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数值分析课后题答案

数值分析第二章

2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。解：

0120121200102021101201220211,1,2,

()0,()3,()4;()()1

()(1)(2)()()2()()1

()(1)(2)

()()6

()()1

()(1)(1)

()()3

x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------=

=-+--

则二次拉格朗日插值多项式为

()()k k k L x y l x ==∑

0223()4()

(1)(2)(1)(1)23

537623

l x l x x x x x x x =-+=---+

-+=

+- 6．设,0,1,

,j x j n =为互异节点，求证：

（1）

0()n

j j j x l x x

=≡∑ (0,1,,);k n =

（2）0

()()0n

k j

j j x

x l x =-≡∑ (0,1,

,);k n =

证明

（1）令()k

f x x = 若插值节点为,0,1,

,j x j n =，则函数()f x 的n 次插值多项式为0

()()n

n j j j L x x l x ==∑。

插值余项为(1)1()

()()()()(1)!

n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=

+ 又

,k n ≤

(1)()0

()0

n n f R x ξ+∴=∴=

0()n

k k

j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =

000

(2)()()

(())()()(())

k j j j n n

j i k i k j j j i n

k i

i k

j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑

0i n ≤≤又由上题结论可知

()n

k i

j j

j x l x x ==∑

()()0

i k i i

k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式

∴得证。

7设[]2

(),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证：

max ()()max ().8

a x

b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为

101010

()()

()x x x x L x f x f x x x x x --=+--

=()

()

x b x a

f a f b a b x a

--=+-- 1()()0

()0

f a f b L x ==∴=又

插值余项为1011

()()()()()()2

R x f x L x f x x x x x ''=-=

-- 011

()()()()2

f x f x x x x x ''∴=

[]012

012102()()

1()()21()41

()4

x x x x x x x x x x b a --??≤-+-????

=-=-又

∴21

max ()()max ().8

a x

b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 8．在44x -≤≤上给出()x

f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x

e 的近似值，要使

截断误差不超过6

10-，问使用函数表的步长h 应取多少？

解：若插值节点为1,i i x x -和1i x +，则分段二次插值多项式的插值余项为

2111

()()()()()3!i i i R x f x x x x x x ξ-+'''=

--- 211441

()()()()max ()6i i i x R x x x x x x x f

x -+-≤≤

'''∴≤---

设步长为h ，即11,i i i i x x h x x h -+=-=+

4343

21().6R x e h ∴≤=

若截断误差不超过6

10-，则

6243

6()10100.0065.R x h h --≤≤∴≤ 9．若44

2,.n n n n y y y δ=?求及，

解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

2n n y =

44(1)n n y E y ?=-

404

4044044(1)4(1)4(1)2(21)2j j n

j j n j

j j j

j n

n n

E y j y j y j y y -=+-=-=??

=- ?????=- ???

??=-? ???=-==∑∑∑ 114

2()n n y E E y δ-=-

422

()(1)2n

n n E E y E y y ----=-=?==

16．7

()31,f x x x x =+++求01

72,2,

,2F ????及01

82,2,,2F ????。

解：

74()31f x x x x =+++

若2,0,1,

,8i

i x i ==

则[]()01(),,

,!n n f f x x x n ξ=

[](7)017()7!,,,17!7!f f x x x ξ∴===

[](8)018()

,08!

f f x x x ξ==

19．求一个次数不高于

次的多项式

P （x ），使它满足

(0)(0)0,(1)(1)0,(2)0P P P P P ''=====

解法一：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式

0101010,10,10,1

x x y y m m ======

01001012

()()()

()(12

)()(12)(1)j j j j j j H x y x m x x x x x x x x x x x x αβα===+--=---=+-∑∑

10110102

()(12)()(32)x x x x x x x x x x x α--=---=-

202

1()(1)()(1)x x x x x x

ββ=-=-

22323()(32)(1)2H x x x x x x x ∴=-+-=-+

设22

301()()()()P x H x A x x x x =+--

其中，A 为待定常数

3222(2)1

()2(1)P P x x x Ax x =∴=-++-

A ∴=

从而2

21()(3)4

P x x x =

- 解法二:采用牛顿插值，作均差表：

],,[()(210101000x x x p x p =

))()()((210x x x x x x Bx A ---++

)2)(1()()2/1)(1(0--++--++=x x x Bx A x x x

又由 ,1)1(,0)0(='='p p 得

41,43=-=B A 所以 .

