高三理科数学培优专题——三角函数

三角函数专题

一、方法总结：

1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）注意隐含条件的应用：1＝cos 2

x ＋sin 2

x 。 （2）角的配凑。α＝（α＋β）－β，β＝

2

β

α+－

2

β

α-等。

（3）升幂与降幂：主要用2倍角的余弦公式。 （4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。

（5）引入辅助角。asinθ＋bcosθ＝22b a +sin (θ＋?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?＝

a

b

确定。 2.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 二、例题集锦： 考点一：三角函数的概念

1.（2011年东城区示范校考试15）设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是单位圆上的两点，O 是坐标原点，

6

π

=

∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．

（1）若34(,)55Q ，求??? ?

?

-6cos πα的值； （2）设函数()f OP OQ α=?u u u r u u u r ，求()αf 的值域．

考点二：三角函数的图象和性质

2.（2014年课标I ，7）在函数①cos 2y x =，②cos y x =，③cos(2)6y x π

=+，④tan 24y x π?

?=- ??

?中，最小

正周期为π的所有函数为 （ ）

A.①②③

B. ②③④

C. ②④

D. ①③

3.（2012年课标全国，9）已知0ω>，函数()sin()4f x x π

ω=+

在(,)2

π

π上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A.15[,]24 B.13

[,]24

C.10,2?? ??

?

D.()0,2

4.（2011年课标全国，11）设函数()sin()cos()(0,)2

f x x x π

ω?ω?ω?=+++><

的最小正周期为π，且

()()f x f x -=，则（ ）

A. ()f x 在0,2π?? ???单调递减

B. ()f x 在3,44

ππ

??

???

单调递减 C. ()f x 在0,2π?? ???单调递增 D. ()f x 在3,44

ππ

??

???

单调递增

5．将函数()()sin 22f x x π????

=+<

??

?

的图象向左平移

6

π

个单位长度后，所得函数()g x 的图象关于原点对称，则函数()f x 在0,

2π??

????

的最小值为 A ．12- B ．1

2

C

． D

6.（2011年东城区期末15）函数()sin()(0,0,||)2

f x A x A ωφωφπ

=+>><部分图象如图所示．

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2

x π∈上的最大值和最小值．

考点三、四、五：同角三角函数的关系、 诱导公式、三角恒等变换

7.已知函数2

()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2

π

．

（Ⅰ）求()4f π的值； （Ⅱ）当02x π??

∈????

，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值.

8.已知向量(cos ,sin ),a x x =r 向量(cos ,sin ),()b x x f x a b =-=?r r r

（1）求函数()()sin 2g x f x x =+的最小正周期和对称轴方程； （2）若x 是第一象限角且'

3()2()f x f x =-，求tan()4

x π

+的值.

考点六：解三角形

9．ABC ?中，角,,A B C

成等差数列是sin sin )cos C A A B =+成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

10．已知函数()cos f x x =,,,a b c 分别为ABC ?的内角,,A B C 所对的边，且22233a b c +-4ab =，则下列不等式一定成立的是

A ．()()sin cos f A f

B ≤ B ．()()sin cos f A f B ≥

C ．()()sin sin f A f B ≥

D ．()()cos cos f A f B ≤ 11.（2014年课标I ，16）已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，2a =，且

(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ?面积的最大值为 .

12.（2014年河南焦作联考）在ABC ?中，已知sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B C A C B B C A =+，若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，则

2

ab

c 的最大值为 . 13.（2015河北秦皇岛一模，17，12分）在ABC ?中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，满足

()2

22.AB AC a b c ?=-+u u u r u u u r

（1）求角A 的大小； （2

）求2

4sin()23

C B π

--的最大值，并求取得最大值时角,B C 的大小.

14．（2009全国II ， 17，10分） 设ABC ?的内角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，3cos()cos 2

A C

B +=-，2

b a

c =.求B ∠的大小.

14.（2015课标II ，17，12分）△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ?的面积是ADC ?面积的2倍. （1）求sin sin B

C

∠∠；（2

）若1,AD DC ==，求BD 和AC 的长.

