1996考研数三真题及解析
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设方程y
x y =确定y 是x 的函数,则dy =___________. (2) 设()arcsin x f x dx x C =+?,则
1
()
dx f x =?
___________.. (3) 设()00,x y 是抛物线2
y ax bx c =++上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是___________. (4) 设
1
2322
22
12
311111
23
111
1n n n n n n n a a a a A a a a a a a a a ----????????=?
???????L L L M M M M L
,123n x x X x x ????????=????????M ,1111B ??
????
??=????????
M ,
其中(;,1,2,,)i j a a i j i j n ≠≠=L .则线性方程组T A X B =的解是___________. (5) 设由来自正态总体2
~(,0.9)X N μ容量为9的简单随机样本,得样本均值5X =,则未
知参数μ的置信度为0.95的置信区间为___________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 累次积分cos 20
(cos ,sin )d f r r rdr π
θ
θθθ?
?
可以写成 ( )
(A) 1
0(,)dy f x y dx ?
(B) 1
0(,)dy f x y dx ? (C)
1
1
(,)dx f x y dy ??
(D) 10
(,)dx f x y dy ?
(2) 下述各选项正确的是 ( ) (A) 若
21
n
n u
∞
=∑和
21
n
n v
∞
=∑都收敛,则
21
()n
n n u
v ∞
=+∑收敛
(B)
1
n n
n u v
∞
=∑收敛,则
21
n
n u
∞
=∑与
21
n
n v
∞
=∑都收敛
(C) 若正项级数
1
n
n u
∞
=∑发散,则1n u n
≥
(D) 若级数
1
n
n u
∞
=∑收敛,且(1,2,)n n u v n ≥=L ,则级数
1
n
n v
∞
=∑也收敛
(3) 设n 阶矩阵A 非奇异(2n ≥),A *是矩阵A 的伴随矩阵,则 ( ) (A) 1
()n A A A -**= (B) 1
()n A A A +**= (C) 2()n A A
A -**= (D) 2
()n A A
A +**=
(4) 设有任意两个n 维向量组1,,m ααL 和1,,m ββL ,若存在两组不全为零的数1,,m λλL
和1,,m k k L ,使111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-=L L ,则
( )
(A) 1,,m ααL 和1,,m ββL 都线性相关 (B) 1,,m ααL 和1,,m ββL 都线性无关
(C) 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--L L 线性无关 (D) 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--L L 线性相关
(5) 已知0()1P B <<且()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+,则下列选项成立的是( ) (A) ()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+ (B) ()1212()()P A B A B P A B P A B +=+ (C) ()1212()()P A A P A B P A B +=+ (D) ()()1122()()()P B P A P B A P A P B A =+
三、(本题满分6分)
设(),0,()0,0,x
g x e x f x x
x -?-≠?
=??=?
其中()g x 有二阶连续导数,且(0)1,(0)1g g '==-. (1)求()f x '；
(2)讨论()f x '在(,)-∞+∞上的连续性.
四、(本题满分6分)
设函数()z f u =,方程()()x
y
u u p t dt ?=+
?
确定u 是,x y 的函数,其中(),()f u u ?可
微；()p t ,()u ?'连续,且()1u ?'≠.求()()z z p y p x x y
??+??.
五、(本题满分6分)
计算
2
(1)
x
x xe dx e -+∞
-+?
.
六、(本题满分5分)
设()f x 在区间[0,1]上可微,且满足条件120
(1)2
()f xf x dx =?
.试证:存在(0,1)ξ∈使
()()0.f f ξξξ'+=
七、(本题满分6分)
设某种商品的单价为p 时,售出的商品数量Q 可以表示成a
Q c p b
=
-+,其中a b 、、 c 均为正数,且a bc >.
(1) 求p 在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.
(2) 要使销售额最大,商品单价p 应取何值?最大销售额是多少?
八、(本题满分6分)
求微分方程dy dx =
的通解.
九、(本题满分8分)
设矩阵01
01
0000010
012A y ?????
?=??
??
??
. (1) 已知A 的一个特征值为3,试求y ； (2) 求矩阵P ,使()()T
AP AP 为对角矩阵.
十、(本题满分8分)
设向量12,,,t αααL 是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系,向量β不是方程组
0AX =的解,即0A β≠.试证明:向量组12,,,,t ββαβαβα+++L 线性无关.
十一、(本题满分7分)
假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?
十二、(本题满分6分)
考虑一元二次方程2
0x Bx C ++=,其中B C 、分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q .
十三、(本题满分6分)
假设12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本；已知(1,2,3,4)k
k EX a k ==.
证明：当n 充分大时,随机变量2
1
1n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布,并指出其分布参数.
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1)【答案】
()
1ln dx
x y +
【解析】方法1：方程y
x y =两边取对数得ln ln ln y
x y y y ==,再两边求微分,
()()
11ln 1ln 1dx y dy dy dx x x y =+?=+()()ln 10x y +≠. 方法2：把y
x y =变形得ln y y
x e =,然后两边求微分得
()()()ln ln 1ln 1ln y y y dx e d y y y y dy x y dy ==+=+,
由此可得 ()
1
.1ln dy dx x y =
+
(2)【答案】C
【解析】由()arcsin x f x dx x C =+?
,两边求导数有
()
1
()arcsin ()
xf x x f x '==
?
=
于是有
1()dx f x ?
21
2
==? ()
2
112
x =-
-
C =.
(3)【答案】
0c a
≥(或2
ax c =),b 任意 【解析】对2
y ax bx c =++两边求导得()0022y ax b,y x ax b,''=+=+ 所以过()00x ,y 的切线方程为()()0002y y ax b x x ,-=+-即
()()()2
00002y ax bx c ax b x x .-++=+-
又题设知切线过原点()00,,把0x y ==代入上式,得
2200002ax bx c ax bx ,---=--即20ax c.=
由于系数0a ≠,所以,系数应满足的关系为0c a
≥(或2
ax c =),b 任意. (4)【答案】()1000T
,,,L
【解析】因为A 是范德蒙行列式,由i j a a ≠知()0i
j
A a a =-≠∏.根据解与系数矩阵
秩的关系,所以方程组T A X B =有唯一解.
根据克莱姆法则,对于
2111112122222133332111
111111n n n n n n
n
n x a a a x a a a x a a a x a a a ----??????
??????????????????=????????????????
???????
?L L L M M M M M M L
, 易见 1230n D A ,D D D .=====L
所以T
A X
B =的解为12310n x ,x x x =====L ,即()1000T
,,,,L .
【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组
1111221121122222
1122,,.
n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??
??+++=?L L L L L L L L L L L L L 或简记为 1
12n
ij j
i j a x
b ,
i ,,,n ===∑L
其系数行列式
11
12121222120n n n n nn
a a a a a a D a a a =
≠L L M M M L
,
则方程组有唯一解
12j j D x ,j ,,,n.D
=
=L
其中j D 是用常数项12n b ,b ,,b L 替换D 中第j 列所成的行列式,即
1111111121212212111,j ,j n ,j ,j n
j n n,j n
n,j nn
a a
b a a a a b a a D a a b a a -+-+-+=
L L L L M M M M M L
L
. (5)【答案】(4.412,5.588) 【解析】可以用两种方法求解：
(1)已知方差22
0.9σ=,对正态总体的数学期望μ进行估计,可根据
因2
(,0.9)X N μ:,设有n 个样本,样本均值1
1n
i i X X n ==∑,
有20.9(,)X N n μ:,将其标准化,
~(0,1)X N 得： )1,0(~1N n
X μ
-
由正态分布分为点的定义21P u αα??
<=-???
可确定临界值2
αu ,
进而确定相应的置信区间2
2
(x u x u α
α
-+.
(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值μ的置信区间问题.
由教材上已经求出的置信区间2
2
x u x u α
α
?-+ ?
,
其中21,(0,1)P U u U N αα??
<=-????
:,可以直接得出答案.
方法1：由题设,95.01=-α,可见.05.0=α查标准正态分布表知分位点.96.12
=αu 本
题9n =, 5X =, 因此,根据 95.0}96.11{
=<-n
X P μ
,有
1.96}0.95P <=,即 {4.412 5.588}0.95P μ<<=,