不同定义下辅角主值与反三角函数正切的关系

不同定义下辅角主值与反三角函数正切的关系

黄小琳

（安康学院数学系 陕西 安康 725000）

摘 要： 非零复数Z 有三种表示方法：代数形式、三角形式、指数形式。这几种表示方法可以相互转换，以适应讨论不同问题的需要，且用起来各有其便。 在将复数转化成三角形式时，由于任意非零复数有Z 无穷多个辅角，故因规定的取值范围的不同，将会产生不同的主辅角。本文将在不同定义一下，探讨辅角主值与反三角函数正切的关系。

关键字：主辅角；反正切；关系；

预备知识：1.复数Z 的辅角：实轴正向到非零复数iy x Z +=所对应的向量OZ 间的夹角合于x y

=θtan 称为复数的Z 辅角，记为ArgZ =θ.

2. 复数Z 的主辅角:复数Z 的辅角在某一特定范围内的一个特定值称为ArgZ 的主值，即Z 的主辅角，记为Z arg 。

对于一个复数iy x Z +=我们可以借助于平面上横坐标为x ,纵坐标为y 的点来表示，于是能够建立平面上全部的点合全体复数的一一对应关系。当然我们也可以用极坐标r 与θ来确定复数Z 在平面中的位置：用向量OZ 来表示复数iy x Z +=，其中y x ,顺次等于OZ 沿x 轴与y 轴的分量。则向量OZ 的长度称为复数的模，用r 表示；实轴正向与非零向量OZ 间的夹角记为θ，对于每一确定的),(θr 都有唯一的复数Z 与之对应。

我们定义θ为复数的辅角，显然对于任意复数Z 有无穷多个辅角。于是有规定在某一特定范围内复数Z 的辅角的一个特定值为Z 的主辅角。然而在不同定义范围内，辅角主值与反三角函数正切又有不同的关系。（注意：当0=Z 时，辅角无意义。）

1. 对于任意非零复数 iy x Z +=，当 ππ≤<-Z arg 时，主辅角Z arg 与反正切x y

Arc tan 的关系

当向量OZ 在平面第一，四象限时

??? ??-∈2,2arctan ππx y

??? ??-∈2,2arg ππ

Z x y

arg arctan =∴

当向量OZ 在平面第二象限时，如图：

??? ??-∈0,2arctan πx y

?

?? ??∈ππ,2arg π+=∴x y

Z arctan arg

当向量OZ 在平面第三象限时，如图：

??? ??∈2,0arctan πx y

(]0,arg π-∈ π-=∴x y

Z arctan arg

当OZ 指向x 轴正向时，0=θ；当OZ 指向x 轴负向时，πθ=；

当OZ 指向y 轴正向时，2π

θ=；当OZ 指向y 轴负向时，2π

θ-=；

()0arg ≠=Z Z ()()()()()???

??

?

??????

???

<=-<<-≥<+>=<=>>.

0,02;0,0arctan

;0,0arctan ;0,02;0,0arctan

y x y x x y y x x y y x y x x y ππππ 2. 对于任意非零复数 iy x Z +=，当 π2arg 0<≤时，主辅角与Z arg 反正切

x y

Arc tan 的关系

()0arg ≠=Z Z ()()()()()???

?????????

???<=<>+<≥<+>=≥>.0,02

3;0,02arctan ;0,0arctan ;0,02;0,0arctan y x y x x y y x x

y y x y x x y ππππ

例1 设32z i =--，且(]ππ,arg -∈Z ，则arg z =_________________. A) 32

arctan B) 23

arctan C) π-32

arctan D) π+32

arctan

由题我们可判断出复数i Z 23--=所形成的向量OZ 在平面的第三象限，又因为(]ππ,arg -∈Z ，由1的图表可得π-=x y

Z arctan arg ，故选C.

例2 设复数,43i Z -=且[)π2,0arg ∈Z ,Z arg 与x y

arctan

的关系为 _________；若(]ππ,arg -∈Z ，那么Z arg 与x y

arctan 的关系又为_________。

由题我们可判断出复数i Z 43-=所形成的向量OZ 在平面的第四象限，又因为[)π2,0arg ∈Z ，由2的图表可得则π+=x y

Z arctan arg ；当(]ππ,arg -∈Z ，由

1的图表可得x y

Z arctan arg .

参考文献：

[1]王彩凤. 多值函数单值连续分支的研究[J]. 运城学院学报 , 2004,(02)

[2]刘宅成. 辐角函数与复多值函数[J]. 泰安师专学报 , 1996,(06)

[3]钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2000.

[4]谢娟,邱剑锋.复变函数与积分变换教学改革研究与实践[J].合肥师范学院学 报,2009.

[5]张元林.积分变换[M].第四版.北京:高等教育出版社,2006.

[6]麻桂英.用Matlab 提高复变函数教学质量[J].阴山学刊,2009.

[7]韩流冰. 关于复变函数几个问题的师生讨论[J]. 大学数学 , 1993, (S2)

反三角函数

反三角函数是一种基本初等函数。它并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x,反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切,反正割，反余割为x的角。 三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数，而不是 。 为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2

正切函数的定义图像与性质

正切函数的定义、图像与性质 一、教学目标 1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法，即“正弦函数图像类比推导法” 2、准确写出正切函数的性质，并通过练习体验正切函数基本性质的应用． 3、理解并掌握正切函数的诱导公式。 二、重点与难点 （一）教学重点：正切函数的图象和性质。 1、用类比正弦函数图像类比推导法，单位圆中的正切线作正切函数图象法，引导学生作出正切函数图像，并探索函数性质； 2、学会画正切函数的简图，体会与x轴的交点以及渐近线x=/2 +k，k Z在确定图象形状时所起的关键作用。 （二）教学难点：体验正切函数基本性质的应用， 三、教学过程 1、复习引入 （一）复习 练习：画出下列各角的正切线 （二）引入 引出正切函数、正切曲线的概念和正切函数的诱导公式，提出对正切函数性质思考，让学生能清晰的认识本节课的内容：在内容上，是研究一个具体函数的图像和性质. 2、学习新课： 提出如何研究正切函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法。 （一）复习：如何作出正弦函数的图像？ （二）探究：用正切线作正切函数图像

问题：正切函数y=tanx是否是周期函数？ 设f(x)=tanx f(x+)=tan(x+)=tanx=f(x) y=tanx是周期函数，是它的一个周期。 我们先来作一个周期内的图像 根据正切函数的周期性，将上图像向左向右延伸得到正弦函数的图像 （三）研究函数性质（启发学生借助图像进行研究，培养学生数形结合的思想） （四）疑点解析

在每一个开区间 内都是增函数 （五）例题讲解及课内巩固练习 例1、比较下列每组数的大小 （1）tan167与tan173 （2）tan （ ）与tan y=tanx 在（，）上是增函数， 又y=tanx 在（0，）上是增函数 说明：比较两个正切值大小，关键是相应的角化到y=tanx 的同一单调区间内，再利用y=tanx 的单调递增性解决。 例2、 观察正切曲线，写出满足下列条件的x 的值的范围 例3、求 675 tan )60tan(570tan 315tan --+的值。 四、课堂小结 通过本节课的学习，我们认识了正切函数的图象即正切曲线以及通过图象观察总结出正切函数的性质并利用性质解决了一些简单问题，要注意整体思想在其中的应用。 五、课后作业

推荐-(一)反三角函数的概念·例题 精品

(一)反三角函数的概念·例题 注 (i)求反三角函数值，先用一个字母表示这个反三角函数，再写出它的原三角函数，并确定所在角的象限。然后利用已知三角函数值查表求出角来，或者利用特殊角的三角函数值求出角来。 (ii)如果一个式子中有多个反三角函数值，一般分别用一个字母表示，按上述步骤分别进行。 那么D= ______，M=______。 由对数函数的性质知，D由下面不等式组解确定

从而 所以M=(-∞，log2π-1)。 注求复合函数的定义域，可由里向外(或由外向里)，一层一层得出有关不等式组。求出这不等式组的解，即为所求的定义域。 (1)求它的定义域D； (2)求它的反函数，并求反函数的值域与定义域。

注 (i)反三角函数都是单调函数。故已知值域求定义域时，只须求出值域两端点的反三角函数值即可。 (ii)原函数的定义域为反函数的值域，原函数的值域为反函数的定义域。 所以 y=sinx=sin(x-2π) x-2π=arcsiny y=arcsinx+2π 注求三角函数的反函数时，必须先利用诱导公式，把自变量的取值范围变到此三角函数的主值区间上，再利用反三角函数表出。 例4-1-5求y=arctg(9-8cosx-2sin2x)的定义域与值域。 解由于z=arctgu的定义域为(-∞，+∞)，又因为y=cosx与y=sinx的定义域也都是(-∞，+∞)，从而所求函数定义域也是(-∞，+∞)。 再求值域。令u=9-8cosx-2sin2x，则 u=2(cosx-2)2-1 当cosx=-1时，u max=17，从而y max=arctg17； 注当复合函数的“外”函数是反三角函数时，求此复合函数的值域的步骤是：先求出“内”函数的最大值a与最小值b；令此复合函数为y=f(x)；再求出f(a)，f(b)。那么值域为[f(a)，f(b)](当“外”函数为增函数时)或 [f(b)，f(a)](当“外”函数为减函数时)。

正切函数的定义

北师大版 高一数学必修4 编号（ ） 班级 ： 小组： 姓名： 备课组审核人: 年级组审核人： 定边县实验中学（职教中心） 主备人：李桂翔 知识如烛光，能照亮一个人，也能照亮无数人 第一章 三角函数 课题：正切函数的定义 【学习目标】 1、记住正切函数的定义，能通过定义理解正切函数的定义域；并能根据定义判断正切值在各个象限的正负。 2、会画正切线；能用诱导公式判断正切函数的周期。 【使用说明与学法指导】 1、课前精读课本P35-36一遍，勾画正切函数与正切线的定义；仔细看图1-42，完成导学案。 2、找出自己的疑惑和需要讨论的问题，准备课上讨论质疑。 【学习过程】 一、自主预习 第一次批阅人： 日期： 批语： 1、引桥知识 2、知识导引 （1）你是怎么理解正切函数的？为什么正切函数的定义域不是R ？可以用自己的语言来描述。 （2）结合正余弦函数的定义，说说正余弦函数与正切函数的关系。 （3）做出终边在四个象限时的正切线？尝试通过正切线总结出正切的周期？ 3、预习自测 （1）判断正切函数α在一象限符号为 ，二象限符号为 ，三象限符号为 ，四象限符号为 。 （2） 我的疑惑： 二．合作探究 1已知角α的終边上一点(3,2)P -求sin a ，cos a ， tan a 2．比较大小： （1）2 tan 5 π 3t a n 5π （2）tan 2 t a n 9 3．试把cos1,sin1,tan1按照由小到大的顺序排列，并说明理由. 三、拓展训练 1．已知cos tan 0θθ?<，那么角θ是（ ） A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角 2.(2007Ⅰ·年全国理1）角a 是第四象限角，5 tan 12 a =-，则sin a =（ ） A 15 B 15- C 513 D 5 13- 3.课本39P ，第2题. 4.若0,2x π?? ∈ ??? 比较,sin ,tan x x x 的大小. 四、师生总结 第二次批阅人： 日期: 五、 教学反思

三角函数,反三角函数公式大全

三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )= A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB 积化和差 sinasinb = - 21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1 [cos(a+b)+cos(a-b)]

反三角函数公式(完整)

反三角函数 分类 反正弦 反余弦 余弦函数x y cos =在]0[π，上的反函数，叫做反余弦函数。记作x cos arc ，表示一个 余弦值为x 的角，该角的范围在]0[π，区间内。定义域]11[， - ， 值域]0[π，。 反正切 反余切 余切函数y=cot x 在)0(π，上的反函数，叫做反余切函数。记作x arc cot ，表示一个余切值为x 的角，该角的范围在)0(π，区间内。定义域R ，值域)0(π，。

反正割 反余割 运算公式 余角关系 2 arccos sin arc π = +x x 2 cot tan arc π =+x arc x 2 csc ec a π = +x arc x rcs 负数关系 x x sin arc )sin(arc -=- x x rc arccos )cos(a -=-π x x tan arc )tan(arc -=- x rc x c cot a )(ot arc -=-π

x rc x sec a )(arcsec -=-π x arc x c sec )(sc arc -=- 倒数关系 x arc x csc )1 arcsin(= x arc x sec )1 arccos(= x arc x arc x cot 2cot )1arctan(-==π x x x arc arctan 23arctan )1cot(-=+=ππ x x arc arccos )1 sec(= x x arc arcsin )1 csc(= 三角函数关系

加减法公式 1. ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10()11arcsin(arcsin arcsin 22222 2 222222>+<<-+---=+>+>>-+--=+≤+≤-+-=+y x y x x y y x y x y x y x x y y x y x y x xy x y y x y x ，，或ππ 2. ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10,0()11arcsin(arcsin arcsin ) 10()11arcsin(arcsin arcsin 22222 2 222222>+><-----=->+<>----=-≤+≥---=-y x y x x y y x y x y x y x x y y x y x y x xy x y y x y x ，，或ππ 3. ) 0() 11arccos(2arccos arccos ) 0() 11arccos(arccos arccos 2 2 22<+----=+≥+---=+y x x y xy y x y x x y xy y x π 4. ) () 11arccos(arccos arccos ) () 11arccos(arccos arccos 2 2 22y x x y xy y x y x x y xy y x <--+=-≥--+-=- 5. ) 1,0(1arctan arctan arctan ) 1,0(1arctan arctan arctan ) 1(1arctan arctan arctan ><-++-=+>>-++=+<-+=+xy x xy y x y x xy x xy y x y x xy xy y x y x ππ

反三角函数的概念和性质

反三角函数的概念和性质 一．基本知识： 1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系； 2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsin x, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccos x, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围； 3．符号arcsin x可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，] 上的一个实数；同样符号arccos x可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； 4．y＝arcsin x等价于sin y＝x, y∈[－，], y＝arccos x等价于cos y＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； 5．注意恒等式sin(arcsin x)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sin x)＝x, x∈[－，], arccos(cos x)＝x, x∈[0, π]的运用的条件； 6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用； 7．注意恒等式arcsin x＋arccos x＝, arctg x＋arcctg x＝的应用。 例一．下列各式中成立的是（C）。 （A）arcctg(－1)＝－（B）arccos(－)＝－ C）sin[arcsin(－)]＝－（D）arctg(tgπ)＝π

解：(A)(B)中都是值域出现了问题，即arcctg(－1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π], (D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－，], ∴ (A)(B)(D)都不正确。 例二．下列函数中，存在反函数的是（D）。 （A）y＝sin x, x∈[－π, 0] （B）y＝sin x, x∈[, ] （C）y＝sin x, x∈[,] （D）y＝sin x, x∈[,] 解：本题是判断函数y＝sin x在哪个区间上是单调函数，由于y＝sin x在区间[,]上是单调递减函数，所以选D。 例三． arcsin(sin10)等于（C）。 （A）2π－10 （B）10－2π（C）3π－10 （D）10－3π 解：本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相等，且该角度在[－, ]上。 由于sin(3π－10)＝sin(π－10)＝sin10, 且3π－10∈[－, ], 所以选C。（ 例四．求出下列函数的反函数，并求其定义域和值域。 （1）f (x)＝2sin2x, x∈[, ];（2）f (x)＝＋arccos2x. 解：(1) x∈[, ], 2x∈[, ], 2x－π∈[－, ], －2≤y≤2

正切函数图像及性质

第14讲 正切函数的性质与图像 第一部分 知识梳理 1. 正切函数的图像 2. 正切函数 的性质 3. 函数tan()y A x ω?=+的周期为T πω = 第二部分 精讲点拨 考点1 正切函数的图像的应用 （1 ） 直线y a =（a 为常数）与正切曲线tan y x =相交的相邻两点间的距离是（ ） .A π .B 2 π .C 2π D 与a 值有关 y

[].1EX 解不等式tan 1x ≥- 考点2 正切函数性质应用 （2）不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小 ①0 tan167与0 tan173； ② 11tan 4π??- ???与13tan 5 π ?? - ??? （3）求函数tan 2y x =的定义域、值域和周期，并且求出它在区间[],ππ-内的图像 考点3 利用整理的思想求函数的单调区间和定义域 【例2】 求函数tan()3 y x π =+的定义域，并讨论它的单调性 [].1EX 求函数3tan(2)4 y x π =-的单调区间

考点4 正切函数综合应用 【例3】试判断函数tan 1 ()lg tan 1 x f x x +=-的奇偶性 【例4】已知3 4 x π π -≤≤ ,2 ()tan 2tan 2f x x x =++,求()f x 的最大值与最小值，并且 求相应x 的值 第三部分 检测达标 一、选择题 1．函数)4 tan(π - =x y 的定义域是 （ ） A.{x R x x 且,|∈}Z k k ∈+ ≠,4 2π π B. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈+≠,43ππ C. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈≠,π D. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈±≠,4 2ππ 2．若 ,2 4 π απ < <则（ ） A ．αααtan cos sin >> B ．αααsin tan cos >> C ．αααcos tan sin >> D ．αααcos sin tan >>

反三角函数

反三角函数 Inverse trigonometric functions 第1节反三角函数·概述 原创/O客 把反正弦函数y=arc sinx，反余弦函数y=arc cosx，反正切函数y=arc tanx，反余切函数y=arc cotx统称为反三角函数。 它们都是三角函数的反函数。严格地说，准确地说，它们是三角函数在某个单调区间上的反函数。 以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。 ●反正弦的值域 先从反正弦函数的原函数正弦函数说起。 正弦函数y=sinx在定义域R上没有反函数。因为它在定义域R上不单调，是分段单调。从逆向映射来看，正弦函数y=sinx的每一个函数值y，对应着无数个自变量x的值。当我们从y=sinx中解出x后，x与y不能构成函数关系，所以不存在反函数。 但是，当我们取正弦函数y=sinx的一个单调区间，如[-π/2,π/2]。这时，每一个函数值y，对应着唯一的一个自变量x的值。当我们从y=sinx中解出x后，x与y构成函数关系，所以存在反函数。记为y=arc sinx。把原函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的值域[-1,1],叫做反函数y=arc sinx的定义域。并把原函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]的定义域[-π/2,π/2],叫做反函数y=arc sinx的值域。 ●请参考我的三角函数salon 第2节反三角函数·理解与转化 原创/O客 以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。 ●符号理解 初学反三角函数者往往被它那长长的字符串所迷惑，很不习惯。 一方面，arc sinx这七个字母是一个整体，缺一不可。 另一方面，符号arc sinx可以用下面的三句话来理解： ①它是一个角。即一个实数。arc sinx∈R. ②这个角在-π/2到π/2之间(含端点)。-π/2≤arc sinx≤π/2。 ③这个角的正弦值等于x。sin(arc sinx)=x. ●互化 反三角函数问题往往要转化为三角函数问题，因为后者拥有数十个公式资源，使你解决问题时如虎添翼。 有互化公式（充要条件）如图。 α=arc sinx x=sinα |x|≤1 -π 2≤α≤ π 2

正切函数图象

正切函数 1.正切函数的图像 (1)根据tan(x+π)=)cos()sin(ππ++x x =x x cos sin --=tanx (其中x ≠k π+2π ,k ∈Z)推出正切函数的周期为π. (2)根据tanx=x x cos sin ,要使tanx 有意义，必须cosx ≠0, 从而正切函数的定义域为{x ｜x ≠k π+2π ,k ∈Z} (3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x ∈(-2π,2π ).利用单位圆中的正切线，通 过平移，作出y=tanx,x ∈(-2π,2π)的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x ≠k π+2π (k ∈Z)的图像，我们称之为正切曲线，如图所示. y=tanx 2.余切函数的图像如下： y=cotx 3.正切函数、余切函数的性质： 正切函数y=tanx 余切函数y=cotx

注：正切函数在每一个开区间(k π-2,k π+2)(k ∈Z)内是增函数，但不能说成在整个 定义域内是增函数，类似地，余切函数也是如此. 【重点难点解析】 本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用.正切函数的图像一般用单位圆中的正切 线作.因y=tanx 定义域是{x ｜x ∈R,x ≠k π+2π,k ∈Z}，所以它的图像被平行线x=k π+2π (k ∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的. 1.正切函数应注意以下几点： (1)正切函数y=tanx 的定义域是{x ｜x ≠k π+2π ,k ∈Z},而不是R ，这点要特别注意：(2) 正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(k π-2π,k π+2π )(k ∈Z)上是连续的；(3) 在每一个区间(k π-2π,k π+2π )(k ∈Z)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数. 2.解正切不等式一般有以下两种方法： 图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用不等式正确表示区域. 例1 作出函数y=｜tanx ｜的图像，并根据图像求其单调区间. 分析：要作出函数y=｜tanx ｜的图像，可先作出y=tanx 的图像，然后将它在x 轴上方的图像保留，而将其在x 轴下方的图像向上翻(即作出关于x 轴对称图像)，就可得到y=｜tanx ｜的图像. 解：由于y=｜tanx ｜= tanx,x ∈Z ［k π,k π+2π ］ -tanx,x ∈(k π-2π ,k π)(k ∈Z) 所以其图像如图所示，单调增区间为［k π,k π+2π)(k ∈Z);单调减区间为(k π-2π ,k π］(k ∈Z).

(完整版)反三角函数公式大全

反三角函数公式大全 三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x，反正割Arcsec x=1/cosx，反余割Arccsc x=1/sinx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2

arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=∏－arccotx arcsinx+arccosx=∏/2=arctanx+arccotx sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx) 当x∈〔—∏/2，∏/2〕时，有arcsin(sinx)=x 当x∈〔0,∏〕,arccos(cosx)=x x∈(—∏/2，∏/2),arctan(tanx)=x x∈(0，∏),arccot(cotx)=x x〉0,arctanx=arctan1/x,arccotx类似 若(arctanx+arctany)∈(—∏/2，∏/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)

三角函数与反三角函数图像性质、知识点总结

三角函数 1.特殊锐角（ 0°， 30°， 45°， 60°， 90°）的三角函数值 2.角度制与弧度制 设扇形的弧长为l ，圆心角为 a （rad ）, 半径为 R，面积为 S 角a 的弧度数公式2π×(a /360 °) ①360°=2π rad 角度与弧度的换算②1°=π/180rad ③1 rad= 180°/π=57° 18′≈ 57.3 ° 弧长公式l a R 扇形的面积公式s1lR 2 3.诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）所谓 奇偶指是整数 k 的奇偶性（ k· /2+ a） 所谓符号看象限是看原函数的象限（将a 看做锐角， k· /2+ a 之和所在象限）注： ①：诱导公式应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了 学习指导参考

4. 三角函数的图像和性质： （其中 k z ） ①： 三角 函数 函 数 图 象 定义域 值域 周期 奇偶性 单 调 性 对 称 y sin x R [-1,1] 2 奇 2k , 2k 2 2 2k , 2k 2 2 对称轴 : x k 2 y cosx R [-1,1] 2 偶 2k ,2 k 2k ,2 k 对称轴 : x k y tanx y cotx x k x k 2 R R 奇 非奇非偶 k , k k , k 2 2 对称中心: ( k 2 , 0) 性 对称中心 : ( k , 0) 对称中心 : ( k + 2 , 0) 零值点 x k x k 2 最 x k , y max 1 x 2k ， y max 1 ； 2 值 x k , y min 1 y 2k ， y min 1 x k x 2 k

反三角函数典型例题

反三角函数典型例题 例1：在下列四个式子中，有意义的为__________： 解：（4）有意义。 （1）（2）arcsin 4 π ；（3）sin(arcsin 2)；（4）arcsin(sin 2)。 点评：arcsin x ——x [1,1]∈-。 例2：求下列反正弦函数值 （1）= 解：3 π （2）arcsin0= 解：0 （3）1arcsin()2-= 解：6π- （4）arcsin1= 解：2 π 点评：熟练记忆：0，1 2 ±、，，1±的反正弦值。 思考：1sin(arcsin )24 π +该如何求？ 例3：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x (1)sin x 5= ，x [,]22ππ ∈- 解：x ＝arcsin 5 变式：x [,]2 π ∈π? 解：x [,]2π ∈π时，π－x [0,]2 π∈，sin(π－x)＝sinx ＝5 ∴π－x ＝，则x ＝π－ 变式：x [0,]∈π? 解：x ＝或x ＝π－ (2)1 sin x 4 =-，x [,]22ππ∈- 解：1x arcsin 4=- 变式：1 sin x 4=-，3x [,2]2π∈π 解：3x [,2]2π∈π时，2π－x [0,]2π∈，sin(2π－x)＝－sinx ＝1 4 ∴2π－x ＝arcsin 14，则x ＝2π－arcsin 1 4 点评：当x [,]22ππ ∈-时，x arcsina =；而当x [,]22ππ?-，可以将角转化到区间[,]22 ππ-上，再用诱导公式 处理对应角之三角比值即可。 练习： (1)sin x = ，x [,]22ππ ∈- 解：x 3π= (2)sin x =，x [0,]∈π 解：x =x =π- (3)3sin x 5=-，3x [,]22ππ∈ 解：3 x arcsin 5 =π+

反三角函数的概念和性质

反三角函数的概念和性质 ． 一．基础知识自测题： 1．函数y＝arcsin x的定义域是 [－1, 1] ，值域是. 2．函数y＝arccos x的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] . 3．函数y＝arctg x的定义域是R，值域是. 4．函数y＝arcctg x的定义域是R，值域是 (0, π) . 5．arcsin(－)＝; arccos(－)＝; arctg(－1)＝; arcctg(－)＝. 6．sin(arccos)＝; ctg[arcsin(－)]＝; tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝. 7．若cos x＝－, x∈(, π)，则x＝. 8．若sin x＝－, x∈(－, 0)，则x＝. 9．若3ctg x＋1＝0, x∈(0, π)，则x＝. 二．基本要求： 1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；

2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsin x, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝ arccos x, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围； 3．符号arcsin x可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，] 上的一个实数；同样符号arccos x可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； 4．y＝arcsin x等价于sin y＝x, y∈[－，], y＝arccos x等价于cos y＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； 5．注意恒等式sin(arcsin x)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sin x)＝x, x∈[－，], arccos(cos x)＝x, x∈[0, π]的运用的条件； 6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用； 7．注意恒等式arcsin x＋arccos x＝, arctg x＋arcctg x＝的应用。 例一．下列各式中成立的是（C）。 （A）arcctg(－1)＝－（B）arccos(－)＝－ （C）sin[arcsin(－)]＝－（D）arctg(tgπ)＝π 解：(A)(B)中都是值域出现了问题，即arcctg(－1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π], (D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－，], ∴ (A)(B)(D)都不正确。

反三角函数知识梳理

反三角函数知识梳理 1、函数sin ,[,]22 y x x ππ=∈-的反函数叫做反正弦函数，记作arcsin ,[1,1]y x x =∈- 函数arcsin y x =的定义域为[-1，1]，值域为[,]22 ππ-，，在[-1，1]上单调递增； 是奇函数，所以arcsin()sin ([1,1])x arc x x -=-∈- 注“arcsin x ”的意义： 表示 [,]22 ππ-上的一个角，且这个角的正弦值为x ，即 sin(arcsin )([1,1])x x x =∈- 其图像是： 2、函数cos ,[0,]y x x π=∈的反函数叫做反余弦函数，记作arccos ,[1,1]y x x =∈- 函数的定义域为[-1，1]，值域为[0,]π，在[-1，1]上单调递减；为非奇非偶的函数，其图像关于点(0,)2π中 心对称，所以arccos()arccos ([1,1])x x x π-=-∈- 注“arccos x ”的意义： 表示 [0,]π上的一个角，且这个角的余弦值为x ，即 cos(arccos )([1,1])x x x =∈- 其图像是： 3、、函数tan ,(,)22 y x x ππ=∈-的反函数叫做反正切函数，记作arctan ,y x x R =∈ 函数的定义域为R ，值域为(,)22 ππ-，，在R 上单调递增； 是奇函数，所以arctan()arctan ,()x x x R -=-∈ 注“arctan x ”的意义： 表示 (,)22 ππ-上的一个角，且这个角的正切值为x ，即 tan(arc n )()ta x x x R =∈ 注“arctan x ”的意义： 表示 (,)22 ππ-上的一个角，且这个角的正切值为x ，即 tan(arctan )()x x x R =∈ 其图像是 由反三角函数的图像知 当0x >时，arcsin x ∈ ； 当0x <时，arcsin x ∈ 当0x >时，arccos x ∈ ；当0x <时，arccos x ∈ 当0x >时，arctan x ∈ ；当0x <时，arctan x ∈

反三角函数_一、函数概念

1、函数都是以f(x)这样的符号表示的，如862 +-=x x y ，其中的（x ）表示x 是个会变化的量，我们称x 为“自变量”，y 因为x 的变化而变化，因此叫“因变量”. f(x)叫对应法则，x 所能取值的范围叫函数的定义域，只有当两个函数的定义域、对应法则完全相同时，才认为它们是同一个函数. 函数表示法中大家注意一下“复合函数”、“分段函数”. 复合函数 这是我们遇到的新名词，例如我们有两个函数： .7)(, )(+==x x g x x f 我们把它们复合成一个函数：7)7())((+= +=x x f x g f ，结果就是把函数f(x)里的每 一个x ，都以x+7替代. 分段函数 当你看到函数中有曲里拐弯的大括号，这就是分段函数了. 例如：?????<≥=1,1,)(2x x x x x f 分段函数需要注意的： （1）分段函数是用几个公式合起来表示一个函数，而不是表示几个函数； （2）因为函数式子是用几个公式分段表示的，所以各段的定义域必须明确标出； （3）求分段函数的函数值时，不同点的函数值应带入相应范围的公式中去； （4）分段函数的定义域是各段定义域的并集. 要你求函数在某一点x0的函数值，你得看清楚了，x0是在定义域的哪一部分，得用合适的对应法则才能得出正确答案. 2、函数定义域的求法： （1）分式中的分母不能为零； （2）负数不能开偶次方； （3）对数中的真数必须大于零； （4）反三角函数arcsinx 与arccosx 中的x 必须满足|x|≤1； （5）上述数种情况同时在某函数中出现，此时应取其交集.

1、单调性 若函数在其整个定义域区间上单调，则称它为单调函数. 判定函数单调性的常用方法有： （1）用函数单调的定义 （2）用函数的导数符号判定 2、有界性 理解即可. 3、奇偶性 讨论函数的奇偶性的前提是其定义域为对称区域，由于奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称，故借助函数奇偶性作图有时很方便. 判定函数奇偶性的方法 （1）奇偶性的定义 给出一个函数f(x)，要判断它的奇偶性，将x替换成–x，求出结果，如果等于f(x)，即为偶函数，如果等于 -f(x)，则为奇函数，若二者都不是，则是非奇非偶函数. （2）利用下列性质： 两个奇（偶）函数之和仍为奇（偶）函数； 两个奇（偶）函数之积必为偶函数； 奇函数与偶函数之积必为奇函数. 4、周期性 通常所说的周期是指最小正周期，理解即可. 三、反函数 函数是单调函数时才具有反函数. 应注意互为反函数的两个函数之间的定义域、值域的对应关系，它们的图像是关于y=x为对称的. 特别注意，四个反三角函数是在对其定义域分别规定了主值区间才加以定义反函数的. 求反函数的一般步骤为： （1）在y=f(x)中将y作为已知量，解出x，即得x=ψ(y)； （2）在x=ψ(y)中，将x和y的位置互换，则得到y=f(x)的反函数y=ψ(x). 四、基本初等函数

反三角函数及性质

函数y=sinx，x∈［-π/2，π/2]的反函数叫做反正弦函数，记作x=arcsiny. 习惯上用x表示自变量，用y表示函数，所以反正弦函数写成y=arcsinx.的形式 请注意正弦函数y=sinx，x∈Ｒ因为在整个定义域上没有一一对应关系，所以不存在反函数。 反正弦函数只对这样一个函数y=sinx，x∈［-π/2，π/2]成立，这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间，叫做正弦函数的主值区间。 理解函数y=arcsinx中，y表示的是一个弧度制的角，自变量x是一个正弦值。这点必须牢记 性质 根据反函数的性质，易得函数y=arcsinx的，定义域[-1，1]，值域[－π/2，π/2]，是单调递增函数 图像关于原点对称，是奇函数 所以有arcsin(-x)=-arcsinx，注意x的取值范围:x∈［-1，1] 导函数： ，导函数不能取|x|=1 ， 反正弦恒等式 sin(arcsinx)=x，x∈［-1，1] (arcsinx)'=1/√(1-x^2) arcsinx=-arcsin(-x) arcsin（sinx)=x ，x属于[0，π/2]

反三角函数中的反余弦。意思为：余弦的反函数，函数为y=arccosx，函数图像如右下图。 就是已知余弦数值，反求角度，如cos(a) = b，则arccos(b) = a； 它的值是以弧度表达的角度。定义域：【-1，1】。 由于是多值函数，往往取它的单值支，值域为【0，π】，记作y=arccosx，我们称它叫做反三角函数中的反余弦函数的主值， arctan x 反三角函数中的反正切。意思为：tan(a) = b; 等价于 arctan(b) = a 定义域 :{x∣x∈R} ,值域：y∈（-π/2,π/2) 计算性质： tan(arctana)=a arctan(-x)=-arctanx arctan A + arctan B=arctan(A+B)/(1-AB) arctan A - arctan B=arctan(A-B)/(1+AB) 反三角函数在无穷小替换公式中的应用：当x→0时，arctanx~x

反三角函数的基本概念解读

§3-5 反三角函數的基本概念 (1)反函數的定義： 函數f (x )、g (y )，設x,y 分別是f (x )、g (y )定義域內任意元素，如果g (f (x ))=x 且f (g (y ))=y 則稱f (x )與g (y )互為反函數，f (x )的反函數記為f -1(x )，即g (x )=f -1(x )。 此時f (x )、g (x )的定義域與值域互換，即f (x )的定義域為f -1(x )的值域，f (x )的值域為f -1(x )的定義域。 例一： 設f (x )=2x ，定義域=R ，值域={y | y ≥0}，我們來討論f (x )的反函數因為2?→? f 4，0.5?→?f 20.5，3?→?f 3 2，x x f 2?→? 所以4?→? g 2，20.55.0?→?g ，32?→?g 3，2x ?→?g x 由對數的定義可知g (y )=log 2y ，定義域={y | y ≥0}，值域=R 例二： 設f (x )=x 2，定義域=R ，值域={ y | y ≥0}，觀察它的對應情形 1?→? f 1,-1?→?f 1，2?→?f 4,-2?→?f 4，±3?→?f 9，±x ?→?f x 2，當我們求它的反函數時，會遭遇到一個問題，到底x 2要對應回去x 或是-x 呢？ 因為f (x )=x 2是一個2對1的函數，因此反函數定義時會遭遇到1對2無法形成函數，這個情形與(1)的情形不同，f (x )=2x 是一個1對1的函數，故直接對應回來就能定義反函數；而f (x )=x 2是一個2對1的函數，我們要定義反函數時，就要採取彈性的方法，所謂彈性的方法就是限制原函數的定義域，使得原函數在限制下的定義域是一個1對1的函數。當定義域限制成{x |x ≥0}時，可定義反函數f -1(y )=y ，當定義域限制成{x |x ≤0}時，可定義反函數f -1(y )= -y 。 例三： 處理三角函數的情形，與處理f (x )=x 2 的情形類似，考慮f (x )=sin x ，因為π3 +2k π?→? f 32 它是一個多對1的函數，所以要處理正弦函數的反函數問題時，要將定義域做適當的限制，其它的5個三角函數也是用同樣的方法來處理。

反三角函数的概念和性质

反三角函数的概念和性质

反三角函数的概念和性质 一．基本知识： 1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系； 2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsin x, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccos x, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围； 3．符号arcsin x可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccos x可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； 4．y＝arcsin x等价于sin y＝x, y∈[－，], y＝arccos x等价于cos y＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；

1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π], (D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－ ，], ∴ (A)(B)(D)都不正确。 例二．下列函数中，存在反函数的是（D）。 （A）y＝sin x, x∈[－π, 0]（B）y＝sin x, x∈[, ] （C）y＝sin x, x∈[,] （D）y＝sin x, x∈[,] 解：本题是判断函数y＝sin x在哪个区间上是单调函数，由于y＝sin x在区间[,]上是单调递减函数，所以选D。 例三． arcsin(sin10)等于（C）。 （A）2π－10 （B）10－2π（C）3π－10 （D）10－3π 解：本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相