圆锥曲线和柯西不等式1

姓名左老师学生姓名郑析填写时间2012年12月14日学科数学年级高三教材版本人教版

阶段观察期□：第（）周维护期□课时统计

第（）课时

共（）课时课题名称圆锥曲线复习和柯西不等式简讲上课时间

教学目标

同步教学知识内容

1圆锥曲线性质复习

2常见题型解题技巧

3柯西不等式简讲

个性化学习问题解决熟悉圆锥曲线性质，能够应用所学知识灵活解题

教学重点圆锥曲线（双曲线，抛物线）教学难点

教学过程

知识点梳理

椭圆，双曲线，抛物线

椭圆双曲线抛物线定义

1．到两定点F

1

,F

2

的距之

和为定值2a(2a>|F

1

F

2

|)

的点的轨迹

2．与定点和直线的距离

之比为定值e的点的轨

迹.（0

1．到两定点F

1

,F

2

的距离之

差的绝对值为定值

2a(0<2a<|F

1

F

2

|)的点的轨

迹

2．与定点和直线的距离之

比为定值e的点的轨迹.

（e>1）

与定点和直线的距离相

等的点的轨迹.

轨迹条

件

点集：({M｜｜MF

1

+｜

MF

2

｜=2a,｜F

1

F

2

｜＜2a

点集：{M｜｜MF

1

｜-｜

MF

2

｜.

=±2a,｜F

2

F

2

｜＞2a}.

点集{M｜｜MF｜=点M到

直线l的距离}.

图形

方 程 标准方程

122

22=+b

y a x (b a >>0) 122

22=-b

y a x (a>0,b>0) px y 22=

范围 ─a ≤x ≤a ，─b ≤y ≤b |x| ≥ a ，y ∈R x ≥0 中心

原点O （0，0） 原点O （0，0）

对称轴 x 轴，y 轴； 长轴长2a,短轴长2b x 轴，y 轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. x 轴

焦点

F 1(c,0), F 2(─c,0)

F 1(c,0), F 2(─c,0)

)0,2

(p

F 准 线

x=±

c

a 2

准线垂直于长轴，且在

椭圆外.

x=±

c

a 2

准线垂直于实轴，且在两顶

点的内侧. x=-

2

p 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相

等.

焦距 2c （c=22b a -）

2c （c=22b a +）

离心率

)10(<<=

e a

c

e )1(>=

e a

c

e e=1

【备注1】双曲线：

⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e . ⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2

222

≠=-

λλb

y a x 的渐近线方程为

02

22

2=-

b

y a

x 如果双曲线的渐近线为

0=±b y

a x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλb

y a x . 【备注2】抛物线：

（1）抛物线2y =2px(p>0)的焦点坐标是(

2p ,0)，准线方程x=-2

p

，开口向右；抛物线2y =-2px(p>0)的焦点坐标是(-2p ,0)，准线方程x=2

p

，开口向左；抛物线2x =2py(p>0)的焦点

坐标是(0,2p )，准线方程y=-2

p

，开口向上；

抛物线2x =-2py （p>0）的焦点坐标是（0,-2p ），准线方程y=2

p

，开口向下.

（2）抛物线2y =2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离2

0p

x MF +=；抛物线2y =-2px(p>0)

上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离02

x p

MF -=

（3）设抛物线的标准方程为2y =2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2

p

，顶点到准线

的距离2

p

，焦点到准线的距离为p.

直线被圆锥曲线截得的弦长公式：

当直线的斜率k 存在时，直线y ＝kx+b 与圆锥曲线相交于，

两点，

弦长公式：

当k 存在且不为零时, 弦长公式还可以写成：

圆锥曲线常见错误和考点：

1.圆锥曲线的两定义：

第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如方程2222(6)(6)8x y x y -+-++=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22

22b

x a y +＝1（0a b >>）。

方程22

Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。

若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2

2y x +的最小值是___（答：5,2）

（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22

22b

x a y -＝1（0,0a b >>）。方程

22

Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。

如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C

的方程为_______（答：226x y -=）

（3）抛物线：开口向右时2

2(0)y px p =>，开口向左时2

2(0)y px p =->，开口向上时

22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由x 2

,y

2

分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程12122=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)2

3

,1()1,( --∞） （2）双曲线：由x 2,y 2

项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2

2

2

a b c =+，在双曲线中，c 最大，2

2

2

c a b =+。

4.圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆（以122

22=+b

y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点

(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0）

，四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c

e a

=，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆

越圆；e 越大，椭圆越扁。

如（1）若椭圆1522=+m y x 的离心率5

10

=

e ，则m 的值是__（答：3或325）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：

22）

（2）双曲线（以22

22

1x y a b -=（0,0a b >>）为例）

：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c

e a

=，双曲线?1e >，等轴双曲线?2e =，e 越小，开口

越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b

y x a

=±。

（3）抛物线（以2

2(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2

p ，其中p 的几何

意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：

一条准线2

p

x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。

如设R a a ∈≠,0，则抛物线2

4ax y =的焦点坐标为________（答：)161

,

0(a

）；

5、点00(,)P x y 和椭圆122

22=+b

y a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200221x y a b +>；（2）

点00(,)P x y 在椭圆上?220220b

y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200

221x y a b +<

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：0?>?直线与椭圆相交； 0?>?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0?>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0?>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0?>?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0?>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

（2）相切：0?=?直线与椭圆相切；0?=?直线与双曲线相切；0?=?直线与抛物线相切； （3）相离：0?

提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相

交,也只有一个交点；（2）过双曲线22

22b

y a x -＝1外一点00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：

①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的

两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆122

22=+b

y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y a x b ；

弦所在直线的方程： 垂直平分线的方程：

在双曲线22221x y a b

-=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0202y a x b ；在抛物线2

2(0)y px p =>中，

以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0

p

y 。

提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！

F x

y

A

B

C O

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-b

y a x 的离心率为 （ ）

A ．45

B ．25

C ．32

D ．4

5

3．椭圆13

122

2=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的

（ ）

A ．7倍

B ．5倍

C ．4倍

D ．3倍

4．过双曲线x 2

－2

2

y =1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A , B 两点，若|AB |=4，则这样的直线l 有

（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为

（ ） A ．y x 82

= B ．y x 82

-= C ．y x 162

= D ．y x 162

-=

7．若抛物线y 2

=2p x 上的一点A （6，y ）到焦点F 的距离为10，则p 等于 （ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32

8．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ．B ，交其准线于点C ，若BF BC 2=，

且3=AF ，则此抛物线的方程为 （ ） A ．x y 23

2= B ．x y 32= C ．x y 2

9

2=

D ．x y 92=

9．曲线19252

2

=+y x 与曲线)925(19252

2

≠<=-+-k k k

y

k x 且 有相同的（ ）

A ．长、短轴

B ．焦距

C ．离心率

D ．准线

10．过椭圆22

2214x y a a += (a>0)的焦点F 作一直线交椭圆于P, Q 两点，若线段PF 与QF 的长分别为p, q ，

则11p q +等于（ ） A ．4a B ．12a

C ．4a

D ．2a 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

11．椭圆的焦点是F 1（－3，0）F 2（3，0），P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则椭圆的

方程为_____________________________．

12．椭圆13

22

=+y x 上的点到直线x －y+6=0的距离的最小值是 . 13．已知双曲线C 的渐近线方程是x y 32±=，且经过点M （)1,2

9

-，则双曲线C 的方程是

.

14．AB 是抛物线y =x 2

的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值为 .

走进高考：

1.抛物线28x y =-的准线方程是 （ ）(A) 132x = （B ）y ＝2 （C ）1

4x = （D ）y=4

2.双曲线22

9436x y -=-的渐近线方程是（ ）

(A) 23y x =± （B ）32y x =± （C ）94y x =± （D ）4

9y x =±

3.已知双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的离心率为6

2，椭圆22221x y a b

=＋的离心率为 ( )

(A) 1

2

（B ）33 （C ）22 （D ）32

4. 平面内两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为焦

点的椭圆”，那么 （ ） A ．甲是乙成立的充分不必要条件 B ．甲是乙成立的必要不充分条件 C ．甲是乙成立的充要条件 D ．甲是乙成立的非充分非必要条件 5.双曲线2

2

88mx my -=的一个焦点是（0，-3），则m 的值为（ ）

(A) -1 （B ）1± （C ）65

3-

（D ）±653

6.顶点在原点，以x 轴为对称轴的抛物线上一点的横坐标为6，此点到焦点的距离等于10，则抛物线焦点到准线的距离等于（ ）

(A) 4 （B ）8 （C ）16 （D ）32

7..曲线

221169x y -=与22

1169x y m m

-=+-（m>-16且9m ≠） （ ） (A) 有相同的实轴 （B ）有相同的焦距 （C ）有相等的离心率 （D ）有相同的准线

8 若椭圆22

221x y a b

+=，''AA BB 为长轴，为短轴，F 为靠近A 点的焦点，若'B F AB ⊥，则此椭圆的离心

率为 ( )

(A)

512- （B ）312- （C ） 1

2

（D ）22 9. 12,F F 为双曲线2214

x y -=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且1290F PF ∠=

，则12F PF 的面积是（ ） (A) 2 （B ）4 （C ）8 （D ）16

11.过点P （4，4）与双曲线

22

1169

x y -=只有一个公共点的直线有（ ）条 (A) 1 （B ） 2 （C ）3 （D ）4 12抛物线2

y x =上到直线24x y -=的最短距离是（ ） (A)

355 （B ）455 （C ） 13520

（D ） 95

20 二、填空题

132y kx =-交抛物线2

8y x =于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标是2,则AB =________.

14. 已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升

1

2

米后，水面的宽度是____. 15.与圆2

2

1:(3)9C x y ++=外切且与圆2

2

2:(3)1C x y -+=内切的动圆圆心轨迹为______________.

16圆心在抛物线2

2(0)x y x =>上，并且与抛物线的准线及y 轴都相切的圆的方程是__ _.

柯西不等式简讲：柯西不等式的证明及应用

柯西（Cauchy ）不等式

()2

2211n n b a b a b a +++ ()()2

222212

2

2221n

n

b b b

a a a ++++++≤ ()n i R

b a i

i 2,1,=∈

等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）

☆ 柯西不等式的应用：

1.已知12,,,n a a a R +

∈ ，求证：222212121

()n n a a a a a a n

+++≤+++

2.已知,,,a b c d 是不全相等的正数，求证：2

2

2

2

a b c d ab bc cd da +++>+++

3.已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 222

3

3

3

3a b c a b c ++++≥

4.已知,,,x y z R +∈ 且1,x y z ++= 求证：149

36x y z ++≥

1．证：2

2

2

2

2

2

2

1212(111)()(111)n n a a a a a a ++++++≥?+?++? ∴ 2

2

2

2

1212()()n n n a a a a a a +++≥+++

∴2222

12121()n n

a a a a a a n

+++≤+++

2、22222222

22222222222:()() ()

,,,,()() a a c d b c d a ab bc cd da a b c d

a b c d b c d a

a b c d ab bc cd da b c d ab bc cd da

++++++≥+++∴===∴+++>++++++>+++ 证明是不全相等的正数不成立即

3．

2222222222222:()(123)(23)1

1

14113,,12314714

1

14

x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++++≥++=∴++≥

=====++解当且仅当即时

取最小值

6．

2

222:149149()()123()3611111

,,,,

49632

.

x y z x y z x y z

x y z x y z

x y z x y z ++=++++≥?+?+?======证法一用柯西不等式

当且仅当即时等号成立 :149149

()()()494914()()()14461236

111

2,3,,,,632

x y z x y z x y z x y z x y z

y x z x z y

x y x z y z

y x z x x y z ++=++++++++=++++++≥+++======证法二代入法当且仅当即时等号成立

7．证明：利用柯西不等式

()

2

313131

2

2

22222222a

b c

a a

b b

c c ??++=++ ???

[]222333222a b c a b c ??

????????≤++++ ? ? ???????????

()()2

333a b c a b c =++++ ()1a b c ++=

又因为 222a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上222

a b c ++

得：()(

)2

2

2

3a b c a b c

++≤++

()()()2

2223332223a b c a b c a b c ++≤++?++

故222

3

3

3

3

a b c a b c ++++≥

课后作业

备注

提交时间

教研组长审批

一般形式的柯西不等式 教案

澜沧拉祜族自治县第一中学教案 【一般形式的柯西不等式】 学科：数学 年级：高三 班级：202、203 主备教师：沈良宏 参与教师：郭晓芳、龙新荣 审定教师：刘德清 一、教材分析：柯西不等式是人教A 版选修 4-5不等式选讲中的内容，是学生继均值不等式后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用。一方面可以巩固不等式的基本证明方法，和函数最值的求法，另一方面为后面学习三角不等式与排序不等式奠定基础。本节课的核心内容是柯西不等式一般形式的推导及其简单应用。 二、教学目标： 1、知识与技能：.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义； 2、过程与方法：通过柯西不等式与其它基本不等式的关系，感悟柯西不等式的美; 3、情感、态度与价值观：在运用柯西不等式分析、解决问题的过程中，体会柯西不等式的应用方法. 三、教学重点：柯西不等式的一般形式、变形以及它与一些基本不等式的关系，柯西不等式的使用方法． 四、教学难点：在具体问题中怎样使用柯西不等式． 五、教学准备 1、课时安排：1课时 2、学情分析：学生不仅已经掌握了不等式证明的基本方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推理的能力。通过对两种方法的证明，让学生体会对柯西不等式的向量形式和代数法证明的不同之处. 3、教具选择：多媒体 实物展台 六、教学方法：启发引导、讲练结合法 七、教学过程 1、自主导学：一、创设问题情境，检查课后学习情况： 问题1：你知道二维形式的柯西不等式吗？有几种形式？ 定理1：（二维柯西不等式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++， 等号当且仅当bc ad =时成立． 定理2：（向量形式）设α ，β 为平面上的两个向量，则αβαβ? ≥，其中等号当且仅 当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立． 定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则： 231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+- 问题2：你会用柯西不等式证明下面的两个不等式吗？ （１）222a b ab +≥ （２）2221()2 a b a b ++≥ 解析： (1)2222222222))()(2),)(2)a b a b ab ab ab a b ab +++=+∵((≥∴(≥

柯西不等式的应用(整理篇)

柯西不等式的证明及相关应用 摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式： ()2 2211n n b a b a b a +++Λ()()2 222122221n n b b b a a a ++++++≤ΛΛ()n i R b a i i Λ2,1,,=∈ 等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数 ()()()2 2 222 11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=Λ =()()() 2 222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ΛΛΛ 由构造知 ()0≥x f 恒成立 又22120n n a a a +++≥Q L ()()() 0442 2221222212 2211≤++++++-+++=?∴n n n n b b b a a a b a b a b a ΛΛΛ 即()()() 22221222212 2211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当且仅当()n i b x a i i Λ2,10==+ 即12 12n n a a a b b b ===L 时等号成立 方法2 证明:数学归纳法 （1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()2 11a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ( )()()()2 2 22 22222212 1211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++ ()()()2 22 1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立 （2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()() 22 221222212 2211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当 i i ma b =，m 为常数，k i Λ2,1= 或120k a a a ====L 时等号成立 设A=22221k a a a +++Λ B=2 2221k b b b +++Λ 1122k k C a b a b a b =+++L 2 C AB ≥∴

高中数学教学论文 柯西不等式的证明与应用

柯西不等式的证明及其应用 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 关键词：柯西不等式，证明，应用 Summar y： Cauchy's inequality is a very important inequality, this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequality in inequality, solving the most value, solving equations, trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula, better explains the Cauchy inequality. Keywords ：Cauchy inequality, proof application 不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中 的应用。柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。

如何进行柯西不等式的教学(含答案)

如何进行柯西不等式的教学 柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用，教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用. 在介绍了二维形式的柯西不等式的基础上，教科书引导学生在平面直角坐标系中，根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系，从几何意义上发现二维形式的三角不等式接着借助二维形式的柯西不等式证明了三角不等式，在一般形式的柯西不等式的基础上，教科书安排了—个探究栏目，让学生通过探究得出一般形式的三角不等式. 由上可见，教材编写者对这部分内容的要求以便让学生在大学学习打下坚实的基础，但这部分教与学的难度是显而易见的. 柯西不等式∑∑∑===≥n i i i n i i n i i b a b a 1 21 2 1 2 )(是柯西在1931年研究数学分析中的“留数” 问题时得到的.表面上看，这一不等式并不难理解，也很容易验证它的正确性，特别是它的二阶形式22222)())((bd ac d c b a +≥++，几乎是不证自明的.但是，我们能看出这一平凡无奇的不等式成立，是因为事先已经知道两边是什么式子，而最先发现这样的不等关系，则是一个创造的过程，并不是那么容易的.柯西不等式不失为至善至美的重要不等式,以它的对称和谐的结构,简洁明快的解题方法等特点,深受人们的喜爱.而且和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间等内在地联系在一起.柯西不等式的几种形式都有较为深刻的背景和广泛的应用，向量形式αβαβ≥?不仅直观地反映了这一不等式的本质，一般形式

柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为， 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：( )()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=????? 当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 三角形式 ad bc ≥ =等号成立条件： 三角形式的证明： 222111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑

二维形式的柯西不等式

3.1 二维形式的柯西不等式（一） 教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式. 教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？ 答案：(0,0)2 a b a b +>>及几种变式. 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 二、讲授新课： 1. 教学柯西不等式： ① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量α,,）（b a =β),(d c =， α与β之间的夹角为θ，πθ≥≤0。 根据向量内积的定义，我们有：，θβαβαcos = ? 所以，θβαβαcos = ?因为1cos ≤θ，所以，βαβα≤? 222||||c d ac bd +≥+ 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则 22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立. ∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ?=-+-++≤0，即22222()()()a b c d ac bd ++≥+ ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？ 2 22||c d ac bd +≥+ 或 222||||c d ac bd +≥+ 222c d ac bd +≥+.

一般形式的柯西不等式全面版

课 题：§3.2一般形式的柯西不等式 教学目标：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并 应用其解决一些不等式的问题.. 教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程： 一、复习引入： 1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？ 答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+2. 思考：如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？四维呢？ 答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++。。。。。。 二、讲授新课： 1. 一般形式的柯西不等式： ① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ?≤ ，如何得到空间向量的三维形式的柯西不等式及代数形式？ ② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈ ，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ 讨论：什么时候取等号？ 联想：设1122n n B a b a b a b =+++，222 12n A a a a =++ ，22212n C b b b =+++ ，则有 20B AC -≥，可联想到一些什么？ ③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？（注意分类） 要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++???++++???+（）（222 12()n b b b +++???+ ，则 22 21122 ()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++???+≥+（. 又222120n a a a ++???+>，从而结合二次函数的图像可知， []2 2221122122()4()n n n a b a b a b a a a ?=+++-++? 22212()n b b b +++ ≤0 即有要证明的结论成立. ④分析什么时候等号成立？ 二次函数f x （）有唯一零点时，判别式0?=，这时不等式取等号； 00i i a x b ?=?+=0i b ?=或i i a kb =（1,2,,i n = ） 定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则： 21 1 2 1 2)(∑∑∑===≥n i i i n i i n i i b a b a ，当且仅当0=i b （=i 1，2，…，n ）或存在 一个数k ，使得i i a kb =（1,2,,i n = ）时等号成立。 ⑤探究：一般形式的三角不等式是怎样的？（可以让学生课后去探究） 利用一般形式的柯西不等式，容易推导出一般形式的三角不等式： (,,1,2,,)i i x y R i n ∈= 具体证法为：展开2 ，然后由柯西不等式推出展开式中的，进而完成全部证明。教学中可由学生探究具体证明过程，以加强其对一般形式柯西不等式与一般形式三角不等式之间联系的认识。 ⑤ 变式：222212121()n n a a a a a a n ++≥++???+ . （讨论如何证明） 2. 柯西不等式的应用：

人教版数学高二作业第三讲二、一般形式的柯西不等式

一、基础达标 1.已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2 n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大 值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1. 当且仅当a i ＝x i ＝n n (i ＝1，2，…，n )时，等号成立. 故a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1. 答案 A 2.n 个正数的和与这n 个正数的倒数的和的乘积的最小值是( ) A.1 B.n C.n 2 D.1n 解析 设n 个正数是x 1，x 2，…，x n ， 由柯西不等式，得 (x 1＋x 2＋…＋x n )? ????1x 1＋1 x 2＋…＋1x n ≥? ? ???x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n 2 ＝(1＋1＋…＋1)2＝n 2. 当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时，等号成立. 答案 C 3.若则a 21＋a 22＋…＋a 2 n ＝5，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1的最小值为( ) A.－25 B.－5 C.5 D.25 解析 由柯西不等式，得(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(a 22＋a 23＋…＋a 2n ＋a 21)≥(a 1a 2＋a 2a 3 ＋…＋a n －1a n ＋a n a 1)2， ∴|a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1|≤5. ∴－5≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1≤5，

(完整word版)柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为， 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：( )()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=????? 当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 三角形式 ad bc =等号成立条件： 三角形式的证明： 222111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑

2018-2019学年高中数学人教A版选修4-5创新应用教学案：第三讲第1节二维形式的柯西不等式

[核心必知] 1．二维形式的柯西不等式 (1)若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立． (2)二维形式的柯西不等式的推论： (a ＋b )(c ＋d )(a ，b ，c ，d 为非负实数)； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac ＋bd |(a ，b ，c ，d ∈R )； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |(a ，b ，c ，d ∈R )． 2．柯西不等式的向量形式 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 3．二维形式的三角不等式 (1)x 21＋y 21＋x 22＋y 22x 1，y 1，x 2，y 2∈R )． (2)推论： （x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥ (x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3∈R )． [问题思考] 1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成a b ＝c d 吗？ 提示：不可以．当b ·d ＝0时，柯西不等式成立，但a b ＝c d 不成立．

2．不等式x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2 (x1，x2，y1，y2∈R)中，等号成立的条件是什么？ 提示：当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0，0)三点共线， 且P1，P2在原点两旁时，等号成立.2·a2＋c2≥a＋c， 设a，b，c为正数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2(a＋b＋c)．[精讲详析]本题考查柯西不等式的应用．解答本题需要根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各组不等式相加即可．由柯西不等式：a2＋b2·12＋12≥a＋b，即2·a2＋b2≥a＋b， 同理：2·b2＋c2≥b＋c，2·a2＋c2≥a＋c， 将上面三个同向不等式相加得： 2(a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2)≥2(a＋b＋c)， ∴a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2·(a＋b＋c)． 利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的基本特征： (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R或(a＋b)·(c＋d)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R＋. 1．设a1，a2，a3为正数，求证：a31＋a21a2＋a1a22＋a32＋a32＋a22a3＋a2a23＋a33＋a33＋a23a1＋a3a21＋a31≥2(a31＋a32＋a33)． 证明：因为a31＋a21a2＋a1a22＋a32＝(a1＋a2)·(a21＋a22)，

柯西不等式及排序不等式及其应用经典例题透析

经典例题透析类型一：利用柯西不等式求最值1．求函数 的最大值．思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不 等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。 解析：法一：∵且， ∴函数的定义域为，且， 当且仅当时，等号成立， 即时函数取最大值，最大值为法二：∵且， ∴函数的定义域为 由， 得 即，解得∴时函数取最大值，最大值 为. 总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键． 举一反三： 【变式1】（2011，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。 （I）证明：-3≤f（x）≤3； （II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。 【答案】 (Ⅰ) 当时，． 所以．…………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知， 当时，的解集为空集； 当时，的解集为； 当时，的解集为． 综上，不等式的解集为．……10分 【变式2】已知，，求的最值. 【答案】法一： 由柯西不等式 于 是的最大值为，最小值为. 法二： 由柯西不等式 于是的最大值为，最小值为. 【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值． 【答案】 根据柯西不等式 ， 故。 当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立， 此时，评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑． 类型二：利用柯西不等式证明不等式

利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。 （1）巧拆常数：2．设、、为正数且各不相等，求证： 思路点拨：∵、、均为正，∴为证结论正确只需证： 而，又，故可利用柯西不等式证明之。 证明： 又、、各不相等，故等号不能成立 ∴。 （2）重新安排某些项的次序：3．、为非负数，+=1，，求证： 思路点拨：不等号左边为两个二项式积， ，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。 证明：∵+=1 ∴ 即（3）改变结构：4、若>>，求证： 思路点拨：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了。 ，，∴，∴所证结论改为证

柯西不等式的证明及其应用

柯西不等式的证明及其应用 赵增林 （青海民族大学，数学学院，青海，西宁，810007） 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，并 给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 关键词：柯西不等式，证明，应用 柯西不等式 定理：如果1212,,,;,,,n n a a a b b b …………为两组实数，则 2222222 11221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… （*） 当且仅当12211331110n n a b a b a b a b a b a b -=-==-=……时等号成立。 若120,0,,0n b b b ≠≠≠……，则不等式的等号成立的条件是 12 12n n a a a b b b ===……。 我们称不等式（*）为柯西不等式。 柯西不等式的证明： 一）两个实数的柯西不等式的证明： 对于实数1212,,,a a b b ，恒有22222 11221212()()()a b a b a a b b +≤++，当且仅当 12210a b a b -=时等号成立。如果120,0b b ≠≠则等式成立的条件是12 12 a a b b =。 证明：对于任意实数1212,,,a a b b ，恒有 2222 22121211221221()()()()a a b b a b a b a b a b ++=++-，而21221()0a b a b -≥， 故2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++。 当且仅当12210a b a b -=时等号成立。 不等式的几何意义如图1所示，在直角坐标系中有 异于原点O 的两点12(,)P a a ，12(,)Q b b ，由距离公式 得：|OP |=，|OQ |=

柯西不等式(原始版)题型分类

柯西不等式（原始版）的习题分类 柯西不等式已经成为高考当中的新贵，去年全国卷II 的选修4-5不等式选讲，已经出现了柯西不等式命题，因此对柯西不等式几种典型习题加以分类，有助于知识的掌握。 一、柯西不等式（原始版） 1、()()()22211222 1222 1b a b a b b a a +≥++，当且仅当向量()21,a a a = ，()21,b b b = 同向时候成立，如果0,21≠b b 时，那么当且仅当2 211b a b a =时成立。 2、()() ()2 332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++，当且仅当321321::::b b b a a a =时等号成立。 3、2 11212 ??? ??≥?∑∑∑===n k k k n k k n k k b a b a ，当且仅当n n b b b b a a a a :...::::...:::321321=时等号成立。 由以上柯西不等式（原始版）来看，柯西不等式是齐次，不等式左右两边的式子的次数相等，因此做题的时候可以抓住这个关键进行应用。 二、常见题型 1、()常数次次≥-?11。 例1、已知1=+b a ，且0,>b a ，求b a 11+的最小值。 解析：这道题的方法非常多，利用二元的均值定理可以求解，但是应用柯西不等式更加方便。考虑最后求解的形式一定是k b a ≥+11，k 为某个常数，那么不等式左边1-次，右边为0次，并不相等，所以左边要乘以 b a +，这样左边变成了()??? ? ?++b a b a 11，次数就成为了0，就可以应用柯西不等式。 ()41111112=??? ? ???+?≥+??? ??+=+b b a a b a b a b a ，当且仅当21==b a 时等号成立，所以b a 11+的最小值为4。 显然以上对例1的求解，柯西不等式比均值定理更为简单，有些优势，而且柯西不等式的应用范围更加广泛。 例2、若0,,>c b a ，求证()9111≥++??? ? ?++c b a c b a 。 解析：可以直接应用柯西不等式 ()91111112=??? ? ???+?+?≥++??? ??++c c b b a a c b a c b a ，当且仅当1===c b a 时等号成立。 练习： 1、已知0,,>c b a ，证明： c b a c b a ++≥++9111。 2、已知0,,>c b a ，证明：() c b a a c c b b a ++≥+++++29111。 提示：()()()()a c c b b a c b a +++++=++2。

柯西不等式各种形式的证明及其应用培训资料

柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角 度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==??==???= ?=?????当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 2 22 111n n n k k k k k k k a b a b ===??≥ ??? ∑∑∑

一般形式的柯西不等式精品教案

一般形式的柯西不等式 【教学目标】 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式。 【教学重点】 会证明二维柯西不等式及三角不等式。 【教学难点】 理解几何意义。 【教学过程】 一、复习准备： 1．提问： 二元均值不等式有哪几种形式？ 答案：及几种变式。 (0,0)2a b a b +≥>>2．练习：已知A ．B ．C ．d 为实数，求证 22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）=…= 22222()()()a b c d ac bd ++-+2()0ad bc -≥二、讲授新课： 1． 柯西不等式： ① 提出定理1：若A ．B ．C ．d 为实数，则。 22222()()()a b c d ac bd ++≥+ → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法） 222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 。 （要点：展开→配方） 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+ 证法三：（向量法）设向量，，则，(,)m a b =u r (,)n c d =r ||m =u r ||n =r ∵ ，且，则。 ∴ …。。 m n ac bd ?=+u r r ||||cos ,m n m n m n ?=<>u r r u r r u r r ||||||m n m n ?≤u r r u r r 证法四：（函数法）设，则 22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++≥0恒成立。 22()()()f x ax c bx d =-+-

二维形式的柯西不等式知识点梳理(经典系统全面知识点梳理)

课题：二维形式的柯西不等式 学科：数学年级：高三班级： 主备教师：沈良宏参与教师：郭晓芳、龙新荣、刘世杰、刘德清审定教师：刘德清 1、教学重点：二维形式柯西不等式的证明思路，二维形式柯西不等式的应用. 2、教学难点：二维形式柯西不等式的应用. 3、学生必须掌握的内容： 1．二维形式的柯西不等式 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 2．柯西不等式的向量形式 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 3．二维形式的三角不等式 设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2. 注意： 1．二维柯西不等式的三种形式及其关系 定理1是柯西不等式的代数形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式． 根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示． 2．理解并记忆三种形式取“＝”的条件 (1)代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号． (2)向量形式中当存在实数k，α＝kβ或β＝0时取等号． (3)三角形式中当P1，P2，O三点共线且P1，P2在原点O两旁时取等号． 3．掌握二维柯西不等式的常用变式 (1) a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|. (2) a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|. (3) a2＋b2·c2＋d2≥ac＋bd. (4)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2. 4．基本不等式与二维柯西不等式的对比 (1)基本不等式是两个正数之间形成的不等关系．二维柯西不等式是四个实数之间形成的不等关系，从这个意义上讲，二维柯西不等式是比基本不等式高一级的不等式．

一般形式的柯西不等式优秀教学设计

一般形式的柯西不等式 【教学目标】 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式。 【教学重点】 会证明二维柯西不等式及三角不等式。 【教学难点】 理解几何意义。 【教学过程】 一、复习准备： 1．提问： 二元均值不等式有哪几种形式？ 答案： (0,0)2a b a b +>>及几种变式。 2．练习：已知A ．B ．C ．d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=…=2()0ad bc -≥ 二、讲授新课： 1． 柯西不等式： ① 提出定理1：若A ．B ．C ．d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+。 → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+。 （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则2||m a =+2||n c d =+ ∵ m n ac bd ?=+，且||||cos ,m n m n m n ?=<>，则||||||m n m n ?≤。 ∴ …。。 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则 22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立。 ∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ?=-+-++≤0，即…。。

二维形式的柯西不等式

不等式选讲第11课时 二维形式的柯西不等式 学习目标：1。认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义； 2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 重点难点：柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。 教学过程： 一、引入： 除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。 1、什么是柯西不等式： 定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则 22222)())((bd ac d c b a +≥++， 其中等号当且仅当bc ad =时成立。 证明：略。 推论： 1．||2222bd ac d c b a +≥+?+(当且仅当ad=bc 时，等号成立.) 2．),,,.()())((2+∈+≥++R d c b a bd ac d b c a (当且仅当ad=bc 时，等号成立.) 3．||||2222bd ac d c b a +≥+?+（当且仅当|ad|=|bc|时，等号成立） 例1：已知a,b 为实数，求证2 332244)())((b a b a b a +≥++ 说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。所以，经典不等式是数学研究的有力工具。 例题2：求函数x x y 21015-+-=的最大值。 分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值。（2222||d c b a bd ac +?+≤+） 解：函数的定义域为【1，5】，且y>0 3 6427)5()1()2(552152222=?=-+-?+≤-?+-?=x x x x y

柯西不等式的证明

柯西不等式的证明

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柯西不等式的证明及应用 （河西学院数学系０1（２)班 甘肃张掖 ７３４000) 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式,解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。 关键词：柯西不等式 证明 应用 中图分类号： Ｏ178 Ident ｉficatio ｎ a ｎd ap ｐli ｃation ｏｆ Cau ｃｈy ine ｑuali ｔy Ch ｅn B ｏ (dep ａｒｔment of ｍａt ｈem ａtics , Hexi ｕni ｖersi ｔｙ ｚhangye ga ｎsu 7３4000） A ｂstract : Cauchy-ine ｑuali ｔy is ａ v ｅｒｙ imp ｏrtant in equ ａti ｏn, flex ｉb ｌe ｉnge ｎi ｏus ａpplication ｉt, can ｍａke some compar ａtively difficul ｔ p ｒobl ｅｍs ｅasily sol ｖed . This ｔｅxt p ｒo ｖｅ inequality ， s ｏlv ｅ ｔｒiangle ｒｅｌｅv ａnt pro ｂlem, ｉs it ｗorth most to ａsk, t ｈe ａｐp ｌica ｔio ｎ whi ｃh ｓｏlve ｓ ｓuch ｑuestio ｎs as the eq ｕat ｉon ,ｅtc. ｐrov ｉｄes severa ｌ ｅxamp ｌes. K ｅｙw ｏrd :inequat ｉｏn p ｒove ap ｐlication 柯西(Ｃａuc ｈy ）不等式 [][]12 ()22211n n b a b a b a +++ ()()222221222221n n b b b a a a ++++++≤ ()n i R b a i i 2,1,=∈ 等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证明介绍如下: 证明1：构造二次函数 ()()()2 222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++= =()()()22222121122122n n n n n n a a a x a b a b a b x b b b ++ +++++++++ 22120n n a a a +++≥ ()0f x ∴≥恒成立 ()()()2222211221212440n n n n n n a b a b a b a a a b b b ?=++ +-++++++≤ 即()()()2222211221212n n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++ 当且仅当()01,2 i i a x b x i n +== 即1212n n a a a b b b ===时等号成立 证明(2)数学归纳法 （1)当1n =时 左式=()211a b 右式=()2 11a b

数学人教A选修45素材：目标导引 3二维形式的柯西不等式 一般形式的柯西不等式 含解析

一 二维形式的柯西不等式 二 一般形式的柯西不等式 一览众山小 诱学·导入 材料：柯西不等式 ∑∑==n i i n i i b a 1 2 1 2≥( ∑=n i i i b a 1 ) 2 是柯西在1931年研究数学分析中的“留数” 问题时得到的.表面上看，这一不等式并不难理解，也很容易验证它的正确性，特别是它的二阶形式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd)2，几乎是不证自明的.但是，我们能看出这一平凡无奇的不等式成立，是因为事先已经知道两边是什么式子，而最先发现这样的不等关系，则是一个创造的过程，并不是那么容易的. 问题：为何要将柯西不等式列为“不等式选讲”的重要内容？ 导入：柯西不等式的几种形式都有较为深刻的背景和广泛的应用.向量形式|α||β|≥|α·β|不仅直观地反映了这一不等式的本质，而且和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间、赋范空间内在地联系在一起；一般形式 ∑∑==n i i n i i b a 1 2 1 2≥( ∑=n i i i b a 1 )2有一个推广形式:(a 1p +a 2p +… +a np )p 1(b 1q +b 2q +…+b n q ) q 1≥a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ( q p 1 1+=1)（该不等式称为赫尔德（Holder ）不等式，当p=q=2时，即为柯西不等式），是数学分析中最有用的不等式之一.此外，平面三角不等式是柯西不等式的等价形式，它的推广形式 ∑∑∑===+≥ + n i i i n i i n i i y x y x 1 21 21 2)(（闵 可夫斯基不等式）也是数学分析中的经典不等式.所以将柯西不等式列为“不等式选讲”的重要内容，正是看中它的这一数学背景. 温故·知新 1.我们知道绝对值|a|有着很明确的几何意义，即数轴上坐标为a 的点到原点的距离.那么不等式|x-c|+|x-b|≥a 的几何意义是什么呢？ 答：不等式|x-c|+|x-b|≥a 的解可以直接理解为数轴上满足到坐标为c 的点的距离与到坐标为b 的点的距离之和大于等于a 的点的坐标，而上述距离之和的最小值显然为|b-c|（在c ，b 之间的点取到），因此，不等式的解取决于|b-c|与a 的大小关系.用类似的方法也不难证明|a-b|≤|a -c|+|c-b|，实际上只需要注意到a ，b ，c 在数轴上的位置关系即可.利用绝对值的几何意义，可以很好地证明和求解一些基本的含绝对值的不等式. 2.任意两个向量α,β的夹角<α,β>的余弦值是什么？ 答：任意两个向量α，β的夹角<α,β>的余弦cos<α,β>=| |||βαβ α??.