椭圆基本知识点总结
椭圆知识点
知识点一：椭圆的定义?平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数
)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的
距离叫作椭圆的焦距.
注意:若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.
知识点二：椭圆的简单几何性质? 椭圆:12222=+b y a x )0(>>b a 与 122
22=+b
x a y )0(>>b a 的
标准方程
122
22=+b
y a x )0(>>b a 122
22=+b
x a y )0(>>b a 图形
性质
焦点 )0,(1c F -,)0,(2c F
),0(1c F -，),0(2c F
焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤,b y ≤
b x ≤,a y ≤
对称性
关于x 轴、y 轴和原点对称
顶点 )0,(a ±,),0(b ±
),0(a ±，)0,(b ±
轴长 长轴长=a 2,短轴长=b 2
离心率
)10(<<=
e a
c
e c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1；
(p 是椭圆上一点）
１．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义
222c b a +=
2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长a
b 2
2
3．最大角:ｐ是椭圆上一点,当p 是椭圆的短轴端点时,21PF F ∠ 为最大角。
４.焦点三角形的面积2
tan
2
21θ
b S F PF =?,其中21PF F ∠=θ
５. 用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．
（1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在ｘ轴上还是在y 轴上. （２)设方程:
①依据上述判断设方程为2222b y a x +=1)0(>>b a 或22
22a
y b x +=1)0(>>b a
②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx 2+n ｙ2＝1（m >0,n >0且m ≠n ). (3)找关系,根据已知条件,建立关于a ,b ,c 或m ，n 的方程组． (4）解方程组，代入所设方程即为所求. 6.点与椭圆的位置关系： 2222b y a x +<１,点在椭圆内，2222b y a x +=１,点在椭圆上，22
22b y a x +>１， 点在椭圆外。 ７.直线与椭圆的位置关系
设直线方程ｙ=kx ＋m ,若直线与椭圆方程联立，消去y 得关于ｘ的一元二次方程:ax 2+bx ＋c =０（a ≠0)．
（1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点;(2)Δ=0,直线与椭圆有一个公共点； （3)Δ＜０，直线与椭圆无公共点. 8.弦长公式:
若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点,),(),,2211y x B y x A （则弦长
221221)()(y y x x AB -+-=221221)()(kx kx x x -+-= 2121x x k -+= 2122124)(1x x x x k -++=
９.点差法:
就是在求解圆锥曲线题目中，交代直线与圆锥曲线相交所截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程,并作差。求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程。
步骤:①设直线和圆锥曲线交点为 ， ，其中点坐标为 ,则得到关系式
,
..
②把
，
分别代入圆锥曲线的解析式,并作差，利用平方差公式对结果进行
因式分解.其结果为0))(())((21212121=+-++-y y y y n x x x x m
③利用 求出直线斜率,代入点斜式得直线方程为 .