)(,11|11|)(020
0'<<-=∴-=-==x x f x
x x f y x
曲线y=f(x)在点P （x 0，y 0）处的切线方程为：0
002
2
21
(),x x
y y x x y x x
x
--=-
-=-+即 ∴切线与x 轴、y 轴正向的交点为)2(1
,
0()0),2((00
00x x x x --和
故所求三角形面积听表达式为：2000000)2(2
1)2(1)2(21)(x x x x x x A -=-?-=
2. (2004高考广东卷，21)设函数f x x In x m =-+（）（）， 其中常数m 为整数.
(1) 当m 为何值时,0f x ≥（）；
(2) 定理: 若函数g(x) 在[a, b ]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少存在一点x 0∈(a,b),使g(x 0)=0.
试用上述定理证明:当整数m >1时,方程f(x)= 0,在[e -ｍ-m ,e 2ｍ
-m ]内有两个实根.
（I ）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x ∈(-m,+∞)连续，且m x x f m
x x f -==+-
=1,0)(,1
1)(''得令 当x ∈(-m,1-m)时,f ’（x ）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m) 当x ∈(1-m, +∞)时,f ’（x ）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m) 根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m 为极小值，而且 对x ∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m 故当整数m ≤1时，f(x) ≥1-m ≥0
(II)证明：由（I ）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0,
函数f(x)=x-ln(x+m),在]1,[m m e m --- 上为连续减函数.
,
)1()(,10)ln()(异号与时当整数m f m e
f m e m m e m e m e f m
m m m m -->>=+---=------
由所给定理知，存在唯一的0)(),1,(11=--∈-x f m m e x m 使 而当整数m>1时，
),1121(0
32
)
12(2213)11(3)(222归纳法证明上述不等式也可用数学>-?>>--+
+>-+>-=-m m m m m m m m e m e f m m m 类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在],1[m e m m --- 上为连续增函数且 f(1-m)与)(2m e f m -异号，由所给定理知，存在唯一的
0)(],,,1[22=--∈-x f m e m x m 使
故当m>1时，方程f(x)=0在],[2m e m e m m ---内有两个实根。
3、（2005广东卷）设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，
(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==．
（Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程()f x =0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论． .解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数)(x f y =的对称轴为72==x x 和, 从而知函数)(x f y =不是奇函数,
由)14()4()
14()()
4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-????-=-=???
?+=-+=-
)10()(+=?x f x f ,从而知函数)(x f y =的周期为10=T
又0)7(,0)0()3(≠==f f f 而,故函数)(x f y =是非奇非偶函数;
(II)由)14()4()14()()
4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-??
??-=-=???
?+=-+=-
)10()(+=?x f x f
(II) 又0)9()7()13()11(,0)0()3(=-=-====f f f f f f
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数)(x f y =在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数)(x f y =在[-2005,2005]上有802个解.
四、例题分析
例1．下列函数中，不存在反函数的是 （
）
分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因
为过程太繁琐．
从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法，请读者自己一试．
此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D ，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D 中函数不存在反函数．于是决定本题选D ．
解题回顾：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键．
例2．已知函数()f x 定义域为(0，2)
，求下列函数的定义域：
分析：x 的函数f(x 2
)是由u=x 2
与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量．由于f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知0＜u ＜2，即0＜x 2
＜2．求x 的取值范围．
解：(1)由0＜x 2
＜2，
得
解题回顾：本例(1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出f(x)的解析式，由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域．关键在于理解复合函数的意义，用好换元法．(2)是二种类型的综合．
求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到．
例3．已知xy＜0，并且4x2-9y2=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．
分析： 4x2-9y2=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x)，但加上条件xy＜0呢？
所以
因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞，0)∪(0，＋∞)．
解题回顾：本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系．任何一个函数的解析式都可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式．求函数解析式还有两类问题：
(1)求常见函数的解析式．由于常见函数(一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式．这里不再举例．
(2)从生产、生活中产生的函数关系的确定．这要把有关学科知识，生活经验与函数概念结合起来，举例也宜放在函数复习的以后部分．
例4．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误．
奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确．
若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A．
解题回顾：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零．
复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：
(1)单调性规律
如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么
若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f[g(x)]为减函数．
(2)奇偶性规律
若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数．
例5．若y=log
a
(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（）A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞)
分析：本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：①使log
a
(2-ax)有意义，
即a＞0且a≠1，2-ax＞0．②使log
a
(2-ax)在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数可分
解为y=log
a
u，u=2-ax，其中u=2-ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]必须
是y=log
a
(2-ax)定义域的子集．
解法一：因为f(x)在［0，1］上是x的减函数，所以f(0)＞f(1)，
即log
a 2＞log
a
(2-a)．
解法二：由对数概念显然有a＞0且a≠1，因此u=2-ax在［0，1］上是减函数，y= log
a
u 应为增函数，得a＞1，排除A，C，再令
故排除D，选B．
解题回顾：本题为1995年全国高考试题，综合了多个知识点，无论是用直接法，还是用排除法都需要概念清楚，推理正确．
