高等数学习题详解-第6章 定积分

习题6-1

1． 利用定积分的几何意义求定积分：

(1)

1

2xdx ?

；

(2)

?

(0)a >．

解 (1) 根据定然积分的几何意义知, 10

2xdx ?表示由直线2,1y x x ==及x 轴所围的三角

形的面积,而此三角形面积为1,所以

1

21xdx =?．

(2) 根据定积分的几何意义知

,

?

表示由曲线0,y x x a ===及

x 轴所围成的14圆的面积,而此14圆面积为2

14

πa ,

所以2014a a =?π.

2． 根据定积分的性质，比较积分值的大小：

(1)

1

2

x dx ?

与1

3

x dx ?； (2)

1

x

e dx ?与1

(1)x dx +?．

解 (1) ∵当[0,1]x ∈时,232(1)0x x x x -=-≥,即2

3

x x ≥,

又2

x

3x ,所以11

230

x dx x dx >??．

(2) 令()1,()1x x f x e x f x e '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>, 从而()(0)0f x f ≥=,说明1x

e x ≥+，所以1

1

0(1)x e dx x dx >+?

?.

3． 估计下列各积分值的范围：

(1)

4

2

1

(1)x dx +?；

(2) arctan xdx ；

(3)

2

a

x a

e

dx --?

（0a >)； (4)

22

x x

e dx -?

．

解 (1) 在区间[]1,4上，函数2

()1f x x =+是增函数，故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,

最小值(1)2m f ==,所以4

2

1

2(41)(1)17(41)d x

x -≤+≤-?,

即 4

21

6(1)51x dx ≤

+≤?

．

(2) 令()arctan f x x x =,则2()arctan 1x f x x x '=+

+,

当

x ∈时,()0f x '>,从而()f x

在上是增函数,从而f (x )

在

上的最大值M f ==,最小

值m f ==,所以

2arctan 93xdx =≤≤=

ππ

即

2arctan 93xdx ≤≤ππ

．

(3) 令2()x f x e -=,则2

()2x f x xe -'=-,令()0f x '=得驻点0x =，又(0)1f =，

2

()()a f a f a e -=-=,a >0时, 2

1a e -<,故()f x 在[],a a -上的最大值1M =，最小值

2

e a m -=,所以

2

2

22a

a x a

a dx a ---≤≤?e e .

(4) 令2()x x

f x e

-=,则2

()(21)x

x

f x x e -'=-,令()0f x '=得驻点1

2

x =

,又(0)1,f = 1

24

1(),(2)2

f e f e -==,从而()f x 在[]0,2上的最大值2M e =,最小值14m e -=,所以 2

12

24

2x

x

e

e dx e --≤≤?．

习题6-2

1． 求下列导数：

(1)

0d dx ?; (2) 5ln 2x t d t e dt dx -?； (3) cos 2

0cos()x d t dt dx π?; (4)

sin x d t dt dx t π? (0x >)． 解 (1)

d dx =? (2) 55ln 2x t x

d t

e dt x e dx --=?. (3)

cos 222

cos()cos(cos )(cos )sin cos(cos )x d t dt x x x x dx πππ'=?=-?. (4) sin sin sin x x d t d t x

dt dt dx t dx t x

ππ=-=-??.

2． 求下列极限：

(1) 0

2

arctan lim

x

x tdt x →?； (2)

()22

2

20

e lim

e x

t x

x t dt t dt

→??

．

解 (1) ()0

22000021arctan arctan arctan 11(1)lim lim

lim lim 222x x

x x x x tdt tdt x x x x x →→→→'??--??+====-'

??．

(2) (

)

(

)

2

2

222

222

22

2

0000

20000220022lim lim lim lim x

x

x x t t t x t

x x x x x x x t x t e dt e dt e dt e dt xe xe te dt

te dt →→→→'?

?????

?==='??????????e []

22

2

2202000222lim lim lim 2122x t x x x x x x x e dt e x e xe x xe →→→'????====+'+??． 3． 求由方程

e cos 0y

x

t dt tdt +=?

?所确定的隐函数()y y x =的导数．

解 方程两边对x 求导数得:

cos 0e y y x '?+=, cos e y

x

y '∴=-

， 又由已知方程有00

0sin e y x

t

t +=,即1sin sin 00e y x -+-=， 即1sin e y

x =-,于是有cos cos sin 1

e y

x x

y x '=-

=-． 4． 计算下列定积分：

(1)

1

?

； (2)

2

21

d x x x --?

；

(3) 设,0,2

()sin ,2

x x f x x x πππ?

≤≤??=??≤≤;?? ，求0

()f x dx π?

(4)

?

．

解 (1)

4

321

1

21433x ==?

.

(2)

2

1

2

2222

1101()()()dx x x dx x x dx x x dx x x --=-+-+--????

012

3223321011111111163

22332x x x x x x -??????=++=--- ? ? ???????．

(3) ()

2

2220

2

2

()sin 1cos 8

2x

f x dx xdx xdx x π

π

π

π

π

π

ππ=+=

+=+

-?

??

(4)

3

2

3

2

2(2)(2)xdx x dx x dx =-=-+-?

???

23

2202

115

(2)(2)222x x x x =-+-=．

5．设函数()f x 在区间[],a b 上连续,在(),a b 内可导,()0f x '≤,1()()x

a

F x f t dt x a =-?；

证明：在(),a b 内有()0F x '≤． 证明 2

2

111

()()()()()()()()x

x a

a F x f t dt f x x a f x f t dt x a x a x a ??'=-

+=

--????

---?

?

[][][]21

()()()(),(,,)()

x a f x x a f a x a b x a ξξ=

---∈∈- (),((,)(,))x f x a b x a

ξ

ηηξ-'=

∈∈-． 由已知条件可知结论成立．

习题 6-3

1． 计算下列积分：

(1) 3

sin()x dx π

ππ

+3?； (2) 32(115)dx x 1-+?；

(3)

1

-?

； (4) 320

sin cos d ???π?

；

(5)

2

2cos udu ππ6

?

；

(6)

2

e 1

?

(7)

1

；

(8)

；

(9)

ln 3

ln 2

e e x x

dx --?

； (10) 3222dx

x x +-?． 解 (1)

3

3

3

sin()sin()()[cos()]x dx x d x x π

π

πππ

πππ

π

π

+=++=-+3333?

?

42cos

cos 033

ππ

=-+=. (2) 1

2

33222

11(511)1

51

(511)(115)5(511)10512

dx d x x x x 1

1---+==-

=

+++??. (3)

1

111(54)14x --=--==?

?.

(4)

2334220

00

11

sin cos cos cos cos 44d d π

π

π

??????=-==-?

?.

(5) 2

22221cos 211

cos cos 2(2)224u udu du du ud u ππ

ππ

ππππ66

66+==+????

26

11sin 226264u π

ππππ??=

+=- ??? (6)

2

22

1

1

1)e e ===?

?. (7) 令tan x t =，则2

sec dx tdt =，当1x =时，4t π=

；当x =3t π=； 于是

3

3

21

4

4

cos 1

sin sin t dt t t

π

π

ππ

==-=?． (8)

令x t =,

则dx tdt =,当0x =时，0t =

；当x =

,2

t π

=

； 于是

22

220

1

2cos (1cos 2)(sin 2)22tdt t dt t t π

ππ

π==+==+??

．

(9) 令x

e t =，则1ln ,d x t x dt t

==，当ln 2x =时，2t =;；当ln 3x =时,3t =；

于是

3

ln3

332ln 2

2221113111(ln ln )12222

111x x dx dt t dt e e t t t t --??====- ?---++???

??． (10)

3

3

322

22

11111()ln 231232dx x dx x x x x x -=-=+--++?

?

1211

(ln ln )ln 2ln 53543

=-=- 2． 计算下列定积分： (1)

1

0e x

x dx -?

； (2)e

1

ln x xdx ?；

(3)

4

1?； (4) 32

4

sin x

dx x

ππ?

； (5) 220

e cos x xdx π

?

； (6) 2

21

log x xdx ?；

(7)

π

2

(sin )x x dx ?

； (8) e

1

sin(ln )x dx ?．

解 (1)

111

1000

x x x x

xe dx xde xe e dx ----=-=-+???

1

1101

2

1x e e

e e e e

----=--=--+=-．

(2) 222221

1111111111ln ln ln (1)222244

e e e e e

x xdx xdx x x xdx e x e ==-=-=+???．

(3) 44411111

2ln 28ln 2dx x dx x ==-=-???

8ln 24=-．

(4)

33

332

4

4

4

4

cot cot cot sin x

dx xd x x x xdx x ππ

π

π

π

πππ

=-=-+???

34

π131ln ln sin 4224x

ππ

π?=+=+ ?．

(5)

22222222

cos sin sin 2sin x x x

x e xdx e d x e x

e xdx π

π

π

π==-?

??

2222220

2

cos 2cos 4cos x x

x e e d x e e x

e xdx π

π

ππ

π=+=+-?

?

220

e 24

cos x e xdx π

π

=--?

于是

22

1cos (2)5x

e xdx e π

π=-?． (6) ()

222222211112

222

1111log ln ln 2ln 22ln 211ln 2ln 22x xdx xdx x x xdx x x x ==-??=- ? ???

??? 133(4ln 2)22ln 224ln 2

=-=-． (7) 2

2320000

1111(sin )(1cos 2)(sin2)2232x x dx x x dx x x d x ππππ

=-=-??? 33

200011(sin 22sin2)cos26464

x x x xdx xd x ππ

πππ=--=-?? 3001(cos 2cos2)64

x x xdx ππ

π=

--? 3301sin 264864

x π

ππππ=

-+=-． (8)

11

1

sin(ln )sin(ln )cos(ln )e

e

e

x dx x x x dx =-?

?

1

1

sin1cos(ln )sin(ln )e

e

e x x x dx =--?

1

sin1cos11sin(ln )e

e e x dx =-+-?

所以

1

1

sin(ln )(sin1cos11)2

e

x dx e e =-+?． 3． 利用被积函数的奇偶性计算下列积分：

(1)

1

1ln(x dx -? ； （2）1

2

12sin 1x

dx x -++?

(3)

2

2

2

(x dx -+?

; (4)

422

4cos d θθππ-?

．

解 (1)

ln(x 是奇函数，

1

1

ln(0x dx -∴

=?

．

(2) 2sin 1x

x +

是奇函数，121sin 01x dx x -∴=+?， 因此 111

2

21112sin 22arctan 11x dx dx x x x π---+===++??． (3)

2

2

2

2

22

2

((42416x dx dx dx ---=+==?

??．

(4) ()2

4

4

2220

2

2

20

1cos 24cos 8cos 822

12cos 2cos

231384222

d d d d θθθθθθθθθ

πππ

πππ-π

+??== ???

=++=???=

?

??

?．

4． 证明下列等式： (1) 证明：

1

1

00

(1)(1)m n n m x x dx x x dx -=-?

?；

(2) 证明：1

1

2

2111x

x dx dx x x =++?? (0x >)； (3) 设()f x 是定义在区间(,)-∞+∞上的周期为T 的连续函数，则对任意(,)a ∈-∞+∞，有

0()()a T

T

a

f x dx f x dx +=?

?．

证 (1)令1x t -=，则dx dt =-，当0x =时，1t =；当1x =时，0t =；

于是

1

11

1

(1)(1)()(1)(1)m n

m n

n

m

n m x x dx t t dt t t dt x x dx -=--=-=-?

???，

即

1

1

(1)(1)m n n m x x dx x x dx -=-?

?．

(2) 令1x t

=

则21

dx dt t -=，

于是11

1

11112

2222112

1

1111111111t x

x t t dx dt t dt dx x t

t x t t

??=?=-?==- ?++++??+?????d ，

即 1

1

2

2111x

x dx dx x x =++??． (3) 因为

()()()a T

T a T

a

a

f x dx f x dx f x dx ++=+?

??

，而

()()()a T

a

a

a

f x dx x t T f t T dt f t dt +=++=?

??令

()()()a

T T

a

f x dx f x dx f x dx ==-?

??

故

()()a T

T a

f x dx f x dx +=?

?．

4． 若()f t 是连续函数且为奇函数，证明0

()x

f t dt ?

