室的时间分别是：李佳1分钟，赵1+3=4分钟，赵明1+3+5=9分钟。时间总和是1+4+9=14分钟。 【练习3】 1．甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水供应点打热水。热水龙头只有一个，怎样安排他们打水的次序，可以使他们打热水所花的总时间最少？