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线性代数习题集(全21)

第一章 行列式

一、单项选择题

1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ).

(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351

2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)

k n -2

! (D)k n n --2)1(

3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.

(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n

4.

=0

00100100

1001000

( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

5.

=0

1

10000

0100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

6.在函数1

0003232

111

12)(x x x

x

x f ----=

中3x 项的系数是( ).

(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若21

3332

31

232221

13

1211

==a a a a a a a a a D ,则=---=32

3133

31

222123

21

12

111311

122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ).

(A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若

a a a a a =22211211,则=21

1122

12

ka a ka a

( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-

9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为

x ,1,5,2-, 则=x ( ).

(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2

10. 若573411111

3263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).

(A)1- (B)2- (C)3- (D)0

11. 若2

23500101

1

110403--=

D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0

12. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组???

??=++=++=++0

00321

321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.

( )

(A)1- (B)2- (C)3- (D)0

二、填空题

1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.

2.在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是

.

3.四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是

.

4.若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于

.

5. 行列式

=0

1

11101010

0111.

6.行列式

=-0

10000

200

0010

n

n .

7.行列式

=--0

001)

1(2211)1(111 n n n n a a a a a a .

8.如果M a a a a a a a a a D ==3332

312322

21

13

1211

,则=---=32

32

3331

2222

232112121311

133333 3a a a a a a a a a a a a D .

9.已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置,再用2乘所有元素,则所得的新行列式的值为

.

10.行列式=

--+---+---1

11111111

1111

111x x x x .

11.n 阶行列式

=

+++λ

λ

λ1111

111

11

.

12.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1,

则该行列式的值为

.

13.设行列式5

67812348

765

4321=

D ,j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式,则=

+++44434241234A A A A .

14.已知d b c a c c a b b

a b c

a c

b a D =

, D 中第四列元的代数余子式的和为.

15.设行列式62

2

1176514

433

4321-==

D ,j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式,则=+4241A A ,=

+4443A A .

16.已知行列式n

n D

00103

10021

12531

-=,D 中第一行元的代数余子式的和为

.

17.齐次线性方程组???

??=+-=+=++0

0202321

2

1321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.

18.若齐次线性方程组??

?

?

?=+--=+=++0

230520232132321kx x x x x x x x 有非零解,则k =.

三、计算题

1.

c

b a d b a d

c a

d c b d

c b a

d c b a d

c b a

++++++++3

3

3

3

2

222

; 2.y

x y

x x y x y y x y x

+++;

3.解方程

00

1

10

11101

1

10=x x x

x ; 4.1

11

1

11

32

1

321221221221----n n n n a a a a x

a a a a x a a a a x

a a a a x

5. n

a a a a

1

1

1

111

1

11

11121

0(n j a j ,,1,0,1 =≠);

6. b

n b b ----)1(1

1

1

1

21111131111

7. n a b b b a a b b a a a b 32122211

11

1

1111; 8.x a a a a x a a a a x

a a a a x n n

n 3212121

21;

9.

2

2

1

22

21212

12

1111n

n n n

n x x x x x x x x x x x x x x x +++

; 10.

2

1

120000021000121

00012

11.a

a a a

a a a a

a

D ---------=110

11000110

0011

00

1.

四、证明题

1.设1=abcd ,证明:

01

111111111112

22

22

222=++++

d d

d

d c c c c b b b b a a a a .

2.3

3

3

222

11123

333322

22211

111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a x

b a -=++++++.

3.))()()()()()((11114

4442222

d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d

c b a +++------=.

4.

∏∑≤<≤=----=n

j i i j

n

i i

n n

n n

n n n n n

n

a a

a a a a a a a a a a a a a 11

2

122221222212

1

)(111

.

5.设c b a ,,两两不等,证明01

11

3

3

3

=c b a c b a

的充要条件是0=++c b a .

参考答案

一.单项选择题

A D A C C D A

B

C

D B B 二.填空题

1.n ;

2.”“-;

3.43312214a a a a ;

4.0;

5.0;

6.!)1(1n n --;

7.1)1(212

)

1()

1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;

13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)1

1(!1∑=-n

k k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k

三.计算题

1.))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-; 2. )(233y x +-; 3. 1,0,2-=x ; 4.

∏-=-1

1

)(n k k

a

x

5.

)1

1

1()1(00

∏==-+-n

k k n

k k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;

7. ∏=--n

k k k

n

a b

1

)()

1(; 8. ∏∑==-+n

k k n

k k a x a x 1

1

)()(;

9. ∑=+n

k k x 1

1; 10. 1+n ;

11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)

第二章 矩阵

一、单项选择题

1. A 、B 为n 阶方阵,则下列各式中成立的是( )。 (a)

2

2A

A =(b)

)

)((22B A B A B A +-=- (c)

AB A A B A -=-2)(

(d)T T T B A AB =)( 2.设方阵A 、B 、C 满足AB=AC,当A 满足( )时,B=C 。

(a) AB =BA (b) 0≠A (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B 、C 可逆 3.若A 为n 阶方阵,k 为非零常数,则=kA ( )。 (a) A k (b)

A k (c) A k n (d) A k n

4.设A 为n 阶方阵,且0=A ,则( )。

(a) A 中两行(列)对应元素成比例 (b) A 中任意一行为其它行的线性组合 (c) A 中至少有一行元素全为零 (d) A 中必有一行为其它行的线性组合 5.设A ,B 为n 阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( )。 (a) 111)(---+=+B A B A (b) B A AB T =)(

(c) B A B A T +=+--11)( (d) 111)(---+=+B A B A 6.设A 为n 阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,则( )。 (a) (a) 1*-=A A (b) A A =* (c) 1

*+=n A

A (d) 1

*-=n A

A

7. 设A 为3阶方阵,行列式1=A ,*A 为A 的伴随矩阵,则行列式

=--*12)2(A A ( )。

(a) 827-

(b) 278- (c) 827 (d) 27

8

8. 设A ,B 为n 阶方矩阵,22B A =,则下列各式成立的是( )。

(a) B A = (b) B A -= (c) B A = (d) 2

2

B A = 9. 设A ,B 均为n 阶方矩阵,则必有( )。

(a) B A B A +=+ (b) BA AB = (c) BA AB = (d) 2

2

B A = 10.设A 为n 阶可逆矩阵,则下面各式恒正确的是( )。 (a )T A A 22= (b) 112)2(--=A A

(c) 111])[(])[(---=T T T A A (d) T T T T A A ])[(])[(11--=

11.如果???

?

?

??---=?????

??3332

31

232221

331332

1231

113332

31

232221

131211

333a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A ,则=A ( )。

(a )????? ??-103010001 (b) ????? ??-100010301 (c) ????? ??-101010300 (d) ?????

??-130010001 12.已知???

?

?

??=113022131A ,则( )。

(a )A A T = (b) *1A A =-

(c )????? ??=????? ??113202311010100001A (d )???

?

? ??=????? ??113202311010100001A

13.设I C B A ,,,为同阶方阵,I 为单位矩阵,若I ABC =,则( )。

(a )I ACB = (b )I CAB = (c )I CBA = (d )I BAC = 14.设A 为n 阶方阵,且0||≠A ,则( )。 (a )A 经列初等变换可变为单位阵I

(b )由BA AX =,可得B X =

(c )当)|(I A 经有限次初等变换变为)|(B I 时,有B A =-1

(d )以上(a )、(b )、(c )都不对 15.设A 为n m ?阶矩阵,秩n m r A <<=)(,则( )。

(a )A 中r 阶子式不全为零 (b )A 中阶数小于r 的子式全为零

(c )A 经行初等变换可化为???

? ??00

0r I (d )A 为满秩矩阵 16.设A 为n m ?矩阵,C 为n 阶可逆矩阵,AC B =,则( )。 (a)秩(A )> 秩(B ) (b) 秩(A )= 秩(B )

(c) 秩(A )< 秩(B ) (d) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 17.A ,B 为n 阶非零矩阵,且0=AB ,则秩(A )和秩(B )( )。

(a)有一个等于零 (b)都为n (c)都小于n (d)一个小于n ,一个等于n

18.n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是( )。

(a)n r A r <=)( (b) A 的列秩为n

(c) A 的每一个行向量都是非零向量 (d)伴随矩阵存在 19.n 阶矩阵A 可逆的充要条件是( )。 (a) A 的每个行向量都是非零向量 (b) A 中任意两个行向量都不成比例

(c) A 的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示

(d)对任何n 维非零向量X ,均有0≠AX

二、填空题

1.设A 为n 阶方阵,I 为n 阶单位阵,且I A =2,则行列式=A _______

2.行列式=---0

00c b c a b

a _______

3.设2???

?

? ??=100020101A ,则行列式)9()3(21I A I A -+-的值为_______

4.设????

?

?

?

?-

=212

32321A ,且已知I A =6,则行列式=11A _______ 5.设A 为5阶方阵,*A 是其伴随矩阵,且3=A ,则=*A _______ 6.设4阶方阵A 的秩为2,则其伴随矩阵*A 的秩为_______

7.非零矩阵??

?

?

?

?

?

??n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 2

1

2221

212111的秩为________

8.设A 为100阶矩阵,且对任何100维非零列向量X ,均有0≠AX ,则A 的秩为_______

9.若)(ij a A =为15阶矩阵,则A A T 的第4行第8列的元素是_______

10.若方阵A

与I 4相似,则=A _______ 11.=?

???

??

??+∞→K K K K

K K 3111221

lim _______ 12.=?

????

?

?

?

?

?--∞→n

n 410013

1

212

1

lim _______ 三、计算题

1.解下列矩阵方程(X 为未知矩阵).

1) 223221103212102X ???? ? ?-= ? ? ? ?--???? ; 2) 0101320100211100110X ????

?? ? ?

=- ? ? ?

-?? ? ????? ; 3) 1()T T X I B C B I --=,其中310404422B ?? ?= ? ??? ; 101212121C ??

?

= ? ??? ;

4) 2AX A X I =+-,其中101020101A ?? ?

= ? ???;

5) 2AX A X =+,其中423110123A ?? ?

= ?

?-??;

2.设A 为n 阶对称阵,且20A =,求A .

3.已知110021101A -?? ?

= ? ?-??

,求21(2)(4)A I A I -+-.

4.设11201A ??

= ???,23423A ??=

???,30000A ??= ???,41201A ??= ???,求123

4A A A A ??

???

.

5.设112224336A ??

?

= ? ???

,求一秩为2的方阵B ,使0AB =.

6.设211011101,121110110A B ???? ? ?

== ? ? ? ?????

,求非奇异矩阵C ,使T A C BC =.

7.求非奇异矩阵P ,使1P AP -为对角阵.

1) 2112A ??= ??? 2) 112131201A -??

?

=-- ?

?

--??

8.已知三阶方阵A 的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为

(0,0,1),(1,1,0),(2,1,1)T T T --,求矩阵A .

9.设532644445A -?? ?

=- ? ?-??

,求100A .

四、证明题

1. 设A 、B 均为n 阶非奇异阵,求证AB 可逆.

2. 设0k A =(k 为整数), 求证I A -可逆.

3.设12.,

,k a a a 为实数,且如果0k a ≠,如果方阵A 满足1110k k k k A a A a A a I --++

++=,求证A 是非奇异阵.

4. 设n 阶方阵A 与B 中有一个是非奇异的,求证矩阵AB 相似于BA .

5. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.

6. 证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.

7.证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.

8. 证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆,且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵.

9.证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1.

10.证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。

第二章参考答案

一:1. a ;2. b ;3.c ;4.d ;5.b ;6.d ;7.a ;8.d ;9.c ;10.d ;11.b ;12.c ;13.b ;14.a ;15.a ;16.b ;17.c ;18.b ;19.d.

二.1. 1或-1;2. 0;3. -4;4. 1;5. 81;6. 0;7. 1;8. 100;9. i815

1i i4a a ∑=?;

10. I ;12. 0;11. ???

?

??0020.

三、1.1)、?????

?

?---0162

130

10;2)、?

??

?

??

?

??-0

2

132121

;3)、????? ??-----461351341;4)、?????

??201030102; 5)、????? ??------9122692683. 2. 0;3. ????? ??---010131130

;4.??????

? ??---10002100121001

21; 5.????? ??---001111113不唯一;6.????? ??100001010;7. 1)、????

??-1111. 2)、????

? ??--221112311;

8.????? ??---111001023

;9.????

? ??-------+----+13231213213232244322133221223100100100100100100100100100100100100100)()()()()()()(.

第三章 向量

一、单项选择题

1. 321,,ααα, 21,ββ都是四维列向量,且四阶行列式

m =1321βααα,n =2321ααβα,则行列式

)(

21321=+ββααα

n m a +)( n m b -)( n m c +-)( n m d --)(

2. 设A 为n 阶方阵,且0=A ,则( )。

成比例中两行(列)对应元素A a )( 线性组合中任意一行为其它行的A )b ( 零中至少有一行元素全为A c )( 线性组合中必有一行为其它行的A )d (

3. 设A 为n 阶方阵,n r A r <=)(,则在A 的n 个行向量中( )。

个行向量线性无关必有r a )(

个行向量线性无关任意r )b (

性无关组个行向量都构成极大线任意r c )(

个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r )d ( 4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是( )

n r A r a <=)()(

n A b 的列秩为)(

零向量的每一个行向量都是非)(A c 的伴随矩阵存在)(A d

5. n 维向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是( )

)(a s ααα,,,21 都不是零向量

)(b s ααα,,,21 中任一向量均不能由其它向量线性表示 )(c s ααα,,,21 中任意两个向量都不成比例 )(d s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关

6. n 维向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充要条件是( )

)(a s ααα,,,21 中至少有一个零向量

s b ααα,,,)(21 中至少有两个向量成比例 s c ααα,,,)(21 中任意两个向量不成比例

s d ααα,,,)(21 中至少有一向量可由其它向量线性表示 7. n 维向量组)3(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是( )

s k k k a ,,,)(21 存在一组不全为零的数使得02211≠++s s k k k ααα s b ααα,,,)(21 中任意两个向量都线性无关

s c ααα,,,)(21 中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示 s d ααα,,,)(21 中任一部分组线性无关 8. 设向量组s ααα,,,21 的秩为r ,则( )

s a ααα,,,)(21 中至少有一个由r 个向量组成的部分组线性无关 s b ααα,,,)(21 中存在由1+r 个向量组成的部分组线性无关 s c ααα,,,)(21 中由r 个向量组成的部分组都线性无关 s d ααα,,,)(21 中个数小于r 的任意部分组都线性无关 9. 设s ααα,,,21 均为n 维向量,那么下列结论正确的是( )

)(a 若02211=++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性相关 )(b 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有

02211≠++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关

)(c 若s ααα,,,21 线性相关,则对任意不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有

02211=++s s k k k ααα

)(d 若000021=++s ααα ,则s ααα,,,21 线性无关

10. 已知向量组4321,,,αααα线性无关,则向量组( )

14433221,,,)(αααααααα++++a 线性无关 14433221,,,)(αααααααα----b 线性无关 14433221,,,)(αααααααα-+++c 线性无关 14433221,,,)(αααααααα--++d 线性无关

11. 若向量β可被向量组s ααα,,,21 线性表示,则( )

)(a 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211

)(b 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(c 存在一组数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(d 对β的表达式唯一

12. 下列说法正确的是( )

)(a 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得02211=++s s k k k ααα ,则

s ααα,,,21 线性无关

)(b 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得02211≠++s s k k k ααα ,则

s ααα,,,21 线性无关

)(c 若s ααα,,,21 线性相关,则其中每个向量均可由其余向量线性表示 )(d 任何1+n 个n 维向量必线性相关

13. 设β是向量组T )0,0,1(1=α,T )0,1,0(2=α的线性组合,则β=( )

T a )0,3,0)(( T b )1,0,2)(( T c )1,0,0)(( T d )1,2,0)(( 14. 设有向量组()T

4,2,1,11-=α,()T

2,1,3,02=α,

()T 14,7,0,33=α,()T 0,2,2,14-=α,()T 10,5,1,25=α,则该

向量组的极大线性无关组为( )

321,,)(αααa 421,,)(αααb 521,,)(αααc 5421,,,)(ααααd

15. 设T a a a ),,(321=α,T b b b ),,(321=β,T a a ),(211=α,T b b ),(211=β,下列正确的是( )

;

,,)(11也线性相关线性相关,则若βαβαa