是偶函数；若()f t 是连续函数且为偶函

数，证明

()x

f t dt ?

是奇函数．

证 令0

()()x

F x f t dt =

?

．

若()f t 为奇函数，则()()f t f t -=-，令t u =-，可得

()()()()()x

x x

F x f t dt f u du f u du F x --==--==?

??,

所以0

()()x

F x f t dt =

?

是偶函数．

若()f t 为偶函数，则()()f t f t -=，令t u =-，可得

()()()()()x

x x

F x f t dt f u du f u du F x --==--=-=-?

??,

所以0

()()x

F x f t dt =

?

是奇函数．

5． 利用分部积分公式证明：

()

()()()d x

x

u

f u x u du f x x du -=?

?

?

．

证 令0

()()u

F u f x dx =?

则()()F u f u '=,

则

(())()()()x

u x x

x

f x dx du F u du uF u uF u du '==-??

??

()()()()x

x x

xF x uf u du x f x dx uf u du =-=-?

??

()()()()x

x

x

x

x f u du uf u du xf u du uf u du =-=-?

???

()()x

x u f u du =

-?

． 习题6-4

1． 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：

(1) 2y x =与22y x =-； (2) x y e =与0x =及y e =； (3) 24y x =-与0y =； (4) 2y x =与y x =及2y x =；

(5) 1

y x

=

与y x =及2x =； (6) 2y x =与2y x =-； (7) ,x x y e y e -==与1x =；

(8) sin (0)2

y x x π

=≤≤

与0,1x y ==． 解 (1)两曲线的交点为(1,1),(1,1)-，取x 为积分变量，[]1,1x ∈-，面积元素

22(2)dA x x dx =--，于是所求的面积为

1

1

2

311

18

2(1)2()33A x dx x x --=-=-=?．

(2) 曲线x y e =与y e =的交点坐标(1,)e ， x y e =与0x =的交点为(0,1)，取y 为积分变量，[]1,y e ∈，面积元素ln dA ydy =；于是所求面积为

11

1

ln (ln )1e

e

e A ydy ydy y y y =

==-=?

?．

(3)曲线2

4y x =-与0y =的交点为(2,0),(2,0)-，取x 为积分变量，[]2,2x ∈-，面积元

素2(4)dA x dx =-，于是所求的面积为

2

2

2322

132

(4)(4)33A x dx x x --=-=-=

?． (4) 曲线2y x =与y x =的交点为(0,0),(1,1)；2

y x =与2y x =的交点为(0,0),(2,4)；

它们所围图形面积为：

1212

220

1

1

(2)(2)(2)A x x dx x x dx xdx x x dx =-+-=+-????

2

23120

1

117()

2

3

6

x x x =

+-=

．

(5) 曲线1y x =

与y x =的交点为(1,1)，1y x =与2x =的交点为1(2,)2

；取x 积分变量，[]1,2x ∈，面积元素1

()dA x dx x

=-，于是所求的面积为

2

2

211

113

()(ln )ln 222A x dx x x x =-=-=-?．

(6) 曲线2

y x =与2y x =-的交点为()()114,2-，和，取y 作积分变量，[]1,2y ∈-，

面积元素2

(2)dA y y dy =+-，于是所求的面积为

2

2

2

2311

117

(2)(2)232A y y dy y y y --=+-=+-=?．

(7) 曲线x y e =与x y e -=的交点(0,1)，取x 作积分变量,[]0,1x ∈，面积元素

()x x dA e e dx -=-，于是所求图形的面积为

1

)()

2x x x x A e e dx e e e e

--=-=+=+-?1

01

(．

(8)取x 作积分变量，0,

2x π??

∈????

，面积元素(1sin )dA x dx =-，于是所求的面积为 220

(1sin )(cos )12

A x dx x x ππ

π

=-=+=-?．

2． 求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积：

(1) 1,4,0y x x y =

===，绕x 轴；

(2) 3,2,y x x x ==轴，分别绕x 轴与y 轴； (3) 22,y x x y ==，绕y 轴； (4) 22(5)1x y -+=，绕y 轴．

解 (1)取x 作积分变量，[]1,4x ∈

，体积元素2dV dx xdx ππ==，于是所求旋转体的体积为

4

4

21

1

15

2

2V xdx x π

ππ==

=

?． (2)绕x 轴旋转时，取x 作积分变量，[]0,2x ∈，体积元素32()x dV x dx π=，于是

2

2

670

128

7

7

x V x dx x π

ππ==

=

?； 同理可求平面图形绕y 旋转所成的旋转体的体积

8

58

223

00

3642(4)55y V dy y y πππ??=-=-=???．

(3)曲线2y x =与2x y =的交点为(0,0),(1,1)，取y 作积分变量[]0,1y ∈

，体积元素

222

()dV y dy π??=-??，于是所求的旋转体的体积为

1

1

42500

113()()2510V y y dx y y π

ππ=-=-=

?． (4) 取y 作积分变量[]1,1y ∈-

，体积元素

22(5(520dV dy π??=-=??

，

于是所求的旋转体的体积为

1212020102

V π

ππ-==?=?．

3．设某企业边际成本是产量Q （单位）的函数0.2()2Q

C Q e '=（万元／单位），其固定成本为090C =（万元），求总成本函数． 解 总成本函数为

0.200

()()290Q Q

Q C Q C Q dQ C e dQ '=+=+??

0.20.20

10901080Q

Q Q e e =+=+．

4．设某产品的边际收益是产量Q （单位）的函数()152R Q Q '=-（元／单位），试求总收益函数与需求函数． 解 总收益函数为

20

()(152)15Q

R Q Q dQ Q Q =-=-?

需求函数为

()

15R Q P Q Q

=

=-． 5．已知某产品产量的变化率是时间t (单位：月)的函数()25,0f t t t =+≥，问：第一个5月和第二个5月的总产量各是多少?

解 设产品总产量为()Q t ,则()()Q t f t '=,第一个5月的总产量

55

2510

()(25)(5)50Q f t dt t dt t t ==+=+=??． 第二个5月的总产量为

1010

210

25

5

5

()(25)(5)

100Q f t dt t dt t t ==+=+=??．

6．某厂生产某产品Q (百台)的总成本()C Q (万元)的变化率为()2C Q '=(设固定成本为零)，总收益()R Q (万元)的变化率为产量Q (百台)的函数()72R Q Q '=-．问： (1) 生产量为多少时，总利润最大?最大利润为多少?

