文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 第六节 朱世杰及元代数学

第六节 朱世杰及元代数学

第六节朱世杰及元代数学

一、元初数学成就

1.王恂的数学工作

王恂(1235—1281),元代数学家.字敬甫,唐县(今属河北)人.他“六岁就学,十三岁学九数,辄造其极”.后从刘秉忠学,官至太史令.至元十七年(1280)与天文学家郭守敬(1231—1316)等共同编成《授时历》,其中的数学工作主要是王恂作的.

唐代张遂制订历法时,假定太阳作匀加速运动,所以使用二次内插法.但实际上,太阳运行的加速度是不断变化的.在《授时历》中,王恂把太阳、月亮及五星的视行度当作时间的三次函数,采用三次内插法来求函数值,收到更好效果.但确定天体位置需要使用赤道坐标和黄道坐标,王恂之前是直接通过天文观测来确定这两种坐标的.王恂首先注意到两种坐标的数学关系,提出如下问题:已知太阳的“黄道积度”,求“赤道积度”和“赤道内外度”.如图8.16,设A为春分点,D为夏至点,

第六节 朱世杰及元代数学

其中d为直径,BN⊥OC,CP⊥OE.只要测得黄道坐标,便可利用上述公式及其他有关知识推出相应的赤道坐标,从而使人们经过较少的实测,得到较多的结果.

第六节 朱世杰及元代数学

2.赵友钦的割圆术

赵友钦,元代天文学家、数学家.字子公,号缘督先生,鄱阳(今江西鄱阳)人,生卒年不详.所著《革象新书》是一部天文数学著作.

第六节 朱世杰及元代数学

作圆内接正方形,然后不断倍增边数,依次求得各内接正多边形边长(图8.17).“置第十二次之小弦以第十二次之曲数一万六千三百八十四乘之,得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇,即是千寸径之周围也.”

第六节 朱世杰及元代数学

周率近似值中最准确的一个.赵友钦说:“自一、二次求之以至一十二次,可谓极其精密.若节节求之,虽至千万次,其数终不穷.”可见他不仅认识到圆内接正多边形的极限位置是圆,而且认识到极限是一个不可穷尽的过程,这种思想与现代极限观念相当接近.赵友钦还进一步揭示了方、圆关系,说:“要之方为数之始,圆为数之终.圆始于方,方终于圆.”这种“曲直互通”的思想是很深刻的,他已认识到方可转化为圆,而转化的条件便是取极限.

第六节 朱世杰及元代数学

二、朱世杰生平

朱世杰,元代数学家.字汉卿,号松庭,燕山(今北京附近)人,生卒年不详.

元统一中国后,朱世杰曾以数学家的身份周游各地二十余年,向他求学的人很多,他到广陵(今扬州)时“踵门而学者云集”.朱世杰全面继承前人的数学成果,他吸收了高次方程的数值解法,又吸收了北方的天元术及南方的各种日用算法、数学口诀等,在此基础上进行了创造性研究,写成以总结和普及当时各方面数学知识为宗旨的《算学启蒙》(三卷)和四元术的代表作《四元玉鉴》(三卷),先后于1299年和1303年刊印.

朱世杰是元代最杰出的数学家,清罗士琳(1774—1853)说他“兼包众有,充类尽量,神而明之尤超越乎秦(九韶)李(冶)之上.”《四元玉鉴》的成书则标志着宋元数学达到最高峰.美国科学史家萨顿(G.Sarton)称赞该书“是中国数学著作中最重要的一部,也是中世纪的杰出数学著作之一.”

三、《算学启蒙》

《算学启蒙》的内容由浅入深,次第谨严,从一位数乘法开始,一直讲到当时的最新数学成果——天元术,形成一个完整体系,内容包括多位数乘法、分数四则运算、面积和体积计算、比例问题、垛积术、盈不足术、线性方程组、

高次方程解法等.尤其引人注目的是,卷首“总括”中给出一整套数学概念及运算法则,作为全书的理论基础.其中包括正负数乘法法则及倒数概念.朱世杰明确指出:“同名(号)相乘为正,异名相乘为负.”又指出:“平除长为小长,长除平为小平.……小长平相乘得一步为小积.”这便给出倒数的基本性质

第六节 朱世杰及元代数学

在《算学启蒙》中,朱世杰借助辅助未知数解线性方程组,这在数学史上还是首次.例如卷下“方程正负门”第五题,依术列方程组如下(改用现代符号):

第六节 朱世杰及元代数学

这种方法对于简化运算程序是很有意义的,系数越复杂,设辅助未知数的方法就越有用.另外,书中把天元术广泛用于各种面积和体积问题,导出许多高次方程,这说明天元术在李冶的基础上有了进一步的发展.朱世杰还致力于算法研究,给出一些新的公式,如“开方释锁门”给出根式运算法则

第六节 朱世杰及元代数学

其中n,a,b为自然数,n≥2.