例6．已知f(x+199)=4x2＋4x+3(x∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．
分析：由f(x＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x ＋100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得
求得f(x)的最小值即f(x＋199)的最小值是2．
解题回顾：函数图象与函数性质本身在学习中也是密切联系的，是“互相利用”关系，函数图象在判断函数奇偶性、单调性、周期性及求最值等方面都有重要用途．例7．已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是．（）
A．0 B．1 C．0或1 D．1或2
分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言．从函数观点看，问题是求函数y=f(x)，x∈F的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化)，不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的．这里给出了函数y=f(x)的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1 F时没有交点，所以选C．
例8．方程lgx+x=3的解所在区间为（）
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，+∞)
分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图2)．它们的
交点横坐标
x，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D．至于选B还是选C，由于画图精
确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较
x与2的大小．当x=2时，lgx=lg2，
3-x=1．由于lg2＜1，因此0x ＞2，从而判定0x ∈(2，3)，故本题应选C ．
解题回顾：本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算0x 的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．
例9．(1)一次函数f(x)=kx+h(k ≠0)，若m ＜n 有f(m)＞0，f(n)＞0，则对于任意x ∈(m ，n)都有f(x)＞0，试证明之；
(2)试用上面结论证明下面的命题：
若a ，b ，c ∈R 且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca ＞-1．
分析：问题(1)实质上是要证明，一次函数f(x)=kx+h(k ≠0)， x ∈(m ， n)．若区间两个端点的函数值均为正，则对于任意x ∈(m ，n)都有f(x)＞0．之所以具有上述性质是由于一次函数是单调的．因此本问题的证明要从函数单调性入手．
(1)证明：
当k ＞0时，函数f(x)=kx+h 在x ∈R 上是增函数，m ＜x ＜n ，f(x)＞f(m)＞0； 当k ＜0时，函数f(x)=kx+h 在x ∈R 上是减函数，m ＜x ＜n ，f(x)＞f(n)＞0． 所以对于任意x ∈(m ，n)都有f(x)＞0成立．
(2)将ab+bc+ca+1写成(b+c)a+bc+1，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1．则 f(a)=(b+c)a+bc+1．
当b+c=0时，即b=-c ， f(a)=bc+1=-2
c +1． 因为|c|＜1，所以f(a)=-2
c +1＞0．
当b+c ≠0时，f(x)=(b+c)x+bc+1为x 的一次函数． 因为|b|＜1，|c|＜1，
f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0， f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0． 由问题(1)对于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0．
解题回顾：问题(2)的关键在于“转化”“构造”．把证明ab+bc+ca ＞-1转化为证明ab+bc+ca+1＞0， 由于式子ab+bc+ca+1中， a ，b ，c 是对称的，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1，则f(a)=(b+c)a+bc+1，问题转化为在|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1的条件下证明f(a)＞0．(也可构造 f(x)=(a+c)x+ac+1，证明f(b)＞0)。
例10．定义在R 上的单调函数f(x)满足f(3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求证f(x)为奇函数；
(2)若f(k ·3x
)+f(3x
-9x
-2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．
分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x 都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x 可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．
(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x ，y ∈R )， ①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0． 令y=-x ，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有 0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立，所以f(x)是奇函数．
(2)解：f(3)=log 23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R 上是单调函数，所以f(x)在R 上
是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．
f(k ·3x
)＜-f(3x
-9x
-2)=f(-3x
+9x
+2)， k ·3x
＜-3x
+9x
+2， 3
2x
-(1+k)·3x
+2＞0对任意x ∈R 成立．
令t=3x ＞0，问题等价于t 2
-(1+k)t+2＞0对任意t ＞0
恒成立．
R 恒成立．
解题回顾：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x ∈R 上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t 2
-(1+k)t+2对于任意t ＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：
分离系数由k ·3x
＜-3x
+9x
+2
得
上述解法是将k 分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．
五、专项训练
一、选择题
1. 已知函数 在 上为增函数，则实数m 的取值范围是（ ）
)
,2.(]
2,3.()
,2()2,3.()2,.(+∞--+∞----∞D C B A
2. 函数)10(|log |)(<<=a x x f a 的单调递减区间是（ ）
3. 给出下面四个函数：22
22sin ||11x x x y x x x y x
x y +=-=-+-=③②①
有
其中是偶函数的有且只④x
x y +-=11lg
（ ）
A.①
B.②和④
C.①和③
D.③
4. 设f(x)是定义在R 上的偶函数，且
的值为则时，又当)5.113(,2)(23,)(1
)3(f x x f x x f x f =-≤≤--
=+（ ）
72.72.51.51.
-
-D C B A
5. 函数y=f (2x-1)是R 上的偶函数，则函数y=f (x )的图象的对称轴是 （ ） 21.1.0.1.-
===-=x D x C x B x A
)
,1.[]
1,0.(),0.(].0.(+∞+∞D C B a A m
x mx x f ++=4)([)+∞,3
8. 水池有两个进水口，1个出水口，每个进出水口进出水速度如图甲、乙所示，某天0点到6 点，
该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的论断是（ ） A.①
B.①②
C.①③
D.①②③
9. 设函数的图象是则其反函数
)(),3()3(24)(1x f x x x f --≥++
=
10. 已知定义在R 上的函数f(x)的图象关于点 对称，且满足 的值为则)2005()3()2()1(,2)0(,1)1(f f f f f f ++++-==- A.-2 B. –1 C.0 D.1 二、填空题
.
cos sin )()()(.11的值域为
则函数定义运算x x x f b a b b a a b a ?=?
??>≤=?
12.二次函数的部分对应值如下表：)(2
R x c bx ax y ∈++=
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6
-4
-6
-6
-4
6
b
b f
c c f a a f D c c f a a f b b f C a a f b b f c c f B c c f b b f a a f A c
c f b b f a a f c b a x x f m D m C m B m A m m t f t f t ax x x f )
( ) ( ) ( . ) ( ) ( ) ( . )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( . )
( ) ( ) ( , 0 ), 1 ( log ) ( . 7 0
4 . 0 2 . 2
4 . 2 . 1
5 ] 0 [ 4 5 ) ( .
