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假设检验、方差分析、回归分析

《数理统计》课内实验报告

学生姓名:张学阳1009300132

及学号：

学院: 理学院

班级: 数学101

课程名称：数理统计

实验题目:假设检验、方差分析、回归分析

指导教师

王亮红讲师

姓名及职称：

郭新辰教授

韩玉副教授

2012年11月13日

一、实验目的 (1)

二、实验内容 (1)

三、实验要点及说明 (2)

四、实现方法 (2)

五、实验结果 (3)

六、源程序清单 (4)

七、思考及总结 (5)

一、实验目的

1. 掌握假设检验、方差分析、回归分析的概念；

2. 学会利用Matlab软件实现对实验数据的假设检验、方差分析、回归分析等统计分析方法。

二、实验内容

1. 某种零件的尺寸方差为2 1.21

σ=，对一批这类零件检查6件得尺寸数据（单位：毫米）为：

32.56 29.66 31.64 30.00 21.87 31.03

设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米（显著性水平0.05

α=）。

2. 按照规定，每100克罐头番茄汁中，维生素C的含量不得少于21毫克，现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，测得维生素C 的含量（单位：毫克）如下：

22 21 20 23 21 19 15 13 16

23 17 20 29 18 22 16 25

已知维生素C的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格（显著性水平0.025

α=）。

4．为寻求适应某地区的高产油菜品种，今选了五种不同品种进行试验，每一品种在四块试验田上得到在每一块田上的亩产量如下：

问题：试分析不同品种的平均亩产量是否有显著差异？若存在显著性差异，哪个品种的亩产量高？并给出参数的估计值。 (均值、方差、置信区间)

三、实验要点及说明

对于问题1和问题2首先判断属于标准差已知还是未知的检验，然后根据检验统计量判断是否落入拒绝域，再判断是否合理。

四、实现方法

1.总体),1.1(~2μN X ，待检验的原假设0H 与备择假设1H 分别为

5.32:0=μH vs 8:1≠μH

这是一个双边检验问题，检验的拒绝域为

}|{|/2-1αμμ≥

取显著水平,05.0=α查表知96.1975.0=μ，具体数据可由Matlab 求解。

2.这是一个关于均值的单边的假设检验问题。原假设是

21:0≥μH vs 21:1<μH

由于标准差未知，故采用t 检验，其拒绝域为

1)}-(n t |t {|α≤

显著性水平0.025α=，可以查表和通过Matlab 计算得到相应的数值。

4.若取0

5.0=α，由Matlab 求解得到P 值为0.0162，由于P 值小于

α，故拒绝原假设。下面是参数估计

各水平均值i μ

的最大似然估计

i i x =μ

1,2,3,4,5)(i =

通过Matlab 求解得到264,、277.25、269.75、285.5、212.5 因此A4产量最高方差的无偏估计为

1.7662==e MS σ

置信区间为

m )/(f .2/-1e i t x ασ

求解得到：1μ[234.503, 293.497]

：

2μ[247.753, 306.747] ：

3μ[240.253, 299.247] ：

4μ[256.003, 314.997] ：

5μ[183.003, 241.997] 五、实验结果

1. 问题一结果： H =1

sig = 1.2923e-011

结果H =1，说明在0.05的水平下，可拒绝原假设，即这批零件的尺寸不能认为是32.50毫米。

2. 问题二结果：

h =0 sig =0.1581

结果表明，h=0，即在显著水平为0.025的情况下，不能拒绝原假设，认为这批罐头的维生素含量合格。

3. 问题四结果： P = 0.0162

图一 anova1函数的数据结构结果图形

V a l u e s

Column Number

图二 anova1函数的箱形图

由于P 的值小于0.05，故拒绝原假设，认为各台机器生产的薄板厚度有显著的差异。

六、源程序清单

1. 问题一源程序：

>> X=[32.56 29.66 31.64 30.00 21.87 31.03]; >> [H,sig]=ztest(X,32.5,1.1,0.05,0)

2.问题二源程序：

>> Y=[22 21 20 23 21 19 15 13 16 23 17 20 29 18 22 16 25];

>> [h,sig]=ttest(Y,21,0.025,-1)

3.问题四源程序：

>> Z=[256 244 250 288 206;

222 300 277 280 212;

280 290 230 315 220;

298 275 322 259 212];

>> P=anova1(Z)

>> mean(Z)

>> mean(Z)-sqrt(766.1)*2.1314/2

>> mean(Z)+sqrt(766.1)*2.1314/2

七、思考及总结

通过这次课内试验更加熟练的使用了假设检验和方差分析的概念学会了利用Matlab软件实现对实验数据的假设检验、方差分析等统计分析方法。

第9章方差分析与回归分析习题答案

第九章方差分析与回归分析习题参考答案 1. 为研究不同品种对某种果树产量的影响，进行试验，得试验结果（产量）如下表，试分析果树品种对产量是否有显着影响. （0.05(2,9) 4.26F =，0.01(2,9) 8.02F =） 34 2 11 1310ij i j x ===∑∑ 解：r=3, 12444n n 321=++=++=n n , T=120 ,120012 1202 2===n T C 3 4 2 211 131********(1)1110110T ij T i j SS x C S n s ===-=-==-=?=∑∑或S 322.1112721200724(31)429724A i A A i SS T C S s ==-=-==-=??=∑或S 3872110=-=-=A T e SS SS SS 计算统计值722 8.53, 389 A A A e e SS f F SS f = =≈…… 方差分析表结论:由于0.018.53(2,9)8.02, A F F ≈>=故果树品种对产量有特别显着影响. 2. ..180x = 43 2 11 2804ij i j x ===∑∑ 解：22..4,3,12,180122700l m n lm C x n =======

