催化反应动力学-河北科技大学大学英语精品课

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第十三章 表面物理化学

§13.1 表面吉布斯自由能和表面张力

1.表面和界面(surface and interface)

界面是指两相接触的约几个分子厚度的过渡区，若其中一相为气体，这种界面通常称为表面。

严格讲表面应是液体和固体与其饱和蒸气之间的界面，但习惯上把液体或固体与空气的界面称为液体或固体的表面。

常见的界面有：气-液界面，气-固界面，液-液界面，液-固界面，固-固界面。

2.界面现象的本质

表面层分子与内部分子相比，它们所处的环境不同。体相内部分子所受四周邻近相同分子的作用力是对称的，各个方向的力彼此抵销；但是处在界面层的分子，一方面受到体相内相同物质分子的作用，另一方面受到性质不同的另一相中物质分子的作用，其作用力未必能相互抵销，因此，界面层会显示出一些独特的性质。

对于单组分体系，这种特性主要来自于同一物质在不同相中

的密度不同；对于多组分体系，则特性来自于界面层的组成与任

一相的组成均不相同。最简单的例子是液体及其蒸气组成的表

面。液体内部分子所受的力可以彼此抵销，但表面分子受到体相

分子的拉力大，受到气相分子的拉力小（因为气相密度低），所

以表面分子受到被拉入体相的作用力。

这种作用力使表面有自动收缩到最小的趋势，并使表面层显示出一些独特性质，如表面张力、表面吸附、毛细现象、过饱和状态等。

3.比表面（specific surface area ）

比表面通常用来表示物质分散的程度，有两种常用的表示方法：一种是单位质量的固体所具有的表面积；另一种是单位体积固体所具有的表面积。即：

/ /m V A A m A A V ==或

式中，m 和V 分别为固体的质量和体积，A 为其表面积。目前常用的测定表面积的方法有BET 法和色谱法。

4.分散度与比表面

把物质分散成细小微粒的程度称为分散度。把一定大小的物质分割得越小，则分散度越高，比表面也越大。

例如，把边长为1cm 的立方体1cm 3逐渐分割成小立方体时，比表面增长情况列于下表：

边长l/m 立方体数 比表面A v /（m 2/m 3）

1×10-2 1 6 ×102

1×10-3 103 6 ×103

1×10-5 109 6 ×105

1×10-7 1015 6 ×107

1×10-9 1021 6 ×109

从表上可以看出，当将边长为10-2m 的立方体分割成10-9m 的小立方体时，比表面增长了一千万倍。可见达到nm 级的超细微粒具有巨大的比表面积，因而具有许多独特的表面效应，成为新材料和多相催化方面的研究热点。

5.表面功（surface work ）

由于表面层分子的受力情况与本体中不同，因此如果要把分子从内部移到界面，或可逆的增加表面积，就必须克服体系内部分子之间的作用力，对体系做功。温度、压力和组成恒定时，可逆使表面积增加d A 所需要对体系作的功，称为表面功。用公式表示为：'d W A δγ=

式中γ为比例系数，它在数值上等于当T ，p 及组成恒定的条件下，增加单位表面积时所必须对体系做的可逆非膨胀功。

6.考虑表面功的热力学基本公式

考虑了表面功，热力学基本公式中应相应增加γd A 一项，即：

B B B

d d d d U T S p V A dn γμ=-++∑

B B B

d d d d H T S V p A dn γμ=+++∑

B B B

d d d d F S T p V A dn γμ=--++∑

B B B

d d d d G S T V p A dn γμ=--++∑

由此可得： B ,,()S V n U A γ?=?B ,,()S P n H A ?=?B ,,()T V n F A ?=?B ,,()T P n G A

?=? 7.表面自由能(surface free energy)

广义的表面自由能定义：保持相应的特征变量不变，每增加单位表面积时，相应热力学函数的增值。 狭义的表面自由能定义：B ,,()p T n G A

γ?=? 保持温度、压力和组成不变，每增加单位表面积时，Gibbs 自由能的增加值称为表面Gibbs 自由能，或简称表面自由能或表面能，用符号γ或σ表示，单位为J·m -2。

8.表面张力（surface tension ）

在两相(特别是气-液)界面上，处处存在着一种张力，它垂直与表面

的边界，指向液体方向并与表面相切。把作用于单位边界线上的这种力称

为表面张力，用g 表示，单位是N·m -1。

将一含有一个活动边框的金属线框架放在肥皂液中，然后取出悬挂，

活动边在下面。由于金属框上的肥皂膜的表面张力作用，可滑动的边会被

向上拉，直至顶部。

如果在活动边框上挂一重物，使重物质量W 2与边框质量W 1所产生

的重力F （F =（W 1+W 2）g ）与总的表面张力大小相等方向相反，则金

属丝不再滑动。这时 2F l γ=l 是滑动边的长度，因膜有两个面，所以

边界总长度为2l ， 就是作用于单位边界上的表面张力。

如果在金属线框中间系一线圈，一起浸入肥皂液中，然后取出，上

面形成一液膜。

由于以线圈为边界的两边表面张力大小相等方向相反，所以线圈成

任意形状可在液膜上移动，见(a)图。如果刺破线圈中央的液膜，线圈

内侧张力消失，外侧表面张力立即将线圈绷成一个圆形，见(b)图，清楚的显示出表面张力的存在。

9.界面张力与温度的关系

温度升高，界面张力下降，当达到临界温度T c 时，界面张力趋向于零。这可用热力学公式说明：因为B B B

d d d d G S T V P A dn γμ=-+++∑ 运用全微分的性质，可得：B B ,,,,()()T P n A P n S A T

γ??=-?? 等式左方为正值，因为表面积增加，熵总是增加的。所以γ随T 的增加而下降。

10.影响表面张力的因素

（1）分子间相互作用力的影响对纯液体或纯固体，表面张力决定于分子间形成的化学键能的大小，一般化学键越强，表面张力越大。

γ(金属键)>γ(离子键)>γ(极性共价键)>γ(非极性共价键)两种液体间的界面张力，界于两种液体表面张力之间。

（2）温度的影响温度升高，表面张力下降。

（3）压力的影响 表面张力一般随压力的增加而下降。因为压力增加，气相密度增加，表面分子受力不均匀性略有好转。另外，若是气相中有别的物质，则压力增加，促使表面吸附增加，气体溶解度增加，也使表面张力下降。

§ 13.2 弯曲表面下的附加压力与蒸气压

1.弯曲表面下的附加压力

(1)在平面上研究以AB 为直径的一个环作为边界，由于环上每点的两

边都存在表面张力，大小相等，方向相反，所以没有附加压力。

设向下的大气压力为p o ，向上的反作用力也为p o ，附加压力p s 等于

零。p s = p o-p o = 0

（2）在凸面上：研究以AB 为弦长的一个球面上的环作为边界。由于环上每点两边的表面张力都与液面相切，大小相等，但不在同一平面上，所以会产生一个向下的合力。

所有的点产生的总压力为p s ，称为附加压力。凸面上受的总压力为：p o + p s 。

p o 为大气压力， p s 为附加压力。

（3）在凹面上：研究以AB 为弦长的一个球形凹面上的环作为边界。由于环上每点两边的表面张力都与凹形的液面相切，大小相等，但不在同一平面上，所以会产生一个向上的合力。

所有的点产生的总压力为p s ，称为附加压力。凹面上向下的总压力为：p o -p s ，所以凹面上所受的压力比平面上小。

2.杨-拉普拉斯公式

1805年Young-Laplace 导出了附加压力与曲率半径之间的关系式：s '2P R

γ= 根据数学上规定，凸面的曲率半径取正值，凹面的曲率半径取负值。所以，凸面的附加压力指向液体，凹面的附加压力指向气体，即附加压力总是指向球面的球心。

(1)拉普拉斯公式简单应用

①小液滴：

②液体中的气泡： ③肥皂泡：,,224()()s i o g i l l g o p p p p p p p p R R R

γγγ=?=-=---=+= ④毛细管连通的大小不等的气泡：大的越大，小的越小。

⑤加热毛细管中液体：

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§ 13.2 弯曲表面下的附加压力与蒸气压

(2) 拉普拉斯公式的推导

(1)在毛细管内充满液体，管端有半径为R’ 的球状液滴与之平衡。

外压为 p 0 ，附加压力为 p s ,液滴所受总压为：p 0 + p s (2)对活塞稍加

压力，将毛细管内液体压出少许，使液滴体积增加d V ，相应地其表面积增

加d A 。克服附加压力p s 环境所作的功与可逆增加表面积的吉布斯自由能

增加应该相等。即 s d d p V A γ=

'3'2'(4/3) d 4d V R V R R ππ==，

代入得： s 2'

p R γ= 3.附加压力与毛细管中液面高度的关系

(1) 曲率半径R '与毛细管半径R 的关系： R '=R /cos θ

如果曲面为球面，则R '=R 。

(2) p s =2g /R '=(ρl -ρg )gh ，因ρl >>ρg ，所以：p s =2g /R '=ρl gh ，一般式：

2g cos θ/R=Δρgh

4.弯曲表面上的蒸汽压——开尔文公式

在弯曲液面上，由于有附加压力存在，在一定温度下达气液平衡时的蒸气压与平液面上的蒸气压是不一样的。下面导出弯曲液面上的蒸气压。

液体(T ,p l )饱和蒸汽(T ,p g )

对小液滴与蒸汽的平衡，应有相同形式，设气体为理想气体。

()()m m G l G g = m m ()()d d l g l g T T G l G g p p p p ??????=????????????

m m ()d ()d dln l g g V l p V g p RT p ==

0m 0()()ln g

l l g p V l p p RT p -= 02'

l l s p p p R γ-== m 02()2ln(

)''g V l p M RT p R R γγρ==

这就是Kelvin 公式，式中ρ为密度，M 为摩尔质量。Kelvin 公式也可以表示为两种不同曲率半径的液滴或蒸汽泡的蒸汽压之比，或两种不同大小颗粒的饱和溶液浓度之比。

2''121211ln p M RT p R R γρ??=- ??? s 2''121211ln l M c RT c R R γρ-??=- ???

对凸面，R' 取正值，R' 越小，液滴的蒸汽压越高，或小颗粒的溶解度越大。对凹面，R' 取负值，R' 越小，小蒸汽泡中的蒸汽压越低。

§ 13.3 液体界面的性质

1．液体的铺展

一种液体能否在另一种不互溶的液体上铺展，取决于两种液体本身的表面张力和两种液体之间的界面张力。一般说，铺展后，表面自由能下降，则这种铺展是自发的。大多数表面自由能较低的有机物可以在表面自由能较高的水面上铺展。

设液体1和2的表面张力和界面张力分别为γ1,g , γ2,g 和γ1,2。

在三相接界点处，γ1,g 和γ1,2的作用力企图维持液体1不铺展；而

γ2,g 的作用是使液体铺展，如果γ2,g >(γ1,g +γ1,2)，则液体1能在液体

2上铺展。

2．表面活性物质

能使水的表面张力明显降低的溶质称为表面活性物质。这种物质通常含有亲水的极性基团和憎水的非极性碳链或碳环有机化合物。亲水基团进入水中，憎水基团企图离开水而指向空气，在界面定向排列。

表面活性物质的表面浓度大于本体浓度，增加单位面积所需的功较纯水小。非极性成分愈大，表面活性也愈大。

3．非表面活性物质

能使水的表面张力明显升高的溶质称为非表面活性物质。如无机盐和不挥发的酸、碱等。这些物质的离子有水合作用，趋向于把水分子拖入水中，非表面活性物质在表面的浓度低于在本体的浓度。如果要增加单位表面积，所作的功中还必须包括克服静电引力所消耗的功，所以表面张力升高。

4．Gibbs 吸附公式

222

d d a ΓRT a γ=- 式中Γ2为溶剂超量为零时溶质2在表面的超额。它的物理意义是：在单位面积的表

面层中，所含溶质的物质的量与具有相同数量溶剂的本体溶液中所含溶质的物质的量之差值。即：a 2是溶质2的活度，d γ/d a 2是在等温下，表面张力γ 随溶质活度的变化率。

5．正吸附和负吸附

吉布斯吸附公式通常也表示为如下形式：

(1)d γ/d c 2<0，增加溶质2的浓度使表面张力下降，Γ2为正值，是正吸附。表面层中溶质浓度大于本体浓度。表面活性物质属于这种情况。

(2)d γ/d c 2>0，增加溶质2的浓度使表面张力升高，Γ2为负值，是负吸附。表面层中溶质浓度低于本体浓度。非表面活性物质属于这种情况。

6．两亲分子在气液界面上的定向排列

根据实验，脂肪酸在水中的浓度达到一定数值后，

它在表面层中的超额为一定值，与本体浓度无关，并且

和它的碳氢链的长度也无关。这时，表面吸附已达到饱

和，脂肪酸分子合理的排列是羧基向水，碳氢链向空气。

根据这种紧密排列的形式，可以计算每个分子所占

的截面积A m 。

式中L 为阿伏加德罗常数，Γ2原来是表面超额，当达到饱和吸附时,Γ2可以作为单位表面上溶质的物质的量。

§ 13.4 不溶性表面膜

1.不溶性表面膜

若水的表面张力为γ0 ，加入不溶物（油滴）后的表面张力为γ ，则γ0>γ ，即可形成单分子表面膜。在单分子表面膜形成（铺展）过程中，膜具有做功的能力。

2.表面压

式中π 称为表面压，γ0为纯水的表面张力，γ 为溶液的表面张力。由于γ0>γ，如果在液面上放有浮片,则液面上的浮片总是推向纯水一边。由实验可以证实表面压的存在。在

纯水表面放一很薄的浮片，在浮片的一边滴油，由于油滴在水面上铺展，会推动浮片移

向纯水一边，把对单位长度浮片的推动力称为表面压。1917年Langmuir 设计了直接测定表面压的仪器—Langmuir 膜天平。

3.表面膜行为的状态方程

如果用表面压π对表面积A 作等温线(π- A 图)，可以看到π-A 图因分子的本性不同或温度不同而不同。当表面膜行为象二维理想气体时，它的状态方程为：

A n RT σπ=

用该公式，如已知蛋白质的质量和铺成单分子膜的面积A ，测出表面压π，可计算出蛋白质的摩尔质量。

§ 13.5 液-固界面现象

1.粘附功(work of adhesion)

在等温等压条件下，单位面积的液面与固体表面可逆地

粘附时对外所作的最大功称为粘附功，它是液体能否润湿固

体的一种量度。粘附功越大，液体越能润湿固体，液-固结

合得越牢。

在粘附过程中，消失了单位液体表面和固体表面，产生

了单位液-固界面。粘附功就等于这个过程单位表面吉布斯自由能变化值的负值。

a l s g l g-s ()W G σγγγ--=-?=---

2. 浸湿功(work of immersion)

等温、等压条件下，将具有单位表面积的固体可

逆地浸入液体中所作的最大功称为浸湿功，它是液体

在固体表面取代气体能力的一种量度。

只有浸湿功大于或等于零，液体才能浸湿固体。在浸湿过程中，消失了单位面积的

气、固表面，产生了单位面积的液、固界面，所以浸湿功

等于该变化过程单位表面自由能变化值的负值。

i l s g-s i ()0W G W σγγ-=-?=--≥能浸湿。

3.内聚功(work of cohesion)

等温、等压条件下，两个单位液面可逆聚合为液柱所

作的最大功称为内聚功，是液体本身结合牢固程度的一种

量度。

内聚时两个单位液面消失，所以，内聚功在数值上等于该变化过程单位表面自由能变化值的负值。

c g-l (02)W G σγ=-?=--

4.铺展系数(spreading coefficient)

等温、等压条件下，单位面积的液-固界面取代了

单位面积的气-固界面并产生了单位面积的气-液界

面，这过程单位表面自由能变化值的负值称为铺展系

数，用S 表示。若S ≥0，说明液体可以在固体表面自

动铺展。

l-s l-g s-g ()S G σγγγ=-?=-+-

5.接触角(contact angle)

在气、液、固三相交界点，气-液与液-固界面张力之间的夹角称为接触角，通常用θ表示。

若接触角大于90°，说明液体不能润湿固体，如汞在玻璃表面；

若接触角小于90°，液体能润湿固体，如水

在洁净的玻璃表面。

接触角的大小可以用实验测量，也可以用公

式(杨氏方程)计算：

s-g l-s l-g

cos γγθγ-= 将杨氏方程代入W a ，W i ， S 的表示式,就可以根据cos θ和γ

g-l 的实验测定值计算这些参数。

W a = γg-s + γg-l -γs-l =γg-l (1+cos θ)

W i =γ

g-s -γs-l =γg-l cos θ S = γg-s -γg-l -γs-l =γg-l (cos θ - 1)

能被液体所润湿的固体，称为亲液性固体；不被液体所润湿的固体，称为憎液性固体。

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§ 13.6 表面活性剂及其应用

1.表面活性剂分类

表面活性剂通常采用按化学结构来分类，分为离子型和非离子型两大类，离子型中又可分为阳离子型、阴离子型和两性型表面活性剂。显然阳离子型和阴离子型的表面活性剂不能混用，否则可能会发生沉淀而失去活性作用。

2.常用表面活性剂类型

阴离子表面活性剂

常见的阴离子表面活性剂有RCOONa （羧酸盐）、R-OSO3Na（硫酸酯盐）、R-SO3Na（磺酸盐）和R-OPO3Na2（磷酸酯盐）。

阳离子表面活性剂

常见的阳离子表面活性剂有R-NH2·HCl（伯胺盐）、R-HN(CH3)-HCl（仲胺盐）、R-(CH3)N(CH3)-HCl(叔胺盐)、R-N+(CH3)2-CH3Cl-(季胺盐)。

两性表面活性剂

常见的两性表面活性剂有R-NHCH2-CH2COOH（氨基酸型）、R-N+(CH3)2-CH2COO-（甜菜碱型）。

非离子表面活性剂

常见的非离子表面活性剂有R-O-(CH2CH2O)n H（脂肪醇聚氧乙烯醚）、R-(C6H4)-O(C2H4O)n H（烷基酚聚氧乙烯醚）、R2N-(C2H4O)n H（聚氧乙烯烷基胺）、R-CONH(C2H4O)n H（聚氧乙烯烷基酰胺）、R-COOCH2(CHOH)3H（多元醇型）。

3.表面活性剂效率和有效值

表面活性剂效率

使水的表面张力明显降低所需要的表面活性剂的浓度。显然，所需浓度愈低，表面活性剂的性能愈好。

表面活性剂有效值

能够把水的表面张力降低达到的最小值。显然，能把水的表面张力降得愈低，该表面活性剂愈有效。

表面活性剂的效率与有效值在数值上常常是相反的。例如，当憎水基团的链长增加时，效率提高而有效值降低。

4.胶束(micelle)

表面活性剂是两亲分子。溶解在水中达一定浓度时，其非极性部分会自相结合，形

成聚集体，使憎水基向里、亲水基向外，这种多分子聚集体称为胶束。

随着亲水基不同和浓度不同，形成的胶束可呈现棒状、层状或球状等多种形状。

5.临界胶束浓度(critical micelle concentration)

表面活性剂在水中随着浓度增大，表面上聚集的活性剂分子形成定向排列的紧密单分子层，多余的分子在体相内部也三三两两的以憎水基互相靠拢，聚集在一起形成胶束，这开始形成胶束的最低浓度称为临界胶束浓度。临界胶束浓度简称CMC 。

这时溶液性质与理想性质发生偏离，在表面张力对浓度绘制的曲线上会出现转折。继续增加活性剂浓度，表面张力不再降低，而体相中的胶束不断增多、增大。

6.亲水亲油平衡(hydrophile-lipophile balance)

表面活性剂都是两亲分子，由于亲水和亲油基团的不同，很难用相同的单位来衡量，所以格里芬(Griffin)提出了用一个相对的值即HLB 值来表示表面活性物质的亲水性。对非离子型的表面活性剂，HLB 的计算公式为：

HLB 100/5 亲水基质量值=亲水基质量+憎水基质量

例如：石蜡无亲水基，所以HLB=0；聚乙二醇，全部是亲水基，HLB=20。其余非离子型表面活性剂的HLB 值介于0～20之间。

根据需要，可根据HLB 值选择合适的表面活性剂。例如：HLB 值在2～6之间，可作油包水型的乳化剂；8～10之间作润湿剂；12～18之间作为水包油型乳化剂。

HLB 值 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

| |—————| |———| |———| |———| |

石蜡 W/O 乳化剂 润湿剂 洗涤剂 增溶剂 聚乙二醇

|—————|

O/W 乳化剂 7.表面活性剂的重要作用

表面活性剂的用途极广，主要有五个方面：

(1).润湿作用

表面活性剂可以降低液体表面张力，改变接触角的大小，从而达到所需的目的。

例如，要农药润湿带蜡的植物表面，要在农药中加表面活性剂；如果要制造防水材料，就要在表面涂憎水的表面活性剂，使接触角大于90°。

(2).起泡作用

“泡”就是由液体薄膜包围着气体。有的表面活性剂和水可以形成一定强度的薄膜，包围着空气而形成泡沫，用于浮游选矿、泡沫灭火和洗涤去污等，这种活性剂称为起泡剂。

也有时要使用消泡剂，在制糖、制中药过程中泡沫太

多，要加入适当的表面活性剂降低薄膜强度，消除气泡，

防止事故。

起泡剂作用：（a）降低表面张力；（b）产生的气泡膜

牢固，有弹性；（c）由适当的表面黏度。

(3).增溶作用

非极性有机物如苯在水中溶解度很小，加入油酸钠等表面活性剂后，苯在水中的溶解度大大增加，这称为增溶作用。

增溶作用与普通的溶解概念是不同的，增溶的苯不是均匀分散在水中，而是分散在油酸根分子形成的胶束中。

经X射线衍射证实，增溶后各种胶束都有不同程度的增大，而整个溶液的的依数性变化不大。

(4).乳化作用

一种或几种液体以大于10-7m直径的液珠分散在另一不相混溶的液体之中形成的粗分散体系称为乳状液。

要使它稳定存在必须加乳化剂。根据乳化剂结构的不同可以形成以水为连续相的水

包油乳状液(O/W)，或以油为连续相的油包水乳状液(W/O)。

有时为了破坏乳状液需加入另一种表面活性剂，称为破

乳剂，将乳状液中的分散相和分散介质分开。例如原油中需

要加入破乳剂将油与水分开。

(5).洗涤作用

洗涤剂中通常要加入多种辅助成分，增加对被清洗物体

的润湿作用，又要有起泡、增白、占领清洁表面不被再次污染等功能。

其中占主要成分的表面活性剂的去污过程可用示意图说明：

A.水的表面张力大，对油污润湿性能差，不容易把油污洗掉。

B.加入表面活性剂后，憎水基团朝向织物表面和吸附在污垢上，使污垢逐步脱离表面。

C.污垢悬在水中或随泡沫浮到水面后被去除，洁净表面被活性剂分子占领。

8.浮游选矿

首先将粗矿磨碎，倾入浮选池中。在池水中加入捕集剂和起泡剂等表面活性剂。

搅拌并从池底鼓气，带有有效矿粉的气泡聚集表面，收集并灭泡浓缩，从而达到了富集的目的。

不含矿石的泥砂、岩石留在池底，定时清除。

浮游选矿的原理:选择合适的捕集剂，使它的亲水基团只吸在矿砂的表面，憎水基朝向水。当矿砂表面有5%被捕集剂覆盖时，就使表面产生憎水性，通入气体,产生气泡后,它会附在气泡上一起升到液面，便于收集。

9.乳状液类型

简单的乳状液通常分为两大类。习惯上将不溶于水的有机物称油，将不连续以液珠形式存在的相称为内相，将连续存在的液相称为外相。

(1).水包油乳状液

用O/W表示。内相为油，外相为水，这种乳状液能用水稀释，如牛奶等。

(2).油包水乳状液

用W/O表示。内相为水，外相为油，如油井中喷出的原油。

检验水包油乳状液:

加入水溶性染料如亚甲基蓝，说明水是连续相；加入油溶性的染料红色苏丹Ⅲ，说明油是不连续相。

§ 13.7 固体表面的吸附

1.固体表面的特性

固体表面上的原子或分子与液体一样，受力也是不均匀的，而且不像液体表面分子可以移动，通常它们是定位的。

固体表面是不均匀的，从宏观上看似乎很光滑，但从原子水平上看是凹凸不平的。 同种晶体由于制备、加工不同，会具有不同的表面性质，而且实际晶体的晶面是不完整的，会有晶格缺陷、空位和位错等。

