古典概型
古典概型
最新考纲 1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.
知识梳理
1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
2.古典概型
具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.
(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.
(2)每一个试验结果出现的可能性相同.
3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，
那么每一个基本事件的概率都是1
n
；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事
件A的概率P(A)＝m
n
.
4.古典概型的概率公式
P(A)＝事件A包含的可能结果数试验的所有可能结果数
.
[微点提醒]
概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝?，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事
件是“发芽与不发芽”.( )
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.( )
(3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.( )
(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.( )
解析对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，所有可能结果不是有限个，不是古典概型，应利用几何概型求概率，所以(4)不正确.
答案(1)×(2)×(3)√(4)×
2.(必修3P133A1改编)袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为( )
A.2
5
B.
4
15
C.
3
5
D.非以上答案
解析从袋中任取一球，有15种取法，其中抽到白球的取法有6种，则所求概
率为p＝
6
15
＝
2
5
.
答案 A
3.(必修3P134B1改编)某人有4把钥匙，其中2把能打开门.现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________.如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是________.
解析第二次打开门，说明第一次没有打开门，
故第二次打开的概率为2×2
4×3
＝
1
3
；
如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为2×2
4×4
＝
1
4
.
答案1
3
1
4
4．(2018·全国Ⅱ卷)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
解析将2名男同学分别记为x，y，3名女同学分别记为a，b，c.设“选中的2人都是女同学”为事件A，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，其中事件A包含的可能情况有(a，b)，(a，c)，
(b，c)，共3种，故P(A)＝
3
10
＝0.3.
答案 D
5．(2016·全国Ⅲ卷)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A.8
15
B.
1
8
C.1
15
D.
1
30
解析∵Ω＝{(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)}，
∴事件总数有15种．
∵正确的开机密码只有1种，∴p＝1
15
.
答案 C
6.(2019·长沙模拟改编)在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的
概率大1
22
，则口袋中原有小球的个数为________.
解析设原来口袋中白球、黑球的个数分别为n个，依题意n＋1
2n＋1－
n
2n
＝
1
22
，解
得n＝5.
所以原来口袋中小球共有2n＝10个.
答案10
考点一基本事件及古典概型的判断
【例1】袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球.
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
解(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法. 又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.
(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一
次摸球每个球被摸中的可能性均为
1
11
，而白球有5个，
故一次摸球摸到白球的可能性为5
11
，
同理可知摸到黑球、红球的可能性均为
3 11
，
显然这三个基本事件出现的可能性不相等，
故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型.
规律方法古典概型中基本事件个数的探求方法：
(1)枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时(x，y)可看成是
有序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同.
【训练1】甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽1张.
(1)写出甲、乙抽到牌的所有情况.
(2)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙大，则甲胜，否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？
解(1)设(i，j)表示(甲抽到的牌的数字，乙抽到的牌的数字)，则甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示)为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种.
(2)由(1)可知甲抽到的牌的牌面数字比乙大有(3，2)，(4，2)，(4，3)，
(4′，2)，(4′，3)，共5种情况，∴甲胜的概率p＝5
12，∵
5
12
≠
1
2
，∴此游戏
不公平.
考点二简单的古典概型的概率
【例2】 (1)已知某地春天下雨的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计未来三天恰有一天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表未来三天是否下雨的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989.据此估计，该地未来三天恰有一天下雨的概率为( )
A．0.2 B．0.25
C．0.4 D．0.35
(2)(2017·全国Ⅱ卷)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A.1
10
B.
1
5
C.3
10
D.
2
5
解析(1)指定1，2，3，4表示下雨，未来三天恰有一天下雨就是三个数字中只有一个数字在集合{1，2，3，4}中，20组随机数中，有8组符合题意，为925，
458，683，257，027，488，730，537，∴所求概率p＝
8
20
＝0.4.
(2)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：
基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，
故所求概率p＝10
25
＝
2
5
.
答案(1)C (2)D
规律方法 1.计算古典概型事件的概率可分三步：(1)计算基本事件总个数n；
(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；(3)代入公式求出概率p.
2．用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏．
【训练2】(1)(2016·全国Ⅰ卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A.1
3
B.
1
2
C.2
3
D.
5
6
(2)(2019·泉州质检)用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，则两个小球颜色不同的概率为( )
A.1
3
B.
1
2
C.2
3
D.
5
8
解析(1)从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种．故所
求概率为p＝4
6＝
2
3
.
(2)设3种不同的颜色分别用A，B，C表示，所包含的基本事件为(A，A)，(A，
B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个，其
中两个小球颜色不同的事件有6个，则两个小球颜色不同的概率p＝6
9
＝
2
3
.
答案(1)C (2)C
考点三古典概型的交汇问题多维探究
角度1 古典概型与平面向量的交汇
【例3－1】设平面向量a＝(m，1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1，2，3，4}，记“a⊥(a－b)”为事件A，则事件A发生的概率为( )
A.1
8
B.
1
4
C.1
3
D.
1
2
解析有序数对(m，n)的所有可能情况为
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)共16个，
由a⊥(a－b)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2.由于m，n∈{1，2，3，4}，故
事件A包含的基本事件为(2，1)和(3，4)，共2个，所以P(A)＝
2
16
＝
1
8
.
答案 A
角度2 古典概型与解析几何的交汇
【例3－2】将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．
解析依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，共36种，其中满足直线ax＋by＝0与
圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足
2a
a2＋b2
≤2，即a2≤b2的数组(a，b)有
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，…，(6，6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21
种，因此所求的概率为21
36
＝
7
12
.
