复变函数课后习题答案(全)

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习题一答案

1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：

（1）

1

32i

+（2）(1)(2)i i i --

（3）131i i i

--（4）821

4i i i -+-

132i

-

（（（2（（（2）1-+23

222(cos sin )233

i i e πππ=+=

（3）(sin cos )r i θθ+()2

[cos()sin()]22i

r i re

π

θππ

θθ=-+-=

（4）(cos sin )r i θ

θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=

（5）2

1cos sin 2sin 2sin cos 222

i i θ

θθ

θθ-+=+

..

..

3． 求下列各式的值： （1

）5)i -（2）100100(1)(1)i i ++-

（3

）(1)(cos sin )

(1)(cos sin )

i i i θθθθ-+--（4）

23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+-

（5

（6

解：（1

）5)i -5[2(cos()sin())]66

i ππ

=-+- （2）100

100(1)

(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-

（3

）(1)(cos sin )

(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--

（4）2

3

(cos5sin 5)(cos3sin 3)

i i ????+- （5

=

（6

=

4．

设12 ,z z i =

=-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：1

2cos

sin

, 2[cos()sin()]4

466

z i z i π

π

ππ

=+=-+-，所以

12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212

i i ππππππ

=-+-=+，

5． 解下列方程： （1）5

()

1z i +=（2）440 (0)z a a +=>

解：（1

）z i +=由此

25

k i z i e

i π=-=-，(0,1,2,3,4)k =

（2

）z

==

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11

[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的

4

个根分别为：

), 1), 1), )i i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,z

x iy =+

z x y

≤≤+

证明：首先，显然有z x y =≤+；

（=（证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，()n z ，

1n a z -+

++（4）若

1,a =则,b a ?≠皆有

1a b

a ab

-=-

证明：根据已知条件，有1aa =，因此：

1

1()a b a b a b a ab aa ab a a b a ---====---，证毕。

（5）若1, 1a b <<，则有

11a b

ab

-<-

..

..

证明：

222

()()a b a b a b a b ab ab -=--=+--，

2

2

2

1(1)(1)1ab ab ab a b ab ab -=--=+--，

因为

1, 1a b <<，所以，

2

2

2

2

2

2

1(1)(1)0a b a b a b +--=--<，

因而2

2

1a b ab -<-，即

11a b

ab

-<-，结论得证。 7．设

1,z ≤试写出使n z a +达到最大的z 的表达式，其中n 为正整数，a 为复数。

解：首先，由复数的三角不等式有1n n z a z a a +≤+≤+，

在上面两个不等式都取等号时

n z a +达到最大，为此，需要取n z 与a 同向且1n z =，即n

z 应为a 的单位化向量，由此，n

a z a

=

， 8．试用123,,z z z 来表述使这三个点共线的条件。 解：要使三点共线，那么用向量表示时，2

1z z -与31z z -应平行，因而二者应同向或反向，

即幅角应相差0或π的整数倍，再由复数的除法运算规则知21

31

z z Arg z z --应为0或π的整数

倍，至此得到：

123,,z z z 三个点共线的条件是

21

31

z z z z --为实数。 9．写出过121

2, ()z z z z ≠两点的直线的复参数方程。

解：过两点的直线的实参数方程为：

121121()

()

x x t x x y y t y y =+-??

=+-?， 因而，复参数方程为： 其中t 为实参数。

10．下列参数方程表示什么曲线？（其中t 为实参数） （1）(1)z

i t =+（2）cos sin z a t ib t =+（3）i

z t t

=+

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解：只需化为实参数方程即可。 （1）,x t y

t ==，因而表示直线y x =

（2）cos ,sin x a t y b t ==，因而表示椭圆22

221x y a b

+=

（3）1

,x t y t

==，因而表示双曲线1xy =

11．证明复平面上的圆周方程可表示为0zz az az c +++=， 其中a 为复常数，c 为实常数

z 由

13．函数1w z

=把z 平面上的曲线1x =和22

4x y +=分别映成w 平面中的什么曲线？

解：对于1x =，其方程可表示为1z yi =+，代入映射函数中，得 2

11111iy

w u iv z iy y

-=+===++， 因而映成的像曲线的方程为22

1, 11y

u v y y

-==++，消去参数y ，得

..

..

