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D10_3,4三重积分

三重积分n重积分简介

§5 二重积分一、三重积分的概念 1三重积分的物理解释设非均匀物体A内分布着一种物质，其密度为，(x,y,z)，并假定T在A上连续，那么怎样定义和计算这个物体的质量呢？我们的办法还是通过“分割，近似求和，取极限”这三个步骤得到A的质量是 m= ?(x, y, z)dxdydz A 2三重积分的定义 P243-244 3三重积分的性质、可积条件与二重积分类似线性性，单调性，可加性，绝对可积性，乘积可积性，中值定理等? 二、三重积分的计算---化三重积分为累次积分 1长方体[a,b] [c,d] [k,h]上的积分定理21.15设A二[a,b] [c,d] [e, f]，f是A上的连续函数，那么f在A上的三重积分 b d f 可以化为先对z，后对y,x的积分：丨丨丨f (x, y, z)dxdydz= dx dy f (x, y,z)dz， -a c e A 或先y > x > z: f b d II .1 f (x, y, z)dxdydz= dz dx f(x,y,z)dy e a c A 等等(共6种)，并且此时(f连续时)，各个三次积分的值与积分次序无关，他们都相等。 b d h III f (x, y,z)dxdyd^ dx dv f (x, y,z)dz. ack V 2. 一般区域上的三重积分、简单区域上的三重积分一般区域上的三重积分、可以分解有限个简单区域上的三重积分简单区域(典型区域)的定义V 二{(x,y,z)|Z i(x,y)乞z ^Z2(x,y), (x,y) D},其中D 为V 在XY 平面上的投影， D =《x, y)|a 兰b, y i(x)兰y 兰y2(x)> 或者D ={(x,y) ^d,x1 (y)兰x2(y)}

二重积分及三重积分的计算

第一部分定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a n n a a a a n . 解原式=?∑=??? ? ??=∞→1011lim a a n i n x n n i dx = a a x a += ++11 11 1. 例2 求极限 ? +∞→10 2 1lim x x n n dx . 解法1 由10≤≤x ，知n n x x x ≤+≤ 2 10，于是? +≤1 2 10x x n ?≤1 n x dx dx . 而?1 0n x ()∞→→+=+= +n n n x dx n 01111 01，由夹逼准则得?+∞→1021lim x x n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理 ()()x g x f b a ? ()()?=b a x g f dx ξdx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号）， ().101111 2 1 02 ≤≤+= +? ? n n n n dx x dx x x ξξ 由于11102≤+≤ n ξ ，即 211n ξ +有界， ()∞→→+=?n n dx x n 0111 0，故?+∞→1021lim x x n n dx =0. 注（1）当被积函数为( )22,x a x R +或() 22,a x x R -型可作相应变换. 如对积分() ?++3 1 2 2 112x x dx ，可设t x tan =；对积分 ()0220 2>-? a dx x ax x a ，由于 () 2 222a x a x ax --=-，可设 t a a x s i n =-. 对积分dx e x ? --2 ln 0 21，可设.sin t e x =- （2）()0,cos sin cos sin 2 ≠++=?d c dt t d t c t b t a I π 的积分一般方法如下：

三重积分及其计算和多重积分72254

第四节三重积分及其计算和多重积分在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的n 维空间中去. 类似于第三节,我们先定义一个R 3中集合的可求体积性. 同样可以给出一列类似的结论. 读者自己推广. 这里将不再赘述. 一、引例设一个物体在空间R 3中占领了一个有界可求体积的区域V ，它的点密度为()z y x f ,,，现在要求这个物体的质量．假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域V 分割为若干个可求体积的小区域n V V V ,...,,21，其体积分别是n V V V ???,...,,21，直径分别是n d d d ,...,,21，即},||sup{|i i V Q W WQ d ∈=, (i =1,2,…,n ）, |WQ|表示W, Q 两点的距离．设 },...,,m ax {21n d d d =λ，则当λ很小时，()z y x f ,,在i V 上的变化也很小．可以用这个小区域上的任意一点()i i i z y x ,,的密度()i i i z y x f ,,来近似整个小区域上的密度，这样我们可以求得这个小的立体的质量近似为()i i i i V z y x f ?,,，所有这样的小的立体的质量之和即为这个物体的质量的一个近似值．即 ()i i i i n i V z y x f M ?≈∑=,,1 ．当0→λ时，这个和式的极限存在，就是物体的质量．即 ()i i i i n i V z y x f M ?=∑=→,,lim 1 λ．从上面的讨论可以看出，整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，都是先分割，再求和，最后取极限．所以我们也可以得到下面一类积分．二、三重积分的定义设()z y x f ,,是空间3 R 中的一个有界可求体积的闭区域V 上的有界函数，将V 任意分割为若干个可求体积的小闭区域n V V V ,...,,21，这个分割也称为V 的分划，记为P : n V V V ,...,,21. Φ=?o o j i V V (空, j i ≠), 其体积分别是n V V V ???,...,,21，直径分别是n d d d ,...,,21．设 },...,,m ax {21n d d d =λ,或记为||P ||. 在每个小区域中任意取一点()i i i i V z y x ∈,,，作和 ()i i i i n i V z y x f ?∑=,,1 (称为Riemann 和)，若当0→λ时，这个和式的极限存在，则称其极

