四棱台体积计算表

说明：保留两位小数

四棱台体积计算表

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四棱台体积计算公式

四棱台体积公式： ①、[S上+S下+√(S上×S下)]*h /3 （可以用于四棱锥） [上面面积+下面面积+根号(上面面积×下面面积)]×高÷2 ②、(S上+S下)*h/2 （不能用于四棱锥） (上面面积+下面面积)x高÷2 第②个最简便的公式，可以把正方体当作四棱台验证。 注意：如果把四棱锥可以看成上面面积为0的四棱台，第①个公式仍然可以用，但是四棱锥不能用第②个公式，切记！！！！！！！！。 拟棱台： 对于一个多面体，如果有两个面互相平行，而其余的面均为顶点全在这两个平行面上的三角形、平行四边形或梯形，这样的多面体叫拟棱台。 若上下底面和中截面的面积分别是S1、S2、S0，高为H，则体积V=1/6(s1+s2+4s0)H 正四棱台体积V=底面积S×高H 圆锥体体积=底×高÷3 长方形的周长=（长+宽）×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= （长×宽+长×高＋宽×高）×2 长方体的体积=长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体） 的体积=底面积×高 平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形a和b－边长C＝2(a+b)

四棱台的体积公式

四棱台的体积公式 V=（1/3）H（S上＋S下＋√[S上×S下]）

平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab 三角形a,b,c－三边长 h－a边上的高

s－周长的一半 A,B,C－内角 其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D－对角线长 α－对角线夹角S＝dD/2·sinα 平行四边形a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角S＝ah ＝absinα 菱形a－边长 α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形a和b－上、下底长 h－高 m－中位线长S＝(a+b)h/2 ＝mh 圆r－半径 d－直径C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 扇形r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径 α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 ＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 ＝r(l-b)/2 + bh/2 ≈2bh/3 圆环R－外圆半径 r－内圆半径 D－外圆直径 d－内圆直径S＝π(R2-r2) ＝π(D2-d2)/4

椭圆D－长轴 d－短轴S＝πDd/4 立方图形 名称符号面积S和体积V 正方体a－边长S＝6a2 V＝a3 长方体a－长 b－宽 c－高S＝2(ab+ac+bc) V＝abc 棱柱S－底面积 h－高V＝Sh 棱锥S－底面积 h－高V＝Sh/3 棱台S1和S2－上、下底面积 h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3 拟柱体S1－上底面积 S2－下底面积 S0－中截面积 h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6 圆柱r－底半径 h－高 C—底面周长 S底—底面积 S侧—侧面积 S表—表面积C＝2πr S底＝πr2 S侧＝Ch S表＝Ch+2S底 V＝S底h ＝πr2h 空心圆柱R－外圆半径 r－内圆半径 h－高V＝πh(R2-r2) 直圆锥r－底半径 h－高V＝πr2h/3 圆台r－上底半径 R－下底半径 h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3 球r－半径 d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6 球缺h－球缺高 r－球半径

正四棱台体积公式

一 基于数学史的教学案例：正四棱台体积公式※ 朱哲 张维忠（浙江师范大学数理与信息科学学院 321004） 对中西古代数学文化的深入研究，特别是这种历史的挖掘，目的还是为了指向现实、着眼于未来。本文给出的一则基于数学史的教学案例，正是笔者设想的在数学教育中通过数学史的渗透，在传统与现代之间架起一座桥梁，从而实现数学教育的现代化。 1 教学案例：正四棱台体积公式 1.1提出问题 师：我们已经学过了棱锥，我手上拿着的是一个正四棱锥的模型。如果我们在它顶部截去一个小的正四棱锥，就得到一个正四棱台（模型演示）。假如这个正四棱台下底面正方形边长为a ，上底面边长为b ，高为h ，那么它的体积该如何表示呢？今天我们就来研究这个问题。 生1：既然正四棱台可以由一个大的正四棱锥截去一个小的正四棱锥得到，我就可以通过大正四棱锥体积减去小正四棱锥体积来求（演算：设小正四棱锥高为x ，则V V =大正四棱锥 V -小正四棱锥 = =-+ = - +x b a h a x b x h a )(3 13 13 1)(3 12 22 2 2 ……） 。我做不下去了。 1.2类比、猜想、实验 师：这位同学的思路非常好，只是暂时遇到了困难。我们把这一问题放一边，先来猜想一下 正四棱台体积的公式。大家回忆一下一些图形的面积和体积公式（与学生一起填写下表）。 生2：我想()h b a V 2 2 2 1+= ，因为梯形面积公式为()h b a S +=2 1。 生3：我觉得应该是()h b a V 2 2 3 1+= ，因为正四棱锥体积公式中有系数3 1 ，且当0=b 时， ()h b a V 2 2 3 1+= h a 2 3 1= ,即为正四棱锥体积公式。 师：这些公式对不对呢？我们来做个实验。我这里有个空心的正四棱台容器，上底边长2.0米，下底边长3.0米，高2.0米，里面装满沙子。由生2的公式得沙子体积为()013.02.009.004.02 1=+=V 立方 米，由生3的公式得()00867.02.009.004.03 1≈+= V 立方米。我们再把沙子倒入底面边长为2.0米的柱 形容器，量一下，高为多少？约为315.0米，体积约为0126.0立方米。看来上面两个公式都不是很准确。 ——————— ※本文为全国教育科学“十五”规划教育部重点课题“文化传统与数学教育现代化”（DHA010276）阶段成果。

棱台体体积公式推导

正棱台体公式推导（1）将正四棱台切割成九部分（如下图） C A G H B F E D I （鸟瞰图）（立体切面图） E在棱台体中间位置，是一个方形体； B、D、H、F是四个三棱柱，分别位于在方形体的四周位置； A、C、G、I 是四个四棱锥，分别位于棱台体的四个角的位置。 （2）用字母表示图形部位 顶面棱长为，底面棱长为a,棱台体高为h。 （3）体积的计算 (1)一个方形体E，其底面是边长为b、高为h的方形体，体积为h b2； （图V1） (2)四个四棱锥A、C、G、I，用其中三个可以拼合成一个底边两直角边都是为 2 b a- 、高为h的方形体。 （四棱锥）（三个四棱锥拼合图形）（多出一个四棱锥） 方形体的体积为（ 2 b a- ）2h。其中一个四棱锥的体积就是 3 1 （ 2 b a- ）2 h。四个四棱锥的体积和则 为 3 4 （ 2 b a- ）2 h。 化简可得： 3 1 （b a-）2 h (3)四个直角三棱柱B、D、F、H，可以拼成两个长、宽、高分别为b、 2 ) (b a- 、h的长方体，体积和为 b(a-b)h。

（三棱柱） （拼合图形） （4）四棱台的体积 四棱台的体积等于上述三项（九个部分）之和 V=h b 2+3 1（b a -）2h+ b (a-b )h 解：V= [b 2 +31（b a -）2+ b (a-b )] h 截面积组成： 方形体的截面积：顶面的边长乘以边长； 字母表示 b 2 四个三棱柱截面积和： 字母表示b(a-b) 一个三棱柱截面积等于方形体底面积一半。 四个四棱锥截面积和： 字母表示3 1（b a -）2 一个四棱锥截面积等于方形体底面积的三分之一。 化简可得 h b ab a V )(3122++=

高考数学刍甍、羡除、刍童楔形四棱台的体积公式

刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式 题1 (2013年高考湖北卷文科第20题)如图1，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<. 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面D E F G 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中． 图1 (1)证明：中截面D EFG 是梯形； (2)在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =?估中来估算. 已知1231 ()3 V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明. 笔者关心的是：该题中的1231 ()3V d d d S =++即)(6 1321d d d ah V ++=是怎么来的呢？ 这由下面推导的羨除体积公式立得. 题2 (2002年高考北京卷文科第18题)如图2，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b 且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .. (1)求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角正切值； (2)在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公

(甘志国)刍甍羡除刍童及楔形四棱台的体积公式

刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式 见甘志国著《立体几何与组合》(哈工大出版社，2014)第48-52页 高考题1 (2013·湖北·文·20)如图1，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<.过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所 得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中． (I)证明：中截面DEFG 是梯形； (II)在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =?估中来估 算. 已知1231 ()3 V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明. 请问，该题中的1231 ()3V d d d S =++即)(6 1321d d d ah V ++=是怎么来的呢？这由下面 推导的羨除体积公式立得. 《九章算术·商功》篇有部分题目涉及到刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式， 这些公式秦汉时人都已掌握，下面来推导它们. 1.刍甍 刍甍是图2中的五面体ABCDEF ，其中EF DC AB ////，底面ABCD 是平行四边形.设a AB =，直线CD AB 、之间的距离是h ，直线EF 与平面ABCD 之间的距离是H ，则其体积)2(6 c a Hh V += . 图2 图3 证明 如图3.设点F E ,在面ABCD 上的射影分别是点F E '',. 图 1