15、（2011东城一模15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b B

a A

-=

． （Ⅰ）求角A 的大小；

（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值．

例题集锦答案：

1.（2011年东城区示范校考试理15）如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是 单位圆上的两点，O 是坐标原点，6

π

=

∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．

（1）若34(,)55Q ，求??

? ??

-6cos πα的值；（2）设函数()f OP OQ α=?u u u r u u u r ，求()αf 的值域．

★★单位圆中的三角函数定义

解：（Ⅰ）由已知可得5

4

sin ,53cos ==αα……………2分

6

sin sin 6cos cos 6cos π

απαπα+=???

?

?

-

∴………3分

10

4332

1

542353+=

?+?=…………4分

（Ⅱ）()f OP OQ α=?u u u r u u u r ()cos ,sin cos ,sin 66ππαα?

?=? ??

?………6分

ααsin 21

cos 23+=

………………7分 sin 3πα??

=+

??

?

………………8分

[0,)απ∈Q 4[,)333

π

ππ

α

∴+

∈………9分 sin 123πα?

?<+≤ ??

? (12)

分

()αf ∴的值域是??

? ??

(13)

分

2．（2011年西城期末理15）已知函数2

()

22sin f x x x =-.（Ⅰ）若点(1,P

在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）若[,]63

x ππ

∈-，求()

f x 的值域.

★★三角函数一般定义

解：（Ⅰ）因为点

(1,P 在角α的终边上，

所以sin 2α=-

，1

cos 2

α=，

………………

2分 所以22

()22sin cos 2sin f αααααα=-=

- ………………

4分

21(2(32=?-?=-.

………………5分 （Ⅱ）2

()

22sin f x x x =-cos 21x x =+- ………………6分

2sin(2)16

x π

=+-， ………………8分

因为[,]63x ππ∈-，所以65626π

ππ≤+≤-x ， ………………10分

所以1sin(2)126

x π

-≤+≤， ………………11分

所以()f x 的值域是[2,1]-. ………………13分 3.（2011年东城区期末理15）函数()sin()(0,0,||)2

f x A x A ωφωφπ

=+>><

部分图象如图所示．

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2

x π∈上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）由图可得1A =，

22362

T πππ=-=， 所以T =π． ……2分 所以2ω=．

当6x π=

时，()1f x =，可得 sin(2)16

?π

?+=， 因为||2

?π

<

，所以6?π=． ……5分

所以()f x 的解析式为()sin(2)6

f x x π

=+． ………6分 （Ⅱ）()()cos 2sin(2)cos 26g x f x x x x π

=-=+

-sin 2cos cos 2sin cos 266

x

x x ππ

=+- 12cos 22x x =

- sin(2)6

x π

=-． ……10分 因为02x π≤≤，所以52666

x πππ

-≤-≤． 当262x ππ-=，即3

x π

=时，()g x 有最大值，最大值为1； 当266

x ππ-

=-，即0x =时，()g x 有最小值，最小值为1

2-．……13分

4．（2010年海淀期中文16）已知函数x x x f 2cos )6

2sin()(+-

=π

.（1）若1)(=θf ，求θθcos sin ?的值；

（2）求函数)(x f 的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心 解：（1）2

2cos 16

sin

2cos 6

cos

2sin )(x

x x x f ++

-=π

π

...3分（只写对一个公式给2分） 2

1

2sin 23+=

x ....5分 由1)(=θf ，可得3

3

2sin =θ ......7分

所以θθθ2sin 2

1

cos sin =

? ......8分 63= .......9分 （2）当Z k k x k ∈+≤

≤+-

,22

222

ππ

ππ

，换元法 ..11

即Z k k k x ∈++-

∈],4

,

4

[ππ

ππ

时，)(x f 单调递增.

所以，函数)(x f 的单调增区间是Z k k k ∈++-

],4

,

4

[ππ

ππ

... 13分

5.（2011年丰台区期末理15）已知函数2

()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=- （0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于

2π．（Ⅰ）求()4

f π

的值；（Ⅱ）当 02x π??

∈????

，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．

解：（Ⅰ）()sin 2cos 212sin(2)14

f x x x x π

=--=

--ωωω． ω意义 ……4分

因为

22

T π

=，所以 T =π，1ω=． ……6分 所以 ()2sin(2)14

f x x π=--．所以 ()04f π

= ………7分

（Ⅱ）()2sin(2)14

f x x π

=--

当 0,

2x π??

∈???

?

时， 32444x πππ-≤-≤， 无范围讨论扣分

所以 当242x ππ-

=，即8x 3π=时，max ()21f x =-， …10分 当244

x ππ

-=-，即0x =时，min ()2f x =-． ………13分

6、（2011朝阳二模理15）已知函数2

()2sin sin()2sin 12

f x x x x π=?+-+ ()x ∈R .

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；

（Ⅱ）若02(

)23x f =，0ππ

(, )44

x ∈-，求0cos 2x 的值. 解: 2

()2sin cos 2sin 1=?-+f x x x x ……………………………………1分 sin 2cos2=+x x ……………………………………2分

π

2sin(2)4

x =+. 和差角公式逆用 ………………3分 （Ⅰ）函数()f x 的最小正周期2π

π2

T =

=. ……………………………………5分 令πππ

2π22π242k x k -++≤≤()k ∈Z ， ……………………………………6分

所以3ππ2π22π44k x k -+≤≤. 即3ππ

ππ88

k x k -+≤≤.

所以，函数()f x 的单调递增区间为3ππ

[π, π]88

k k -+ ()k ∈Z . ……………8分

（Ⅱ）解法一：由已知得0002

()sin cos 23x f x x =+=，

…………………9分 两边平方，得021sin 29x += 同角关系式 所以 07

sin 29

x =-…………11分 因为0ππ(, )44x ∈-

，所以0π

2(, )22

x π∈-.所以2

07

42

cos 21()9

9

x =--=

. ……………………………………13分 解法二：因为0ππ(, )44x ∈-

，所以0ππ

(0, )42

x +∈. …………………………9分 又因为000ππ2(

)2)2)22443x x f x =?+=+=，

得 0π1

sin()43

x +

=. ……………………………………10分 所以20π12cos()1()433

x +

=-=. ……………………………………11分 所以，00000πππ

cos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444

x x x x x π

=+

=+=++ 12242

2339

=??

=. 诱导公式的运用

7、（2011东城二模理15）（本小题共13分）已知π72sin()4A +

=，ππ

(,)42

A ∈．

（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求函数

5

()cos2sin sin

2

f x x A x

=+的值域．

解：（Ⅰ）因为ππ

42

A

<<

，且

π

sin()

4

A+=，

π

cos()

410

A+=-．

ππππ

cos(

)cos sin()sin

4444

A A

+++

3

1021025

=-+=．所以

3

cos

5

A=．………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

4

sin

5

A=．

2

12sin2sin

x x

=-+2

13

2(sin)

22

x

=--+，x∈R．

因为sin[1,1]

x∈-，所以，当

1

sin

2

x=时，()

f x取最大值

3

2

；

当sin1

x=-时，()

f x取最小值3-．

所以函数()

f x的值域为

3

[3,]

2

-．

8．（2011年朝阳期末理15）已知△ABC中，2sin cos sin cos cos sin

A B C B C B

=+.

（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量(cos,cos2)

A A

=

m，

12

(, 1)

5

=-

n，求当?

m n取最

小值时，)

4

tan(

π

-

A值.

解：和差角公式逆用

所以2sin cos sin()sin()sin

A B B C A A

=+=π-=. ………3分

因为0A p

<<，所以sin0

A1.所以

1

cos

2

B

=. ………5分

3

B

π

=. …………7分

（Ⅱ）因为

12

cos cos2

5

A A

?=-+

m n，…………………8分

所以22

12343

cos2cos12(cos)

5525

A A A

?=-+-=--

m n. …10分

所以当

3

cos

5

A=时，?

m n取得最小值.

