09级高代试卷B

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周口师范学院2009~2010学年度第二学期期末考试

《高等代数》试卷（B ）

数学系数学教育专业 09级

一、 填空题 （每小题 2分，共 20 分）

1． 复数域C 看成实数域R 上的向量空间，维数为 .

2.设1，2，-3为3阶矩阵A 的全部特征根，则det A = .

3. 实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 的.

4.实数域R 上一切4元二次型可以分成 类.

5.欧氏空间3

R 中，向量(1,0,0)α=的长度为 . 6. 4

R 中向量(1,0,3,5),(4,2,0,1)a β=--=-的内积为

.

7. 向量组1231010,4,0003ααα?????? ? ? ?

=== ? ? ? ? ? ???????

线性 .

8.设123{,,}ααα为向量空间V 的一个基，则213{,,}ααα到312{,,}ααα的过渡矩阵为 .

9.两个实二次型等价的充要条件是它们有相同的 .

10. 在线性空间V 中，定义()0αασ=（其中0α是V 中一个固定向量）， 那么当=0α 时，σ是V 的一个线性变换.

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二、 判断题 （正确的在括号内打“√”，错误的

在括号内打“×”，每小题 2 分，共 20 分）

1. 在欧氏空间中，若向量ξ与12,ηη都正交，则ξ与1122k k ηη+正交.（ ）

2.实对称矩阵的特征根不一定是实数. （ ）

3.两个对称变换的乘积一定是对称变换. （ ）

4.矩阵110221

0011022U ??- ?

?

= ? ? ??

?

为正交矩阵. （ ） 5. 有理数域Q 可以看作实数域R 上的向量空间 . （ ） 6.若0ξ≠，则

22ξ

ξ

为单位向量. （ ） 7.二次型2

2

2

123123121323(,,)55484q x x x x x x x x x x x x =+++--为正定二次 型. （ ） 8.任意n 维欧氏空间一定有规范正交基. （ ） 9. 3V 的正交变换一定是一个旋转. （ ）10.相似的矩阵具有相同的特征多项式. （ ）

三、计算题 （每小题10 分，共 20分）

1． 已知123(0,2,1,0),(1,1,0,0),(1,2,0,1),ααα==-=-

4(1,0,0,1)α=是4R 的一个基，对这个基施行正交化方法，求出4R 的

一个规范正交基.

2．求矩阵

457

149

405

A

-

??

?

=-

?

?

-

??

在实数域内的特征根和相应的特征向量.

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