正由于固体表面原子受力不对称和表面结构不均匀性，它可以吸附气体或液体分子，使表面自由能下降。而且不同的部位吸附和催化的活性不同。

2.吸附剂和吸附质(adsorbent,adsorbate)

当气体或蒸汽在固体表面被吸附时，固体称为吸附剂，被吸附的气体称为吸附质。 常用的吸附剂有：硅胶、分子筛、活性炭等。

为了测定固体的比表面，常用的吸附质有：氮气、水蒸气、苯或环己烷的蒸汽等。

3.吸附量的表示

吸附量通常有两种表示方法：

(1)单位质量的吸附剂所吸附气体的体积。

3-1/ m g q V m =?单位： 体积要换算成标准状况(STP)

(2)单位质量的吸附剂所吸附气体物质的量。

-1/ mol g q n m =?单位：

4.吸附量与温度、压力的关系

对于一定的吸附剂与吸附质的体系，达到吸附平衡时，吸附量是温度和吸附质压力的函数，即：(,)q f T p =

通常固定一个变量，求出另外两个变量之间的关系，例如：

(1)T =常数，q = f (p )，得吸附等温线。

(2)p =常数，q = f (T )，得吸附等压线。

(3)q =常数，p = f (T )，得吸附等量线。

5.吸附等温线的类型

从吸附等温线可以反映出吸附剂的表面性质、孔分布以及吸附剂与吸附质之间的相互作用等有关信息。

常见的吸附等温线有如下5种类型 (图中p /p s 称为比压，p s 是吸附质在该温度时的

饱和蒸汽压，p为吸附质的压力) ：

(Ⅰ)在2.5nm以下微孔吸附剂上的吸附等温线属于这种类型。例如78K时N2在活性炭上的吸附及水和苯蒸汽在分子筛上的吸附。

(Ⅱ)常称为S型等温线。吸附剂孔径大小不一，发生多分子层吸附。在比压接近1时，发生毛细管和孔凝现象。

(Ⅲ)这种类型较少见。当吸附剂和吸附质相互作用很弱时会出现这种等温线，如352K 时，Br2在硅胶上的吸附。

(Ⅳ)多孔吸附剂发生多分子层吸附时会有这种等温线。在比压较高时，有毛细凝聚现象。例如在323K时，苯在氧化铁凝胶上的吸附属于这种类型。

(Ⅴ)发生多分子层吸附，有毛细凝聚现象。例如373K时，水汽在活性炭上的吸附属于这种类型。

6.毛细凝聚现象

设吸附剂的孔为一端开口半径为R'的圆筒，R'的大小属于中孔

范围，可以应用Kelvin公式。设液体能完全润湿孔壁，这样所得的

吸附等温线如图(a)所示。

AB线段代表低压下的吸附，当压力达到折点处，发生毛细凝聚，

即蒸汽变成液体在毛细管中凝聚，吸附量迅速增加。

这是因为液体能润湿固体，在孔中液面呈弯月形，如图(b)所示。

根据Kelvin公式，凹面上的蒸汽压比平面上小，所以在小于饱

和蒸汽压时，凹面上已达饱和而发生凝聚，这就是毛细凝聚现象。在

测量固体比表面时，采用低压，因为发生毛细凝聚后会使结果偏高。

继续增加压力，凝聚液体增多，当达到图(b)中的b线处，液面

成平面，这时的吸附等温线如CD线所示。

第 51 次课 2 学时

§

13.7

固体表面的吸附

河北科技大学复变函数试题与答案 (2)

2.1 B 2.10（2）假命题 分析：如果()f z 在点z 的某邻域内处处可导，则称()f z 在点z 处解析。解析?可导，可导?/解析，例如()||f z z =（P38例3） ()Re()f z z z =（P42例1(3)）在原点处可导 但是不解析。 2.2 C 2.3 A 2.7 27 (1)4 i -。 分析：如果()f z 在点z 处可导，则 '()u v f z i x x ??=+??。于是题2.3中， (1,1)(1,1) (1,1)'(1)'()|()|2|2 u v f i f z i x x x ??+==+??== 题2.7中，

22 33 (,)22 33'()(32)|2227 (1)4 f i x xy i i --+=+=-。 2.4 2. 2.5 ,u v x x ????可微且222222,u v u v x x y x y x ????==-??????。 2.6 2 2 2 ()()(2)f z x y xy c i z c =-+++或。 2.8(1) 3 3 2,3,u x v y == 26,0,u u x x y ??==??2 0,9,v v y x y ??==?? 22 ()69, 3 f z x y y x ==±在直线即上可导， 但处处不解析。

(2) ()f z 在原点处可导，但处处不解析。 2.9(1) 3 2 (2)'32z iz z i +=+，处处解析。 (2) 21 1 z -在除1z =±外处处解析。 2.10 (1) 假。()2f z x yi =+（P36例2）处 处连续，处处不可导。 (2) 假。()||f z z =（P38例3） ()Re()f z z z =（P42例1(3)）在原点处 可导但是不解析。 (3) 假。例子同(2)。 (4) 假 (5) 假 (6) 真。 2.11 3 2 3 2 ,u my nx y v x lxy =+=+ 23 222,3,3,2u u nxy my nx x y v v x ly lxy x y ??==+????=+=??,

河北科技大学大学物理学往年试卷试卷-A

河北科技大学2009——2010学年第二学期 《普通物理学A 》期末考试试卷 一、选择题（每题3分，共计30分。将答案填写在下面表格内） 1、某质点的运动学方程为 x =3t -5t 3+6 (SI) ，则该质点作 (A) 匀加速直线运动，加速度沿x 正方向； (B) 匀加速直线运动，加速度沿x 负方向； (C) 变加速直线运动，加速度沿x 正方向； (D) 变加速直线运动，加速度沿x 负方向。 2、质点做半径为R 的变速圆周运动时的加速度大小为(V 表示任一时刻质点的速率) (A) dt dv ； (B) R v 2 ； (C) R v dt dv 2 + ； (D) 2 1 24 2)(?????????? ??+R v dt dv 。 3、质量为m 、m 4的两个质点分别以动能E 和E 4运动，方向相反，则总动量的大小为 (A) mE 2； (B) mE 23； (C) mE 25； (D) () mE 2122-。 4、关于刚体对轴的转动惯量，下列说法正确的是 (A) 仅与刚体的质量有关； (B) 只与刚体的质量和形状有关； (C) 取决于刚体的质量及相对于轴的质量分布； 考场 座位 学 班级__________姓名__________学号_____________ 密 封 线 内 不 要 答 题

(D) 仅取决于刚体的质量及轴的位置。 5、有一边长为a 的正立方体，在其中心有一电荷量为q 的正点电荷，如图所示，则通过正立方体任一侧面的电场强度通量为 (A) 03εq ； (B) 2 0q a ε； (C) 03πεq ； (D) 06εq 。 6、关于洛仑兹变换和伽利略变换，说法正确的是 (A) 洛仑兹变换只对高速运动物体有效，对低速运动物体是错误的； (B) 洛仑兹变换和伽利略变换没有任何关系； (C) 在低速情况下，洛仑兹变换可过渡到伽利略变换； (D) 以上都不对； 7、一颗子弹水平射入静止于光滑水平面上的物块后随物块一起运动。对于这一过程的正确分析是 (A) 子弹、物块组成的系统机械能守恒； (B) 子弹动能的减少等于物块动能的增加； (C) 子弹所受的冲量等于物块所受的冲量； (D) 子弹、物块组成的系统水平方向动量守恒。 8、磁介质有三种，用相对磁导率r μ 表征它们各自的特性时 ： (A) 顺磁质 r 0μ>，抗磁质 r 0μ<，铁磁质r 0μ>>； (B) 顺磁质r 1μ> ，抗磁质r 1μ= ，铁磁质r 1μ>>； (C) 顺磁质r 1μ> ，抗磁质r 1μ< ，铁磁质r 1μ>>； (D) 顺磁质r 0μ< ，抗磁质r 1μ< ，铁磁质r 0μ>。 9、两个相距不太远的平面圆线圈，怎样放置可使其互感系数近似为零（设其中一线圈的轴线恰通过另一线圈的圆心） (A) 两线圈的轴线相互平行； (B) 两线圈的轴线相互垂直；

河北科技大学大学物理答案稳恒磁场

习 题 12-1 若电子以速度()()616120103010.m s .m s --=醋+醋v i j 通过磁场()0030.T =-B i ()015.T j 。(1)求作用在电子上的力；(2)对以同样速度 运动的质子重复上述计算。 解：（1） () ()k j i j i B v F 136610624.015.003.0100.3100.2-?=-??+?-=?-=e e （2）k F 1310624.0-?-= 12-2 一束质子射线和一束电子射线同时通过电容器两极板之间，如习题12-2图所示。问偏离的方向及程度有何不同？ 质子射线向下偏移，偏移量较小；电子射线向上偏移，偏移量较大。 12-3 如习题12-3图所示，两带电粒子同时射入均匀磁场，速度方向皆与磁场垂直。(1)如果两粒子质量相同，速率分别是v 和2v ；(2)如果两粒子速率相同，质量分别是m 和2m ；那么，哪个粒子先回到原出发点？ 解：qB m T π2= (1)同时回到原出发点；(2) 质量是m 先回到原出发点。 12-4 习题12-4 图是一个磁流体发电机的示意图。将气体加热到很 高温度使之电离而成为等离子体，并让它通过平行板电极1、2之间， 在这 习题12-2图 习题12-3图 习题12-4图

里有一垂直于纸面向里的磁场B 。试说明这两极之间会产生一个大小为vBd 的电压（v 为气体流速，d 为电极间距） 。问哪个电极是正极？ 解：qE qvB =，vB E =，vBd Ed U ==，电极1是正极。 12-5 一电子以713010.m s v -=醋 的速率射入匀强磁场内，其速度方向与B 垂直，10T B =。已知电子电荷191610.C e --=-?。质量 319110.kg m -=?，求这些电子所受到的洛仑兹力，并与其在地面上所受 重力进行比较。 解：11719 108.410100.310 6.1--?=????==evB F N ， 3031109.88.9101.9--?=??==g m G e N 18104.5?=G F 12-6 已知磁场B 的大小为04.T ，方向在xy 平面内，并与y 轴成3p 角。试求电量为10pC q =的电荷以速度()7110m s -=?v k 运动，所受的磁场力。 解：j i j i B 2.032.03 cos 4.06 cos 4.0+=+=π π ，k 710=v ， ()() 4 7121032.02.02.032.0101010--?+-=+???=j i j i k F N 。 12-7 如习题12-7图所示，一电子在 20G B =的磁场里沿半径为20cm R =的螺旋线运动，螺距50.cm h =，如图所示，已知电子的荷质比 11117610.C kg e -=醋，求这电子的速度。 习题12-7图

复变函数与积分变换课后习题答案详解

复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林 （复旦大学出版社） ——课后习题答案

习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππe cos isin 44-??????=-+- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+ ); 33 3;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 322222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ (( )( ){ }3 3 2 3 2 111313188-+? ???== --?-?+?-????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴Re 1=?? , Im 0=?? ． ④解： ∵ () ( )(( )2 3 3 2 3 13131i 8 ??--?-?+?-???? =?? ()1 80i 18 = += ∴Re 1 =? ? , Im 0=? ? ． ⑤解： ∵()()1,2i 211i, k n k n k k n k ?-=? =∈?=+-???￠． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i -+= 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()( )2i 32i 2i 32i ++=++= ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 22++== ()1i 11i 222i ++-??== ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+，

河北科技大学大学物理答案11章分解

习 题 11-1 面积很大的导体平板A 与均匀带电平面B 平行放置，如习题11-1图所示。已知A 与B 相距d ，两者相对的部分的面积为S 。(1)设B 面带电量为q ，A 板的面电荷密度为1s 及2s ，求A 板与B 面之电势差。(2)若A 板带电量为Q ，求1s 及2s 。 (1)d S q U 0 212/εσσ-+= ； （2）S q Q 21+=σ，S q Q 22-=σ 习题11-1图 习题11-2图 习题11-3图 11-2 如习题11-2图所示，有三块互相平行的导体板，外面的两块用导线连接，原来不带电。中间一块上所带总面电荷密度为521310.C m --醋。求每块板的两个表面的面电荷密度各 是多少？ （忽略边缘效应。） 解：从上到下6个面一次为面1、2、3、4、5、6. 2 61σ σσ= =，8323σσσ= -=，8 554σ σσ=-= 11-3 如习题11-3图所示，半径为1R 的导体球带有电荷q ，球外有一个内、外半径为2R 、3R 的同心导体球壳，壳上带有电荷Q 。求：(1)两球的电势1j 及2j ；(2)两球的电势差j D ；(3)用导线把球和壳连接在一起后，1j ，2j 及j D 分别为多少？ (4)在情形(1)、(2)中，若外球接地，1j ，2j 和j D 为多少？(5)设外球离地面很远，若内球接地，情况如何？ 解：（1）3 024R Q q πε?+= ，2010301444R q R q R Q q πεπεπε?- ++=； (2)两球的电势差2 01 044R q R q U πεπε- = ； (3) 3 0214R Q q πε??+= =，0=U ；

16-17-1复积场试题A卷(1)

河北科技大学理工学院2016—2017学年第一学期 《复变函数、积分变换与场论》期末考试试卷（A 卷） 一、选择题（本题共7小题,每小题3分,共21分.请将答案写在答题纸指定位置） 1. 设z 为复数，则方程2z z i +=+的解是( ). （A ）34i -+ （B ）34i + （C ）34i - （D ）34 i -- 2. 下列函数中,为解析函数的是( ). （A ）222x y xyi -- （B ）2x xyi + （C ）222(1)(2)x y i y x x -+-+ （D ）33x iy + 3．若幂级数0n n n c z ∞ =∑在12z i =+处收敛,那么该级数在2z =处的敛散性为( ). （A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定 4．幂级数10(1)1n n n z n ∞ +=-+∑在1z <内的和函数为( ). （A ）ln(1)z + （B ）ln(1)z - （C ）1ln 1z + (D)1ln 1z - 5.设i z t t =+（t 为参数），则其表示（ ）图形。 （A ）直线 （B ）双曲线 （C ）圆 （D ）抛物线 6．0z =是函数3 2 32z z z ++的( ). （A ） 可去奇点 （B ）一级极点 （C ）二级极点 （D ）本性奇点 7. 设()()1at m f t e t m =>-,则[]f (t )=L ( ). （A ）()1! +-m m s a （B ）()1!++m m s a （C ）()()1!m m s a +- （D ）()() 1!m m s a ++ 二、填空题(本题共7小题,每小题3分,共21分.请将答案写在答题纸指定位置) 1. i i 的主值为 .

河北科技大学大学物理答案第9章

第9章思考题 令狐采学 91 理想气体物态方程是根据哪些实验定律导出的，其适用条件是什么？ 92内能和热量的概念有何不合？下面两种说法是否正确？(1) 物体的温度愈高，则热量愈多；(2) 物体的温度愈高，则内能愈年夜？ 93 在pV图上用一条曲线暗示的过程是否一定是准静态过程？理想气体经过自由膨胀由状态(p1,V1,T1)修改到状态(p2,V2,T1)，这一过程能否用一条等温线暗示。 94有可能对物体传热而不使物体的温度升高吗？有可能不作任何热交换，而系统的温度产生变更吗？95在一个房间里，有一台电冰箱在运转着，如果掀开冰箱的门，它能不克不及冷却这个房间？空调为什么会使房间变凉？ 96根据热力学第二定律判别下列两种说法是否正确？

(1) 功可以全部转化为热，但热不克不及全部转化为功； (2) 热量能够从高温物体传到高温物体，但不克不及从高温物体传到高温物体。 97 一条等温线和一条绝热线是否能有两个交点？为什么？ 98 为什么热力学第二定律可以有许多不合的表述？ 99 瓶子里装一些水，然后密闭起来。忽然概略的一些水温度升高而蒸发成汽，余下的水温变低，这件事可能吗？它违反热力学第一定律吗？它违反热力学第二定律吗？ 910有一个可逆的卡诺机，以它做热机使用时，若工作的两热源温差愈年夜，则对做功越有利；看成制冷机使用时，如果工作的两热源温差愈年夜时，对制冷机是否也愈有利？（从效率上谈谈） 911可逆过程是否一定是准静态过程？准静态过程是否一定是可逆过程？有人说“但凡是有热接触的物体，它们之间进行热交换的过程都是不成逆过程。”这种说法对吗？

912如果功变热的不成逆性消失了，则理想气体自由膨胀的不成逆性也随之消失，是这样吗？ 913热力学第二定律的统计意义是什么？如何从微观角度理解自然界自发过程的双标的目的性？ 914西风吹过南北纵贯的山脉：空气由山脉西边的谷底越过，流动到山顶达到东边，在向下流动。空气在上升时膨胀，下降时压缩。若认为这样的上升、下降过程是准静态的，试问这样的过程是可逆的吗？ 915 一杯热水置于空气中，他总要冷却到与周围环境相同的温度。这一过程中，水的熵减少了，这与熵增加原理矛盾吗？ 916一定量气体经历绝热自由膨胀。既然是绝热的，即0d =Q ,那么熵变也应该为零。对吗？为什么？ 习 题 91 一定量的某种理想气体按C pV =2（C 为恒量）的规律膨胀，阐发膨胀后气体的温度的变更情况。 解：已知(1) 2C pV =理想气体状态方程(2) RT M pV μ= ， 将(2)式代如(1)式，得 C V RT M =?μ ,整理，

14-15-1复变、积变与场论A答案

河北科技大学理工学院2014—2015学年第一学期 《复变函数、积分变换与场论》期末考试试卷标准答案（A 卷） 学院 理工学院 年级 13级 _考试班级 电气类L13 一、填空题。（本题共10个空，每空2分，共20分；将正确答案填在题中的横线上） 1、2，π43- 2、2 sin 2cos ππi +， 2 πi e 3、k z xz j y zy i x xy ρρρ)2()2()2(222-+-+- 4、1 5、i k i ππ2)34arctan (5ln +-+，)3 4 arctan (5ln -+πi 6、绝对收敛 7、0 二、（本题共5小题，每小题2分，共10分） 1、B 2、D 3、B 4、B 5、C 三、判断下列命题的对错，对的在其后面的括号内打“√”，错误的在其后的括号内打“╳”（本题共5小题，每小题2分，共10分）。 1 ╳ 2 ╳ 3 ╳ 4 ╳ 5 ╳ 四、（本题共2小题，每小题10分，共20分） 1. 将221 (1) z +展开成z 的幂级数. 解：由 21 1(1),11n n z z z z z =-+++-+<+L L …………………3分 1 2 112(1),1(1) n n z n z z z --=-++-+<+L L …………………4分 212(1)222 112(1)(1)(1),1(1)n n n n n n z nz n z z z =∞ --==-++-+=-+<+∑L L ………3分 2. 把函数() 2 1 ()f z z z i = -在以i 为中心的圆环域内展开为洛朗级数。 解：（1）在01z i <-<内 …………………1分 A 卷标准答案 共（ 4 ）页，第（ 1 ）页

2015-2016复积场试题A卷 (1)

河北科技大学2015——2016学年第一学期 《复变函数、积分变换与场论》考试试卷(A ) 学院 班级 姓名 学号 一、选择题（本题共5小题，每小题3分,共15分） 1. 一个向量顺时针旋转3 π ，向右平移3个单位，再向下平移1个单位后对应的复 数为1-，则原向量对应的复数是 【 】 (A ）2; （B ）; （C i ; （D i . 2. 若函数22()2(1)()f z x y i y ax x =-++-在复平面内处处解析，则实常数a 的值等 于 【 】 (A)0； (B)1； (C)2； (D)任意常数. 3.下列级数中，绝对收敛的是 【 】 (A)111n i n n ∞ =??+ ???∑； (B)1(1)2n n n i n ∞=??-+????∑； (C)2ln n n i n ∞=∑； (D)1(1)2n n n ∞ =-∑. 4. 设有矢量场A ? ，下列叙述正确的是 【 】 (A) 若散度处处为零，即0=A div ? ，则称此矢量场为管形场； (B) 若散度处处为零，即0=A div ? ，则称此矢量场为调和场； (C) 如果恒有rot 0? ?=A ，则称此矢量场为无源场； (D) 若散度处处为零，即0=A div ? ，则称此矢量场为有势场. 5.设矢量场(2)(42)(26),A x y i x y z j y z k → → →=+++++-r 则下列结论不正确

的是 【 】 (A)A u r 为保守场； (B)A u r 为调和场； (C)A u r 为管形场；(D)A u r 为有源场. 二、填空题(本题共7小题，每小题3分,共21分) 1. Im{ln(34)}i -= . 2．设C 为负向圆周||2,z =则5()z C e dz z i π=-?? . 3．设3 sin 2(),(1) z f z z = +则Re [(),1]s f z -= . 4．方程31+0z i -=的全部根为 . 5． 如果()f z u iv =+是调和函数， 是v 的共轭调和函数. 6．数量场22 3u x z xy z =-+在点(1,1,1)M -处沿{1,2,3}l =-r 的方向导数等于 . 7．函数()sin 5f t t =的Fourier 变换为 . 三、计算下列积分(本题共4小题，每小题5分,共20分) 1.() 33 21 ,1C z z dz z -+-? ?，其中C 为正向圆周3||=z .

河北科技大学大学物理答案第9章

第9章思考题 9-1 理想气体物态方程是根据哪些实验定律导出的，其适用条件是什么？ 9-2内能和热量的概念有何不同？下面两种说法是否正确？(1) 物体的温度愈高，则热量愈多；(2) 物体的温度愈高，则内能愈大？ 9-3 在p-V图上用一条曲线表示的过程是否一定是准静态过程？理想气体经过自由膨胀由状态(p1,V1,T1)改变到状态(p2,V2,T1)，这一过程能否用一条等温线表示。 9-4有可能对物体传热而不使物体的温度升高吗？有可能不作任何热交换，而系统的温度发生变化吗？ 9-5在一个房间里，有一台电冰箱在运转着，如果打开冰箱的门，它能不能冷却这个房间？空调为什么会使房间变凉？ 9-6根据热力学第二定律判别下列两种说法是否正确？ (1) 功可以全部转化为热，但热不能全部转化为功； (2) 热量能够从高温物体传到低温物体，但不能从低温物体传到高温物体。 9-7 一条等温线和一条绝热线是否能有两个交点？为什么？ 9-8 为什么热力学第二定律可以有许多不同的表述？ 9-9 瓶子里装一些水，然后密闭起来。忽然表面的一些水温度升高而蒸发成汽，余下的水温变低，这件事可能吗？它违反热力学第一定律吗？它违反热力学第二定律吗？ 9-10有一个可逆的卡诺机，以它做热机使用时，若工作的两热源温差愈大，则对做功越有利；当作制冷机使用时，如果工作的两热源温差愈大时，对于制冷机是否也愈有利？（从效率上谈谈） 9-11可逆过程是否一定是准静态过程？准静态过程是否一定是可逆过程？有人

说“凡是有热接触的物体，它们之间进行热交换的过程都是不可逆过程。”这种说法对吗？ 9-12如果功变热的不可逆性消失了，则理想气体自由膨胀的不可逆性也随之消失，是这样吗？ 9-13热力学第二定律的统计意义是什么？如何从微观角度理解自然界自发过程的单方向性？ 9-14西风吹过南北纵贯的山脉：空气由山脉西边的谷底越过，流动到山顶到达东边，在向下流动。空气在上升时膨胀，下降时压缩。若认为这样的上升、下降过程是准静态的，试问这样的过程是可逆的吗？ 9-15 一杯热水置于空气中，他总要冷却到与周围环境相同的温度。这一过程中，水的熵减少了，这与熵增加原理矛盾吗？ 9-16一定量气体经历绝热自由膨胀。既然是绝热的，即0d =Q ,那么熵变也应该为零。对吗？为什么？ 习 题 9-1 一定量的某种理想气体按C pV =2（C 为恒量）的规律膨胀，分析膨胀后气体的温度的变化情况。 解：已知(1) 2C pV =理想气体状态方程(2) RT M pV μ =， 将(2)式代如(1)式，得 C V RT M =?μ,整理， R M C T V μ=? 对于一定质量的理想气体，M 为定值，令 'R M C C μ=,则 'C T V =?，

河北科技大学大学物理答案11章

河北科技大学大学物理 答案11章 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

习 题 11-1 面积很大的导体平板A 与均匀带电平面B 平行放置，如习题11-1图所示。已知A 与B 相距d ，两者相对的部分的面积为S 。(1)设B 面带电量为q ，A 板的面电荷密度为 1 及 2 ，求A 板与B 面之电势差。(2)若A 板带电量为Q ，求 1 及 2 。 (1)d S q U 0212/εσσ-+= ；（2）S q Q 21+=σ，S q Q 22-=σ 习题11-1图 习题11-2图 习题11-3图 11-2 如习题11-2图所示，有三块互相平行的导体板，外面的两块用导线连接，原来不带电。中间一块上所带总面电荷密度为521310.C m 。求每块板的两个表面的面电荷密度各是多少 （忽略边缘效应。） 解：从上到下6个面一次为面1、2、3、4、5、6. 2 61σ σσ= =，8323σσσ= -=，8 554σ σσ=-= 11-3 如习题11-3图所示，半径为1R 的导体球带有电荷q ，球外有一个内、外半径为2R 、3R 的同心导体球壳，壳上带有电荷Q 。求：(1)两球的电势1 及 2 ； (2)两球的电势差；(3)用导线把球和壳连接在一起后， 1 ， 2 及分别为多 少 (4)在情形(1)、(2)中，若外球接地，1 ， 2 和为多少(5)设外球离地面很远， 若内球接地，情况如何

解：（1）3024R Q q πε?+= ，2 010301444R q R q R Q q πεπεπε?-++=； (2)两球的电势差2 01 044R q R q U πεπε- =； (3) 3 0214R Q q πε??+= =，0=U ； (4) 02=?，2 01 0144R q R q πεπε?- = (5)内球带电量为3 213 111/R R R R Q q +-- ='，01=?，1 020244R q R q πεπε?'-'= 11-4 如习题11-4图所示，一半径为a 的非导体球，放于内半径为b ，外半径为 c 的导体球壳的中心。电荷Q 均匀分布于内球(电荷密度为)，外球壳带电 Q 。求(1)空间电场分布；(2)问球壳的内、外表面各出现多少电荷？ 解：(1) a r <，r a Q E 3 04πε= ；a r b >>，2 04r Q E πε= ；b r c >>，0=E ； c r >，0=E ； (2) 球壳的内表面电量Q q -=，外表面电量Q q 2-='。 习题11-4图 习题11-5图 11-5 如习题11-5图所示，一球形导体A 含有两个球形空腔，这导体本身的总电荷为零，但在两空腔中心分别有一个点电荷b q 和c q ，导体球外距导体球很远

15-16-1复积试题答案A

河北科技大学理工学院2015—2016学年第一学期 《复变函数与积分变换》期末考试试卷标准答案（A ） 学院 理工学院 年级 14级 考试班级 信息类L145、电子类L149、L1410 一、选择题（本题共6小题，每小题3分,共18分） 1.B 2.C 3.B 4.B 5.B 6.C 二、填空题(本题共10个空，每空2分,共20分) 3arctan -π 2.cos()sin()22 i ππαα-+-,i e )2(απ- 3.)23arctan (13ln 21-+πi 4.22ie π 5.(2)2k e ππ-+ 6.1 7.t 8.00()()()t t f t dt f t δ+∞ -∞-=? 三、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 1.× 2.× 3.× 4.× 5.× 四、解下列各题(本题共6小题，每小题7分,共42分) 1.?=-2||41 z dz z z . 解：在圆周内被积函数有四个一级极点i ±±,1，……………………………………2分 []00 032 000()1Re (),()44P z z s f z z Q z z z ==='， ……………………………………1分 []()[][][]{}i z f s i z f s z f s z f s i dz z z z -++-+=-?=),(Re ),(Re 1,Re 1),(Re 212||4π……2分 0414141412=? ?????--+=i π …………………………………………2分 2.计算积分 ?=-42 )2(sin z dz z z π 解: 222)(sin 2)2(sin π ππ =='=-?z z z i dz z z …………………………………4分

河北科技大学大学物理答案第9章

第9章思考题 ９-１理想气体物态方程就是根据哪些实验定律导出得,其适用条件就是什么？ 9－2内能与热量得概念有何不同?下面两种说法就是否正确?(1)物体得温度愈高，则热量愈多；（2)物体得温度愈高，则内能愈大? 9-3 在p—V图上用一条曲线表示得过程就是否一定就是准静态过程？理想气体经过自由膨胀由状态（p1，V1，T1)改变到状态(p２,Ｖ2，T1),这一过程能否用一条等温线表示. 9-４有可能对物体传热而不使物体得温度升高吗？有可能不作任何热交换,而系统得温度发生变化吗？ ９-5在一个房间里，有一台电冰箱在运转着，如果打开冰箱得门,它能不能冷却这个房间？空调为什么会使房间变凉？ ９-6根据热力学第二定律判别下列两种说法就是否正确? （１）功可以全部转化为热，但热不能全部转化为功; (2）热量能够从高温物体传到低温物体,但不能从低温物体传到高温物体。9—7 一条等温线与一条绝热线就是否能有两个交点？为什么？ ９—8 为什么热力学第二定律可以有许多不同得表述？ ９—9 瓶子里装一些水,然后密闭起来。忽然表面得一些水温度升高而蒸发成汽，余下得水温变低，这件事可能吗？它违反热力学第一定律吗?它违反热力学第二定律吗？ 9—１0有一个可逆得卡诺机，以它做热机使用时，若工作得两热源温差愈大，则对做功越有利；当作制冷机使用时,如果工作得两热源温差愈大时，对于制冷机就是否也愈有利？（从效率上谈谈)

９－11可逆过程就是否一定就是准静态过程？准静态过程就是否一定就是可逆过程？有人说“凡就是有热接触得物体，它们之间进行热交换得过程都就是不可逆过程。”这种说法对吗？ ９-12如果功变热得不可逆性消失了，则理想气体自由膨胀得不可逆性也随之消失,就是这样吗？ 9—13热力学第二定律得统计意义就是什么？如何从微观角度理解自然界自发过程得单方向性？ ９—14西风吹过南北纵贯得山脉：空气由山脉西边得谷底越过,流动到山顶到达东边，在向下流动。空气在上升时膨胀,下降时压缩。若认为这样得上升、下降过程就是准静态得,试问这样得过程就是可逆得吗？ 9—15一杯热水置于空气中,她总要冷却到与周围环境相同得温度.这一过程中，水得熵减少了，这与熵增加原理矛盾吗? 9-16一定量气体经历绝热自由膨胀。既然就是绝热得,即，那么熵变也应该为零.对吗?为什么？ 习题 9—１一定量得某种理想气体按（Ｃ为恒量)得规律膨胀,分析膨胀后气体得温度得变化情况。 解：已知理想气体状态方程， 将(2）式代如（1)式，得，整理, 对于一定质量得理想气体,为定值，令，则， 所以膨胀后气体温度成比例降低。

2015-2016复变、积变、场论A答案 (1)

河北科技大学2015—2016学年第一学期 《复变函数、积分变换与场论》期末考试试卷标准答案（A 卷） 学院 电气学院 年级 14级 考试班级 电气141、142、143、144、SY14 一、选择题（本题共5小题，每小题3分,共15分） 1. D ； 2. C ； 3.D ； 4.A ； 5.D 。 二、填空题(本题共7小题，每小题3分,共21分) 1. -arctan 3 4 ； 2．0； 3.2sin 2; 44422sin ) 0,1,233 k k i k ππππ-+-++=; 5．-u ; 6 7．[(5)(5)]j πδωδω+--。 三、计算下列积分(本题共4小题，每小题5分,共20分) 1.() 33 21 ,1C z z dz z -+-? ?，其中C 为正向圆周3||=z . 解：() 33 21 1C z z dz z -+-? ?312= (21)2! Z i z z π=''-+ ………………………………2分 =12.i π ………………………………3分 2. sin (1)z C z dz z e -? ?，其中C 为正向圆周1 ||2 z =. 解： 0z =sin (1) z z z e -是 的一级极点，利用留数定理，………………………………1分 Re [(),0]1s f z =-， ………………………………2分 sin (1)z C z dz z e -??=2Re [(),0]i s f z π=-2i π . ………………………………2分

3.2 4 .1x dx x +∞ -∞+? 解：2 4 1x dx x +∞ -∞+?2i π=344 22 44 Re [,]Re [,]11i i z z s e s e z z ππ??+??++?? …………………2分 2i π=3442244 11z i z i z z z z ππ==???? +??''++????（）（） 2i π=34 4 2 2 3 344z i z i z z z z ππ==???? +?????? = 2 . …………………3分 4. 20 .t t e e dt t --+∞ -? 解：利用公式0 0() [()]f t dt L f t ds t +∞+∞=? ?， 20 t t e e dt t --+∞ -? 20=L t t e e ds +∞--??-??? …………………3分 0 11=12 ds s s +∞ ---? 01=ln 2s s +∞ +?? ?+??=ln2. …………………2分 四、(6分)利用卷积定理，证明()-1 222L sin 2+s t at a s a ?? ? ?=???? . 证：由()-1 22L cos +s at s a ????=????，()-1 2211L sin +at a s a ????=???? ， …………………2分 及卷积定理得

河北科技大学大学物理答案11章

习题 11－1 面积很大得导体平板与均匀带电平面平行放置,如习题1１—1图所示.已知与相距,两者相对得部分得面积为.(1)设面带电量为,板得面电荷密度为及，求板与面之电势差。（2）若板带电量为，求及。 (1）；（2）, 习题1１-1图习题11-2图习题11－3图 11—2如习题１１-2图所示,有三块互相平行得导体板,外面得两块用导线连接,原来不带电.中间一块上所带总面电荷密度为。求每块板得两个表面得面电荷密度各就是多少？（忽略边缘效应。) 解:从上到下6个面一次为面１、２、3、４、5、6、 ,, 11-3 如习题11—3图所示，半径为得导体球带有电荷,球外有一个内、外半径为、得同心导体球壳，壳上带有电荷。求：（１)两球得电势及;（2）两球得电势差；（3）用导线把球与壳连接在一起后，，及分别为多少？（4)在情形（1）、（2)中，若外球接地,，与为多少？(5)设外球离地面很远，若内球接地，情况如何? 解:(1),； (2)两球得电势差; （3），； （4) , (5)内球带电量为,， 11-4如习题11-4图所示，一半径为得非导体球，放于内半径为，外半径为得导体球壳得中心.电荷均匀分布于内球（电荷密度为),外球壳带电。求（1）空间电场分布；(2)问球壳得内、外表面各出现多少电荷？ 解：（1），；，；,； ，; （2）球壳得内表面电量，外表面电量。

习题11－４图习题１1-5图 11-5 如习题1１—5图所示,一球形导体含有两个球形空腔，这导体本身得总电荷为零，但在两空腔中心分别有一个点电荷与，导体球外距导体球很远得处有另一个点电荷,如图所示。试求,与各受多大得力? 哪个答案就是近似得? ，,就是近似得。 11—6 半径为得金属球与地相连接,在与球心相距处有一点电荷,问球上得感应电荷有多大（设金属球距地面及其她物体很远）？ 解： 11—7如习题1１－7图所示,球形金属腔带电量为，内半径为,外半径为，腔内距球心为处有一点电荷,求球心得电势。 解： 11－8半径为得导体球,带有电荷,球外有一均匀电介质得同心球壳，球壳得内、外半径分别为与，相对介电常量为，如习题11—8图所示.求：（1）各区域得电场强度，电位移矢量及电势，绘出,及图线。(2）介质内得电极化强度与介质表面上得极化电荷面密度。 解:(1），,,; ,，,； ,,，； ，,，； (2) ，介质内表面介质外表面 习题1１—７图习题1１－8图习题11－9图

河北科技大学复变函数试题与答案 (1)

1.1 ||z= 1.2arg arctan8 zπ =-. 1.312 z i =-+. 1.4 3 1.5 (1) 32 133 z i =-, 2 arg arctan 3 z=-. (2) 7 13 2 z i =--, 26 arg arctan 7 zπ =-. 1.7 (1) 2 cos sin 22i i i e π ππ =+=. (2) 3 12(cos sin)2 33i i e π ππ +=+=. (3) 4 1)sin()] 44i i i π ππ- -=-+-=. 1.8 (1) 8i -. (2) 1)sin()) 44 i i ππ -=-+-,

22 44 s()sin()) 33 k k i ππ ππ -+-+ =+ ,0,1,2. k= )sin()) 1212 w i ππ =-+- , 1 77 )sin()) 1212 w i ππ =+ , 2 55 )sin()) 44 w i ππ =+. 1.9 C. 1.10 D. 1.11 C 1.12 222 59 2,,. 24 c a b a c ===-= 221 . 2594 x y += 1.13 72i -+. 1.14 (1) 3 x=-. (2) 0 y=. (3)1 y x =+(0) x>.

1.15 2 2 2 2 1x y w i x yi x y x y = = - +++ (1) ,.4 4 x y u v ==- 2 214 u v += . (2) 2 2 1 ,.11y u v y y = =-++ 2 2 2 1 1u v u y += =+. 2 2 11(),(0)2 4 u v u - += >

复变函数与积分变换课后习题答案

复变函数与积分变换 （修订版） 主编：马柏林 （复旦大学出版社）——课后习题答案

习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππe cos isin 44-??????=-+- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+ ); 33 3;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 322222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ (( )( ){ }3 3 2 3 2 111313188-+? ???== --?-?+?-????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴Re 1=?? , Im 0=?? ． ④解： ∵ () ( )(( )2 3 3 2 3 13131i 8 ??--?-?+?-???? =?? ()1 80i 18 = += ∴Re 1=? ? , Im 0=? ? ． ⑤解： ∵()()1,2i 211i, k n k n k k n k ?-=? =∈?=+-???． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i -+== 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()( )2i 32i 2i 32i ++=++= ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 22++== ()1i 11i 222i ++-??== ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+， 则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0

河北科技大学大学物理标准答案第8章

第8章思考题 8-1 什么是热力学系统，试举出几个例子。 8-2什么是宏观量和微观量，它们之间有何区别和联系？ 8-3什么是热力学系统的平衡态？当气体处于平衡态时还有分子热运动吗？ 8-4什么是热平衡？怎样根据热平衡来引进温度的概念？对与非平衡态是否能用温度的概念？ 8-5用温度计测量温度，是根据什么原理？ 8-6人的正常体温是36.5℃，若用华氏温标和热力学温标表示应该是多少？ 8-7对一定质量的气体来说，当温度不变时，气体的压强随体积的减小而增大；当体积不变时，压强随温度的升高而增大；从宏观来看，这两种变化同样是压强增大，从微观来看它们有何区别？ 8-8试用关于平衡态下理想气体分子运动的统计假设说明0===z y v v v x 8-9在铁路上行驶的火车，在海面上航行的船只，在空中飞行的飞机各有几个自由度？尖端固定在一点正做进动的陀螺有几个自由度？ 8-10刚性2CO 分子(两个氧原子对称地附在碳原子的两侧)和刚性3NH 分子各有几个自由度？ 8-11一个分子的平均平动动能kT t 2 3 =ε如何理解？对于一个分子，能否根据此公式计算它的动能？ 8-12 相同温度下氢气和氧气分子的速率分布是否一样？ 8-13最概然速率和平均速率的物理意义是什么？有人认为最概然速率就是速率分布中的最大速率，对不对？ 8-14在恒压下，加热理想气体，则气体分子的平均自由程和平均碰撞次数将随

温度的变化而如何变化？ 8-15一定质量的气体，保持容积不变。当温度增加时分子运动的更剧烈，因而平均碰撞次数增多，平均自由程是否也因此减小？为什么？ 8-16试根据热传导率的微观公式说明：当容器内气体温度不变而压强降低时，它的热导率将保持不变；当压强降低到分子运动的平均自由程和容器线度可比拟时，气体的导热率随压强的降低而减小。 习 题 8-1在什么温度下,下列一对温标给出相同的读数：（1）华氏温标和摄氏温标；（2）摄氏温标和热力学温标？ 解：（1） 当 时，即可由 ，解得 故在 时 （2） 若 则有 显而易见此方程无解，因此不存在 的情况。 8-2 在90km 的高空，大气的压强为Pa 18.0，密度为3 6 kg/m 102.3-?。求该处的温度和分子数密度。空气的摩尔质量取g/mol 0.29 解：（1）nm m N A ==ρμ ,