《离散数学》试题及答案
一、填空题
1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) -
ρ(B)＝__________________________ .
2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________.
3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________
_____________, 其中双射的是__________________________.
4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________.
5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________.
6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ .
7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________.
8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________.
9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则
R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________,
R12 =________________________.
10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________.
11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ ,
A∩B = __________________________ , .
13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________.
14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____.
15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
16. 设谓词的定义域为{a, b},将表达式?xR(x)→?xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是__________________________________________________________________________.
17. 设集合A ＝{1, 2, 3, 4}，A 上的二元关系R ＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S ＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。则R ?S ＝_____________________________________________________, R 2＝______________________________________________________.
二、选择题
1 设集合A={2,{a},3,4}，B = {{a},3,4,1}，E 为全集，则下列命题正确的是( )。 (A){2}∈A (B){a}?A (C)??{{a}}?B ?E (D){{a},1,3,4}?B.
2 设集合A={1,2,3},A 上的关系R ＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}，则R 不具备( ). (A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)反对称性
3 设半序集(A,≤)关系≤的哈斯图如下所示，若A 的子集B = {2,3,4,5},则元素6为B 的( )。
(A)下界 (B)上界 (C)最小上界 (D)以上答案都不对
4 下列语句中，( )是命题。
(A)请把门关上 (B)地球外的星球上也有人
(C)x + 5 > 6 (D)下午有会吗？ 5 设I 是如下一个解释：D ＝{a,b},
1 0 1b)
P(b,a) P(b,b) P(a,),(a a P
则在解释I 下取真值为1的公式是( ). (A)?x ?yP(x,y) (B)?x ?yP(x,y) (C)?xP(x,x) (D)?x ?yP(x,y).
6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( ). (A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6).
7. 设G 、H 是一阶逻辑公式，P 是一个谓词，G ＝?xP(x), H ＝?xP(x),则一阶逻辑公式G →H 是( ). (A)恒真的 (B)恒假的 (C)可满足的 (D)前束范式.
8 设命题公式G ＝?(P →Q)，H ＝P →(Q →?P)，则G 与H 的关系是( )。 (A)G ?H (B)H ?G (C)G ＝H (D)以上都不是. 9 设A, B 为集合，当( )时A －B ＝B. (A)A ＝B (B)A ?B (C)B ?A (D)A ＝B ＝?.
10 设集合A = {1,2,3,4}, A 上的关系R ＝{(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)}, 则R 具有( )。 (A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)以上答案都不对 11 下列关于集合的表示中正确的为( )。 (A){a}∈{a,b,c} (B){a}?{a,b,c} (C)?∈{a,b,c} (D){a,b}∈{a,b,c} 12 命题?xG(x)取真值1的充分必要条件是( ).
(A) 对任意x ，G(x)都取真值1. (B)有一个x 0，使G(x 0)取真值1. (C)有某些x ，使G(x 0)取真值1. (D)以上答案都不对.
13. 设G 是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G 的边数是( ). (A) 9条 (B) 5条 (C) 6条 (D) 11条.
14. 设G 是5个顶点的完全图，则从G 中删去( )条边可以得到树. (A)6 (B)5 (C)10 (D)4.
15. 设图G 的相邻矩阵为???
?
??
?
?
?????
???01101
101011101100101
11110
，则G 的顶点数与边数分别为( ).
(A)4, 5 (B)5, 6 (C)4, 10 (D)5, 8.
三、计算证明题
1.设集合A＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}，R为整除关系。
(1)画出半序集(A,R)的哈斯图；
(2)写出A的子集B = {3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界；
(3)写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。
2.设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的关系R＝{(x,y) | x, y∈A 且x ≥ y}, 求
(1)画出R的关系图；
(2)写出R的关系矩阵.
3.设R是实数集合，σ,τ,?是R上的三个映射，σ(x) = x+3, τ(x) = 2x, ?(x) ＝x/4,试求复合
映射σ?τ，σ?σ, σ??, ??τ，σ???τ.
4. 设I是如下一个解释：D = {2, 3},
a b f (2) f (3) P(2, 2) P(2, 3) P(3, 2) P(3, 3)
3 2 3 2 0 0 1 1
试求(1) P(a, f (a))∧P(b, f (b));
(2) ?x?y P (y, x).
5. 设集合A＝{1, 2, 4, 6, 8, 12}，R为A上整除关系。
(1)画出半序集(A,R)的哈斯图；
(2)写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；
(3)写出A的子集B = {4, 6, 8, 12}的上界，下界，最小上界，最大下界.
6. 设命题公式G = ?(P→Q)∨(Q∧(?P→R)), 求G的主析取范式。
7. (9分)设一阶逻辑公式：G = (?xP(x)∨?yQ(y))→?xR(x)，把G化成前束范式.
9. 设R是集合A = {a, b, c, d}. R是A上的二元关系, R = {(a,b), (b,a), (b,c), (c,d)},
(1)求出r(R), s(R), t(R)；
(2)画出r(R), s(R), t(R)的关系图.
11. 通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：
(1) G = (P∧Q)∨(?P∧Q∧R)
(2) H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨(?P∧R))
13. 设R和S是集合A＝{a, b, c, d}上的关系，其中R＝{(a, a),(a, c),(b, c),(c, d)},
S＝{(a, b),(b, c),(b, d),(d, d)}.
(1) 试写出R和S的关系矩阵；
(2) 计算R?S, R∪S, R－1, S－1?R－1.
四、证明题
1. 利用形式演绎法证明：{P→Q, R→S, P∨R}蕴涵Q∨S。
2. 设A,B为任意集合，证明：(A-B)-C = A-(B∪C).
3. (本题10分)利用形式演绎法证明：{?A∨B, ?C→?B, C→D}蕴涵A→D。
4. (本题10分)A, B为两个任意集合，求证：
A－(A∩B) = (A∪B)－B .
参考答案
一、填空题
1. {3}; {{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
2n.
2.2
3.α1= {(a,1), (b,1)}, α2= {(a,2), (b,2)},α3= {(a,1), (b,2)}, α4= {(a,2), (b,1)}; α3, α
4.
4.(P∧?Q∧R).
5.12, 3.
6.{4}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2}.
7.自反性；对称性；传递性.
8.(1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0).
9.{(1,3),(2,2),(3,1)}; {(2,4),(3,3),(4,2)}; {(2,2),(3,3)}.
10.2m?n.
11.{x | -1≤x < 0, x∈R}; {x | 1 < x < 2, x∈R}; {x | 0≤x≤1, x∈R}.
12.12; 6.
13.{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}.
14.?x(?P(x)∨Q(x)).
15.21.
16.(R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)).
17.{(1, 3),(2, 2)}; {(1, 1),(1, 2),(1, 3)}.
二、选择题
1. C.
2. D.
3. B.
4. B.
5. D.
6. C.
7. C.
8. A. 9. D. 10. B. 11. B.
13. A. 14. A. 15. D
三、计算证明题
1.
(1)
(2) B 无上界，也无最小上界。下界1, 3; 最大下界是3. (3) A 无最大元，最小元是1，极大元8, 12, 90+; 极小元是1. 2.R = {(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(1)
(2)10001
10011101111R M ????
?
?=??
??
??
3. (1)σ?τ＝σ(τ(x))＝τ(x)+3＝
2x+3＝2x+3.
(2)σ?σ＝σ(σ(x))＝σ(x)+3＝(x+3)+3＝x+6, (3)σ??＝σ(?(x))＝?(x)+3＝x/4+3, (4)??τ＝?(τ(x))＝τ(x)/4＝2x/4 = x/2,
(5)σ???τ＝σ?(??τ)＝??τ+3＝2x/4+3＝x/2+3. 4. (1) P (a , f (a ))∧P (b , f (b )) = P (3, f (3))∧P (2, f (2)) = P (3, 2)∧P (2, 3) = 1∧0
= 0.
(2) ?x ?y P (y , x ) = ?x (P (2, x )∨P (3, x )) = (P (2, 2)∨P (3, 2))∧(P (2, 3)∨P (3, 3)) = (0∨1)∧(0∨1) = 1∧1
= 1.
5. (1)
(2) 无最大元，最小元1，极大元8, 12; 极小元是1.
(3) B无上界，无最小上界。下界1, 2; 最大下界2.
6. G = ?(P→Q)∨(Q∧(?P→R))
= ?(?P∨Q)∨(Q∧(P∨R))
= (P∧?Q)∨(Q∧(P∨R))
= (P∧?Q)∨(Q∧P)∨(Q∧R)
= (P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R) = (P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)
= m3∨m4∨m5∨m6∨m7 = ∑(3, 4, 5, 6, 7).
7. G = (?xP(x)∨?yQ(y))→?xR(x)
= ?(?xP(x)∨?yQ(y))∨?xR(x)
= (??xP(x)∧??yQ(y))∨?xR(x)
= (?x?P(x)∧?y?Q(y))∨?zR(z)
= ?x?y?z((?P(x)∧?Q(y))∨R(z))
9. (1) r(R)＝R∪I A＝{(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d)},
s(R)＝R∪R－1＝{(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c)},
t(R)＝R∪R2∪R3∪R4＝{(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)}；
(2)关系图:
11. G＝(P∧Q)∨(?P∧Q∧R)
＝(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)
＝m6∨m7∨m3
＝∑ (3, 6, 7)
H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨(?P∧R))
＝(P∧Q)∨(Q∧R))∨(?P∧Q∧R)
＝(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)
＝(P ∧Q ∧?R)∨(?P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧R) ＝m 6∨m 3∨m 7 ＝∑ (3, 6, 7)
G ,H 的主析取范式相同，所以G = H.
13. (1)?
???
?????
???=000010000100
0101R M ?
?
??
?
?
???
???=10000000
11000010
S M
(2)R ?S ＝{(a , b ),(c , d )},
R ∪S ＝{(a , a ),(a , b ),(a , c ),(b , c ),(b , d ),(c , d ),(d , d )}, R －
1＝{(a , a ),(c , a ),(c , b ),(d , c )},
S －
1?R －
1＝{(b , a ),(d , c )}.
四 证明题
1. 证明：{P →Q , R →S , P ∨R }蕴涵Q ∨S
(1) P ∨R P (2) ?R →P Q(1) (3) P →Q P (4) ?R →Q Q(2)(3) (5) ?Q →R Q(4) (6) R →S P (7) ?Q →S Q(5)(6) (8) Q ∨S
Q(7)
2. 证明：(A-B)-C = (A ∩~B)∩~C = A ∩(~B ∩~C) = A ∩~(B ∪C)
= A-(B ∪C)
3. 证明：{?A ∨B, ?C →?B, C →D}蕴涵A →D
(1) A
D(附加) (2) ?A ∨B P (3) B
Q(1)(2)
(4) ?C→?B P
(5) B→C Q(4)
(6) C Q(3)(5)
(7) C→D P
(8) D Q(6)(7)
(9) A→D D(1)(8)
所以{?A∨B, ?C→?B, C→D}蕴涵A→D.
4.证明：A－(A∩B)
= A∩~(A∩B)
＝A∩(~A∪~B)
＝(A∩~A)∪(A∩~B)
＝?∪(A∩~B)
＝(A∩~B)
＝A－B
而(A∪B)－B
= (A∪B)∩~B
= (A∩~B)∪(B∩~B)
= (A∩~B)∪?
= A－B
所以：A－(A∩B) = (A∪B)－B.