(2) 在利润最大的基础上又多生产了50台，总利润减少了多少? 解 (1)总利润()()()L Q R Q C Q =-

当()0L Q '=即()()0R Q C Q ''-=即7220Q --=,

2.5Q =(百台)时,总利润最大，此时的总成本和总收益分别为

2.5 2.5

2.50

()225C C Q dQ dQ Q

'====??

2.5

2.5

2.520

()(72)(7)

11.25R R Q dQ Q dQ Q Q '==-=-=??

总利润11.255 6.25L R C =-=-=(万元).

即当产量为2.5(百台)时,总利润最大，最大利润是6.25万元．

(2)在利润最大的基础上又生产了50台,此时产量为3百台,

总成本3

3

00()26C C Q dQ dQ '===?

?，

总收入3

3

23

000

()(72)(7)12R R Q dQ Q dQ Q Q '=

=-=-=??， 总利润为1266L R C =-=-=(万元)．

减少了6.2560.25-=万元．

即在利润最大的基础上又生产了50台时,总利润减少了0.25万元．

习题 6-5

1． 判断下列反常积分的敛散性，若收敛，则求其值： (1)

41

dx

x

+∞

?

； (2)

1

+∞

?

； (3) 0x

e dx +∞

-?

(a ＞0); (4)

sin xdx +∞

?

;

(5)

1

-?； (6)

222

dx

x x +∞

-∞

++?

；

(7)

21

?

； (8)10

ln x xdx ?；

(9)

e

1

?

； (10)

2

3

(1)dx

x -?

．

解 (1)

1

43

1

11

33

dx x x +∞

+∞

=-=?

．此反常积分收敛．

(2)

1

+∞

==+∞?

．此反常积分发散． (3) 1

1x x

e dx e +∞

--+∞=-=?

．此反常积分收敛．

(4) 0

0sin cos lim cos 1x xdx x

x +∞

+∞→+∞

=-=-+?

不存在，此反常积分发散．

(5)

1

1

1arcsin x π--==?．此反常积分收敛．

(6)

22(1)arctan(1)

22(1)1

dx

d x x x x x π+∞

+∞+∞-∞

-∞

-∞+==+=++++?

?．此反常积分收敛．

(7)

2

32

221

10012lim lim (1)3x εεεε

+++→→+?==-+???

?

320222lim 22333εε+→?==-- ?．此反常积分收敛． (8)

1

1122221

000111111ln lim

ln lim ln lim ln 2224

24x xdx xdx x x xdx εεεεεεεεε→→→????==-=-- ? ??????

??， 所以

1

1220001111

ln lim ln lim (ln )4244

x xdx x xdx εεεεεε++→→==--=-??．此反常积分收敛．

(9)

11

1

π

arcsin(ln )2

e

e

e

x ===

?

?

．此反常积分收敛． (10)

2

12333

01(1)(1)(1)dx dx dx

x x x =+

---?

??， 因为反常积分1

1

32001(1)(1)dx x x ==∞--?发散，所以反常积分230(1)

dx

x -?发散． 2． 当k 为何值时，反常积分

+2

(ln )

k

dx

x x ∞

?

收敛?当k 为何值时，这反常积分发散? 解 当1k =时，

++2

2

2ln ln(ln )ln ln dx

d x x x x x

∞

∞+∞===+∞?

?,发散.

当1k ≠时,

1++12

2

211(ln )(1)(ln 2)(ln )ln (ln )11

k

k k

k k dx x k x d x x x k

k -∞

∞

--+∞

?

>?

-==

=?-?+∞

?

?

所以，当1k >时，此广义积分收敛；当1k ≤时，此广义积分发散． 3． 利用递推公式计算反常积分+0

e n x n I x dx ∞

-=?

．

解 ++110

n x n x

n x n n I x de x e n x e dx nI ∞

∞

----+∞

-=-

=-+=?

?

,

因为 +10

1x x x

I xde xe e ∞

---+∞+∞=-

=--=?

,

所以 121(1)(1)2!n n n I nI n n I n n I n --==-=-= .

复习题6

（A ）

1、 求下列积分：

（1）1

21tan sin 1x

dx x -+?； （2

）?； （3

）

2

x

?

； （4

）ln 0

?

；

（5）2

1

220(1)x dx x +?； （6

）1?；

（7）

1

20

x x e dx -?

； (8)

21

(ln )e

x dx ?

；

(9) 4

01cos 2x

dx x

π

+?； (10) 20

cos x e xdx π-?

；

(11) 2

0sin 1cos x x

dx x

π

++?； (12) 40ln(1tan )x dx π

+?． 解 (1) 因为被积函数2tan sin 1

x x +是奇函数,所以121tan 0sin 1x

dx x -=+?．

(2)

=?

?，令1sin x t -=，则cos dx tdt =；

当0x =时，2

t π

=-

；当1x =时，0t =；所以

02

22

2

1cos 2sin 2cos 2244t t t tdt dt ππππ---+??

===+=?????

??． (3) 令2sin x t =，则2cos dx tdt =，当0x =时，0t =；当2x =时，2

t π

=

；所以2

2

2

2

2220

4sin 4cos 4sin 22(1cos 4)x

t tdt tdt t dt ππ

π=?==-?

???

20

1

2(sin 4)4t t π

π=-=． (4)

t =，则2

21

t

dx dt t =

+，当0x =时，0t =；当ln 2x =时，1t =

；所以2ln 1

1

200

022(arctan )2(1)14

t dt t t t π==-=-+?

?． (5) 令tan x t =，则2

sec dx tdt =，当0x =时，0t =；当1x =时，4

t π

=

；所以2241

244

2240000tan 1cos 2sin 21sec ()(1)sec 22484x t t t t dx tdt dt x t π

ππ

π-===-=-+???．

(6) 令sec x t =，则sec tan dx t tdt =，当1x =时，0t =；当2x =时，3

t π

=

；所以2

23330

1

00tan sec tan tan (tan )sec 3

t dx t tdt tdt t t x t πππ

π===-=?