2

2

2

1,1u v u y +==+即222

11()(),22

u v -+=表示一个圆周。 对于2

24x

y +=，其方程可表示为2cos 2sin z x iy i θθ=+=+

代入映射函数中，得

因而映成的像曲线的方程为11cos , sin 22u v θθ==-，消去参数θ，得22

14

u v +=，表

示一半径为1

2

的圆周。 14．指出下列各题中点z 的轨迹或所表示的点集，并做图：

解：（1）

0 (0)z z r r -=>，说明动点到0z 的距离为一常数，因而表示圆心为0z ，半

径为r 的圆周。 （2）

0,z z r -≥是由到0z 的距离大于或等于r 的点构成的集合，即圆心为0z 半径为r 的圆周及圆周外部的点集。 （3）

138,z z -+-=说明动点到两个固定点1和3的距离之和为一常数，因而表示一个

椭圆。代入,z x iy ==化为实方程得

（4）,z i z i +=-说明动点到i 和i -的距离相等，因而是i 和i -连线的垂直平分线，即x

轴。

（5）arg()4

z i π

-=

，幅角为一常数，因而表示以i 为顶点的与x 轴正向夹角为

4

π

的射线。 15．做出下列不等式所确定的区域的图形，并指出是有界还是无界，单连通还是多连通。 （1）23z <<，以原点为心，内、外圆半径分别为2、3的圆环区域，有界，多连通

（2）arg (02)z α

βαβπ<<<<<，顶点在原点，两条边的倾角分别为,αβ的角形

区域，无界，单连通

（3）

3

12

z z ->-，显然2z ≠，并且原不等式等价于32z z ->-，说明z 到3的距离比到2的距离大，因此原不等式表示2与3连线的垂直平分线即x =2.5左边部分除掉x =2后的点构成的集合，是一无界，多连通区域。 （4）

221z z --+>，

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显然该区域的边界为双曲线

221z z --+=，化为实方程为2

2

44115

x y -=，

再注意到z 到2与z 到-2的距离之差大于1，因而不等式表示的应为上述双曲线左边一支的左侧部分，是一无界单连通区域。 （5）

141z z -<+，代入z x iy =+，化为实不等式，得

所以表示圆心为17(,0)15-

半径为8

15

的圆周外部，是一无界多连通区域。 习题二答案

1

（0），

（（（（2（（（x u 因此，函数在0z =点可导，0

(0)0x x

z f u iv ='=+=，

函数处处不解析。 （2）22, u x v y =

=，

四个一阶偏导数皆连续，因而,u v 处处可微，再由柯西—黎曼方程

, x y y x u v u v ==-解得：x y =， 因此，函数在直线y x =上可导， ()2x x y x f x ix u iv x ='+=+=，

因可导点集为直线，构不成区域，因而函数处处不解析。 （3）32233, 3u x xy v x y y =

-=-，

..

..

四个一阶偏导数皆连续，因而,u v 处处可微，并且,u v 处处满足柯西—黎曼方程

, x y y x u v u v ==-

因此，函数处处可导，处处解析，且导数为

（4）

2211()x iy f z x iy x y

z +=

==-+，2222

, x y

u v x y x y ==++， 2222

222222

, ()()x y y x x y u v x y x y --==++， 222222

22, ()()

y x xy xy

u v x y x y --==++， 因函数的定义域为0z ≠，故此，,u v 处处不满足柯西—黎曼方程，因而函数处处不可导，

处处不解析。

3．当,,l m n 取何值时

3232()()f z my nx y i x lxy =+++在复平面上处处解析？

解：3232

, u my nx y v x lxy =+=+

22222, 2, 3, 3x y y x u nxy v lxy u my nx v x ly ===+=+，

由柯西—黎曼方程得：

由（1）得n l =，由（2）得3, 3n m l =-=-，因而，最终有

4．证明：若()f z 解析，则有222

(

())(())()f z f z f z x y

??'+=?? 证

明

：

由

柯

西

—

黎

曼

方

程

知

，

左

端

2

2

=+

22

2222()()x x x x uu vv uu vv uu vv uv vu u v ++++-=+=+ 2

()f z '==右端，证毕。

5．证明：若()f z u iv =+在区域D 内解析，且满足下列条件之一，则()f z 在D 内一定为

常数。

（1）

()f z 在D 内解析，（2）u 在D 内为常数，

（3）()f z 在D 内为常数，（4）2

v u =（5）231u v += 证明：关键证明,u v 的一阶偏导数皆为0！

（1）()f z u iv =-，因其解析，故此由柯西—黎曼方程得 , x y y x u v u v =-=------------------------（1）

而由()f z 的解析性，又有, x y y x u v u v ==-------------------------（2） 由（1）、（2）知，0x y x y u u v v ===≡，因此12, ,u c v c ≡≡即 12()f z c ic ≡+为常数

（2）设1u c ≡，那么由柯西—黎曼方程得 0, 0x y y x v u v u =-≡=≡，

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说明v 与,x y 无关，因而2v c ≡，从而12()f z c ic ≡+为常数。

（3）由已知，

2

220()f z u v c =+≡为常数，等式两端分别对,x y 求偏导数，得

220

220

x x y y uu vv uu vv +=+=----------------------------（1）

因()f z 解析，所以又有, x y y x u v u v ==--------------------------（2）

求解方程组（1）、（2），得0x y x y u u v v ===≡，说明,u v 皆与,x y 无关，因而为常数，从而()f z 也为常数。

（4）同理，2

v u =两端分别对,x y 求偏导数，得

（x u 6（（

（k （=（4）..1

sin 22

i i i i e e e e i i i ----=

= （5）(2)

2(1)4

4

(1)

i i k i k i

iLn i i e e

e

π

π

ππ

++--++===

24

(cosln sin k e

i π

π-=+，k 为任意整数

（6）22

2

24427(272)273

3

3

33

3

279Ln ln k i k i i e e e

e e

πππ+====，

当k 分别取0，1，2时得到3个值：

..

..

9

，43

99(1)2i e π=-+

，83

99(1)2i e π=-+

7．求2

z e 和2z Arge

解：2

222z x y xyi

e

e

-+=，因此根据指数函数的定义，有

2

z e

22

x y e

-=，2

22z Arge xy k π=+，（k 为任意整数）

8．设i z re θ=，求Re[(1)]Ln z -

解：(1)ln 1[arg(1)2]Ln z z i z k i π-=-+-+，因此

9．解下列方程： （1

）1z

e

=+（2）ln 2

z i π

=

（3）sin cos 0z z +=（4）shz i =

解：（1

）方程两端取对数得：1

(1)ln 2(2)3

z Ln k i π=+=++

（k 为任意整数）

（2）根据对数与指数的关系，应有

（3）由三角函数公式（同实三角函数一样），方程可变形为 因此,4

z k π

π+

=即4

z k π

π=-

，k 为任意整数

（4）由双曲函数的定义得2

z z

e e shz i --==，解得

2()210z z e ie --=，即z e i =，所以

(2)2

z Lni k i π

π==+，k 为任意整数

10．证明罗比塔法则：若()f z 及()g z 在0z 点解析，且000()()0, ()0f z g z g z '==≠，

则000()()lim ()()z z f z f z g z g z →'='，并由此求极限00sin 1

lim ; lim z z z z e z z

→→-

证明：由商的极限运算法则及导数定义知

000000000000

()()()()

lim ()

lim lim ()()()()()lim z z z z z z z z f z f z f z f z z z z z f z g z g z g z g z g z z z z z →→→→----==----00()()

f z

g z '='，

由此，00sin cos lim lim 11

z z z z

z →→==

11．用对数计算公式直接验证：

（1）2

2Lnz Lnz ≠（2

）1

2

Lnz =

解：记i z re θ

=，则

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（1）左端22()2ln (22)i Ln r

e r k i θ

θπ==++，

右端2[ln (2)]2ln (24)r m i r m i θπθπ=++=++， 其中的,k m 为任意整数。

显然，左端所包含的元素比右端的要多（如左端在1k =时的值为 2ln (22)r i θπ++，而右端却取不到这一值），因此两端不相等。

（2）左端22

1]ln (2)22

m i

Ln re

r m k i θπ

θ

ππ+=

=+++

右端11[ln (2)]ln ()222r n i r n i θ

θππ=++=++

其中,k n 为任意整数，而0,1m = n ，k sin sin 2

y y e e

z y --≥≥，左端不等式得到证明。

14．设z R ≤，证明sin , cos z chR z chR ≤≤

证明：由复数的三角不等式，有

sin 22

2

2

iz iz

y

y

iz iz

y y e e e e

e e e e z ch y i

----+-++=

≤

==

=，

由已知，

y z R ≤≤，再主要到0x ≥时chx 单调增加，因此有

sin z ch y chR ≤≤，

..

..