《算学启蒙》为《四元玉鉴》提供了必要的预备知识,正如罗士琳所说,该书“似浅实深”,与《四元玉鉴》“相为表里”.

四、《四元玉鉴》

《四元玉鉴》的主要成就是四元术,即四元高次方程组的建立和求解方法.在他之前,已有李德载《两仪群英集臻》讨论二元术,刘大鉴《乾坤括囊》讨论三元术.在此基础上,朱世杰“演数有年,探三才之赜,索九章之隐,按天、地、人、物立成四元”(《四元玉鉴》后序),创立了举世闻名的四元术.

第六节 朱世杰及元代数学

朱世杰的天、地、人、物,相当于现在的x,y,z,u,其摆法如图8 .18,例如方程-x

2+3xy-2xz+x-y-z=0

(卷下“三才变通”第1题)

2u 4

-u

3

-u

2+3u-8z2+2xz+2xy+6yz=0

(卷下“四象朝元”第6题)

分别摆成图8.19和图8.20的形状.

《四元玉鉴》共24门288问,所有问题都与方程或方程组有关.题目顺序大体是先方程后方程组,先线性方程组后高次方程组.朱世杰创造了一套完整的消未知数方法,称为四元消法.这种方法在世界上长期处于领先地位,直到18世纪,法国数学家贝祖(E.Bezoub,1730—1783)提出一般的高次方程组解法,才超过朱世杰.但朱世杰的消法要点仅见于书首“假令四草”,其他各题均无草.书首还列有“今古开方会要之图”、“四元自乘演段之图”、“五和自乘演段之图”和“五较自乘演段之图”,这些图的作用也是统御全书.朱世杰说:“凡习四元者,以明理为务.必达乘除、升降、进退之理,乃尽性穷神之学也.”卷首各图便是为“明理”而作,他说:“夫算中玄妙,无过演段.如积幽微,莫越认图.其法奥妙,学者鲜能造其微.前明五和,次辨五较,自知优劣也.”

第六节 朱世杰及元代数学

第六节 朱世杰及元代数学

《四元玉鉴》表明,朱世杰在方程领域取得重要成就.以前的方程都是有理方程,朱世杰则突破有理式的限制,开始讨论无理方程.他不

第六节 朱世杰及元代数学

化为有理方程(见“左右逢源”第21题,“拨换截田”第18题,“四象朝元”第1题).四元消法是朱世杰方程理论的核心.他通过方程组中不同方程的配合,依次消掉未知数,化四元式为一元式,即一元高次方程.三元式和四元式的消法称为“剔而消之”,即把全式剔分为二,进行相消.二元式的消法称为“互隐通分相消”.下面以二元三行式

第六节 朱世杰及元代数学

为例说明其消法.其中各系数是关于另一个未知数的多项式(可以是常数).欲消x2项,先以B2乘(1)式中x2项以外各项,再以A2乘(2)式中x2项以外各项,相减,得

C1x+C0=0. (3)

以x乘(3),得

C1x2+C0x=0. (4)

将(4)与(1)或(2)联立,用同样方法消去x2项,得

D1x+D0=0. (5)

(3)与(5)联立,便为二元二行式.朱世杰称C1,D0为外二行,C0,D1为内二行.内二行乘积与外二行乘积相减,得

C1D0-C0D1=0.

这便消去x,得到只含另一个未知数的一元方程了.

《四元玉鉴》含二元问题36个,三元问题13个,四元问题7个.虽然用到四元术的题目不多,但它们却代表了全书,也代表了当时世界范围内方程组理论的最高水平.“四象朝元”第6题所导出的十四次方程是中国古算史上次数最高的方程.

高阶等差级数理论是书中另一成就.沈括的隙积术开了研究高阶等差级数的先河,杨辉给出包括隙积术在内的一系列二阶等差级数求和公式.朱世杰在这一领域作了总结性工作.在中卷“茭草形段”和下卷“果垛叠藏”中,他依次研究了一阶至五阶等差级数求和问题,不仅给出相应的公式,而且发现其规律,掌握了如下的三角垛统一公式

第六节 朱世杰及元代数学

从而奠定了垛积术的理论基础.实际上,等差级数是几阶的,便可把上式中的p换为几.朱世杰给出了p=1,2,…,5的特例.他还发现垛积术与内插法的内在联系,在“如象招数”第5题中利用垛积术导出四次内插公式(四次差为一非零常数,五次差为零):

第六节 朱世杰及元代数学

其中Δ1,Δ2,Δ3,Δ4分别为一次差、二次差、三次差、四次差.由于朱世杰正确指出了公式中各项系数恰好是一系列三角垛的积,他显然能够解决更高次的内插问题,从而把中国古代的内插法推向一个新水平.

