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第六章代数系统

1. 填空题：f是X上的n元运算的定义是（）。

2. 判断正误，并说明原因：自然数集合N上的减法运算“－”是个封闭的运算。

3. 判断正误，并说明原因：实数集合R上的除法运算“÷”是个封闭的运算。

4.填空题：代数系统的定义是：（）。

5. 填空题：*是X上的二元运算，*具有交换性，则它的运算表的特征是（）。

6.填空题：*是X上的二元运算，*具有幂等性，则它的运算表的特征是（）。

7. 简答题：*是X上的二元运算，*具有幺元，如何在它的运算表上判定哪个元素是幺元？

8. 简答题：*是X上的二元运算，*具有零元，如何在它的运算表上判定哪个元素是零元？

9. 简答题：*是X上的二元运算，*具有幺元，如何判定哪个元素是元素x的逆元？

10 令N4={0,1,2,3}，N4上定义运算+4：

任何x,y∈N4 , x+4 y=(x+y)(mod 4) 。例如2+43=(2+3)(mod 4) =5(mod 4)＝1 请列出的运算表。然后判断+4运算是否有交换性、有幺元、有零元、各个元素是否有逆元？如果有上述这些元素，请指出这些元素都是什么。

11. 判断正误，并说明原因：对于整集合I上的减法运算“－”来说，0是幺元。

12. 填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的交运算?的幺元是（）。零元是（）。有逆元的元素是（），它们的逆元分别是（）。

13. 填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的并运算?的幺元是（）。零元是（）。有逆元的元素是（），它们的逆元分别是（）。

14. 填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的对称差运算⊕的幺元是（）。零元是（）。有逆元的元素是（）。它们的逆元分别是（）。

15. 填空题：对于自然数集合N上的加法运算“＋”，13＝（）。

16. 填空题：你所知道的满足吸收律的运算有（）。

17. 填空题：你所知道的具有零元的运算有（），其零元是（）。

18. 设★是X上的二元运算，如果有左幺元e L∈X，也有右幺元e R∈X，则e L= e R =e ，且幺元e 是唯一的。

19. 设★是X上的二元运算，如果有左零元θL∈X，也有右零元θR∈X，则θL=θR =θ,且零元θ是唯一的。

20. 设★是X上有幺元e且可结合的二元运算，如果x∈X，x的左、右逆元都存在，则x的左、右逆元必相等。且x的逆元是唯一的。

21. 设★是X上且可结合的二元运算，如a∈X，且a-1∈X，则a是可消去的，即任取x,y∈X，设有a★x=a★y 则x=y。

22. 对于实数集合R，给出运算如下：＋是加法、—是减法、?是乘法、max是两个数中取最大的、min是两个数中取最小的、|x-y|是x与y差的绝对值。判断这些

23. 设R是实数集合，在R上定义二元运算* 如下：任取x,y∈R，

x*y=xy－2x－2y＋6

1．验证运算* 是否满足交换律和结合律。

2．求运算*是否有幺元和零元，如果有请求出幺元和零元。

3．对任何实数x，是否有逆元？如果有，求它的逆元，如果没有，说明原因。

24.设★是X 上有幺元e 且可结合的二元运算，求证如果 x ∈X ，都存在左逆元，则x 的左逆元也是它的右逆元。

25. .给定下面4个运算表如下所示。分别判断这些运算的性质，并用“Y ”表示“有”，用“N ”表示“无”填下面表。如果运算有幂等元、有幺元、有零元、有可逆元素，

要指出这些元素是什么。

26. 分别说明什么叫做两个代数系统同态、满同态、单一同态、同构、自同构？

27. 什么叫做同态核？

28.请举同构的两个代数系统的例子，并说明它们同构的理由。

29. 给出集合A ＝{0,1,2,3}和A 上的二元运算“*”。集合B ＝{S,R,A,L}和B 上的二元运算“ ”。它们的运算表如下面所示。验证与同构。

★ a b c

a b c

a b c b

c a c a b

★

a b c

a b c b a c c c c

★

a b c

a b c a b c a b c

★

a b c

a b c b b c c c b

30令S={|X 是集合，*是X 上的二元运算}，即S 是所有含有一个二元运算的代数系统构成的集合。?是S 中的代数系统间的同构关系。求证，?是S 中的等价关系。