答案
7 12
角度3 古典概型与函数的交汇
【例3－3】已知函数f(x)＝1
3
x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )
A.7
9
B.
1
3
C.5
9
D.
2
3
解析f′(x)＝x2＋2ax＋b2由题意知f′(x)＝0有两个不等实根，
即Δ＝4(a2－b2)>0，∴a>b，有序数对(a，b)所有结果为9种，其中满足a>b有
(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)共6种，故所求概率p＝6
9
＝2
3
.
答案 D
角度4 古典概型与统计的交汇
【例3－4】(2019·合肥质检)一企业从某条生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值x，得到如下的频率分布表：
(1)作出样本的频率分布直方图，并估计该技术指标值x的平均数和众数；
(2)若x<13或x≥21，则该产品不合格．现从不合格的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件的概率．
解(1)频率分布直方图为
估计平均数为x －
＝12×0.02＋14×0.12＋16×0.34＋18×0.38＋20×0.10＋22×0.04＝17.08.
由频率分布直方图，x ∈[17，19)时，矩形面积最大，因此估计众数为18. (2)记技术指标值x <13的2件不合格产品为a 1，a 2，技术指标值x ≥21的4件不合格产品为b 1，b 2，b 3，b 4，
则从这6件不合格产品中随机抽取2件包含如下基本事件(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，(b 1，
b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，(b 3，b 4)，共15个基本事件． 记抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件为事件M ，则事件M 包含如下基本事件(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，共8个基本事件．
故抽取2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件的概率为p ＝8
15.
规律方法 求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，一般步骤为： (1)将题目条件中的相关知识转化为事件； (2)判断事件是否为古典概型；
(3)选用合适的方法确定基本事件个数； (4)代入古典概型概率公式求解．
【训练3】 (2019·河南名校联考)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图(如下)．
(1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1 000名学生，试估计该校高一年级中“体育良好”的学生人数；
(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60，70)和[80，90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70)的概率．
解(1)由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有14＋3＋13＝30(人)．
所以该校高一年级中，“体育良好”的学生人数大约有1 000×30
40
＝750(人)．
(2)设“至少有1人体育成绩在[60，70)”为事件M，
记体育成绩在[60，70)的数据为A1，A2，体育成绩在[80，90)的数据为B1，B2，
B
3
，则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，
B
3
)，(B2，B3)．
而事件M的结果有7种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)．
因此事件M的概率P(M)＝7
10
.
[思维升华]
1．古典概型计算三步曲
第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．
2．确定基本事件的方法
(1)当基本事件总数较少时，可列举计算；
(2)列表法、树状图法．
3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件的概率公式简化运算．[易错防范]
在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视他们是不是等可能的.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在新一轮的高考改革中，一名高二学生在确定选修地理的情况下，想从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科学习，则所选的两科中一定有生物的概率是( )
A.3
10
B.
7
10
C.2
5
D.
3
5
解析学生在确定选修地理的情况下，从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科的方法有：(历史，政治)，(历史，化学)，(历史，生物)，(历史，物理)，(政治，化学)，(政治，物理)，(政治，生物)，(化学，生物)，(化学，物理)，(生物，物理)，共10种．其中含有生物的选择方法有：(历史，生物)，(政治，生物)，(化学，生物)，(生物，物理)，共4种，则所选的两科中一定有
生物的概率p＝
4
10
＝
2
5
.
答案 C
2．在集合A＝{2，3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1，2，3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为( )
A.1
2
B.
1
3
C.34
D.25
解析 点P (m ，n )共有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，6种情况，只有(2，1)，(2，2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为26＝1
3.
答案 B
3．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) A.310
B.15
C.110
D.120
解析 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所求概率为110.所以3个数构成一组勾股数的概率p ＝110.
答案 C
4．(2019·东北四市模拟)将一枚硬币连续抛掷n 次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于15
16，则n 的最小值为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析 依题意，得1－? ????12n ≥15
16，解得n ≥4.
答案 A
5．甲邀请乙、丙、丁三人加入了“兄弟”这个微信群聊，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人抢到的钱数均为整数，
且每人至少抢到2元，则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他两人)的概率是( )
A.1
3
B.
3
10
C.2
5
D.
3
4
解析设乙、丙、丁分别抢到x元，y元，z元，记为(x，y，z)，则基本事件有：(2，2，5)，(2，5，2)，(5，2，2)，(2，3，4)，(2，4，3)，(3，2，4)，(3，4，2)，(4，3，2)，(4，2，3)，(3，3，3)，共10个，其中符合“手气最佳”的基本事件有4个，所以丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于
其他两人)的概率p＝
4
10
＝
2
5
.
答案 C
二、填空题
6．(2018·茂名调研)在{1，3，5}和{2，4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是________．
解析符合条件的两位数共有12个，其中能被4整除的两位数为12，32，52，
共3个．∴所求事件的概率p＝
3
12
＝
1
4
.
答案1 4
7．从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则log a b为整数的概率是________．
解析从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，8)，(3，9)，(8，9)，(3，2)，(8，2)，(9，2)，(8，3)，(9，3)，(9，8), 共12种取法，其中log a b为整数的有(2，8)，(3，9)两
种，故p＝
2
12
＝
1
6
.
答案1 6
8．将号码分别为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4＜0成立的事件发生的概率为________．
解析由题意知(a，b)的所有可能结果有16种．其中满足a－2b＋4＜0 有(1，3)，(1，4)，(2，4)，(3，4)共4种结果．
故所求事件的概率p＝
4
16
＝
1
4
.