[整理]三重积分的计算方法小结与例题76202

三重积分的计算方法介绍：三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲

(精选)三重积分的计算方法与例题

三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲

二重积分与三重积分区别

都是递进关系，从一重积分开始，只说几何意义吧。一重积分(定积分)：只有一个自变量y = f(x) 当被积函数为1时，就是直线的长度(自由度较大) ∫(a→b) dx = L(直线长度) 被积函数不为1时，就是图形的面积(规则) ∫(a→b) f(x) dx = A(平面面积) 另外，定积分也可以求规则的旋转体体积，分别是盘旋法(Disc Method)：V = π∫(a→b) f2(x) dx 圆壳法(Shell Method)：V = 2π∫(a→b) xf(x) dx 计算方法有换元积分法，极坐标法等，定积分接触得多，不详说了 ∫(α→β) (1/2)[A(θ)]2 dθ = A(极坐标下的平面面积) 二重积分：有两个自变量z = f(x，y) 当被积函数为1时，就是面积(自由度较大) ∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = A(平面面积) 当被积函数不为1时，就是图形的体积(规则)、和旋转体体积 ∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = V(旋转体体积) 计算方法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等极坐标变换：{ x = rcosθ { y = rsinθ { α≤θ≤β、最大范围：0 ≤θ≤ 2π ∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ，rsinθ) r drdθ 三重积分：有三个自变量u = f(x，y，z) 被积函数为1时，就是体积、旋转体体积(自由度最大) ∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = V(旋转体体积) 当被积函数不为1时，就没有几何意义了，有物理意义等计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球面坐标法、雅可比换元法等极坐标变化(柱坐标)：{ x = rcosθ { y = rsinθ { z = z { h ≤ r ≤ k { α≤θ≤β、最大范围：0 ≤θ≤ 2π ∫(α→β) ∫(h→k) ∫(z?→z?) f(rcosθ，rsinθ，z) r dzdrdθ 极坐标变化(球坐标)：{ x = rsinφcosθ { y = rsinφsinθ { z = rcosφ

三重积分独家解法

§重积分重积分是定积分延伸，定积分是如图（1）所示，由上曲线和下曲线在定义域内所围成面积S ；二重积分的已知条件是一平面区域作为二重积分的“定义域”，被积函数是两个空间曲面函数的差值，如 xydθD ,其实，它的二重积分的原始形式为 [f x ?g x ]dθD ,即f x ?g x =xy 。其中，f （x ）和g （x ）均为空间曲面的函数表达式。而如果把二重积分以定积分的形式表现则比较牵强： xydθA B ，A 与B 的差值就是二重积分的定义区域，但是，A 和B 只是作者假设的虚拟值，实际并不存在，为了简洁地表达二重积分，引入了“ ”符号，这是二重积分的高度抽象化，单从这个符号是看不出二重积分的几何意义的。 §三重积分三重积分是在体积的基础上的四维积分。定积分的定义域在一维数轴上（X ）反映，积分函数为曲线，对应积分几何意义为面积；二重积分的定义域在二维数轴（X-Y ）上反映，积分函数为曲面，对应几何意义为体积；三重积分的被积函数没有固定的意义，积分也就没有固定的意义，比如， xdxdydz Ω ，被积函数为f(x)=x ，当x 表示密度

时， xdxdydz Ω 表示质量，当x 表示单位粒子能量时， xdxdydz Ω 表示内能…即：密度、单位粒子能量都是一种四维变量。这些变量是关于x 、y 、z 的函数，我们暂设为h(x,y,z)。即 (x ,y,z)dxdydz Ω .以高等数学（第六版下册同济大学数学系编）P159 页例1（计算三重积分 xdxdydz Ω ，其中Ω为三个坐标面及平面x+2y+z=1 所围成的闭区域）为例，闭区域Ω如图所示， xdxdydz Ω 中的h(x,y,z)=x 是x 的一元一次函数，与y,z 无关，我们采用微分思想，把三棱锥C-OAB 分成若干份，则阴影部分的体积为dV=yzdx .阴影部分的三重积分为xyzdz （x 为被积函数h(x,y,z)=x ）.则所求重积分为 xyzdx x 2x 1,但是y,z 必须用x 的函数关系式表示，即 z=-x+1，y= 1?x 2,三重积分 xyzdx 10= [x ? 1?x 2 ? ?x +1 ]dx 10=14 x ?2x 2+x 3 dx 10=148，所以，同样，只是三重积分的高度抽象化的表达式，反映不出三重积分的几何意义。附同济六版解法：作闭区域Ω如图所示. 将Ω投影到xOy 面上，得投影区域D xy 为三角形闭区域 OAB .直线OA 、OB 、及AB 的方程依次为y=0、x=0及x+2y=1，所以 D xy = (x ,y) 0≤y ≤1?x 2,0≤x ≤1 . 在D xy 内任取一点 x ,y ，过此点作平行于z 轴的直线，

(初稿)三重积分计算方法小结

江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文三重积分的计算方法小结Methods of Calculation of Triple Integral 姓名：蒋晓颖学号： 1007012048 学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：蒋新荣（副教授）完成时间：2014年1月23日

三重积分的计算方法小结蒋晓颖【摘要】三重积分的计算是数学分析中的难点，本文结合教材以及相关资料较全面地给出了三重积分计算中的四种处理方法。第一，利用降低三重积分重数的思想，将其化为累次积分；第二，采用坐标变换的方法，将积分体表示成适当的形式；第三，充分运用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，简化计算；第四，利用高斯公式将三重积分的计算转化成曲面积分计算。希望这几种方法能对学习者具有一定的指导意义。【关键词】三重积分累次积分坐标变换对称性高斯公式

Methods of Calculation of Triple Integral Jiang Xiaoying 【Abstract】The calculation of triple integral is the difficulty in Mathematics analysis．In this paper，unifying the teaching and related materials ，we give four instructive methods of the calculation of triple integral for learner．The four methods are as follows：the first，lower the multiplicity of triple integral and replace it with iterated integral；the second，with the method of coordinate alternate，we can transform the integral volume into appropriate form；the third，fully use the parity of integrand and symmetry of integral area to simplify calculation；finally，we can calculate the triple integral with the Gauss formula that could transform triple integral into a surface integral．【Key words】triple integral iterated integral coordinate alternate symmetry Gauss formula

三重积分概念及其计算

§5 三重积分教学目的掌握三重积分的定义和性质．教学内容三重积分的定义和性质；三重积分的积分换元法；柱面坐标变换；球面坐标变换．基本要求掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分，及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法．教学建议 (1) 要求学生必须掌握三重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可积．由于三重积分的定义与性质及充要条件与二重积分类似，可作扼要叙述与比较． (2) 对较好学生可布置这节的广义极坐标的习题．一、三重积分的概念背景：求某非均匀密度的曲顶柱体的质量时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤，利用求柱体的质量方法来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义．定义1 设()z y x f ,,是定义在三维空间可求体积的有界闭区域V 上的函数，J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于V 的任何分割T ，当它的细度δ

则()z y x f ,,必在V 上可积. 二、化三重积分为累次积分定理21.15 若函数()z y x f ,,在长方体V =[][][]f e d c b a ,,,??上的三重积分存在，且对任何x ∈[]b a ,，二重积分 ()x I =()dydz z y x f D ??,, 存在，其中D =[][]f e d c ,,?，则积分 ?b a dx ()??D d z y x f σ ,, 也存在，且 ()???V dxdydz z y x f ,,=?b a dx ()??D d z y x f σ ,,. (1) 为了方便有时也可采用其他的计算顺序．若简单区域V 由集合 ()()()()(){} b x a x y y x y y x z z y x z z y x V ≤≤≤≤≤≤=,,,,,,2121 所确定，V 在xy 平面上的投影区域为 D =()()(){ }b x a x y y x y y x ≤≤≤≤,,21 是一个x 型区域，设()z y x f ,,在上连续， ()y x z ,1，()y x z ,2在D 上连续，()x y 1，()x y 2上[]b a ,连续，则 ()???V dxdydz z y x f ,,= ()()???D z y x z dz z y x f dxdy 21,,,=()()()() ???b a x y x y z y x z dz z y x f dy dx 212 1,,,，其他简单区域类似．一般区域V 上的三重积分，常将区域分解为有限个简单区域上的积分的和来计算．例1 计算 ???+V dxdydz y x 221 ，其中V 为由

高等数学三重积分计算方法总结

高等数学三重积分计算方法总结 1、利用直角坐标计算三重积分：（1）投影法（先一后二）： 1）外层(二重积分)：区域Ω在xoy 面上的投影区域Dxy 2）内层(定积分)：从区域Ω的底面上的z 值，到区域Ω的顶面上的z 值。（2）截面法（先二后一）： 1)外层(定积分): 区域Ω在z 轴上的投影区间。 2)内层(二重积分):Ω垂直于z 轴的截面区域。 2、利用柱坐标计算三重积分 3、利用球面坐标计算三重积分定限方法: (1)转面定θ(2)转线定φ (3)线段定r 4、利用对称性化简三重积分计算设积分区域Ω关于xoy 平面对称， (1)若被积函数 f (x,y,z ) 是关于z 的奇函数，则三重积分为零。 (2)若被积函数 f (x,y,z ) 是关于z 的偶函数，则三重积分等于：在xoy 平面上方的半个Ω，区域上的三重积分的两倍. 使用对称性时应注意： 1）积分区域关于坐标面的对称性；２）被积函数关于变量的奇偶性。 (cos ,sin ,)f z d d dz ρθρθρρθΩ???(,,)f x y z dv Ω=??? (,,)f x y z dxdydz Ω??? (sin cos ,sin sin ,cos )f r r r φθφθφΩ=???2 sin r drd d φφθ

例计算，其中Ω是由曲面z = x 2 + y 2和x 2 + y 2 + z 2 =2所围成的空间闭区域. 解：是关于x 的奇函数，且Ω关于 yoz 面对称故其积分为零。 2x 2 y 是关于y 的奇函数,且关于 zox 面对称 ???Ω++dxdydz z y x x 2)(2 )(z y x x ++ 22222222)(zx xyz y x z y x x +++++=xyz z y x x 2)(222+++ ,022???Ω=∴ydv x ???Ω++=∴dxdydz z y x x I 2)(,22???Ω=zdxdydz x ???Ωθρρ??θρ=dz d d z 22cos 2????θρρθ=zdz d d 23cos 2 ??πρρ-ρ-θρθ=20104 223)2(cos d d 245π=222ρ-ρπ20

二重积分计算方法

这里讨论的计算方法指的是利用现有的MATLAB函数来求解，而不是根据具体的数值计算方法来编写相应程序。目前最新版的2009a有关于一般区域二重积分的计算函数quad2d（详细介绍见https://www.wendangku.net/doc/eb6942222.html,/viewthread.php?tid=873479），但没有一般区域三重积分的计算函数，而NIT工具箱似乎也没有一般区域三重积分的计算函数。本贴的目的是介绍一种在7.X版本MATLAB（不一定是2009a）里求解一般区域二重三重积分的思路方法。需要说明的是，上述链接里已经讨论了一种求解一般区域二重三重积分的思路方法，就是将被积函数“延拓”到矩形或者长方体区域，但是这种方法不可避免引入很多乘0运算浪费时间。因此，新的思路将避免这些。由于是调用已有的MATLAB函数求解，在求一般区域二重积分时，效率和2009a的quad2d相比有一些差距，但是相对于"延拓"函数的做法，效率大大提高了。下面结合一些简单例子说明下计算方法。譬如二元函数f(x,y) = x*y，y从sin(x)积分到cos(x)，x从1积分到2，这个积分可以很容易用符号积分算出结果 1.syms x y 2.int(int(x*y,y,sin(x),cos(x)),1,2) ] 3.结果是 -1/2*cos(1)*sin(1)-1/4*cos(1)^2+cos(2)*sin(2)+1/4*cos(2)^2 = -0.635412702399943 复制代码如果你用的是2009a，你可以用 1.quad2d(@(x,y) x.*y,1,2,@(x)sin(x),@(x)cos(x),'AbsTol',1e-12) 复制代码得到上述结果。如果用的不是2009a，那么你可以利用NIT工具箱里的quad2dggen函数。那么我们如果既没有NIT工具箱用的也不是2009a，怎么办呢？答案是我们可以利用两次quadl函数，注意到quadl函数要求积分表达式必须写成向量化形式，所以我们构造的函数必须能接受向量输入。见如下代码 1.function IntDemo 2.function f1 = myfun1(x) 3.f1 = zeros(size(x)); 4.for k = 1:length(x) 5.f1(k) = quadl(@(y) x(k)*y,sin(x(k)),cos(x(k))); 6.end 7.end 8.y = quadl(@myfun1,1,2) 9.end