43 2211 28042700104(1)119.45 104T ij T i j S x C S n s ===-=-==-=?≈∑∑&&或 422 .1 12790270090(1)331090 3A i A A i S x C S m l s ==-=-==-≈??=∑或322 .1 12710.5270010.5(1)8 1.312510.5 4B j B B j S x C S l m s ==-=-==-≈?=∑或1049010.5 3.5e T A B S S S S =--=--= 计算统计值90310.52 51.43,93.56 3.56 A A B B A B e e e e S f S f F F S f S f = =≈==≈ 结论: 由以上方差分析知，进器对火箭的射程有特别显着影响；燃料对火箭的射程有显着影响. 31,58,147,112,410.5,i i i i i i x y x y x y =====（1）求需求量Y 与价格x 之间的线性回归方程；（2）计算样本相关系数；（3）用F 检验法作线性回归关系显着性检验. ??? ? ??====56.10)9,1(,26.11)8,1(12.5)9,1(,32.5)8,1(01.001.005.005.0F F F F 解：引入记号 10, 3.1, 5.8n x y === ()()14710 3.1 5.832.8xy i i i i l x x y y x y nx y =--=-=-??=-∑∑ 2 222()11210 3.115.9xx i i l x x x nx =-=-=-?=∑∑ 22 ()(1)9 1.766715.9xx i x l x x n s =-=-≈?≈∑或 2 222()410.510 5.874.1yy i i l y y y ny =-=-=-?=∑∑ 22()(1)98.233374.1yy i y l y y n s =-=-≈?≈∑或 ?(1) b Q 32.8??2.06, 5.8 2.06 3.112.1915.9xy xx l a y bx l -==≈-=-≈+?≈ ∴需求量Y 与价格x 之间的线性回归方程为 ?y ??12.19 2.06a bx x =+≈-

方差分析和回归分析的区别与联系

一、方差分析和回归分析的区别与联系？（以双变量为例）联系： 1、概念上的相似性回归分析是为了分析变量间的因果关系，研究自变量X取不同值时，因变量平均值丫的变化。运用回归分析方法，可以从变量的总偏差平方和中分解出已被自变量解释掉的误差（解释掉误差）和未被解释掉的误差（剩余误差）；方差分析是为了分析或检验总体间的均值是否有所不同。通过对样本中自变量X取不同值时所对应的因变量丫均值的比较，推论到总体变量间是否存在关系。运用方差分析，也可以从变量的总离差平方和中分解出已被自变量解释掉的误差和未被自变量解释掉的误差。因此两种分析在概念上所具有的相似性是显而易见的。 2、统计分析步骤的相似性回归分析在确定自变量X是否为因变量丫的影响因素时，从分析步骤上先对X和丫进行相关分析，然后建立变量间的回归模型。最后再进行参数的统计显着性检验或对回归模型的统计显着性进行检验。方差分析在确定X是否是丫的影响因素时，是先从样本所的数据的分析入手，然后考察数据模型，最后对样本均值是否相等进行显着性检验。二者在分析步骤上也具有相似性。 3、假设条件具有一定的相似性回归分析有五个基本假定，分别是：自变量可以是随机变量也可以是非随机变量；X与丫之间存在的非确定性的相关关系，要求丫的所有子总体，其方差都相等；子总体均值在一条直线上；随机变量丫是统计独立的，即丫1的数值不影响丫2的数值，各丫值之间都没有关系；丫值的每一个子总体都满足正态分布。方差分析的基本假定有：等方差性（总体中自变量的每一取值所对应因变量丫的分布都具有相同方差）；丫的分布为正态分布。二者在假设条件上存在着相同。 4、在总离差平方和中的分解形式和逻辑上的相似性回归分析中，TSS=RSS+RS,S而在方差分析中，TSS=RSS+BS二者均是以已解释掉的误差与未被解释掉的误差之和为总离差平方和。 5、确定影响因素上的相似性为简化分析起见，我们假设只有一个自变量X影响因变量丫。在回归分析中，要确定X是否是丫的影响因素，就要看当X已知时，对丫的总偏差有无影响。如果X不是影响丫的因素，等同于只知变数丫的数据列一样,此时用丫去估计每个丫的值,所犯的错误（即偏差）为最小。如果因素X 是影响丫的因素，那么当已知X值后 6、在统计显着性检验上具有相似性回归分析的总显着性检验，是一种用R2测量回归的全部解释功效的检验。检验RSSR*（N-2） /RS,S 方差分析的显着性检验是一种根据样本数据提取信息所进行的显着性检验。它也是通过F 检验进行的。区别： 1、研究变量的分析点不同回归分析法既研究变量丫又研究变量X并在此基础上集中研究变量丫与X的函数关系，得到的是在不独立的情况下自变量与因变量之间的更加精确的回归函数式,也即判断相关关系的类型，因此需建立模型并估计参数。方差分析法集中研究变量丫的值及其变差而变量X值仅用来把丫值划分为子群或组，得到的是自变量（因素）对总量Y是否具有显着影响的整体判断，因

方差分析及回归分析

第九章回归分析教学要求 1．一元线性回归及线性相关显著性的检验法，利用线性回归方程进行预测。 2．可线性化的非线性回归问题及简单的多元线性回归。 ? 本章重点：理解线性模型，回归模型的概念，掌握线性模型中参数估计的最小二乘法估计法。 ? 教学手段：讲练结合 ? 课时分配：6课时 §9.1 一元线性回归回归分析是研究变量之间相关关系的一种统计推断法。例如，人的血压y 与年龄x 有关，这里x 是一个普通变量，y 是随机变量。Y 与x 之间的相依关系f(x)受随机误差ε的干扰使之不能完全确定，故可设有： ε+=)(x f y （9.1）式中f(x)称作回归函数，ε为随机误差或随机干扰，它是一个分布与x 无关的随机变量，我们常假定它是均值为0的正态变量。为估计未知的回归函数f(x)，我们通过n 次独立观测，得x 与y 的n 对实测数据(x i ,y i )i=1,……,n ，对f(x)作估计。实际中常遇到的是多个自变量的情形。例如在考察某化学反应时，发现反应速度y 与催化剂用量x 1,反应温度x 2,所加压力x 3等等多种因素有关。这里x 1,x 2,……都是可控制的普通变量，y 是随机变量，y 与诸x i 间的依存关系受随机干扰和随机误差的影响，使之不能完全确定，故可假设有： ε+=),,,(21k x x x f y Λ (9.2) 这里ε是不可观察的随机误差，它是分布与x 1,……,x k 无关的随机变量，一般设其均值为0，这里的多元函数f(x 1,……,x k )称为回归函数，为了估计未知的回归函数，同样可作n 次独立观察，基于观测值去估计f(x 1,……,x k )。以下的讨论中我们总称自变量x 1,x 2,……,x k 为控制变量，y 为响应变量，不难想象，如对回归函数f(x 1,……,x k )的形式不作任何假设，问题过于一般，将难以处理，所以本章将主要讨论y 和控制变量x 1,x 2,……,x k 呈现线性相关关系的情形，即假定 f(x 1,……,x k )=b 0+b 1x 1+……+b k x k 。并称由它确定的模型 (9.1) (k=1)及(9.2)为线性回归模型，对于线性回归模型，估计回归函数f(x 1,……,x k )就转化为估计系数b 0、b i (i=1,……,k) 。当线性回归模型只有一个控制变量时，称为一元线性回归模型，有多个控制变量时称为多元线性回归模型，本着由浅入深的原则，我们重点讨论一元的，在此基础上简单介绍多元的。 §9.1.1 一元线性回归一、一元线性回归的数学模型

一元线性回归,方差分析,显著性分析

一元线性回归分析及方差分析与显著性检验某位移传感器的位移x 与输出电压y 的一组观测值如下：（单位略）设x 无误差，求y 对x 的线性关系式，并进行方差分析与显著性检验。（附：F 0。10(1，4)=4.54，F 0。05(1，4)=7.71，F 0。01(1，4)=21.2）回归分析是研究变量之间相关关系的一种统计推断法。一．一元线性回归的数学模型在一元线性回归中，有两个变量，其中 x 是可观测、可控制的普通变量，常称它为自变量或控制变量，y 为随机变量，常称其为因变量或响应变量。通过散点图或计算相关系数判定y 与x 之间存在着显著的线性相关关系，即y 与x 之间存在如下关系： y =a +b ?x +ε (1) 通常认为ε~N (0,δ2)且假设δ2与x 无关。将观测数据(x i ,y i ) (i=1，……，n)代入(1)再注意样本为简单随机样本得： {y i =a +b ?x i +εi ε1?εn 独立同分布N (0,σ2) (2) 称(1)或(2)(又称为数据结构式)所确定的模型为一元(正态)线性回归模型。对其进行统计分析称为一元线性回归分析。模型(2)中 EY= a +b ?x ，若记 y=E(Y),则 y=a+bx,就是所谓的一元线性回归方程，其图象就是回归直线，b 为回归系数，a 称为回归常数，有时也通称 a 、b 为回归系数。设得到的回归方程 bx b y +=0? 残差方程为N t bx b y y y v t t t i ,,2,1,?0Λ=--=-= 根据最小二乘原理可求得回归系数b 0和b 。对照第五章最小二乘法的矩阵形式，令 ?????? ? ??=??? ? ??=??? ???? ??=??????? ??=N N N v v v V b b b x x x X y y y Y M M M M 2102121?111 则误差方程的矩阵形式为 V b X Y =-? 对照X A L V ?-=，设测得值 t y 的精度相等，则有

案例库项目八假设检验回归分析与方差分析

项目八假设检验、回归分析与方差分析实验3 方差分析实验目的学习利用Mathematica求单因素方差分析的方法. 基本命令 1.调用线性回归软件包的命令<

中,向量Y是因变量,也称作响应变量.矩阵X称作设计矩阵, ?是参数向量??是误差向量? ????????DesignedRegress也是作一元和多元线性回归的命令, 它的应用范围更广些. 其格式与命令Regress的格式略有不同: DesignedRegress[设计矩阵X,因变量Y的值集合, RegressionReport ->{选项1, 选项2, 选项3,…}] RegressionReport(回归报告)可以包含:ParameterCITable(参数?的置信区间表???? ?PredictedResponse (因变量的预测值), MeanPredictionCITable(均值的预测区间), FitResiduals(拟合的残差), SummaryReport(总结性报告)等, 但不含BestFit. 实验准备—将方差分析问题纳入线性回归问题在线性回归中, 把总的平方和分解为回归平方和与误差平方和之和, 并在输出中给出了方差分析表. 而在方差分析问题

