第五章 刚体动力学
112
第五章 刚体动力学
§5.1 刚体空间状态的确定
10、刚体
任意两质点间的距离均保持恒定的质点系所组成的物体称之为刚体。刚体可以由n 个质点组成，其中，任意两质点间的距离保持恒定。也可以由质量连续分布质点系构成，其中，任意两标定的点之间的距离保持恒定。
20、刚体空间位形状态的确定
1、首先考虑一个质点其空间位置状态的确定。我们知道，对于一个质点要确定其空间位置状态，需要三个独立的变量，如z y x ,,，即一个质点的空间自由度为3；
2、现在考虑一由n 个质点组成的质点系，若确定了质点系每个质点的位置，则可认为整个质点系的空间位形状态得到了确定。而要确定质点系每个质点的位置，需3n 个独立的变量，即质点系的空间自由度为3n ；
3、最后我们来考虑刚体，若只确定了刚体上某点A 的位置，则刚体上别的点的位置并不能相应地获得确定。
若再确定刚体上另一点B 的位置，则刚体AB 联线上各点的位置均可确定，因为联线上任意一点与A 和与B 的距离为固定。但如刚体绕联线AB 转动时，联线外别的点的位置还是不能确定。
现再确定刚体上AB 联线外的另一点C 的位置，则C B A 、、三点可构成一平面，该平面上各点的位置均可确定，因为平面上任意一点与A 、与B 和与C 的距离为固定。与此同时，平面外任意一点P 相对于平面的距离为固定，其位置也就得到了确定，即此时刚体上任意一点的位置均可确定，从而也就确定了整个刚体的空间位形状态。
换句话说，要确定刚体的空间位形状态，须确定刚体上三个不共线的点的位置，这就需要9个变量，如),,(A A A z y x 、),,(B B B z y x 和),,(C C C z y x 。但这9个变量不是独立的，因为这三个点之间的距离为定值，即
???????==-+-+-==-+-+-==-+-+-定值定值定值
222222
222222)()()()()()()()()(BC z z y y x x AC z z y y x x AB z z y y x x C B C B C B
C A C A C A B
A B A B A
(5.1.1)
这表明这9个变量之间还有3个相互关系，从而只有6个是独立的。换句话说，要确定一个刚体的空间位形状态，只需6个独立的变量即可，一般刚体的空间自由度为6。
113
§5.2 刚体的受力分析与刚体的平衡
10、力─滑移矢量
如图5.1，作用在刚体上的力，其作用点沿作用线在刚体上的移动，并不改变力对刚体的作用效果，通常把这样矢量称为滑移矢量。
20
、力矩 如图5.1，作用在刚体上的力F 对某点o 的力矩，定义为该力的作用点相对于点o 的位置矢量r 与力F 的叉积，即
F r M
?= (5.2.1)
30、力偶
如图2，若作用在刚体上A 、B 两点处的力F A 和F B 等大反向，即 B A F F = (5.2.2)
这样的一对力称之为力偶，并记为[]
B A F F ,。
40、力偶矩
如图5.2，设力F A 的作用点A 相对于某点o 的位置矢量为r A ，相对于力F B 的作用点B 的位置矢量为r 。，而力F B 的作用点B 相对
于o 点的位置矢量为r B 。则力偶[]
B A F F
,对o 点的力矩－力偶矩为
B B A A F r F r M ?+?=
即 A A B A A B A A F r F r r F r F r M
?=?-=?-?=)( (5.2.3) 50、力的平移
如图5.3，设作用在刚体上A 点处的外力为F A ，显然对刚
体上的任意一点o 加上一对等大反向的外力A
F ' 和A F '' 时，并不改变力F A 的作用效果。当然，单独一个力F A 的作用效果，也
与三个力F A 、A
F ' 和A F ''
同时作用在刚体上的效果相同。若加上的这一对力其大小刚好等于F A ，方向一个与之相同，一个与之相反，即
图 5.1，在刚体上，力作用点沿作用线在刚体上的移动，并不改变力对刚体的作用效果。
图 5.2，在刚体上两等大反向的力F A 和F B 称为力偶。
F
图5.3，将力平移作用到刚体上的任意一点，须附加上一力偶。
114
A A
A F F F ''-='=
(5.2.4) 则力F A 与A F ''
将组成力偶[
]
A A F F ''
,。而单独一个力F A 的作用效果，就相当于力A
F '
和力偶[
]
A A F F ''
,的作用效果，即
],[A A A
A F F F F ''+'=
(5.2.5) 从图3中看来，可认为是如果将力F A 平移作用到刚体上的任意一点o ，须附加上一力偶[]
A
A F F ''
,，并且此力偶的力偶矩应等于原力F A 对o 点的力矩，这就是所谓的力的平移。 60、作用在刚体上任意空间力系的简化
设作用在刚体上的外力有n F F F
、、、21构成力系，
各力的作用线并不一定相交于刚体上的一点。如图5.4，若将各力平移作用到刚体上的一点o ，此时原各力的作用效果就相当于有
??????
?''+'=''+'=''+'=]
,[]
,[]
,[22221111n n n n F F F F
F F F F F F F F
(5.2.6) 其中，n F F F '''
、、、21为同时作用于o 点的共点力，且
n n F F F F F F '='' 、、＝、＝2211 (5.2.7) 而[][][]
n n F F F F F F ''' ，、、，、，2211组成相应的力偶，并可设相
应的力偶矩分别为1J 、2J
、…、n J 。这样，作用在刚体上的力系n F F F 、、、21其作用效果，就相当于作用在刚体某点o 上的共点力n F F F ''' 、、、21及各力n F F F 、、、21对o 点的力矩共
同的作用效果。 70、刚体的平衡
将刚体看成一质点系，由于质点系的内力之和为零，内力矩之和也为零，显然，如果刚体在外力系n F F F
、、、21的作用下平衡，则应该有
01
=∑=n i i F
(5.2.8)
F 图5.4，将各力平移作用到刚体上的一点，其作用效果就相当于作用在刚体该点上的共点力及对该点的力矩。
115
及 01
=∑=n i i J
(5.2.9)
其中，1J 、2J
、…、n J 是各力F 1，F 2，…，F n 对刚体上任意一o 点的力矩，即刚体平衡时，
作用在刚体上的合外力不但为零，并且对任意一点的合力矩也为零。
以后我们会看到，处于平衡状态的刚体，其质心作匀速直线运动，而整个刚体绕过质心的某一轴线作匀速转动。
§5.3 刚体动力学基本方程与刚体的平动
10、刚体动力学基本方程
将刚体看成一质点系，其质心C 相对于某各驻定惯性参照系的位置矢量为C r
，设作用在刚
体上的外力系中第i 个力i F 的作用点i P 相对于质心的位矢为i r '
，则可将各外力平移作用到质心
C 点，由质心运动定理和对质心的角动量定理就有
∑==n i i C
F dt r d M 1
2
2 (5.3.1) 及 ∑∑==?'='?'='n
i i i n i i i i F r v m r dt d dt L d 1
1)()(
(5.3.2)
而对驻定惯性参照系原点o 的角动量定理为
∑∑==?=?=n
i i i n i i i i F r v m r dt d dt L d 1
1)()(
(5.3.3)
对驻定惯性参照系原点o 的角动量为
∑∑∑'?'+?=?)()()(i i i C i C i i i v m r v m r v m r
(5.3.4)
即 L L L C '+=
(5.3.5)
其中 ∑?=)(i i i v m r L
(5.3.6)
为刚体相对于驻定惯性参照系总的角动量，
C C C i C C v M r v m r L
?=?=∑)( (5.3.7)
为把刚体的质量赋予质心随质心一起作平动运动时相对于驻定惯性参照系的角动量，一般称之为轨道角动量。而
116
∑'?'=
')(i i i v m r L
(5.3.8)
为刚体相对于质心的角动量，一般称之为自旋角动量。这样，刚体总的角动量就为其轨道角动量与自旋角动量之和。
由于刚体上任意两点间的距离为固定，因此刚体中成对的内力所做功的代数和为零。而由质点系对驻定参照系和对质心系的动能定理，有分别可有
∑=?=dW r d F dT i i
(5.3.9) ∑'='?='W d r d F T d i i
(5.3.10)
如果作用在刚体上的外力系为保守力系，则刚体的机械能守恒，即有
V T E += (为常量) (5.3.11) 而外力系对刚体所做的功等于刚体势能的减少，即
dV dW -= (5.3.12) 以上(1)~(3)和(9)~(12)就是刚体动力学的基本方
程。
20
、刚体的平动 如图5.5，如果刚体在运动过程中，过其上任意两定点的直线均保持平行，则这样的运动称为刚体的平动。
作平动的刚体，虽然各点的位置都发生了变化，但刚体的位形不变。这样，刚体上任意一点的轨迹都相同，都有相同的位移、速度和加速度。
换句话说，作平动的刚体，其上任意一点的运动，均可代表别的点的运动。
显然，方程(1)为刚体的平动方程，而方程(2)描述了刚体的转动。 一般刚体的运动是比较复杂的，但总可以看成是平动和转动的叠
加。刚体的转动情形有好几种，下面我们先只讨论其中的定轴转动。 §5.4 刚体的定轴转动 10
、刚体的定轴转动
若刚体运动时，是绕着一条固定不动的直线转动的，则这样的运动称为刚体的定轴转动，而这条固定不动的直线称为转动定轴。
如图5.6，若刚体绕固定的z 轴以角速度ω转动，刚体上位置矢量为r 的点P 就作圆周运动，其速率
图5.5，刚体上任意两定点的直线均保持平行。
图 5.6，刚体绕着一条固定
不动的直线转动。
117
ωρ=v (5.3.1) 其速度v 可表为
r v
?=ω (5.3.2) 其中，角速度ω作为矢量，其方向以右手螺旋定为沿z 轴方向。而P 点的法向加速度实际上是指向轴的，通常称之为向轴加速度，其大小为
ρω2=n a (5.3.3) 写成矢量形式为
)(r a n
??=ωω (5.3.4) P 点切向加速度为
βρω
ρ
==dt
d a t (5.3.5) 若将角加速度β也表为矢量的形式dt
d ω
，则切向加速度的矢量形式为
r dt
d a t
?=ω (5.3.6) 当然，P 点的总加速度就为
n t a a a
+= (5.3.7) 20、定轴转动参照系与刚体的定轴转动
前面第三章我们已经提到，对以角速度k
ωω=作定轴转动的参照系内，如果观测到质点的
位置矢量为r r '=
，则质点原点的速度为
r v v
?+'=ω (5.3.8)
其中 k z j y i x dt
r d v ''+''+''='=
' * (5.3.9) 为在S '系中测量到的质点的速度─相对速度。而质点原点的加速度为
v r r dt d a a '?+??+?+'=
ωωωω2)( (5.3.10) 其中， k z j y i x dt
v d a ''+''+''='
=' * (5.3.11) 为在S '系中测量到的质点的加速度─相对加速度。
如果将定轴转动参照系S '和一刚体固结在一起，则刚体和S '系一起作定轴转动，此时刚体
118
上的某一点相对于S '的位置为固定，于是
k z j y i x r ''+''+''='
相对于S '系为常量，则有
???
?
??
?=''+''+''='
='=''+''+''='
='00**k z j y i x dt
v d a k z j y i x dt
r d v (5.3.12)
故作定轴转动的刚体上位置矢量为k z j y i x r r ''+''+''='=
的点，其在S 系中测得的速度和加速度就分别为
r v
?=ω (5.3.13)
和 )(r r dt d a
??+?=ωωω (5.3.14) 其中r dt
d ?ω为转动切向加速度，而)(r
??ωω为向轴加速度。这可以和前面的结论比较，完全一样。
30、刚体作定轴转动时的动能－转动动能 考虑刚体上r
处有一质量元dm ，其速度为
)()(j x i y k z j y i x k r v
+-=++?=?=ωωω
其动能就为 dm y x v dm dT 2222)(2
1
21ω+=??=
对整个刚体求和积分，就得到作定轴转动的刚体其动能为 ?+=
dm y x T )(2
1222
ω (5.3.15) 若取 ?
+=dm y x I z )(2
2 (5.3.16)
则 221
ωz I T =
(5.3.17) 40、刚体作定轴转动时的角动量
设刚体上r
处质量元dm 的运动速度为v
，则质量元dm 对原点o 的角动量就为
dm k y x j yz i xz dm r r v dm r L d ])([)()(2
2 ++--=??=??=ωω
对整个刚体求和积分就得
119
?++--=dm k y x j yz i xz L ])([2
2 ω (5.3.18)
其z 轴分量
ωωz z I dm y x L =+=?
)(2
2 (5.3.19)
50、刚体作定轴转动时的转动惯量 在刚体作定轴转动时的动能 22
1
ωz I T =
和角动量L
的z 轴分量
ωz z I L =
中，?
+=dm y x I z )(2
2与角速度ω
无关，即与刚体的定轴转动无关，只与刚体的质量对定轴的
分布有关，因此它是一个只依赖于刚体质量对定轴分布的常数。由于)(22y x +是质量元dm 对定轴转动半径ρ的平方，故该常数也可表为
??=
+=dm dm y x I z 2
2
2)(ρ
(5.3.20)
现将刚体作定轴转动与质点运动的物理量作如下对照表的比较
通过比较，我们可以认定z I 为刚体定轴转动的惯性量度，通常我们称之为刚体定轴转动的转动惯量。在刚体的定轴转动中，其转动惯量有如下的定理和概念：
平行轴定理：若刚体对过其质心C 的某轴线的转动惯量为C I ，则刚体对平行于该轴、相距为d 的另一轴线的转动惯量为
120
2md I I C += (5.3.21) 其中m 为刚体的质量。
正交轴定理：对一薄板状的刚体，作一坐标系使得xoy 平面位于板面上，z 轴垂直于板平面，则刚体对z 轴的转动惯量等于对x 轴及y 轴的转动惯量之和，即
y x z I I I += (5.3.22) 合成法则：若一刚性系统由n 个刚体部分组成，各刚体部分对某一定轴的转动惯量分别为
n I I I ，，， 21，则整个刚性系统对此定轴的转动惯量就为
∑=
i
I
I (5.3.23)
回转半径：设刚体对过其质心C 的某轴线的转动惯量为C I ，若能找到一线度量0R ，使得
20mR I C = (5.3.24)
则称0R 为刚体对此轴线的回转半径。
60、常见的刚体作定轴转动时的转动惯量
1、 质量为m ，长为l 的均质直杆，对过其中心垂直于直杆的轴线的转动惯量为
212
1
ml I =
(1) 2、 质量为m ，长为l 的均质直杆，对过其一端垂直于直杆的轴线的转动惯量为
23
1
ml I = (2)
3、质量为m 半径为R 的均质圆薄板，对过其圆心垂直于板面的轴线的转动惯量为
2
2
1mR I = (3)
4、质量为m 半径为R 的均质圆薄板，对过其一直径轴线的转动惯量为
2
4
1mR I = (4)
5、质量为m 半径为R 的均质圆环，对过其圆心垂直于圆环平面的轴线的转动惯量为
2
mR I = (5) 6、质量为m 半径为R 的均质圆球，对过其一直径轴线的转动惯量为
121
25
2
mR I =
(6) 7、质量为m 半径为R 的均质圆球壳，对过其一直径轴线的转动惯量为
2
3
2mR I = (7)
70、刚体作定轴转动时的角动量定理(含角动量守恒定律) 由刚体的角动量定理
∑∑==?=?=n
i i i n i i i i F r v m r dt d dt L d 1
1)()(
考虑刚体作定轴转动时z 轴方向的角动量和力矩
??
????==∑=n i z
i i z z z F r J I L 1)( ω 则在z 轴方向上就有
z z
J dt
dL = (5.3.25) 即 z z
J dt
d I =ω
(5.3.26) 或 z z
J dt d I =2
2?
(5.3.27) 其中?为刚体作定轴转动的角位置，有
???
??==?ω?ω dt
d (5.3.28)
80、刚体作定轴转动时的动能定理
以刚体作定轴转动的角位移?d 乘以(2)式得 ??ω
d J d dt
d I z z
?=? 即 ?ωωd J d I z z ?=? 积分就得
122
?=-=-2
1
2
222122121?
??ωωd J I I T T z z z (5.3.29)
与质点运动的动能定理比较
??=-=-r d F mv mv T T 2
222122
121
r d F ?为外力F 对质点作用使之有r d
的位移时，外力F 对质点所做的功；而?d J z 就可理解为
z 轴方向的外力矩z J 使刚体有?d 的角位移时，外力矩z J 对刚体所做的功。故(5)式可阐述为对
轴的外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的变化，这就是刚体定轴转动的动能定理。
若作用在刚体上的外力系为保守力系，则刚体作定轴转动的机械能守恒，有 为常量V I E z +=
22
1
ω (5.3.30)
90、轴上反力
设刚体作定轴转动时，轴线对刚体的反作用力为R ，而别的外力称为主动力F
，则由质心
运动定理有
R F dt r d M C
+=2
2 (5.3.31) 由此可看出，既便作用在刚体上的主动力为零，只要刚体的质心不在定轴轴线上，22dt r d C
总不为
零，从而定轴轴线对刚体的反作用力R
总操作不为零。为使刚体不受主动力作用时能自由转动，
不受定轴轴线对刚体的反作用力，自然需要定轴轴线通过其质心，此时的转动轴称为自由转动轴。实际上，刚体定轴轴线对刚体无反作用力的条件还要更复杂一点。因为一般情况下，定轴轴线上
不同的点对刚体均可能有反作用力，而轴上反力R
只是其合力。合力为零，并不代表轴线上各点
对刚体均无反作用力。相应地，刚体的定轴轴线既便通过其质心，也不一定就是毫轴上反力的自由转动轴，本文只讨论到此。
§5.5 刚体的平面平行运动
10、刚体的平面平行运动
如果刚体运动时，刚体上的任意一点始终在平行于某个固定平面的平面上，则刚体这样的运
123
动称之为刚体的平面平行运动。而研究刚体的平面平行运动，只需研究刚体上任一平行于某个固定平面的平面上的点的运动即可。
20、平面平行运动参照系与刚体的平面平行运动
同样由第三章非惯性系质点动力学我们知道，如果将平面平行运动参照系S '和一刚体固结在一起，则刚体和S '系一起作平面平行运动，此时刚体上的某一点相对于S '的位置为固定，于是
k z j y i x r ''+''+''='
(5.4.1)
相对于S '系为常量，则有
r v v '?+=
ω0 (5.4.2)
及 r r dt
d a a '-'?+=
20ωω (5.4.3) 其中0v 和0a
分别为所研究的平行于某个固定平面的平面上选作为基点的S '系的原点o '的速度
和加速度。实际上基点不一定选在S '系的原点上，但0r 和r '
得分别为基点和所研究的点相对于基点的位置矢量，而刚体的平面平行运动可看成是所研究的刚体平面绕过基点垂直于平面的轴线的转动和轴线作平动的合成。
30、转动瞬心
若作平面平行运动的刚体其角速度不为零，某一时刻所研究的刚体平面上某点的速度为零，则该点称之为该瞬间刚体平面平行运动的转动瞬心C ，而该时刻，所研究的刚体平面上别的点的运动，看起来就象是绕该转动瞬心以角速度ω
作纯转动一样。
注意到0r r r
-='，故令(2)为零，就可得到转动瞬心C 在S 系中的坐标
???
????
+=-=ωωy
C x C v y y v x x 0000 (5.4.4)
同理，转动瞬心C 在S '系中的坐标为
???
????='-='''ωω
y C x C v y v x 00 (5.4.5)
124
其中0
v '
为所选的基点在S '系内测得的速度。如果0=ω，则可认为转动瞬心在无穷远处。 当所研究的刚体平面运动时，转动瞬心C 的位置不断变化，在S 系的xoy 平面上将划出一
条轨迹，这条轨迹称之为空间极迹；同样转动瞬心C 也将在S '
系的y o x '''平面上划出一条轨迹，这条轨迹称之为本体极迹。实
际上，刚体平面平行运动可看成是其本体极迹在空间极迹上无滑动的滚动而成。(P198，例1)
40
、刚体平面平行运动的动力学定理 为了方便，选取刚体的质心C 为基点，则由质心运动定理，可得到质心的运动方程
???==y C
x C F y m F x m (5.4.6)
而取过质心垂直于所研究的刚体平面的直线为转动轴z ，则由对定轴的角动量定理有 z z
J dt
d I =ω
(5.4.7) 实际上，刚体要作平面平行运动肯定受到了某些限制，否则刚体就作别的运动了(如不受任何限制的一般自由运动)，因此还存在某些具体的约束方程，这要视具体情况而定。即刚体的平面平行运动除满足上述两个动力学方程外，还满足由具体要求确定的约束方程。
由科尼希定理可知，刚体的平面平行运动的动能可分为两部分，一为质心作平动的动能，一为刚体绕质心转动的动能。如果作用在刚体上的外力系为
保守力系，则刚体的机械能守恒，有
为常量V I mv E z C ++=2
22
121ω (5.4.8) 50、圆轮的滚动
1、纯滚动，若圆轮在一固定平面上作无滑动的滚动，则这样的滚动称为纯滚动。此时，轮缘与固定平面接触之点C 无滑动的的现象。由于固定平面是静止，与轮缘接触之点C 也静止，所以轮缘上固定平面接触之点C 的速度为
零，该点即为转动瞬心。显然作纯滚动的圆轮就是一种刚体的平面平行运动，其本体极迹就是轮缘，而空间极迹就是那固定平面上的直线(如图5.8)。
设轮心的速度为u ，圆轮作纯滚动的角速度为ω，取所研究时刻S '系的坐标轴如图5.8，则
图5.7，本体极迹在空间极迹上作无
滑动。 图5.8，轮缘上与平面接触之点不动，即为转动瞬心。平面上的直线就是空间极迹。
125
对于轮缘上某点P ，其位置矢量
j R i R r
?+?='θθcos sin (1)
其速度
r v v '?+=
ω0 (2)
其中 k
ωω-=， i u v
=0 (3)
则 ???-=+=θωθ
ωsin cos R v R u v y
x (4)
如对于轮缘底点C ，πθ=。由0=v
，有
???==-=00
Cy
Cx v R u v ω
可得
R u =ω (5)
对于轮缘顶点A ，0=θ，有
R v v Ax A ω2== (6) 对于轮缘前点B ，2πθ=，有
R v v Bx B ω-== (7)
又设圆轮受力如图5.9，其中F 为主动力，P
为载荷，f
为摩擦力，由对质心的动量定理和角动量定理就有
f N P F
g m dt
v d m
C ++++= (8) 及 J fR dt
d I -=-ω
(9) 其中J
为圆轮所受到的主动力矩，负号是因其方向与k 方向
相反，即同时k ωω-=，k dt
d dt d ωω-=。在通常情况下，如汽车的驱动轮，所受的主动力可认为为零，故
x
图5.9，纯滚动的摩擦力应是静摩擦力。
126
???
?
???-=-=--=J
fR dt d I P m g N f dt dv m Cx
ω0 (10)
因圆轮作纯滚动，有
??
???==dt d R dt dv R
v CX Cx ωω
从而
????
???+=+=+=22m R
I J dt d P m g N J m R I m R f ω (11)
(P201例题2)
2、若圆轮在平面上作有滑动有滚动的运动，受力如图4，其中f 为滑动摩擦力，有
N f μ= (12)
同样由对质心的动量定理和角动量定理，有
f N P F
g m dt
v d m C
++++= (13) 及 J fR dt
d I
--=-ω
(14) 对(13)式可分解为
?????=---=0
P mg N f F dt
dv m
Cx
(15) 从而
x
图5.10，圆轮在平面上作有滑动的滚动
127
???+=+=)
(P mg f P
mg N μ (16)
(例)
§5.6 刚体的定点转动
10、刚体的定点转动
如果刚体运动时，刚体上有一点总保持固定不动，则称这样的运动为刚体的定点运动。刚体作定点运动时，刚体上别的点可看成是绕该定点作转动，故刚体的定点运动也称为刚体的定点转动。
20、空间定点旋转参照系与刚体的定点转动
由第三章非惯性系质点动力学，如果将一刚体和空间定点运动参照系固结在一起，则刚体也就作定点转动。若刚体上某点的位置矢量
k z j y i x r r ''+''+''='=
(5.5.1)
则其速度和加速度就分别为
r v
?=ω (5.5.2)
和 )(r r dt d a
??+?=ωωω (5.5.3) 其中r dt
d
?ω为转动切向加速度，而)(r ??ωω为转动向轴加速度。 30、转动瞬轴
同样由第三章非惯性系质点动力学我们知道，作定点转动的刚体上t 时刻瞬间存在一条过定点的转动瞬轴。该t 时刻瞬间，转动瞬轴上任意一点的速度均为零。此时，刚体上别的点可看成是绕此瞬轴作转动。
若令(2)式为零，则可得到瞬时轴线的方程
???
??=-=-=-0
00x y z x y z y x
x z z y ωωωωωω (5.5.4)
即
z
y
x
z
y
x
ωωω=
=
(5.5.5)
而在固结于刚体的运动参照系S '中，瞬时轴线的方程为
128
???
??='-'='-'='-'''
'''0
00x y z x y z y x x z z y ωωωωωω (5.5.6)
即
z
y
x z y x ωωω'
=
'
=
'
'
(5.5.7)
随着刚体的运动，瞬时轴线不断地变化。在S 系内，瞬时轴线将划出一圆锥面，这圆锥面称为刚体定点转动的空间极面。而在S '系内，瞬时轴线也将划出一圆锥面，这圆锥面称为刚体定点转动的本体极面。两极面总是相切的(如图5.11)。
40、刚体对过定点的某一轴线的转动惯量
设作定点运动的刚体上，一过定点的轴线l 的方向余弦分别为(γβα，，)，刚体上质点)(i i i i z y x m ，，距轴线l 的距离为i ρ，如图5.12可有
i
i i i i i i r z r y r x ?+?+?
=γβαθcos 其中，2222i i i i z y x r ++=
而 i i i i i z y x r ON γβαθ++=?=cos
于是 2
2
2ON r i i -=ρ
注意到12
22=++γ
βα，则可得到
i i i i i i i i i i i i i y x x z z y y x x z z y αβγαβγγβαρ222)()()(2222222222---+++++=
现定义刚体对轴线l 的转动惯量为 ∑=2
i
i
m I ρ
(5.5.6)
于是
图5.11，空间极面和本体极面总是相切的。
图5.12，刚体上质点i m 距轴线l 的距离为i ρ。
129
∑∑∑∑∑∑----+++++=i
i i i i i i i i i i i i i i i i i y x m x z m z y m y x m x z m z y m I αβγαβγγβα222)()()(222222222 (5.5.7)
取对x 、y 和z 轴的转动惯量分别为
???????+=+=+=∑∑∑)
()()(222
222i i i zz i i i yy i i i xx y x m I x z m I z y m I (5.5.8)
及所谓的惯性积
????
???======∑∑∑i
i i xz zx i i i zy yz i i i yx xy x z m I I z y m I I y x m I I (5.5.9)
则刚体对任意轴线l 的转动惯量就可表为
γαβγαβγβαzx yz xy zz yy xx I I I I I I 2222
2
2
---++= (5.5.10)
考虑到轴线l 上的单位矢量??+?+?=k j i n
γβα可由行向量或列向量表述，即可由所谓的逆变
矢量
()γβα
μ
=n (5.5.11)
或协变矢量
???
?
?
??=γβανn (5.5.12)
表示，而将如下的矩阵称为惯量张量
???
?
?
??------=zz zy
zx
yz yy yx
xz xy xx
I I I I I I I I I I (5.5.13) 其中矩阵中的各元素称为惯量张量的惯性系数，则刚体对任意轴线l 的转动惯量又可表为
νμ
n I n I ??=
(5.5.14)
显然，转动惯量在固结于刚体上的运动坐标系S '中也可得到相应的表述。随着所选取的坐
130
标系的不同，转动惯量的表达也将不同。但对同一条轴线，由于刚体质量对其分布一定，对该轴的转动惯量结果也一定相同。若所选取的运动坐标系S '能使得转动惯量中的惯性积都为零，则转动惯量的表述将得到简化，此时
222γβαzz yy xx I I I I ++= (5.5.15) 注意，此时的z y x 、、，均为S '系内的坐标。为选得这样的坐标系，可在轴线l 上取一点P ，使得其位置坐标为
??
?
??===γβα
R z R y R x (5.5.16)
其中
I R R 1
== (5.5.17)
I 还是由(10)描述，则随着轴线l 的不同，P 点可有相应的轨迹方程。由(10)、(16)和(17)三式，P
点的轨迹方程就为
12222
2
2
=---++zx yz I xy I z I y I x I zx yz xy zz yy xx (5.5.18) 这是一个中心在定点o 的圆锥曲面方程。在0≠I 时，一般为闭合曲面，也就是一个中心在定点o 的椭球面，而这个椭球通常称之为惯量椭球。若选取这个椭球三个相互垂直的主轴为坐标轴，则惯量椭球面的方程(18)可简化为
122
2222=++c
z b y a x (5.5.19)
相应地，惯量椭球的三个半长轴分别为
????
???===zz
yy xx
I c I b I a 1
1
1 (5.5.20) 显然，此时的三个惯性积均为零。而此时的坐标系称为主轴坐标系，其坐标轴即椭球的主轴称为惯量主轴。相应地，对方向余弦分别为α、β和γ的轴线l 的转动惯量由(15)式确定。
50、刚体作定点转动的角动量
131
设刚体作定点o 的转动，其角速度为ω ，刚体上某质点i m 相对于定点o 的位置矢量为i r
，则其速度为i i r v
?=ω，相应地，刚体对定点o 的角动量就为
∑∑??=?=++=)]([)(i i i i i i z y x r r m v m r k L j L i L L
ω (5.5.31)
展开后其分量为
?
??
??+--=-+-=--=z
zz y zy x zx z z yz y yy x yx y z xz y xy x xx x I I I L I I I L I I I L ωωωωωωωωω (5.5.32)
若取角速度k j i z y x
ωωωω++=的逆变矢量为
()z y x ωωωωμ= (5.5.33)
协变矢量 ???
?? ??=z y x ωωωων (5.5.34)
则刚体对定点o 的角动量L
可用其协变矢量表述，
ω
?=????
?
??=I L L L L z y x (5.5.35)
即 ???
?
?
???????? ??------=?=?
????
??=z y x zz zy
zx
yz yy yx
xz xy xx z y x I I I I I I I I I I L L L L ωωωωνν
(5.5.36)
若所选取的坐标系的坐标轴均为惯量主轴，则
k I j I i I L z zz y yy x xx
ωωω++= (5.5.37)
60、刚体作定点转动的动能－转动动能 由质点系动能的定义，刚体定点转动的动能为 ∑∑∑??
??
????=??? ???=??? ??=
)(2121212i i i i i i i i r v m v v m v m T ω
大学物理刚体力学基础习题思考题及答案
大学物理刚体力学基 础习题思考题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2 习题5 5-1．如图，一轻绳跨过两个质量为m 、半径为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 2和m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为2/2mr ，将由两个定滑轮以及质量为m 2和m 的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解：受力分析如图，可建立方程： ma T mg 222=-┄① ma mg T =-1┄② 2()T T r J β-=┄③ βJ r T T =-)(1┄④ βr a = ，2/2J mr =┄⑤ 联立，解得：g a 41=，mg T 8 11= 。 5-2．如图所示，一均匀细杆长为l ，质量为m ，平放在摩擦系数为μ的水平桌面上，设开始时杆以角速度0ω绕过中心O 且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 解：（1）设杆的线密度为：l m =λ，在杆上取一小质元dm d x λ=，有微元摩擦 力： d f dmg gd x μμλ==， 微元摩擦力矩：d M g xd x μλ=， 考虑对称性，有摩擦力矩： 20124 l M g xd x mgl μλμ==?； （2）根据转动定律d M J J dt ωβ==，有：000t Mdt Jd ωω-=??， T
3 2011412mglt m l μω-=-，∴03l t g ωμ=。 或利用：0M t J J ωω-=-，考虑到0ω=，2112J ml = ， 有：03l t g ωμ=。 5-3．如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳 子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。 假设定滑轮质量为M 、半径为R ,其转动惯量为2/2MR ， 试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的 关系。 解：受力分析如图，可建立方程： m g T ma -=┄① βJ TR =┄② a R β= ，212 J mR =┄③ 联立，解得：22mg a M m =+，2Mmg T M m =+， 考虑到dv a dt =，∴0022v t mg dv dt M m =+??，有：22mg t v M m =+。 5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为 4/M ，均匀分布在其边缘上，绳子A 端有一质量为M 的 人抓住了绳端，而在绳的另一端B 系了一质量为4/M 的 重物，如图。已知滑轮对O 轴的转动惯量4/2MR J =， 设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无 相对滑动，求B 端重物上升的加速度？ 解一：
理论力学课后习题答案 第6章 刚体的平面运动分析
第6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 2 2 1t α?= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角 表示杆的角速度。 解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆 AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2000cos cos === 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解：R v R v A A ==ω 习题6-1图 A B C v 0 h 习题6－2图 P AB v C A B C v o h 习题6－2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v
刚体力学基础 习题 解答
衡水学院 理工科专业 《大学物理B 》 刚体力学基础 习题 命题教师:郑永春 试题审核人:张郡亮 一、填空题(每空1分) 1、三个质量均为m 的质点,位于边长为a 的等边三角形的三个顶点上。此系统对通过三角形中心并垂直于三角形平面的轴的转动惯量J 0＝__ ma 2 _,对通过三角形中心且平行于其一边的轴的转动惯量为J A ＝__ 12 ma 2 _,对通过三角形中心与一个顶点的轴的转动惯量为J B ＝__ 2 1ma 2 。 2、两个质量分布均匀的圆盘A 与B 的密度分别为ρA 与ρB (ρA >ρB ),且两圆盘的总质量与厚度均相同。设两圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为J A 与J B ,则有J A < J B 。 3、 一作定轴转动的物体,对转轴的转动惯量J ＝3、0 kg ·m 2,角速度ω0＝6、0 rad/s.现对物体加一恒定的制动力矩M ＝－12 N ·m,当物体的角速度减慢到ω＝2、0 rad/s 时,物体已转过了角度?θ＝__ 4、0rad 4、两个滑冰运动员的质量各为70 kg,均以6、5 m/s 的速率沿相反的方向滑行,滑行路线间的垂直距离为10 m,当彼此交错时,各抓住一10 m 长的绳索的一端,然后相对旋转,则抓住绳索之后各自对绳中心的角动量L ＝__2275 kg·m 2·s 1 _;它们各自收拢绳索,到绳长为5 m 时,各自的速率υ ＝__13 m·s 1_。 5、有一质量均匀的细棒,可绕垂直于棒的一端的水平轴转动。如将此棒放在水平位置,然后任其下落,则在下落过程中的角速度大小将 变大 ,角加速度大小将 变小 。 二、单项选择题(每小题2分) ( A )1、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上,下列说法正确的就是: A 、这两个力都平行于轴作用时,它们对轴的合力矩一定就是零; B 、这两个力都垂直于轴作用时,它们对轴的合力矩一定就是零; C 、当这两个力的合力为零时,它们对轴的合力矩也一定就是零; D 、当这两个力对轴的合力矩为零时,它们的合力也一定就是零。 ( C )2、一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上,滑轮的转动惯量为J ,绳下端挂一物体。物体所受重力为P ,滑轮的角加速度为α.若将物体去掉而以与P 相等的力直接向下拉绳子,滑轮的角加速度α将 A 、不变; B 、变小; C 、变大; D 、如何变化无法判断。 ( C )3、关于刚体的转动惯量,下列说法中正确的就是 A 、只取决于刚体的质量,与质量的空间分布与轴的位置无关; B 、取决于刚体的质量与质量的空间分布,与轴的位置无关; C 、取决于刚体的质量、质量的空间分布与轴的位置; D 、只取决于转轴的位置,与刚体的质量与质量的空间分布无关。 ( C )4、一人造地球卫星到地球中心O 的最大距离与最小距离分别就是R A 与R B .设卫星对应的角动量分别就是L A 、L B ,动能分别就是E KA 、E KB ,则应有 A 、L B > L A ,E KA = E KB ; B 、L B < L A ,E KA = E KB ; C 、L B = L A ,E KA < E KB ; D 、L B = L A , E KA > E KB . ( C )5、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动,如图1射来两个质量 相同,速度大小相同,方向相反并在一条直线上的子弹,子弹射入圆盘并且留在盘内, 则子弹射入后的瞬间,圆盘的角速度ω O M m m
大学物理刚体动力学
第二章 刚体力学基础 自学练习题 一、选择题 1．有两个力作用在有固定转轴的刚体上： （1）这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； （2）这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零； （3）当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零； （4）当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零； 对上述说法，下述判断正确的是：（ ） （A ）只有（1）是正确的； （B ）（1）、（2）正确，（3）、（4）错误； （C ）（1）、（2）、（3）都正确，（4）错误； （D ）（1）、（2）、（3）、（4）都正确。 【提示：（1）如门的重力不能使门转动，平行于轴的力不能提供力矩；（2）垂直于轴的力提供力矩，当两个力提供的力矩大小相等，方向相反时，合力矩就为零】 2．关于力矩有以下几种说法： （1）对某个定轴转动刚体而言，内力矩不会改变刚体的角加速度； （2）一对作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零； （3）质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩的作用下，它们的运动状态一定相同。 对上述说法，下述判断正确的是：（ ） （A ）只有（2）是正确的； （B ）（1）、（2）是正确的； （C ）（2）、（3）是正确的； （D ）（1）、（2）、（3）都是正确的。 【提示：（1）刚体中相邻质元间的一对内力属于作用力和反作用力，作用点相同，则对同一轴的力矩和为零，因而不影响刚体的角加速度和角动量；（2）见上提示；（3）刚体的转动惯量与刚体的质量和大小形状有关，因而在相同力矩的作用下，它们的运动状态可能不同】 3．一个力(35)F i j N =+作用于某点上，其作用点的矢径为m j i r )34( -=，则该力对坐标原点的力矩为 （ ） （A ）3kN m -?； （B ）29kN m ?； （C ）29kN m -?； （D ）3kN m ?。 【提示：(43)(35)430209293 5 i j k M r F i j i j k k k =?=-?+=-=+ =】 4．均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴 转动，如图所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆 到竖直位置的过程中，下述说法正确的是：（ ） （A ）角速度从小到大，角加速度不变； （B ）角速度从小到大，角加速度从小到大； （C ）角速度从小到大，角加速度从大到小；
清华大学版理论力学课后习题集标准答案全集第6章刚体平面运动分析
6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 22 1t α?= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。 解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2 000cos cos === 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解：R v R v A A == ω R v R v B B 22==ω B A ωω2= 6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30?，?＝60?，BC ＝270mm 。试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。 习题6-1图 A B C v 0 h θ 习题6－2图 P ωAB v C A B C v o h θ 习题6－2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v ωA ωB
大学物理 刚体力学基础习题思考题及答案
习题5 5-1．如图，一轻绳跨过两个质量为m 、半径为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 2和m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为2/2 mr ，将由两个定滑轮以及质量为m 2和m 的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解：受力分析如图，可建立方程： ma T mg 222=-┄① ma mg T =-1┄② 2()T T r J β-=┄③ βJ r T T =-)(1┄④ βr a = ，2/2J mr =┄⑤ 联立，解得：g a 41=，mg T 8 11 = 。 5-2．如图所示，一均匀细杆长为l ，质量为m ，平放在摩擦系数为μ的水平桌面上，设开始时杆以角速度0ω绕过中心O 且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 解：（1）设杆的线密度为：l m = λ，在杆上取一小质元dm d x λ=，有微元摩擦力： d f dmg gd x μμλ==， 微元摩擦力矩：d M g xd x μλ=， 考虑对称性，有摩擦力矩： 20 1 24 l M g xd x mgl μλμ==?； （2）根据转动定律d M J J dt ωβ==，有：000t Mdt Jd ωω-=??， 2011 412 mglt m l μω-=-，∴03l t g ωμ=。 或利用：0M t J J ωω-=-，考虑到0ω=，21 12 J ml =， 有：03l t g ωμ=。 T
5-3．如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M 、半径为 R ,其转动惯量为2/2MR ，试求该物体由静止开始下落的过程中， 下落速度与时间的关系。 解：受力分析如图，可建立方程： m g T ma -=┄① βJ TR =┄② a R β= ，21 2 J mR = ┄③ 联立，解得：22mg a M m =+，2Mmg T M m =+， 考虑到dv a dt =，∴0022v t mg dv dt M m =+??，有：22mg t v M m = +。 5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为4/M ，均匀分布在其边缘上，绳子A 端有一质量为M 的人抓住了绳端，而在绳的另一端B 系了一质量为4/M 的重物，如图。已知滑轮对O 轴的转动惯量4/2 MR J =，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B 端重物上升的加速度？ 解一： 分别对人、滑轮与重物列出动力学方程 A Ma T Mg =-1人 B a M g M T 4 42=- 物 αJ R T R T =-21滑轮 由约束方程: αR a a B A ==和4/2 MR J =,解上述方程组 得到2 g a = . 解二： 选人、滑轮与重物为系统，设u 为人相对绳的速度，v 为重
多刚体动力学大作业(MAPLE)
MAPLE理论力学 学号：201431206024 专业：车辆工程 姓名：张垚 导师：李银山
题目一: 如图，由轮1，杆AB 和冲头B 组成的系统。A ，B 两处为铰链连接。OA=R,AB=l,如忽略摩擦和物体自重，当OA 在水平位置，冲压力为F 时，系统处于平衡状态。 求：（1）作用在轮1上的力偶矩M 的大小 （2）轴承O 处的约束力 （3）连接ＡＢ受的力 （4）冲头给导轨的侧压力。 解： 对冲头Ｂ进行受力分析如图2：Ｆ，ＦB ＦN 对连杆ＡＢ进行受力分析如图3：ＦB ，ＦA > restart: #清零 > sin(phi):=R/l; #几何条件 > cos(phi):=sqrt(l^2-R^2)/l; > eq1:=F[N]-F[B]*sin(phi)=0; #冲头， x F ∑=0 > eq2:=F-F[B]*cos(phi)=0; #冲头， y F ∑=0 > solve({eq1,eq2},{F[N],F[B]}); #解方程 > F[B]:=F/(l^2-R^2)^(1/2)*l;#连杆的作用力的大小 > F[A]:=F[B]; #连杆AB ，二力杆 := ()sin φR l := ()cos φ - l 2R 2 l := eq1 = - F N F B R l 0 := eq2 = - F F B - l 2R 2 l 0{}, = F B F l - l 2 R 2 = F N F R - l 2 R 2 := F B F l - l 2 R 2 := F A F l - l 2 R 2 图1 图2 图3
> eq3:=F[A]*cos(phi)*R-M; #轮杆0=A M > eq4:=F[Ox]+F[A]*sin(phi)=0; #轮杆1 0=∑ x F > eq5:=F[Oy]+F[A]*cos(phi)=0; #轮杆1 0=∑ y F > solve({eq3,eq4,eq5},{M,F[Ox],F[Oy]});#解方程 答：（1）作用在轮１上的力偶矩Ｍ＝ＦＲ； （2）轴承Ｏ处的约束力 （3）连杆ＡＢ受力 （4）侧压力 题目二： 如图4，图示曲线规尺的杆长OA=AB=200mm,而CD=DE=AC=AE=50mm 。如OA 杆以等角速度 s rad 5π ω= 绕O 轴转动，并且当运动开始时，角?=0?。 （1）求尺上D 点的运动方程。 （2）求D 点轨迹，并绘图。 > restart: #清零 > OA:=l: #OA 长度 > AB:=l: #AB 长度 > CD:=l/4: #CD 长度 > DE:=l/4: #DE 长度 > AC:=l/4: #AC 长度 > AE:=l/4: #AE 长度 > phi:=omega*t: #瞬时夹角 > x:=OA*cos(phi): #D 点的横坐标 := eq3 - F R M := eq4 = + F Ox F R - l 2 R 2 0 := eq5 = + F Oy F 0{},, = M F R = F Oy -F = F Ox - F R - l 2 R 2 = F Ox - F R - l 2 R 2 = F Oy -F := F B F l - l 2 R 2 = F N F R - l 2 R 2 图4
第二篇动力学第五章 刚体动力学的基本概念
第二篇动力学 第五章刚体动力学的基本概念 一、目的要求 1．深入地理解力、刚体、平衡和约束等重要概念。 2．静力学公理（或力的基本性质）是静力学的理论基础，要求深入理解。 3.能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影，对合力投影定理有清晰的理解。 4. 理解力对点之矩的概念，并能熟练地计算。 5．深入理解力偶和力偶矩的概念，明确力偶的性质和力偶的等效条件。 6．明确和掌握约束的基本特征及约束反力的画法。 7．熟练而正确地对单个物体与物体系统进行受力分析，画出受力图。 二、基本内容 1．重要概念 1）平衡：物体机械运动的一种特殊状态。在静力学中，若物体相对于地面保持静止或作匀速直线平动，则称物体处于平衡。 2）刚体：在力作用下不变形的物体。刚体是静力学中的理想化力学模型。 3）约束：对非自由体的运动所加的限制条件。在刚体静力学中指限制研究对象运动的物体。约束对非自由体施加的力称为约束反力。约束反力的方向总是与约束所能阻碍的物体的运动或运动趋势的方向相反。 4）力：物体之间的相互机械作用。其作用效果可使物体的运动状态发生改变和使物体产生变形。前者称为力的运动效应或外效应，后者称为力的变形效应或内效应，理论力学只研究力的外效应。力对物体作用的效应取决于力的大小、方向、作用点这三个要素，且满足平行四边形法则，故力是定位矢量。 5）力的分类：集中力、分布力；主动力、约束反力 6）力系：同时作用于物体上的一群力称为力系。按其作用线所在的位置，力系可以分为平面力系和空间力系，按其作用线的相互关系，力系分为共线力系、平行力系、汇交力系和任意力系等等。
7）等效力系：分别作用于同一刚体上的两组力系，如果它们对该刚体的作用效果完全相同，则此两组力系互为等效力系。 8）平衡力系：若物体在某力系作用下保持平衡，则称此力系为平衡力系。 9）力的合成与分解：若力系与一个力FR 等效，则力FR 称为力系的合力，而力系中的各力称为合力FR 的分力。力系用其合力FR 代替，称为力的合成；反之，一个力FR 用其分力代替，称为力的分解。 10）力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式 力F 在y x ,轴上的投影分别为 cos cos sin x y F F F F F αβα=???==?? 力的投影是代数量。 2．静力学公理及其推论 公理一 力的平行四边形法则 与一个力系相等效的力称为该力系的合力。作用在刚体上同一点的两个力的合力仍作用在该点，合力的大小与方向由这两个力为邻边构成的平行四边形对角线确定，即合力矢等于这两个力矢的矢量和（图5-5a ）。以数学公式表示为 12R =+F F F 如果取该平行四边形的一半作为二力合成法则，则称为力的三角形法则（图5-5b,c ）。
3-刚体力学基础
图3-1 大 学 物 理 习 题 3．刚体力学基础 一、选择题 1．有些矢量是相对于一定点（或轴）而确定的，有些矢量是与定点（或轴）的选择无关的。下列给出的各量中，相对于定点（或轴）而确定的物理量是： A ．矢径 B ．位移 C ．速度 D ．动量 E ．角动量 F ．力 G ．力矩 （ ） 2．在下列关于转动定律的表述中，正确的是： A ．对作定轴转动的刚体而言，力矩不会改变刚体的角加速度； B ．两个质量相等的刚体，在相同力矩的作用下，运动状态的变化情况一定相同； C ．同一刚体在不同力矩作用下，必然得到不同的角加速度； D ．作用在定轴转动刚体上的力越大，刚体转动的角加速度越大； E ． 刚体定轴转动的转动定律为βJ M =，式中β,,J M 均对同一条固定轴而言的， 否则该式不成立。。 （ ） 3．工程技术上的摩擦离合器是通过摩擦实现传动的装置，其结构如图3-1所示。轴向作用力可以使A 、B 两个飞轮实现离合。当A 轮与B 轮接合通过摩擦力矩带动B 轮转动时，则此刚体系统在两轮接合前后 A ．角动量改变，动能也改变； B ．角动量改变，动能不变； C ．角动量不变，动能改变； D ．角动量不变，动能也不改变。 （ ） 4．一人开双臂手握哑铃坐在转椅上，让转椅转动起来，若此后无外力矩作用，则当此人收回双臂时，人和转椅这一系统的 A ．转速加大，转动动能不变； B ．角动量加大；
图3-3 C ．转速和转动动能都加大； D ．角动量保持不变。 （ ） 5．有a 、b 两个半径相同，质量相同的细圆环，其中a 环的质量均匀分布，而b 环的质量分布不均匀，若两环对过环心且与环面垂直轴的转动惯量分别为a J 和b J ，则 A ．b a J J >； B ．b a J J <； C ．b a J J =； D ．无法确定a J 与b J 的相对大小。 （ ） 6．在下列关于守恒的表述中，正确的是 A ．系统的动量守恒，它的角动量也一定守恒； B ．系统的角动量守恒，它的动量也必定守恒； C ．系统的角动量守恒，它的机械能也一定守恒； D ．系统的机械能守恒，它的角动量也一定守恒； E ．以上表述均不正确。 （ ） 7．如图3-2所示，一悬线长为l ，质量为m 的单摆和一长度为 l 、质量为m 能绕水平轴自由转动的匀质细棒，现将摆球和细棒 同时从与竖直方向成θ角的位置由静止释放，当它们运动到竖直 位置时，摆球和细棒的角速度之间的关系为 A ．ω1>ω2 ； B ．ω1=ω2； C ．ω1<ω2 。 ( ) 8．如图3-3所示，圆盘绕光滑轴O 转动，若同时对称地射来两颗质量相同，速度大小相同，方向相反且沿同一直线运动的子弹。射入后两颗子弹均留在盘，则子弹射入后圆盘的角速度ω将： 图 3-2
理论力学课后习题答案-第6章--刚体的平面运动分析
理论力学课后习题答案-第6章--刚体的平面运动分析
第6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0 ω=0 ?= 0 2 2 1t α?= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ?=CP CP 0 ，即 θ?r R = ?θr R =， ??r r R A +=（4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ? ? ??? +=+=+=222212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。 解：杆AB 作 平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 习题6-1图 A B C v 0 h θ 习题6－2图 P ωA v C A B C v o h θ 习题6－2解图
习题6-6图 习题6-6解图 l ? υ l 2B O 1ωA B A υB υO 1 O AB ωω 解：图（a ）中平面运动的瞬心在点O ，杆BC 的瞬心在点C 。 图（b ）中平面运动的杆BC 的瞬心在点P ，杆 AD 做瞬时平移。 6－6 图示的四连杆机械OABO 1中，OA = O 1B = 2 1 AB ，曲柄OA 的角速度ω= 3rad/s 。试求当示。?= 90°而曲柄O 1B 重合于OO 1的延长线上时，杆AB 和曲柄O 1B 的角速度。 解：杆AB 的瞬心在O 3===ωωOA v A AB rad/s ωl v B 3= 2.531===ωωl v B B O rad/s 6－7 绕电话线的卷轴在水平地面上作纯滚动，线上的点A 有向右的速度v A = 0.8m/s ，试求卷轴中心O 的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？ 解：如图 333.16 .08 .03.09.0==-=A O v ωrad/s 2.16 89.09.0=?==O O v ωm/s 卷轴向右滚动。 ω ω 习题6-5解图 O O 1 A B C O O 1 A B D v B v v v v B v v P (a (b 习题6-7图
第六章刚体动力学_大学物理
第七章机械振动 刚体转动的角坐标、角位移、角速度和角加速度的概念以及它们和有关线量的关系 刚体定轴转动的动力学方程，熟练使用刚体定轴转动定律 刚体对固定轴的角动量的计算，正确应用角动量定理及角动量守恒定理 掌握刚体的概念和刚体的基本运动 理解转动惯量的意义及计算方法，会利用平行轴定理和垂直轴定理求刚体的转动惯量 掌握力矩的功，刚体的转动动能，刚体的重力势能等的计算方法 了解进动现象和基本描述 §6.1 刚体和自由度的概念 一. 力矩 力是引起质点或平动物体运动状态(用动量描述)发生变化的原因.力矩则是引起转动物体 运动状态(用动量聚描述)发生变化的原因. 将分解为垂直于z 轴和平行于z 轴的两个力及,如右图.由于 不能改变物体绕z 轴的转动状态,因此定义对转轴z 的力矩为零.这样,任意力对z 轴的力矩就等于力对z 轴的力矩,即 力矩取决于力的大小、方向和作用点.在刚体的定轴转动中,力矩只有两个指向,因此一般可视为代数量.根据力对轴的力矩定义,显然,当力平行于轴或通过轴时,力对该轴的力矩皆为零. 讨论: (1)力对点的力矩. (2) 力对定轴力矩的矢量形式 力矩的方向由右螺旋法则确定. (3) 力对任意点的力矩,在通过该点的任一轴上的投影,等于该力对该轴的力矩.
例: 已知棒长L,质量M,在摩擦系数为μ 的桌面转动(如图) 求摩擦力对y 轴的力矩. 解: 以杆的端点O 为坐标原点,取Oxy坐标系,如 图在坐标为x 处取线元dx,根据题意,这一线元的质量和摩擦力分别为 则该线元的摩擦力对y轴的力矩为 积分得摩擦力对y轴的力矩为 注: 在定轴转动中,力矩可用代数值进行计算,例如
清华大学版理论力学课后习题答案大全_____第6章刚体平面运动分析解答
6章刚体的平面运动分析 6—1图示半径为r的齿轮由曲柄0A带动，沿半径为R的固定齿轮滚 动。曲柄0A以等角加速度：.绕轴0转动，当运动开始时，角速度?= 0,转 角冷=0。试求动齿轮以圆心A为基点的平面运动方程。 解：X A =(R r)c os y A =（R r）sin「（2） :'为常数，当t = 0时，? ,0=冷=0 1 2 t2（3） 2 起始位置，P与P0重合，即起始位置AP水平， 记.OAP」，则AP从起始水平位置至图示AP位置转过 半A虫+日 因动齿轮纯滚，故有CP0 =CP，即 R 二r 二 R R亠「 』「，「A』—（4） r r 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A为基点的 平面运动方程为: x A =(R +r) cos 空t2 2 a 2 丿y A =(R +r) sin —t 2 6—2杆AB斜靠于高为h的台阶角C处， 一端A以匀速V0沿水平向右运动，如图所示。试 以杆与铅垂线的夹角■'表示杆的角速度。 解：杆AB作平面运动，点C的速度 V C沿杆AB如图所示。作速度V C和V。的 垂线交于点P，点P即为杆AB的速度瞬 心。则角速度杆AB 为 v0V0COS 日V0COS2日 ''AB : AP AC h 6—4直径为60 3mm的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C铰接。设杆BC在水平位置时，滚子的角速度 -■= 12 rad/s，A 30，■= 60，BC = 270mm。试求该瞬时杆BC的角速度和点C的速度。 1 =2 2 r 6—3图示拖车的车轮A与垫滚B的半径均为r。试问当拖车以速度v前进时，轮A与垫滚B的角速度「A与* 'B有什么关系？设轮 解: =VA R R B与拖车之间无滑动 ■A V B _ v 2R 一2R A和垫滚B与地面之间以及垫滚 (1) 习题6-1图 B B 习题6 ― 2图习题6— 2 解军 图
刚体动力学分析模块：Rigid Dynamics介绍
刚体动力学分析模块：Rigid Dynamics 介绍 Rigid Dynamics 是ANSYS Structural（或更高级的Mechanical 或Multiphysics）产品的一个附加模块，它集成于Workbench 环境下，在Structural 所具有的柔性体动力学（瞬态动力学）分析功能的基础上，基于全新的模型处理方法和求解算法，专用于模拟由运动副和弹簧连接起来的刚性组件的动力学响应。 继承了Workbench 与各CAD 之间良好的双向参数链接能力，Rigid Dynamics 直接以参数化方式导入复杂的CAD 运动装配模型，基于其提供的完整的运动副类型来自动定义构件的运动关系，并提供了丰富的载荷库，以此来创建完全参数化的机械系统动力学计算模型。在求解算法上，Rigid Dynamics 采用了无需迭代计算和收敛检查的显式积分技术，并提供了自动时间步功能，来快速求解复杂系统的动力学特性，输出位移、速度、加速度和反作用力等历程曲线。由于无缝集成（且必须集成）于Structural 模块（及更高模块）之上，因此它可以与Structural 模块的Flexible Dynamics（柔性体动力学分析/瞬态动力分析）功能直接耦合进行线性和非线性（如大变形几何非线性、接触、弹塑性、橡胶超弹性等）结构的刚柔混合动力学分析，用户可任意指定各部件的刚柔属性（以及材料非线性等），求解完毕即可输出柔性部件的变形与应变。 特色功能 ? 与CAD 软件双向参数传递 o 嵌入式（双向参数链接）CAD 接口：Pro/E、UG、SolidWorks、CATIA 等。 o 标准格式文件读取：Parasolid、SAT、IGES 等。 o 双向参数互动：Rigid Dynamics 与CAD 模型紧密集成。 ? 自动探测运动副 o Rigid Dynamics 利用自动探测运动副功能来建立零件之间的连接关系。 o 根据自动探测的结果，可以快速修改运动副的连接关系。 ? 完整的运动副类型和弹簧 广州有道科技培训中心 h t t p ://w w w .020f e a .c o m
第六章刚体力学
第六章 刚体力学 6—1 质量为M 、长为l 的均匀细杆，静止于光滑的水平面上，可绕过杆中点0的固 定竖直轴自由转动。一质量为m 的子弹以0v 的速度沿垂直于杆的方向射来，嵌入杆的端点A ，求子弹嵌入杆后的角速度。 解1 在子弹与杆端A 碰撞的t ?时间内，杆受到的平均冲力为f ，根据转动定律，得到杆 的角加速度α， αJ l f =2 在发生相互作用的时间t ?内，杆得到角速度 t f J l t ?= ?=2αω (1) 子弹受到反方向的冲力f ，也得到与0v 反方向的加速度a 。，而有 ma f = 在时间t ?内子弹的动量变化： 0mv mv t f -=?- 但子弹在嵌入杆端A 后与杆一起运动，应有 2 l v ? =ω 由此得 2 0l m mv t f ? -=?ω (2) 代入(1)得 4 121242220 20ml Ml v l m ml J v l m + ?=+?=ω 解2 考虑子弹和杆组成的系统，在过程中系统只受轴承上的外力作用，故系统对0点的
角动量守恒，于是有 4 /2 /, 222 02 0ml J l mv l m J l mv += ???? ??? ???? ??+=?ωω 结果相同。值得注意的是，在子弹与杆相互作用的过程中，因为存在外力的作用，系统的动量是不守恒的。 6—2 以速度0v 作匀速直线运动的汽车上，有一质量为m(m 较小)、边长为l 的立方体货箱，如图5—21(a)所示。当汽车遇到前方障碍物急刹车停止时，货箱绕其底面的A 边翻转。试求：(1)汽车刹车停止瞬时，货箱翻转的角速度及角加速度；(2)此时，货箱A 边所受的支承反力 解 (1)汽车突然刹车并立即停止，由于惯性的作用，货箱必然绕垂直于纸面的A 轴转动，亦即货箱的运动在瞬间由平动变为转动(图5—21(b))。此瞬间货箱受到的重力及地面支承力对A 轴的冲量矩可忽略不计，货箱对A 轴的角动量守恒： ωA J l mv =? 2 0 等式左项为刹车前瞬时货箱对A 轴的平动角动量，右项中A J 为货箱对A 轴的转动惯量，根据平行轴定理，有 () 22 2 2322261ml l m ml CA m J J c A =??? ? ??+=?+= 代入解得货箱翻转时的角速度 l v 0 43= ω。 货箱翻转瞬时，只受重力矩作用，根据转动定律，有 αA J l mg =2
《理论力学》第六章 刚体的基本运动习题全解
图 题46-第六章 刚体的基本运动 习题全解 [习题6-1] 物体绕定轴转动的运动方程为334t t -=?（?以rad 计，t 以s 计）。试求物体内与转动轴相距m r 5.0=的一点，在00=t 与s t 11=时的速度和加速度的大小，并问物体在什么时刻改变它的转向？ 解： 角速度： 2394)34(t t t dt d dt d -=-== ?ω 角加速度：t t dt d dt d 18)94(2-=-==ωα 速度： )94(2t r r v -==ω 切向加速度：rt t r a t 18)18(-=-==ρα 法向加速度：222 22 )94()]94([t r r t r v a n -=-==ρ 加速度： 422222222)94(324])94([)18(t t r t r rt n a a n t -+=-+-=+= 物体改变方向时，速度等于零。即： [习题6-2] 飞轮边缘上一点Ｍ，以匀速ｖ＝１０ｍ／ｓ运动。后因刹车，该点以 )/(1.02s m t a t =作减速运动。设轮半径Ｒ＝０.４ｍ，求Ｍ点在减速运动过程中的运动方程及 ｔ＝２ｓ时的速度、切向加速度与法向加速度。 解： t dt d a t 1.04.022-===? ρα （作减速运动，角加速度为负） 02=C ，故运动方程为： 速度方程：1005.02 +-=t v 切向加速度：)/(2.021.01.0|22s m t a t t -=?-=-== 法向加速度：222)25125.0(4.0+-?==t a n ρω [习题6-3] 当起动陀螺罗盘时，其转子的角加速度从零开始与时间成正比地增大。经过５分钟 后，转子的角加速度为)/(600 s rad πω=。试求转子在这段时间内转了多少转？ 解：kt dt d ==ωα ππ?60000450 300|3300=?==s t ， 转数)30000260000N r （＝ π π [习题6-4] 图示为把工件送入干燥炉内的机构，叉杆m OA 5.1=，在铅垂面内转动，杆m AB 8.0=，Ａ端为铰链，Ｂ端有放置工件的框架。在机构运动时，工件的速度恒为s m /05.0，ＡＢ杆始终铅垂。设运动开始时，角0=?。求运动过程中角?与时间的关系。并求点Ｂ的轨 迹方程。 解： ＯＡ作定轴转动；ＡＢ作刚体的平动。 01=C 故
《理论力学》第六章 刚体的基本运动习题全解
第六章 刚体的基本运动 习题全解 [习题6-1] 物体绕定轴转动的运动方程为334t t -=?（?以rad 计，t 以s 计）。试求物体内与转动轴相距m r 5.0=的一点，在00=t 与s t 11=时的速度和加速度的大小，并问物体在什么时刻改变它的转向？ 解： 角速度： 2 394)34(t t t dt d dt d -=-==?ω 角加速度：t t dt d dt d 18)94(2 -=-== ωα 速度： )94(2t r r v -==ω )/(2)094(5.0|2 0s m r v t =?-?===ω )/(5.2)194(5.0|2 1s m v t -=?-?== 切向加速度：rt t r a t 18)18(-=-==ρα 法向加速度：2 22 22 )94()] 94([t r r t r v a n -=-= =ρ 加速度： 4 222 2 2 2 2 2 )94(324] )94([)18(t t r t r rt n a a n t -+=-+-= += )/(8165.0)094(0324|2 4 2 2 0s m r a t =?=?-+?== )/(405.1581.305.0)194(1324|2 4 2 2 1s m r a t =?=?-+?== 物体改变方向时，速度等于零。即： 0)94(2 =-=t r v )(667.0)(3 2s s t == [习题6-2] 飞轮边缘上一点Ｍ，以匀速ｖ＝１０ｍ／ｓ运动。后因刹车，该点以 )/(1.02 s m t a t =作减速运动。设轮半径Ｒ＝０.４ｍ，求Ｍ点在减速运动过程中的运动方程及 ｔ＝２ｓ时的速度、切向加速度与法向加速度。 解： t dt d a t 1.04.02 2 -===?ρα （作减速运动，角加速度为负） t dt d 25.022 -=? 12 125.0C t dt d +-=? 2130417.0C t C t ++-=? 12 124.005.0)125.0(4.0C t C t dt d R v +-=+-?==? 104.0005.0|12 0=+?-==C v t
计算多刚体动力学介绍
计算多刚体动力学介绍 1.多体系统动力学研究状况 工程领域对机械系统的研究主要有两大问题。第一个问题是涉及系统的结构强度分析。由于计算结构力学的理论与计算方法的研究不断深入。加之有限元（FEA）应用软件系统成功开发并应用，这方面的问题已经基本得到解决；另一个问题是要解决系统的运动学、动力学与控制的性态问题，也就是研究机械系统在载荷作用下各部件的动力学响应。作为大多数的机械系统，系统部件相互连接方式的拓扑与约束形式多种多样，受力的情况除了外力与系统各部件的相互作用外，还可能存在复杂的控制环节，故称为多体系统。与之适应的多体动力学的研究已经称为工程领域研究的热点和难点。 多体系统动力学的核心问题是建模和求解，其系统研究开始于20世纪60年代。起始于20世纪70年代的基于多体系统动力学的机械系统动力学分析与仿真技术，随着计算机技术，以及计算方法的不断进步，到了20世纪90年代，在国内外已经成熟并成功地应用于工业界，成为当代进行机械系统设计不可或缺的有力工具之一。 多体系统是指由多个物体通过运动副连接的负载机械系统。多体系统动力学的根本目的是应用计算机技术进行负载机械系统的动力学分析与仿真。它是在经典力学基础上产生的新学科分支，在经典刚体系统动力学的基础上，经历了多刚体系统动力学和计算多体系统动力学两个发展阶段，特别是在前者已经趋于成熟。 多体动力学是以多体系统动力学、计算方法，以及软件工程相互交叉为主要特点，面向工程实际问题新学科。计算多体动力学是指利用计算机数值手段来研究负载机械系统静力学分析、运动学分析、动力学分析，以及控制系统分析的理论和方法。计算多体动力学的产生极大地改变了传统机构动力学分析面貌，对于原先不能够求解或者求解困难的大型复杂问题，可以借助计算机顺利完成。 在20世纪80年代初，Haug等人提出了“计算多体动力学”的概念，认为其主要任务如下： （1）建立复杂机械系统运动学和动力学程式化的数学模型，开发实现这个数学模型的软件系统，再输入少量描述系统特征的数据、由计算机自动建立系统运动学与动力学方程。 （2）建立稳定的、有效的数值计算方法，分析弹性变形对静态偏差、稳定性、动态响应的影响，通过仿真由计算机自动产生系统的动力学响应。 （3）将仿真结果通过计算机终端以方便直观的形式表达出来。实现有效数据后处理，采用动画显示、图标或者其他方式提供数据后处理。 2.多刚体系统建模理论简介 多体系统动力学是基于经典力学理论的，多体系统中最简单的情况（自由质