第六节 朱世杰及元代数学

第六节 朱世杰及元代数学

在几何方面,朱世杰也有一定的贡献.自《九章算术》以来,中国就有了平面几何与立体几何,但一直到北宋,几何研究离不开勾股和面积、体积.李冶开始注意到圆城图式中各元素的关系,得到一些定理,但未能推广到更一般的情形.朱世杰在李冶思想的基础上,深入研究了勾股形内及圆内各几何元素的数量关系,发现了平面几何中的射影定理和特殊情形的弦幂定理.例如卷上“混积问元”第七题,如图8.21,朱世杰得到公式

第六节 朱世杰及元代数学

易证等号左面等于h2,所以此式与射影定理h2=ef等价.再如卷中“拨换截田”第十四题,如图8.22,AB⊥CD于E,朱世杰给出公式

4CE×ED=AB2

此式显然是弦幂定理

CE×ED=AE×EB

在两弦垂直且有一弦为直径时的特殊情形.

五、宋元数学的外传及衰落

《算学启蒙》出版后不久即传到朝鲜和日本.在朝鲜李朝时期(14—16世纪),《算学启蒙》及《杨辉算法》都被作为朝廷选拔算官的基本书籍.两书的朝鲜庆州府刻本(15世纪)一直保存至今.由于《算学启蒙》在明代失传,清罗士琳幸得朝鲜金始振翻刻本(1660),于1839年在扬州重新出版,成为中国现存各版本的母本.《算学启蒙》对日本的影响也很大,不少日本学者在研究此书的基础上写出专著,比较著名的有星野实宣《新编算学启蒙注解》三卷(1672)、建部贤弘《算学启蒙谚解大全》七卷(1690)等.

宋元数学还曾传到阿拉伯.13世纪旭烈兀①西征时,带走了一批中国天文学家和数学家.他征服波斯后支持纳西尔丁(Na-sirad-Din,1201—1274)在马拉盖(Maraghen,今伊朗境内)建立了一座规模宏大的天文台,并把带去的中国学者留在天文台和纳西尔丁一起工作,这是中国数学传入阿拉伯国家的一个途径.阿拉伯数学家卡西(al-kāsh ī,?—1429)的《算术之钥》(The Key of Arithmetic,1427)中有不少内容与中国数学相同,如贾宪三角形、增乘开方法,以及和“百鸡问题”极为类似的“百禽问题”等.他受到中国数学影响是可以肯定的,当然不排除其独立取得成果的可能性.

在元代,阿拉伯数码曾传入中国,但并未被中国人接受.欧几里得《几何原本》也传到上都(今内蒙古正蓝旗),可惜没有译成中文,所以影响不大,不久便散失了.朱世杰之后,元代数学便开始走下坡路.明代数学理论水平远不及宋元,天元术、四元术成为绝学.直到明末清初,由于西方数学的传入及中国学者的努力,数学才有所回升.

那么,宋元数学衰落的原因是什么呢?

首先,中国传统数学是依靠算筹的,虽然这是一种很有用的计算工具,但具有不可避免的局限性,因为它只适于计算而不适于证明,只能表示具体的量而不能表示抽象的量.这就限制了人们的抽象思维,限制了数学一般化程度的提高.宋元方程理论可以由天元术发展为四元术,但在筹算体系内却无法建立五元术或n元术,因为四个未知数已把“太”的上下左右占满.这个例子便说明了算筹的局限性.更重要的是,人们无法利用算筹进行逻辑推理,也很难在筹算体系内发展数学符号.但这些消极因素的总和,充其量是使数学停滞不前.而事实上,元末数学不仅没前进,反而后退.造成这种状况的原因就不在数学内部,而在于社会了.

当时的政策是不利于科学发展的,尤其是八股取士制.1314年恢复科举考试后,内容以朱熹集注的《四书》为主,将数学内容完全取消.不久,这种考试发展为“以四书五经命题、八股文取士”的制度,引导知识分子远离自然科学,严重束缚了读书人的思想.知识分子们为了功名,纷纷埋头于《四书五经》,只会在儒家经典中寻章摘句,奢谈三纲五常之类的封建伦理,哪里还顾得上数学及其他有实用价值的科学技术呢?正如元末丁巨所说:“时尚浮辞,动言大纲……士类以科举故,未暇笃实.”八股取士制的危害,在明代愈演愈烈,顾炎武曾痛斥说:“开科取士,则天下之人日愚一日.”元末以后的社会思潮也不利于数学发展,成为官方哲学的理学完全摒弃了自然科学.理学家们大谈天理、人伦,认为科学技术乃雕虫小技,为君子所不齿,甚至讥笑研究数学的人是“玩物丧志”.在这种社会环境中,数学由盛而衰就不奇怪了.