6 2 2 > > > > > > > > > > > + = ≤ ≤ - ≤ ≤ - - ≤ ≤ - - ≤ - - = + + = 、 的大小关系是
、 、 则 且 已知 的取值范围是
，则 ，最小值是 上的最大值是 ， ），且在闭区间 （ ） （ 都有 对任意 设二次函数 )0,43(-)
2
3
()(+-=x f x f 的解是
02>++c bx ax
则不等式
函数的序号为
其中是均有、一切实数上的奇函数，且满足对是定义在⑤④③，②函数，给出下列函数①为称对一切实数均成立，则，使，若存在常数的定义域为设函数则均有，且对任意满足设函数Γ-≤-++=+===Γ<>+--?=+∈=→|,|2|
()(|)(,1
)(),
cos (sin 2)(,)(0)()(|||)(|0)(.14)
(,2)()()()1(,,1)0(,:.1321)212122x x x f x f x x R x f x x x
x f x x x f x x f x f x f x M x f M R x f x f x y f y f x f xy f R y x f R R f 三、解答题
15.已知函数
(1)试判断函数f(x)的奇偶性， （2）解不等式
)
10(22log )(<<-+=a x
x
x f a x x f a 3log )(≥
).
()(3)3(||,)()(2)()()1()(,0)1(),()(.1743)1(12::23]20)(4)()(21)1,0(2)1
(41)()1()(.161111221x g x f x B A B A x B A B A x g x f x g x f b ax x g f c b a c bx ax x f y x x f y C a y C a x g x
a
x f x g m A x
x x h x x m x f x >-≤+==>>++=--+==+
=++?=+=时，恒有求证：当的取值范围；
求、轴上射影为在、两点，、图象关于与）设（图象有两个交点；
与求证：函数设轴的左侧。
点不可能落在的交与曲线线）的条件下，试证明曲）在（（的取值范围；上为减函数，求实数，在区间（且）若（的值
）求（对称
的图象关于点的图象与函数已知函数
专题一 函数答案(答案)
一、1.D. 2.C 3.C 4.A 5.A 6.B 7. B 8.A 9.A 10.D 二、①④⑤或.141
.13}23|.{12]2
2
,1.[11+-<>-x x x x
三、
15.解：（1）奇函数. （2）13
2
≤≤x 16.
解
：
（
1
）
4
1=
m （2）
3411.0]11[41)('),1(41)(22≥≥++<∴<+-=++=
a a a x x
a x g x a x x g ，故即
矛盾与且有，则轴左侧，设横坐标为）证明：若交点在（022
1
1120101
2300000000<<
∴<<+-=a x x y x x
17.解：（1）证明联立的方程有两解即可
)
()(0)32)(2(23)2(3)3()(0
22)(2)2()()()(3)3()
32,2
3
(||2
1
2,)(4)(||4)(4)(4)()(0
,0,0)1(0)()2(2112112
22212
212
2122x g x f c a a c c a a G x G a
c
a x x G a
c x c a ax x g x f x G x B A a c a c a c B A a ac
c a b c a b a x x x x x x c a c b a c b a f b c x a b ax b
ax y y
c bx ax >∴>++=++++=-≥>+=+++-=-=-≤∈∴-
<<--=∴-=
---=-+=-<>?>>=++==-+-+????+==++则的对称轴而时，令证明：当而而
高中数学专题练习-函数性质与分段函数
高中数学专题练习-函数性质与分段函数 [题型分析·高考展望] 函数单调性、奇偶性、周期性是高考必考内容，以分段函数为载体是常考题型.主要以选择题或填空题的形式考查，难度为中档偏上.二轮复习中，应该重点训练函数性质的综合应用能力，收集函数应用的不同题型，分析比较异同点，排查与其他知识的交汇点，找到此类问题的解决策略，通过训练提高解题能力. 常考题型精析 题型一 函数单调性、奇偶性的应用 1.常用结论：设x 1、x 2∈[a ，b ]，则(x 1－x 2) [f (x 1)－f (x 2)]>0? f (x 1)－f (x 2) x 1－x 2 >0?f (x )在[a ，b ]上递增. (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0? f (x 1)－f (x 2) x 1－x 2 <0?f (x )在[a ，b ]上递减. 2.若f (x )和g (x )都是增函数，则f (x )＋g (x )也是增函数，－f (x )是减函数，复合函数的单调性根据内函数和外函数同增异减的法则判断. 3.定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数. 4.奇偶性相同的两函数的积为偶函数，奇偶性相反的两函数的积为奇函数. 例1 (1)(·湖北)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝1 2(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2).若?x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( ) A.[－16，16] B.[－66， 66] C.[－13，13] D.[－3 3， 33] (2)(·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________. 点评 (1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径.尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x ). (2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性. 变式训练1 (1)(·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x -m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )
☆经典分段函数专题
经典分段函数专题 高考真题 类型一：与周期有关 类型二：与单调性有关 类型三：奇偶性有关 类型四：与零点和交点问题有关 类型五;与求导和函数性质有关 类型六：数形结合 高考真题 2010 11x的围是_____。 2011 11、（分类方程求解）已知实数，函数，若 a的值为________
2012 10． 2 的值为 ▲ ． 2013 11． （分区间二次不等式求解）已 定义 的奇函数。 ， 的解集用区间表示为 ． 【答案】(﹣5 ，0) ∪(5，﹢∞) 【解析】 的图像，如下图所示。 函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x ＜0y ＝ y ＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。 2014 13. （周期函数+R 上且周期为3的函数,
时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值围是 ▲ . 【答案】1 (0,)2 【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2 f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2 f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2 a ∈． 2015 13.（绝对值分类讨论+数形结合求根个数）已知函数|ln |)(x x f =， ? ??>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为
初中分段函数专题