??． (7)

1

1

1

1

1

22

21

00

00

22x

x

x x x x e dx x de

x e

xe dx e xde ------=-=-+=--?

???

1

1

11

110

223225x x x e xe e dx e e e ------=--+=--=-?．

(8)

22111

111(ln )ln 2ln 2ln 22e

e e e e

x dx x x x x dx e x x dx e x

=-?=-+=-?

??．

(9) 4

444000

0tan tan tan 1cos 2x dx xd x x x xdx x π

πππ

==-+??? 401ln cos ln 2442

x π

ππ=+=-． (10)

2222

cos cos cos sin x

x

x

x e xdx xde

e x e xdx π

π

ππ

----=-=--?

??

2220

00

1sin 1sin cos x

x

x xde

e x e xdx π

ππ

---=+

=+-?

?

22

1cos x e

e xdx π

π-

-=+-?，

所以 2201

cos (1)2

x

e xdx e π

π--=+?．

(11)

2

222

20

00002sin sin cos tan 1cos 1cos 21cos 2cos

2

x x x x x d x dx dx dx xd x x x x π

ππππ

+=+=-+++?

????

22

2

0002

2

00

tan tan ln(1cos )222ln cos ln(1cos )22x x x dx x x x π

ππ

π

ππ

=--+=--+?

20ln 22ln cos

2

22

x π

π

π=

++=． (12) 44

440

00cos sin ln(1tan )ln ln(cos sin )ln cos cos x x x dx dx x x dx xdx x

π

πππ

++==+-?

?

??

令

4

x u π

-=

，可得

04

40

041ln(cos sin )ln cos()(ln 2ln cos )42

x x dx x dx u du π

π

ππ?

+=-=-+???

??

40

ln 2

ln cos 8

xdx π

π=+?

所以

40

ln 2

ln(1tan )8

x dx π

π+=

?

．

2、设()f x 在[],a b 上连续，且

()1b

a

f x dx =?

，求()b a

f a b x dx +-?．

解 令a b x t +-=，则dx dt =-，当x a =时，t b =；当x b =时，t a =；所以

()()()1b

a

b

a

b

a

f a b x dx f t dt f t dt +-=-==?

??．

3、设()f x 为连续函数，试证明：

()()(())x

x t

f t x t dt f u du dt -=?

??．

证 用分部积分法，

(())()(())x

x

t t

x t

f u du dt t f u du td f u du =-?

????

()()()()x

x x x

x f u du tf t dt xf t dt tf t dt =-=-?

???

()()x

f t x t dx =-?

．

4、设()u ?为连续函数，试证明：220

()2()a

a a

x dx x dx ??-=?

?．

证

2220

()()()a

a

a

a

x dx x dx x dx ???--=+?

??，

令x t =-，则0

022220

()(())()()a a

a

a

x dx t dt t dt x dx ????-=--==?

???

所以

022220

()()()2()a

a a

a

a

x dx x dx x dx x dx ????--=+=?

???．

5、计算下列反常积分：

（1）20

48dx

x x +∞

++?

； （2）21arctan x dx x

+∞?； （3

）

1

?

； （4

）1

e ? 解 (1)

2220

00(2)12arctan 48(2)2228dx d x x x x x π

+∞

+∞

+∞++===++++??． (2)

221

1

11arctan 1arctan 1

arctan (1)

x x dx xd dx x x x x x +∞

+∞

+∞+∞=-=-++?

?? 2

2

1

11

ln

ln 242142

x

x π

π

+∞

=

+=

++.

(3)

11

10022π?===??

?．

(4)

1

12e

e ===?

?． 6、求抛物线22y px =及其在点(

,)2p

p 处的法线所围成的平面图形的面积． 解 抛物线2

2y px =在点(,)2p p 处的法线方程为32

x y p +=，两曲线的交点为

9(,3),(,)22

p

p p p -；取y 作积分变量3p y p -≤≤，所求的平面图形面积为 2232

333131116()()222263p

p

p p

A p y y dy py y y p p p --=--=--=?

． 7、求由曲线32

y x =与直线4,x x =轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积．

解 曲线3

2

y x =与直线4x =的交点为(4,8)，取y 作积分变量，08y ≤≤，体积元素

223243

4()(16)dy y dy y dy ππ??=-=-??

于是，所求的旋转体的体积为

8

8

4700

3512

(16)(16)77V y dy y y πππ=-=-=?．

8、设某产品的边际成本为()2C Q Q '=-（万元/台），其中Q 代表产量，固定成本022C ==（万元），边际收益()204R Q Q '=-（万元/台）．试求： (1) 总成本函数和总收益函数； (2) 获得最大利润时的产量；

(3) 从最大利润时的产量又生产了4台，总利润的变化．

解 (1)总成本函数2

00

1()(2)2222

Q C Q Q dQ C Q Q =-+=-+?， 总收益函数20

()(204)202Q

R Q Q dQ Q Q =

-=-?

．

(2)利润函数2

3()()()18222

L Q R Q C Q Q Q =-=-

-，令()0L Q '=,得6Q =(台)，而(6)30L ''=-<，所以当产量6Q =(台)时，利润最大．

(3)(10)(6)83224L L -=-=-，所以从最大利润时的产量又生产了4台，总利润减少了24（万元）．

(B) 1、填空题：

(1)

202

cos x d x t dt dx

=? . (2) 设()f x 连续，2

20

()()x F x xf t dt =

?

，则()F x '= .

(3) 20

sin()x

d x t dt dx -=? . (4) 设()f x 连续，则220

()x

d tf x t dt dx -=? . (5) 设20cos ()1sin x

t f x dt t

=+?,则220()1()f x dx f x π

'=+? . (6) 设()f x 连续，且1

()2()f x x f x dx =+?

，,则()f x = .

(7) 设()f x 连续，且

()1cos x

tf x t dt x -=-?

,则20()f x dx π

=? .

(8)

2ln e dx

x x +∞

=? .

解 (1) 2220002224

cos (cos )cos (cos )2x x x d d x t dt x t dt t dt x x x dx dx

==+-????

2

224cos 2cos x

t dt x x =

-?

.

(2) 222

220

0()(())()()2x x d F x x f t dt f t dt x f x x dx '=

=+???? 2

2220

()2()x f t dt x f x =

+?

.

(3) 令x t u -=,则0

2

2

20

sin()sin ()sin x

x

x

x t dt u du u du -=-=?

??

所以

222

00sin()sin sin x x d d x t dt u du x dx dx -==??. (4)令22

x t u -= 则222222001()()()2x x tf x t dt f x t d x t -=---??

2

200

11()()22x x f u du f u du =-=??．所以

2222

00

1()()()2x x d d tf x t dt f u du xf x dx dx -=?=??． (5)

2

2200

()arctan ()arctan ()arctan (0)1()2

f x dx f x f f f x π

π

π'==-+?

， 而0

2222000cos cos (0)0,()arctan(sin )1sin 21sin 4

t t f dt f dt t t t ππ

ππ=====++??，所以2

20

()arctan

1()4

f x dx f x π

π

'=+?

(6) 等式1

()2

()f x x f x dx =+?

两边在区间[]0,1积分得

1

1

1

10

01

()2()2()2

f x dx xdx f x dx f x dx =+=

+?

???

1

1

()2

f x dx =-?， 所以 ()1f x x =-．

(7)令x t u -=，则du dt =-，于是

00()()()x

x

tf x t dt x u f u du -=-?

?

原等式化为 0

()()1cos x

x

x f u du uf u du x -=-??

两边对x 求导

()sin x

f u du x =?

在上式中，令2

x π

=

，得

()1x

f x dx =?

．

(8)

22ln 11ln ln ln e

e e

dx d x x x x x +∞

+∞

+∞==-=?

? 2、计算下列积分：

(1) 1

2

0ln(1)

(2)x dx x +-?； (2)

31

42

(1)x x dx -?

；

(3)

3

1

(2)f x dx -?

，其中21()x x f x e

-?+=??

0x x ≤>； (4)

()f x dx π

?

，其中0

sin ()x

t

f x dt t

π=-?

． 解 (1) 1

1

1120000ln(1)1ln(1)ln(1)(2)22(1)(2)

x x dx

dx x d x x x x x ++=+=----+-??? 1

100

11111

1

ln 2(

)ln 2ln ln 231232

3

x dx x x x +=--=-=+--?. (2) 令2

sin x t =，则

3

3

1

14424222

2

20

0001111cos 2(1)(1)cos ()2222t x x dx x dx tdt dt ππ+-=-==????

2200

11cos 41313

(12cos 2)(sin 2sin 4)8282832t t dt t t t π

π

π+=++=++=?． (3) 令2x t -=，则dx dt =，当1x =时，1t =-；当3x =时，1t =；于是

3

101

1

1

1

(2)()()()f x dx f t dt f x dx f x dx ---==+?

???

1

21

71

(1)3x x dx e dx e

--=++=

-?

?. (4) 由题设有sin ()x

f x x

π'=

-，用分部积分法得 00000sin sin ()()()t x f x dx xf x xf x dx dt x dx t

x π

π

π

ππ

π

ππ'=-=---???? 000sin sin sin ()x x x

dx x dx x dx x x x

ππππππππ=-=----??? 0

sin 2xdx π

=

=?

．

3、设13

2

01()()1f x x f x dx x =

++?，求10()f x dx ?． 解 等式两边在区间[]0,1上积分得

1

1

113

20

0001()()1f x dx dx f x dx x dx x =+?+?

?

??

11

1

000

11arctan ()()444x f x dx f x dx π=+=+??

解得

1

()3

f x dx π

=

?

．

4、求函数2

()(1)x t f x t e dt -=

-?

的极值．

解 令2

2

2()(1)22(1)(1)0x x f x x e x x x x e --'=-?=--+=，得函数()f x 的驻点：1,0,1-；

当1x <-时，()0f x '>；当10x -<<时，()0f x '<； 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<；

所以函数()f x 在0x =处取得极小值(0)0f =，在1x =±处取得极大值：

1

1(1)(1)t f t e dt e

-±=-=

?． 5、设2

1

sin ()x t

f x dt t

=

?

，求10()xf x dx ?．

解 用分部积分法得

221

2

1

11222200110

01sin 1sin 1sin ()2222x x t t x xf x dx dt dx x dt x xdx t t x ????==-???????????????

1

122200

11cos11

sin cos 222x dx x -=-==?．

6、求曲线(1)(2)y x x =--和x 轴围成的平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体体积． 解 抛物线(1)(2)y x x =--的顶点坐标为3

1(,)24

-

，左、右半支方程分别为：

11()(32x y =

-

和21()(32x y =+；取y 作积分变量，1

04

y -≤≤；体积

元素为22

21(())(())3dV x y x y dy π??=-=??，因此所求的旋转体的体积为

030

2114

4

33(14)(14)

42

2

V y y π

π

π

--==

+=

+=

??

．

７、设2

()()()x

a

x x t f t dt Φ=-?

，证明：()2()()x

a

x x t f t dt 'Φ=-?．

证 2

2

2

2()(2)()()2()()x

x

x x

a

a

a

a

x x xt t f t dt x

f t dt x tf t dt t f t dt Φ=

-+=-+?

?

??，所以

(

)

2

2()()2()()x

x x

a

a

a

x x

f t dt x tf t dt t f t dt ''Φ=-+???

222()()2()2()()x

x

a a

x f t dt x f x tf t dt x xf x x f x =+--?+??

2()2()2()()x

x x

a

a

a

x

f t dt tf t dt x t f t dt =-=-?