圆锥体积计算

圆锥的体积是圆柱的体积的1/3 棱台体体积计算公式： V=（1/3）H（S上＋S下＋√[S上×S下]） H是高，S上和S下分别是上下底面的面积。 棱台体积：V=〔S1＋S2＋开根号（S1*S2）〕／3*h 注：V：体积；S1：上表面积；S2：下表面积；h：高。 关于不等边长的四梭台的与手工计算偏差的原因 鲁班算量2006在计算独立基础时，发现所有的正四棱台计算正确，而计算有长边与短边的四棱台时，就不对了，量都偏大的原因： 独立基础体积正确的计算公式为： 四棱台计算公式为(s1+s2+sqr(s1*s2))*h/3,sqr(x)对x求根 或 A*B*H+h/6*(AB+ab+(A+a)(B+b))其中A、B、H分别为独立基础下部长方体的长、宽、高；a、b、h分别为四棱台的长、宽、高，当然， A与a、B与b相对应。 用A*B*H+h/6*(AB+ab+(A+a)(B+b))是偏小 实际工作中，这两种公式都有人用，结果有时是不一样. 而使用鲁班算量计算结果偏大，计算不等边长的四梭台与计算公式算出结果不一样是因为我们预算中的四梭台计算公式是近似的计算方法，而鲁班用的是微积分算法，结果相差很小

另外鲁班的带马牙槎的构造柱计算结果也与实际算法有差别，其实我们算构造柱时是按如果有两边有马牙槎的为边长上加6cm计算，鲁班算量考虑了层高的不同与马牙槎的高度位也考虑了（马牙槎在板底时正好为退时鲁班的计算结果就会小，但其实鲁班算的是实际的量）。 圆台体积计算圆台体积计算公式是： 设上底的半径为r ,下底的半径为R ,高为h 则V＝(1/3)*π*h*(R^2 + Rr +r^2) V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3 r－上底半径 R－下底半径 h－高 圆台吧……V=1/3（s+√ss' +s'）h 其中s'为台体的上底面面积，s为台体的下面面积，h为台体的高。（P S.√是根号啦，不过我不懂得打。）三棱锥体积计算公式：底面积×高/2 各种台体，都有它自己的体积计算公式。 我给你一个通式： 台身体积＝（上底面积+下底面积+4×中位面积）×高度÷6

四棱台体积算法

一中方法 你就把四棱台看做两个四棱锥,大的减小的 公式是 s=1/3[s1+(s1s2)^1/2+s2] s1是上底的面积 s2是下底的面积 ^1/2是开方 可是翻书的好不容易弄上 设棱台的两底面积分别为A与B，高为h，则其体积V为：V=h[A+B+sqrt(AB)]/3 这里sqrt( )是对括号内的结果求算术平方根。 二种方法 1、砂石垫层工程量 （1）带形基础下垫层：计量单位：“m3”。V垫层＝断面积×长度长度：外墙按外墙中心线；内墙按基底净长线；附墙垛凸出部分按砖垛折加长度；柱网结构按基底净长线。 （2）独立（杯形）基础下垫层：计量单位：“m3”。V垫层＝底面积×垫层厚度 （3）满堂基础（地下室底版）下垫层：计量单位：“m3”。 V垫层＝底面积×垫层厚度 2、砌筑基础工程量 （1）等高式放脚基础：计量单位：“m3”。

V＝（基础墙厚×基础墙高+放脚增加面积）×基础长－V应扣＋V搭接 =「dh+0.126×0.0625n(n+1)」×L－V应扣＋V搭接 =「dh+0.007875n(n+1)」×L－V应扣＋V搭接 （2）不等高式放脚基础：计量单位：“m3”。 V＝｛dh+0.007875「n(n+1)-∑半层放脚层数值」｝×L－V应扣＋V 搭接 注：0.007875——一个放脚标准块面积；n——放脚层数；d——基础墙厚 h——基础墙高；L——基础长； 半层放脚层数值：指半层放脚（0.063m高）所在放脚层的值。 长度L：外墙按外墙中心线；内墙按内墙净长线；附墙垛凸出部分按附墙垛折加线；柱网结构按基底净长线。 V应扣：平行嵌入砌筑基础的混凝土体积（如构造柱、地圈梁等）。V搭接：柱网结构时，搭接体积按图示尺寸计算。

基础计算公式

一)基础 1.带形基础 (1)外墙基础体积=外墙基础中心线长度×基础断面面积 (2)内墙基础体积=内墙基础底净长度×基础断面面积+T形接头搭接体积 其中T形接头搭接部分如图示。 V=V1+V2=（L搭×b×H）+L搭〔bh1/2+2(B-b/2×h1/2×1/3)〕=L搭〔b×H+h1(2b+B/6)〕式中：V--内外墙T形接头搭接部分的体积； V1--长方形体积，如T形接头搭接示意图上部所示，无梁式时V1=0； V2--由两个三棱锥加半个长方形体积，如T形接头搭接示意图下部所示，无梁式时V=V2； H--长方体厚度，无梁式时H=0； 2.独立基础（砼独立基础与柱在基础上表面分界） (1)矩形基础：V=长×宽×高 (2)阶梯形基础：V=∑各阶(长×宽×高) (3)截头方锥形基础：V=V1+V2=H1/6×［A×B+（A+a）（B+b）+a×b］+A×B×h2 截头方锥形基础图示 式中：V1--基础上部棱台部分的体积（m3） V2--基础下部矩形部分的体积（m3） A，B--棱台下底两边或V2矩形部分的两边边长（m） a,b--棱台上底两边边长（m） h1--棱台部分的高（m） h2--基座底部矩形部分的高（m） （4）杯形基础 基础杯颈部分体积（m3）V3=abh3 式中：h3--杯颈高度 V3_--杯口槽体积（m3） V4=h4/6+［A×B+（A+a）（B+b）+a×b］ 式中：h4-杯口槽深度（m）。 杯形基础体积如图7-6所示： V=V1+V2+V3－V4 式中：V1，V2，V3，V4为以上计算公式所得。 3.满堂基础（筏形基础） 有梁式满堂基础体积=（基础板面积×板厚）+（梁截面面积×梁长） 无梁式满堂基础体积=底板长×底板宽×板厚 4.箱形基础 箱形基础体积=顶板体积+底板体积+墙体体积 5.砼基础垫层 基础垫层工程量=垫层长度×垫层宽度×垫层厚度 （二）柱 1.一般柱计算公式：V=HF 式中：V--柱体积；

四菱台的基坑土方计算公式

四菱台的基坑： xxxx A、宽B 下口长a、宽b xxH V=[A*B+a*b+（A+a）*（B+b）]*H/6 分段计算，在高差处分开，但公式是一样的，如果两个坑的底部没有重合，而上口重合了，你就算二个四棱台的体积再扣去重合部份的三棱台体积就是了。复杂的你可以用CAD软件或图形算量软件去计算。如广联达的或清华斯维尔的。 一、基坑土方工程量计算 （一）基坑土方量计算基坑土方量的计算，可近似地按拟柱体体积公式计算（图 1—8）。 图1—8 基坑土方量计算图1—9 基坑土方量计算 V=H*（A'+4A+A''）/6 H ----- 基坑xx （m ）。 A1、A2――基坑上下两底面积（m2）。 A0——基坑中截面面积（m2）。 二、计算平整场地土方工程量 ①四棱柱法 A、方格四个角点全部为挖或填方时（图1—16），其挖方或填方体积为: 式中：h1 、h 2、h

3、h 4、一一方格四个角点挖或填的施工高度，以绝对值带入（m）; a――方格边长（m）。 图1—16角点全填或全挖；图1—17角点二填或二挖；图1—18角点一填三挖 B、方格四个角点中，部分是挖方，部分是填方时（图1—17），其挖方或填方体积分别为： C、方格三个角点为挖方，另一个角点为填方时（图1—18）， 其填方体积为： 其挖方体积为： ②三棱柱法 计算时先把方格网顺地形等高线将各个方格划分成三角形（图1—19） 图1—19按地形方格划分成三角形每个三角形的三个角点的填挖施工高度，用 h 1、h 2、h3 表示。 A、当三角形三个角 点全部为挖或填时（图1—20a）， 其挖填方体积为： 式中： 方格边长（m）；h1、h 2、h3――三角形各角点的施工

四棱台的体积公式

V=（）H（S上＋S下＋√[S上×S下]） 公式分类 平方差 和差的平方 和差的立方3常用数学公式表: 公式表达式 a-b=(a+b)(a-b) (a+b)=a+b+2ab a+b=(a+b)(a-ab+b) |a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b| -|a|≤a≤|a| -b-b+√(b-4ac)/2a X1*X2=c/a 常用数学公式表: 三角函数公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) tan2A=2tanA/(1-tanA)222 3223

22 22 (a-b)=a+b-2aba-b=(a-b)(a+ab+b)|a|≤b<=>-b≤a≤b注：xx定理注： 方程有相等的两实根 注： 方程有一个实根注： 方程有共轭复数根322三角不等式 |a-b|≥|a|-|b| 一元二次方程的解 根与系数的关系-b+√(b-4ac)/2a X1+X2=-b/a b-4a=0 判别式b-4ac>0 b-4ac<02222 两角和公式 tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) sin2a=2sinacosa 倍角公式 cos2a=cosa-sina=2cosa-1=1-2sina