解析：本题考查单摆的周期公式及能量守恒定律，要求学生理解单摆在小摆幅时的周期与振幅无关。依题意小角度的摆动可视为单摆运动，由单摆的周期公式g
L T π2=可知同一地点的重力加速度相同，摆长相同，故频率f 1＝f 2，与初始速度无关，而摆动的振幅与初始速度有关，根据能量守恒定
律可知初速度越大，摆幅越大，A 1＞A 2，C 对。
4.2012年理综全国卷2
5.（19分）
一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为k 。设地球的半径为R 。假定地球的密度均匀。已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d 。 【解析】单摆在地面处的摆动周期g L
T π2=，在某矿井底部摆动周期'2g L
T π=， 已知k T T ='，根据mg R GMm
=2，'
)('2mg d R m
GM =-
（'M 表示某矿井底部以下的地球的质量，'g 表示某矿井底部处的重力加速度） 以及334
R M πρ?=,3)(34
'd R M -?=πρ， 解得 R k R d 2-=
单摆受力与摆角关系的研究
一、实验目的 1．研究不同起始摆角单摆的受力情况 2．研究大角度下阻尼对单摆摆动周期的影响 二、实验原理 1，绳的张力 如图１，从小球受力分析中可知, 小球受两个力的作用:重力mg 和绳的拉力T。设单摆初始释放角度为θ０，摆动过程中某一角度为θ．根据牛顿第二定律，可知: （１） 由机械能守恒关系得： （２） 式中ｈ０为初始摆角θ０时摆球离最 低点高度，ｈ为摆角θ处的高度，又: 图（一）ｈ＝Ｌ（１－ｃｏｓθ） ｈ０＝Ｌ（１－ｃｏｓθ０） 代入式（２）可得: （3） 联立式（１）可得 Ｔ＝ｍｇｃｏｓθ＋２ｍｇ（ｃｏｓθ－ｃｏｓθ０） ＝ｍｇ（３ｃｏｓθ－２ｃｏｓθ０）（4）
当θ＝θ０，即单摆位于最高点时，由式（4）知 Ｔ０最小＝ｍｇｃｏｓθ０，此时绳中张力最小。 当θ＝０，即单摆位于最低点时，由式（4）知 Ｔ０最大＝ｍｇ（３－２ｃｏｓθ０），此时绳中张力最大。 单摆绳中张力与绳子长度Ｌ无关，无论摆球的初始角度如何， 张力表达式都相同。ma= - mg sinθ 即, 2，大角度下阻尼对单摆张力的影响 在大角度情况下摆动周期做，会引起了多次摆动后阻尼累积带来的影响。在多次摆动中，可以把第一次摆动近似为无阻尼摆动。此后单摆的摆动角度会逐渐减小，摆动情况会接近越来越接近小角度。由于数学推导多次摆动后的单摆所受的张力较难。可通过拉力传感器直接测量、观察。 三、实验装置 1，铁架台，绳子，摆球，力传感器
四、实验步骤 1，按实验装置图连接实验装置，调节铜管口方向，和拉力传感器的位置，使静止时单摆线成一直线。 2，测量用螺旋测微计小球直径，用米尺测量摆长，用力传感器测量小球重力。 3，打开力传感器，把摆球拉高到一定角度，静止释放小球，记录力传感器受到的拉力。比较测量值与理论值的误差。画出 θ０—T最高图及θ０—T最低图。 4，把摆球拉高到不同的角度，重复步骤2.比较不同角度下落的摆球对力传感器的拉力大小。观察多次摆动后单摆受力的改变 五、数据处理 1，把第一次摆动当作是无阻尼摆动，测量不同起始摆角条件下第一
单摆实验报告
广州大学学生实验报告 1）学会用单摆测定当地的重力加速度。 2）研究单摆振动的周期和摆长的关系。 3）观察周期与摆角的关系。 二、实验原理 如图所示，将一根不易伸长而且质量可忽略的 细线上端固定，下端系一体积很小的金属小球绳长远大于小球的直径，将小球自平衡位置拉至一边（摆角小于5°），然后 释放，小球即在平衡位置左右往返作周期性 的摆动，这里的装置就是单摆 设摆点O为极点，通过O且与地面垂直 的直线为极轴，逆时针方向为角位移的正方 向。由于作用于小球的重力和绳子张力的合 力必沿着轨道的切线方向且指向平衡位置， 院（系）名称物理系班 别 、实验目的
a 设摆长为 L ，根据牛顿第二定律， 并注意到加速度的切向方向分量 即得单摆的动力学方程 d 2 g 2 结果得 dt 2 l 由上式可知单摆作简谐振动，其振动周期 2l T 利用上式测得重力加速度 g ，可采取两种方法：第一，选取某给定的摆 长 L ，利用多次测量对应的振动周期 T ，算出平均值，然后求出 g ；第二，选 取若干个摆长 l i ，测出各对应的周期 Ti ，作出 Ti li 图线，它是一条直线，由该 直线的斜率 K 可求得重力加速度。 三、实验仪器 单摆，秒表，米尺，游标卡尺。 四、 实验内容 1、用给定摆长测定重力加速度 ① 选取适当的摆长，测出摆长； ② 测出连续摆动 50 次的总时间 t ；共测 5 次 ③ 求出重力加速度及其不确定度； 其大小 f mgsin l dt 2 ，
2）利用给定摆长的单摆测定重力加速度
给定摆长L=72.39cm 的周期
l T 1.707 0.002 (s) l 72.39 0.05 (cm) ( 单次测量 ) ∴ g 4 2 l 2 4 3.142 72.39 2 980.78(cm 2) T 2 1.7072 s 计算 g 的标准偏差： 结果 g g 9.81 0.02(m s 2 ) 2． 根据不同摆长测得相应摆动周期数据 不同摆长对应的周期
单摆周期公式的推导与应用
单摆周期公式的推导与特殊应用 新课程考试大纲与2003年理科综合考试说明（物理部分）相比，有了很大的调整。知识点由原来的92个增加到了131个，并删去了许多限制性的内容。如在振动和波这一章，删去了“不要求推导单摆的周期公式”这一限制性的内容。这就说明，新课程考试大纲要求学生会推导单摆的周期公式。而查看《全日制普通高级中学教科书（试验修订本）物理第一册（必修）》，在关于单摆周期公式的推导中也仅仅讲到单摆受到的回复力F 与其位移x 大小成正比，方向与位移x 的方向相反为止。最后还是通过物理学家的研究才得出了单摆的周期公式。这样一来，前面的推导似乎只是为了想证明单摆的运动是简谐运动。 一．简谐运动物体的运动学特征 作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F 与物体相对于平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反，用公式表示可以写成kx F -=，其中k 是比例系数。对于质量为m 的小球，假设t 时刻（位移是x ）的加速度为a ，根据牛顿第二运动定律有： kx ma F -==，即x m k a - = 因此小球的加速度a 与它相对平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反。因为x （或F ）是变 量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。把加速度a 写成22dt x d ，并把常数m k 写成2 ω得到 x dt x d 2 2 2ω-=。对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为)sin(?ω+=t A x 。这说明小球的位移x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为T m k π ω2= = ，从而得到作简谐运动物体的周期为k m T π 2=。 二．单摆周期公式的推导 单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。 当摆球静止在O 点时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 平衡，如图1所示，这个O 点就是单摆的平衡位置。让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 就不再平衡。在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O 附近来回往复运动。当摆球运动到任一点P 时，重力G 沿着圆弧 切线方向的分力θsin 1mg G =提供给摆球作为来回振动的回复力θsin 1mg G F ==，当偏角θ很 小﹝如θ＜0 10﹞时，l x ≈ ≈θθsin ，所以单摆受到的回复力x l mg F - =，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、L 都是确定的常数， 所以l mg 可以用常数k 来表示，于是上式可写成kx F -=。因此，在偏角θ很小时，单摆受到的回 复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。把l mg k =代入到简谐运动物体 B G G 图 1
探究单摆的物理原理教案
探究单摆的物理原理教案 【教学目标】 （一）知识与技能 1、知道什么是单摆，了解单摆的构成。 2、掌握单摆振动的特点，知道单摆回复力的成因，理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。 3、知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。 4、知道用单摆可测定重力加速度。 （二）过程与方法 1、知道单摆是一种理想化的系统，学会用理想化的方法建立物理模型。 2、通过单摆做简谐运动条件的教学，体会用近似处理方法来解决物理问题。 3、通过研究单摆的周期，掌握用控制变量的方法来研究物理问题。 （三）情感、态度与价值观 1、单摆在小角度情况下做简谐运动，它既有简谐运动的共性，又有其特殊性，理解共性和个性的关系； 2、当单摆的摆角大小变化时，单摆的振动也将不同，理解量变和质变的变化规律。 3、培养抓住主要因素，忽略次要因素的辨证唯物主义思想。 【教学重点】 1、知道单摆回复力的来源及单摆满足简谐运动的条件； 2、通过定性分析、实验、数据分析得出单摆周期公式。 【教学难点】 1、单摆振动回复力的分析； 2、与单摆振动周期有关的因素。 【教学方法】 分析推理与归纳总结、数学公式推导法、实验验证、讲授法与多媒体教学相结合。
【教学用具】 单摆、秒表、米尺、条形磁铁、装有墨水的注射器（演示振动图象用）、CAI 课件。 【教学过程】 (第一课时)单摆的回复力 （一）引入新课 教师：1862年，18岁的伽利略离开神学院进入比萨大学学习医学，他的心中充满着奇妙的幻想和对自然科学的无穷疑问，一次他在比萨大学忘掉了向上帝祈祷，双眼注视着天花板上悬垂下来摇摆不定的挂灯，右手按着左手的脉搏，口中默默地数着数字，在一般人熟视无睹的现象中，他却第一个明白了挂灯每摆动一次的时间是相等的，于是制作了单摆的模型，潜心研究了单摆的运动规律，给人类奉献了最初的能准确计时的仪器。 在第一节中我们以弹簧振子为模型研究了简谐运动，日常生活中常见到摆钟、摆锤等的振动，这种振动有什么特点呢本节课我们来学习简谐运动的另一典型实例——单摆。 （二）进行新课 1．单摆 （1）什么是单摆 秋千和钟摆等摆动的物体最终都会停下来，是因为有空气阻力存在，我们能不能由秋千和钟摆摆动的共性，忽略空气阻力，抽象出一个简单的物理模型呢 （出示各种摆的模型，帮助学生正确认识什么是单摆） ①第一种摆的悬绳是橡皮筋，伸缩不可忽略，不是单摆； ②第二种摆的悬绳质量不可忽略，不是单摆； ③第三种摆的悬绳长度不是远大于球的直径，不是单摆； ④第四种摆的上端没有固定，也不是单摆； ⑤第五种摆是单摆。 定义：如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置叫单摆。 绳绕在杆上
单摆实验报告
单摆实验报告
广州大学学生实验报告 院（系）名称 物理系 班别 姓名 专业名称 物理教育 学号 实验课程名称 普通物理实验I 实验项目名称 力学实验：单摆 实验时间 实验地点 实验成绩 指导老师签名 一、实验目的 （1）学会用单摆测定当地的重力加速度。 （2）研究单摆振动的周期和摆 长的关系。 （3）观察周期与摆角的关系。 二、实验原理 如图所示，将一根不易伸长而且质量可忽略的细线上端固定，下端系一体积很小的金属小球绳长远大于小球的直径，将小球自平衡位置拉至一边（摆角小于5°），然后释放，小球即在平衡位置左右往返作周期性的摆动，这里的装置就是单摆 设摆点O 为极点，通过O 且与地面垂直的直线为极轴，逆时针方向为角位移 的正方 mg cos θ mg sin θ L θ θ mg
向。由于作用于小球的重力和绳子张力的合力必沿着轨道的切线方向且指向平衡位置，其大小 θ sin mg f = 设摆长为L ，根据牛顿第二定律，并注意到加速度的切向方向分量2 2dt d l a θθ?= ，即得单摆的动力学方程 θθ sin 22mg dt d ml -= 结果得 θωθ22 2=-=l g dt d 由上式可知单摆作简谐振动，其振动周期 g l T π ω π 22== 或 T l g 2 4π= 利用上式测得重力加速度g ，可采取两种方法：第一，选取某给定的摆长L ，利用多次测量对应的振动周期T ，算出平均值，然后求出g ；第二，选取若干个摆长i l ，测出各对应的周期i T ，作出 i i l T -2图 线，它是一条直线，由该直线的斜率K 可求得重力加速度。 三、实验仪器 单摆，秒表，米尺，游标卡尺。
单摆、复摆法测重力加速度大学物理实验
一、复摆法测重力加速度 一．实验目的 1. 了解复摆的物理特性，用复摆测定重力加速度， 2. 学会用作图法研究问题及处理数据。 二．实验原理 复摆实验通常用于研究周期与摆轴位置的关系，并测定重力加速度。复摆是一刚体绕固定水平轴在重力作用下作微小摆动的动力运动体系。如图1,刚体绕固定轴O在竖直平面内作左右摆动，G是该物体的质心，与轴O的距离为h，θ为其摆动角度。若规定右转角为正，此时刚体所受力矩与角位移方向相反，则有 θ M- =， (1) sin mgh 又据转动定律，该复摆又有 θ I M=，（2） (I为该物体转动惯量) 由（1）和（2）可得
θωθ sin 2-= ， （3） 其中I mgh = 2ω。若θ很小时（θ在5°以内）近似有 θωθ 2-= ， （4） 此方程说明该复摆在小角度下作简谐振动，该复摆振动周期为 mgh I T π =2 ， （5） 设G I 为转轴过质心且与O 轴平行时的转动惯量，那么根据平行轴定律可知 2mh I I G += ， （6） 代入上式得 mgh mh I T G 2 2+=π ， （7） 设（6）式中的2mk I G =，代入（7）式，得 gh h k mgh mh mk T 2 22222+=+=π π， （11） k 为复摆对G （质心）轴的回转半径,h 为质心到转轴的距离。对（11）式平方则有 2 2222 44h g k g h T ππ+=， （12） 设22,h x h T y ==，则（12）式改写成 x g k g y 2 2244ππ+=， （13） （13）式为直线方程，实验中(实验前摆锤A 和B 已经取下) 测出n 组(x,y) 值，用作图法求直线的截距A 和斜率B ，由于g B k g A 2 224,4ππ==，所以 ,4,42 2 B A Ag k B g == =ππ （14） 由（14）式可求得重力加速度g 和回转半径k 。 三．实验所用仪器
18单摆实验报告
实验：练习使用游标卡尺用单摆测定重力加速度 班级姓名座号. 一、实验目的： 1．练习使用游标卡尺，掌握读数方法。 2．用单摆测定当地的重力加速度。 二、实验原理： （一）游标卡尺 游标卡尺，是一种测量长度、内外径、深 度的量具。游标卡尺由主尺和附在主尺上 能滑动的游标两部分构成。主尺一般最小 分度值为豪米，而游标上则有10、20或50 个分格，根据分格的不同，游标卡尺可分为十分度游标卡尺、二十分度游标卡尺、五十分度格游标卡尺等，游标为10分度的有9mm，20分度的有19mm，50分度的有49mm。游标卡尺的主尺和游标上有两副活动量爪，分别是内测量爪和外测量爪，内测量爪通常用来测量内径，外测量爪通常用来测量长度和外径。 游标卡尺的读数可分为三步：第一步读出主尺的零刻度线到游标尺的零刻度线之间的整毫米数a（如右图，a＝10mm）；第二步根据游标尺上与主尺对齐的刻度线读出毫米以下的小数部分b（如右图，b＝17×＝，其中“17” 为游标尺与主尺对齐的游标尺的刻度，“”为游标卡尺的 精度）；第三步把两者相加就得出待测物体的测量值c （c＝a+b＝）．游标卡尺的读数结果一般先以毫米为单 位，然后再换算成所需要的单位。游标卡尺的读数一 般不用估读。 （二）测当地重力加速度 当单摆偏角很小时（θ<5°），单摆的运动为简谐运动，根据单摆周期T＝2π l g得g ＝4π2l T2，因此，只需测出摆长l和周期T，便可测定g。 三、实验器材： 中心有小孔的金属小球、长约1米的细线、铁架台（带铁夹）、刻度尺、秒表、游标卡尺。 四、实验步骤： 1．制作单摆：让细线的一端穿过小球的小孔，并打一个比小孔大一些 的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放实验 桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂．且在单摆平衡位置处 作标记，如右图所示． 2．观察单摆运动的等时性． 3．测摆长：用米尺量出摆线长l′，精确到毫米，用游标卡尺测出小球
初中八年级(初二)物理 实验二(a) 重力加速度的测定(用单摆法)
实验二 单 摆 一、实验目的 1、练习使用停表和米尺，测准摆的周期和摆长。 2、求出当地重力加速度值g 。 3、扩大单摆的系统误差对测重力加速度的影响。 二、实验仪器 单摆（附米尺），电子秒表，游标卡尺。 三、实验原理 一根不可伸长的细线，上端悬挂一个小球。当细线 质量比小球的质量小很多，而且小球的直径又比细线的 长度小很多时，此种装置称为单摆，如图1所示。如果 把小球稍微拉开一定距离，小球在重力作用下可在铅直 平面内做往复运动，一个完整的往复运动所用的时间称 为一个周期。当摆动的角度小于5度时，设小球的质量 为m ，其质心到摆的支点O 的距离为L (摆长)。作用在 小球上的切向力的大小为θsin mg ，它总指向平衡点O '。当θ角很小，则θθ≈sin ，切向力的大小为θmg ， 按牛顿第二定律，质点的运动方程为 θmg ma -=切 θθmg dt d ml -=22 θθl g dt d -=2 2 (1) 这是一简谐运动方程(参阅普通物理学中的简谐振动)，可知该简谐振动角频率ω的平方等于l g /，由此得出 l g T ==πω2，可以证明单摆的周期T 满足下面公式 g L T π2= （2）
2 24T L g π= （3） 式中L 为单摆长度。单摆长度是指上端悬挂点到球心之间的距离；g 为重力加速度。如果测量得出周期T 、单摆长度L ，利用上面式子可计算出当地的重力加速度g 。 上式的不确定度传递公式为 ()u g g =从上式可以看出，在()u l 、()u t 大体一定的情况下，增大l 和t 对测量g 有利。 当摆动角度θ较大（θ>5°）时，单摆的振动周期T 和摆动的角度θ之间存在下列关系 ??? ?????+??? ????? ??+??? ??+= 2sin 43212sin 211242222θθπg L T 四、实验内容 1． 研究周期与单摆长度的关系，并测定g 值。 （1）用游标卡尺测量摆动小球直径d ；测三次，取平均值。 （2）用光电计时装置测时间。 （3）取细线约一米，使用镜尺来测量单摆长度L 。 （4）取不同的单摆长度（每次改变10cm ），拉开单摆的小球，让其在摆动角度小于5°的情况下自由摆动，用计时装置测出摆动50个周期所用的时间t 。在测量时要注意选择摆动小球通过平衡位置时开始计时。 2． 对同一单摆长度L ，在θ<5°的情况下采用多次测量的方法测出摆动小球摆动 50个周期所用的时间，可以计算出g 。 3． 研究摆动角度θ和周期T 之间的关系，略去4 sin 4θ及其后各项，则 ?? ????+=2sin 41122θπg L T （5） 五、数据处理 1．研究周期T 与单摆长度的关系，用作图的方法求g 值 2. 对同一单摆长度多次进行测量周期，用计算法求重力加速度，完整表示测量结果。 3．研究周期与摆动角度的关系 六、思考题 1．摆动小球从平衡位置移开的距离为单摆长度的几分之一时，摆动角度为5 ？ 2．用长约1米的单摆测重力加速度，要求结果的相对误差不大于0.4% 时，测量单摆长度和周期的绝对误差不应超过多大？若要用精度为0.1秒的秒表测周期，应连续
2020高中物理必备知识点 单摆
单摆 同学们：前面几节课，我们与弹簧振子为载体详细研究了简谐运动的运动特征和简谐运动的图像。在众多的机械振动中是不是只有弹簧振子的运动是简谐运动呢？当然不是。今天我们再来研究加一个典型的简谐运动――单摆。 （板书课题：四、单摆） 我们先来看看摆动：（演示多媒体课件）其实摆动还是比较复杂的，我们先研究最简单的摆动――单摆。 什么是单摆呢？ （板书：一、单摆的构成） 一根没有质量的细线，下挂一个质点构成理想的单摆――理想化物理模型 实际中是一根质量、伸缩可以忽略不计的细线下挂一个密度较大的金属小球构成单摆。通常，如果线很细，伸缩和质量可忽略，球直径比线长短的多，这样的装置就叫做单摆。 单摆的运动特征是来回往复运动，一定有一个回复力，那么单摆的回复力是什么力提供？回复力有何特征呢？ （板书：二、单摆的回复力） 边演示多媒体课件，边分析单摆的回复力得出：（板书）θsin mg F ＝回 （板书）小角度摆动时： ι ιθθθx s tg ≈≈≈弧度）＝(sin 所以单摆在较小偏角摆动时： x mg F ι ＝－ 回，对照简谐运动的回复力 特征得：
（板书：三、单摆在较小偏角摆动时是简谐运动） 关于单摆在小角度摆动是简谐运动，还可以从单摆振动图像中得到证实。（演示多媒体课件：砂摆动运动描绘振动图像） 既然单摆是简谐运动，那么它应该有简谐运动的特征量：周期T ，频率f ，振幅A 等。 我们研究一下单摆的周期 （板书：四、单摆的周期） （演示多媒体课件比较研究单摆周期与振幅A 、质量m 、摆长L 、重力加速度g 的关系。） 首先定性研究一下单摆的周期与哪些因素有关。测量摆长约为1m 的单摆，在两个不同振幅下的周期。 怎样测才能误差小呢？ 答：测多次，而后取其平均值。为了节省时间，我只测10个全振动时间 保证小角度情况下，改变幅度，读表从平衡位置计时。 结果：单摆周期与振幅无关。 ⑴单摆周期与振幅无关（单摆的等时性） 下面我们再做实验看周期T 与摆球质量之间系。如图,m 1实验1 单摆的设计与研究
单摆的设计与研究 (设计性实验) 【实验简介】 单摆实验是个经典实验，许多著名的物理学家都对单摆实验进行过细致的研究。本实验的目的是学习进行简单设计性实验的基本方法，根据已知条件和测量精度的要求，学会应用误差均分原则选用适当的仪器和测量方法，学习累积放大法的原理和应用，分析基本误差的来源及进行修正的方法。 【设计任务与要求】 1、用误差均分原理设计一单摆装置，测量重力加速度，测量精度要求 %2??g g 。 2、 对重力加速度g 的测量结果进行误差分析和数据处理，检验实验结果是否达到设计要求。 3、自拟实验步骤研究单摆周期与质量、空气阻力等因素的关系，试分析各项误差的大小。 【设计的原理思想】 一根不可伸长的细线，上端悬挂一个小球。当细线质量比小球的质量小很多，而且小球的直径又比细线的长度小很多时，此种装置称为单摆，如图1所示。如果把小球稍微拉开一定距离，小球在重力作用下可在铅直平面内做往复运动，一个完整的往复运动所用的时间称为一个周期。当单摆的摆角很小（一般θ<5°）时，可以证明单摆的周期T 满足下面公式 g L T π2= （1） 224T L g π= （2） 式中L 为单摆长度。单摆长度是指上端悬挂点到球心之间的距离；g 为重力加速度。如果测量得出周期T 、单摆长度L ，利用上面式子可计算出当地的重力加速度g 。从上面公式知 T 2和L 具有线性关系，即L g T 2 24π=。对不同的单摆长度L 测量得出相对应的周期，可由T 2～
L 图线的斜率求出g 值。 【测量方案的制定和仪器的选择】 本实验测量结果的相对误差要求≤2℅，由误差理论可知，g 的相对误差为 22)2()(t t L L g g ?+?=?从式子可以看出，在ΔL 、Δt 大体一定的情况下，增大L 和t 对测量g 有利。 由误差均分原理的要求，各独立因素的测量引入的测量误差应相等，则 22 %)1()( ??L L ，本实验中单摆的摆长约为100cm,可以计算出摆长的测量误差要求为 ΔL <1cm,故选择米尺测量一次就足以满足测量要求； 同理 22 %)1()2 (??t t ，当摆长约为1m 时，单摆摆动周期约为2秒，可以计算出周期的测量误差要求为Δt ≤0.01s,要作到单次测量误差小于0.01s 相当不容易，停表的误差主要是由判断计时开始和终止时的不准确以及动作反应快慢所产生的，因而可以采用连续测量多个周期来减小每个周期的误差，若每次测量引入约四分之一周期的误差，即0.5s 则连续72次的周期测量即可满足测量误差的要求。 【实验步骤的设计】 1、 测量摆长L ：取摆长大约1m ，测量悬线长度l 0 六次及小球直径D 一次，求平均得2 0D l L + = 2、 粗测摆角θ：应确保摆角θ<5 °。 3、 测量周期T ：计时起点选在摆球经过平衡位置的时刻，用停表测出单摆摆动50次的时间 T 50，共测量6次，取平均值。 4、 计算重力加速度：将测出的 和T 50代入 2 2 ) /(4n T L g n π=中（其中n 为周期的连续测量次数），计算出重力加速度g ，并计算出测量误差。 5、用金属作为摆线，以改变摆线的质量，以研究摆线质量对测g 的影响 6、用乒乓球作为摆球，形容空气浮力对测g 影响
单摆习题及答案
单摆习题及答案 1．如图所示是、乙两个单摆做简谐运动的图象，则下列说法中正确的是（） A．甲、乙两单摆的振幅之比为2：1 B．t=2s时，甲单摆的重力势能最大，乙单摆的动能为零 C．甲、乙两单摆的摆长之比为4：1 D．甲、乙两单摆摆球在最低点时向心加速度大小一定相等 2．在同一地点，两个单摆的摆长之比为4：1，摆球的质量之比为1：4，则它们的频率之比为A．1：1B．1：2C．1：4D．4：1 3．在同一地点，关于单摆的周期，下列说法正确的是（） A．摆长不变，离地越高，周期越小B．摆长不变，摆球质量越大，周期越小 C．摆长不变，振幅越大，周期越大D．单摆周期的平方与摆长成正比 4．在“用单摆测定重力加速度”的实验中，有同学发现他测得重力加速度的值偏大，其原因可能是（） A．悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了B．单摆所用摆球质量太大 C．把（n+1）次全振动时间误当成n次全振动时间D．开始计时时，秒表过迟按下5．如图所示，一单摆在做简谐运动．下列说法正确的是（） A．单摆的振幅越大，振动周期越大B．摆球质量越大，振动周期越大 C．若将摆线变短，振动周期将变大 D．若将单摆拿到月球上去，振动周期将变大 6．一单摆的摆长为90cm，摆球在t=0时刻正从平衡位置向右运动，（g取10m/s2），则在t=1s时摆球的运动情况是（） A．正向左做减速运动，加速度正在增大B．正向左做加速运动，加速度正在减小C．正向右做减速运动，加速度正在增大D．正向右做加速运动，加速度正在减小7．在“用单摆测定重力加速度”的实验中，用力传感器测得摆线的 拉力大小F随时间t变化的图象如图所示，已知单摆的摆长为l， 则重力加速度g为（）
单摆周期原理及公式推导
关于单摆的回复力 ①在研究摆球沿圆弧的运动情况时，要以不考虑与摆球运动方向垂 直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力，如图所示. ②因为Ｆ′垂直于ｖ，所以，我们可将重力G 分解到速度ｖ的方向 及垂直于ｖ的方向.且Ｇ1＝Ｇsin θ＝mg sin θＧ2＝G cos θ＝mg cos θ ③说明：正是沿运动方向的合力Ｇ1＝mg sin θ提供了摆球摆动的回 复力. 单摆做简谐运动的条件 ①推导：在摆角很小时，sin θ＝l x 又回复力Ｆ＝mg sin θ Ｆ＝mg ·l x （ｘ 表示摆球偏离平衡位置的位移，ｌ表示单摆的摆长） ②在摆角θ很小时，回复力的方向与摆球偏离平衡位置的位移方向相 反，大小成正比，单摆做简谐运动. ③简谐运动的图象是正弦(或余弦曲线)，那么在摆角很小的情况下，既然单摆做的是简谐运动，它振动的图象也是正弦或余弦曲线. 单摆周期公式推导 设摆线与垂直线的夹角为θ, 在正下方处时θ=0,逆时针方向为正，反之为负。 则 摆的角速度为θ’（ 角度θ对时间t 的一次导数）, 角加速度为θ’’（ 角度θ对时间t 的二次导数）。对摆进行力学分析， 由牛顿第二运动定律，有 (m)*(l)* θ’’ = - mg*sin θ 即θ’’+ (g/l )*sin θ = 0 令 ω = (g/l)1/2 ,有 θ’’ + (ω2)*sin θ = 0 当 θ很小时， sin θ ≈ θ （这就是考虑单摆运动时通常强调“微”摆的原因） 这时， 有 θ’’ + (ω^2)*θ ≈ 0 该方程的解为 θ = A*sin(ωt+φ) 这是个正弦函数，其周期为 T = 2π/ω = 2π*√(l/g)
单摆实验
单摆实验 【实验目的】 1.用单摆测量当地的重力加速度。 2.研究单摆振动的周期。 【实验仪器】 FD-DB-Ⅱ新型单摆实验仪 【仪器介绍】 数字毫秒计 停表计时是以摆轮的摆动周期为标准，数字毫秒计的计时是以石英晶片控制的振荡电路的频率为标准。常用的数字毫秒计的基准频率为100kHz，经分频后可得10kHz、1kHz、的时标信号，信号的时间间隔分别为、1ms、10ms。数字毫秒计上时间选择档就是对这几种信号的选择。如选用1ms档，而在测量时间内有123个信号进入计数电路，则数字显示为123，即所测量的时间长度是123ms或。 对数字毫秒计计时的控制有机控（机械控制，即电键控制）和光控（光控制，即光电门控制）两种。光电门是对数字毫秒计进行光控的部件，它由发光管和光电二极管（或光敏电阻）组成（图1），当光电管被遮光时产生的电讯号输入毫秒计，控制其计时电路。 控制信号又分为1S和2S两种，1S是测量遮光时间的长度，遮光开始的信号使计时电路的“门”打开，时标信号依次进入毫秒计的计数电路，遮光终了的信号使计时电路的“门”关闭，时标信号不能再进入计数电路，显示的数值即遮光时间的长度。使用2S时，是测量两次遮光之间的时间间隔，第一次开始遮光时，计时电路和“门”打开，第二次再遮光时，“门”才关闭，显示的数值就是两次遮光的时间间隔。一般测量多选用2S档。为了在一次测量之后，消
去显示的数字，毫秒计上设有手动和自动置零机构，自动置零时还可调节以改变显示时间的长短。当测完一次之后来不及置零时，则最后显示的是两次被测时间的累计。 图3是数字毫秒计面板的示意图，所用仪器的实际面板可参阅仪器说明书。 【实验原理】 （1）周长与摆长的关系： 一根长为L不能伸缩的细线，上端固定，下端悬挂一质量为m的小球，设细线质量比小球质量小很多，可以将小球当作质点，将小球略微推动后，小球在重力作用下可在竖直平面内来回摆动，这种装置称为单摆，如图所示。
单摆的设计与研究
肇 庆 学 院 电子信息与机电工程 学院 普通物理实验 课 实验报告 级 班 组 实验合作者 实验日期 姓名: 学号 老师评定 实验题目： 单 摆 的 设 计 与 研 究 (设计性实验) 【实验简介】 单摆实验是个经典实验，许多著名的物理学家都对单摆实验进行过细致的研究。本实验的目的是学习进行简单设计性实验的基本方法，根据已知条件和测量精度的要求，学会应用误差均分原则选用适当的仪器和测量方法，学习累积放大法的原理和应用，分析基本误差的来源及进行修正的方法。 【设计任务与要求】 1、用误差均分原理设计一单摆装置，测量重力加速度，测量精度要求 %2??g g 。 2、 对重力加速度g 的测量结果进行误差分析和数据处理，检验实验结果是否达到设计要求。 3、自拟实验步骤研究单摆周期与质量、空气阻力等因素的关系，试分析各项误差的大小。 【设计的原理思想】 一根不可伸长的细线，上端悬挂一个小球。当细线质量比小球的质量小很多，而且小球的直径又比细线的长度小很多时，此种装置称为单摆，如图1所示。如果把小球稍微拉开一定距离，小球在重力作用下可在铅直平面内做往复运动，一个完整的往复运动所用的时间称为一个周期。当单摆的摆角很小（一般θ<5°）时，可以证明单摆的周期T 满足下面公式 g L T π2= （1） 224T L g π= （2） 式中L 为单摆长度。单摆长度是指上端悬挂点到球心之间的距离；g 为重力加速度。如果测量得出周期T 、单摆长度L ，利用上面式子可计算出当地的重力加速度g 。从上面公 式知T 2和L 具有线性关系，即L g T 2 24π=。对不同的单摆长度L 测量得出相对应的周期，可由T 2 ～L 图 线的斜率求出g 值。 【测量方案的制定和仪器的选择】 本实验测量结果的相对误差要求≤2℅，由误差理论可知，g 的相对误差为22)2()(t t L L g g ?+?=?从式子可以看出，在ΔL 、Δt 大体一定的情况下，增大L 和t 对测量g 有利。 由误差均分原理的要求，各独立因素的测量引入的测量误差应相等，则 22 %)1()( ??L L ，本实验中单摆的摆长约为100cm,可以计算出摆长的测量误差要求为 ΔL <1cm,故选择米尺测量一次就足以满足测量要求； 同理 22 %)1()2 (??t t ，当摆长约为1m 时，单摆摆动周期约为2秒，可以计算出周期的测量误差要求为Δt ≤,要作到单次测量误差小于相当不容易，停表的误差主要是由判断计时开始和终止时的不准确以及
单摆实验讲义
单摆实验讲义 一、目的 1) 验证摆长与周期之间的关系，求出重力加速度g 。 2) 测量摆角与周期之间的关系，作)2/(22θSin T -关系图，求出重力加速度g 。 二、实验原理 1) 周期与摆角的关系 在忽略空气阻力和浮力的情况下，由单摆振动时能量守恒，可以得到质量为 m 的小球在摆角为θ处动能和势能之和为常量，即： 02 2E )cos 1(mgL dt d mL 21=-+?? ? ??θθ （1） 式中，L 为单摆摆长，θ为摆角，g 为重力加速度，t 为时间，0E 为小球的总机械能。因为小球在摆幅为m θ处释放，则有： )cos 1(0m mgL E θ-= 代入（1）式，解方程得到 ?-=m 0m cos cos d g L T 4 2 θ θθθ （2） （2）式中T 为单摆的振动周期。 令)2/sin(m k θ=，并作变换?θsin )2/sin(k =有 ?-=2 /0 22sin k 1d g L 4 T π? ? 这是椭圆积分,经近似计算可得到 ?? ????+??? ??+ 2s i n 411g L 2T m 2θπ ＝ （3） 在传统的手控计时方法下，单次测量周期的误差可达0.1-0.2s ，而多次测量又面临空气阻尼使摆角衰减的情况，因而（3）式只能考虑到一级近似，不得不 将)2 (sin 41 2m θ项忽略。但是，当单摆振动周期可以精确测量时，必须考虑摆角对
周期的影响，即用二级近似公式。在此实验中，测出不同的m θ所对应的二倍周期T 2，作出)2 ( sin 22m T θ-图，并对图线外推，从截距2T 得到周期T ，进一步可 以得到重力加速度g 。 2) 周期与摆长的关系 如果在一固定点上悬挂一根不能伸长无质量的线，并在线的末端悬一质量为m 的质点，这就构成一个单摆。当摆角θm 很小时（小于3°），单摆的振动周期T 和摆长L 有如下近似关系； g L T π 2=或g L T 224π= （4） 当然，这种理想的单摆实际上是不存在的，因为悬线是有质量的，实验中又采用了半径为r 的金属小球来代替质点。所以，只有当小球质量远大于悬线的质量，而它的半径又远小于悬线长度时，才能将小球作为质点来处理，并可用（4）进行计算。但此时必须将悬挂点与球心之间的距离作为摆长，即L=L 1+r ，其中L 1为线长。如固定摆长L ，测出相应的振动周期T ，即可由（4）式求g 。也可逐次改变摆长L ，测量各相应的周期T ，再求出T 2，最后在坐标纸上作T 2-L 图。如图是一条直线，说明T 2与L 成正比关系。在直线上选取二点P 1（L 1，T 12），P 2（L 2，2 2 T ），由二点式求得斜率1 22 12 2L L T T k --=；再从g 4k 2 π=求得重力加速度，即 2 1221 224T T L L g --=π
(整理)单摆的研究
单摆的研究 一．实验目的：1。研究单摆振动的周期与摆长的关系；2。学习光电计时的使用方法；3。用单摆测量重 力加速度g 。 二．实验器材：单摆装置，光电计时器，钢卷尺，卡尺。 三．实验原理： 单摆是由一根不能伸长的轻质细线和悬在此线下端体积很小 的重球所构成。在摆长远大于球的直径，摆球质量远大于线的质量 的条件下，单摆在摆角很小（<θ5°）时，在平衡位置左右作周期性的往返摆动，可近似为简谐振动。 其振动周期为： T=2π g L 由此得： 224T L g π= 实验中只需量出摆长，测定摆动的周期，就可计算出g 值。 四．实验内容及步骤： 1．悬挂单摆：使摆长为1m 左右，装好摆球，调节底座上的水平调节螺丝，使摆线与立柱平行。 2．测量摆长L ：测量摆线悬点与摆球质心之间的距离L 。由于摆球质心位置难找，可用米尺测悬点到摆球的距离L 1，用千分尺（或卡尺）测球的直径d ，（各测三次求平均值），则摆长： L=L 1+d/2。 3．测定摆动的周期T ：使摆角约为4°，测量摆球往返摆动50次所需时间t 50，重复测量3次，求出 平均值：T= 50 350 ?∑t 。测量时，选择摆球通过最低点时开始计时，按表时数“0”，以后每完成一个周期数1， 2，3，…，最后计算时单位统一为秒。 4.将所测数据列于下表中，并计算出摆长、周期及重力加速度g （由 2 2 4T L g π=计算）。 对式 g=4π 2 2 12/T d L + 根据不确定度的相对式P 12有： 2 222221)ln ()ln ()ln (1T d l g U T g U d g U l g g U ??+??+??= 其中，Ln g=Ln 2 4π+Ln (L 1+d/2)－Ln T 2 1ln l g ??=L d L 12/11=+ L d L d g 212/21ln 1=+=?? T T g 2 ln -=?? θ
单摆周期公式的推导
单摆周期公式的推导 2010-12-16 14:50 来源：文字大小：【大】【中】【小】 平动非惯性参考系中单摆的周期问题在一些竞赛题中经常考到，学生们多是运用等效的物理思想，求得等效重力加速度，代替惯性参考系中在只有重力和摆线张力作用下的单 摆的周期公式中的重力加速度值，从而得到答案。这里的加速度是指除摆线的张力外，摆球所受其他力的合力所产生的加速度。下面举两个例子试说明之： 例以加速度向上加速的电梯顶上挂一摆线长为的单摆，摆球质量为，则单摆的周期为？ 图 解：摆球所受的除摆线张力之外的力只有竖直向下的重力和竖直向下的惯性力 ，如图1所示，这两个力的合力所产生的加速度即为等效重力加速度，为， 代替上式中的，即得此单摆的周期。 例以加速度向右加速运动的小车顶上挂一摆长为的单摆，摆球质量为，则单摆的周期为？ 图 解：摆球所受的除摆线张力之外的力只有竖直向下的重力和水平向左的惯性力 ，如图所示，这两个力的合力所产生的加速度即为等效重力加速度，为， 代替上式中的，即得此单摆的周期。 上述两例均是从等效原理出发，找到等效重力加速度代入公式即得。但很多时候学生往往不能接受这种等效处理方式，认为有些牵强。而且这种做法也的确是机械的代公式求答案，对学生思维能力的提高并没有提供很好的帮助。
笔者在给竞赛班学生上课时给出了平动非惯性参考系中单摆周期公式的一般性推导，其过程如下： 如图所示，为惯性参考系，为相对于系以加速度 运动的非惯性平动参考系，其中为在惯性参考系中的坐标。在 系中，摆球受重力，摆线张力及惯性力三个力的作用。 如图，设摆球在平衡位置时偏离竖直方向角，摆球在平衡位置时切向力为零 则有方程 又因为 解得 如图所示，在系中，假设摆球任一时刻相对于平衡位置的摆角为 摆球受重力，摆线张力及惯性力三个力的作用。切向力与角位移反号，促使小球返回平衡位置。设为摆角角加速度，则沿摆球运动切向有方程
单摆的周期实验报告
深圳大学实验报告课程名称：大学物理实验（三） 课程编号： 实验名称：基础设计性实验2 单摆的运动周期 学院： 组号指导教师： 报告人：学号：班级： 实验地点实验时间： 实验报告提交时间：
一、实验设计方案 、实验目的 测量单摆的周期 研究摆线长短、摆线粗细、摆球质量或摆球体积对周期的影响 、实验设计 1．由实验原理可知，单摆运动的本质是简谐运动。它的回复力是右重力的分力提供，一般来说，单摆运动的摆动角度范围是：α＜5°。 测量单摆周期 思路：单摆运动的本质是简谐运动，因此它的运动具有周期性，往返时间相同。选择一个线长，摆球质量都一定的摆锤（L=75cm m=15g），测摆锤往返N次的时间T，则此单摆的周期为：t=T/N. 但实验室中的光电门传感器记录的数据是单摆往返一个周期所用的时间，因此可以利用测量多个周期，求平均周期。 单摆的周期。 要研究单摆的周期跟某一变量是否有关系，必须使其他变量或因素不变，因此须采取控制变量法。 单摆的周期是否与摆线长度有关？ 思路：让摆球的质量(m=10g)、体积不变，摆动的幅度不变，摆线的粗细不变，取3根相同材料、长度不同(L1=47cm, L2=64cm, L3=75cm)的摆线和摆球分别从某一高度释放，α＜5°，利用传感器和Datastudio获得三次摆动的周期，进行比较。 单摆的周期是否与摆球的质量有关？ 思路：众可能制约因素不变，取摆长相同(l=75cm)、质量不同(m1=5g, m2=10g, m3=15g)的摆球从同一高度释放。利用传感器和Datastudio获得单摆周期，进行比较。 单摆周期是否与摆线粗细有关？ 思路：众可能制约因素不变，取摆长相同、质量相同、摆线粗细不同(1-6根线)的摆球从同一高度释放，利用传感器和Datastudio获得单摆周期，进行比较 选用仪器 仪器名称型号主要参数用途 750接口CI7650阻抗1 MΩ。最大的有效输入电压范围±10 V数据采集处理 计算机和DataStudio CI6874——数据采集平台、
单摆周期公式理解及应用专题
单摆周期公式理解及的应用专题 1、准确把握摆长的概念。 2014-11-9(2特优) 如图1所示，摆球运动的轨迹是一个圆弧，所以单摆做的是一个非完整的圆周运动，而摆长则为该圆周运动的轨道半径。即：“L”为质点到圆心的距离。 【例1】一个在夏天走时很准的钟，若到冬天，则走时是变慢还是变快？ 【例2】【例2】在以下三个问题中均不计空气阻力： （1）如图2所示，长为L的轻绳一端固定于天花板上的O点，另一端系一小球（可看成质点），在悬点的正下方L/3处有一钉子，今将小球拉离平衡位置（摆角很小）由静止释放，求小球摆动的周期。 （2）如图3所示，两根长为L的轻绳一端分别固定于天花板上的A点和B点，另一端共同系一小球（可看成质点），平衡时，两绳与水平的夹角均为θ。今将小球沿垂直纸面向外拉离平衡位置（摆角很小）由静止释放，求小球摆动的周期。 （3）如图4所示，三绳长均为L，上面两绳一端固定在天花板上，拉直时与水平成θ角，今将小球沿垂直纸面向外拉离平衡位置（摆角很小）由静止释放，求小球摆动的周期。 【例3】在光滑的水平导轨上有一个滚轮A，质量为2m，轴上系一根长为L的轻质细线，下端悬一质量为m的摆球B，A、B的直径均远小于L，如图5所示。今将B球稍微拉离竖直位置后释放，摆球作小幅度的振动，不计空气阻力，求其振动周期。 2、准确把握重力加速度的概念。 根据公式 2 T=可知，单摆的周期与重力加速度有关，同时在教学中，我们也带领学生通过实验测定了本地的重力加速度的数值，然而不同地点的重力加速度值是有差异的，所以即使是同一个完全相同的单摆，在不同的地点摆动时，周期也存在差异。 【例4】一个在广州走时很准的摆钟，若到了莫斯科，则走时是变慢还是变快？ 【例5】一个在山脚下走时很准的摆钟，若到山顶上，则走时是变慢还是变快？ 【例6】一个在地球表面上走时很准的摆钟，若到了月球表面上，则走时是变慢还是变快？ 3、单摆周期公式等效思想在单摆和类单摆问题中的应用。 3．1 平动非惯性参考系中单摆周期公式的一般性推导 如图所示，K xoy -为惯性参考系，K x o y '''' -为相对于K系以加速度 a。=a x + a y 运动的非惯性平动参考系，其中00 (,) x y为o'在惯性参考系中的坐标。在K'系中， 摆球受重力mg，摆线张力 T F及惯性力三个力的作用。