)3(4)(22

-=x x x p

第四章

1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：

101210121

12120

(1)()()(0)();

(2)()()(0)();

(3)()[(1)2()3()]/3;

(4)()[(0)()]/2[(0)()];

h h

f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-??

解：

求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。（1）若101(1)

()()(0)()h

f x dx A f h A f A f h --≈-++?

令()1f x =，则1012h A A A -=++

令()f x x =，则110A h A h -=-+

令2

()f x x =，则3

221123

h h A h A -=+

从而解得011431313A h A h A h -?=??

=??

?=??

令3

()f x x =，则 3()0h

f x dx x dx --==?

? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=

故

101()()(0)()

f x dx A f h A f A f h --=-++?

成立。令

()f x x =，则

455

1012()5

()(0)()3

f x dx x dx h A f h A f A f h h ---==

-++=?

故此时，101()()(0)()h

f x dx A f h A f A f h --≠-++?

故

101()()(0)()h

f x dx A f h A f A f h --≈-++?

具有3次代数精度。（2）若

21012()()(0)()h

f x dx A f h A f A f h --≈-++?

令()1f x =，则1014h A A A -=++ 令()f x x =，则110A h A h -=-+ 令2

()f x x =，则3

2211163

h h A h A -=+

从而解得0

1143

8383A h A h A h -?=-??

=??

?=??

令3

()f x x =，则 22322()0h

f x dx x dx --==?

101()(0)()0A f h A f A f h --++=

故

21012()()(0)()h

f x dx A f h A f A f h --=-++?

成立。

令4

()f x x =，则

2245

2264()5

f x dx x dx h --==

10116()(0)()3

A f h A f A f h h --++=

故此时，21012()()(0)()h

f x dx A f h A f A f h --≠-++?

因此，

21012()()(0)()h

f x dx A f h A f A f h --≈-++?

具有3次代数精度。（3）若

121

()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -≈-++?

令()1f x =，则

121

()2[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -==-++?

令()f x x =，则 120123x x =-++

令2

()f x x =，则 22122123x x =++

从而解得120.28990.5266x x =-??

=?或120.6899

0.1266

x x =??=?

令3

()f x x =，则 1

()0f x dx x dx --==?

? 12[(1)2()3()]/30f f x f x -++≠

故

121

()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -=-++?

不成立。因此，原求积公式具有2次代数精度。

（4）若

()[(0)()]/2[(0)()]h

f x dx h f f h ah f f h ''≈++-?

令()1f x =，则 0

(),h

f x dx h =?

2[(0)()]/2[(0)()]h f f h ah f f h h ''++-=

令()f x x =，则

022

1()2

[(0)()]/2[(0)()]2

h f x dx xdx h h f f h ah f f h h ==''++-=?

令2

()f x x =，则

0232

()3

[(0)()]/2[(0)()]22

h f x dx x dx h h f f h ah f f h h ah ==''++-=-?

故有

211232

112

h h ah a =-=

令3

()f x x =，则

400

2444

1()4

1111[(0)()]/2[(0)()]12244h

h f x dx x dx h h f f h h f f h h h h

==''++-=-=??

令4

()f x x =，则

500

2555

1()5

1111[(0)()]/2[(0)()]12236

f x dx x dx h h f f h h f f h h h h

==''++-=-=??

故此时，

1()[(0)()]/2[(0)()],12

f x dx h f f h h f f h ''≠++

因此，

()[(0)()]/2[(0)()]12

f x dx h f f h h f f h ''≈++-?

具有3次代数精度。

7。若用复化梯形公式计算积分1

x I e dx =

，问区间[0,1]应多少等分才能使截断误差不超过

610-？

解：

采用复化梯形公式时，余项为 2

()(),(,)12

n b a R f h f a b ηη-''=-∈ 又

x I e dx =? 故(),(),0, 1.x x f x e f x e a b ''====

221()()1212

n e R f h f h η''∴=

≤ 若()6

10-≤f R n ，则当对区间[0,1]进行等分时，1

,h n

故有12

106

?≥e n 因此，将区间476等分时可以满足误差要求

第五章

2. 用改进的欧拉方法解初值问题

?=<<+=',1)0(;10,y x y x y

e x y 21+--=

3、解：改进的欧拉法为

111

[(,)(,(,))]

n n n n n n n n y y h f x y f x y hf x y ++=+++

将

2(,)=+-f x y x x y 代入上式，得

111

1112

1n n n n n n h h

h x x x x y h y +++)+[(-)(+)+(+)]=(-+

同理，梯形法公式为

211122[(1)(1)]-+++++=++++h h n n

n n n n h h y y x x x x 将

00,0.1y h ==代入上二式，，计算结果见表9—5

表 9—5

可见梯形方法比改进的欧拉法精确。

4、用梯形方法解初值问题

?==+',1)0(;0y y y

证明其近似解为

22n

n h h y ??? ??+-=

并证明当0→h 时，它原初值问题的准确解x

e y -=。

证明：梯形公式为

11[(,)(,)]2

n n n n n n h

y y f x y f x y +++=++

代

(,)f x y y =-入上式，得

11[]2

++=+--n n n n h

y y y y

解得

110222(

)()()222n n n n h h h y y y y h h h

++----===?=+++ 因为

01y =，故

2()2n

n h y h

-=+ 对

0x ?>，以

h 为步长经n 步运算可求得

()y x 的近似值n

y ，故

,,x

x nh n h

==代入上式有

2()2x

h y h

-=+

22220000222lim lim()lim(1)lim[(1)]222x x h h x

x h h h h h

n h h h h h h h y e h h h

+-+→→→→-==-=-=+++

10. 证明解),(y x f y ='的下列差分公式

)34(4)(211111-+-+'+'-'++=

n n n

n n n y y y h

y y y

是二阶的，并求出截断误差的首项。

23(1)

(2)(3)31()26n n n

n n h h y y hy y y o h +=++++，2(1)(2)

(3)21'()

2n n n n h y y hy y o h +=+++，23(1)(2)(3)31()26n n n n n h h y y hy y y o h -=-+-+，2(1)(2)

(3)21'()

2n n n n h y y hy y o h -=-++，代入得

3(3)

325()()

8n h y o h o h ε=+=，截断误差首项为3(3)58n h y 。

12. 将下列方程化为一阶方程组：

1）;

1)0(,1)0(,

023='==+'-''y y y y y

(1)','32y z z z y ==-，其中(0)1,(0)1y z ==。

2）;0)0(,1)0(,

0)1(1.02='==+'--''y y y y y y (2) 2

','0.1(1)y z z y z y ==--，其中(0)1,(0)0y z ==。

第六章

1、用二分法求方程2

10x x --=的正根,要求误差小于0.05.

解设

()1,(1)10,(2)10f x x x f f =--=-<=>,故[1,2]为()f x 的有根区间.又'()21f x x =-,故当

102x <<

时,()f x 单增,当1

2x >

时()f x 单增.而

(),(0)124f f =-=-,由单调性知()0f x =的惟一正根*(1,2)x ∈.根据二分法的误差估计式(7.2)知要求误差小于0.05,只需1

0.052k +<,解得1 5.322k +>,故至少应二分6次.

具体计算结果见表7-7.

表7-7

- 即

5* 1.609375x x ≈=.

3、为求3210x x --=在0 1.5

x =附近的一个根,设将方程改写成下列等价形式,并建立相应

的迭代公式:

(1)2

11x x =+,迭代公式1211k k x x +=+;

(2)321x x =+,迭代公式123

(1)k k x x +=+;

(3)

11x x =

-,迭代公式1k x +=试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根. 解取

0 1.5

x =的邻域[1.3,1.6]来考察.

(1)当[1.3,1.6]x ∈时,

233122()1[1.3,1.6],|'()|||11.3x x L x x ??=+

∈=-≤=<,故迭代公式

11k k x x +=+

在[1.3,1.6]上整体收敛.

(2)当[1.3,1.6]x ∈时

21/322223

()(1)[1.3,1.6]

22 1.6|'()|||0.5221

(1)

(1 1.3)

x x x x L x ??=+∈=

≤=<++

故

123

1(1)k k x x +=+在[1.3,1.6]上整体收敛.

(3)

3/2

()'()|||12(1)2(1.61)x x x ??-=

=>>--

故

1k x +=.

由于(2)的L 叫小,故取(2)中迭代式计算.要求结果具有四位有效数字,只需 3

|*|||1012k k k L x x x x L ---≤

即

33111

||100.5102k k L x x L -----<

取

0 1.5

x =计算结果见表7-8.

由于

3651

||102x x --<

?,故可取

7、用下列方法求

()310f x x x =--=在02x =附近的根.根的准确值* 1.87938524...x =,要求计算结果准确到四位有效数字.

(1)用牛顿法; (2)用弦截法,取

012, 1.9x x ==; (3)用抛物线法,取

0121,3,2x x x ===.

解

(1)0,(2)0,()333(1)0,''()60f f f x x x f x x <>=-=-≥=>,对[1,2].x ?∈ (1)取0

2x =,用牛顿迭代法 k x k

33122

3121

333(1)k k k k k k k x x x x x x x +--+=-=-- 计算得3

1221

1.888888889, 1.879451567,|*|102x x x x -==-

x x ≈=.

(2)取

212, 1.9x x ==,利用弦截法

111()()

()()

k k k k k k k x x f x x x f x f x -+--=-

得,3

23441

1.981093936, 1.880840630, 1.879489903,|*|102x x x x x -===-

4* 1.879489903

x x ≈=.

(3)

0121,3,2x x x ===.抛物线法的迭代式为

11121[,][,,]()

k k k k k k k k k x x w f x x f x x x x x +----==+-

迭代结果为:

3451.953967549, 1.87801539, 1.879386866x x x ===已达四位有效数字.

12. 应用牛顿法于方程03

=-a x ，导出求立方根3a 的迭代公式，并讨论其收敛性。

令a x x f -=3

)(，迭代公式为

231

323)()(k

k k k k k k k k x a

x x a x x x f x f x x +=--='-=+。

2332)(x a x x +=?，则3

)2(332)(--?+='x

a x ?，所以0)(='a ?，

又 42)(-=''ax x ?，所以02)(3

/1≠=''-a

a ?，因此迭代格式为线性收敛。

15、证明迭代公式

212

(3)3k k k k x x a x x a ++=+

.假定初值0x

充分靠近根*x 求

证明记

22(3)

()3x x a x x a ?+=

+,则迭代式为1()k k x x ?+=

且?=由()x ?的定义,有

(3)()(3)x a x x x a ?+=+ 对上式两端连续求导三次,得

22226()(3)'()336()12'()(3)''()618'()18''()(3)'''()6x x x a x x a x x x x a x x

x x x x a x ????????++=++++=+++=

代x ,

并利用?得

30,0,02a ???===

≠

所以由定理7.4知,

131

3!24k a a

数值分析课后题答案

数值分析第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证：（1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明（1）令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q

(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --

数值分析课后答案

1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。由于 n i i i n n n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1... ......... ...... 1 )(21110 20 0---= ，.1,...,1,0-=n i 故知0)(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。又)(x V n 的最高次幂 n x 的系数为 )(...1...1... ...... .........1),...,,(101 1 21 11 2 2221 02001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -== ∏-≤<≤-----------。故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V 6、解：（1）设 .)(k x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()1(=+x f n 对 )(x f 构造Lagrange 插值多项式， ),()(0 x l x x L j n j k j n ∑== 其 0)()! 1() ()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ， ξ介于j x 之间，.,...,1,0n j = 故 ),()(x L x f n =即 .,...,1,0,)(0 n k x x l x k j n j k j ==∑= 特别地，当0=k 时， 10) (=∑=n j x j l 。（2） 0)()1(1) ()1()()(0000=-=??? ? ??-??? ? ??-=--=-===∑∑∑∑k j j i j i k j k i i j i i k j n j k i i j k n j j x x x x i k x l x x i k x l x x ）利用（。 7、证明：以b a ,为节点进行线性插值，得 )()()(1 b f a b a x a f b a b x x P --+--= 因 0)()(==b f a f ，故0)(1=x P 。而 ))()(("2 1 )()(1b x a x f x P x f --= -ξ，b a <<ξ。故)("max )(8 122)("max )(max 2 2 x f a b a b x f x f b x a b x a b x a ≤≤≤≤≤≤-=??? ??-≤。 14、解：设 ))...()(()(21n n x x x x x x a x f ---=， k x x g =)(，记)() (1 ∏=-=n j j n x x x w ，则 ),()(x w a x f n n =).()(' j n n j x w a x f = 由差商的性质知 [])! 1()(1,..,,1) (' 1 )(')('1 211 11 -== ==-===∑∑∑ n g a x x x g a x w x a x w a x x f x n n n n n j j n k j n n j j n n k j n j j k j ξ， ξ介于n x x ,...,1之间。当20-≤≤ n k 时，0)()1(=-ξn g ，当 1-=n k 时，)!1()(1-=-n g n ξ，故 ???-=-≤≤=-= --=∑1,,20,0)!1()(1) ('1 11 n k a n k n g a x f x n n n n j j k j ξ 16、解：根据差商与微商的关系，有 [] 1! 7! 7!7)(2,...,2,2)7(7 10===ξf f ， [ ] 0! 80 !8)(2,...,2,2)8(8 1 ===ξf f 。（ 13)(47+++=x x x x f 是7次多项式，故 ,!7)()7(=x f 0)()8(=x f ）。 25、解：（1）右边= [][]dx x S x f x S dx x S x f b a b a ??-+-)(")(")("2)(")("2 = [] d x x S x f x S x S x S x f x f b a ?-++-)("2)(")("2)(")(")("2)(" 222 = [] d x x S x f b a ?-)(")(" 22 = [][]dx x S dx x f b a b a 2 2 )(")("??- =左边。（2）左边= ? -b a dx x S x f x S ))(")(")(("

数值分析习题集及答案[1].(优选)

数值分析习题集（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）长沙理工大学第一章绪论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若

数值分析课后题答案

数值分析 2?当x=1,—1,2时，f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解： X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点，求证： n (1 )7 x：l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j ￡证明 (1)令f(x)=x k

n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n，则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)!

.f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j ：o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解：令x^a,x^b，以此为插值节点，则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj

数值分析习题集及答案

（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）第一章绪论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令

数值计算课后答案2

习题二解答 1．用二分法求方程x 3-2x 2-4x-7=0在区间[3，4]内的根，精确到10-3，即误差不超过31 102-?。分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。解：因为f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在区间［3，4］上有根。由 3 4311*10 2 2 2 2 2 n n n n n n b a b a x x -----≤ == = < ? 有2n-1＞1000，又为210＝1024＞1000，所以n ＝11，即只需要二分11次即可。 x *≈x 11=3.632。指出：（1）注意精确度的不同表述。精确到10-3和误差不超过10-3 是不同的。（2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。

（3）用秦九韶算法计算f(x n )比较简单。 1*．求方程x 3-2x 2-4x-7=0的隔根区间。解：令32247y x x x =---，则2344322()()y x x x x '=--=+- 当23443220()()y x x x x '=--=+-=时，有122 23,x x =-=。因为2 14902150327(),()y y -=- <=-<，所以方程在区间223 (,)-上无根；因为214903 27 ()y - =-<，而函数在23 (,)-∞- 上单调增，函数值不可能变号，所以方程在该区间上无根；因为2150()y =-<，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。 2．证明1sin 0x x --=在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于4 1 102-?的根，需要迭代多少次？分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。解：令()1sin f x x x =--，因为(0)10sin 010,(1)11sin 1sin 10f f =--=>=--=-<，

数值分析课后习题答案

习题一解答 1．取3.14，3.15， 227，355113 作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。解：（1）绝对误差: e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。相对误差： 3()0.0016 ()0.51103.14r e x e x x -==≈? 有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159… 所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311 101022 --?=? 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。（2）绝对误差: e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。相对误差： 2()0.0085 ()0.27103.15r e x e x x --==≈-? 有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407… 所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1 ＝11211101022 --?=? 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。（3）绝对误差: 22 () 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈- 相对误差：

数值分析第四版习题及答案

第四版数值分析习题第一章绪论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?

数值分析第四版习题及答案

第四版数值分析习题第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令证明就是n次多项式,它得根就是,且、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、

数值分析简明教程第二版课后习题答案(供参考)

0.1算法 1、（p.11，题1）用二分法求方程013 =--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3. 【解】由二分法的误差估计式31 1*102 1 2||-++=≤=-≤ -εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812 ln 10 ln 3≈-≥ k ，因此取9=k ，即至少需 2、（p.11，题2）证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过2102 1 -?。【解】由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且 012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1>+=-?+=e e f ，即0)1()0(+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根. 由二分法的误差估计式211*1021 2 12||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k . 两端取自然对数得6438.63219.322 ln 10 ln 2=?≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分

0.2误差 1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。【解】有效数字：因为111021 05.001828.0||-?= <=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字；因为1 2102105.000828.0||-?=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3 3102 10005.000028.0||-?=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字； %85.17.205 .0||111=<-= x x e r ε； %85.171.205 .0||222=<-= x x e r ε； %0184.0718 .20005 .0||333=<-= x x e r ε。评（1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；（2）近似数的所有数字并非都是有效数字.2．（p.12，题9）设72.21=x ， 71828.22=x ，0718.03=x 均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限) 与相对误差(限)。【解】 005.01=ε，31 1 11084.172.2005 .0-?≈< = x r εε； 000005.02=ε，622 21084.171828 .2000005 .0-?≈< =x r εε； 00005.03=ε，43 3 31096.60718 .000005 .0-?≈< = x r εε；评经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位. 3．（p.12，题10）已知42.11=x ，0184.02-=x ，4 310184-?=x 的绝对误差限均为 2105.0-?，问它们各有几位有效数字？

数值分析课后习题答案

第一章题12 给定节点01x =-，11x =，23x =，34x =，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项：（1）（1） 3 ()432f x x x =-+ （2）（2） 4 3 ()2f x x x =- 解（1）(4) ()0f x =，由拉格朗日插值余项得(4)0123() ()()()()()()0 4!f f x p x x x x x x x x x ξ-=----=；（2）(4) ()4!f x = 由拉格朗日插值余项得 01234! ()()()()()() 4! f x p x x x x x x x x x -= ----(1)(1)(3)(4)x x x x =+---. 题15 证明：对于()f x 以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()p x ，插值误差 012 10()()()max () 8x x x x x f x p x f x ≤≤-''-≤. 证由拉格朗日插值余项得 01() ()()()()2!f f x p x x x x x ξ''-= --，其中01x x ξ≤≤， 01 0101max ()()()()()()()() 2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤''''-=--≤-- 01210()max () 8x x x x x f x ≤≤-''≤. 题22 采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p '==，(1)(1)1p p '==的插值多项式 ()p x ：（1）（1）用待定系数法；（2）（2）利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0p p '==，(1)1p =的插值多项式 ()p x . 解（1）有四个插值条件，故设230123()p x a a x a x a x =+++，2 123()23p x a a x a x '=++，代入得方程组001231123010231 a a a a a a a a a =? ?+++=?? =? ?++=? 解之，得01230 021 a a a a =??=?? =??=-?

(参考资料)数值分析课后答案1

1第一章习题解答 1 设x >0，x 的相对误差限为δ，求 ln x 的误差。解：设 x 的准确值为x *，则有 ( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 所以 e (ln x )=| ln x – ln x * | =| x – x * | ×| (ln x )’|x=ξ·≈ ( | x – x * | / | x *| ) ≤ δ 另解： e (ln x )=| ln x – ln x * | =| ln (x / x *) | = | ln (( x – x * + x *)/ x *) | = | ln (( x – x * )/ x * + 1) |≤( | x – x * | /|x *| ) ≤ δ 2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。求绝对误差限ε( x ) 和 ε( y ) 。解：| e (x ) | = |e (– 2.18)|≤ 0.005，| e (y ) | = |e ( 2.1200)|≤ 0.00005，所以 ε( x )=0.005， ε( y ) = 0.00005。 3 下近似值的绝对误差限都是 0.005，问各近似值有几位有效数字 x 1=1.38，x 2= –0.0312，x 3= 0.00086 解：根据有效数字定义，绝对误差限不超过末位数半个单位。由题设知，x 1，x 2， x 3有效数末位数均为小数点后第二位。故x 1具有三位有效数字，x 2具有一位有效数字，x 3具有零位有效数字。 4 已知近似数x 有两位有效数字，试求其相对误差限。解：| e r (x ) | ≤ 5 × 10– 2 。 5 设 y 0 = 28，按递推公式 y n = y n-1 – 783/ 100 ( n = 1，2，…) 计算到y 100。若取≈78327.982 （五位有效数字），试问，计算 y 100 将有多大的误差？解：由于初值 y 0 = 28 没有误差，误差是由≈78327.982所引起。记 x = 27.982，783?=x δ。则利用理论准确成立的递推式 y n = y n-1 – 783/ 100 和实际计算中递推式 Y n = Y n-1 – x / 100 (Y 0 = y 0) 两式相减，得 e ( Y n ) = Y n – y n = Y n-1 – y n-1 – ( x – 783)/ 100 所以，有 e ( Y n ) = e ( Y n-1) – δ / 100 利用上式求和 δ?=∑∑=?=100111001)()(n n n n Y e Y e 化简，得 e ( Y 100) = e ( Y 0) – δ = δ 所以，计算y 100 的误差界为 4100105001.05.0)(?×=×=≤δεY 6 求方程 x 2 – 56x + 1 = 0的两个根，问要使它们具有四位有效数字，D=ac b 42 ?至少要取几位有效数字？如果利用韦达定理，D 又应该取几位有效数字？解：在方程中，a = 1，b = – 56，c = 1，故D=4562?≈55.96427，取七位有效数字。

数值分析课后题答案

数值分析第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4; ()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--= =-+-----= =------==-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 1 4(1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证：（1）0 ()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2） 0()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明（1）令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0()()n k n j j j L x x l x ==∑。插值余项为(1)1()()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+ 又,k n ≤Q

(1)()0()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0 ()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 000(2)()() (())()()(())n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又由上题结论可知 0()n k i j j j x l x x ==∑ 0()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10101010()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()()x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0 ()0 f a f b L x ==∴=Q 又插值余项为1011()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-=-- 011()()()()2 f x f x x x x x ''∴=--

数值分析第四版习题及答案

第四版数值分析习题第一章绪论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -= ( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 211N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y ≈(三位有效数

字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 { 101012121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin ,2s ab c = 其中c 为弧度, 02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 20000112111 2 1 ()(,,,,)11 n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x x x x ----== 证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x - ,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=-- . 2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式. 3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.

数值分析复习题答案

数值分析复习题一、填空 Chapter1 绪论近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有 3 位有效数字. 用1000.1近似真值1000时，其有效数字有 4 位，已知准确值x*与其有t 位有效数字的近似值12 10.10(0)s n x a a a a =?≠的绝对误差为 1 x*-x 102s t -≤ ?。设 2.40315x * =是真值 2.40194x =的近似值，则x * 有 3 位有效数字。设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，则其相对误差限是44 11 1010224--?=?? ，其绝对误差限是4 1 102-?。当x 很大时，为防止损失有效数字，应该使 = 。 Chapter2 插值方法设642 ()3651f x x x x =+-+，则[3,2,1,0,1,2,3]f ---= 3 。若 42 f(x)=2x +x -3, 则f[1,2,3,4,5,6]= 0 。对 32f(x)=x +3x -x+5,差商f[0,1,2,3,4]= 0 。设 643()35f x x x x =-+-，则差商[0,1,2,3,4,5,6]f = 1 。已知y=f(x)的均差 021[,,]5f x x x =, 402[,,]9f x x x =, f[x4, x3, x2]=14， f[x0, x3, x2]=8 ,.那么均差f[x4, x2, x0]= 9 。（交换不变性）设有数据112 032 x y -则其 2 次 Larange 插值多项式为 32 (1)(2)(1)(1)23x x x x -+-++-，2次拟合多项式为（最佳平方逼近可求）。？？？以n + 1个整数点k ( k =0,1,2,…,n) 为节点的 Lagrange 插值基函数为 ()k l x ( k =0,1,2,…,n)，则 n k k=0 kl (x)= ∑ x 。？？（注： k y k =，则有拉格朗日插值公式：

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