同理，

cos 2

2

2

2

iz iz

y

y

iz iz

y y e e e e

e e e e z ch y chR ----++++=

≤

==

=≤证毕。

15．已知平面流场的复势()f z 为

（1）2

()z i +（2）2z （3）211

z +

试求流动的速度及流线和等势线方程。

解：只需注意，若记()(,)(,)f z x y i x y ?ψ=+，则

流场的流速为()v f z '=，

流线为1(,)x y c ψ≡， 等势线为2(,)x y c ?≡，

因此，有 （1）2

222()[(1)](1)2(1)z i x y i x y x y i +=++=-+++

流速为()2()2()v f z z i z i '=

=+=-，

流线为1(1)x y c +≡，等势线为22

2(1)x y c -+≡

（2）333223

()3(3)z x iy x xy x y y i =+=-+- 流速为22()33()v f z z z '=

==， 流线为2313x y y c -≡，等势线为32

23x xy c -≡

（3）2222

111

1()112z x iy x y xyi

==+++-++ 流速为222222()(1)(1)

z z

v f z z z --'===++， 流线为12

2222

(1)4xy

c x y x y

≡-++， 等势线为22222222

1

(1)4x y c x y x y

-+≡-++ 习题三答案

1．计算积分2

()c

x y ix dz -+?，其中c 为从原点到1i +的直线段

解：积分曲线的方程为, x t y t ==，即

z x iy t ti =+=+，:01t →，代入原积分表达式中，得

2．计算积分

z c e dz ?，其中c 为 （1）从0到1再到1i +的折线（2）从0到1i +的直线

解：（1）从0到1的线段1c 方程为：, :01z x iy x x =+=→， 从1到1i +的线段2c 方程为：1, :01z

x iy iy y =+=+→，

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代入积分表达式中，得

11(sin1cos1)(cos1sin1)11i e ei i i e i e +=-+-+=+-=-； （2）从0到1i +的直线段的方程为z x iy t ti =+=+，:01t →，

代入积分表达式中，得

1

1

()(1)(cos sin )z

t ti

t c

e dz e

t ti dt i e t i t dt +'=+=++???，

对上述积分应用分步积分法，得 3．积分

2()c

x iy dz +?，其中c 为 （1）沿y x =从0到1i +（2）沿2y x =从0到1i +

45c 6=因1n >，因此上式两端令R →+∞取极限，由夹比定理，得

()

lim 0R

n R c f z dz z →+∞=?，证毕。 7．通过分析被积函数的奇点分布情况说明下列积分为0的原因，其中积分曲线c 皆为

1z =。

（1）

2(2)c dz z +?（2）224c dz z z ++?（3）22c

dz

z +? （4）cos c dz z ?（5）z

c

ze dz ?

..

..

解：各积分的被积函数的奇点为：（1）2z =-，（2）2

(1)30z ++=

即1z

=-±，（3

）z =（4）, 2

z k k π

π=+

为任意整数，

（5）被积函数处处解析，无奇点

不难看出，上述奇点的模皆大于1，即皆在积分曲线之外，从而在积分曲线内被积函数解析，因此根据柯西基本定理，以上积分值都为0。 8．计算下列积分：

（1）

240

i

z

e dz π

?

（2）2

sin i

i

zdz ππ-?（3）1

sin z zdz ?

解：以上积分皆与路径无关，因此用求原函数的方法：

（1）

4220240

111

()(1)222

i

i i

z

z e dz e

e e i π

π

π

==-=-?

（2）21cos 2sin 2sin []224i

i

i

i

i i

z z z

zdz dz ππππ

ππ----==-??

（3）

1

1

1

1

0000sin cos cos cos z zdz zd z z z zdz =-=-+???

9．计算22c

dz

z a -?，其中c 为不经过a ±的任一简单正向闭曲线。 解：被积函数的奇点为a ±，根据其与c 的位置分四种情况讨论： （1）a ±皆在c 外，则在c 内被积函数解析，因而由柯西基本定理

（2）a 在c 内，a -在c 外，则1

z a +在c 内解析，因而由柯西积分

公式：221

12z a c c

dz z a dz i i z a z a a z a ππ=+===-+-?? （3）同理，当a -在c 内，a 在c 外时， （4）a ±皆在c 内

此时，在c 内围绕,a a -分别做两条相互外离的小闭合曲线12,c c ，则由复合闭路原理得：

注：此题若分解22

1111

()2a z a z a z a

=--+-，则更简单！ 10．

计算下列各积分

解：（1）

11

()(2)2z dz i z z =-+?

，由柯西积分公式

（2）

2

322

1

iz

z i e dz z -=

+?

， 在积分曲线内被积函数只有一个奇点i ，故此同上题一样： ‘;

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（3）

2232

(1)(4)z dz

z z =

++?

