中考数学二次函数与四边形综合专题汇总

二次函数与四边形综合专题

二次函数与四边形的形状

例1.如图，抛物线y —2x-3与x 轴交A 、B 两点(A 点在B 点左侧)，直线I 与抛物线交于 A C 两 点，其中C 点的横坐标为2.

(1) 求A 、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；

(2) P 是线段AC 上的一个动点，过 P 点作y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段PE 长度的最大值； (3)

点G 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F ,使A 、C 、F 、

G 这样的四个点为顶点的四边形是 平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由.

得y=-3 ,? C (2, -3)???直线AC 的函数解析式是 y=-x-1

(2) 设P 点的横坐标为x (-1 < x w 2)贝U P 、E 的坐标分别为：

2

P (x , -x-1 ) , E ( (x, x -2x-3)

p

点在 E 点的上方，PE=(_x _1)_(x 2 -2x -3^ -x 2 x 2

1 9

???当x 时，PE 的最大值=-

2 4

(3) 存在 4 个这样的点 F ,分别是冃(10), F 2(—3,0),F 3(4+77,0),F 4(4—T7,0)

练习1.如图，对称轴为直线 x

的抛物线经过点 A (6, 0)和B (0, 4).

2

(1) 求抛物线解析式及顶点坐标；

(2) 设点E ( x , y )是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以OA 为对角线的平行四 边形?求平行四边形 OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；

解: (1)令 y=0,解得 x ,二―1 或 x 2 =3 ??? A (-1 , 0) B( 3, 0);将 C 点的横坐标

2

x=2 代入

y = x - 2x - 3

①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？

②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

图10

7 7 2

练习1.解: (1)由抛物线的对称轴是 二，可设解析式为y =a(x u)+k ?把A 、B 两点坐标代入上

因为抛物线与 x 轴的两个交点是(1, 0)的(6, 0)，所以，自变量 x 的取值范围是1 v x v 6. ① 根据题意，当S = 24时，即/(x —?)2 +25 =24 ?化简，得(x_?)2=丄 解之，得X t=3,X 2=4.故所

2

2

4'

求的点E 有两个，分别为 E 1 (3,— 4), E 2 (4,— 4). 点E 1 (3, — 4)满足OE = AE ，所以YOEAF 是菱形； 点E 2 (4,— 4)不满足OE = AE ,所以YOEAF 不是菱形. ②

当OA 丄EF ,且OA = EF 时，\OEAF 是正方形，此时点 E 的坐标只能是(3,— 3).而坐标为

(3,— 3)的点不在抛物线上，故不存在这样的点

E ，使YOEA

F 为正方形.

练习2.如图，已知与x 轴交于点A(1,0)和B(5,0)的抛物线l 1的顶点为C(3,4)，抛物线12与l 1关于x 轴对 称，顶点为C '.

(1) 求抛物线|2的函数关系式；

(2) 已知原点O ,定点D(0,4) , l 2上的点P 与l 1上的点P 始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时， 以点D , O , P ,

P ?为顶点的四边形是平行四边形？

(3) 在l 2上是否存在点 M ，使△ ABM 是以AB 为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点 M

式，得

a(6 _7)2 - k =0,

2 a(0 厶2 +k =4.

2

解之，得a w ,k -罟

故抛物线解析式为

y =-(x 3

2_

竺，顶点为(7 _25)

6 2' 6

(2)v 点E(x,y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合

y =2(x _7r

,「? y<0,即—y>°, — y 表示点 E 到 OA 的距离.

3

2

6

?/ OA 是YOEAF 的对角线，

1

…S 二 2S*OAE 二2 '：2 '：OA y 二—6y

5 4 3 2 1

A

B

2

-O

C

3

4

的坐标；若不存在，说明理由. 5 4 3 2 1

B

3

4

x

C

T_O -2 -3

A 2

l 2

练习3■如图，已知抛物线C i与坐标轴的交点依次是A(—4,0) , B(—2,0) , E(0,8).

(1)求抛物线C i关于原点对称的抛物线C2的解析式;

(2)设抛物线G的顶点为M ,抛物线C2与x轴分别交于C，D两点(点C在点D的左侧)，顶点为N ,

四边形MDNA的面积为S ?若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；

与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止?求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；

(3)当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；

(4)在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.