中, 也把总的平方和分解为模型平方和与误差平方和之和, 其方法与线性回归中的方法相同. 因此只要把方差分析问题转化为线性模型的问题, 就可以利用线性回归中的设计回归命令DesignedRegress 做方差分析. 单因素试验方差分析的模型是 ?? ? ??==+=. ,,2,1;,,2,1,),,0(~,2s j n i N Y j ij ij ij j ij ΛΛ独立各εσεεμ (3.1) 上式也可改写成 ?? ? ??===+-+==+=.,,2,1;,,2,1,),,0(~; ,,3,2,)(, ,,2,1,2111111s j n i N s j Y n i Y j ij ij ij j ij i i ΛΛΛΛ独立各εσεεμμμεμ (3.2) 给定具体数据后, 还可(2.2)式写成线性模型的形式:

3[1]3总体方差的假设检验

§3 检验母体方差 3.1 检验正态母体的方差 ——2 χ检验母体),(~2σμN X ，2 ,σμ均未知，试对 2 σ与2 0σ有无显著差异作假设检验. ①在母体上作假设 ?=2 020:σσH 2021:σσ≠H ②检验统计量 )1( ~ )1(22 02 2 --=*n S n H χσχ ③给定显著水平α，如图存在 )1(22 1-- n α χ 和)1(2 2 -n αχ，使 2 )}1({)}1({2 2 222 12α χχχ χαα = ->=-<- n P n P 故取拒绝域 } )1()1(),,,{(2 2 222 12 21->-<=- n n x x x W n αα χχχ χ或

④决策：当抽样结果是 W x x x n ∈),,,(21 时，拒绝0 H ，认为2 σ与2 0σ有显著差异；否则接受0 H ，认为2 σ与20 σ无显著差异. 例3.3.1 某细纱车间纺出的一种细纱支数的标准差2.10=σ，现从某日纺出的一批细纱中随机抽出16缕进行支数测量，算得子样标准差1.2* =s ，问：纱的均匀度有无显著变化（取05.0=α）？假定母体分布是正态的。解: 设该日纺出的纱的支数 ),(~2 σμN X ，2 ,σμ均未知，作假设?=2.1:20σH 2.1:21 ≠σH 检验统计量)1(~ )1(22 22 --= *n S n H χσ χ 给定显著水平α，拒绝域为 } )1()1(),,,{(2 2 222 1221->-<=-n n x x x W n ααχχχχ或

这时16=n ，2.10=σ，1.2* =s ，从而94.452 =χ，又05.0=α，查表得 262.6)15()1(975.02 1==-- χχ α n ， 488.27)15()1(025.02 ==-χχαn ，可见)1(2 2 ->n αχχ，故应拒绝0H ，认为这天细纱的均匀度有显著变化。例3.3.2 ),(~2 σμN X ， 2 ,σμ均未知，当45>n ，作如下假设检验 ?=2 2 0:σσH 2021:σσ≠H 检验统计量取为2 02 2 )1(σχ *-= S n ，证明：给定显著水平α，则拒绝域为 } )1(2)1({})1(2)1({2 22 2ααχχu n n u n n W ---≤-+-≥= . 证明：作假设?=2020:σσH 2 021:σσ≠H ， 0H 成立时检验统计量

正态总体均值及方差的假设检验表

正态总体均值及方差的假设检验表：单正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平α) 1 a n ～N (0,1)2 01 a S n ～t 2 2 02 1 0n i n i a ～ 2或 2 21 2 n 2 2n 2 21 n 20 ～ 22 21 1 2 n 2 21n 21 1 n

2 212 12 n n ～N (0,1) 2 1 2 11W S n n ～ 2 , 22 1122 122 n S n S n n 22 22 21112 2 1 2 1i i n i i a a n ～12,F n n 2 或 2 2 221 n S n ～21,1n 1 2或 2

Z =ξ-η～N (a 1-a 2，21σ+2 2σ)，Z i =ξi -ηi . 2 21 2 Z n ) 2 1 S n ～ 2

单正态总体均值及方差的区间估计(置信度1-α) 已知 1 a n ～N (0,1)0 1 1 , n n u u n n 1 a S n ～t , 1 1 t t n n 2 02 1 n i n i a ～ 001 122, 12 2 i i i i n n a a 20 ～ 21 ,12 2 n

2个正态总体均值差及方差比的区间估计(置信度1-α) 12 212 12 a n n ～N (0,1) 2212 12 u n n 112 11W a S n n 22 n t 1 22 12 11W n n t S n n )2 a ξ-12 ,1 ,2 2 n n A F A 2 112 222 2 11n S n S ～ 2 2 21112W n S n S n n 212 1212 2 2 1 n i i n i i n a A n a ，2 122 2 21111n n S B n n S ．（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）

假设检验与方差分析

实验四假设检验实验目的：通过此实验熟练掌握如何利用假设检验工具根据不同条件选择相应检验工具进行检验，有助于学习者理解假设检验的过程及结果实验要求：能够运用Excel 对总体均值进行假设检验，学会针对实际背景提出原假设和备择假设来检验实际问题，并根据检验结果作出符合统计学原理和实际情况的判断和结论，加深对统计学方法的广泛应用背景的理解假设检验与区间估计两者之间存在密切的关系，二者用的是同一个样本、同一个统计量、同一种分布，所以也可以用区间估计进行假设检验，两者结论是一致的。在Excel 中进行假设检验，除可按区间估计过程用公式和逆函数计算外，还备有专用的假设检验工具，包括Z —检验工具、T —检验工具和F —检验工具。使用这些工具，可以直接根据样本数据进行计算，一次给出检验统计量、单尾和双尾临界值以及小于或等于临界值的概率等所需要的数值。实验四主要介绍假设检验工具的使用。一、假设检验的一般过程假设检验主要是根据计算出的检验统计量与相应临界值比较，作出拒绝或接受原假设的决定。根据全国汽车经销商协会报道，旧车的平均销售价格是10192美元。堪萨斯城某旧车经销处的一名经理检查了近期在该经销处销售的100辆旧车。结果样本平均价格是9300美元，样本标准差是4500美元。在0.05的显著性水平下，检验H 0：10192≥μ H 1：10192<μ。问：假设检验的结论是什么？这名经理接下来可能会采取什么行动？本例由于样本容量比较大，其均值近似服从正态分布，总体方差未知，需要用样本标准差来代替，选择T 统计量进行检验。T 统计量的计算公式如下：

)1(~1 0--= -n t n s x t n μ 单击任一空单元格，输入“=(9300-10192)/(4500/SQRT(100))”，回车确认，得出t 统计量为-1.982。单击另一空单元格，输入“=TINV(0.025,99)”，回车确认，得出t 分布的右临界值为2.276。因为276.2982.1<-，所以不拒绝原假设，认为此旧车经销处旧汽车平均销售价格不小于10192美元。那么接下来这名经理会采取什么相应行动？（请读者思考）。本例主要介绍了假设检验的一般过程，利用Excel 的公式和函数求出相应的统计量值和临界值，最后作出结论。二、假设检验工具的使用接下来介绍如何使用Excel 的假设检验工具。使用这一工具应该注意二点：第一，由于现实世界和生活中大量的数据服从正态分布，Excel 的假设检验工具是按正态总体设计的（以下各例未特殊说明，认为其服从或近似服从正态分布）；第二，Excel 的假设检验工具主要用于检验两总体之间有无显著差异。具体来讲，Z —检验工具是对方差或标准差已知的两总体均值进行差异性检验；T —检验工具是对方差和标准差未知的两总体均值进行差异性检验，其中包括等方差假设检验、异方差假设检验和成对双样本检验；F —检验工具是对总体的标准差进行检验。（一）Z —检验工具的使用国际航空运输协会对商务旅行者进行调查以确定大西洋两岸过关机场的等级分数。假定：要求50名商务旅行者组成的随机样本给迈阿密机场打分，另50名商务旅行者组成的随机样本给洛杉机机场打分，最高等级为10分。两个样本数据如下：迈阿密机场得分数据： 6 4 6 8 7 7 6 3 3 8 10 4 8 7 8 7 5 9 5 8 4 3 8 5 5 4 4 4 8 4 5 6 2 5 9 9 8 4 8 9 9 5 9 7 8 3 10 8 9 6 洛杉机机场得分数据： 10 9 6 7 8 7 9 8 10 7 6 5 7 3 5 6 8 7 10 8 4 7 8 6 9 9 5 3 1 8 9 6 8 5 4 6 10 9 8 3 2 7 9 5 3 10 3 5 10 8 假定两总体的等级标准差已知（这里用样本标准差代替总体标准差），

方差分析与回归分析

方差分析与回归分析 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

第八章方差分析与回归分析 §1 单因素试验的方差分析试验指标：研究对象的某种特征。例各人的收入。因素：与试验指标相关的条件。例各人的学历，专业，工作经历等与工资有关的特征。因素水平：因素所在的状态例学历是因素，而高中，大学，研究生等，就是学历因素水平；数学，物理等就是专业的水平。问题：各因素水平对试验指标有无显着的差异单因素试验方差分析模型假设 1）影响试验指标的因素只有一个，为A ，其水平有r 个：1,,r A A ； 2）每个水平i A 下，试验指标是一个总体i X 。各个总体的抽样过程是独立的。 3）2~(,)i i i X N μσ，且22i j σσ=。问题：分析水平对指标的影响是否相同 1）对每个总体抽样得到样本{,1}ij i X j n ≤≤，由其检验假设：原假设0:i j H μμ=，,i j ?；备选假设：1:i j H μμ≠，,i j ?； 2）如果拒绝原假设，则对未知参数21,,,r μμσ进行参数估计。注 1）接受假设即认为：各个水平之间没有显着差异，反之则有显着差异。 2）在水平只有两个时，问题就是双正态总体的均值假设检验问题和参数估计问题。检验方法数据结构式：ij i ij i ij X μεμδε=+=++，偏差2~(0,)ij N εσ是相互独立的， 11r i i i n n μμ==∑。不难验证，1 0r i k δ==∑。各类样本均值水平i A 的样本均值：1 1i n i ij j i X X n == ∑；水平总样本均值：11111i n r r ij i i i j i X X n X n n =====∑∑∑，1 r i i n n ==∑；偏差平方和与效应

方差分析和相关分析与回归分析

《统计学》实验五一、实验名称：方差分析二、实验日期： 2010年12月3日三、实验地点：经济管理系实验室四、实验目的和要求目的：培养学生利用EXCEL进行数据处理的能力，熟练掌握利用EXCEL 进行方差分析，对方差分析结果进行分析要求：就本专业相关问题收集一定数量的数据，用EXCEL进行方差分析五、实验仪器、设备和材料：个人电脑（人/台），EXCEL 软件六、实验过程（一）问题与数据消费者与产品生产者、销售者或服务的提供者之间经常发生纠纷。当分生纠纷后，消费者常常会向消费者协会投诉。为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的企业作为样本。其中零售业抽取7家、旅游业抽取6家、航空公司抽取5家、家电制造业抽取5家。具体数据如下：取显著性水平α=0.05，检验行业不同是否会导致消费者投诉的显著性差异？（二）实验步骤 1、进行假设 2、将数据拷贝到EXCEL表格中 3、选择“工具——数据分析——单因素方差分析”，得到如下结果：