同角关系或三角函数定义……12分

所以

tan11

tan()

4tan17

A

A

A

π-

-==

+

. ……………13分

9．（2011年石景山期末理15）已知函数

2

3

cos

sin

sin

3

)

(2-

+

=x

x

x

x

f()R

x∈．

（Ⅰ）求)

4

(

π

f的值；（Ⅱ）若)

2

,0(

π

∈

x，求)

(x

f的最大值；（Ⅲ）在ABC

?中，若B

A<，

2

1

)

(

)

(=

=B

f

A

f，求

AB

BC

的值．

解：（Ⅰ）

2

3

4

cos

4

sin

4

sin

3

)

4

(2-

+

=

π

π

π

π

f

2

1

=．4分

（Ⅱ）

2

)

2

cos

1(3

)

(

x

x

f

-

=+

2

3

2

sin

2

1

-

x

x

x2

cos

2

3

2

sin

2

1

-

=)

3

2

sin(

π

-

=x．…6分

2

π

<

Θ，

3

2

3

2

3

π

π

π

<

-

<

-

∴x．

∴当2

32

x

ππ

-=时，即

12

5π

=

x时，)

(x

f的最大值为1．…8分

（Ⅲ）Θ)

3

2

sin(

)

(

π

-

=x

x

f，

若x是三角形的内角，则π

<

令

2

1

)

(=

x

f，得

解得

4

π

=

x或

12

7π

=

x．……10分

由已知，B

A,是△ABC的内角，B

A<且

2

1

)

(

)

(=

=B

f

A

f，

∴

4

π

=

A，

12

7π

=

B，

∴

6

π

=

-

-

π

=B

A

C．…11分

又由正弦定理，得2

2

1

2

2

6

sin

4

sin

sin

sin

=

=

π

π

=

=

C

A

AB

BC

．……13分

10、（2011东城一模理15）（本小题共13分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b B

a A

-=

． （Ⅰ）求角A 的大小；

（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值．

解：（Ⅰ）因为2cos cos c b B

a A

-=

， 所以(2)cos cos c b A a B -?=?

由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -?=?．边化角 整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ?-?=?． 所以2sin cos sin()sin C A A B C ?=+=． 在△ABC

所以1cos 2A =

，3

A π

∠=．

（Ⅱ）由余弦定理2221

cos 22

b c a A bc +-=

=，a = 所以2

2

20220b c bc bc +-=≥- 均值定理在三角中的应用

所以20bc ≤，当且仅当b c =时取“=” ． 取等条件别忘

所以三角形的面积1

sin 2

S bc A =

≤． 所以三角形面积的最大值为． ……………………13分 11、(2011丰台一模理15). 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且

b 2+

c 2-a 2=bc ．

（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设函数2

cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=，当)(B f 取最大值23

时，判断△ABC

的形状．

解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+

c 2-a 2=bc

可得cos A =

1

2

．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分 ∵

， （或写成A 是三角形内角） ……………………4分 ∴3

A π

=

．

……………………5分 （Ⅱ）2

cos

2cos 2sin 3)(2x x x x f +=11cos 222x x =++ …7分 1

sin()62

x π=++， ……9分

∵3A π=

∴2(0,)3B π∈

（没讨论，扣1分）…10分 ∴当62B ππ+

=，即3

B π=时，()f B 有最大值是23

． …11分

又∵3

A π=

， ∴3C π

= ∴△ABC 为等边三角形． ……13分

12、(2011海淀一模理15). （本小题共13分）

在ABC ?中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1

tan 3

C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ； (Ⅱ)求ABC ?的面积. 解：（I ）因为1tan 2B =

，1tan 3

C =,tan tan tan()1tan tan B C

B C B C ++=

-, …………………1分 代入得到，11

23tan()111123

B C ++=

=-? . …………………3分 因为180A B C =--o , …………………4分

角关系 ………5分 （II ）因为0180A <

…………………7分 因为11

tan

tan 023

B C =

>=>，所以090C B <<

=

sin C =. …………9分 由

sin sin a c

A C

=得a = …………………11分 所以ABC ?的面积为：

11

sin 22

ac B =. ………………13分 13、（2011石景山一模理15）．

在ABC ?中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2

7

4sin cos222

A B C +-=． （Ⅰ）求角C 的大小；

（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．

解：（Ⅰ）∵ A 、B 、C 为三角形的内角，

∴ π=++C B A ．

∵ 三角形中角的大小关系 ∴

…………2分 ∴ 2

7)1cos 2(2cos 142=--+?

C C ．即 021

cos 2cos 22=+-C C ． ……4分

∴ 21cos =

C ． 又∵ π<

π

=C ． …7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 32π

=

+B A ．∴ A A A sin 3

2cos cos 32sin

sin ?-?+=π

π)6sin(3cos 23sin 23π+=+

=A A A ．…10分 ∵ 320π<

566π

ππ<+

6

π

π

=

+A ，即 3

π

=

A 时，

B A sin sin +取得最大值为3．…………13分

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》技巧及练习题附答案

【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++? ?=++<< ?+++-? ?的最小值为 （ ） A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 2 2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++= ++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ++ ? ?????=+= +=???? ++ ? ? ???? ， 则()21tan 0sin 32f x x x x π? ?= +<< ?? ?， 322222 21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x ' ' ' --+????=+=-+= ? ????? . 令()cos 0,1t x =∈，() 32 61g t t t =--+为减函数，且102g ??= ??? ， 所以当03 x π <<时， ()1 1,02 t g t <<<，从而()'0f x <； 当 3 2 x π π << 时，()1 0,02 t g t << >，从而()'0f x >. 故( )min 33f x f π??== ??? . 故选：A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题. 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，

培优锐角三角函数辅导专题训练含详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°

在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再

高中数学三角函数基础知识点及答案

高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度， 直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 （答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角，则2 α 是第_____象限角 （答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

【强烈推荐】2019届高三精准培优专练 数学(理)(学生版) - 最新

数学（理） 培优点一函数的图象与性质01 培优点二函数零点06 培优点三含导函数的抽象函数的构造10 培优点四恒成立问题14 培优点五导数的应用18 培优点六三角函数23 培优点七解三角形29 培优点八平面向量33 培优点九线性规划36 培优点十等差、等比数列40

培优点十一数列求通项公式43 培优点十二数列求和47 培优点十三三视图与体积、表面积51 培优点十四外接球56 培优点十五平行垂直关系的证明59 培优点十六利用空间向量求夹角67 培优点十七圆锥曲线的几何性质76 培优点十八离心率81 培优点十九圆锥曲线综合86 培优点二十几何概型93

2019届高三好教育精准培优专练 1．单调性的判断 例１：（1）函数()2 12 log (4)f x x -=的单调递增区间是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(0),-∞ C ．(2,)+∞ D ．(),2-∞- （2）2 23y x x +-+=的单调递增区间为________． 2．利用单调性求最值 例2：函数y x =+________． 3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式 例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时， ()()2121()0f x f x x x -?-????<恒成立，设12 a f ??=- ?? ? ，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．b a c >> （2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且102f ??= ? ??，则满足19log 0f x ??> ?? ?的x 的集合为________________． ４．奇偶性 例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ?? -< ??? 的x 的取值范围是（ ） A ．12,33?? ??? B ．12,33?? ???? C ．12,23?? ??? D ．12,23?? ???? ５．轴对称 例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+ 都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（ ） A ．404 B ．804 C ．806 D ．402 培优点一 函数的图象与性质

高三数学 三角函数专题训练(含解析)

三角函数专题训练 19．（本小题满分12分） 在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，设向量(,cos ),(,cos )//.m a B n b A m n m n ==≠u r r u r r u r r 且， （Ⅰ）若sin sin A B +=6，求A ； （Ⅱ）若ABC ?的外接圆半径为1，且,abx a b =+试确定x 的取值范围． 17．（本小题共12分） 已知函数()sin()(0,||)2f x M x M πω??=+>< 的部分图象如图所示． （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）在△ABC 中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、若(2)cos cos ,()2 A a c B b C f -=求的取值范围．

17．（本小题满分12分）已知向量231444x x x m (sin ,),n (cos ,cos )==．记()n m x f ?= （I ）若32f ()α=，求23 cos()πα-的值； （Ⅱ）在?ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足 ()2cos cos a c B b C -=，若13f (A )+= ，试判断?ABC 的形状． 17、海岛B 上有一座高为10米的塔，塔顶的一个观测站A ，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D 处。（假设游船匀速行驶） （1）求该船行使的速度（单位：米/分钟）（5分） （2）又经过一段时间后，游船到达海岛B 的正西方向E 处，问此时游船距离海岛B 多远。（7分） 19．解：因为(,cos ),(,cos )//m a B n b A m n ==u r r u r r 且， 所以cos cos a A b B =，-------------------------------------------1分 由正弦定理，得sin cos sin cos A A B B =，

培优锐角三角函数之欧阳光明创编

锐角三角函数 欧阳光明（2021.03.07） 题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论： （1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若 cos α>21,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（）A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（） A.160cos 60sin 0202=+ B .130cos 30sin 00=+ C.0055cos 35sin = D.tan45°>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（） A.0°<∠A ≤90° B.90°<∠A<180° C.0°≤∠A<90° D.0°≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知 sin α·cos α=81，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（） A.23B.2 3- C.43D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（）

A.sinA+cosB=sinC B.sinA+sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（） A.m=n B.m=2n+1 C.122+=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值 例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ， AC=6，若a ABD =∠，则下列式子正确的是（） A.sin α=54 B.cos α=53 C.tan α=34 D.cot α=34 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α=167 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α=5 1，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43B.43- C.34D.34- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。 4、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。 （1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。 题型：三角函数值的计算(1) 例：计算：000020246tan 45tan 44tan 42sin 48sin ??-+= 变式：1、计算： 2002020010)60cot 4()60tan 25.0(?= 2、计算：0 000002000027tan 63tan 60cot 360sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++- 题型：三角函数值的计算(2)

高中数学三角函数知识点归纳总结

《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα<

,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号

高三数学培优专练

高三培优专练 1．单调性的判断 例１：（1）函数()2 12 log (4)f x x -=的单调递增区间是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(0),-∞ C ．(2,)+∞ D ．(),2-∞- （2）2 23y x x +-+=的单调递增区间为________． 2．利用单调性求最值 例2：函数1y x x =+-的最小值为________． 3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式 例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时， ()()2121()0f x f x x x -?-????<恒成立，设12 a f ??=- ?? ? ，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．b a c >> （2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且10 2f ??= ???，则满足19log 0f x ??> ?? ?的x 的集合为________________． ４．奇偶性 例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ?? -< ??? 的x 的取值范围是（ ） A ．12,33?? ??? B ．12,33?? ? ??? C ．12,23?? ??? D ．12,23?? ? ??? ５．轴对称 例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+ 都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（ ） A ．404 B ．804 C ．806 D ．402 ６．中心对称 例６：函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()()2f x f x =+ D ．()3f x +是奇函数 ７．周期性的应用 例７：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-， 则()()20172019f f +的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．0 D ．无法计算 一、选择题 培优点一 函数的图象与性质 对点增分集训

培优锐角三角函数

锐角三角函数 题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论： （1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若cos α> 2 1 ,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（ ）A.(1) (2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（ ） A.160cos 60sin 0 2 2 =+ B .130cos 30sin 0 =+ C.0 55cos 35sin = °>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（ ） °<∠A ≤90° °<∠A<180° °≤∠A<90° °≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知sin α·cos α= 8 1 ，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（ ） A. 23 B.23- C.4 3 D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（ ） A.sinA+cosB=sinC +sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2 tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（ ） A.m=n =2n+1 C.122 +=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值 例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ，AC=6，若a ABD =∠，则 下列式子正确的是（ ） A.sin α= 54 α=53 α=34 α=3 4 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α= 16 7 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α= 51，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43 B.43- C.34 D.3 4- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。

高考数学三角函数知识点总结及练习

三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2

正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan =

高三数学培优资料用泰勒公式和拉格朗日中值定理来处理高中函数不等式问题(教师版)

2012级高三数学培优资料（教师版） 泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用 泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式()n p x ,去逼近一个已知的函数()f x ，而且这种逼近有很好的性质：()n p x 与()f x 在x 点具有相同的直到阶n 的导数 ] 31[-.所以泰勒 公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 泰勒公式知识：设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1n +阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x ，在0x 与x 之间至少存在一点ξ，使得： ()f x =()0f x +()0' f x 0(x -x )+()0f''x 2!02(x -x )+???+ ()()0 n f x n! 0n (x -x )+()n R x ， 其中()n R x = ()(1)(1)! n f n ξ++10)(+-n x x 称为余项，上式称为n 阶泰勒公式； 若0x =0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式， 即()f x = ()0f +()0' f x +()02!f''2x +???+()()0! n f n n x +0()n x . 利用泰勒公式证明不等式：若函数)(x f 在含有0x 的某区间有定义,并且有 直到)1(-n 阶的各阶导数,又在点0x 处有n 阶的导数)(0) (x f n ,则有公式 )()(! )()(!2)()(!1)()()()(00)(2 00000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= 在上述公式中若0)(≤x R n (或0)(≥x R n ),则可得

2020年高考数学三角函数专题解题技巧

三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???-

中考数学二轮 锐角三角函数 专项培优及详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为AC 上的动点，且10 cos B =. (1)求AB 的长度； (2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD?AE 的值是否变化？若不变，请求出AD?AE 的值；若变化，请说明理由. (3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+. 【答案】(1) 10AB ；(2) 10AD AE ?=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长； （2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得AD?AE=AF?AG ，连接BG ，求得AF=3，FG= 1 3 ，继而即可求得AD?AE 的值； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，通过证明△ADC ≌△ADN ，可得AC=AN ，继而可得AB=AN ，再根据AH ⊥BN ，即可证得BH=HD+CD. 【详解】（1)过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ， ∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF=1 2BC=1， 在RtΔAFB 中，BF=1，∴AB=10 cos 10 BF B == （2）连接DG ， ∵AF ⊥BC ，BF=CF ，∴AG 为⊙O 的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°， 又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ， ∴AD ：AF=AG ：AE ， ∴AD?AE=AF?AG ， 连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF?FG ， ∵22AB BF -=3， ∴FG= 13 ，

高一数学培优专题(已修正)

厦大附中高一数学培优专题（一） （2010-3-6/13） 知识要点梳理 本节公式中，,2a b c s ++=,r 为切圆半径，R 为外接圆 半径，Δ为三角形面积. （一). 三角形中的各种关系 设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角A 、B 、C ． 1．角与角关系：A +B +C = π， 2．边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ， a － b < c ，b －c < a ，c －a < b ． 3．边与角关系： 正弦定理； R C c B b A a 2sin sin sin === 余弦定理； c 2 = a 2+b 2－2ba cos C ， b 2 = a 2+ c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ． 它们的变形形式有：a = 2R sin A ，b a B A =sin sin ， bc a c b A 2cos 2 22-+=． 3）射影定理：a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ， b ＝a ·cos C ＋ c ·cos A ， c ＝a ·cos B ＋b ·cos A ． 4 ）面积公式：11sin 224a abc S ah ab C rs R ?=====

（二）、关于三角形角的常用三角恒等式： 1.三角形角定理的变形 由A ＋B ＋C ＝π，知A ＝π－（B ＋C ）可得出： sin A ＝sin （B ＋C ），cos A ＝－cos （B ＋C ）． 而 2 22C B A +-=π．有：2cos 2sin C B A +=，2 sin 2cos C B A +=． 2.常用的恒等式： （1）sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos 2 A cos 2 B cos 2 C ； （2）cos A ＋cos B ＋cos C ＝1＋4sin 2 A sin 2 B sin 2 C ； （3）sin A ＋sin B －sin C ＝4sin 2 A sin 2 B cos 2 C ； （4）cos A ＋cos B －cos C ＝－1＋4cos 2 A cos 2 B sin 2 C ． 3．余弦定理判定法：如果c 是三角形的最大边，则有： a 2＋ b 2＞ c 2 ? 三角形ABC 是锐角三角形 a 2＋b 2＜c 2 ? 三角形ABC 是钝角三角形 a 2＋b 2=c 2 ? 三角形ABC 是直角三角形 (三) 三角形度量问题：求边、角、面积、周长及有关圆半径等。

高中数学三角函数复习专题(2)

高中数学三角函数复习专题 一、知识点整理 1角的概念的推广： 正负，范围，象限角，坐标轴上的角； 2、角的集合的表示： ① 终边为一射线的角的集合： x|x 2k ② 终边为一直线的角的集合： xx k 3、任意角的三角函数: (1) 弧长公式：1 aR R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，1为弧长 (2) 扇形的面积公式 :S 1 -IR R 为圆弧的半径，1为弧长。 2 (3) 三角函数定义： 角 中边上任意一点P 为(x,y)，设|OP| r 则： sin — ,cos r x J r tan y r=寸孑圧 x 女口：公式 cos( ) cos cos sin sin 的证明 (4)特殊角的三角函数值 ③两射线介定的区域上的角的集合: x2k ④两直线介定的区域上的角的集合： x k x k ,k Z ? k 360', k Z ,k Z = | ，k Z ； 反过来，角 的终边上到原点的距离为 r 的点P 的坐标可写为：P r cos ,r sin

4 x 4 4 sin cos tan - -si n + cos -ta n - + si n -cos -ta n + -si n -cos + tan 2 . -si n + cos -ta n 2k + + si n + cos + tan sin con tan 2 + cos + sin + cot 2 + cos -si n -cot 3 2 -cos -si n + cot 3_ 2 -cos + sin -cot 三角函数值等于 的同名三角函数值，前面 加 上一个把 看作锐角时，原三角函数值的 符 号；即：函数名不变，符号看象限 三角函数值等于 的异名三角函数值，前面 加 上一个把 看作锐角时，原三角函数值的 符号； 即:函数名改变，符号看象限： sin x 比如 cos 一 x 4 cos x cos x sin 一 (6)三角函数线：(判断正负、比较大小，解方程或不等式等) 如图，角 的终边与单位圆交于点P ,过点P 作x 轴的垂线, 垂足为M ，则 过点A(1,0)作x 轴的切线，交角终边0P 于点T ，贝U (7)同角三角函数关系式： ③ 平方关系：sin 2 a cos 2 a 1 ①倒数关系： tan acota 1 ②商数关系: tana ^ina cosa (8)诱导公试

高三数学三角函数专题训练

高三数学三角函数专题训练 1.为得到函数πcos 23y x ?? =+ ?? ? 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12 个长度单位 C ．向左平移 5π6 个长度单位 D ．向右平移 5π6 个长度单位 2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则M N 的最大值为（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．2 3.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2倍（纵坐标不变），得到的图 象所表示的函数是( ) A .sin(2)3 y x π =-，x R ∈ B.sin( ) 2 6 x y π =+ ，x R ∈ C.s in (2)3 y x π =+，x R ∈ D.sin(2) 3 2y x π=+ ，x R ∈ 4.设5sin 7 a π=，2cos 7 b π=，2tan 7 c π=，则( ) A.c b a << B.a c b << C.a c b << D.b a c << 5.将函数sin(2)3 y x π =+ 的图象按向量α 平移后所得的图象关于点(,0) 12 π - 中 心对称，则向量α的坐标可能为（ ） A ．(,0)12π - B ．(,0)6 π - C ．( ,0)12 π D ．( ,0)6 π 6.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+ 在区间 ,42ππ?? ???? 上的最大值是( ) A.1 B.13 2 + C. 3 2 D.1+ 3 7.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =( ) A.2 1 B. 2 C.2 1- D.2-

高考数学三角函数复习专题

三角函数复习专题 一、核心知识点归纳： ★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ?? ≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当22 x k π π=+ () k ∈Z 时，max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =； 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,22 2k k π πππ? ? - + ??? ? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ??++??? ? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ? ?+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 ★★2.正、余弦定理：在ABC ?中有: 函 数 性 质

①正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ?外接圆半径） 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =??=??=? ? sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ? =?? ? =?? ? =?? 注意变形应用 ②面积公式：111 sin sin sin 222 ABC S abs C ac B bc A ?= == ③余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-? ? 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 二、练习题 1、角α的终边过点 b b 则且（,5 3 cos ),4,--=α的值（ ） A 、3 B 、-3 C 、3± D 、5 2、已知2π θπ<<,3 sin()25 πθ+=-，则tan(π-θ)的值为（ ） A ．34 B ．43 C ．34- D ．4 3 - 3、2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 4、为得到函数πcos 3y x ? ?=+ ?? ?的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ） A ．向左平移π 6个长度单位 B ．向右平移 π 6 个长度单位 C ．向左平移5π 6 个长度单位 D ．向右平移 5π 6 个长度单位 5、()sin()(0,0,||)2 f x A x A ωφωφπ =+>>< 是( ) A. y = 2sin(x -4π) B. y = 2sin(x +4π) C. y = 2sin (2x -8π) D. y = 2sin (2x +8 π )

高中数学三角函数知识点总结(珍藏版)

高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦

sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + —