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数学分析期末考试题

1 数学分析期末考试题

一、叙述题:(每小题5分,共10分)

1、 叙述反常积分a dx x f b

a ,)(⎰为奇点收敛的cauchy 收敛原理

2、 二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续

二、计算题:(每小题8分,共40分) 1、)21

21

11(

lim n n n n +++++∞→

2、求摆线]2,0[)cos 1()sin (π∈⎩

⎨⎧-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积 3、求⎰∞+∞-++dx x x

cpv 211)(

4、求幂级数∑

=-12)1(n n n x 的收敛半径和收敛域

5、),(y x

xy f u =, 求y x u

∂∂∂2

三、讨论与验证题:(每小题10分,共30分) 1、y x y x y x f +-=

2),(,求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→;),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在?为什么?

2、讨论反常积分⎰

∞+0arctan dx x x p 的敛散性。

3、讨论∑

∞=-+133))1(2(n n n n n 的敛散性。

四、证明题:(每小题10分,共20分)

1、 设f (x )在[a ,b ]连续,0)(≥x f 但不恒为0,证明0)(>⎰b

a dx x f 2、 设函数u 和v 可微,证明grad (uv )=ugradv +vgradu