在积分曲线内被积函数有两个奇点i ±，围绕,i i -分别做两条相互外离的小闭合曲线12,c c ，则由复合闭路原理得：

（4）4

221z z

dz z -=-?，在积分曲线内被积函数只有一个奇点1，故此 （5）22

1sin 41z zdz z π

=-?，

12,c ，

2

, (1)n

z dz n z =-?计算积分32(1)c dz i z z π-?，其中12z =（2）1

12

z -）由柯西积分公式

）同理，由高阶导数公式 =

1

1

2z dz z =+?的值是什么？并由此证明1

02z dz z ==+?，因为被积函数的奇点在积分曲线外。 (cos sin )r i θθ+考察上述积分的被积函数的虚部，便得到

20

12cos 054cos d π

θ

θθ

+==+?

，再由cos θ的周期性，得

即

012cos 054cos d π

θ

θθ+=+?，证毕。

13． 设(),()f z g z 都在简单闭曲线c 上及c 内解析，且在c 上 ()()f z g z =，证明在c 内也有()()f z g z =。 证明：由柯西积分公式，对于c 内任意点0z ，

..

..

0000

1

()1()

(), ()22c

c f z g z f z dz g z dz i

z z i z z ππ=

=--??， 由已知，在积分曲线c 上，()()f z g z =，故此有

再由0z 的任意性知，在c 内恒有()()f z g z =，证毕。

14． 设()f z 在单连通区域D 内解析，且()11f z -<，证明 （1）在D 内()0f z ≠；

（2）对于D 内任一简单闭曲线c ，皆有()

0()c

f z dz f z '=? 证明：（1）显然，因为若在某点处()0,f z =则由已知 011-<，矛盾！

（也可直接证明：

()1()11f z f z -<-<，因此

1()11f z -<-<，即0()2f z <<，说明()0f z ≠）

（3）既然()0f z ≠，再注意到()f z 解析，()f z '也解析，因此由函数的解析性法则知

()

()

f z f z '也在区域D 内解析，这样，根据柯西基本定理，对于D 内任一简单闭曲线c ，皆有()

0()c f z dz f z '=?，证毕。 15．求双曲线2

2y

x c -=（0c ≠为常数）的正交（即垂直）曲线族。 解：22

u y x =-为调和函数，因此只需求出其共轭调和函数(,)v x y ，则 (,)v x y c =便是所要求的曲线族。为此，由柯西—黎曼方程

2x y v u y =-=-，因此(2)2()v y dx xy g y =-=-+?，再由 2y x v u x ==-知，()0g y '≡，即0()g y c =为常数，因此 02v xy c =-+，从而所求的正交曲线族为xy c ≡

（注：实际上，本题的答案也可观察出，因极易想到

222()2f z z y x xyi =-=--解析）

16．设sin px

v e y =，求p 的值使得v 为调和函数。

解：由调和函数的定义

2sin (sin )0px px xx yy v v p e y e y +=+-=，

因此要使v 为某个区域内的调和函数，即在某区域内上述等式成立，必须 210p -=，即1p =±。

17．已知22

255u v x y xy x y +=-+--，试确定解析函数 解：首先，等式两端分别对,x y 求偏导数，得

225x x u v x y +=+-----------------------------------（1） 225y y u v y x +=-+--------------------------------（2）

再联立上柯西—黎曼方程

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页脚内容

x y u v =------------------------------------------------------（3） y x u v =-----------------------------------------------------（4） 从上述方程组中解出,x y u u ，得

这样，对x u 积分，得25(),u x x c y =-+再代入y u 中，得

至此得到：2205,u x x y c =

--+由二者之和又可解出

025v xy y c =--，因此

200()5f z u iv z z c c i =+=-+-，其中0c 为任意实常数。

注：此题还有一种方法：由定理知 由此也可很方便的求出()f z 。 18

y v v (c 'v 因f （此类问题，除了上题采用的方法外，也可这样：

22222222222

2()1

()()()

x y xy z i x y x y z zz -=-==++，所以 1

()f z c z

=-+，

其中c 为复常数。代入(2)0f =得，1

2

c =，故此

（3）arctan , (0)y

v x x

=>

..

..

同上题一样，

()x x y x f z u iv v iv '=+=+

2222

1

x y z i z x y x y zz -=

+==++， 因此0()ln f z z c =+，

其中的ln z 为对数主值，0c 为任意实常数。

（4）(cos sin )x

u e x y y y =-，(0)0f =

(sin sin cos )x x y v u e x y y y y =-=++，对x 积分，得

再由y x v u =得()0c x '=，所以0()c x c =为常数，由(0)0f =知， 0x y ==时0v =，由此确定出00c =，至此得到：

()f z u iv =+=(cos sin )x e x y y y -(sin cos )x ie x y y y ++，

整理后可得()z

f z ze =

19．设在1z ≤上()f z 解析，且()1f z ≤，证明(0)1f '≤ 证明：由高阶导数公式及积分估计式，得

1

112122z ds ππ

π=≤==?，证毕。 20．若

()f z 在闭圆盘0z z R -≤上解析，且()f z M ≤，试证明柯西不等式

()0!

()n n n f z M R

≤，并由此证明刘维尔定理：在整个复平面上有界且处处解析的函数一定

为常数。

证明：由高阶导数公式及积分估计式，得

1

1

11

1

!!!!()2222n n n n

z z n n M n M n M f z ds ds R R R R R ππππ+++===

≤

==??，

柯西不等式证毕；下证刘维尔定理： 因为函数有界，不妨设()f z M ≤，那么由柯西不等式，对任意0z 都有0()M f z R

'≤

，又

因

()f z 处处解析，因此R 可任意大，这样，令

R →+∞，得0()0f z '≤，从而0()0f z '=，即0()0f z '=，再由0z 的任意性知()0f z '≡，因而()f z 为常数，证毕。

习题四答案

1．

考察下列数列是否收敛，如果收敛，求出其极限．

（1）1

n n z i n

=+

解：因为lim n n i →∞

不存在，所以lim n n z →∞

不存在，由定理4.1知，数列{}n z 不收敛．

（2）(1)2n n i

z -=+

解：1(cos sin )22i i θθ+=

+，其中1

arctan 2

θ=，则

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页脚内容

()(cos sin )cos sin 2n

n

n z i n i n θθθθ-?=+=-?

??

．

因为lim 0n

n →∞=，cos sin 1n i n θθ-=

，所以()lim cos sin 0n

n n i n θθ→∞

-= 由定义4.1知，数列{}n z 收敛，极限为0．

（3）2

1n i n z e n

π-=

解：因为2

1n i e

π-

=，1

lim 0n n

→∞=，所以21lim 0n i n e

n π-→∞= 由定义4.1知，数列{}

z 收敛，极限为0．

（

2n θ都

2

2n ∞

=也收敛，故级数2ln n

n i n

∞

=∑是收敛的．

又2

2111

ln ln ln 1n n n i n n n n ∞

∞===>-∑

∑，因为211n n ∞=-∑发散，故级数2

1ln n n ∞

=∑发散，从而级数2ln n n i n ∞=∑条件

收敛．

(3)0

cos 2n n in ∞

=∑

解：1110000cos 2222n n n n n n n n n n n n in e e e e --∞

∞∞∞+++====+==+∑∑∑∑，因级数102n n n e ∞+=∑发散，故0

cos 2n n in

∞=∑发散．

..

..

(4)()

035!

n

n i n ∞

=+∑

解：(

)0

035!!n

n n i n n ∞

∞==+=∑

∑，由正项正项级数比值判别法知该级数收敛，故级数()0

35!n

n i n ∞

=+∑收

敛，且为绝对收敛．

3． 试确定下列幂级数的收敛半径． (1)()01n

n n i z ∞

=+∑

解：1lim

1n n n c i c +→∞

=+=

R =

． (2)0!n n

n n z n

∞

=∑

解：11(1)!11

lim lim lim 1(1)!(1)

n n n n n n n n c n n c n n e n

++→∞→∞→∞+=?==++，故此幂级数的收敛半径R e =．

(3)1

i

n n

n e z π∞

=∑

解：1

1lim

lim 1i

n n n n i n

n

c e

c e π

π++→∞

→∞==，故此幂级数的收敛半径1R =． (4)22

1

212n n

n n z ∞

-=-∑

解：令2

z Z =，则221

11

212122n n n n n n n n z

Z ∞

∞--==--=∑∑ 1121

12lim lim 2122n n n n n

n

n c n c ++→∞→∞+==-，故幂级数11212n n n n Z ∞-=-∑的收敛域为2Z <，即22z <，从而幂级数

22

1

212n n

n n z ∞

-=-∑

的收敛域为z <

R = 4． 设级数0

n n α∞=∑收敛，而0

n n α∞=∑发散，证明0

n n n z α∞

=∑的收敛半径为1．

证明：在点1z =处，0

n

n n n n z αα∞∞===∑∑，因为0

n n α∞=∑收敛，所以0

n n n z α∞

=∑收敛，故由阿贝尔定理知，

1z <时，0

n

n n z α∞=∑收敛，且为绝对收敛，即0n n n z α∞

=∑收敛．

1z >时，0

n

n n n n z αα∞∞

==>∑∑，因为0

n n α∞

=∑发散，根据正项级数的比较准则可知，

n

n

n z α

∞

=∑发散，从而0

n

n n z α∞=∑的收敛半径为1，由定理4.6，0

n n n z α∞

=∑的收敛半径也为1．

5． 如果级数0

n n n c z ∞

=∑在它的收敛圆的圆周上一点0z 处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭区

域上绝对收敛．

复变函数试题及答案

1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数

4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1w 的分式线性变换是（ ） A )1(1>--=a z a a z e w i β B )1(1<--=a z a a z e w i β C )1(>--=a a z a z e w i β D )1(<--=a a z a z e w i β 三、判断题（每小题2分）

复变函数试题与答案

第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3

７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

复变函数课后习题答案(全)69272

习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1-+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤

解：（1）2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= （2 ）1-+2 3 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+-

复变函数经典习题及答案

练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13

复变函数论第三版课后习题答案

第一章习题解答 （一） 1 ．设2z =z 及A rcz 。 解：由于32i z e π- = 所以1z =，2,0,1,3 A rcz k k ππ=- +=± 。 2 ．设1 21z z = = ，试用指数形式表示12z z 及 12 z z 。 解：由于6 4 12,2i i z e z i e π π - += == = 所以( )646 4 12 12222i i i i z z e e e e π π π π π - - === 54( )14 6 12 2 6 112 2 2i i i i z e e e z e π ππππ+ - = = = 。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+= ===。 4．证明2 2 2 1212 122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212 122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 121 2 122R e () z z z z z z -=+- 所以2 2 2 12 12122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0 321=++z z z , 1 321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于 1 321===z z z ，知 3 21z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 3 1z z z == ()[]()[]2 12322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 2 1212z z z z ++= 所以， 12121-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 2 1z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()3 22121=+-=z z z z

复变函数试题及标准答案样本

二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z (在0=z解析。【】 f= z )

2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。【 】 3．z e z f =)(是周期函数。【 】 4． 每一种幂函数在它收敛圆周上处处收敛。【 】 5． 设级数∑∞=0n n c 收敛，而||0∑∞=n n c 发散，则∑∞ =0n n n z c 收敛半径为1。【 】 6． 1tan()z 能在圆环域)0(||0+∞<<<

复变函数与积分变换(A)参照答案与评分原则 (.7.5) 一.填空(各3分) 1.3ln 2i k e +-π； 2. 三级极点 ； 3. 23z ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. e 1 ；7. 322)1(26+-s s ；8. 0； 9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[ 21++-+++-ωπδωπδωωj j 。 二.判断1.错；2.错；3.对的； 4. 错 ；5.对的 ；6.错； 7.错 ； 8. 错 ；9. 对的 ；10. 错 。 三(8分) 解：1)在2||1<

复变函数试题与答案

复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-

第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ） )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小

５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无 界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ）

复变函数习题答案第3章习题详解

第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332330 233 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 033 2 3 2 33 131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 02 33 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i （ ()()()3 3331 02 3 02 302 33 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 2 02 3 131i it idt it dz z i =??? ???==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02323113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 230 213 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 02 10 2 / 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i

复变函数论第三版课后习题答案解析

1．设 z 1 3i ，求 z 及 Arcz 。 解：由于 z 1， Arcz 2k , k 0, 1, 。 3 (z 1 z 2)( z 1 z 2) z 1z 1 z 2z 2 (z 1z 2 z 2z 1) 2 z 1z 2 z 1 z 2 3 第一章习题解 答 (一) 2．设 z 1 i , z 3 1 ，试用指数形式表示 1 2 2 z 1z 2 及 z 1 。 z 2 4 i 6i 1 i i 解：由于 z 1 e 3 4 , z 2 3 i 2e 1 2 2 i i ( )i i 所以 z1z2 e 4i 2e 6i 2e ( 4 6)i 2e 12i i z 1 e 4 1 e (4 6)i i z 2 2e 6 2 5i 1 1 e 12 。 2 3．解二项方程 z 4 a 4 0,(a 0) 。 2k i 解： z 4 a 4 (a 4e i )4 ae 4 ,k 0,1,2,3 。 4．证明 z 1 2 2 z 1 z 2 z 1 z 2 证明：由于 2 2 z 1 z 2 z 1 2 2 z 2 2 z 1 z 2 2( z 1 所以 z 1 z 2 其几何意义是： z 2 ) 2 2 ，并说明其几何意义。 2 2 Re(z 1 z 2) z 2 2Re(z 1 z 2) z 1 z 2 2( z 1 z 2 ) 平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设 z 1， z 2，z 3三点适合条件： z1 z2 z3 0 z 1 z 2 z3 1 。证明 z 1，z 2， z 3是内 接于单位 圆 z 1 的一个正三角形的顶点。 证 由于 z 1 z 2 z3 1 ，知 z 1z 2z 3 的三个顶点均在单位圆上。 因为 所以， z 1z 2 z 1z 2 1 ， 所以 z 1 z 2

