初中数学竞赛模拟试题

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030 P A B C D 2003年初中数学竞赛模拟试题（1）

（511400）广州市番禺区教育局教研室 严运华

一、 选择题（本题共8小题，每小题5分,共40分,将唯一正确的答案代号填在下

1. 若方程01=++px x 的二根之差为1，则p 的值为

(A) 2± (B)4± (C)3± (D)5±

2. 在ABC ?中，设C B A ∠∠∠,,所对的边分别为c b a ,,,若3:2:1::=∠∠∠C B A ，那么

c b a ::等于

(A)3:2:1 (B)2:3:1 (C) 9:4:1 (D) 3:2:1

3. 若x 1,x 2是方程x 2+2x-k=0的两个不相等的实数根，则x 12+x 22-2是

（A ）正数 （B ）3条 （C ）负数 （D ）不大于零的数

4. 自圆外一点P ，引圆的两割线PAB 、PCD ，连接AC ， BD 交于H ，则图中相似三角形的对数为 （A ） 5对 （B ）4对 （C ）3对 （D ）2对

5. 已知a 是正数，且a a 2-=1，则224a

a -的值为 （A ）5 （B ）3 （C ）1 （D ）－3、

6. 函数13-=x y 的图象一定不经过

（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限

7. 如图，若PA=PB ，∠APB=2∠ACB ，AC 与PB 交于点D ,且

PB=6，DB=2，则AD ?DC 的值等于 （A ）6 （B ）7 （C ）12 （D ）20

8. 已知点P 是半径为5的⊙O 内的一点，且OP=3，在过点P 的所有弦中，长度为整

数的弦的条数为

（A ）4条 （B ）3条 （C ）2条 （D ）1条

密 封 线 内 不 要 答 题 密 封 线 内 不 要 答 题 学 校 姓 考号 A B C D P H

① ②

③ 二、填空题（本题共6小题,每小题5分，共30分）

9. 如图,在高为3米,坡角为030的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需

米；(精确到米)

10.已知2,322-=+=+y xy xy x ,则y x +的值为 ；

11.若关于x 的方程02)1(2=+++-k x k x 的两实根的平方和为6，则k 的值

为 ；

12.已知方程组???=+=+18

422y x y x 的解为???==b y a x 11，???==d y c x 22，则cb ad +的值为 ；

13.ΔABC 是半径为2cm 的圆内接三角形，若BC=32cm ，则∠A

的度数为 ； 14.如右图，是一种“羊角形图案”，其作法是：从正方形①开

始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边向外作正方形②，依次类推，…若正方形①的边长为64cm ，则正方形⑦的边长为 cm.

三、解答题（本题共5小题，每题10分，共50分）

15.如下图：在Rt ΔABC 中，∠A =900，四边形DEFG 为正方形，且四个顶点都在三角

形的边上，若线段BC 的长为a ，∠ACB=α，求正方形DEFG 的边长.（用含a 、α的代数式表示）

A B C D G E

F

16.已知关于x的方程0

)1

3(2

2

2

2=

x

k

x

k

+

-k

+

+

（1）判断这个方程是否有实根，说明理由；

（2）若等腰三角形ABC的一边长a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长.

17.如图，若A，B为半径为10的⊙O上不重合的两点，OC⊥AB于C，AD⊥直线OB

于D，

（1）当A，B在⊙O运动时，问OC2+CD2的值是否随之变化，若不变，求出其值；若随之变化，则求出其变化的范围；

（2）若三点O 、A 、B 构成钝角三角形，求弦AB 的长度取值范围.

18.已知关于x 的方程04)4(2=++-+a x a x 的两根都是整数，求所有的整数

a 的值.

B

19.某山边有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用24部A型抽水机6天可以把池水抽干，若用21部A型抽水机要8天把池水抽干，要使这一池水永抽不干，问最多只能用多少部A型抽水机抽水