答案1 4
三、解答题
9．(2018·天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
解(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
②由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5
种．所以，事件M发生的概率P(M)＝5
21
.
10．设a∈{2，4}，b∈{1，3}，函数f(x)＝1
2
ax2＋bx＋1.
(1)求f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；
(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率．
解(1)依题意，数对(a，b)所有取值为(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)共4种情况．
记“f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数”为事件A.
则A发生时，x＝－b
a
≥－1，即a≥b.
∴事件A发生时，有(2，1)，(4，1)，(4，3)共3种情况．
故所求事件的概率P(A)＝3
4
.
(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法．∵函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a＋b，
∴这两个函数中的a与b之和应该相等，则只有(2，3)，(4，1)这1组满足，
故所求事件的概率p＝1
6
.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当y>x，y>z时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{1，2，3，4}中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为( )
A.2
3
B.
1
3
C.1
6
D.
1
12
解析从集合{1，2，3，4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结
果：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，其中是“凸数”的是132，142，143，231，241，243，341，342，共8个结果，所以这个三位
数是“凸数”的概率为
8
24
＝
1
3
，故选B.
答案 B
12．标有数字1，2，3，4，5的卡片各1张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，则抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率为( )
A.1
2
B.
1
5
C.3
5
D.
2
5
解析5张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，从这5张卡片中随机抽取2张，基本事件的总数n＝20，抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的情况有：①第1张抽到2，第2张抽到1；②第1张抽到3，第2张抽到1或2；③第1张抽到4，第2张抽到1或2或3；④第1张抽到5，第2张抽到1或2或3或
4.共10种．故抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率p＝10 20
＝
1
2
，故选A. 答案 A
13．某同学同时掷两颗质地均匀的骰子，得到的点数分别为a，b，则双曲线x2 a2
－y2
b2
＝1的离心率e＞5的概率是________．
解析由题意得e＝1＋b2
a2
＞5，即b>2a. 同时抛掷两颗骰子，
得到的点数a ，b 满足b >2a 的情况有： 当a ＝1时，b ＝3，4，5，6，共4种情况； 当a ＝2时，b ＝5，6，共2种情况， 所以满足题意的情况共有6种， 又同时掷两颗骰子有36种情况， ∴所求概率为636＝1
6.
答案 1
6
14．2018年世界女排锦标赛于9月29日至10月20日在日本举行，为了解同学们观看现场直播的情况，对高一、高二年级各10个班级的同学进行问卷调查，各班观看人数统计结果如茎叶图所示．
(1)(ⅰ)根据图中的数据，估计哪个年级平均观看人数较多？ (ⅱ)计算高一年级观看人数的样本方差；
(2)从高一年级观看人数不足20人的班级中随机抽取2个班，求这2个班分别是观看人数在10人以下与10人以上的概率．
解 (1)(ⅰ)设高一年级、高二年级观看人数的平均数分别为x －
，y －
， 那么x －
＝8＋6＋12＋14＋16＋23＋25＋33＋33＋32
10
＝20.2，
y －
＝9＋11＋15＋14＋16＋22＋26＋28＋33＋3510
＝20.9，
所以高二年级平均观看人数较多．
(ⅱ)由(ⅰ)知x －
＝20.2，则高一年级观看人数的样本方差
s2＝
1
10
×[(20.2－8)2＋(20.2－6)2＋(20.2－12)2＋(20.2－14)2＋(20.2－16)2＋
(20.2－23)2＋(20.2－25)2＋(20.2－33)2＋(20.2－33)2＋(20.2－32)2]＝97.16.
(2)由茎叶图可知，高一年级观看人数不足20人的班级有5个，其中观看人数在10人以下的班级有2个，分别记为a，b，观看人数在10人以上且不足20人的班级有3个，分别记为C，D，E.从高一年级观看人数不足20人的班级中抽取2个班，抽取的结果有(a，b)(a，C)，(a，D)，(a，E)，(b，C)，(b，D)，(b，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种，
设所求事件为事件A，则事件A包含(a，C)，(a，D)，(a，E)，(b，C)，(b，D)，(b，E)，共6种不同的结果，
由古典概型概率计算公式得，P(A)＝
6
10
＝
3
5
.
2021届高考数学一轮基础反馈训练：第九章第2讲 古典概型
基础知识反馈卡·9.2 时间：20分钟 分数：60分 一、选择题(每小题5分，共30分) 1．在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，从中任取一根，取到长度超过30 mm 的纤维的概率为( ) A.3040 B.1240 C.1230 D ．以上都不对 2．(2018年湖南长沙模拟)某中学要从师生推荐的参加讲课比赛的3名男教师和2名女教师中，任选2人参加讲课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为( ) A.25 B.35 C.13 D.23 3．同时抛掷3枚质地均匀的硬币，出现均为正面的概率是( ) A.18 B.38 C.78 D.58 4．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为( ) A.12 B.13 C.23 D ．1 5．若有2位老师，2位学生站成一排合影，则每位老师都不站在两端的概率是( ) A.112 B.16 C.14 D.12 6．(2019年云南部分学校联考)袋中共有7个球，其中3个红球、2个白球、2个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率是( ) A.435 B.3135 C.1835 D.2235 二、填空题(每小题5分，共15分) 7．有一个质地均匀的正四面体木块，4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为________． 8．(2019年广东广州模拟)在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意取两个，则编号的和是奇数的概率为________(结果用最简分数表示)． 9．(2016年上海)某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________． 三、解答题(共15分) 10．(2018年河北三市联考)袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球．现从中随机抽取2个小球，求这2个小球中既有红球也有白球的概率．
古典概型学案(二)
古典概型（二） 周次编号时间班级主备人审核人 一、目标引领 1.熟练掌握古典概型的两个特点 2.能用古典概型的概率公式求解概率问题 二、问题与例题 1.知识复习 （1）基本事件 （2）古典概型 2.例题讲解 例3 同时掷两个骰子，计算： （1）一共有多少种不同的结果？ （2）其中向上的点数之和是5的结果又多少种？ （3）向上的点数之和是5的概率是多少？ 总结：（1）确定基本事件个数，个数比较少时可以一一列举； （2）如右图所示的图像可以直观的解决该问题，在解题时注意应用 变式训练：试用上图解决以下问题： 同时掷两个骰子，计算： （1）两数之和是3的倍数的概率是多少？ （2）两数之和不低于10的概率是多少？ （3）两书之和是质数的概率是多少？ （4）点数之和是多少时概率最大？最大概率是多少？
例4假设银行卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0,1,2，…，9十个数字中的任意一个。假设一个人完全忘了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随即试一次密码就能取到钱的概率是多少？ 总结：求古典概型的步骤： （1） 判断是否为古典概型 （2） 列举所有的基本事件的总结果数n （3） 列举事件A 所包含的事件数m （4） 计算n m (A) P 变式训练：某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球. （1）共有多少个基本事件？ （2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？ 例5某种饮料每箱装有6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率是多大？
总结：（1）注意区别互斥事件和对立事件； （3）求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所有事件转化为彼此互斥事件的和;二是先去求对立事件的概率，进而再求所有事件的概率 变式训练：一枚硬币练掷三次，求出现正面向上的概率 三、目标检测 1、一枚硬币连掷两次，恰好出现一次正面的概率是（） A 0.5 B0.25 C 0.75 D 0 2、从分别写有ABCDE的5张卡片中任取两张，两字母恰好相连的概率（） A 0.2 B 0.4 C 0.3 D 0.7 3、甲乙两人做出拳游戏(锤子,剪刀,布),求: (1)平局的概率是_________; (2)甲赢的概率是_______. 4从标有1,2，3，…，7的七个大小相同小球中抽取一个球，记下它上面的数字，放回后再取出一个小球，记下它上面的数字，然后把两个小球上的数字相加，求取出两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率 四、课后反思
.2.1古典概型(教学设计)
3.2.1古典概型(教学设计)
3.2.1古典概型（教学设计） 宁夏彭阳县第一中学 张有花 一、 教材分析 （一） 教材地位、作用 《古典概型》是高中数学人教A 版必修3第三章概率3.2的内容，教学安排是2课时，本节是第一课时。是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，它的引入避免了大量的重复试验，而且得到的是概率精确值，同时古典概型也是后面学习条件概率的基础，它有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题，起到承前启后的作用，所以在概率论中占有相当重要的地位。 （二）教材处理： 学情分析：学生基础一般，但师生之间，学生之间情感融洽，上课互动氛围良好。他们具备一定的观察，类比，分析，归纳能力，但对知识的理解和方法的掌握在一些细节上不完备，反映在解题中就是思维不慎密，过程不完整。 教学内容组织和安排：根据上面的学情分析，学生思维不严密，意志力薄弱，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。通过对问题情境的分析，引出基本事件的概念，古典概型中基本事件的特点，以及古典概型的计算公式。对典型例题进行分析，以巩固概念，掌握解题方法。 二、三维目标 知识与技能目标： （1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等； （2）理解古典概型的概率计算公式 ：P （A ）=总的基本事件个数 包含的基本事件个数A （3）会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 过程与方法目标：根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典
2021高三统考北师大版数学一轮：第11章第2讲 古典概型
课时作业 1.(2019·新疆乌鲁木齐第三次质检)从1,2,3,4,5,6中任意取出两个不同的数，其和为7的概率为() A.2 15 B. 1 5 C.4 15 D. 1 3 答案 B 解析从1,2,3,4,5,6中任意取出两个不同的数，共有15种不同的取法，它们分别是{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15种．从1,2,3,4,5,6中任意取出两个不同的数，它们的和为7，则不同的取法为{1,6}，{2,5}，{3,4}，共3种，故所求的概率为1 5 ，故选B. 2.(2019·安徽江淮十校最后一卷)《易经》是我国古代预测未来的著作．其中有同时抛掷三枚古钱币观察正反面来预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为() A.1 8 B. 1 4 C.3 8 D. 1 2 答案 C 解析抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有{正正正}，{正正反}，{正反正}，{反正正}，{正反反}，{反正反}，{反反正}，{反反反}，共8种，其中出现两正一反的基本事件共3种，故概率为3 8.故选C. 3．(2019·山东潍坊三模)五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成．如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为()
A.1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 答案 A 解析从金、木、水、火、土中任取2类，包含的基本事件为金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10种，其中2类元素相生的基本事件包含木火、火土、水木、金水、土金，共5种，所以2类元素相生 的概率为5 10＝1 2 ，故选A. 4.(2019·湖南六校联考)某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是() A.2 3 B. 1 2 C.1 4 D. 1 6 答案 B 解析从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色的所有基本事件有{黄白}，{黄蓝}，{黄红}，{白蓝}，{白红}，{蓝红}，共6种．其中包含白色的基本事件有 3种，所以选中的颜色中含有白色的概率为1 2 ，故选B. 5.(2019·湖南雅礼中学模拟二)甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为() A.1 2 B. 1 3 C.1 4 D. 1 5 答案 C 解析甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人共有4种情况，包含(甲送给丙、乙送给丁)、(甲送给丁，乙送给丙)、(甲、乙都送给丙)、(甲、乙都送给丁)．其中甲、乙将贺年卡都送给丁的情况只有一种，其概率是1 4 ，故选
2021届高考数学一轮复习训练第2讲古典概型
第2讲 古典概型 1．(2018年新课标Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ) A.112 B.114 C.115 D.118 2．(2019年广东中山模拟)袋子里有3个白球，4个黑球，5个红球，某人一次抽取3个球，若每个球被抽到的机会均等，则该人抽到的球颜色互异的概率是( ) A.14 B.13 C.27 D.311 3．(2014年陕西)如图X9-2-1，从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) 图X9-2-1 A.15 B.25 C.35 D.45 4．某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球．若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖．按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( ) A.45 B.1925 C.2350 D.41100 5．在平面直角坐标系中，从下列五个点：A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,2)，E (2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是( ) A.25 B.35 C.45 D ．1 6．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为( ) A.13 B.14 C.15 D.16 7．(多选)甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是( ) A ．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件 B ．甲的不同的选法种数为15 C ．已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是16 D ．乙、丙两名同学都选物理的概率是949 8．(多选)设集合M ＝{2,3,4}，N ＝{1,2,3,4}，分别从集合M 和N 中随机取一个元素m 与n .记“点P (m ，n )落在直线x ＋y ＝k 上”为事件A k (3≤k ≤8，k ∈N *)，若事件A k 的概率最大，
古典概型
古典概型教学设计 一、教材分析 1、教材地位、作用 本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修3（A）版》第三章中的第3.2.1节古典概型。它安排在随机事件的概率之后，几何概型之前，学生还未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位,是学习概率必不可少的内容，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，能解释生活中的一些问题。因此本节课的教学重点是理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。 2、学情分析 学生基础一般，但师生之间，学生之间情感融洽，上课互动氛围良好。他们具备一定的观察，类比，分析，归纳能力，但对知识的理解和方法的掌握在一些细节上不完备，反映在解题中就是思维不慎密，过程不完整。 二、教学目标 1、知识与技能目标 ⑴理解等可能事件的概念及概率计算公式；⑵能够准确计算等可能事件的概率。 2、过程与方法 根据本节课的知识特点和学生的认知水平，教学中采用探究式和启发式教学法，通过生活中常见的实际问题引入课题，层层设问，经过思考交流、概括归纳，得到等可能性事件的概念及其概率公式，使学生对问题的理解从感性认识上升到理性认识。 3、情感态度与价值观 概率问题与实际生活联系紧密，学生通过概率知识的学习，可以更好的理解随机现象的本质，掌握随机现象的规律，科学地分析、解释生活中的一些现象，初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神。 三、重点、难点 重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。
难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。 四、教学过程 采用如下流程： 1、创设情境提出问题 师：在考试中遇到不会做的选择题同学们会怎么办？在你不会做的前提下，蒙对单选题容易还是蒙对不定项选择题容易？这是为什么？ 【设计意图】通过这个同学们经常会遇到的问题，引导学生合作探索新知识，符合“学生为主体，老师为主导”的现代教育观点，也符合学生的认知规律。随着新问题的提出，激发了学生的求知欲望，使课堂的有效思维增加。 2、抽象思维形成概念 师：考察试验一“抛掷一枚质地均匀的骰子”，有几种不同的结果，结果分别有哪些？ 生：在试验中随机事件有六个，即“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”。 师：我们把上述试验中的随机事件称为基本事件，它是试验的每一个可能结果。 师：考察试验二“抛掷一枚质地均匀的硬币”有哪些基本事件？ 生：在试验中基本事件有两个，即“正面朝上”和“反面朝上”。 师：那基本事件有什么特点呢？ 问题：（1）在“抛掷一枚质地均匀的骰子”试验中，会同时出现“1点”和“2点”这两个基本事件吗？ （2）事件“出现偶数点”包含了哪几个基本事件？ 由如上问题，分别得到基本事件如下的两个特点： （1）任何两个基本事件是互斥的；
必修二古典概型
第一讲古典概型 一、事件与事件的关系： 1.事件： （1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件； （2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件； （4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件； 2.两个事件之间的关系包括包含事件、相等事件、互斥事件、对立事件，事件之间的运算包括和事件、 积事件，这些概念的含义分别如何？ í. 若事件A发生时事件B一定发生，则A B 若事件A发生时事件B一定发生，反之亦然，则A=B. 若事件A与事件B不同时发生，则A与B互斥. 若事件A与事件B有且只有一个发生，则A与B相互对立. 3.概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B）. 对立事件的概率的关系：若事件A与事件B相互对立，则P（A）+P（B）=1. 练习：一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环； 事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环. 二、基本事件： 1.抛掷两枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？连续抛掷三枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？ 2.上述试验中的每一个结果都是随机事件，我们把这类事件称为基本事件.在一次试验中，任何两个基本事件是什么关系？ 3.在连续抛掷三枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“出现两次正面和一次反面”，“至少出现两次正面”分别由哪些基本事件组成？ 4.综上分析，基本事件有哪两个特征？ 5.从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？事件“取到字母a”是哪些基本事件的和？ 三、古典概型： 1.抛掷一枚质地均匀的骰子有哪些基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？ 2.抛掷一枚质地不均匀的硬币有哪些基本事件？每个基本事件出现的可能性相等吗？ 3.从所有整数中任取一个数的试验中，其基本事件有多少个？ 4.如果一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性），且每个基本事件出现的可能性相等（等可能性），则具有这两个特点的概率模型称为古典概型. 在射击练习中，“射击一次命中的环数”是古典概型吗？为什么？
2019版高考数学一轮复习题组训练第12章 第2讲古典概型与几何概型(含最新模拟题) Word版含答案
第二讲古典概型与几何概型 题组求古典概型的概率 .[天津分][文]有支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这支彩笔中任取支不同颜色的彩笔,则取出的支彩笔中含有红色彩笔的概率为() . . . . .[全国卷Ⅰ分][文]为美化环境,从红、黄、白、紫种颜色的花中任选种花种在一个花坛中,余下的种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是() . . . . .[全国卷Ⅲ分][文]小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是中的一个字母,第二位是中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是() . . . . .[北京分][文]从甲、乙等名学生中随机选出人,则甲被选中的概率为() .... .[ 新课标全国Ⅰ分][文]如果个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这个数为一组勾股数.从中任取个不同的数,则这个数构成一组勾股数的概率为() .... .[湖北分][文]随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过的概率记为,点数之和大于的概率记为,点数之和为偶数的概率记为,则() <<<<<<<< .[四川分][文]从中任取两个不同的数字,分别记为,则为整数的概率是. .[新课标全国Ⅱ分][文]甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝种颜色的运动服中选择种,则他们选择相同颜色运动服的概率为. .[山东分][文]某旅游爱好者计划从个亚洲国家和个欧洲国家中选择个国家去旅游. (Ⅰ)若从这个国家中任选个,求这个国家都是亚洲国家的概率; (Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选个,求这个国家包括但不包括的概率.
.[山东分][文]某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为.奖励规则如下: 图 ①若≤,则奖励玩具一个;②若≥,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. (Ⅰ)求小亮获得玩具的概率; (Ⅱ)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由. 题组几何概型的概率计算 .[全国卷Ⅱ分][文]某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待秒才出现绿灯的概率为() . . . . .[ 山东分][文]在区间[]上随机地取一个数,则事件“≤()≤”发生的概率为() . . . . .[湖北分][文]在区间[]上随机取两个数,记为事件“≤”的概率为事件“≤”的概率,则() <<<<.<<<< .[江苏分][文]记函数()的定义域为.在区间[]上随机取一个数,则∈的概率是. .[重庆分][文]在区间[]上随机地选择一个数,则方程有两个负根的概率为. .[福建分][文]如图,在边长为的正方形中随机撒粒豆子,有粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为.
3.2.1古典概型教案设计
§3.2.1 古典概型 一、教材分析 【学科】:数学 【教材版本】:普通高中课程标准实验教科书——数学必修3 [人教版] 【课题名称】:古典概型(第三章第130页) 【教学任务分析】:本节课是高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型（由于它在概率论发展初期是主要的研究对象，许多概率的最初结果也是由它得到的，所以称它为古典概型），也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。 学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题。 【教学重点】:理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。 【教学难点】:如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。 【教学方法与理念】:与学生共同探讨，应用数学解决现实问题。 二、教学目标定位 【知识与技能】：(1)理解古典概型及其概率计算公式， (2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 【过程与方法】：根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。 【情感态度与价值观】：概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象。适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例。使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。 三、教法及学法分析 【教法分析】：根据本节课的特点，采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳古典概型的概念及其概率公式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。 【学法分析】：学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳和动手尝试相结合，体现了学生的主体地位，培养了学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。 四、教学策略 1通过抛一枚硬币和一枚骰子的试验给出基本事件的概念； 2通过两个试验和例一的分析得出古典概型的两个特点和计算公式； 3例题具有一定实际背景，激发学生的求知欲，每道例题的计算量不大，用列举法都可以数出基本事件的总个数； 4在每道例题后都有相应的“探究”或“思考”，提出问题，引导学生进一步学习，以开拓学生思路。 在整个教学过程中，一直要学生的思考为中心，把握古典概型的特点，在解决概率的计算上，教师鼓励学生尝试列表和画出树状图，让学生感受求基本事件个数的一般方法，从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑。整个教学设计的顺利实施，达到了教师的教学目标。 五、教学过程
2020优化方案高考总复习文科数学学案及练习第十章概率第2讲古典概型
