山东师范大学附属中学2015届高三第四次模拟考试数学(理)试卷word版含答案

2.下列说法正确的是

A.命题“若2

11x x ==，则”的否命题为“若2

1,1x x =≠则” B.命题“2

00010x R x x ?∈+-<，”的否定是“2

,10x R x x ?∈+->”

C.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆命题为假命题

D.若“p 或q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题 3.执行如右图所示的程序框图，输出的k 值是 A.4 B.5 C.6 D.7 4.若34sin cos 55z i θθ??

=-+- ???是纯虚数，则()tan θπ-的值为 A.

34

B. 43

C. 34

- D. 43

-

5.某种运动繁殖量y （只）与时间x （年）的关系为

()3log 1y a x =+，设这种动物第2年有100只，到第8年它们

发展到 A.200只 B.300只 C.400只 D.500只 6.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为

B.1

7.已知集合{}

21230,lg 3x A x x x B x y x -??

=--<==??+??

，在区间()3,3-上任取一实数x ，则x A B ∈?的概率为 A.

14

B.

18

C.

13

D.

112

8.各项都是正数的等比数列{}n a 中，且2311,2

a a a ，成等差数列，则

34

45

a a a a ++的值为

A.

B.

C.

D.

9.实系数一元二次方程220x ax b ++=的一个根在()0,1上，另一个根在()1,2上，则2

1

b a --的取值范围是 A. []1,4

B. ()1,4

C. 1,14??

????

D. 1,14??

???

10.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为12,F F ，两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ?是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为1212e e e e ?，，则的取值范围是 A. ()0,+∞

B. 1,3??+∞ ???

C. 1,5??+∞ ???

D. 1,9??+∞ ???

第II 卷（共100分）

注意事项：

1.第II 卷包括5道填空题，6道解答题.

2.第II 卷所有题目的答案，考生需用0.5毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内，在试卷上答题不得分.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.答案须填在答题纸相应的横线上. 11.将函数()2sin 3f x x π??

=-

??

?

的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，

纵坐标保持不变得到新函数()g x ，则()g x 的最小正周期是__________.

12.已知直线:360l x y +-=和圆心为C 的圆2

2

240x y y +--=相交于A ，B 两点，则线段AB 的长度等于__________.

13.若3n

x ???的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x 项的系数为

_________.

14.由曲线y =

，直线2y x y =-及轴所围成的图形的面积为__________.

15.对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式： 2

2

2

213,3135,41357,=+=++=+++???； 2

3

3

235,37911,413151719,.=+=++=+++???

根据上述分解规律，若2

3

13511,m p =+++???+的分解中最小的正整数是21，则

m p +=___________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时用0.5毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内，写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本题满分12

分）已知向量)

1cos ,1,cos ,2m x x n x ??

=

-= ??

?u r

r ，若()f x m n =?u r r .

（I ）求函数()f x 的单调递增区间；

（II ）已知ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a =

，212A f π??

+=

???

A 为锐角），2sin sin C

B =，求A 、c b 、的值.

17.（本题满分12分）口袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各2个，从口袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的8倍计分，每个小球被取出的可能性相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：

（I ）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （II ）随机变量ξ的概率分布和数学期望；

（III ）计分介于17分到35分之间的概率.

18.（本题满分12分）在如图的多面体中，EF ⊥平面

AEB ，

,//,//,24,3,2,.AE EB AD EF EF BC BC AD EF AE BE G BC ⊥=====是的中点（I ）

求证:AB//平面DEG ；

（II ）求二面角C DF E --的余弦值.

19.（本题满分12分）

已知双曲线

22

1

1n n x y a a --=

的一个焦点为)

，

一条渐近线方程为y x =

，其中{}n a 是以4为首项的正数数列. （I ）求数列{}n c 的通项公式； （II ）若不等式

()12122log 1323

a n n n n L x a c c c ++++<+>?对一切正常整数n 恒成立，

求实数

x 的取值范围.

20.（本题满分13分）在直角坐标系xOy ，椭圆()22

122:10x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分

别为12F F 、.其中2F 也是抛物线224C y x =：的焦点，点M 为12C C 与在第一象限的交点，且

25

3

MF =.

（I ）求椭圆1C 的方程；

（II ）若过点D （4，0）的直线1l C 与交于不同的两点A 、B ，且A 在DB 之间，试求AOD ??与BOD 面积之比的取值范围.

21.（本题满分14分）已知函数()()()2

1ln ,02

f x x

g x ax bx a ==

+≠. （I ）若2a =-时，函数()()()h x f x g x =-在其定义域上是增函数，求b 的取值范围； （II ）在（I ）的结论下，设函数()[]2,0,ln 2x

x x e

be x ?=+∈，求函数()x ?的最小值；

（III ）设函数()f x 的图象1C 与函数()g x 的图象2C 交于P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交12C C 、于点M 、N ，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.

（Ⅱ）∵ (

)sin 212A f A π+==

又02A π<<，∴3

A π

= …………………8分 ∵ 2sin sin C B =．由正弦定理得2,b c = ① ………………………9分

∵ 3a =，由余弦定理，得2292cos 3

b c bc π

=+-， ② ………………………10分

解①②组成的方程组，得c b ?=?=?