（三）实验结果分析：由以上结果可知：F>F crit=3.4066或P-value=0.0387657<0.05,拒绝原假设，表明行业对消费者投诉有着显著差异。实验心得体会在这学习之前我们只学习了简单的方差计算，现在运用计算机进行方差分析，可以做出更多的比较。通过使用计算机可以很快的计算出组间和组内的各种数值，便于我们进行比较分析。

《统计学》实验六一、实验名称：相关分析与回归分析二、实验日期： 2010年12月3日三、实验地点：经济管理系实验室四、实验目的和要求目的：培养学生利用EXCEL进行数据处理的能力，熟练掌握EXCEL绘制散点图，计算相关系数，拟合线性回归方程，拟合简单的非线性回归方程，利用回归方程进行预测。要求：就本专业相关问题收集一定数量的数据，用EXCEL进行相关回归分析（计算相关系数，一元线性回归分析，一元线性回归预测）五、实验仪器、设备和材料：个人电脑（人/台），EXCEL 软件六、实验过程（一）问题与数据 10个学生每天用于学习英语的时间和期末考试的成绩的数据如下表所示。要求， (1)绘制学习英语的时间和期末考试的成绩的散点图，判断2者之间的关系形态 (2)计算学习英语的时间和期末考试的成绩的线性相关系数（3）用学习英语的时间作自变量，期末考试成绩作因变量，求出估计的回归方程。（4）求每天学习英语的时间为150分钟时，销售额95%的置信区间和预测区间。学生时间（分钟）成绩（分） A 120 85 B 60 65 C 100 76 D 70 71 E 80 74 F 60 65 G 30 54 H 40 60 I 50 62

数理统计--参数估计、假设检验、方差分析(李志强) (3)

教学单元案例：参数估计与假设检验北京化工大学李志强教学内容：统计量、抽样分布及其基本性质、点估计、区间估计、假设检验、方差分析教学目的：统计概念及统计推断方法的引入和应用（1）理解总体、样本和统计量等基本概念；了解常用的抽样分布；（2）熟练掌握矩估计和极大似然估计等方法；（3）掌握求区间估计的基本方法；（4）掌握进行假设检验的基本方法； (5) 掌握进行方差分析的基本方法；（6）了解求区间估计、假设检验和方差分析的MA TLAB 命令。教学难点：区间估计、假设检验、方差分析的性质和求法教学时间：150分钟教学对象：大一各专业皆可用一、统计问题引例例1 已知小麦亩产服从正态分布，传统小麦品种平均亩产800斤，现有新品种产量未知，试种10块，每块一亩，产量为： 775,816,834,836,858,863,873,877,885,901 问：新产品亩产是否超过了800斤？例2 设有一组来自正态总体),(2 σμN 的样本0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.488, 0.510, 0.510, 0.512. (i) 已知2 σ=0.012，求μ的95%置信区间； (ii) 未知2σ，求μ的95%置信区间； (iii) 求2σ的95%置信区间。例3现有某型号的电池三批, 分别为甲乙丙3个厂生产的, 为评比其质量, 各随机抽取5 只电池进行寿命测试, 数据如下表示, 这里假设第i 种电池的寿命),(.~ 2σμi i N X . (1) 试在检验水平下,检验电池的平均寿命有无显著差异? (2) 利用区间估计或假设检验比较哪个寿命最短.

第章方差分析与回归分析习题答案

第章方差分析与回归分析习题答案 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

第九章方差分析与回归分析习题参考答案 1. 为研究不同品种对某种果树产量的影响，进行试验，得试验结果（产量）如下表，试分析果树品种对产量是否有显着影响. （0.05(2,9) 4.26F =，0.01(2,9)8.02F =）解：r=3, 12444n n 321=++=++=n n , T=120 ,120012 1202 2===n T C 计算统计值?722 8.53, 389 A A A e e SS f F SS f = =≈…… 方差分析表结论:由于0.018.53(2,9)8.02, A F F ≈>=故果树品种对产量有特别显着影响. 2. 2700= 10.52 3.56 =≈结论: 由以上方差分析知，进器对火箭的射程有特别显着影响；燃料对火箭的射程有显着影响. 3．为了研究某商品的需求量Y 与价格x 之间的关系，收集到下列10对数据：

31 ,58,147,112,410.5,i i i i i i x y x y x y =====（1）求需求量Y 与价格x 之间的线性回归方程；（2）计算样本相关系数；（3）用F 检验法作线性回归关系显着性检验. 解：引入记号 10, 3.1, 5.8n x y === ∴需求量Y 与价格x 之间的线性回归方程为（2）样本相关系数 32.8 0.955634.3248l r -== ≈≈- 在0H 成立的条件下，取统计量(2)~(1,2)R e n S F F n S -= - 计算统计值 2 2(32.8)15.967.66, 74.167.66 6.44 R xy xx e yy R S l l S l S ==-≈=-≈-= 故需求量Y 与价格x 之间的线性回归关系特别显着. 4. 随机调查10个城市居民的家庭平均收入(x)与电器用电支出(y)情况得数据（单位：千元）如下: (1) 求电器用电支出y 与家庭平均收入x 之间的线性回归方程； (2) 计算样本相关系数； (3) 作线性回归关系显着性检验; (4) 若线性回归关系显着,求x =25时, y 的置信度为的预测区间. 解：引入记号 10,27, 1.9n x y === ∴电器用电支出y 与家庭平均收入x 之间的线性回归方程为（2）样本相关系数 0.9845l r == ≈ 在0H 成立的条件下，取统计量(2)~(1,2)R n S F F n S -= -e 计算统计值 2 243.6354 5.37, 5.54 5.370.17 xy xx yy s l l s l s ==≈=-≈-=R e R 故家庭电器用电支出y 与家庭平均收入x 之间的线性回归关系特别显着. 相关系数检验法 0 1:0;:0H R H R =≠ 故家庭电器用电支出y 与家庭平均收入x 之间的线性回归关系特别显着. (4) 因为0x x =处,0y 的置信度为1α-的预测区间为

方差分析线性回归

1 线性回归 1.1 原理分析要研究最大积雪深度x与灌溉面积y之间的关系，测试得到近10年的数据如下表：使用线性回归的方法可以估计x与y之间的线性关系。线性回归方程式：对应的估计方程式为线性回归完成的任务是，依据观测数据集(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)使用线性拟合估计回归方程中的参数a和b。a,b都为估计结果，原方程中的真实值一般用α和β表示。为什么要做这种拟合呢？答案是：为了预测。比如根据前期的股票数据拟合得到股票的变化趋势（当然股票的变化可就不是这么简单的线性关系了）。线性回归的拟合过程使用最小二乘法，最小二乘法的原理是：选择a,b的值，使得残差的平方和最小。为什么是平方和最小，不是绝对值的和？答案是，绝对值也可以，但是，绝对值进行代数运算没有平方那样的方便，4次方又显得太复杂，数学中这种“转化化归”的思路表现得是那么的优美！残差平方和Q，求最小，方法有很多。代数方法是求导，还有一些运筹学优化的方法（梯度下降、牛顿法），这里只需要使用求导就OK了，为表示方便，引入一些符号，最终估计参数a与b的结果是：

自此，针对前面的例子，只要将观测数据带入上面表达式即可计算得到拟合之后的a和b。不妨试一试？从线性函数的角度，b表示的拟合直线的斜率，不考虑数学的严谨性，从应用的角度，结果的b可以看成是离散点的斜率，表示变化趋势，b的绝对值越大，表示数据的变化越快。线性回归的估计方法存在误差，误差的大小通过Q衡量。 1.2 误差分析考虑获取观测数据的实验中存在其它的影响因素，将这些因素全部考虑到 e~N(0,δ^2)中，回归方程重写为 y = a + bx + e 由此计算估计量a与b的方差结果为， a与b的方差不仅与δ和x的波动大小有关，而且还与观察数据的个数有关。在设计观测实验时，x的取值越分散，估计ab的误差就越小，数据量越大，估计量b的效果越好。这也许能为设计实验搜集数据提供某些指导。 1.3 拟合优度检验及统计量拟合优度检验模型对样本观测值的拟合程度，其方法是构造一个可以表征拟合程度的指标，称为统计量，统计量是样本的函数。从检验对象中计算出该统计量的数值，然后与某一标准进行比较，得出检验结论。这是又会问了，最小二乘法不是保证了模型最好的拟合样本观测值了吗？为什么还要检验拟合程度？最小二乘法保证的是同一个样本集使用最小二乘法拟合程度最好，而拟合优度检验结果表示的是多个不同样本集各自进行拟合后对拟合效果的比较。比如，下面的直线方程都是使用最小二乘法拟合的结果，但二者对样本观测值的拟合程度显然不同。为构造统计量，先定义三个表达式：通过推倒可以发现：

方差分析与假设检验实验报告二

云南大学滇池学院方差分析与假设检验实验报告二学生姓名：方炜学号：20092123080专业：软件工程一、实验目的和要求： 1、初步了解SPSS的基本命令； 2、掌握方差分析和假设检验。二、实验内容： 1、为比较5中品牌的合成木板的耐久性，对每个品牌取4个样本作摩擦试验测量磨损量，得以下数据：（1）它们的耐久性有无明显差异？（2）有选择的作两品牌的比较，能得出什么结果？

2、将土质基本相同的一块耕地分成5块，每块又分成均等的4小块。在每块地内把4个品种的小麦分钟在4小块内，每小块的播种量相同，测得收获量如下：考察地块和品种对小麦的收获量有无显著影响？并在必要时作进一步比较。 3、为了研究合成纤维收缩率和拉伸倍数对纤维弹性的影响进行了一些试验。收缩率取0，4， 8，12四个水平；拉伸倍数取460，520，580，640四个水平，对二者的每个组合重复作两次试验，所得数据如下：

（1）收缩率，拉伸倍数及其交互作用对弹性有无显著影响？（2）使弹性达到最大的生产条件是什么？三、实验结果与分析： 1、运行结果截图： 1、结果分析：（1）、Sig<0.05，耐久性有明显差异（2）、由样本分析，品牌3分为一类；品牌1，2，5分为一类；品牌4分为一类。而品牌3和品牌4差距最大，品牌3的耐久性最差，品牌4的耐久性最好。 2、运行结果截图：

2、结果分析：（1）、地块（A组）Sig>0.05对小麦的收获量无显著影响，品种（B组）Sig<0.05对小麦的收获量有显著影响。（2）、由图得，地块4最适合种小麦，地块1最不适合种小麦；而品种2的小麦收获量最大，品种4的小麦收获量最小。 3、运行结果截图：

方差分析和回归分析的区别与联系

方差分析和回归分析的区别与联系 Prepared on 22 November 2020

一、方差分析和回归分析的区别与联系（以双变量为例）联系： 1、概念上的相似性回归分析是为了分析变量间的因果关系，研究自变量X取不同值时，因变量平均值Y的变化。运用回归分析方法，可以从变量的总偏差平方和中分解出已被自变量解释掉的误差（解释掉误差）和未被解释掉的误差（剩余误差）；方差分析是为了分析或检验总体间的均值是否有所不同。通过对样本中自变量X取不同值时所对应的因变量Y均值的比较，推论到总体变量间是否存在关系。运用方差分析，也可以从变量的总离差平方和中分解出已被自变量解释掉的误差和未被自变量解释掉的误差。因此两种分析在概念上所具有的相似性是显而易见的。 2、统计分析步骤的相似性回归分析在确定自变量X是否为因变量Y的影响因素时，从分析步骤上先对X 和Y进行相关分析，然后建立变量间的回归模型。最后再进行参数的统计显着性检验或对回归模型的统计显着性进行检验。方差分析在确定X是否是Y的影响因素时，是先从样本所的数据的分析入手，然后考察数据模型，最后对样本均值是否相等进行显着性检验。二者在分析步骤上也具有相似性。 3、假设条件具有一定的相似性回归分析有五个基本假定，分别是：自变量可以是随机变量也可以是非随机变量；X与Y之间存在的非确定性的相关关系，要求Y的所有子总体，其方差都相等；子总体均值在一条直线上；随机变量Y i是统计独立的，即Y1的数值不

影响Y2的数值，各Y值之间都没有关系；Y值的每一个子总体都满足正态分布。方差分析的基本假定有：等方差性（总体中自变量的每一取值所对应因变量Y i 的分布都具有相同方差）；Y i的分布为正态分布。二者在假设条件上存在着相同。 4、在总离差平方和中的分解形式和逻辑上的相似性回归分析中，TSS=RSS+RSSR，而在方差分析中，TSS=RSS+BSS。二者均是以已解释掉的误差与未被解释掉的误差之和为总离差平方和。 5、确定影响因素上的相似性为简化分析起见,我们假设只有一个自变量X影响因变量Y。在回归分析中,要确定X是否是Y的影响因素,就要看当X已知时,对Y的总偏差有无影响。如果X不是影响Y的因素,等同于只知变数Y的数据列一样,此时用Y去估计每个丫的值,所犯的错误(即偏差)为最小。如果因素X是影响Y的因素,那么当已知X 值后 6、在统计显着性检验上具有相似性回归分析的总显着性检验,是一种用R2测量回归的全部解释功效的检验。检验RSSR*(N-2)/RSS，方差分析的显着性检验是一种根据样本数据提取信息所进行的显着性检验。它也是通过F检验进行的。区别： 1、研究变量的分析点不同

第八章方差分析与回归分析

第八章方差分析与回归分析一、教材说明本章内容包括：方差分析,多重比较,方差齐性检验,一元线性回归,一元非线性回归.主要讲述方差分析和一元线性回归两节内容. 1、教学目的与教学要求 (1)了解方差分析的统计模型，掌握平方和的分解，熟悉检验方法和参数估计，会解决简单的实际问题. （2）了解效应差的置信区间的求法，了解多重比较问题，掌握重复数相等与不相等场合的方法，会解决简单的实际问题. （3）熟练掌握Hartley 检验，Bartlett 检验以及修正的Bartlett 检验三种检验方法，会解决简单的实际问题. （4）理解变量间的两类关系，认识一元线性和非线性回归模型，熟悉回归系数的估计方法，熟练掌握回归方程的显著性检验.能用R 软件来进行回归分析，会解决简单的实际问题. 2、本章的重点与难点本章的重点是平方和的分解，检验方法和参数估计、重复数相等与不相等场合的方法、检验方法的掌握，回归系数的估计方法，回归方程的显著性检验，难点是检验方法和参数估计，重复数相等与不相等场合的方法. 实际问题的检验，回归方程的显著性检验. 二、教学内容本章共分方差分析,多重比较,方差齐性检验,一元线性回归,一元非线性回归等5节来讲述本章的基本内容. § 方差分析教学目的：了解方差分析的统计模型，掌握平方和的分解，熟悉检验方法和参数估计,会解决简单的实际问题. 教学重点：平方和的分解，检验方法和参数估计教学难点：检验方法和参数估计教学内容：本节包括方差分析问题的提出,单因子方差分析的统计模型,平方和分解,检验方法,参数估计,重复数不等情形. 问题的提出在实际工作中经常会遇到多个总体均值的比较问题，处理这类问题通常采用方差分析方法. 例单因子方差分析的统计模型在例中，我们只考察一个因子，称为单因子试验.记因子为A ，设其有r 个水平，记为 1r A , ,A ，在每一水平下考察的指标可看做一个总体，故有r 个总体，假定（1）每一总体均为正态总体，记为2 i i N(,)μσ，i 1,2,,r =；（2）各总体方差相同，即22 2212r σσσσ== ==

假设检验、方差分析、回归分析

第9章方差分析与回归分析习题答案

方差分析和回归分析的区别与联系

方差分析及回归分析

一元线性回归,方差分析,显著性分析

案例库 项目八假设检验 回归分析与方差分析

3[1]3总体方差的假设检验

最新多元统计分析第三章 假设检验与方差分析

正态总体均值及方差的假设检验表

假设检验与方差分析

方差分析与回归分析

方差分析和相关分析与回归分析

数理统计--参数估计、假设检验、方差分析(李志强) (3)

第章方差分析与回归分析习题答案

方差分析线性回归

方差分析与假设检验实验报告二

方差分析和回归分析的区别与联系

第八章方差分析与回归分析

案例库项目八假设检验回归分析与方差分析

最新多元统计分析第三章假设检验与方差分析