分段函数专题 1、某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元） 之间的函数图象如图1所示： （１）月通话为100分钟时，应交话费元； （２）求y与x之间的函数关系式； （3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？ 2、某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图2. (1)分别写出当0≤x≤15和x≥15时,y与x的函数关系式; (2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元? 3 、今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题： （1）分别写出当0≤x≤100和x≥100时，y与x的函数关系式； （2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准； （3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？
4、为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上 基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x 小时，该月可得（即 下月他可获得）的总费用为y 元，则y （元）和x （小时）之 间的函数图像如图5所示． （1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何 奖 励小强家务劳动的？ （2）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务 多少时间？ 5、某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x （分）与相应话费y （元）之间的函数图像如图所示。 （1）月通话时间为100分钟时，应缴纳话费多少元？ （2）当x≥100时，求y 与x 之间的函数关系式。 （3）月通话时间为280分钟时，应缴纳话费多少元？ 7、某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过203m 时，按2元／3m 计费；月用水量超过203m 时，其中的203m 仍按2元／3m 收费，超过部分按2.6元／3m 计费．设每户家庭用用水量为3m x 时，应交水费y 元． （1）分别求出0≤x ≤20和x ＞20时y 与x 的函数表达式； 月份 四月份 五月份 六月份 交费金额 30元 34元 42.6元
分段函数专题非常全面
分段函数的性质与应用 分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的围是否在发生变化。即“分段函数——分段看” 一、基础知识： 1、分段函数的定义域与值域——各段的并集 2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。 3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图 4、分段函数分析要注意的几个问题 （1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。否 么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。再比如 中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。 （2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值部的符号讨论，将其转化为分段函数。例 5、遇到分段函数要时刻盯住变量的围，并根据变量的围选择合适的解析式代入，若变量的围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论
6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。 二、典型例题 例1 例2 _________ 正数进行靠拢。由此可得： 小炼有话说：含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）比如在本题 1的自变量，函数值差1，其作用在于自
分段函数专题(讲义)
分段函数专题（讲义） 题型一：分段函数的求值 1、（辽宁理）设,0.(),0. x e x g x lnx x ?≤=?>?则1(())2g g =__________ 2、设函数,,,,)2()2(22)(2>≤+=?????x x x x x f 则f （－4）＝________，又已知f （x 0）＝8，则x 0= 3、已知, ,,,,)0()0()0(10)(>=<=???????+x x x x x f π 则f ｛f ［f （－1）］｝的值是（ ） A ．π＋1 B ．0 C ．1 D ．π 4、已知函数,, ,,, ,)2()21()1(22)(2≥<<--≤+=???????x x x x x x x f 若f （a ）＝3，则a ＝_______ 5、（2006山东）设1232(2),()(1)(2).log x x f x x e x -??+? 则1[()]2f f = ( ） 7、已知函数f (x )＝???2x ， x ＞0 x ＋1，x ≤0 ，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 题型二、递推式求值 1、 已知sin (0),()(1)1(0). x x f x f x x π?则1111()()66f f -+的值为 2、定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）= ，则f （33）的值为（ ） A ． ﹣1 B ． ﹣2 C ． 1 D ． 2 3．给出函数f （x ）= 则f （log 23）等于（ ） A ． ﹣ B ． C ． D ．
分段函数专题
分段函数专题
分段函数专题 定义：一般地，如果有实数a 1，a 2，a 3……k 1,k,2k 3……b 1,b 2,b 3……且a 1≤ a 2≤a 3……函数Y 与自变量X 之间存在 k 1x+ b 1 x ≤a 1 y = k 2x+b 2 a 1≤x ≤a 2 K 3x+b 3 a 2≤x ≤a 3 的函数解析式，则称该函数解析式为X 的分段函数。 类型一 分段计费问题（话费，电费，水费...） 话费中的分段函数 例1 某移动公司采用分段计费的方法来计算话 费，月通话时间（分钟）与相 应话费（元）之间的函数图象 如图1所示： （１）月通话为100分钟时， 应交话费 元； （２）当x 100时，求与之 间的函数关系式； （3）月通话为280分钟时，应交话费多少 元？ x y ≥y x
水费中的分段函数 例2 某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图2. (1)分别写出当0x15和x15时,y ≤≤≥ 与x的函数关系式; (2) 若某户该月用水21吨,则应交水 费多少元? 电费中分段函数 例3 今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图
3所示），根据图象解下列问题： （1）分别写出当0x 100和 x 100时，y 与x 的函数关系式； （2）利用函数关系式，说明电 力公司采取的收费标准； （3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少 元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？ 工程类分段函数 例1某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元． （1）完成此房屋装修共需多少天？ （2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？ ≤≤ ≥
分段函数专题(含答案)
分段函数专题 一．选择题（共7小题） 1．下列关于分段函数的描述正确的是（） ①分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数；②f(x)=|x|是一个分段函数；③f(x)=|x﹣2|不是分段函数；④分段函数的定义 域都是R；⑤分段函数的值域都为R；⑥f(x)={x,x≥0 ?x,x<0，则f(1)=?1．A．①②⑥B．①④C．②D．③④⑤ 2．设f(x)={ 2e x?1,x<2 log3(x2?1),x≥2，则f(f (2))的值为（） A．0B．1C．2D．3 3．已知函数f(x)={|log x|,010，若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)， 则abc的取值范围是（） A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24） 4．已知f(x)={x+2,x≤?1 x2,?10，若f (?4)=f(0)，f(?2)=?2，则关于x的 方程f(x)=x的解的个数为（）A．1B．2C．3D．4 6．已知函数f(x)={(a?2)x?1,x≤1 log a x,x>1，若f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增，则 实数a的取值范围为（） A．（1，2）B．（2，3）C．（2，3]D．（2，+∞） 7．已知函数f(x)={x2+1,x≤0 ?2x,x>0使函数值为5的x的值是（） A．﹣2B．2或﹣C．2或﹣2D．2或﹣2或﹣二．填空题（共2小题）
专题3---分段函数与函数零点答案
11. 已知函数f(x)＝? ????x ，x ≥0，x 2，x ＜0，则关于x 的不等式f(x 2)＞f(3－2x)的解集是__________ 11. (－∞，－3)∪(1，3) 解析：x ≤32 时原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或1＜x ≤32；x ＞32时原不等式化为x 2＞(3－2x)2，解得32 ＜x ＜3.综上x ＜－3或1＜x ＜3.本题考查分类讨论的思想，考查解不等式的能力．本题属于中等题． 11. 已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)，当x ≥0时，f(x)＝－x ＋2，则不等式f(x)－x 2≥0的解集为________． 11. [－1，1] 解析：∵ f(x)≥x 2，而f(x)示意图如下： 令x 2 ＝－x ＋2，得x ＝1(x>0)，从而由图象知，原不等式解集为[－1，1]． 本考查了函数的综合运用，以及数形结合数学思想．本题属于中等题． 13. 已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数y ＝f(x 2)＋f(k －x)只有一个零点，则实数k 的值是__________． 13. 14 解析：不妨设f(x)＝x ，则x 2＋k －x ＝0只有一个解，从而1－4k ＝0，得k ＝14 . 12. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是____________． 12. (4，＋∞) 解析：由题意得f(x)＝? ????－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x>0， f(x －1)＝?????－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，（x －1）2－3（x －1），x －1>0， 即f(x －1)＝?????－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x>1， 所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为?????－x 2－x ＋2>－x ＋4，x ≤1， 或? ????x 2－5x ＋4>－x ＋4，x>1， 解得x ＞4.
分段函数专题(讲义)
分段函数专题（讲义） 题型一：分段函数的求值 1、（辽宁理）设,0.(),0. x e x g x lnx x ?≤=?>?则1(())2g g =__________ 2、设函数,,,,)2()2(22)(2>≤+=?????x x x x x f 则f （－4）＝________，又已知f （x 0）＝8，则x 0= 3、已知, ,,,,)0()0()0(10)(>=<=???????+x x x x x f π 则f ｛f ［f （－1）］｝的值是（ ） A ．π＋1 B ．0 C ．1 D ．π 4、已知函数,, ,,, ,)2()21()1(22)(2≥<<--≤+=???????x x x x x x x f 若f （a ）＝3，则a ＝_______ 5、（2006山东）设1232(2),()(1)(2).log x x f x x e x -??+? 则1[()]2f f = ( ） 7、已知函数f (x )＝???2x ， x ＞0 x ＋1，x ≤0 ，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 题型二、递推式求值 1、 已知sin (0),()(1)1(0). x x f x f x x π?则1111()()66f f -+的值为 2、定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）= ，则f （33）的值为（ ） A ． ﹣1 B ． ﹣2 C ． 1 D ． 2
3．给出函数f （x ）= 则f （log 23）等于（ ） A ． ﹣ B ． C ． D ． 4、设函数，则f （5）= ____ 题型三、分段函数的单调性 1、已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+?是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （A ）(0,1) （B ）1(0,)3 （C ）11 [,)73 （D ）1 [,1)7 2、若f (x )＝????? a x (x >1)，? ?? ??4－a 2x ＋2(x ≤1)是R 上的单调递增．． 函数，则实数a 的取值范围为 3、下列区间中，函数()f x =ln(2)x ∣ -∣在其上为增函数的是 （A ）（-,1∞] （B ）41,3??-???? （C ）)30,2??? （D ）[)1,2 4、已知函数???+∞∈-∞∈--=) ,1[(log ]1,(()1)(5.0()(x x x x a x f a 在区间（+∞∞-,）内是减函数，则a 的取值范围是 A （0，1）B （0， ） C （ 5.0,∞-） D （0，1） 5、写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间 题型四、解不等式问题 1、设函数2(1).(1)()4 1.(1) x x f x x x ?+2的解集为 4、若函数f(x)=212 log ,0,log (),0x x x x >???-f(-a),则实数a 的取值范围是
2016届高三专题复习-分段函数
2016届高三专题复习——分段函数 一、基本概念 分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。 二、常见题型 1.画分段函数的图形、求分段函数的解析式； 2.求分段函数的值、求分段函数的值域（最大值、最小值等）； 3.研究分段函数的性质（如奇偶性、单调性、最小正周期等）； 4.求自变量的值，求在某条件下自变量的取值范围； 1.例已知函数2(0)()21,()1(0) x x f x x g x x ?≥=-=?-变式1已知实数0a ≠，函数2,1()2,1 x a x f x x a x +变式1函数2283(1)()log (1)a x ax x f x x x ?-+<=?≥?在x R ∈上单调，则a 的取值范围是（ ） （A ）1(0,]2（B ）1[,1)2 （C ）15[,]28（D ）5[,1)8 4.例已知函数211()||1,[,]22 f x x x a a =+-+∈-，求()f x 的最小值.
微专题分段函数及零点问题1
微专题分段函数的零点问题 活动一：预习反馈导学 1.已知函数f (x )＝????? －x 2＋12x x ，x ＋x ， 若函数y ＝f (x )－kx 有3个零点，则实数k 的取值范围是________． 2.已知函数311,,()11,, x f x x x x ?>?=?-≤≤??若关于x 的方程()(1)f x k x =+有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 3.【2014江苏，理13】已知错误！未找到引用源。是定义在错误！未找到引用源。上且周期为3的函数，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，若函数错误！未找到引用源。在区间错误！未找到引用源。上有10个零点（互不相同），则实数错误！未找到引用源。的取值范围是 . 4.【2015高考江苏，13】已知函数错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，则方程错误！未找到引用源。实根的个数为 活动二. 合作提炼探究
例1.设函数f (x )＝????? x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若方程f (x )＝m 有三个不同的实根，则实数m 的取值范围为________． 变式 已知32,(),x x a f x x x a ?≤=?>?，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是___． 探究1：已知函数(),0 { 21,0lnx x f x x x >=+≤，若直线y ax =与()y f x =交于三个不同的点 ()(),A m f m ， ()(),B n f n ， ()(),C t f t （其中m n t <<），则12n m + +的取值范围是__________． 探究2： 已知k 为常数，函数()2,0{ 1 ,0 x x f x x lnx x +≤=->，若关于x 的方程()2f x kx =+有且只有4个不同解，则实数k 的取值集合为__________． 例2. 【2015高考天津，文8】已知函数错误！未找到引用源。,函数错误！未找到引用源。,则函数错误！未找到引用源。的零点的个数为________.
二次函数分段函数专项练习题.doc
K月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售.已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y （万件）与销售价格x （元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分?设公司销售这种电子产品的年利润为s （万元）.（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本?） （1）请求出y （万件）与x （元/件）之间的函数关系式； （2）求出第一年这种电子产品的年利润s （万元）与x （元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值. （3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s （万元）取7 得 最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这40 种电 子产品每件的销售价格x （元）定在8元以上（x>8）,当第30 20 二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s （万元）与销售 10 价格X （元/件）的函数示意图，求销售价格X （元/件）的取值范 围.
2、某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品.已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量以万件）关于售价"（元/件）的函数解析式为：-2.r + 140 （40 < .￥ < 60）, y~[ -x + 80 （60复习专题1--分段函数
复习专题1—分段函数专题 不务正业收集、整理、点评 知识点梳理 一、定义：分段函数是指自变量在不同范围内，有不同对应法则的函数。 二、注意: １、分段函数是一个函数,而不是几个函数； 2、分段函数的定义域是自变量各段取值的并集; ３、分段函数的值域是各段函数值的并集。 4、解决分段函数的方法：先分后合 三、涉及的内容及相应的常用方法: １、求解析式: 利用分段中递推关系,如平移、周期、对称关系,已知其中一段的解析式,得到整个定义域的解析式； ２、求值、解不等式：注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。不能确定时常需要分情况讨论; 3、单调性： 各段单调(如递增）+连接处不等关系。 （如()()() 12,(,],[,)f x x a f x f x x a ∈-∞??=?∈+∞??在Ｒ上是增函数，则()()()() 1212(,)[,)f x a f x a f a f a ?-∞↑ ??+∞↑??≤??①在上②在上③）； 4、奇偶性： 分段讨论，各段均符合相同的定义中的恒等式,才有奇偶性，否则为非奇非偶函数; 5、图像性质或变换等: 作图、赋值等，注意变量的范围限制； 6、最值： 求各段的最值或者上下界再进行比较； 7、图像： 分类讨论，如零点分段法得到各段解析式再作图； 例题讲解： 题型一、分段函数的图像。 １．作出函数()1y x x =+的图象 2. 函数ln |1|x y e x =--的图象大致是 （ D )
题型二、分段函数的奇偶性 1、判断函数(1)(0), ()(1) (0).x x x f x x x x -?的奇偶性 2、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当2 0,()2 3.x f x x x >=-+时求f(ｘ)的解析式。 题型三、分段函数的最值 1、（2005上海高考题)对定义域分别是 ,f g D D 的函数(),()y f x y g x ==.规定： 函数()(),,()(),(), f g f g g f f x g x x x h x f x x x g x x x D D D D D D ?∈∈?? =∈??? ∈???当且当且当且 (I ）若函数21 (),()1 f x g x x x = =-，写出函数()h x 的解析式； (II)求问题（I ）中函数()h x 的值域; 题型四、与分段函数有关的不等式与方程 1、已知1(0)()1(0)x f x x ≥?=?-
经典分段函数专题
经典分段函数专题 高考真题 类型一:与期有关 类型二:与单调性有关 类型三:奇偶性有关 类型四:与零点与交点问题有关 类型五;与求导与函数性质有关 类型六:数形结合 高考真题 2010 11、已知函数21,0()1, 0x x f x x ?+≥=?的x 的围就是_____。 【解析】考查分段函数的单调性。2212(1)10x x x x ?->??∈-?->?? 2011 11、(分类程求解)已知实数0≠a ,函数? ??≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ,若)1()1(a f a f +=-,则a 的值为________ 解析:30,2212,2a a a a a a >-+=---=-,30,1222,4a a a a a a <-+-=++=- 2012 10.(程组求解)设()f x 就是定义在R 上且期为2的函数,在区间[11] -，上,0111()201x x ax f x bx x <+-??=+??+?≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，.若1322f f ????= ? ????? ,则3a b +的值为 ▲ . 【解析】因为2T =,所以(1)(1)f f -=,求得20a b +=、 由1 3()()22f f =,2T =得11()()22 f f =-,解得322a b +=-、 联立20322a b a b +=?? +=-?,解得24 a b =??=-?
所以310a b +=-、 2013 11.(分区间二次不等式求解)已知)(x f 就是定义在R 上的奇函数。当0 >x 时,x x x f 4)(2-=,则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 . 【答案】(﹣5,0) ∪(5,﹢∞) 【解析】做出x x x f 4)(2-= (0>x )的图像,如下图所示。由于)(x f 就是定义在R 上的奇函数,利用奇函数图像关于原点对称做出x ＜0的图像。不等式x x f >)(,表示函数y ＝)(x f 的图像在y ＝x 的上,观察图像易得:解集为(﹣5,0) ∪(5,﹢∞)。 2014 13. (期函数+数形结合求围)已知)(x f 就是定义在R 上且期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|2 12|)(2+-=x x x f 、若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值围就是 ▲ 、 【答案】1(0,)2 【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象,可见1(0)2f =,当1x =时,1()2 f x =极大,7(3)2f =,程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点,即函数()y f x =与图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点,由于函数()f x 的期为3,因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该就是4个交点,则有1(0,)2 a ∈. 2015 13、(绝对值分类讨论+数形结合求根个数)已知函数|ln |)(x x f =,???>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ,
分段函数专题
1、(2008 四川广安)“5．12”汶川特大地震灾害发生后，社会各界积极为灾区捐款捐物，某经销商在当月销售的甲种啤酒尚有2万元货款未收到的情况下，先将销售甲种啤酒全部应收货款的70%捐给了灾区，后又将该月销售乙种啤酒所得的全部货款的80%捐给了灾区．已知该月销售甲、乙两种啤酒共5000件，甲种啤酒每件售价为50元，乙种啤酒每件售价为35元，设该月销售甲种啤酒件，共捐助救灾款元． （1）该经销商先捐款元，后捐款元．（用含的式子表示） （2）写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围． （3）该经销商两次至少共捐助多少元？ 2、（2008年云南省双柏县）依法纳税是每个公民应尽的义务．从2008年3月1日起，新修改后的《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每月收入不超过2000元，不需交税；超过2000元的部分为全月应纳税所得额，都应纳税，且根据超过部分的多少按不同的税率纳税，详细的税率如下表： 级别全月应纳税所得额税率(%) 1 不超过500元的 5 2 超过500元至2 000元的部分10 3 超过2 000元至5 000元的部分15 4 超过 5 000元至20 000元的部分20 ……… （1）某工厂一名工人2008年3月的收入为2 400元，问他应交税款多少元？ （2）设x表示公民每月收入（单位：元），y表示应交税款（单位：元）， 当2500≤x≤4000时，请写出y关于x的函数关系式； （3）某公司一名职员2008年4月应交税款120元，问该月他的收入是多少元？ 3、《彭城晚报》2001年4月12日报导了“养老保险执行新标准”的消息。云龙中学课外活动小组根据消息中提供的数据，绘制出徐州市区企业职工养老保险个人月缴费y(元)随个人月工资x(元)变化的图象(如图)。请你根据图象解答下面的问题： (1)张总工程师五月份工资是3000元，这月他个人应缴养老保险____元； (2)小王五月份工资为500元，这月他应缴养老保险____元； (3)李师傅五月份个人缴养老保险56元，求他五月份的工资是多少？4、新《个人所得税》规定，公民全月工薪不超过1600元的部分不必纳税，超过1600元的部分为全月应纳税所得税额，此项税款按下表分段累计实行计算： 全月应纳税所得额税率 不超过500元部分 5% 超过1500至2000元的部分10% ...... ...... （1）冯先生5月份的工薪为1800元，他应缴纳税金多少元？ （2）设某人月工薪为X元（1600分段函数专题(讲义)(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 分段函数专题（讲义） 题型一：分段函数的求值 1、（辽宁理）设,0. (),0. x e x g x lnx x ?≤=?>?则1(())2g g =__________ 2、设函数 , ,, ,)2()2(22)(2 >≤+=???? ?x x x x x f 则f （－4）＝________，又已知 f （x 0）＝8，则x 0= 3、已知 , ,,, ,)0()0()0(10)(>=<=???????+x x x x x f π 则f ｛f ［f （－1）］｝的值是（ ） A ．π＋1 B ．0 C ．1 D ．π 4、已知函数 ,, ,, , , )2()21()1(22)(2≥<<--≤+=???????x x x x x x x f 若f （a ）＝3，则a ＝_______ 5、（2006山东）设12 32(2), ()(1)(2).log x x f x x e x -?? +? 则1 [()]2f f = ( ） 7、已知函数f (x )＝?????2x ， x ＞0 x ＋1，x ≤0 ，若f (a )＋f (1)＝0，则实数 a 的值 等于 题型二、递推式求值
1、 已知sin (0), ()(1)1(0). x x f x f x x π?则1111()()66f f -+的值为 2、定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=， 则f （33）的值为（ ） A ． ﹣1 B ． ﹣2 C ． 1 D ． 2 3．给出函数f （x ）=则f （log 23）等于（ ） A ． ﹣ B ． C ． D ． 4、设函数 ，则f （5）= ____ 题型三、分段函数的单调性 1、已知(31)4,1 ()log ,1 a a x a x f x x x -+?是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取 值范围是 （A ）(0,1) （B ）1(0,)3 （C ）11[,)73 （D ）1[ ,1)7 2、若f (x )＝???? ? a x x >1，? ?? ???4－a 2x ＋2x ≤1是R 上的单调递增．． 函数，则实数a 的取值范围为 3、下列区间中，函数() f x =ln(2)x ∣-∣在其上为增函数的是 （A ）（-,1∞] （B ）41, 3??-??? ? （C ）)3 0, 2 ??? （D ）[)1,2 4、已知函数?? ? +∞∈-∞∈--=) ,1[(log ] 1,(()1)(5.0()(x x x x a x f a 在区间（+∞∞-,）内是减函数，
专题分段函数与函数零点答案
11. 已知函数f(x)＝???x ，x ≥0，x 2，x ＜0， 则关于x 的不等式f(x 2 )＞f(3－2x)的解集是 __________ 11. (－∞，－3)∪(1，3) 解析：x≤3 2时原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜ －3或1＜x≤32；x ＞32时原不等式化为x 2＞(3－2x)2 ，解得32＜x ＜3.综上x ＜－3或 1＜x ＜3.本题考查分类讨论的思想，考查解不等式的能力．本题属于中等题． 11. 已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝－x ＋2，则不等式f(x)－x 2≥0的解集为________． 11. [－1，1] 解析：∵ f(x)≥x 2，而f(x)示意图如下： 令x 2＝－x ＋2，得x ＝1(x>0)，从而由图象知，原不等式解集为[－1，1]． 本考查了函数的综合运用，以及数形结合数学思想．本题属于中等题． 13. 已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数y ＝f(x 2)＋f(k －x)只有一个零点，则实数k 的值是__________． 13. 1 4 解析：不妨设f(x)＝x ，则x 2＋k －x ＝0只有一个解，从而1－4k ＝0， 得k ＝14 .
12. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x 2 －3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是____________． 12. (4，＋∞) 解析：由题意得f(x)＝? ??－x 2 －3x ，x ≤0， x 2－3x ，x>0， f(x －1)＝???－（x －1）2 －3（x －1），x －1≤0， （x －1）2 －3（x －1），x －1>0， 即f(x －1)＝???－x 2 －x ＋2，x ≤1， x 2－5x ＋4，x>1， 所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为? ??－x 2 －x ＋2>－x ＋4， x ≤1， 或? ??x 2 －5x ＋4>－x ＋4， x>1， 解得x ＞4. 11. 已知f(x)＝???x 2 ＋x （x≥0）， －x 2＋x （x<0）， 则不等式f(x 2－x ＋1)<12的解集是________． 11. (－1，2) 解析：由函数图象知f(x)为R 上的增函数且f (3)＝12.从而x 2－x ＋1＜3，即x 2－x －2＜0，∴ －1＜x ＜2.本题主要考查函数的奇偶性、单调性的综合运用，属于中等题．
经典分段函数专题
经典分段函数专题 高考真题 类型一：与期有关 类型二：与单调性有关 类型三：奇偶性有关 类型四：与零点和交点问题有关 类型五;与求导和函数性质有关 类型六：数形结合 高考真题 2010 11、已知函数21,0()1, x x f x x ?+≥=? 的x 的围是_____。 【解析】考查分段函数的单调性。2 2 12(1)10 x x x x ?->??∈-?->?? 2011 11、（分类程求解）已知实数0≠a ，函数? ? ?≥--<+=1,21 ,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-， 则a 的值为________ 解析：30,2212,2a a a a a a >-+=---=-，30,1222,4 a a a a a a <-+-=++=- 2012 10．（程组求解）设()f x 是定义在R 上且期为2的函数，在区间[11]-，上，
0111()201 x x ax f x bx x <+-?? =+??+?≤≤≤， ，，，其中a b ∈R ，．若 1322f f ???? = ? ????? ，则3a b +的值为 ▲ ． 【解析】因为2T =，所以(1)(1)f f -=，求得20a b +=. 由1 3()()22f f =，2T =得11()()22 f f =-，解得322a b +=-. 联立20322a b a b +=?? +=-?，解得2 4 a b =??=-? 所以310a b +=-. 2013 11．（分区间二次不等式求解）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。当0>x 时， x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 ． 【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞) 【解析】做出x x x f 4)(2 -= (0>x )的图像，如下图所示。由于)(x f 是定义在R 上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x ＜0的图像。不等式x x f >)(，表示函数y ＝)(x f 的图像在y ＝x 的上，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。 2014 13. （期函数+数形结合求围）已知)(x f 是定义在R 上且期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|2 1 2|)(2+ -=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值围是 ▲ . 【答案】1(0,)2 【解析】作出函数2 1()2,[0,3)2f x x x x =-+ ∈的图象，可见1 (0)2 f =，当1x =时，1()2f x = 极大，7 (3)2 f =，程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的期为3，因此直线y a =与 函数2 1()2,[0,3)2f x x x x =-+ ∈的应该是4个交点，则有1 (0,)2 a ∈．