复变函数测试题及答案

第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ）

（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z

（C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z

复变函数与积分变换课后习题答案详解

… 复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林 （复旦大学出版社） / ——课后习题答案

习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππ2222e cos isin i i 44-??????=-+-= +-=- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+); 3 3 31313;;;.n i i z i ???? -+-- ? ? ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 3 2 2 222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ () ()()()(){ }3 3 2 3 2 1i 31i 311313313388-+??-+? ???== --?-?+?-?- ? ?????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1?? -+= ? ??? , 1i 3Im 0??-+= ? ???． ④解： ∵ () ()() ()()2 3 3 23 1313 3133i 1i 38 ??--?-?-+?-?- ?? ??-+? ? = ? ??? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1??-+= ? ?? ? , 1i 3Im 0??-+= ? ??? ． ⑤解： ∵()()1, 2i 211i, k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-???． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=． 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=?=． ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 2 22++== ()1i 11i 222i ++-??= = ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+， 则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数． 若z =x ，x ∈，则z x x ==．

第一章复变函数习题及解答

第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1） （2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部．

【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值.

复变函数及积分变换试题及答案

第一套 第一套 一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。 A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?（ ） 。 A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的（ ）。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。 A. 22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k s 1 . 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 23 (1)i += [1] ； ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ----------------------------------------------------

复变函数试题及答案

一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212-- 的指数形式是 2、函数w =z 1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 2222= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续

B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 232 1- B 2 23i - C 223i +- D i 2 3 21+ - 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1 cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =- 1 2 3 z z dz B ?=- 1 2 1 z z dz C ?=++12 42z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-0 2121n n n n z （z <1） B () ∑∞ =+-0 1 221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-0 1 2121n n n n z （z <1） D () ∑∞ =-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1

复变函数与积分变换试题及答案(2)

复变函数与积分变换试题与答案 1.（5）复数z与点(,) x y对应,请依次写出z的代数、几何、三角、指数表达式和z的3次方根。 2.（6）请指出指数函数z e w=、对数函数z w ln =、正切函数=的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。 z w tan 3.（9）讨论函数2 2i =的可导性，并求出函数)(z z f+ ) (y x f在可导点的导数。另外，函数) f在可导点解析吗？是或否请说明 (z

理由。 4.（7）已知解析函数v u z f i )(+=的实部y x y u 233-=，求函数 v u z f i )(+=的表达式，并使0)0(=f 。 5.（6×2）计算积分： （1）?+-C n z z z 1 0) (d ,

其中C 为以0z 为圆心,r 为半径的正向圆周, n 为正整数； （2）?=+-3||2d ) 2()1(e z z z z z 。 6.（5×2）分别在圆环 （1）1||0<

7.（12）求下列各函数在其孤立奇点的留数。 (1) 3 sin )(z z z z f -=; (2) z z z f sin 1)(2=; (3) 11 e )(-=z z z f . 8.（7）分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是什么。

9.（6分）求将上半平面 0)Im( z 保形映照成单位圆 1|| w 的分式线性函数。 10.（5×2）（1）己知 F )()]([ωF t f =，求函数)52(-t f 的傅里叶变换； （2）求函数) i 5)(i 3(2 )(ωωω++= F 的傅里叶逆变换。

《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1]

一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 31i -的幅角是（ 2,1,0,23 ±±=+- k k ππ ） ； 2.)1(i Ln +-的主值是（ i 4 32ln 21π + ）； 3. 2 11)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4 sin z z z -的（ 一级 ）极点； 5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ） ； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周 3=z ，如果函数=)(z f （ D ） ，则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 ) 1(3--z z ； （C ） 2)2()1(3--z z ； （D ） 2 )2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在（C ） （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ） i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( B ) （A ）如果函数 )(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果 )(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、) ,(y x v

复变函数试题与答案

第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π =+z arc ，6 5)2(π=-z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2123+- 3．复数)2( tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转3 π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ）

（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得22z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ）22 1=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0)Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ）