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2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题

2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题
2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题

2003年“TRULY ?

信利杯”全国初中数学竞赛试题

一、选择题

1.若4x -3y -6z =0,x +2y -7z =0(xyz ≠0),则

2

2

2

22

2

103225z

y x z

y x ---+的值等于【 】

(A) 2

1- (B) 2

19- (C) 15- (D) 13-

2.在本埠投寄平信,每封信质量不超过20g 时付邮费0.80元,超过20g 而不超过40g 时付邮费1.60元,依次类推,每增加20g 需增加邮费0.80元(信的质量在100g 以内)。如果所寄一封信的质量为72.5g ,那么应付邮费 【 】

(A) 2.4元 (B) 2.8元 (C) 3元 (D) 3.2元

3.如下图所示,∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =【 】

(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°

4.四条线段的长分别为9,5,x ,1(其中x 为正实数),用它们拼成两个直角三角形,且AB 与CD 是其中的两条线段(如下图),则x 可取值的个数为【 】

(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个

5.某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念,摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排数≥3),且要求各行的人数必须是连续的自然数,这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处,那么,满足上述要求的排法的方案有【 】

(A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种 二、填空题 6.已知31+

=x ,那么

=---+

+2

14

1212

x x x . 7.若实数x ,y ,z 满足41=+y

x ,11=+z

y ,3

71=+x

z ,则xyz 的值为 .

8.观察下列图形:

根据图①、②、③的规律,图④中三角形的个数为 .

9.如图所示,已知电线杆AB 直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上,如果CD 与地面成45o,∠A =60o CD =4m ,BC =()

2264-m ,则电线杆AB 的长为

_______m.

10.已知二次函数c bx ax y ++=2(其中a 是正整数)的图象经 过点A (-1,4)与点B (2,1),并且与x 轴有两个不同的交点,则b +c 的最大值为 . 三、解答题

11.如图所示,已知AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,OC 平行于弦AD ,过点D 作DE ⊥AB 于点E ,连结AC ,与DE 交于点P. 问EP 与PD 是否相等?证明你的结论.

P

D

O

C

A

B

E

12.某人租用一辆汽车由A城前往B城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位:小时)如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线(要有推理过程),并求出所需费用最少为多少元?

918

12 17

6 14

15

7

11

10

13

5

O

B C D

E

A

F

G

H

13B .如图所示,在△ABC 中,∠ACB =90°.

(1)当点D 在斜边AB 内部时,求证:AB

BD AD BC

BD

CD -=

-22

2

.

(2)当点D 与点A 重合时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由. (3)当点D 在BA 的延长线上时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由.

14B .已知实数a ,b ,c 满足:a +b +c =2,abc =4. (1)求a ,b ,c 中的最大者的最小值; (2)求c b a ++的最小值.

注:13B 和14B 相对于下面的13A 和14A 是较容易的题. 13B 和14B 与前面的12个题组成考试卷.后面两页 13A 和14A 两题可留作考试后的研究题。

13A .如图所示,⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程0)2(22=+-+k x k x (k 是整数)的最大整数根. P 是⊙O 外一点,过点P 作⊙O 的切线PA 和割线PBC ,其中A 为切点,点B ,C 是直线PBC 与⊙O 的交点.若PA ,PB ,PC 的长都是正整数,且PB 的长不是合数,求2

2

2

PC PB PA ++的值.

P

14A.沿着圆周放着一些数,如果有依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式)

->0,

d

a-

)(

(c

b

那么就可以交换b,c的位置,这称为一次操作.

(1)若圆周上依次放着数1,2,3,4,5,6,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有)

a-

-≤0?请说明理由.

d

)(

(c

b

(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1,2,…,2003,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有)

a-

-≤0?

d

(c

)(

b

请说明理由.

4

2003年“TRULY ?

信利杯”全国初中数学竞赛试题

参考答案与评分标准

一、选择题(每小题6分,满分30分) 1.D

由???=-+=--,072,0634z y x z y x 解得???==.

2,3z y z x 代入即得. 2.D

因为20×3<72.5<20×4,所以根据题意,可知需付邮费0.8×4=3.2(元). 3.C

如图所示,∠B +∠BMN +∠E +∠G =360°,∠FNM +∠F +∠A +∠C =360°, 而∠BMN +∠FNM =∠D +180°,所以

∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =540°.

4.D

显然AB 是四条线段中最长的,故AB =9或AB =x 。

(1)若AB =9,当CD =x 时,2

2

2

)51(9++=x ,53=x ;

N

M

A

B

C

D

E

F

G

O

C

D

A

B

当CD =5时,222)1(59++=x ,1142-=x ; 当CD =1时,222)5(19++=x ,554-=x .

(2)若AB =x ,当CD =9时,222)51(9++=x ,133=x ;

当CD =5时,222)91(5++=x ,55=x ; 当CD =1时,2

2

2

)95(1++=x ,197=

x .

故x 可取值的个数为6个. 5.B

设最后一排有k 个人,共有n 排,那么从后往前各排的人数分别为k ,k +1,k +2,…,k +(n -1),由题意可知1002

)1(=-+

n n kn ,即()[]20012=-+n k n .

因为k ,n 都是正整数,且n ≥3,所以n<2k +(n -1),且n 与2k +(n -1)的奇偶性不同. 将200分解质因数,可知n =5或n =8. 当n =5时,k =18;当n =8时,k =9. 共有两种不同方案.

6.2

3-.

4

34

14

42

14

12

12

2

2

2

--=

-+

--=

--

-+

+x x x x x x =2

34

)31(32

-

=-+

-。

7.1.

因为3

4371

1371371

11114--+

=--

-+

=-+

=-

+

=+

=x x x x x x z z x z

x y

x ,

所以 37)34()34(4-+-=-x x x x ,

解得 23=x . 从而 3

5323713

7=-=-=

x z ,5

25

3111=

-

=-

=z

y .

于是 1355223=??=xyz .

8.161.

根据图中①、②、③的规律,可知图④中三角形的个数为 1+4+3×4+432?+433?=1+4+12+36+108=161(个). 9.26.

如图,延长AD 交地面于E ,过D 作DF ⊥CE

于F.

因为∠DCF =45°,∠A =60°,CD =4m ,所以CF =DF =22m , EF =DFtan60°=62(m ).

因为3

330

tan ==

BE

AB ,所以263

3=?=BE AB (m ).

10.-4.

由于二次函数的图象过点A (-1,4),点B (2,1),所以???=++=+-,124,

4c b a c b a

解得 ?

??-=--=.23,

1a c a b

因为二次函数图象与x 轴有两个不同的交点,所以042

>-=?ac b ,

0)23(4)1(2

>----a a a ,即0)1)(19(>--a a ,由于a 是正整数,故1>a ,

所以a ≥2. 又因为b +c =-3a +2≤-4,且当a =2,b =-3,c =-1时,满足 题意,故b +c 的最大值为-4.

三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分) 11.如图所示,已知AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,OC 平行于弦AD ,过点D 作DE ⊥AB 于点E ,

连结AC ,与DE 交于点P. 问EP 与PD 是否相等?证

明你的结论.

解:DP =PE. 证明如下:

因为AB 是⊙O 的直径,BC 是切线, 所以AB ⊥BC.

由Rt △AEP ∽Rt △ABC ,得

AB

AE BC

EP = . ① ……(6分)

又AD ∥OC ,所以∠DAE =∠COB ,于是Rt △AED ∽Rt △OBC. 故

AB

AE AB

AE OB

AE BC

ED 221==

= ② ……(12分)

由①,②得 ED =2EP.

所以 DP =PE. ……(15分)

12.某人租用一辆汽车由A 城前往B 城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位:小时)如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A 城出发到B 城的最短路线(要有推理过程),

并求出所需费用最少为多少元?

解:从A 城出发到达B 城的路线分成如下两类:

(1)从A 城出发到达B 城,经过O 城. 因为从A 城到O 城所需最短时间为26小时,从O 城到B 城所需最短时间为22小时. 所以,此类路线所需 最短时间为26+22=48(小时). ……(5分)

(2)从A 城出发到达B 城,不经过O

城. 这时从A 城到达B 城,必定经过C ,D ,E 城或F ,G ,H 城,所需时间至少为49小时. ……(10分)

综上,从A 城到达B 城所需的最短时间为48 小时,所走的路线为: A →F →O →E →B. ……(12分) 所需的费用最少为:

80×48×1.2=4608(元)…(14分)

答:此人从A 城到B 城最短路线是A →F →O →E →B ,所需的费用最少为4608元 ……(15分)

13B .如图所示,在△ABC 中,∠ACB =90°.

(1)当点D 在斜边AB 内部时,求证:AB

BD AD BC

BD

CD -=

-22

2

.

(2)当点D 与点A 重合时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由. (3)当点D 在BA 的延长线上时,第(1)小题中的等

式是否存在?请说明理由.

解:(1)作DE ⊥BC ,垂足为E. 由勾股定理得

.

)()

()(2

2

2

2

22

2

2

BC BE CE BE CE DE BE

DE CE

BD

CD

-=-=+-+=-

所以

BC

BE BC

CE BC

BE CE BC

BD

CD

-

=

-=

-2

2

2

.

因为DE ∥AC ,所以

AB

BD BC

BE AB AD BC CE =

=

,

.

AB

BD AD AB

BD AB

AD BC

BD

CD

-=

-=-2

2

2

. ……(10分)

(2)当点D 与点A 重合时,第(1)小题中的等式仍然成立。此时有

AD =0,CD =AC ,BD =AB.

所以

12

2

2

2

2

2

2

2

-=-=

-=

-BC

BC BC

AB

AC

BC

BD

CD

1-=-=

-AB

AB AB

BD AD .

从而第(1)小题中的等式成立. ……(13分) (3)当点D 在BA 的延长线上时,第(1)小题中的等式不成立. 作DE ⊥BC ,交BC 的延长线于点E ,则 ,

212

2

2

2

2

2

BC

CE BC

BE CE BC

BE

CE

BC BD

CD

-

-=+-

=-=

-

C

A

B

D

E

A

B

C

D

E

1-=-=

-AB

AB AB BD AD , 所以

AB

BD AD BC

BD

CD

-≠-2

2

2

. ……(15分)

〖说明〗第(3)小题只要回答等式不成立即可(不成立的理由表述不甚清 者不扣分).

14B .已知实数a ,b ,c 满足:a +b +c =2,abc =4.

(1)求a ,b ,c 中的最大者的最小值; (2)求c b a ++的最小值.

解:(1)不妨设a 是a ,b ,c 中的最大者,即a ≥b ,a ≥c ,由题设知a>0, 且b +c =2-a ,a

bc 4=

.

于是b ,c 是一元二次方程04)2(2

=+

--a

x a x 的两实根, a

a 44)2(2

?

--=?≥0,

16442

3

-+-a a a ≥0,)4)(4(2

-+a a ≥0. 所以a ≥4. ……(8分)

又当a =4,b =c =-1时,满足题意.

故a ,b ,c 中最大者的最小值为4. ……(10分) (2)因为abc>0,所以a ,b ,c 为全大于0或一正二负.

1) 若a ,b ,c 均大于0,则由(1)知,a ,b ,c 中的最大者不小于4,这与a +b +

c =2矛盾.

2)若a ,b ,c 为或一正二负,设a>0,b<0,c<0,则

22)2(-=--=--=++a a a c b a c b a ,

由(1)知a ≥4,故2a-2≥6,当a =4,b =c =-1时,满足题设条件且使得不等式等号成立。故c b a ++的最小值为6. ……(15分)

13A .如图所示,⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程0)2(22=+-+k x k x (k 是整数)的最大整数根. P 是⊙O 外一点,过点P 作⊙O 的切线PA 和割线PBC ,其中A 为切点,点B ,C 是直线PBC 与⊙O 的交点. 若PA ,PB ,PC 的长都是正整数,且PB 的长不是合数,求 2

2

2

PC PB PA ++的值.

解:设方程0)2(22=+-+k x k x 的两个根 为1x ,2x ,1x ≤2x .由根与系数的关系得

k x x 2421-=+, ① k x x =21. ②

由题设及①知,1x ,2x 都是整数. 从①,②消去k ,得

422121=++x x x x , 9)12)(12(21=++x x .

由上式知,42≤x ,且当k =0时,42=x ,故最大的整数根为4. 于是⊙O 的直径为4,所以BC ≤4.

因为BC =PC -PB 为正整数,所以BC =1,2,3或4. ……(6分) 连结AB ,AC ,因为∠PAB =∠PCA ,所以PAB ∽△PCA ,

P

PA

PC PB

PA =

故 )(2BC PB PB PA += ③ ……(10分) (1)当BC =1时,由③得,PB PB

PA

+=2

2

,于是

2

2

2

)1(+<

PB

,矛盾!

(2)当BC =2时,由③得,PB PB

PA

22

2

+=,于是

2

2

2

)1(+<

PB

,矛盾!

(3)当BC =3时,由③得,PB PB PA 322+=,于是

PB PB PA PB PA 3))((=+-,

由于PB 不是合数,结合PB PA PB PA +<-,故只可能

???=+=-,3,1PB PB PA PB PA ???=+=-,,3PB PB PA PB PA ??

?=+=-,

3,

PB PA PB PB PA 解得 ?

??==.1,2PB PA

此时 212

22=++PC

PB PA .

(4)当BC =4,由③得,PB PB

PA

42

2

+=,于是

2

2

2

2

)2(4)1(+<=+<+PB PA PB PB

PB ,矛盾.

综上所述

212

2

2

=++PC

PB

PA . ……(15分)

14A .沿着圆周放着一些数,如果有依次相连的4个数a ,b ,c ,d 满足不等式))((c b d a -->0,那么就可以交换b ,c 的位置,这称为一次操作.

(1)若圆周上依次放着数1,2,3,4,5,6,问:是否能经过有限次操作后,对圆

周上任意依次相连的4个数a ,b ,c ,d ,都有))((c b d a --≤0?请说明理由.

(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1,2,…,2003,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a ,b ,c ,d ,都有))((c b d a --≤0?请说明理由.

解:(1)答案是肯定的. 具体操作如下:

……(5分)

(2)答案是肯定的. 考虑这2003个数的相邻两数乘积之和为P. ……(7分)

开始时,0P =1×2+2×3+3×4+…+2002×2003+2003×1,经过k (k ≥0)次操

2

2

作后,这2003个数的相邻两数乘积之和为k P ,此时若圆周上依次相连的4个数a ,b ,c ,d 满足不等式))((c b d a -->0,即ab +cd>ac +bd ,交换b ,c 的位置后,这2003个数的相邻两数乘积之和为1+k P ,有

0)()(1<--+=++-++=-+cd ab bd ac cd bc ab bd cb ac P P k k .

所以11-≤-+k k P P ,即每一次操作,相邻两数乘积的和至少减少1,由于相邻两数乘积总大于0,故经过有限次操作后,对任意依次相连的4个数a ,b ,c ,d ,一定有))((c b d a --≤0. …

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第26讲 含参数的一元二次方程的整数根问题

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根情况,可以用判别式Δ=b2-4ac来判别,但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了,只能具体问题具体分析求解,当然,经常要用到一些整除性的性质.本讲结合例题来讲解一些主要的方法. 例1 m是什么整数时,方程 (m2-1)x2-6(3m-1)x+72=0 有两个不相等的正整数根. 解法1首先,m2-1≠0,m≠±1.Δ=36(m-3)2>0,所以m≠3.用求根公式可得 由于x1,x2是正整数,所以 m-1=1,2,3,6,m+1=1,2,3,4,6,12, 解得m=2.这时x1=6,x2=4. 解法2首先,m2-1≠0,m≠±1.设两个不相等的正整数根为x1,x2,则由根与系数的关系知 所以m2-1=2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72,即 m2=3,4,5,7,9,10,13,19,25,37,73, 只有m2=4,9,25才有可能,即m=±2,±3,±5. 经检验,只有m=2时方程才有两个不同的正整数根. 说明一般来说,可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话),然后利用整数的性质以及整除性理论,就比较容易求解问题,解法1就是

这样做的.有时候也可以利用韦达定理,得到两个整数,再利用整除性质求解,解法2就是如此,这些都是最自然的做法. 例2 已知关于x的方程 a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根,求a的值. 分析“至少有一个整数根”应分两种情况:一是两个都是整数根,另一种是一个是整数根,一个不是整数根.我们也可以像上题一样,把它的两个根解出来. 解因为a≠0,所以 所以 所以只要a是3或5的约数即可,即a=1,3,5. 例3设m是不为零的整数,关于x的二次方程 mx2-(m-1)x+1=0 有有理根,求m的值. 解一个整系数的一元二次方程有有理根,那么它的判别式一定是完全平方数.令 Δ=(m-1)2-4m=n2, 其中n是非负整数,于是 m2-6m+1=n2,

2003年全国初中数学竞赛试题参考答案

2003年全国初中数学竞赛试题 一、选择题 1、若4x-3y-6z=0.x+2y-7z=0(xyz ≠0),则代数式2222 22103225z y x z y x ---+的值等于( ). (A )-21 (B )-219 (C )-15 (D )-13 2.在本埠投寄平信,每封质量不超过20g 时付邮费0.80元,超过20g 而不超过40g 时付邮费l .60元,依次类推,每增加20g 需增加邮费0.80元(信的质量在100g 以内).如果某人所寄一封信的质量为72.5g ,那么他应付邮费( ). (A)2.4元 (B)2.8元 (C)3元 (D)3.2元 3.如图所示, ( ). (A)3600 (B)4500 (C)5400 (D)720 4.四条线段的长分别为9,5,x ,1(其中x 为正实数),用它们拼成两个直角三角形,且AB 与CD 是其中的两条线段(如图),则x 可取值的个数为( ). (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)6个 5.某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念,摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排数≥3),且要求各行的人数必须是连续的自然数,这样才能最后一排的人均站在前一排两人间的空档处,那么,满足上述要求的排法的方案有( ). (A)1种 (B)2种 (C)4种 (D)O 种 二、填空题 6.已知 那么 . 7.若实数x ,y ,z 满足 则xyz 的值为 . 8.观察下列图形: 根据图①、②、③的规律,图④中三角形的个数应为 。 9.如图所示,已知电线杆AB 直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面BC 上,如果CD 与地面成450 ,则∠A =600 ,CD =4m,BC=(4 )m 电线杆AB 的长为 m. 10.已知二次函数y=ax 2 +bx+c(其中a 是正整数)的图像经过点A(一1,4)与点B(2,1),并且与x 轴有两个不同的交点,则b+c 的最大值为 . 三,解答题. 11.如图所示,已知AB 是⊙0的直径,BC 是⊙0的切线,0C 平行于弦AD ,过点D 作DE ⊥AB 于点E , 连接AC ,与DE 交于点P .问EP 与PD 是否相等?证明你的结论. 12.某人租用一辆汽车由A 城前往B 城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位:小时)如图所示.若汽车行驶的平均速度为80千米/小时,而汽车每行驶l 千米需要的平均费用为1.2元.试指出此人从A 城出发到8城的最短路线(要有推理过程),并求出所需费用最少为多少元? =∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠G F E D C B A ,31+=x =---++2 1 4121,2 x x x ,3 71,11,41 =+=+=+x x z y y x 226-

2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题 答题时注意: 1.用圆珠笔或钢笔作答; 2.解答书写时不要超过装订线; 3.草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分) 1.设1a ,则代数式32312612a a a +--的值为( >. .,0y >,且满足3y y x xy x x y ==,,则x y +的值为( >. .

2018年广东省初中数学竞赛初赛试卷(含答案)

2018年广东省初中数学竞赛初赛试卷 说明:考试时间:60分钟。总分120分。每小题4分。在每小题给出的四个选项中,只有 1.直角坐标平面上将二次函数y=-2(x -1)2 -2的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,则其顶点为( )。 A. (0,0) B. (1,-2) C. (0,-1) D.(-2,1) 2.下列的计算正确的是( ). A .(ab 4)4=ab 8; B.(-3pq)2 =-6p 2 q 2 C. x 2 - 21x +41=( x -2 1)2;D.3(a 2)3-6a 6=-3a 6 3.如图1.以直角三角形ABC 三边为直径的半圆面积分别是S 1、S 2、S 3,直角三角形ABC 面积是S ,则它们之间的关系为( ). A. S= S 1+S 2+S 3 B. S 1= S 2+S 3 C. S= S 1+S 2 C. S= S 1 4. 一辆公共汽车从车站开出,加出速行驶一段时间后匀速行驶,过了一段时间,汽车到达下一个车站.乘客上下车后汽车开始加速,一段时间后又开始匀速行驶,下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是( ). (A) 时间 速度 (B) 时间 速度

(C) 时间 速度0 (D) 时间 速度 5.如图所示,在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a >b ),再把剩余的部分剪拼成一个矩形,通过计算图形(阴影部分 的面积,验证了一个等式是( ). A. a 2 -b 2 =(a+b )(a-b ) B. (a+b )2 = a 2 +2ab+ b 2 C. (a-b )2 = a 2 -2ab+ b 2 D.(a+2b )(a-b )= a 2+ab-2b 2 6.在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干,要搬运这些箱子很困难,可是仓库管理员要落实一下箱子的数量,于是就想出一个办法:将这堆货物的三种视图画了出来,如图.你能根据三视图,帮他清点一下箱子的数量吗?这些正方体箱的个数是( ). A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 主视图 左视图 俯视图 7.在Rt △ABC 中,∠C=90°,则下列式子中不一定成立的是( ). A.sinA=sinB B. cosA=cosB C.sinA=cosB D. sin(A+B)=sinC 8.体育课上全班女生进行了百米测验,达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,其中正号表示成绩大于18秒,负号成表示绩小于18秒,则这组女生的达标率是( ). A. 41 B.2 C.4 D.8 9.函数y=kx 和y=x k (k ﹤0)在同一坐标系中的图象是( ).

南开中学初中数学竞赛辅导资料

初中数学竞赛辅导资料 第一讲数的整除 一、容提要: 如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除. 能被7整除的数的特征: ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。 如 1001 100-2=98(能被7整除) 又如7007 700-14=686, 68-12=56(能被7整除) 能被11整除的数的特征: ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100-1=99(能11整除) 又如10285 1028-5=1023 102-3=99(能11整除) 二、例题 例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。 求x,y 解:x,y 都是0到9的整数,∵75y 能被9整除,∴y=6. ∵328+92x =567,∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除,求x 解:∵五位数能被12整除,必然同时能被3和4整除, 当1+2+3+4+x 能被3整除时,x=2,5,8

当末两位4x能被4整除时,x=0,4,8 ∴x=8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解:五位数字都不相同的最小五位数是10234, 但(1+2+4)-(0+3)=4,不能被11整除,只调整末位数仍不行 调整末两位数为30,41,52,63,均可, ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 练习一 1、分解质因数:(写成质因数为底的幂的连乘积) ①756②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 987能被3整除,那么 a=_______________ 2、若四位数a x能被11整除,那么x=__________ 3、若五位数1234 35m能被25整除 4、当m=_________时,5 9610能被7整除 5、当n=__________时,n 6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7、能被4整除的最大四位数是____________,能被8整除的最大四位数是_________。 8、8个数:①125,②756,③1011,④2457,⑤7855,⑥8104,⑦9152,⑧70972 中,能被下列各数整除的有(填上编号): 6________,8__________,9_________,11__________ 9、从1到100这100个自然数中,能同时被2和3整除的共_____个,能被3整除 但不是5的倍数的共______个。 10、由1,2,3,4,5这五个自然数,任意调换位置而组成的五位数中,不能被3 整除的数共有几个?为什么?

全国初中数学竞赛试题及解答

A B C D 全国初中数学竞赛试卷及解析 一、选择题(本题共6小题,每小题5分,满分30分.每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个结论,其中只有一个是正确的。请将正确答案的代号填在题后的括号里) 1、设a ,b ,c 的平均数为M ,a ,b 的平均数为N ,N ,c 的平均数为P ,若c b a ,则M 与P 的大小关系是( ) A 、P M B 、P M C 、P M D 、不确定 答案:B 解析:∵3c b a M ,2b a N ,222c b a c N P ,12 2c b a P M ∵ c b a ∴012 2122 c c c c b a P M ,即0 P M ,即P M 2、某人骑车沿直线旅行,先前进了a 千米,休息了一段时间,又原路返回b 千米(a b ),再前进c 千米,则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是( ) 答案:C 解析:因为图(A )中没有反映休息所消耗的时间;图(B )虽表明折返后S 的变化,但没有表示消耗的时间;图(D )中没有反映沿原始返回的一段路程,唯图(C )正确地表述了题意。 3、甲是乙现在的年龄时,乙10岁;乙是甲现在的年龄时,甲25岁,那么( ) A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案:A 解析:由题意知3×(甲-乙)151025 ∴甲-乙=5。 4、一个一次函数图象与直线4 95 45 x y 平行,与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ,并且过点(-1,-25),则在线段AB 上(包括端点A 、B ),横、纵坐标都是整数的点有( ) A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个 答案:B 解析:在直线AB 上,横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ,N y 525 ,(N 是整数).在线段AB 上这样的点应满足041 N ,且0525 N ,∴54 1 N ,即1 N ,2,3,4,5 5、设a ,b ,c 分别是ABC 的三边的长,且 c b a b a b a ,则它的内角A 、B 的关系是

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第21讲 分类与讨论

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集 第二十一讲分类与讨论 分类在数学中是常见的,让我们先从一个简单的例子开始. 有四张卡片,它们上面各写有一个数字:1,9,9,8.从中取出若干张按任意次序排列起来得到一个数,这样的数中有多少个是质数? 因为按要求所得的数可能是一位数、二位数、三位数和四位数,我们分别给予讨论. 任取一张卡片,只能得3个数:1,8,9,其中没有质数;任取二张卡片,可得7个数:18,19,81,89,91,98,99,其中19,89两个是质数;任取三张卡片,可得12个数:189,198,819,891,918,981,199,919,991,899,989,998,其中199,919,991三个数是质数;取四张,所得的任一个四位数的数字和是27,因而是3的倍数,不是质数.综上所述,质数共有2+3=5个. 上面的解题方法称为分类讨论法.当我们要解决一个比较复杂的问题时,经常把所要讨论的对象分成若干类,然后逐类讨论,得出结论. 分类讨论法是一种很重要的数学方法.在分类中须注意题中所含的对象都必须在而且只在所分的一类中.分类讨论一般分为三个步骤,首先确定分类对象,即对谁实施分类.第二是对对象实施分类,即分哪几类,这里要特别注意,每次分类要按照同一标准,并做到不重复、不遗漏,有些复杂的问题,还要逐级分类.最后对讨论的结果进行综合,得出结论. 例1求方程 x2-│2x-1│-4=0 的实根. x2+2x-1-4=0,

x 2-2x +1-4=0, x 1=3,x 2=-1. 说明 在去绝对值时,常常要分类讨论. 例2 解方程x 2-[x]=2,其中[x]是不超过x 的最大整数. 解 由[x]的定义,可得 x ≥[x]=x 2-2, 所以 x 2-x -2≤0, 解此不等式得 -1≤x ≤2. 现把x 的取值范围分成4个小区间(分类)来进行求解. (1)当-1≤x ≤0时,原方程为 x 2-(-1)=2, 所以x=-1(因x=1不满足-1≤x <0). (2)当0≤x <1时,原方程为 x 2=2. (3)当1≤x <2时,原方程为 x 2-1=2, 所以 (4)当x=2时,满足原方程.

历年初中数学竞赛真题库(含答案)

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题,每小题都给出了(A )、(B )(C )、(D )四个答案结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1. 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立,其中a ,x ,y 是 两两不同的实数,则2 22 23y xy x y xy x +--+的值是 (A )3 ; (B )31; (C )2; (D )3 5 . 答( ) 2. 如图,AB ‖EF ‖CD ,已知AB =20,CD =80,BC =100,那么EF 的值是 (A ) 10; (B )12; (C ) 16; (D )18. 答( ) 3. 方程012=--x x 的解是 (A ) 251±; (B )25 1±-; (C ) 251±或251±-; (D )2 5 1±-±. 答( ) 4. 已知:)19911991(2 11 1 n n x --=(n 是自然数).那么n x x )1(2+-,的值是 (A)11991-; (B)11991--; (C)1991)1(n -; (D)11991)1(--n . 答( ) 5. 若M n 1210099321=?????Λ,其中M为自然数,n 为使得等式成立的最大的自然数,则M (A)能被2整除,但不能被3整除; (B)能被3整除,但不能被2整除; (C)能被4整除,但不能被3整除; (D)不能被3整除,也不能被2整除.

答( ) 6. 若a ,c ,d 是整数,b 是正整数,且满足c b a =+,d c b =+,a d c =+,那么 d c b a +++的最大值是 (A)1-;(B)5-;(C)0;(D)1. 答( ) 7. 如图,正方形OPQR 内接于ΔABC .已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S , 32=S 和13=S ,那么,正方形OPQR 的边长是 (A)2;(B)3;(C)2 ;(D)3. 答( ) 8. 在锐角ΔABC 中, 1= AC ,c AB =,ο60=∠A ,ΔABC 的外接圆半径R ≤1,则 (A)21< c < 2 ; (B)0< c ≤2 1 ; 答( ) (C )c > 2; (D )c = 2. 答( ) 二、填空题 1.E是平行四边形ABCD 中BC 边的中点,AE 交对角线BD 于G ,如果ΔBEG 的面积是1,则平行四边形ABCD 的面积是 . 2.已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解.甲由于看错了二次项系数,误求得两根为2和4;乙由于看错了某一项系数的符号,误求得两根为-1和4,那么,=+a c b 32 . 3.设m ,n ,p ,q 为非负数,且对一切x >0,q p n m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立,则 =++q p n m 22)2( . 4.四边形ABCD 中,∠ ABC ο135=,∠BCD ο120=,AB 6=,BC 35-=, CD = 6,则AD = . 第二试 1 1=S 3S =1 32=S

全国初中数学竞赛试题及答案79416

中国教育学会中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题 一、选择题(共5小题,每小题6分,共30分.) 1(甲).如果实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,那 22 ||()|| a a b c a b c ++-++可以化简为(). (A)2c a-(B)22 a b -(C)a-(D)a 1(乙).如果22 a=- 1 1 1 2 3a + + + 的值为(). (A)2 -(B)2(C)2 (D) 22 2(甲).如果正比例函数y = ax(a ≠ 0)与反比例函数 y = x b(b ≠0 )的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为(). (A)(2,3)(B)(3,-2)(C)(-2,3) (D)(3,2) 2(乙).在平面直角坐标系xOy中,满足不等式x2+y2≤2x +2y的整数点坐标(x,y)的个数为(). (A)10 (B)9 (C)7 (D)5 3(甲).如果a b,为给定的实数,且1a b <<,那么

1121 a a b a b ++++,, ,这四个数据的平均数与中位数之差的 绝对值是( ). (A )1 (B ) 214a - (C )12 (D )1 4 3(乙).如图,四边形ABCD 中,AC ,BD 是对角线, △ABC 是等边三角形.30ADC ∠=?,AD = 3,BD = 5, 则CD 的长为( ). (A )23 (B )4 (C )52 (D )4.5 4(甲).小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n 倍”;小玲对小倩说:“你若给我n 元,我的钱数将是你的2倍”,其中n 为正整数,则n 的可能值的个数是( ). (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 4(乙).如果关于x 的方程 2 0x px q p q --=(,是正整数)的正根小于3, 那么这样的方程的 个数是( ). (A ) 5 (B ) 6 (C ) 7 (D ) 8 5(甲).一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为0123p p p p ,,,,则 0123p p p p ,,,中最大的是( ). (A )0p (B )1p (C )2p (D )3p 5(乙).黑板上写有1 11123100 , , ,, 共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数 a b ,,然后删去a b ,,并在黑板上写上数a b ab ++,则经过99次操作后,黑板上剩下的数 是( ). (A )2012 (B )101 (C )100 (D )99 二、填空题(共5小题,每小题6分,共30分) 6(甲).按如图的程序进行操作,规定:程序运行 从“输入一个值x ”到“结果是否>487?”为一次

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第一讲分式方程(组)的解法 分母中含有未知数的方程叫分式方程.解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解,转化的基本方法是去分母、换元,但也要灵活运用,注意方程的特点进行有效的变形.变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围,故必须验根. 例1 解方程 解令y=x2+2x-8,那么原方程为 去分母得 y(y-15x)+(y+9x)(y-15x)+y(y+9x)=0, y2-4xy-45x2=0, (y+5x)(y-9x)=0, 所以 y=9x或y=-5x.

由y=9x得x2+2x-8=9x,即x2-7x-8=0,所以x1=-1,x2=8;由y=-5x,得x2+2x-8=-5x,即x2+7x-8=0,所以x3=-8,x4=1. 经检验,它们都是原方程的根. 例2 解方程 y2-18y+72=0, 所以 y1=6或y2=12. x2-2x+6=0.此方程无实数根. x2-8x+12=0,

所以 x1=2或x2=6. 经检验,x1=2,x2=6是原方程的实数根. 例3 解方程 分析与解我们注意到:各分式的分子的次数不低于分母的次数,故可考虑先用多项式除法化简分式.原方程可变为 整理得 去分母、整理得 x+9=0,x=-9. 经检验知,x=-9是原方程的根. 例4 解方程

分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1,根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和,这样原方程即可化简.原方程化为 即 所以 ((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3). 例5 解方程 分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1,故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式,用拆项相消进行化简.原方程变形为

2018年全国初中数学竞赛试题及解答

2018年全国初中数学竞赛试题及解答 一、选择题(只有一个结论正确) 1、设a,b,c 的平均数为M ,a,b 的平均数为N ,N ,c 的平均数为P ,若a>b>c ,则M 与P 的大小关系是( ) (A )M =P ;(B )M >P ;(C )M <P ;(D )不确定。 2、某人骑车沿直线旅行,先前进了a 千米,休息了一段时间,又原路返回b 千米(ba 1,b>b 1, c>c 1,,则S 与S 1的大小关系一定是( )。 (A )S >S 1;(B )S <S 1;(C )S =S 1;(D )不确定。 二、填空题 7、已知: a 23 331a a a ++=________。 8、如图,在梯形ABCD 中,AB∥DC,AB =8,BC = ∠BCD=45°,∠BAD=120°,则梯形ABCD 的面积等于________。 9、已知关于的方程 (a-1)x 2 +2x-a-1=0的根都是整数,那么符合条件的整数有_______个。 10、如图,工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ,它们相距15米,分别自两杆上高出地面4米、6米的A 、C 处,向两侧地面上的E 、D ;B 、F 点处,用钢丝绳拉紧,以固定电线杆。那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为________米。

初中数学竞赛预赛试题及答案

20XX 年全国初中数学竞赛预赛 试题及参考答案 (竞赛时间:20XX 年3月2日上午9:00--11:00) 一、选择题(共6小题,每小题6分,共36分) 以下每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分) 1.若a 是最大的负整数,b 是绝对值最小的有理数,c 是倒数等于它本身的自然数,则201520132014c b a ++的值为【 】 (A )2013 (B )2014 (C )2015 (D )0 【答】D . 解:最大的负整数是-1,∴a =-1; 绝对值最小的有理数是0,∴b =0; 倒数等于它本身的自然数是1,∴c =1. ∴201520132014c b a ++= 20152013 1020141+?+-)(=0. 2. 已知实数z y x ,,满足542 2.x y z x y z ++=??+-=?, 则代数式144+-z x 的值是【 】 (A )3- (B )3 (C ) 7- (D )7 【答】A . 解:两式相减得3-3-3441 3.x z x z =-+=-,则 3.如图,将表面展开图(图1)还原为正方体,按图2所示摆放,那么,图1 中的线段MN 在图2中的对应线段是【 】 (A )a (B )b (C )c (D )d 图2 图1 d c b a N M 【答】C . 解:将图1中的平面图折成正方体,MN 和线段c 重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面,△AMN 和△ABM 所在的面为组合面,则△AMN 和△ABM 所在的面为两个相邻的组合面,比较图 N M B A B A 图2 图1 d c b a N M (第3题图)

全国初中数学竞赛辅导(初三)讲座(3)

全国初中数学竞赛辅导(初三)讲座(3) 例1:解方程084223=+--x x x 。 例2:解方程()()()()197412=+++-x x x x 。 例3:解方程()()()6143762=+++x x x 。 例4:解方程01256895612234=+-+-x x x x 。 例5:解方程52222=??? ??++x x x 。 例6:解方程()()821344=-++y x 。 例7:解方程()()02652112102234=++++---a a x a x a x x ,其中a 是常数,且6-≥a 。 解答:(1)221==x x ,23-=x (2)28552,1±-=x 2554,3±-=x (3)32 1-=x 35 2-=x (4)23 ,32 ,21 ,24321====x x x x (5)2,121=-=x x (6)4,021-==x x (7)622,1+± =a x ,934,3+±=a x 。 练习: 1、填空: (1)方程()()()()24321=++++x x x x 的根为__________。 (2)方程0233=+-x x 的根为__________。 (3)方程025********=+--+x x x x 的根为__________。 (4)方程()()()2 222222367243+-=+-+-+x x x x x x 的根为__________。 (5)方程()()()29 134782=+++x x x 的根为__________。 2、解方程()()()()431121314x x x x x =++++。 3、解方程403322 =??? ??-+x x x 。

历年初中数学竞赛真题库(含答案)

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题,每小题都给出了(A )、(B )(C )、(D )四个答案结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. . 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立,其中a ,x ,y 是两两不 同的实数,则22223y xy x y xy x +--+的值是 (A )3 ; (B )31; (C )2; (D )35 . 答( ) . 如图,AB ‖EF ‖CD ,已知AB =20,CD =80,BC =100,那么EF 的值是 (A ) 10; (B )12; (C ) 16; (D )18. 答( ) . 方程0 12=--x x 的解是 (A )251±; (B )25 1±-; (C )251±或251±-; (D )251±-± . 答( ) . 已知:)19911991(21 1 1n n x --=(n 是自然数).那么 n x x )1(2+-,的值是 (A)11991-; (B)1 1991--; (C)1991)1(n -; (D)1 1991)1(--n . 答( ) . 若M n 1210099321=????? ,其中M为自然数,n 为使得等式成立的最大的自然数,则M (A)能被2整除,但不能被3整除; (B)能被3整除,但不能被2整除; (C)能被4整除,但不能被3整除; (D)不能被3整除,也不能被2整除. 答( ) . 若a ,c ,d 是整数,b 是正整数,且满足c b a =+,d c b =+,a d c =+,那么 d c b a +++的最大值是 (A)1-;(B)5-;(C)0;(D)1. 答( ) . 如图,正方形OPQR 内接于ΔABC .已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ,32=S 和 1 3=S ,那么,正方形OPQR 的边长是 (A)2;(B)3;(C)2 ;(D)3. 答( ) 1 1=S

最新全国初中数学竞赛试题及答案

全国初中数学竞赛试 题及答案

仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢3 1997年全国初中数学联赛试题 第一试 一.选择题 本题共有6小题,每一个小题都给出了以(A), (B), (C), (D)为代号的四个答案,其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内. 1.下述四个命题 (1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1; (2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; (3)2a 的平方根是a ±; (4)大于直角的角一定是钝角. (A)1个 (B)2个; (C)3个; (D)4个. 答( ) 2.已知354 234 -<<+x ,那么满足上述不等式的整数x 的个数是 答( ) (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 3.若实数c b a ,,满足9222=++c b a ,代数式222)()()(a c c b b a -+-+-的最大值是 (A)27 (B)18; (C)15; (D)12. 答( )

仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢3 4.给定平面上n 个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数n 的最小可能值是 (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 5.在梯形ABCD 中,DC AD =,030=∠B ,060=∠C ,E,M,F,N 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点,已知BC =7,MN =3,则EF 之值为 (A)4 (B)2 14 (C)5; (D)6. 答( ) 6.如图,已知B A ∠=∠,1AA ,1PP ,1BB 均垂直于 11B A ,171=AA ,161=PP ,201=BB ,1211=B A ,则AP+PB 等于 (A )12; (B )13; (C )14; (D )15. 答( ) 二、填空题 1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是 . 2.当a 取遍0到5的所有实数值时,满足)83(3-=a a b 的整数b 的个数是 .

2018年全国初中数学竞赛(初一组)初赛试题参考答案

第1页(共1页)一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D 二、7.-18.30°9.3或-110.221 三、11.(1)19×11=12×?è??19-111;………………………………………………………………………………5分(2)1()2n -1()2n +1;12×?è?? 12n -1-12n +1;…………………………………………………………………………………………………………10分 (3)a 1+a 2+a 3+…+a 100=12×?è??1-13+12×?è??13-15+12×?è??15-17+12×?è??17-19+?+12×?è?? 1199-1201=12×?è?? 1-13+13-15+15-17+17-19+?+1199-1201……………………………………………15分=12×?è??1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.(1)130°.…………………………………………………………………………………………………5分 (2)∠APC =∠α+∠β. 理由:过点P 作PE ∥AB ,交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD , 所以AB ∥PE ∥CD . 所以∠α=∠APE , ∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分 (3)当点P 在BD 延长线上时, ∠APC =∠α-∠β;……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时, ∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.(1)根据题意,得t =?è??120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答:三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分 (2)有,设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米,放下乙后骑摩托车返回,此时丙已经从A 地出发步行至点E ,继续前行后与甲在点F 处相遇,甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达. …………………………………………………………………………………………………………10分 根据题意,得2?x -x 50?550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答:有,方案如下:甲从A 地出发载乙,同时丙步行前往B 地,甲载乙行驶101.5千米后放下乙,乙步行前往B 地,并甲骑摩托车返回,与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地,恰好与步行的乙同时到达,所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分

全国初中数学竞赛辅导(初2)第11讲 勾股定理与应用

第十一讲勾股定理与应用 在课内我们学过了勾股定理及它的逆定理. 勾股定理直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即 a2+b2=c2. 勾股定理逆定理如果三角形三边长a,b,c有下面关系: a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形. 早在3000年前,我国已有“勾广三,股修四,径阳五”的说法. 关于勾股定理,有很多证法,在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的.下面的证法1是欧几里得证法. 证法1 如图2-16所示.在Rt△ABC的外侧,以各边为边长分别作正方形ABDE,BCHK,ACFG,它们的面积分别是c2,a2,b2.下面证明,大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和. 过C引CM∥BD,交AB于L,连接BG,CE.因为 AB=AE,AC=AG,∠CAE=∠BAG, 所以△ACE≌△AGB(SAS).而 所以 S AEML=b2.①

同理可证 S BLMD=a2.② ①+②得 S ABDE=S AEML+S BLMD=b2+a2, 即 c2=a2+b2. 证法2 如图2-17所示.将Rt△ABC的两条直角边CA,CB分别延长到D,F,使AD=a,BF=b.完成正方形CDEF(它的边长为a+b),又在DE上截取DG=b,在EF上截取EH=b,连接AG,GH,HB.由作图易知 △ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC, 所以 AG=GH=HB=AB=c, ∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°, 因此,AGHB为边长是c的正方形.显然,正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC,△ADG,△GEH,△HFB)的面积和,即 化简得 a2+b2=c2.

2018年全国初中数学竞赛试题及答案

1 2018年全国初中数学竞赛试题及答案 考试时间:2018年4月1日上午9:30—11:30 一、选择题:(共5小题,每小题6分,满分30分.以下每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后括号里.不填、多填或错填都得0分) 1.方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为( ) (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 解:选(A )。当x ≥0时,则有y -|y|=6,无解;当x<0时,则y +|y|=18,解得:y=9,此时x=-3. 2.口袋中有20个球,其中白球9个,红球5个,黑球6个.现从中任取10个球,使得白球不少于2个但不多于8个,红球不少于2个,黑球不多于3个,那么上述取法的种数是( ) (A )14 (B )16 (C )18 (D )20 解:选(B )。只用考虑红球与黑球各有4种选择:红球(2,3,4,5),黑球(0,1,2,3)共4×4=16种 3.已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数,且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax , 02 =++a cx bx ,02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根,则 ab c ca b bc a 2 22++的值为( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 解:选(D )。设这三条方程唯一公共实数根为t ,则20a t b t c ++ =,20bt ct a ++=,2 0ct at b ++= 三式相加得:2 ()(1)0a b c t t ++++=,因为210t t ++≠,所以有a+b+c=0,从而有333 3a b c abc ++=, 所以 ab c ca b bc a 222++=333 a b c abc ++=33abc abc = 4.已知△ABC 为锐角三角形,⊙O 经过点B ,C ,且与边AB ,AC 分别相 交于点D ,E .若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等,则⊙O 一定经 过△ABC 的( ) (A )内心 (B )外心 (C )重心 (D )垂心 解:选(B )。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ,由题意知:⊙O 与⊙F 且弧DmE =弧DnE ,所以∠EAB =∠ABE ,∠DAC =∠ACD , 即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ,F 作AB ,AC 相交于点H ,则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD =∠ACD , 所以∠DHE+∠ACD =∠DHE+∠KHD =180°,即点H ,D ,C ,E 在同一个圆上, 也即点H 在⊙O 上,因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5.方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (,)y 的个数是( ) (A )0 (B )1 (C )3 (D )无穷多 解:选(A )。原方程可变形为:x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2,左边是6的倍数,而右边不是6的倍数。

2019初中数学竞赛初赛试题

2019初中数学竞赛初赛试题 A级基础题 1.(2013年北京)在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球,把 它们分别标号为1,2,3,4,5,从中随机摸出1个小球,其标号大于2的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.45 2.(2013年上海)将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写 在7张相同的卡片上,字面朝下随意放在桌子上,任取1张,那么取 到字母e的概率为____________. 3.(2013年湖北宜昌)2012~2013NBA整个常规赛季中,科比罚球投篮 的命中率大约是83.3%,下列说法错误的是( ) A.科比罚球投篮2次,一定全部命中 B.科比罚球投篮2次,不一定全 部命中 C.科比罚球投篮1次,命中的可能性较大 D.科比罚球投篮1次,不命 中的可能性较小 4.(2013年福建福州)袋中有红球4个,白球若干个,它们只有颜色上 的区别.从袋中随机地取出1个球,如果取到白球的可能性较大,那么 袋中白球的个数可能是( ) A.3个 B.不足3个 C.4个 D.5个或5个以上 5.(2013年海南益阳)有三张大小、形状及背面完全相同的卡片,卡片 正面分别画有正三角形、正方形、圆,从这三张卡片中任意抽取一张,卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________. 6.在一个不透明的盒子中,共有“一白三黑”四个围棋子,它们除了 颜色之外没有其他区别.

(1)随机地从盒中提出一子,则提出白子的概率是多少? (2)随机地从盒中提出一子,不放回再提第二子.请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果,并求恰好提出“一黑一白”子的概率. B级中等题 7.(2013年重庆)从3,0,-1,-2,-3这五个数中,随机抽取一个数,作为函数y=(5-m2)x和关于x的方程(m+1)x2+mx+1=0中m的值,恰好使所得函数的图象经过第一、三象限,且方程有实数根的概率为 ________. 8.(2013年湖北襄阳)襄阳市辖区内旅游景点较多,李老师和刚初中毕业的儿子准备到古隆中、水镜庄、黄家湾三个景点去游玩.如果他们各自在这三个景点中任选一个作为游玩的第一站(每个景点被选为第一站的可能性相同),那么他们都选择古隆中为第一站的概率是________. 9.在一个口袋中有4个完全相同的小球,把它们分别标上1,2,3,4.小明先随机地摸出1个小球,小强再随机的摸出1个小球.记小明摸出球的标号为x,小强摸出的球标号为y.小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则:当x>y时,小明获胜,否则小强获胜. (1)若小明摸出的球不放回,求小明获胜的概率; (2)若小明摸出的球放回后小强再随机摸球,问他们制定的游戏规则公平吗?请说明理由. 10.(2012年江西)如图7­2­3,大小、质地相同,仅颜色不同的两双拖鞋(分左、右脚)共四只,放置在地板上[可表示为(A1,A2),(B1,B2)]. (1)若先将两只左脚拖鞋中取出一只,再从两只右脚拖鞋中随机取出一只,求恰好匹配成相同颜色的一双拖鞋的概率; (2)若从这四只拖鞋中随机地取出两

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