??．

高数不定积分例题

不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析：因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案：B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(，则=)(x f （ ） A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析：对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=，所以= )(x f x x cos 答案：C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形 解：1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分

1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=，设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解：1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析：注意到这些积分都不能用换元积分法，所以要考虑分部积分，对于分部积分法适用的函数及u ，v '的选择可以参照下列步骤①凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为dx v '，即dv dx v ='，使积分变为?udv ；②代公式，?udv ?-=vdu uv ，计算出dx u du '=；③计算积分?vdu 解：?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (

完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程

《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1． 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2． 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+，求()01f x x <<。 3． 设 2 ()f x dx x C =+?，则2(1)xf x dx -=? 。 4． 计算 3。 5。 计算。 6． 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8． 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10． 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11． 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12． 设()arcsin xf x dx x C =+? ，则 1 () dx f x =? 。 13． 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-，且(())ln f x x ?=，求()x dx ??。 14． 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15． 计算x 。 16． 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17． 计算ln t tdt α ? 。 18． 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1．设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??，求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2． 设1 ()2()f x x f x dx =+? ，则()f x = 。 3． 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4． 已知()f x 连续，且满足()()1f x f x -=，则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?＝ 。

高等数学不定积分习题

第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二．是非判断题 1． 若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3． ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4． 若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有 。 （A ）?=dx x F )('f(x)+c; （B ）?dx x f )(=F(x)+c; （C ）? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有 。 （A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3．下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数，且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=，则f(x)=______.

(完整版)定积分测试题

题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 （8小题，共26分） 得分 阅卷人 1． 4)(2 x dt t f x =? ，则=?dx x f x 40)(1（ ） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2．设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续，则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有（ ）个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3． =+? dx x x 3 1 ( ) A ．18 B ． 3 8 C ． 1 D ．0 4．设 )(x ?''在[b a ,]上连续，且a b =')(?，b a =')(?，则 ?='''b a dx x x )()(??（ ） （A ）b a - （B ）21(b a -) （C ）)(2 1 22b a + （D ）)(2 122 b a - 5． 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --?　 6．sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ，上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-?　 B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7．2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 ． 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数，且已知，，则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 （2小题，共5分） 得分 阅卷人

高等数学不定积分例题思路和答案超全

高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解： (8)★思路:分项积分。 解： (9)★★思路:？看到，直接积分。 解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。 解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。 解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： () 17★思路:不难，关键知道“”。 ：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。 解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。 解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。 解： 、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得 、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为，由题意可知：，； 又点在曲线上，适合方程，有， 所以曲线的方程为 、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？

定积分及微积分基本定理练习题及答案

定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a2，c ＝??0 2sinxdx ＝－cosx|02 ＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

高等数学微积分复习题

第五章 一元函数积分学 1．基本要求 （1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。 （3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次 线性微分方程的通解公式。 （4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析 （1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布 尼茨公式；定积分的应用。 （2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。 重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写

《高等数学》不定积分课后习题详解Word版

不定积分内容概要

课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解：53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★ (2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：114 111 333 222 3 ()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C -- -=-=-=-+ ???? ★(3)2 2x x dx + ?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：223 21 22 ln23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++ ??? （ ） ★(4)3) x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 2222 2 3)32 5 x dx x dx x dx x x C -=-=-+ ??

★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?? ???34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++?? ★★(9) 思路=11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。

定积分测试题

题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 （8小题，共26分） 得分 阅卷人 1． 4)(2 x dt t f x =? ，则=?dx x f x 40)(1（ ） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2．设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续，则函数dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有（ ）个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3． =+? dx x x 3 1 ( ) A ．18 B ． 3 8 C ． 1 D ．0 4．设 )(x ?''在[b a ,]上连续，且a b =')(?，b a =')(?，则 ?='''b a dx x x )()(??（ ） （A ）b a - （B ）21(b a -) （C ）)(2 1 22b a + （D ） )(2122 b a - 5． 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、 3 2 3xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 2 3xdx --?　 6．sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ，上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-?　 B 、2 sin xdx π? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7．2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 ． 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数，且已知，，则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、 1 2

[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]

高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:

樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分

分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__

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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx

高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)

第4章不定积分

习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积 分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?

思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12) 3x x e dx ?

(完整word版)高等数学第四章不定积分习题,DOC

第四章不定积分 §4–1不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上)( '，则F(x)叫做)(x f在该区间上的一个,)(x f的 F= x f )(x A(1,6)和B(2,- .[] 三．单项选择题 1．c为任意常数，且) F=f(x),下式成立的有。 ('x （A）?= =F(x)+c; ('f(x)+c;（B）?dx x F) dx ( f) x （C）?=dx x F)()('x F+c;(D)?dx ('=F(x)+c. x f) 2.F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有。

48 （A ）F(x)=cG(x);（B ）F(x)=G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c;(D))()(x G x F ?=c. 3．下列各式中是||sin )(x x f =的原函数。 (A)||cos x y -=;(B)y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D)y={. 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 dx x -2 x 2sin 9.dx x x 2 )2sin 2(cos -?10.? ++dx x x 2cos 1cos 12 11.?dx x x x 2 2 cos sin 2cos 12.?++-dx x x x 3322332 13.dx x x )12 13( 22?--+14.?-dx x x x )tan (sec sec

15.?- dx x x x )1 1(216.dx x x ? -+11 五．应用题 1．一曲线通过点(2e ,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该 曲线的方程. 2．一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是32t (米/秒),问: ? 15．= -? dx x x 1 12 = -? dx x x 2 2)1 (11=-? 2 )1(11x x d _________ 16.若??≠=++=)0________()(,)()(a dx b ax f c x F dx x f 则 二．是非判断题 1． ??+?=??? ??=c x x d x dx x x 21 2111ln .[]

同济大学(高等数学)_第四章_不定积分

第四章不定积分 前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法． 第1节不定积分的概念与性质 不定积分的概念 在微分学中，我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分）的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为 =， s s t () 则质点在时刻t的瞬时速度表示为 =． () v s t' 实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t的瞬时速度 v v t =， () 求出质点的位移函数 =． s s t () 即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．

1.1.1原函数 定义 1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有 ()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数． 例如，在变速直线运动中，()()s t v t '=，所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以 sin x 是 cos x 在 (,) -∞+∞上的一个原函 数．1 (ln )'(0),x x x =>所以ln x 是1x 在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢这里我们给出一个充分条件． 定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有 ()()'=F x f x ． 简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数． 定理1的证明，将在后面章节给出. 关于原函数，不难得到下面的结论：

高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)

第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1

1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★(9) 思路=？11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。

高等数学定积分复习题

1. 求 dx e x ?-2ln 01。5．解：设t e x =-1，即)1ln(2+=t x ，有dt t t dx 122+= 当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。 ．解：两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。 解：dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ，求?-22)(dx x f 解：原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解：两曲线交点为（-1，1）（3，9）-------2分 面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()1b a f x dx =?，求() b a f a b x dx +-?。 答案：解：令u a b x =+-，则当x a =时，u b =；当x b =时，u a =，且d x d u =-， 故 ()b a f a b x dx +-?＝()a b f u du -? ＝()1b a f x dx =?。

高等数学第四章不定积分课后习题详解

第4章不定积分 内容概要

课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析： 利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：315 3 2 2 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质， 将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将

高等数学 定积分及其应用复习题

第五、六章 定积分及其应用 （１） 一．判断题 （ ）1．函数)(x f 在区间],[b a 上有界，则)(x f 在],[b a 上可积． （ ）2．若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）3．设)(x f 在),(+∞-∞内连续，则? =x a dt t f x G )()(是)(x f 的一个原函数. （ ）4． ? ?=b a b a dx x f k dx x kf )()(,??=dx x f k dx x kf )()(都对. （ ）5．函数)(x f 在],[b a 上有定义，则存在一点],[b a ∈ξ，使 )()()(a b f dx x f b a -=? ξ． ( ). 二．填空题 1．设?= x x tdt x f 2 ln )(，则=')2 1(f . 2．?=x tdt dx d 1sin , dx d ?b a x 2 s i n dx = . 3．若),1(2) (0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 4．1 1xdx -? ＝ . 5． ? +21 42 )1 (dx x x ＝ , ?-10241dx x ＝ . 三．计算题 1． ? -e e dx x 1 ln 2．dx x x ?-π 53sin sin 3．设???? ?>-≤=1 , 11, )(2 x x x x x f ，求 ? 20 )(dx x f ． 4．dt t dx d x x ?+32411 5．20 0arctan lim x tdt x x ?→ 四．对任意x ，试求使 ? -+=x a x x dt t f 352)(2成立的连续函数)(x f 和常数a ． 五．证明题：设)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且0)('≤x f ，证明

高等数学不定积分练习题

作业习题 求下列不定积分。 1、dx x ? +sin 11；2、dx e x ?+-23；3、dx x x x ?+--22)83(32；4、dx e e x x )sin(?； 5、dx e x ?-2； 6、dx x a x ?-2 2 1； 7、dx x x x ? -3 ； 8、dx x x x ? +) 1(arctan 2 2；9、dx x e x ?+22)1(tan ；10、dx x x ?++)1ln(2； 11、?-xdx e x cos ；12、dx x x x x x ?+++-232223；13、dx x ?+sin 451 ； 14、dx x x x -+?111；15、dx x x ?+)1(124； 16、dx b x a x ?++) )((1 。

作业习题参考答案： 1、解：dx x ? +sin 11 ?+-=-=C x x dx x x sec tan cos sin 12 。 2、解：dx e x ?+-23C e x d e x x +-=+--=+-+-?23233 1 )23(31。 3、解：dx x x x ?+--2 2)83(32C x x x x x x d ++--=+-+-=?831)83()83(2222。 4、解：dx e e x x )sin(?C e de e x x x +-==?cos sin 。 5、解：dx e x ?-2 C t t t dt dt dt t t t e t x +-=+-=+? -=???2 arctan 24224222222 C e e x x +-- -=2 2arctan 2 422。 6、解：dx x a x ? -2 2 1 C x x a a a C t t a t a dt t a x +--=+-==?2 2ln 1cot csc ln 1sin sin 。 7、解：dx x x x ? -3dt t t t t t t dt t t t t x )11 1(6623452386 -++++++=-=?? C t t t t t t t +-++++++=)1ln 2 3456(62 3456 C x x x x x x x +-++++++=)1ln 2 3456(661613 1 21 32 65 。 8、解：dx x x x ? +) 1(arctan 2222 21sin cos cot )1(csc arctan t dt t t t t dt t t x t -+-=-=?? C t t t t +-+-=22 1 sin ln cot C x x x x x +-++- =22)(arctan 2 1 1ln arctan 。 9、解：dx x e x ?+22)1(tan ??+=xdx e xdx e x x tan 2sec 222

《高等数学》不定积分课后习题详解

《高等数学》不定积分课后习题详解 篇一：高等数学第四章不定积分习题 第四章不 定 积 分 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上 F?(x)?f(x)，则 F(x)叫做 f(x)在该区间上的一个 f(x)的 所有原函数叫做 f(x) 在该区间上的__________。 2．F(x)是 f(x)的一个原函数，则 y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 d(arcsinx)? 1?x2 dx ,所以 arcsinx 是______的一个原函数。 4．若曲线 y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与 x 成正比例，并且通过点 A(1,6)和 B(2,-9),则该曲线 方程为__________ 。 二．是非判断题 1． 若 f?x?的某个原函数为常数，则 f?x??0.[ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原 函数.[ ] 3． 3 ??f?x?dx???f??x?dx.[ ] ? 4． 若 f?x?在某一区间内不连续，则在这个区间内 f?x?必无原函数. [ ] 5.y?ln?ax?与 y?lnx 是同一函数的原函数.[ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且 F'(x)=f(x),下式成立的有 。（A）?F'(x)dx?f(x)+c;（B）?f(x)dx=F(x)+c; （C）?F(x)dx?F'(x)+c;(D) ?f'(x)dx=F(x)+c. 2. F(x)和 G(x)是函数 f(x)的任意两个原函数，f(x)?0，则下式成立的有 。（A）F(x)=cG(x); （B）F(x)= G(x)+c;（C）F(x)+G(x)=c;(D) F(x)?G(x)=c.3．下列各式中是 f(x)?sin|x|的原函数。(A) y??cos|x| ;(B) y=-|cosx|;(c)y=? ?cosx,x?0,cosx?2,x?0; (D) y=? ?cosx?c1,x?0,cosx?c2,x?0. c1、c2 任意常数。 4.F?(x)?f(x),f(x) 为可导函数，且 f(0)=1,又 F(x)?xf(x)?x2，则 f(x)=______.(A) ?2x?1 (B)?x?1 (C)?2x?1(D)?x?1 5.设 f?(sin2x)?cos2x，则 f(x)=________. 1 (A)sinx?sin2x?c;(B)x?1x2?c; (C)sin2x?1sin4x?c;(D)x2?1x4?c; 1 / 30