三重积分

§5.三重积分数学分析中常用的曲面和它对应的方程（温馨提示：请大家务必记住常用结论！） 1.球面:()02222>=++a a z y x 表示以原点为球心，半径为a 的球面。 2.柱面：平行于定直线L 并沿定曲线C 移动的动直线所形成的曲面叫做柱面。定曲线C 叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线。一般地，方程0),(=y x f 表示以曲线? ??==00 ),(:z y x f C 为准线，母线平行于z 轴的柱面。类似可以写出方程0),(0),(==x z f z y f 和表示的曲面。注：当准线是直线时，柱面退化为平面。几种常用的柱面（柱面名称与准线名称相对应）（1）122 22=+b y a x 表示母线平行于z 轴的椭圆柱面。特别地，当b a =时，它表示母线平行于z 轴的圆柱面。这里的定直线L 就是z 轴。

（2）()022>=p px y 表示母线平行于z 轴的抛物柱面。（3）1-22 22=+b z a x 表示母线平行y 轴的双曲柱面。

3.旋转曲面：平面曲线C 绕该平面上一条定直线L 旋转而形成的曲面，叫做旋转曲面。其中平面曲线C 叫做旋转曲面的母线，定直线L 叫做旋转曲面的轴。例如平面曲线,0 ),(:?? ?==x z y f C 绕z 轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程为 0),(22=+±z y x f 。记忆口诀：绕谁谁不变，用另外两个变量的平方和的正负算术平方根代替方程中另外一个变量。如果取旋转曲面的母线为坐标面曲线，旋转轴为坐标轴，则可以得到以下几种常用的旋转曲面。（旋转曲面的名称与母线名称对应）（1）旋转椭球面椭圆?? ???==+, 0, 122 22z b y a x 绕y 轴旋转而成的曲面方程为1222 22=++b y a z x ，绕x 轴的旋转曲面方程请大家自行给出。

多元函数积分的计算方法技巧

第10章多元函数积分的计算方法与技巧一、二重积分的计算法 1、利用直角坐标计算二重积分假定积分区域D 可用不等式 a x b x y x ≤≤≤≤??12()()表示, 其中?1()x , ?2()x 在[,]a b 上连续这个先对 y , 后对x 的二次积分也常记作 f x y d dx f x y dy D a b x x (,)(,)() ()σ??????=12 如果积分区域D 可以用下述不等式 c y d y x y ≤≤≤≤,()()φφ12 表示,且函数φ1()y ,φ2()y 在[,]c d 上连续, f x y (,)在D 上连续,则 f x y d f x y dx dy dy f x y dx D y y c d c d y y (,)(,)(,)()()()()σφφφφ??????=????? ? ??=1212 (2)

显然,(2)式是先对x ,后对 y 的二次积分. 几何法.画出积分区域D 的图形(假设的图形如下 ) 在],[b a 上任取一点x ,过x 作平行于y 轴的直线,该直线穿过区域D ,与区域D 的边界有两个交点))(,(1x x ?与))(,(2x x ?,这里的)(1x ?、)(2x ?就是将x ,看作常数而对 y 积分时的下限和上限；又因x 是在区间[,] a b ,所以再将x 看作变量而对x 积分时,积分的下限为a 、上限为b . 例1计算xyd D ?? σ, 其中D 是由抛物线 y x 2=及直线y x =-2所围成的区域.

D y y x y :,-≤≤≤≤+1222 xyd dy xydx x y dy D y y y y σ?????==???? ??-+-+12 2 212 2 2 212 [] =+-=-?12245 8 2512y y y dy () 2.利用极坐标计算二重积分 1、rdrd θ就是极坐标中的面积元素. x r →cos θ y r →sin θdxdy rdrd →θ f x y dxdy D (,)??f r r rdrd D (cos ,sin )θθθ?? 2、极坐标系中的二重积分, 可以化归为二次积分来计算. αθβ?θ?θ≤≤≤≤12()()r 其中函数?θ1(), ?θ2()在[,]αβ上连续. f r r rdrd d f r r rdr D (cos ,sin )(cos ,sin )() ()θθθθθθα β ?θ?θ????=12 注:本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.

三重积分的计算方法

三重积分的计算方法三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：如果先做定积分?21 z z dz )z ,y ,x (f ，再做二重积分 ??σD d )y ,x (F ，就是“投影法” ，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二” 这一步。σ=???Ω???d ]dz )z ,y ,x (f [dv )z ,y ,x (f D z z 21 如果先做二重积分??σz D d )z ,y ,x (f 再做定积分?21c c dz )z (F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即]c ,c [z 21∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??σz D d )z ,y ,x (f ，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?21 c c dz )z (F ，完成“后一”这一步。 dz ]d )z ,y ,x (f [dv )z ,y ,x (f 2 1z c c D σ=???Ω???。当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)z (σ容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)x y (f ),y x (f 22+时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)z y x (f 222++时，可选择球

三重积分的计算方法与例题

三重积分得计算方法：三重积分得计算就是化为三次积分进行得。其实质就是计算一个定积分（一重积分)与一个二重积分。从顺序瞧: 如果先做定积分,再做二重积分,就就是“投影法”,也即“先一后二”。步骤为:找及在ｘｏy面投影域D。多D上一点(x,y)“穿线”确定ｚ得积分限,完成了“先一”这一步(定积分);进而按二重积分得计算步骤计算投影域D上得二重积分,完成“后二”这一步。如果先做二重积分再做定积分,就就是“截面法”,也即“先二后一”。步骤为:确定位于平面之间,即,过z作平行于xｏy面得平面截,截面。区域得边界曲面都就是ｚ得函数。计算区域上得二重积分，完成了“先二”这一步(二重积分）;进而计算定积分,完成“后一”这一步。当被积函数ｆ（z)仅为z得函数(与x,y无关),且得面积容易求出时,“截面法”尤为方便。为了简化积分得计算,还有如何选择适当得坐标系计算得问题。可以按以下几点考虑:将积分区域投影到xｏy面,得投影区域D(平面) （1）D就是X型或Y型,可选择直角坐标系计算(当得边界曲面中有较多得平面时,常用直角坐标系计算) （2）Ｄ就是圆域(或其部分)，且被积函数形如时,可选择柱面坐标系计算(当为圆柱体或圆锥体时,常用柱面坐标计算） (3)就是球体或球顶锥体,且被积函数形如时,可选择球面坐标系计算

以上就是一般常见得三重积分得计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出得情形不赘述。三重积分得计算方法小结: １、对三重积分,采用“投影法”还就是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z ）得情况选取。一般地，投影法(先一后二)：较直观易掌握; 截面法(先二后一): 就是在z 处得截面,其边界曲线方程易写错,故较难一些。特殊地，对积分时,f(ｘ,y ，z)与x,y 无关，可直接计算。因而中只要, 且 f(x,y,z)仅含z 时,选取“截面法”更佳。 2、对坐标系得选取,当为柱体，锥体,或由柱面,锥面,旋转抛物面与其它曲面所围成得形体；被积函数为仅含z 或时,可考虑用柱面坐标计算。三重积分得计算方法例题: 补例1：计算三重积分,其中为平面与三个坐标面围成得闭区域。解1“投影法” 1、画出及在ｘoy 面投影域D 、 2、 “穿线” X 型 D: ∴：３、计算 ???? ?? ???-----Ω +---=--===1 0103221 10 10 1 10 2]3 1)1()1[(21)1(21dx y y x y x dy y x dx zdz dy dx zdxdydz I x x y x x 解2“截面法”1、画出。2、过点z 作垂直于z 轴得平面截得。就是两直角边为ｘ,y 得直角三角形， 3、计算??????????====Ω 1 1 1 0][][z z z D D D dz zS dz dxdy z dz zdxdy zdxdydz I ???=+-=--==1 0321010241 )2(21)1)(1(21)21(dz z z z dz z z z dz xy z 补例2:计算,其中就是与ｚ=1围成得闭区域。解1“投影法” 1、画出及在xo ｙ面投影域Ｄ、由消去z, 得即Ｄ: 2、 “穿线”， X 型 D: ∴ 3、计算