第2讲 古典概型 1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 (1)特点 ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个,即有限性； ②每个基本事件发生的可能性相等,即等可能性． (2)概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数 . 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”．( ) (2)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个事件是等可能事件．( ) (3)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球,那么每种颜色的球被摸到的可能性相同．( ) (4)“从长为1的线段AB 上任取一点C ,求满足AC ≤1 3的概率是多少”是古典概型．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (教材习题改编)袋中装有6个白球,5个黄球,4个红球,从中任取一球,取到白球的概率为( ) A.25 B.415 C.35 D.115 解析：选A.从15个球中任取一球有15种取法,取到白球有6种,所以取到白球的概率P ＝615＝25 . (2018·高考全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为( ) A ．0.6 B ．0.5 C ．0.4 D ．0.3
解析：选D.将2名男同学分别记为x ,y ,3名女同学分别记为a ,b ,c .设“选中的2人都是女同学”为事件A ,则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x ,y ),(x ,a ),(x ,b ),(x ,c ),(y ,a ),(y ,b ),(y ,c ),(a ,b ),(a ,c ),(b ,c ),共10种,其中事件A 包含的可能情况有(a ,b ),(a ,c ),(b ,c ),共3种,故P (A )＝3 10 ＝0.3.故选D. 已知高一年级某班有63名学生,现要选1名学生作为标兵,每名学生被选中是等可能的,若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的10 11,则这个班的男生人 数为________． 解析：根据题意,设该班的男生人数为x ,则女生人数为63－x ,因为每名学生被选中是等可能的,根据古典概型的概率计算公式知,“选出的标兵是女生”的概率是63－x 63,“选出的标 兵是男生”的概率是x 63,故63－x 63＝1011×x 63 ,解得x ＝33,故这个班的男生人数为33. 答案：33 同时抛掷两个骰子,则向上的点数之差的绝对值为4的概率是________． 解析：同时抛掷两个骰子,基本事件总数为36,记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A ,则事件A 包含的基本事件有(1,5),(2,6),(5,1),(6,2),共4个,故P (A )＝436＝1 9 . 答案：19 简单的古典概型(典例迁移) (1)(一题多解)甲、乙两人有三个不同的学习小组A ,B ,C 可以参加,若每人必须参加 并且仅能参加一个学习小组,则两人参加同一个小组的概率为( ) A.13 B.14 C.15 D.16 (2)在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( ) A.310 B.15 C.110 D.112 【解析】 (1)法一：因为甲、乙两人参加学习小组的所有情况有(A ,A ),(A ,B ),(A ,C ),(B ,A ),(B ,B ),(B ,C ),(C ,A ),(C ,B ),(C ,C ),共9种,其中两人参加同一个学习小组的情况有(A ,A ),(B ,B ),(C ,C ),共3种,所以两人参加同一个学习小组的概率为39＝13, 故选A.
第2节古典概型(教师版)
第二节 古典概型 1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 (1)定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． ②每个基本事件出现的可能性相等． (2)概率公式：P(A)＝A 包含的基本事件的个数 基本事件的总数 . ： 3.一个判定标准：试验结果有限且等可能． 4.两种方法 (1)列举法：适合于较简单的试验． (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(x ，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同． 题型一 简单古典概型的概率 例题 【例1】从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )． 【答案】D 【解析】由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数分别为一奇一偶．若 个位数为奇数时，这样的两位数共有C 15C 14＝20个；若个位数为偶数时，这样的两位数共有C 15C 15＝25个；于是，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有20＋25＝45个．其中，个位
数是0的有C 15×1＝5个．所求概率为545＝1 9. ： 【例2】某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)． 【答案】 3 5【解析】相邻两节文化课之间最多间隔一节艺术课，可以分两类： 第一类：文化课之间不排艺术课，设此事件为A ，则P (A )＝A 44A 33A 66 ＝1 5. 第二类：文化课之间排艺术课，设此事件为B ， ①三节文化课之间有一节艺术课的排列情况总数为2C 13A 33A 3 3. ②三节文化课中间有两节不相邻艺术课的排列总数为A 33A 23A 22， ∴P (B )＝2C 13A 33A 33＋A 33A 23A 2 2 A 66 ＝25，∴P ＝P (A )＋P (B )＝15＋25＝35 练习题 【练1】甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )． 】 【答案】C 【解析】甲、乙、丙三名同学站成一排共有6种站法，甲在中间共有2种站法，故甲站在中间的概率为13. 【练2】袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )． 【答案】B 【解析】从袋中任取两球有C 26＝15种，满足两球颜色为一白一黑的有C 12C 13＝6种， 概率等于615＝2 5. 【练3】从数字1,2,3,4,5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这两个数的和为偶数的概率是( )．
高中数学 第2讲 古典概型
第2讲古典概型 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．一枚硬币连掷2次，恰有一次正面朝上的概率为______． 解析一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)， (反，反)，而只有一次出现正面的基本事件有(正，反)，(反，正)，故其概率 为2 4＝ 1 2. 答案1 2 2．(·新课标全国Ⅱ卷)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________． 解析任取两个不同的数的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)， (2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，其中和为5的有2种，所以所求 概率为2 10＝ 1 5. 答案1 5 3．(·金华模拟)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是________． 解析取出的两个数是连续自然数有5种情况，则取出的两个数不是连续自 然数的概率P＝1－5 15＝ 2 3. 答案2 3 4．(·盐城一模)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是________． 解析基本事件的个数有15种，其中满足b＞a的有3种，所以b＞a的概 率为3 15＝ 1 5.
答案1 5 5．(·安徽卷改编)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于________． 解析1个红球，2个白球和3个黑球分别记为a1，b1，b2，c1，c2，c3.从袋中任取两球有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a1，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1， c3)，(c2，c3)，共15种；满足两球颜色为一白一黑的有6种，概率等于6 15＝ 2 5. 答案2 5 6．一根绳子长为6米，绳子上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为________．解析随机选一个节点将绳子剪断共有5种情况，分别为(1,5)，(2,4)， (3,3)，(4,2)，(5,1)．满足两段绳长均不小于2米的为(2,4)，(3,3)，(4,2)，共 3种情况．所以所求概率为3 5. 答案3 5 7．(·安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________． 解析记事件A：甲或乙被录用．从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)， (甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁， 戊)，共10种可能，而A的对立事件A仅有(丙，丁，戊)一种可能，∴A的 对立事件A的概率为P(A)＝1 10，∴P(A)＝1－P(A)＝ 9 10. 答案9 10 8．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可
浅谈古典概型及其解题方法
海南大学 毕业论文（设计） 题目：浅谈古典概型及其解题方法 学号：201116153100047 姓名：覃怀森 年级：12 级 学院：信息科学技术学院 系别：数学系 专业：数学与应用数学专业 指导教师：刘金容
摘要（是对论文内容的概括总结） 古典概型在概率论中占据着极为重要的地位。它既是概率论的基础入门，又是学习概率论过程的难点所在，因为其直白简洁的概念和计算公式，让我们更难掌握精准的解题方法。 古典概型之所以难以理解是因为:首先,古典概型涉及到的实际问题千变万化,需要敏锐的洞察力和深人细致的分析,才能解决古典概型问题;其次,古典概型的计算涉及到诸如加法原理、乘法原理、排列、组合等数学知识,特别是加法原理、乘法原理的应用很容易混淆,而排列与组合则更难,都可能导致错误的计算结果。古典概型本身尽管复杂有关,但更重要的是:对古典概型的理解不深、不透彻,从而思考问题不得要领。（第二段可以简写） 对古典概型及其解题方法的研究，能系统地加深对概率论的理解和应用。本文通过系统的学习古典概型的概念和解题方法，达到更深层次对古典概型的的理解和更好的运用。（对论文干了什么工作可以写更详细点）在概率论中我们最先学到的知识就是古典概型，古概型是概率论的起源，是一切概率问题的基础，如何看清古典概型的本质是需要研究的问题，我们要让让古典概型这个既熟悉又陌生的名字，努力使之成为懂的人爱之越深，不懂的人不再一脸茫茫然。在此，需要我们系统的去深入学习和理解。 关键词：古典概型，样本空间，基本事件，解题方法
Abstract做相应修改 Classical probability plays a very important role in the theory of probability. It is not only the basis of probability theory, but also is learning probability on the process difficulty, because the concept and formula of the straightforward and simple, let us have more difficulty to grasp accurate method of solving problems. Classical probability type because it is difficult to understand .the reasons: first, classical probability relates to a kaleidoscope of practical problems and need keen insight and deep and careful analysis, in order to solve the classical type of probability; secondly, the classical probability calculations related to such as the addition principle, the principle of multiplication, permutation and combination, mathematical knowledge, especially it is easy to get confused about the application of the principle addition and multiplication, and arranged and combination is more difficult and may lead to incorrect results. , classical probability itself although complex, but more important is: on the classical probability type understanding is not deep, not thorough and think to no avail. The understanding and application of the theory of probability can be systematically studied by the research of the classical model and its solution method. In this paper, through the systematic study of the concept of classical concept and problem-solving methods, to achieve a deeper understanding of the classical model and better use of. In probability theory, we first learn the knowledge is the classical type of probability, the ancient probability is probability theory origin, is the basis of all probability problems, how to see the essence of classical probability is a need to study the problem, we must let the classical type of probability that both familiar and unfamiliar names, efforts to become people who understand the love more deep, do not understand the people no longer look blankly. Here, we need to go deep into the system to learn and understand. keywords:Classical probability model, Sample space, Basic event, Symmetry .
古典概型
知识点分析： （一） 古典概型 １．随机事件A 的概率：0()1P A ≤≤，其中当()1P A =时称为必然事件；当()0P A =时称为不可能事件； 2．等可能事件的概率（古典概型）： P(A)= n m 。理解这里m 、ｎ的意义。 3．互斥事件：A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生。计算公式：P (A +B )＝P (A )+P (B )。 4．对立事件：A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生。 计算公式是：P （A ）+ P(B)＝１；P (A )=1－P (A )； （二）分布列 1．分布列：设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为 ()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 ξ x 1 x 2 … x i … P P 1 P 2 … P i … 2．分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P 。由此你可以得出离散型随机变量的分布 列都具有下面两个性质： （1）0(1 ,2,)i P i ≥=; （2）121P P ++ =. 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和，即 ???+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ 3.数学期望：1122n n E x P x P x P ξ=++++ 数学期望的性质：()()E a b aE b ξξ+=+. 4.方差： ()()()2 2 2 1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-?+-?+ +-?+ 5.标准差：σξ= ξD . 6.方差的性质：()2 D a b a D ξξ+=； 7．二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的 次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是 k n k k n n q p C k P -==)(ξ， （k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下： 称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )， 且E np ξ=；(1)D np p ξ=-. ξ 0 1 … k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - 0 q p C n n n
19届高考数学大一轮复习第十二章概率、随机变量及其分布第2讲古典概型练习理
第2讲 古典概型 一、选择题 1.集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( ) A.23 B.12 C.13 D.16 解析 从A ，B 中任意取一个数，共有C 1 2·C 1 3＝6种情形，两数和等于4的情形只有(2，2)，(3，1)两种，∴P ＝26＝13. 答案 C 2.(2017·黄山一模)从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是( ) A.310 B.15 C.12 D.35 解析 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件数有C 3 5＝10种.根据三角形三边关系能构成三角形的只有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)共3个基本事件，故所求概率为P ＝3C 35＝3 10. 答案 A 3.(2017·马鞍山一模)某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率为( ) A.112 B.19 C.536 D.16 解析 落在2x －y ＝1上的点有(1，1)，(2，3)，(3，5)共3个，故所求的概率为P ＝ 3 6×6＝112 . 答案 A 4.(2017·郑州模拟)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a >b ，b