综上3

A π

=

，b =，c = ………………………12分

17．( 满分12分）

解：（Ⅰ）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，

则3111

4222384

()7

C C C C P A C ???==

． ……………………………3分 （Ⅱ）由题意ξ所有可能的取值为：2，3，4．

21122222381(2);14C C C C P C ξ?+?===2112

42423

82

(3);7

C C C C P C ξ?+?=== 2112

6262389

(4);14

C C C C P C ξ?+?=== ……………………………7分

所以随机变量ξ的概率分布为

因此ξ的数学期望为4

2343147147

E ξ=?+?+?=． ……………………………9分

（Ⅲ）“一次取球所得计分介于17分到35分之间”的事件记为C ，则

2913

()(34)(3)(4)71414

P C P P P ξξξξ=====+==

+=或． …………………12分 18．( 满分12分）

（Ⅰ）证明：∵//,//AD EF EF BC ，∴//AD BC . 又∵2BC AD =，G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，

∴四边形ADGB 是平行四边形，∴ //AB DG ． ……………………………2分 ∵AB ?平面DEG ，DG ?平面DEG ， ∴//AB 平面DEG ． ……………4分 （Ⅱ）解∵EF ⊥平面AEB ，AE ?平面AEB ，BE ?平面AEB ，

∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，

又AE EB ⊥，∴,,EB EF EA 两两垂直． 以点E 为坐标原点，以,,EB EF EA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系． …………………6分 由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0），

C （2，4，0），F （0，3，0），

D （0，2，2）．…………7分

由已知得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的法向量． ……8分 设平面DCF 的法向量为(,,)x y z =n ， ∵(0,1,2),(2,1,0)FD FC =-=，

∴00

FD n FC n ??=???=??，即2020y z x y -+=??+

=?，令1z =

,得(1,2,1)=-n ． …………………10分

设二面角C DF E --的大小为θ，由图知θ为钝角， ∴

cos |cos ,|EB θ=-<>=-=n ∴二面角C DF E --的余弦值为

…………………12分 19．（ 满分12分）

解：（Ⅰ）∵双曲线方程为

22

1

1n n x y a a --=的一个焦点为,0)，∴1n n n c a a -=+．…1分

又∵一条渐近线方程为y x =

，∴21

=-n n a a ，即1-n n a a =2， …………………3分

20．（ 满分13分）

解：（Ⅰ）依题意知2(1,0)F ，设11(,)M x y .

由抛物线定义得2||MF = 1513x +=，即12

3x =. ………………1分

将3

2

1=

x

代人抛物线方程得1y =， ………………2分

进而由222()31a =及221a b -=，解得224,3a b ==. 故椭圆1C 的方程为22

143x y +=． ………………5分 （Ⅱ）依题意知直线l 的斜率存在且不为0，设l 的方程为4x my =+代人22

143

x y +=， 整理得2

2

(34)24360m y my +++=

………………6分

由0?>，解得24m >. ………………7分

设1

1

2

2

(,),(,)A x y B x y ,则12212224343634m

y y m y y m -+=+?=+?????

①②

………………8分

令AOD

BOD

S S λ??=

，则1

1221

21

2

OD y y y OD y λ?=

=?且01λ<<. ………………9分 将12y y λ=代人①②得2222

224(1)343634m y m y m λλ-?

+=??+??=

?+?

，消去2y 得22

2(1)1634m m λλ+=+， 即2

2

24(1)1033

m λλλ+=--． ………………10分

由2

4m >得22

(1)11033

λλλ+>--，所以1λ≠且2

31030λλ-+<, 解得

1

13

λ<<或13λ<<. ………………12分

又

01λ<<，∴

1

13λ<<

故ODA ?与ODB ?面积之比的取值范围为1

(1)3

，

． ………………13分

21．（ 满分14分）

解：（Ⅰ）依题意：.ln )(2

bx x x x h -+=

∵),0()(+∞在x h 上是增函数，

∴1

()20h x x b x '=

+-≥对(0,)

x ∈+∞恒成立，∴min 1(2)b x x ≤+

………………2分 ∵.2221

,0≥+>x x

x 则

当且仅当x =时取等号．

∴b 的取值范围为].22,(-∞ ………………4分

（Ⅱ）设]2,1[,,2

∈+==t bt t y e t x

则函数化为，即2

2()24

b b y t =+-,[1,2]t ∈．…5分

∴当]2,1[,222,12

在函数时即y b b

≤≤-≤-

上为增函数，当t=1时，.1min +=b y 当,2

,24,221时当时即b

t b b -=-<<-<-<;42min b y -=

当2,4,[1,2]2

b

b y -

≥≤-即时函数在上为减函数，当t=2时，min 42.y b =+……8分

综上所述，2min 42(4)()(42)

41(2b

b b

x b b b ?+≤-???=--<<-??

?+-≤≤? ………………9分 （Ⅲ）设点P 、Q 的坐标是.0),,(),,(212211x x y x y x <<且则点M 、N 的横坐标为

.22

1x x x +=

C 1在M 处的切线斜率为.2

2

11x x k +=

所以),1[)(+∞在u r 上单调递增，故0)1()(=>r u r ，则1

)

1(2ln +->

u u u ， 这与①矛盾，假设不成立，故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行．……14分