欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解(Fourier级数)【圣才出品】

欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解

第15章Fourier级数

15.1复习笔记

一、Fourier级数

1．相关概念

（1）三角级数的定义

形如

一类的函数项级数，称为三角级数．

（2）三角多项式

上述三角级数前n项和

称为（n次）三角多项式．

（3）Fourier级数

假定周期为2π的函数f（x）能展开成上一致收敛的三角级数：

其中

称系数由上式所确定的三角级数

为f（x）的Fourier级数，系数称为f（x）的Fourier系数，并记

2．正弦级数和余弦级数

（1）设周期为2π的函数f（x）于上绝对可积，如果f（x）是奇函数，则

从而

这就是正弦级数．

（2）当f（x）为偶函数时，必有，这时可得余弦级数

3．一般周期函数的Fourier级数

设f（x）是周期为T且在[0，T]上绝对可积的函数，f（x）在[0，T]上的Fourier级数：

其中

4．复数形式下的Fourier级数

f（x）在复数形式下的Fourier级数

复的Fourier系数

二、Fourier级数的收敛性

1．Riemann引理

（1）Riemann引理

设f（x）在（有界或无界）区间〈a，b〉上绝对可积，则

（2）推论

在[0，T]上绝对可积函数的Fourier系数

2．Fourier级数收敛的充要条件（局部性定理）

周期为2π的局部绝对可积函数f（x）的Fourier级数在点x的敛散情况及收敛时的极限值仅与f在该点任意指定小的邻域上的值有关，与此邻域外的值无关．3．Dini判别法

（1）Dini判别法

若于上绝对可积，则，即f的Fourier级数在点x收敛到S：

（2）推论

f是2π周期的局部绝对可积函数，若于x点存在左右极限f（x±）及

所示的有限单侧导数，则Fourier级数于x点成立

4．Jordan判别法

设f在上单调（或有界变差），

（1）若，则

（2）若则

三、Fourier级数的性质

1．逐项积分定理

设周期为2π的函数f（x）局部绝对可积且

则收敛，且逐项积分公式成立：

．

2．Fourier级数逐项求导问题

假定f（x）是周期为2π的连续可微函数，且

的Fourier级数：

其中表示的Fourier系数．

由此可得

故周期为2π的连续可微函数f的Fourier级数必可逐项求导，求导后得的Fourier级数．3．最佳平方逼近

（1）定理

设为f的Fourier系数，并设

是f的Fourier级数前n项和，当且仅当时，平方误差最小，且最小值为

（2）Besse1不等式

（3）Parseva1等式

四、用多项式逼近连续函数

1．引理

为2π周期、分段线性的连续函数，则的Fourier级数必一致收敛到

2．Weierstrass定理

（a，b有限）多项式p（x），使得

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