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第1章集合与不等式(初等数学教案)

第1章集合与不等式

【学习目标】

1.了解集合的概念及其表示方法.

2. 掌握集合之间的运算（子集、真子集、相等、交集、并集、补集）.

3. 理解区间的概念,会在数轴上表示区间.

4. 掌握绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式的解法.

5. 培养学生应用数学概念的能力和计算能力.

1.1 集合

1.集合的概念

集合是现代数学中最基本的概念之一.研究集合的数学理论称为集合论，它是数学的一个基本分支，是近代许多数学分支的基础.

我们在初中就已经接触到了“集合”一词,如: “自然数的集合” ,“有理数的集合”, “不等式的解集”等. 在数学和日常生活中，也经常把某些指定的对象作为一个整体加以研究，例如：

⑴一个班里的全体学生；

⑵某图书馆的全部藏书；

⑶所有的直角三角形；

⑷与一个角的两边距离相等的所有点；

⑸不等式21

x-＞3的所有解；

⑹某工厂金工车间的所有机床．

它们分别是由一些人、书、图形、点、数和机床组成的．

一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集),用大写字母,,,

A B C L表示.集合中的每个对象叫做这个集合的元素,用小写字母,,,

a b c L 表示.

如果a是集合A的元素，就说“a属于集合A”，记作a A

∈；如果a不是集合A的元素，就说“a不属于集合A”，记作a A

某校高一(1) 班全体学生就构成了一个集合，该校内的任一学生，或者是高一(1) 班的同学，或者不是，二者必居其一，这一性质叫做集合元素的确定性；在书写高一(1)班全体同学的名单时，谁写在前面或者后面，不论次序如何，都是高一(1)班全体同学的名单，这一性质叫做集合元素的无序性；另外，每名同学的名字，必须写而且只需写一次就可以了，这一性质叫做集合元素的互异性.

练一练:

判断下列各组元素能否构成一个集合:

(1)所有爱唱歌的孩子;

(2) 0,1,1,2.集合理论的创始人是

康托尔（Cantor,G.

F.L.P，1845—1918）,德国数学家．

任何集合的子集，即?A

?.因此,任何一个集合是它本身的子集，即A

A?.

集合A不包含于集合B时，记作A?/B.

例1 写出集合{}

a b c的所有子集.

解集合{}

a b c的所有子集是:

{}{}{}{}{}{}{}

,,,,,,,,,,,,

a b c a b a c b c a b c

2. 真子集

在集合{}

a b c的所有子集中，除去它本身{}

a b c外，集合{}

a b c中至

少有一个元素不在其余的某个子集中.

如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A,则称

集合A是集合B的真子集,记作A B(或A

B≠?),读作A真包含于B(或B真

包含A).如文氏图1-1所示.

集合{}

a b c的子集中，除了{}

a b c外，其它子集都是{}

a b c的真子集.

显然,空集是任何非空集合的真子集.

练一练:判断集合A B

与的关系:

(1)集合{}

1,2,3

A=,{}

1,2,3,4

B=;

设合{}

1,2,3

A=,{}2,3,1

3、集合的相等

如果集合A与集合B的元素完全相同，即A

?且，则称集合A与

集合B相等，记作B

A=.

练一练:

对于集合{}

1,2

A=, {}

1,2,3,4,5,6

B=,{}

2,7

C=,

思考：

符号∈与符

号?表达的

含义相同

吗？

思考：集合

{}

a b c有

三个元素，子

集个数为

8个，即32

个；真子集个

数为3

个；推广到含

有n个元素

的集合，则子

集个数和真

子集的个数

分别为多

少？

{}

(1)(2)0

D x x x

=--=,

下列关系是否成立:A D

=,A B

?, A B,A C

例2 指出下列各组中两个集合之间的关系:

(1){}{}

1,7,1,2,3,7

A B

==;

(2){}{}

21,1,1

C x x D

===-;

(3){}{}

E F

偶数整数;

解(1) A B; (2)C D

=; (3)E F.

例3 讨论集合{}

A x x

=-=与集合{}

260

B x x x

=+-=的关系.

解因为集合{}{}2

集合{}{}2,3

所以集合A是集合B的真子集，即A B.

【习题1.2】

1．用符号∈、?、=、、≠?填空：

（1）1 N；（2）0 Z；（3）-2 -

（4）

Q；（5）πQ；（6）2R；

（7）{1，2} {2，1}；（8）{3，5} {1，3，5}；

（9）{2，4，6，8} {2，8}；（10）? {1，2，3}.