31. 令A ={0,1,2,3,4,…},B={1,2,4,8,16,…}，+表示加法，*表示乘法，问和是否同构？为什么？

32 已知代数系统和，其中S={a,b,c} P={1,2,3} 二元运算表如下所示：

试证明它们同构。

a b c

b b c

c b c

1 2 3

1 2 1 1 2 2

1 2 3

0 1 2 3

0 0 1 2 3 1 1 2 3 0

2 2

3 0 1 3 3 0 1 2

S R A L

S S R A L

R R A L S

A A L S R L L S R A

33给定两个代数系统，：R+是正实数，×是R+上的乘法运算；：R 是实数集合，＋是R上的加法运算。它们是否同构？对你的回答给予证明或者举反例说明之。

34. 已知代数系统与同构，即X ? Y。并设f：X→Y是同构映射, 请证明如果运算★可结合，则运算ο也可结合。

35. 已知代数系统与同构，即X ? Y。并设f：X→Y是同构映射, 请证明如果运算★可交换，则运算ο也可交换。

36. 已知代数系统与同构，即X ? Y。并设f：X→Y是同构映射, 请

证明如果运算★有幺元e

★，则运算ο也有幺元eο，且f(e

★

)= eο。

37. 已知代数系统与同构，即X ? Y。并设f：X→Y是同构映射, 请

证明如果运算★有零元θ

★，则运算ο也有零元θο，且f(θ

★

)=θο。

38 已知代数系统与同构，即X ? Y。并设f：X→Y是同构映射, 请证明如果中每个x∈X可逆，即x-1∈X, 则中每个y∈Y也可逆，即y-1∈Y。且如果y=f(x) ，则y-1= (f(x))-1 =f(x-1)。(x映像的逆元=x逆元的映像) 39集合A上两个同余关系R、S, 证明R∩S也是同余关系.

40. 考察代数系统,定义I上如下关系R是同余关系？

a).∈R当且仅当(x<0∧y<0)∨(x≥0∧y≥0)

b). ∈R当且仅当|x-y|<10

c). ∈R当且仅当(x=y=0)∨(x≠0∧y≠0)

d). ∈R当且仅当x≥y

41. 填空：★是A上二元运算，代数是半群，当且仅当（）。

42. 填空：★是A上二元运算，代数是独异点，当且仅当（）。

43 列举出5个你所熟悉的是半群的例子。

44. 列举出5个你所熟悉的是独异点的例子。

45 列举出1个你所熟悉的是半群但不是独异点的例子。

46. 给定代数系统，★是实数R上二元运算，定义为：?a,b∈R,

a ★ b=a+b+a·b

求证是独异点。

47. 是个半群，?a,b∈A，若a≠b则a★b≠b★a，试证：

a) ?a∈A，有a★a=a

b) ?a,b∈A，a★b★a=a

c) ?a,b,c∈A，a★b★c=a★c

48. 设是个半群，且左右消去律都成立，证明S是交换半群的充要条件是对任何

a,b∈S，有(a*b)2=a2*b2

49. 设是半群，如果S是有限集合，则必存在a∈S,使得a★a=a。

50. 设A是有理数集合，在笛卡尔积A×A上，定义二元运算△如下：

任取,∈A×A △= 其中：?是乘法。+是加法。

求证是独异点。

51..设是交换独异点，A是M中所有幂等元构成的集合，证明是

的子独异点。

52.令I：是整数集合；N：自然数集合，R：实数集合。＋是加法运算，×是乘法运算。给定代数系统,, ,,,,< P(E), ?>,。请问哪些代数系统不是群？只要说明一条理由即可。又问哪些代数系统是群？并说明理由。

53. X=R－{0,1}, X上定义六个函数，如下所示：?x∈X,

f1(x)=x f2(x)=x-1 f3(x)=1-x

f4(x)=(1-x) -1 f5(x)=(x-1)x-1 f6(x)=x(x-1) -1

令F={f1,f2, f3, f4, f5, f6}，ο是F上的复合运算，试证明是群。

54. 令R是实数，F={f| f(x)=ax+b，a,b,x∈R,a≠o }，ο是F上的函数左复合运算，试证明是群。

55. 设是半群，e 是左幺元，且对每个x∈A，?x’∈A，使得x’★x=e,

a) 证明, ?a,b,c∈A，若a★b=a★c，则b=c。

b) 证明是群。

56. .设是群,且|A|=2n, n是正整数，证明A中至少存在一个元素a，使得a*a=e。

57.填空：令是群,其中G={a,b,c}，设a是幺元，则b2=( )，b*c=( )，b和c 的阶分别是( )和( ) 。

58. A是非空的有限集合，且|A|＝n 。令

F＝｛f| f是A A的双射函数｝

1．求|F| 等于多少？

2．令* 是函数的左复合运算。问是群吗？如果是，给予证明。如果不是，要说明理由。

59.设是4阶群，其中G＝{a,b,c,d}，已知a是幺元，b与c互为逆元。首先计算c*d (要有计算过程)，再分别求元素b与d的阶。

60. 设是4阶群，其中G＝{a,b,c,d}，已知a是幺元，且所有元素的逆元都是它自身。求满足方程式b*x=c*d 中的x 。

61. 判断下列各命题的真值，并说明理由。

1．是个n阶群，则对于任何a,b∈G,有(a*b)-n=(b*a)n。

2．设f是群到群的满同态映射，则对任何a,b∈G，有f(b*a-1)=(f(a*b-1))-1。

62. 设是个群,证明G中除幺元外,无其它幂等元。

63. 设是个群，则对任何a,b∈G, 证明存在唯一元素x∈G, 使得a★x=b 。

64. 是个群，对任何a,b∈G，证明(a★b)-1=b-1★a-1。

65. 是个有限群，证明G中每个元素在★运算表中的每一行必出现且仅出现一次。

66. 填空：是个n阶群，则★运算表有（）特征。

67. 什么叫做群的阶？

68. 什么叫做群中运算的阶？

69 指出整数集合加法群中，各个元素的阶是什么？为什么？

70. 是群, a∈G, 如果a的阶为n ,证明a k=e，当且仅当k=mn (m∈I)(即k是n的整数倍)

71. 证明群中的元素与其逆元具有相同的阶。

72.设是有限群，任何a∈G，证明a的阶都是有限的。

73. 设是群，而a∈G, f:G→G是映射,

对?x∈G, f(x)=a★x★a-1求证f是G到G的自同构。

74. 设是个群,而a∈G,如果f是从G到G的映射,使得对任何x∈G, 都有

f(x)=a-1*x*a

试证明f是从G到G的自同构.

75. 设与都是群，在A与B的笛卡尔积A×B上，定义二元运算△如下：

任取,∈A×B △=

求证也是群。

76. 设与都是群，在A 与B 的笛卡尔积A ×B 上，定义二元运算△如下：

任取,∈A ×B △=

已知也是群。定义映射f: A ×B →A ,对任意∈A ×B, f()=a

求证f 是到的同态映射，并求出f 的同态核。

77. 令G ＝{2m 3n |m,n ∈Q,Q 是有理数}，“?”是G 中乘法运算。 1．证明是个群。

2．给定映射f :G →G ，f 定义为f :2m 3n →2m ，证明f 是G 到G 的同态映射；并求出f 的同态核。

78. 给出两个群和的运算表如下：证明它们同构。

79. 判断下面命题的真值。并简单说明原因。

1．R 为实数集合，×为乘法运算，则是个交换群。 2．设是n 阶群，则对任何a,b ∈G ，有a -n =b n 。

3．设是群，且对G 中任何元素的逆元都是它自身，则它是交换群。

4 p 1 p 2 p 4 p 4 p 3 p 2 p 1

★

q 1 q 2 q 3 q 4

q 1 q 3 q 4 q 1 q 2 q 2 q 4 q 3 q 2 q 1

q 3 q 1 q 2 q 3 q 4

q 4 q 2 q 1 q 4 q 3

80. 是交换群，当且仅当对任何a,b ∈G 有 (a ★b)★(a ★b)=(a ★a)★(b ★b) ( 即(a ★b)2=a 2★b 2 )

81.令G={km|k ∈Z}，m 是某个确定的自然数，Z 是整数集合，＋是加法运算。证明是交换群。

82. 设I 是整数集合，在I 上定义二元运算如下：对于任何a,b ∈I a b=a ＋b －2 求证是个交换群.

83. 已知是交换群，a ∈G ，在G 上又定义一个二元运算“?”如下：

对于任何x,y ∈G ，x ?y=x *a -1*y (其中a -1

是a 对于*运算的逆元) 求证也是交换群。

84. 令G 是所有非0实数构成的集合，在G 上定义二元运算如下：

任何a,b ∈G , a b 2

=。求证是个交换群。

85. 设I 是整数集合，在I 上定义二元运算*如下：对于任何a,b ∈I a b=a ＋b －4 求证是个交换群。

86 设是群，?x ∈G,有x ★x=e,证明是交换群。

87. 证明任何阶数为1,2,3,4的群都是交换群，并举一个6阶群，它不是交换群。

88. 给定集合Ｇ＝{x|x是有理数且x≠－1}，在Ｇ上定义二元运算*如下：

对任何a，b∈Ｇ，a*b=a + b + ab。

求证<Ｇ，*>是交换群。

89. 设是群， a,b∈G,有a3★b3=(a★b) 3, a4★b4=(a★b) 4, a5★b5=(a★b) 5,证明是交换群。

90. 什么叫做循环群？什么叫做循环群的生成元？什么叫做循环群的循环周期？

91.证明循环群都是交换群。

92.给定群其中N4 ={0,1,2,3}，+4是以4为模的加法运算。是循环群吗？为什么？如果是循环群请指出它的循环周期。

93. 给定群，它是循环群吗？为什么？如果是循环群请指出它的循环周期。

94.填空：设是个以g为生成元的有限循环群，|G|=n，则G=( )。

95. 令I是整数集合，在I上定义二元运算如下：对于I中任何a元素，

a b=a＋b－2

求证是个循环群

96. 设I是整数集合，在I上定义二元运算如下：

对于任何a,b∈I a b=a－1＋b

求证是个循环群.

97. 设G={1,2,3,4,5,6}, ×7是7为模的乘法运算，即

x,y∈G，x×7y=(xy)(mod 7)，例如4×75＝20(mod 7)=6

是循环群吗？如是,指出生成元。

98. 循环群的任何子群都是循环群。

99. 填空题：设是以g为生成元的n阶循环群，则元素g的阶为（）。100 判断题下面命题的真值：循环群的生成元也是其任何子群的生成元。

101. 什么叫做子群？

102 名词解释：平凡子群与真子群

103.设是群, B是G的有限子集,如果★在B上满足封闭性，则是的子群。

104.填空：设是群的子群，a∈G，定义集合：

aH=( )

则称aH为a确定的H在G中的左(右)陪集。

105设H3={0,2,4}，是以6为模的加法运算。验证是的子群。并分别求左陪集1H3和2H3。

106.设N6={0,1,2,3,4,5}，＋6是N6上以6为模的加法运算。即

任何x,y∈ N6，x＋6 y=(x+y)(mod 6)，例如4＋6 5＝9(mod 6)=3

1．画出< N6,＋6>的运算表。

2．< N6,＋6>是否为群？为什么？

3．如果是群，它有几个子群？分别列出子群的运算表。

107. 设是群. a∈G, 令H={y| y★a=a★y, y∈G}

求证，是的子群。

108.设是个群， R是G中等价关系，定义为：对于任何a,b,c∈G，如果有∈R，则∈R. 又定义集合H为

H＝{x| x∈G, 且∈R, e是G中幺元}

求证是的子群。

109. 设是的子群, 定义集合A如下:

A={x| x∈G, x★H★x-1=H}

求证是的子群.

110 p是个质数, 证明p m阶群中必包含着一个p阶子群.

111.证明25阶群必含有5阶子群。

112. p是个素数，是个p阶循环群，则G中有多少个生成元？为什么？113 是群的子群，任取a,b∈G,则aH=bH的充分且必要条件是( )

114. 设是个群，且|G|=11，任取a,b∈G,且a,b不是幺元，设a,b的阶分别是m和n, 令A={a1,a2,…a m},B={b1,b2,…b n}。试问A、B以及G三者有什么关系？为什么？

115 是群，定义G上关系R如下；

R= {| ?z∈G,使得y=z★x★z-1 }

116设是个群,和是其子群, 在G上定义关系R为: 任意a,b∈G, aRb?存在h∈H, k∈K 使得b=h*a*k

证明R是G上等价关系.

117. 设是群的子群, R是G上关系, 定义如下:

aRb 当且仅当a-1*b∈H, a,b∈G

1．求证R是G上等价关系.

2．e是G中幺元,由e确定的相对R的等价类[e]，求证[e]=H。

118. 设f和g都是群到的同态，证明是的一个子群，其中

C={x| x∈G1且f(x)=g(x)}

119. 设f是从群到的同态映射, 则f为入射，当且仅当Ker (f)={e1}, 其中e1是G1中的幺元。

120. .G是个6阶群，证明G中一定有且只有一个3阶子群。

121 设是群, S是G的非空子集，如果任何a,b∈S 有a★b-1∈S, 则是的子群。

122已知和是群的子群，求证是、和的子群。

123 设是个群，和是其子群，且已知|H|＝6，|K|＝35，试求H?K。并对你的回答说明原因。

124. 设是群的子群，且H?G，|G|=15，则是交换群。此说法正确否？为什么？

125. 填空：设是个群，且已知|G|＝n，如果元素a∈G，a的阶为m，则m 与n的关系是（）

126. 填空：设f是从群到的同态映射, x1,x2∈X，且y1＝f(x1) ，y2＝f(x2)，

则f((x1-1★ x2) -1) =( )。

127. 设f是从群到的同态映射，K为f的同态核，即ker(f)=K。求证，对任何X中元素x,y，如果x与y在K的同一个陪集中，则有f(x)=f(y)。

128. 填空：代数系统是个环，当且仅当是个（），是个（），并且还满足条件（）。

129. 填空：代数系统是个交换环，当且仅当是个（），是个（），并且还满足条件（）。

130. 填空：代数系统是个含幺环，当且仅当是个（），是个（），并且还满足条件（）。

131 填空：代数系统是个整环，当且仅当是个（），是个（），并且还满足条件（）和（）。

132 填空：代数系统是个域，当且仅当（）是个交换群，（）是个交换群，并且还满足条件（）。

133 填空：代数系统是个域，当且仅当是（），是（），并且还满足条件（）。

134.令N是自然数集合，I是整数集合，R是实数集合，+和·分别是加法和乘法, ,, 中哪些不是环吗？为什么？如果是环，那些不是整环？为什么？哪些不是域？为什么？

135. 判断, , 是否为环？为什么？

136. 试证是有幺元的交换环，其中⊕和ο的

定义为：对任何a,b∈I,

a⊕b=a+b-1 a ο b=a+b-ab

137. .设是一个环, 并且对于任何a∈A ,有a?a=a , 证明

a).对于任何a∈A, 都有a+a=θ,其中θ是+的幺元.

b). 是一个交换环.

138. 下面的说法是否正确？说明理由

.设是个域，对任何a,b∈F,如果a*b=0,则必有a=0或b=0

1.答案：( f ：X n →Y )。

2.答案：错误。举反例：1－2＝-1，-1不是自然数。所以不封闭。

3.答案：错误。0不能做除数。例如1÷0没有定义，所以“÷”不是R 上的运算。

4.答案：代数系统定义：X 是非空集合，X 上有m 个运算f 1, f 2, f 3,…, f m , 则称为一个代数系统。

5.答案：（它的运算表是个与主对角线为对称的表）

6.答案：（运算表的主对角线上各个元素均与表头元素对应相同）

7.答案：

从运算表找左幺元e L ： e L 所在行的各元素均与上表头元素相同。从运算表找右幺元e R ： e R 所在列的各元素均与左表头元素相同。 e L = e R =e e 是幺元。 8.答案：

从运算表找左零元θL ：θL 所在行的各元素均与左表头元素相同。从运算表找右零元θR ：θR 所在列的各元素均与上表头元素相同。 θL ＝θR =θ. θ是零元。 9.答案：

从运算表找x 的左逆元 x L -1 ：在x 列向下找到e 后，再向左到左表头元素即是x L -1 。

从运算表找x 的右逆元 x R -1：在x 行向右找到e 后，再向上到上表头元素即是x R -1 。

10.答案：的运算表如下：

由运算表看出：此运算满足交换性。有幺元0，没有零元，0的逆元是0，1的逆元是3，2的逆元是2，3的逆元是1。

11.答案：错误。尽管 x －0＝x ,这说明0是右幺元。但它不是左幺元，如0－x ＝-x ≠x 。

12.答案：运算?的幺元是（E ）。零元是（Φ）。有逆元的元素是（E ），它们的逆元分别是（ E ）。

13.答案：运算?的幺元是（Φ ）。零元是（E ）。有逆元的元素是（Φ），它们的逆元分别是（ Φ ）。 14.答案：运算⊕的幺元是（Φ ）。零元是（无）。有逆元的元素是（所有元素X ∈P(E)），它们的逆元分别是（X 自身）。

15.答案：13

＝（ 3 ） 16.答案：（合取∧与析取∨ 或者集合的交?与并? ） 17.答案：（乘法×，零元是0；合取∧，零元是F ；析取∨，零元是T ；集合的交?，零元是Φ；并?，零元是全集E 。）（写出一个运算即可）

18.答案：证明：因为e L是左幺元，又e R∈X，所以e L★e R=e R

因为e R是右幺元，又e L∈X，所以e L★e R= e L

于是e L= e R =e 。

下面证明幺元的唯一性。假设有两个幺元e1、e2，

因为e1是幺元，又e2∈X，所以e1★e2=e2

因为e2是幺元，又e1∈X，所以e1★e2= e1

则e1= e2 =e 。所以幺元是唯一的。

19.答案：证明：因为θL是左零元，又θR∈X，所以θL★θR=θR

因为θR是右零元，又θL∈X，所以θL★θR= θL

于是θL= θR =θ。

下面证明零元的唯一性。假设有两个零元θ1、θ2，

因为θ1是零元，又θ2∈X，所以θ1★θ2=θ2

因为θ2是零元，又θ1∈X，所以θ1★θ2=θ1

则θ1= θ2 =θ。所以零元是唯一的。

20.答案：证明：设x L-1、x R-1分别是x的左、右逆元，于是有x L-1★x = x★ x R-1 =e x R-1 =e★ x R-1 =( x L-1★x)★ x R-1 = x L-1★(x★ x R-1)= x L-1★e= x L-1

假设x有两个逆元x1、x2，所以x1★x= e = x★ x2

x2= e★ x2 =( x1★x)★ x2= x1★( x★ x2)= x1★ e = x1

所以x的逆元是唯一的。

21.答案：证明.如a∈X,且a-1∈X，任取x,y∈X，设有a★x=a★y 则

a-1★(a★x)= a-1★(a★y) (a-1★a)★x= (a-1★a)★y 所以

e★x=e★y x=y ∴a相对★是可消去的。

23.答案：证明：

1. (1)验证*可交换：任取x,y∈R，

x*y=xy-2x-2y+6＝yx-2y-2x+6=y*x

(2) 验证*可结合：任取x,y,z∈R，

(x*y)*z=(xy-2x-2y+6)z-2(xy-2x-2y+6)-2z+6＝xyz-2xz-2yz+6z-2xy+4x+4y-12-2z+6

= xyz-2xz-2yz+4z-2xy+4x+4y-6= xyz-2xz-2yz-2xy+4x+4y+4z -6

x*(y*z)=x(yz-2y-2z+6)-2x-2(yz-2y-2z+6)+6＝xyz-2xy-2xz+6x-2x-2yz+4y+4z-12+6

=xyz-2xy-2xz+4x-2yz+4y+4z-6=xyz-2xy-2xz-2yz +4x+4y+4z-6

可见(x*y)*z= x*(y*z)。

2. (1) 设幺元为e，则对任何x∈R，有

e*x=ex-2e-2x+6=x，于是e(x-2)=3x-6=3(x-2) 所以e=3

3*x=3x－2×3－2x＋6＝x 由于*可交换x*e＝x，所以3是幺元。

(2) 设零元为θ，则对任何x∈R，有

θ*x=θx-2θ-2x+6=θ，于是θ(x-3)=2x-6=2(x-3) 所以θ=2 。

2*x=2x－2×2－2x+6=2 由于*可交换x*2＝2，所以2是零元。

3．任取x∈R，x≠2 (因为零元不可逆)，设x的逆元为x-1，于是有x*x-1=x x-1-2x-2x-1+6=3，(x-2) x-1=2x-3，于是x-1＝(2x-3)/(x-2)

由于*可交换x* x-1＝3，所以x (x≠2)的逆元是(2x-3)/(x-2)。

24.答案：证明：任取a ∈X ，?b ∈X ，b ★a=e, 即b 是a 的左逆元。?c ∈X, c ★b=e, 即c 是b 的左逆元。于是有

a ★b=e ★(a ★b)=(c ★b)★(a ★b)=c ★(

b ★a)★b=

c ★e ★b=c ★b=e 所以b 也是a 的右逆元。

射f ：X →Y ,使得对任何x 1 ,x 2∈X ，有

f(x 1★x 2)=f(x 1)οf(x 2) --------此式叫同态(同构)关系式

则称 f 是从到的同态映射，简称这两个代数系统同态。记作X ~Y 。如果f 是满射的，称此同态f 是满同态映射。如果f 是入射的，称此同态f 是单一同态映射。

如果f 是双射的，称与同构，记作X ? Y 。 f 是到的同构,称之为自同构。

27.答案：设,是两个代数系统，★和 ο 都是二元运算，如果存在映射f ：X →Y 是从到的同态映射，即X ~Y 。设e ο是Y 中幺元。则集合 Ker(f)={x| x ∈X,f(x)＝e ο} 称此集合为f 的同态核。

28.答案：设R +是正实数，×是R +上的乘法运算构成代数系统； R 是实数集合，＋是R 上的加法运算，构成代数系统。与同构。

构造映射 f ：R +→R 任何x ∈R +, f(x)=lgx (是双射)

任何x,y ∈R +, f(x ×y)=lg(x ×y)=lgx+lgy=f(x)+f(y) 所以与同构。

29.答案：构造映射 f ：A →B 如下, 显然f 是双射。

下面验证 f 是同构映射。

f(1*2)=f(3)=L f(1)οf(2)=R οA=L ∴ f(1*2)=f(1)οf(2)

f(1*3)=f(0)=S f(1)οf(3)=R οL=S ∴ f(1*3)=f(1)ο f(3) f(2*3)=f(1)=R f(2)οf(3)=A οL=R ∴ f(2*3)=f(2)οf(3) f(2*2)=f(0)=S f(2)οf(2)=A οA=S ∴ f(2*2)=f(2)οf(2) 其余类似可验证。 ∴A ? B 30.答案：

1. ?有自反性：任何代数系统 , 有X ?X 。证明：因为有双射 I X ：X →X, 任取x 1 ,x 2∈X ，有

I X (x 1★x 2)= x 1★x 2 =I X (x 1)★I X (x 2) 所以 X ?X 。所以?有自反性。

2. ?有对称性：任何代数系统 , 如果有 X ?Y ，则必有Y ? X 。

第五章习题几个典型的代数系统

第五章习题几个典型的代数系统 .设A={0,1},试给出半群的运算表,其中为函数的复合运算。 .设G={a+bi|a,b∈Z},i为虚数单位,即i2=-1.验证G关于复数加法构成群。 .设Z为整数集合,在Z上定义二元运算如下： x,y∈Z,x y=x+y-2 问Z关于运算能否构成群为什么 .设A={x|x∈R∧x≠0,1}.在A上定义六个函数如下： f 1(x)=x,f 2 (x)=x-1,f 3 (x)=1-x, f 4(x)=(1-x)-1,f 5 (x)=(x-1)x-1, f 6 (x)=x(x-1)-1 令F为这六个函数构成的集合,运算为函数的复合运算。 (1) 给出运算的运算表。 (2) 验证是一个群。 .设G为群,且存在a∈G,使得 G={a k|k∈Z}, 证明G是交换群。.证明群中运算满足消去律.

.设G为群,若x∈G有x2=e,证明G为交换群。 .设G为群,证明e为G中唯一的幂等元。 .证明4阶群必含2阶元。设A={a+bi|a,b∈Z,i2=-1},证明A关于复数的加法和乘法构成环,称为高斯整数环。 .(1) 设R 1,R 2 是环,证明R 1 与R 2 的直积R 1 ×R 2 也是环。 (2) 若R 1和R 2 为交换环和含幺环,证明R 1 ×R 2 也是交换环和含幺环。 . 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不能构成,说明理由。 (1) A={a+bi|a,b∈Z},其中i2=-1,运算为复数的加法和乘法。 (2) A={-1,0,1},运算为普通加法和乘法。 (3) A=M 2 (Z),2阶整数矩阵的集合，运算为矩阵加法和乘法。 (4) A是非零有理数集合Q*,运算为普通加法和乘法。 .设G是非阿贝尔群,证明G中存在元素a和b,a≠b,且ab=ba. .设H是群G的子群,x∈G,令 xHx-1={xhx-1|h∈H}, 证明xHx-1是G的子群,称为H的共轭子群。 .设

第14章代数系统

第14章代数系统 14.1 代数系统 1.集合A={1,2,3,4}, * 是A 上的二元运算，定义为 a * b = a ·b - b ，试写出*的运算表。 2.< Z 5,5⊕>是代数系统，其中Z 5 ={0,1,2,3,4}，运算5⊕是模5加法，试写出5⊕的运算表。 3.设A={1,2,3,4,5}，A 上二元运算*定义 a * b = min(a,b), 其中min(a,b)是求a 和b 的最小值，写出*的运算表。 4.< Z 3,3?>是代数系统，其中Z 3 = {0,1,2}，运算3?是模3乘法，试写出3?的运算表，并求（23?2）3?2和23?（23?2）的值。

5.是代数系统，其中A={a,b,c,d,e}, 运算*由下表给出：求(b * c) * d 和 b * (c * d)。 6.设< A, *>是代数系统，其中 A = {a,b,c,d}, *是可结合运算，且b = a 2, c = b 2, d = c 2, 证明*是可交换运算。 7.写出< Z 5,5⊕>的幺元和各元素的逆元，并求435⊕3-1。 8.写出< Z 5,5?>中的幺元和各元素的逆元（如果存在的话）。

9.设Z+是所有正整数的集合，Z+上的二元运算*定义为a*b = gcd(a,b), 其中gcd(a,b)表示a和b的最大公约数。写出代数系统< Z+, * >幺元和零元（如果存在的话）。 10.设是代数系统，其中A={a,b,c,d}, 运算*由下表给出，请指出中的幺元，零元和各元素的逆元（如果存在的话）。 11.请构造一个代数系统，除幺元外，每个元素都没有逆元。

计算机代数系统第5章-方程求解

第五章方程求解 1 代数方程(组)求解 1.1 常用求解工具—solve 求解代数方程或代数方程组, 使用Maple 中的solve 函数. 求解关于x 的方程eqn=0的命令格式为： solve(eqn, x); 求解关于变量组vars 的方程组eqns 的命令为： solve(eqns, vars); > eqn:=(x^2+x+2)*(x-1); := eqn () + + x 2x 2() - x 1 > solve(eqn,x); ,,1- + 1212I 7- - 1212 I 7 当然, solve 也可以求解含有未知参数的方程： > eqn:=2*x^2-5*a*x=1; := eqn = - 2x 25a x 1 > solve(eqn,x); , + 5a 14 + 25a 28 - 5a 1 + 25a 28 solve 函数的第一个参数是有待求解的方程或方程的集合, 当然也可以是单个表达式或者表达式的集合, 如下例： > solve(a+ln(x-3)-ln(x),x); 3e a - + 1e a 对于第二个参数, Maple 的标准形式是未知变量或者变量集合, 当其被省略时, 函数indets 自动获取未知变量. 但当方程中含有参数时, 则会出现一些意想不到的情况： > solve(a+ln(x-3)-ln(x));

{}, = x x = a - + ()ln - x 3()ln x 很多情况下, 我们知道一类方程或方程组有解, 但却没有解决这类方程的一般解法, 或者说没有解析解. 比如, 一般的五次或五次以上的多项式, 其解不能写成解析表达式. Maple 具备用所有一般算法尝试所遇到的问题, 在找不到解的时候, Maple 会用RootOf 给出形式解. > x^7-2*x^6-4*x^5-x^3+x^2+6*x+4; - - - + + + x 72x 64x 5x 3x 26x 4 > solve(%); + 15 - 15()RootOf , - - _Z 5_Z 1 = index 1()RootOf , - - _Z 5_Z 1 = index 2()RootOf , - - _Z 5_Z 1 = index 3,,,,, ()RootOf , - - _Z 5_Z 1 = index 4()RootOf , - - _Z 5_Z 1 = index 5, > solve(cos(x)=x,x); ()RootOf - _Z ()cos _Z 对于方程组解的个数可用nops 命令获得, 如： > eqns:={seq(x[i]^2=x[i],i=1..7)}; := eqns {},,,,,, = x 12x 1 = x 22x 2 = x 32x 3 = x 42x 4 = x 52x 5 = x 62x 6 = x 72 x 7 > nops({solve(eqns)}); 128 但是, 有时候, Maple 甚至对一些“显而易见”的结果置之不理, 如： > solve(sin(x)=3*x/Pi,x); ()RootOf - 3_Z ()sin _Z π 此方程的解为0 ,6 π±, 但Maple 却对这个超越方程无能为力, 即便使用allvalues 求解也只有下述结果： > allvalues(%); ()RootOf , - 3_Z ()sin _Z π0. 另外一个问题是, Maple 在求解方程之前,会对所有的方程或表达式进行化简, 而不管表达式的类型, 由此而产生一些低级的错误： > (x-1)^2/(x^2-1); () - x 12 - x 21 > solve(%); 1