二?二次函数与四边形的面积

例1.如图10,已知抛物线P: y=ax2+bx+c(a丰0)与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C,矩形DEFG勺一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：

x-3-212

y5

2-4

5

2

(1)求A、B、C三点的坐标；

⑵若点D的坐标为(m, 0)，矩形DEFG的面积为S,求S与m的函数关系，并指出m 的取值范围；

⑶当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M使FM=k?DF, 若点M 不在抛物线P上，求k的取值范围.

练习1.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH点H的坐标为(—8, 0),点N的坐标为(—6,—4).

(1)画出直角梯形OMN H点0旋转180°的图形OABC并写出顶点A, B, C的坐标(点M的对应点为A, 点N的对应点为B,点H的对应点为C);

(2)求出过A, B, C三点的抛物线的表达式；

(3)截取CE=OF=AGm 且E, F, G分别在线段CQ OA AB上，求四边形

BEFG 的面积S与m之间的函数关

系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

练习2?如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心Q处有一钉子?动点P , Q同时从点A出发，点

P沿A_ B- C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿A「D方向以每秒1cm

的速度运动，到点D停止.P , Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的

面积为ycm2?

(1)当0 < x < 1时，求y与x之间的函数关系式；

(2)当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；

(3)当K x < 2时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时Z

POQ的变化范围；

(4)当0 < x < 2时，请在给出的直角

坐标系中画出y与x之间的函数图象.

B------------- C

图10

练习3.如图，已知抛物线l i ： y=x 2-4的图象与x 轴相交于A 、C 两点，B 是抛物线l i 上的动点(B 不与A 、 C 重合)，抛物线12与l i 关于x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形 ABCD 的第四个顶点为 D. (1)求12的解析式； ⑵求证：点D 一定在12上;

⑶口 ABCD 能否为矩形？如果能为矩形, 有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积 由.注：计算结果不取近似值

三?二次函数与四边形的动态探究

例1.如图1,在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片 OABC ，已知0(0, 0), A(4, 0), C(0, 3)，点P 是

OA 边上的动点(与点0、A 不重合).现将△ PAB 沿PB 翻折，得到△ PDB ;再在OC 边上选取适当的点 E , 将厶

POE 沿PE 翻折，得到△ PFE ，并使直线PD 、PF 重合.

(1) 设P(x , 0), E(0, y),求y 关于x 的函数关系式，并求 y 的最大值；

(2) 如图2,若翻折后点 D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式； ⑶在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点 0,使厶PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说

明理由；若存在，求出点 Q 的坐标.

例2.已知抛物线y = ax2+ bx + c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ,其中点B 在x 轴的正半轴上

,

求这些矩形公共部分的面积(若只 );如果不能为矩形，请说明理

图1

图2

点C 在y 轴的正半轴上，线段 OB 、OC 的长(OB

(1) 求A 、B 、C 三点的坐标； (2) 求此抛物线的表达式；

(3) 连接AC 、BC ,若点E 是线段AB 上的一个动点(与点 A 、点B 不重合)，过点 E 作EF // AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为□,△ CEF 的面积为S ,求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围； (4)

在(3)的基础上试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出

S 的最大值，并求出此时点 E 的坐标， 判

断此时厶BCE 的形状；若不存在，请说明理由.

y

-

8 6 4

例3.如图，矩形ABCD 中，AB = 3, BC = 4,将矩形ABCD 沿对角线A 平移，平移后的矩形为 EFGH (A 、 E 、C 、G 始终在同一条直线上)，当点 E 与C 重时停止移动.平移中 EF 与BC 交于点N , GH 与BC 的

延长线交于点 M , EH 与DC 交于点P , FG 与DC 的延长线交于点 Q .设S 表示矩形PCMH 的面积，S 表 示矩形

NFQC 的面积. (1)

S 与

S ?相等吗？请说明理由.

(2) 设AE = x ,写出S 和x 之间的函数关系式，并求出 x 取何值时S 有最大值，最大值是多少？ (3) 如图11,连结BE ,当AE 为何值时，「ABE 是等腰三角形.

练习1.如图12,四边形OABC 为直角梯形，A ( 4, 0), B (3, 4), C (0, 4).点M 从O

出发以每

图10

M

图11