2．图1-2中A、B、C表示集合，说明它们之间的关系.

图1-2

3．写出集合{1,3,5}的所有子集.

4．设A={1，3，5，7，9}，B={1，2，4，6}，写出由A和B的所有元素组

成的集合C.

5．设A={1，3，5，7，9}，B={1，2，3，4，6，8，10}，写出由A和B的

公共元素组成的集合C.

1.3 集合的运算 1. 交集

观察集合{}1,237A =，，与{}2,3,67,B =，，容易看出，集合}73,2{，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的，对于这样的集合我们给出如下定义.

定义由集合A 与集合B 的所有公共元素组成的集合，叫做集合A 与集合B 的交集(如图1-3的阴影部分所示)，记作B A I ，读作“A 交

B ”.即

{}A B x x A x B =∈∈I 且.

由交集的定义及图1-3可以看出, B A I 既

是A 的子集，也是B 的子集,即A B A ?I 且A B B ?I .

另外，交集还有如下性质：

A A A A A

B B A

?=?==I I I I 若A B A I ＝，则A B ?，反之也成立. 例1 设集合：

(1){}2,578A =，，,{}5,68,10B =，; (2) {}A =奇数,{}B =偶数; (3) {

}

A =奇数,{

}

B =整数;

(4) {}A =等腰三角形,{}

B =直角三角形; (5){}(,)25A x y x y =+=,{}

(,)27B x y x y =+=; (6){}13A x x =≤≤,{}

25B x x =≤≤. 求B A I .

解 (1) {}{}{}2,5785,68,105,8A B ==I I ，，，; (2) {}{}

A B ==?I I 奇数偶数;

(3) {}{}{}

A B A ===I I 奇数整数奇数;

{}{}{}(4);

A B ==I I 等腰三角形直角三角形等腰直角三角形

{}{}

{}

(5)(,)25(,)27

(,)(1,3);

A B x y x y x y x y

x y

=+=+=

???

I I

(6){}{}{}

132523

A B x x x x x

=≤≤≤≤=≤≤

I I, 如图1-4所示.

2. 并集

我们把集合{}

1,237

A=，，与{}

2,3,67,

B=，的元素放在一起，构建新的集合,由集合元素的互异性得新的集合为{}

1,2,3,6,7. 它是由所有属于A,或属于B的元素组成的.对于这样的集合，我们给出如下定义.

定义由所有属于集合A或属于集合B的元

素组成的集合，称为集合A与集合B的并集(如图

1-5的阴影部分所示),记作A B

U,读作A并B,

即

{|,}

A B x x A x B

=∈∈

U或.

由并集的定义及图1-5可以看出,集合A B

、

都是A B

U的子集,即A A B

?U,B A B

?U.

另外，并集还有如下性质：

A A

A A A

A B B A

U U

若A B B

U＝，则A B

?，反之也成立.

例2设集合：

(1){}

2,578

A=，，,{}

5,68,10

B=，;

(2) {}

A=奇数,{}

B=偶数;

(3) {}

A=奇数,{}

B=整数;

(4) {}

A=等腰三角形,{}

B=直角三角形;

(5) {}

A x x

=≤≤,{}

B x x

=≤≤.

求A B

解(1) {}{}{}

2,5785,68,1025678,10

A B==

U U

，，，，，，，;

(2) {}{}{}

A B==

U U

奇数偶数整数;

(3) {}{}{}

A B B

===

U U

奇数整数整数;

{}{}

(4)

;

A B=

=??

U U

等腰三角形直角三角形

等腰直角三角形，等腰非直角三角形，

直角非等腰三角形

(5){}{}{}

132515

A B x x x x x

=≤≤≤≤=≤≤

U U,

如图1-6所示.

3. 补集

观察下列三个集合之间的关系：

I＝{全班同学}, A＝{班上男同学} , B＝{班上女同学}.

容易看出,集合B就是在集合I中，去掉集合A的所有元素之后，由余下来

的元素组成的集合.

在研究集合之间的关系时,如果集合I包含我们要研究的各个集合，则称I

为全集.

设I是全集，A是I的一个子集（即A?I），则由I中所有不属于A的元素

组成的集合，叫作集合A在I中的补集(如图1-7所示)，简称集合A的补集.

记作Α

C，读作“A补”，即

{}A

Α?

∈

=且

由全集与补集的定义可得：

Y，o

A/=

I，

I/=

C，I

o=/

C，

Α=

)

例3 设{}

I=三角形，{}

A=锐角三角形,求Α

解{}

形

直角三角形，钝角三角

在求集合的

并集时,同时

属于A和B

的公共元素,

在他们的并

集中只列举

一次

(1)1A 、2A 、3A 、4A 中哪两个集合的交集是非空集合？

(2)求23A A U .

(3)求14A A U .

(4)2A 、3A 、4A 中哪些集合是1A 的真子集.

1.4 区间设,a b 是两个实数，且a b <,则:

满足不等式a x b ≤≤的所有实数x 的集合,叫做由a 到b 的闭区间,记作[,]a b .

满足不等式a x b <<的所有实数x 的集合,叫做由a 到b 的开区间,记作(,)a b .

满足不等式a x b ≤<(或a x b <≤)的所有实数x 的集合,叫做由a 到b 的半开区间,记作[,)a b (或(,]a b ).

在这里,实数,a b 叫做相应区间的端点. 上述区间[,]a b ,(,)a b ,[,)a b ,(,]a b 统称为有限区间. 满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合，分别记作),[+∞a ,),(+∞a ，],(b -∞，),(b -∞，这些区间称为无限区间. 其中符号+∞与-∞分别读做正无穷大与负无穷大. 全体实数的集合R 也是无限区间,记作(,)-∞+∞.

区间可以用数轴上的点集来表示,其中用实心点表示端点包括在区间内, 用空心点表示端点不包括在区间内,如图1-8所示.

无限区间也可以用数轴上的点集来表示, 如图1-9所示.

例1 用区间表示下列集合:

(1){}16x x <≤; (2){}

,1,2x x R x x ∈≠≠. 解各集合用区间分别表示为

(1)(]6,1; (2)(,1)(1,2)(2,)-∞+∞U U . 练一练:

用区间表示下列集合:

(1){}16x x -≤≤; (2){}

5x x ≥;

例2 把下列不等式组的解集用集合、区间及数轴上相应的点集表示：

（1）2,0;x x >-??≤? （2）30,20.x x ->??+>?

解 (1)不等式组2,

x x >-??

≤?解集的集合形式为

{}20x x -<≤.

区间形式为

(2,0]-.

数轴上的点集表示如图1－10(1)所示. （2）不等式组30,

20,x x ->??

+>?

解集的集合形式为

{}3>x x .

区间形式为

)(∞+,3.

数轴上的点集表示如图1－10(2)所示..

例3 设集合{}{}

21,14

A x x

B x x

=-<<=-≤≤,求

A B A B

I U,并用区间及数轴上的点集表示.

解{}{}

2114

A B x x x x

=-<<-≤≤

I I

{}

x x

=-≤<.

区间形式为[1,1)

数轴上的点集表示如图1－11(1)所示.

{}{}

2114

A B x x x x

=-<<-≤≤

U U

{}

x x

=-<≤.

区间形式为(2,4]

数轴上的点集表示如图1－11(2)所示.

今后,我们可以采用不等式、集合、区间、数轴上的点集等不同的方法表示数集.

【习题1-4】

1.用区间表示下列集合:

(1) {}

x x

-<<; (2) {}

x x

≤≤;

(3) {}3≤x x; (4) {}

x x x

≥<-

或.

2. 把下列不等式组的解集用三种方式——集合、区间及数轴上点集表示出来：

（1）

≥

（2）

30.

-≤

3. 设集合{}{}

2,22

A x x

B x x

=-<<+∞=-<≤,求,

A B A B

I U,并

用区间及数轴上的点集表示.

1.5 绝对值不等式的解法

一个数的绝对值,表示数轴上与这个数所对应的点到原点的距离．一个实数

a 的绝对值记作a ,是指由a 所唯一确定的非负实数，且

,0;0,0;,0a a a a a a >??

==??-

当时当时当时.

下面，我们学习绝对值不等式的解法.

依据绝对值的定义可知，x 是数轴上表示x 的点到原点的距离.从而当

0a >时，x a <的解集，是数轴上与原点的距离小于a 的点的集合，即

{}x a x a -<<（如图1－12（1）所示）

；x a >的解集，是数轴上与原点的距离大于a 的点的集合, 即{}

x x a x a <->或（如图1－12（2）所示）.

例1 解下列不等式:

(1) 3x <; (2)5x ≥. 解 (1) 3x <的解集为{}

33x x -<<; (2)5x ≥ 的解集为{}

55x x x ≤-≥或.

对于,(0)ax b c ax b c c +<+>>型的不等式，可以把ax b +看作一个整体，转化成,x a x a <>型不等式来求解.

例2 解下列不等式,并用区间表示解集: (1) 87x -≤; (2)4214x +>. 解 (1) 由87x -≤，得

787x -≤-≤,

整理得 115x ≤≤, 所以原不等式的解集为 [1,15].

当不等号取

"",""

≤≥时有类似的性质，其解集可简记为“小于在中间，大于在两边”.

(2) 由4214x +> ，得

42144214x x +>+<-或, 解得

43-<>x x 或, 所以原不等式的解集为

(,4)(3,)-∞-+∞U .

【习题1.5】

1. 解下列不等式,将解集表示为集合的形式:

(1)

132x ≥; (2)1

105

x ≤; (3)61x -<; (4)38x <-. 2. 解下列不等式,将解集表示为区间的形式: (1)3813x -<; (2)257x -≤;

(2)

11223x +>; (4)3

214

x -≥.

1.6一元二次不等式的解法

形如

2200(,,,0)ax bx c ax bx c a b c a ++>++<≠或为常数且的不等式称

为一元二次不等式.

这里，我们利用一元二次函数的图像，找出一元二次不等式与一元二次函数及一元二次方程之间的关系，进而得到求解一元二次不等式的方法.

在一元二次函数2

2y x x =--中，令0=y ，得

022=--x x

解得 21=-=x x 或.

观察函数2

2y x x =--的图像(如图1-13),可得 (1) 当12x x =-=或时,0y =; (2) 当12x -<<时,0y <; (3) 当12x x <->或时,0y >.

由此可知

(a)一元二次方程2

20x x --=有两个不同的根1212x x =-=,;

(b)一元二次不等式2

20x x --<的解集为{}

12x x -<<; (c) 一元二次不等式2

20x x -->的解集为{}

12x x x <->或.

该例表明,一元二次函数的图象与x 轴的交点，可以确定相应的一元二次不等式的解集.

练一练:

讨论：当x 取何值时,下列一元二次函数的值0,0,0y y y >=

+-=x x y 下表按一元二次函数2y ax bx c =++（0>a ）的判别式000?,,三种情形，给出了一元二次不等式的解集.

如果二次项系数0a <，我们可用(－1)乘不等式两边，将其变形为二次项

系数为正的情况．

例1 解下列不等式:

(1)260x x -->; (2) 2

280x x -++≥. 解 (1)2

(1)41(6)250?=--??-=>, 方程2

60x x --=有两个不相等的实根

4b ac ?=-

y ax bx c =++

(0)a >的图象

0ax bx c ++=(0)a ≠的根

0ax bx c ++<(0)a >的解集

ax bx c ++>(0)a >的解集

(1)0?>

1,242b b ac

x a

-±-=

12()x x <

{}1

2x x

x x <<

{}

x x x x x <>或

(2)0?=

122b x x a

==-

,2b x x R x a ??

∈≠-???

(3)0?<

无实根

思考：当0?=时，不等式

2≥++c bx ax 的解集是什么？

要解二次不等式，二次系数先变正.

0?>时,

大于在两边，小于在中间．

复习题1 A 组

1.用适当的符号∈?=?“”“”“”“”

“”填空: {}{}5____;____;______;______0;;__.Q Q R R a a b A B A B +-+-?I U -1________N; -5_______Q; 0.6______； -2 3 ____,

2. 用另一种方法表示下列集合: （1）{

}

2150A x x x =+-=; (2){}

44,B x x x Z =-≤≤∈;

（3）{}

4绝对值等于的数; (4){}

215,A x x x Z =+=∈.

3.判断下列各组元素是否构成一个集合？

（1）非常小的数; （2）本班兴趣广泛的同学; （3）0与1之间的实数; (4) 非常漂亮的孩子. 4. 写出集合{}

,,红绿蓝的所有子集和真子集. 5. 设集合{}{}

25,32A x x B x x =-≤<=-<<. 用区间及数轴上相应的点集表示,A B ; (2)求,A B A B I U . 6. 解下列绝对值不等式:

(1) 2x ≤; (2) 5x >; (3) 2515x -<; (4) 212x +≥. 7.解下列不等式:

(1) 2

40x x -+->; (2) 2

43(43)x x >-;

(3)23620x x -+<; (4) 2

9610x x -+<. 8. 解下列不等式:

(1)

3212x x +≥-; (2) 1

111x x +≤-; (3)

4502x x ->-; (4) 34

x x -<+.

高一数学集合与不等式测试题.

高一级数学单元测试题集合与不等式一、选择题：(4分×15=60分) 1、设{}|7M x x =≤，x = （） A. x ∈ M B. x M ? C .{}x M ∈ D .｛x ｝∪M 2、下列不等式中一定成立的是（）． A ．x >0 B ． x 2≥0 C ．x 2>0 D ． |x |>0 3、已知集合A =[-1，1]，B =(-2，0)，则A ∩B =（）。 A ．(-1，0) B ．[-1，0) C ．(-2，1) D ．(-2，1] 4、下列表示①{0}=?、②{0}?∈、③{0}??、④0∈?中,正确的个数为( ) A.2 B.1 C.4 D.3 5、设U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（C U A ）∪（C U B ）= （） A {0} B {0，1} C {0，1，4} D {0，1，2，3，4} 6、已知 ?∪A =｛1，2,3｝，则集合A 真子集的个数（） A 5 B 6 C 7 D 8 设U =[－3,5]，C U A =[－3，0）∪（3,5] 7、设p 是q 的必要不充分条件，q 是r 的充要条件，则p 是r 的（）。 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8、不等式()()012<+-x x 的解集是（） A 、〔—1，2〕 B 、〔2，—1〕 C 、R D 、空集 9、设、、均为实数，且＜，下列结论正确的是( )。 A. ＜ B. ＜ C. －＜－ D. ＜ 10、若x 2－ax －b <0的解集是{x |20的解集为（） A ．11{|}23x x - ≤≤ B ．11{|}23x x -<< C ．11{|}23x x -<<-D ．11{|}23 x x -≤≤- 11、一元二次方程x 2 – mx + 4 = 0 有实数解的条件是m ∈（） A.（－４,４） B.［－４,４］ C.（－∞，－４）∪（４, ＋∞） D.（－∞，－４］∪［４, ＋∞） 12、下列不等式中，与 3 2<-x 的解集相同的是（） A 0542 <--x x B 051 ≤-+x x C 0)1)(5(<+-x x D 0542 <-+x x 14、设全集U={(x ,y )R y x ∈,},集合M={(x ,y ) 12 2 =-+x y }，N={(x ,y )4-≠x y },那么（C U M ）(C U N )等于（） A {（2，－2）} B {（－2，2）} C φ D C U N 15、已知集合M={直线}，N={圆}，则M ∩N 中的元素个数为( ) A 0个 B 0个或1个或2个 C 无数个 D 无法确定二、填空题（5分×6=30分） 13、 p ：a 是整数；q ：a 是自然数。则p 是q 的。

(完整版)初一不等式难题-经典题训练(附答案)

初一不等式难题,经典题训练（附答案） 1．已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，则a 的取值范围是_______ 2．已知关于x 的不等式组0 521 x a x ->?? -≥-?无解，则a 的取值范围是_________ 3．若关于x 的不等式(a-1)x-2 a +2>0的解集为x<2，则a 的值为（） A 0 B 2 C 0或2 D -1 4．若不等式组2 20 x a b x ->?? ->?的解集为11x -<<，则2006()a b +=_________ 5．已知关于x 的不等式组的解集41320 x x x a +?>+? ??+- 7．不等式组951 1 x x x m +<+?? >+?的解集是2x >，则m 的取值范围是（） A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 8.不等式()()20x x x +-<的解集是_________ 9.当a>3时，不等式ax+2<3x+b 的解集是，则b=______ 10.已知a,b 为常数，若ax+b>0的解集是1 3 x <,则的0bx a -<解集是（） A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 60x m x n -≥?? -? p 数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数(m,n)对共有（）对 A 49 B 42 C 36 D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123 234 x y z ---==，设345x y z ω=++，求的ω最大值与最小值

集合与不等式测试题

集合与不等式测试题一、填空题：（每题3分，共30分） 1.已知集合},02{2R x x x x A ∈=--=，集合}31|{≤≤=x x B ，则A ∩B = . 2．设集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{2,4}，B ＝{3,4,5}，C ＝{3,4}，则(A ∪B )∩(?U C )＝________. 3、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 4．50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做的正确得有40人，化学实验做的正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有人. 5. 不等式13 12>+-x x 的解集是 6. 已知不等式052>+-b x ax 的解集是}23|{-<<-x x ，则不等式052>+-a x bx 的解是 ___________ . 7. 不等式（1＋x ）（1－x ）＞0的解集是 8.集合{}52<<-=x x A ，集合{}121-≤≤+=m x m x B ，若A B ?，且B 为非空集合，则m 的取值范围为 . 9. 设{}{}I a A a a =-=-+241222，，，，，若{}1I C A =-，则a=__________。 10．已知集合{}{} A x y y x B x y y x ==-==()|()|，，，322那么集合A B I = 二、选择题（每题3分，共30分） 11、下列四组对象，能构成集合的是（） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 12、集合{a ，b ，c }的真子集共有个（） A 7 B 8 C 9 D 10 13.已知全集{}0,1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,3,2,4A B ==,则U C A B U 为（） A ．{}1,2,4 B ．{}2,3,4 C ．{}0,2,4 D ．{}0,2,3,4 14、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 15．已知集合U ＝{2,3,4,5,6,7}，M ＝{3,4,5,7}，N ＝{2,4,5,6}，则 ( ) A ．M ∩N ＝{4,6} B ．M ∪N ＝U C ．(?U N )∪M ＝U D ．(?U M )∩N ＝N

含绝对值的不等式解法典型例题

含绝对值的不等式解法·典型例题能力素质例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 } ．．．≠．?8 3 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 8 3 答选C ．例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－5 分析列出不等式．解根据题意得2＜|x|≤5．从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5，答选D ．例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________．分析利用所学知识对不等式实施同解变形．解原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7 ≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤． 3x 14x 2x 1{x|2x 1x }538 3 538 3 例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ．分析转化为解绝对值不等式．解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x －6|＜5 即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62??? 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4???

解之得＜＜或＜＜．4x x 21121 2 因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}．说明：注意元素的限制条件．例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 [ ] A ．|a －b|＜|a|＋|b| B ．|a ＋b|＞|a －b| C ．|a ＋b|＜|a －b| D ．|a －b|＜||a|＋|b|| 分析根据符号法则及绝对值的意义．解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|．答选C ．例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 [ ] A ．a ＝1，b ＝3 B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 D a b ．＝，＝123 2 分析解不等式后比较区间的端点．解由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得． a b 1a b 2 a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．?? ?123 2 答选D ．说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析分类讨论．解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 11 2 式的解集为；? 若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 1 2 x ＜m ．

高中数学不等式知识点总结

弹性学制数学讲义不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、

三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a

高一数学集合与不等式练习题

高一数学集合与不等式练习题一、选择题 1*.设a,b ∈R ，集合{1,a+b,a}={0, a b ,b},则b-a 等于( ) A. 1 B.-1 C.2 D.-2 2*.设P 和Q 是两个集合，定义集合P-Q={x| Q x P x ?∈且,}，如果P={x|x<0}，Q={x||x-2|<1}.那么P-Q 等于( ) A. }10|{<2 二、非选择题（解答题做在背面） 4.已知集合A={x| 01832>-+x x },B={x|(x-k)(x-k-1) ≤0}，若φ=?B A , 则k 的范围是__. 5*.已知集合M={ R a x ax R x ∈=+-∈,023|2}.(1)若集合M 中只有一个元素，求a 的值，并求出这个元素；（2）若集合M 中至多只有一个元素，求a 的取值范围。 6.设全集U=R ，集合M={m|方程012=--x mx 有实数根}，集合N={m|方程0m 2=+-x x 有实数根}，求N M C ?）（u 7*.重点题（1）若方程07)1(82 =-+++m x m x 有两个负根，求实数m 的取值范围。（2）若方程07)5(32=+-+x m x 的一个根大于4，一个根小于4，求m 的取值范围。（3）若方程01222=-+-t tx x 的两个实根都在-2和4之间求t 的取值范围。 8.设A={x|1

解不等式典型例题答案

解不等式典型例题答案例1 解：（1）原不等式可化为 0)3)(52(>-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,2 5 ,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分． ∴原不等式解集为? ?????><<-3025x x x 或（2）原不等式等价于 ???>-<-≠????>-+≠+?>-++2 450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<--+-+-x x x x

2 12 1 310 2730132027301320 )273)(132(222222><<+->+-?>+-+-?x x x x x x x x x x x x x x x 或或或 ∴原不等式解集为),2()1,2 1 ()31,(+∞??-∞。解法二：原不等式等价于 0) 2)(13() 1)(12(>----x x x x 0)2()13)(1)(12(>-?---?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为),2()1,2 1()31,(+∞??-∞ 例3解法一：原不等式?? ???+<-<-?????+<-≥-?240 424042 222x x x x x x 或即?? ?>-<<<-?? ?<<--≤≥1 22 2222x x x x x x x 或或或[来源学科网Z|X|X|K] ∴32<≤x 或21<-+<-) 2(42422 x x x x ∴312132<<<-x x x x 故或．例4解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集： ?????>-+<+-0412,05622x x x x 或?????<-+>+-0 412, 0562 2x x x x ?? ?<-+<--?;0)6)(2(,0)5)(1(x x x x 或? ??>-+>--;0)6)(2(, 0)5)(1(x x x x ； ???<<-<-<><6 ,2, 5,1x x x x 或或 ,51<x ．

2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式达标训练新人教A版选修

2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式达标训练新人教A 版选修基础·巩固 1.如下图所示，矩形OPAQ 中，a 1≤a 2，b 1≤b 2，则阴影部分的矩形的面积之和_________空白部分的矩形的面积之和. 思路分析：这可沿图中线段MN 向上翻折比较即知.当然由图我们可知,阴影面积=a 1b 1+a 2b 2,而空白面积=a 1b 2+a 2b 1.根据顺序和≥反序和可知答案. 答案：≥ 2.设a 、b 、c 为某一三角形三边长，求证： a 2(b+c-a)+ b 2(c+a-b)+ c 2(a+b-c)≤3abc. 思路分析：运用排序原理，关键是弄出有序数组，通常从函数的单调性质去寻找，如f(x)=x 2在R +单调递增，f(x)=在R +单调递减. 证明：不妨设a≥b≥c，易证a(b+c-a)≤b(c+a -b)≤c(a+b -c). 由排序原理得a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c) ≤a·b(c+a -b)+b·c(a+b -c)+c·a(b+c -a)=3abc. 3.对a,b,c∈R +,比较a 3+b 3+c 3与a 2b+b 2c+c 2a 的大小. 思路分析:将式子理解为积的形式a 2·a+b 2·b+c 2·c,a 2b+b 2c+c 2a,再依大小关系可求解. 解：取两组数a,b,c ；a 2,b 2,c 2. 不论a,b,c 的大小顺序如何，a 3+b 3+c 3都是顺序和，a 2b+b 2c+c 2a 都是乱序和；故由排序原理可得a 3+b 3+c 3≥a 2b+b 2c+c 2a. 4.求证:正实数a 1,a 2,…,a n 的任一排列为a 1′,a 2′,…，a n ′，则有≥n. 思路分析:本题考查如何将和的形式构造为积的形式,本题关键是将n 理解为n 个1相加,而把1理解为x·的形式.这种方法有普遍的应用,应该加以重视. 证明：取两组数a 1,a 2,…,a n ；,,…,. 其反序和为=n ，原不等式的左边为乱序和，有≥n. 5.已知a,b,c∈R +，求证：≥a 10+b 10+c 10. 思路分析:可以发现左右两边的次数相等,因此,应该进行适当的拼凑,使其成为积的形式. 证明：不妨设a≥b≥c>0,则>0且a 12≥b 12≥c 12>0, 则ab c bc b ab a ab c ca b bc a 12 1212121212++≥++ c c b b a a a c c b b a 11 1111111111++≥++==a 10+b 10+c 10. 6.设a 1,a 2, …,a n 是1,2, …,n 的一个排列，求证： n n a a a a a a n n 1322113221-++≤-+++ .

中职数学集合与不等式综合测试题

中职数学集合与不等式综合测试题一．选择题（12×5=60分） 1.已知全集U=｛-1，0，1，2｝，集合A=｛-1，2｝，B=｛0，2｝，则=( ) A.｛0｝ B.｛2｝ C.｛-1,2｝ D.｛-1,1｝ 2.下列关系中正确的是（） A. B.｛0｝= C.a=｛a ｝ D. 3.已知a<0,b>0,则下列各式成立的是（） A.a-b>0 B.ab>0 C. D. 4.已知集合A=｛0，3，5｝，B=｛｝,则=( ) A.｛3｝ B.｛0，3，5｝ C.｛0，1，2，3，4，5｝ D.｛5｝ 5.已知集合M=｛｝，N=｛-1，0，7｝，则M N=( ) A.｛-1，0，7，-7｝ B.｛7｝ C.｛-1，0，7｝ D.｛-7，7｝ 6.已知集合M=｛｝，U=R,则=( ) A.｛｝ B. C.｛｝ D.{} 7.集合{x|-31},则a 必满足（） A.a<-3 B.a<0 C.a ≤-3 D.a>-3 9.不等式的解集是（） A. B. C. D. 10.不等式的解集是（） B A C U )(Q ∈2ΦR Z ?0>a b a b 1 1>51-|≤<∈x N x B A 49|2=x x 31-2|x x 3|>x x N x ∈x x 222>+），（∞+1），（0-∞），（∞+∞-），（∞+006-x 5-2

A.(2，3) B.(-3，2) C.(-6，1) D.(-1，6) 11.“a=2”是“”的（）条件 A.充分 B.必要 C.充要 D.既非充分也非必要 12.下列结论正确的是（） (1)若a>b,则ac>bc (2)若则a>b (3)若a>b ，c>d,则a+c>b+d (4)若a>b,c>d,则ac>bd (5)若a>b ，且ab ≠0,则 A.(3) (5) B.(1)(2)(3) C.(2)(3)(4)(5) D.(2)(3) 二．填空题（6×5=30分） 13.集合{}的区间表示____________________ 14.设U={绝对值小于4的整数}，A={0,1,3},则=______________ 15.设A={x|-2b a 11<3|≥x x B A A C U },,,{d c b a A ? x x 12492>+)6)(2(42+++x x x 与）（2-3,2x x x +

不等式的解法·典型例题及详细答案

不等式的解法·典型例题【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【例2】?解下列不等式：【例3】?解下列不等式【例4】?解下列不等式：【例5】?|x 2-4|＜x+2．【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ．不等式·典型例题参考答案【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】?如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况．原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝．【说明】?用“穿针引线法”解不等式时应注意： ①各一次项中x 的系数必为正； ②但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)．【例2】?解下列不等式：解：(1)原不等式等价于用“穿针引线法” ∴原不等式解集为(-∞，-2)∪〔-1，2)∪〔6，+∞)．（2）【例3】?解下列不等式解：(1)原不等式等价于 ∴原不等式解集为｛x|x ≥5｝． (2)原不等式等价于【说明】?解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次根号下被开数大于或等于零；二是要注意只有两边都是非负时，两边同时平方后不等号方向才不变．【例4】?解下列不等式：解：(1)原不等式等价于令2x =t(t ＞0)，则原不等式可化为 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为(-1，2〕∪〔3，6)．【例5】?|x 2-4|＜x+2．解：原不等式等价于-(x+2)＜x 2-4＜x+2．故原不等式解集为(1，3)．这是解含绝对值不等式常用方法．【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ．解：原不等式等价于 (1)当a ＞1时，①式等价于 ② (2)当0＜a ＜1时，②等价于 ③

高一数学集合与不等式测试题

高一级数学单元测试题集合与不等式一、选择题：(4分×15=60分) 1、设{}|7M x x =≤，43x =，则下列关系中正确的是（） A. x ∈ M B. x M ? C .{}x M ∈ D .｛x ｝∪M 2、下列不等式中一定成立的是（）． A ．x >0 B ． x 2≥0 C ．x 2 >0 D ． |x |>0 3、已知集合A =[-1，1]，B =(-2，0)，则A ∩B =（）。 A ．(-1，0) B ．[-1，0) C ．(-2，1) D ．(-2，1] 4、下列表示①{0}=?、②{0}?∈、③{0}??、④0∈?中,正确的个数为( ) A.2 B.1 C.4 D.3 5、设U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（C U A ）∪（C U B ）= （） A {0} B {0，1} C {0，1，4} D {0，1，2，3，4} 6、已知 ? ∪A =｛1，2,3｝，则集合A 真子集的个数（） A 5 B 6 C 7 D 8 设U =[－3,5]，C U A =[－3，0）∪（3,5] 7、设p 是q 的必要不充分条件，q 是r 的充要条件，则p 是r 的（）。 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8、不等式()()012<+-x x 的解集是（） A 、〔—1，2〕 B 、〔2，—1〕 C 、R D 、空集 9、设、、均为实数，且＜，下列结论正确的是( )。 A. ＜ B. ＜ C. －＜－ D. ＜ 10、若x 2－ax －b <0的解集是{x |20的解集为（） A ．11{|}23x x - ≤≤ B ．11{|}23x x -<< C ．11{|}23x x -<<-D ．11{|}23 x x -≤≤- 11、一元二次方程x 2 – mx + 4 = 0 有实数解的条件是m ∈（） A.（－４,４） B.［－４,４］ C.（－∞，－４）∪（４, ＋∞） D.（－∞，－４］∪［４, ＋∞） 12、下列不等式中，与3 2<-x 的解集相同的是（） A 0542<--x x B 051 ≤-+x x C 0)1)(5(<+-x x D 0542 <-+x x 14、设全集U={(x ,y )R y x ∈,},集合M={(x ,y ) 12 2 =-+x y }，N={(x ,y )4-≠x y },那么（C U M ）(C U N )等于（） A {（2，－2）} B {（－2，2）} C φ D C U N 15、已知集合M={直线}，N={圆}，则M ∩N 中的元素个数为( ) A 0个 B 0个或1个或2个 C 无数个 D 无法确定二、填空题（5分×6=30分）