解决“子弹——木块”问题的妙法

“子弹——木块”问题浅探

开平市教伦中学 司徒继业

在高中物理学习中，学生往往对两个物体间的相对运动问题感到困难，特别是在处理相对运动中涉及到摩擦力做功、能量和动量关系等方面的综合题。其中较为有代表性的是“子弹击穿（击中）木块”问题。下面就向大家介绍一种数图结合处理相对运动问题的较好方法。 如图1所示，一颗速度较大 的子弹，水平击穿原来静止在光 滑水平面上的木块，设木块对子

只增大子弹的入射速度时，下面

说法正确的是：（ ）

A 、 木块获得的动能变大；

B 、

木块获得的动能变小；

C 、 子弹穿过木块的时间变长；

D 、 子弹穿过木块的时间变短。

这个问题涉及到摩擦力做功和动能定理、动量守恒定律等规律的综合应用，虽然是一v~t 图来辅助就可以比较简捷地解决问题。 在同一个v~t 图上画出子弹m

和木块M 的速度——时间图象，如

图2所示。设子弹m 的初速度为v 0，

击穿木块后速度变为v 1；木块M 初

速为零，子弹穿出后木块的速度变为 v 2。子弹m 和木块M 的位置关系如

图1所示，其中子弹对地位移为 （d+L ），木块对地位移为L ，子弹 相对于木块位移为d （等于木块的厚度）。子弹m 在穿过木块过程中，受到木块对它的向左的恒定阻力f 的作用，做匀减速直线运动直至穿出木块，之后做匀速运动；木块M 受到子弹对它的反作用，向右做匀加速直线运动，子弹穿出后木块做匀速直线运动。图2中，从子弹开始射入木块开始计时，子弹在穿过木块过程速度变化如图线ABC 所示，与此同时，木块的速度变化如图线EFG 所示，在t 1时刻子弹射穿木块。在由零时刻到t 1时刻期间子弹射穿木块，在这期间，子弹对地位移的值等于v~t 线下阴影的面积的值，即梯形面积S ABME =|d+L|；木块对地位移的值等于三角形面积S EFM =|d|，子弹相对于木块位移的值等于梯形面积S ABFE 的值，也即等于木块的厚度。若将子弹的入射速度增大至v 0′，由于子弹与木块间的作用力大小不变，所以两者在相对运动中的加速度与原来的相同，子弹的速度变化如图线A′B′C′所示，而木块的速度变化如图线E′F′G′所示，因为木块的厚度（即子弹与木块的相对位移大小）是不变的，所以梯形面积S ABFE 一定等于梯形面积S A′B′F′E 。从图可知，子弹在t 2时刻穿出木块，t 2

从这个例子可以看出，利用v~t 图确实能比较简捷方便地解决子弹与木块之间的相对运动问题。

下面再用此法解决更复杂的问题。如

图3所示，一水平飞行的子弹恰能穿过用 轻质销钉C 锁住、并置于光滑水平面上的

2v 图1 v 0v v 图2

A 、

B 两木块，且木块B 获得的动能为E K1。

若然拔去销钉C ，仍让这颗子弹以相同的速度水平射入A 、B 两木块，木块B 获得的动能为E K2，则：（ ）

A 、 子弹不能穿过木块

B ，且E K1>E K2； B 、 子弹不能穿过木块B ，且E K1

C 、 子弹仍能穿过木块B ，且E K1>E K2；

D 、 子弹仍能穿过木块B ，且

E K1

子弹穿过时，木块向前做匀加速直线运动，

其速度变化情况如图线ebc 所示，最后子弹 和木块以相同的速度v 1向前做匀速直线运 动。还可以根据上例的结论得出，图中三角 形面积S aeb 的值等于A 、B 两木块的厚度之 和，子弹在t 2时刻刚好穿出木块B 。第二 种情况： A 、B 两木块撤消销钉后，子弹

在穿过木块A 的过程中，子弹相对于地的

运动与第一种情况相同（加速度相同），两木块仍未分离。由此可见，子弹运动的v~t 图线在开始的一段也应沿第一种情况的图线ab （ 斜率相同）。现在我们再来判断木块B 的运动情况，假定子弹在t 1时刻穿过木块A ，则木块A 、B 在由零时刻至t 1时刻期间，一齐做匀加速直线运动，由t 1时刻起，A 与B 分离，木块A 向前做速度为v 1?的匀速直线运动，如图线fc ?所示。木块B 则向前按图线fb′做匀加速直线运动，加速度比前一段两木块一起运动时要大，图线fb′的斜率要比图线ef 的斜率大，因为受到子弹对木块的作用力不变，而木块的质量减少（只有一块）。这样，图线ab 与图线fb′必定会相交（速度相等），交点为b′，类似地，四边形aefb′的面积的值等于子弹相对于木块位移的值，显然，S aefb′

（B ）。

v v 1v 图4

动量守恒之滑块子弹打木块模型

动量守恒定律的应用1――子弹打木块模型 模型：质量为M 长为I 的木块静止在光滑水平面上，现有一质量为 m 的子弹以水平初速V 。 射入木块，穿出时子弹速度为 V ，求子弹与木块作用过程中系统损失的机械能。 解：如图，设子弹穿过木块时所受阻力为 f ,突出时木块速度为 V,位移为S,则子弹位移 为(S+I)。水平方向不受外力， 由动量守恒定律得：mv=mv+MV ① I 二 十 ” ， O —* 二二二二 * 4 4 v 0 v ? I 由动能定理，对子弹-f(S+ I )= 1 mv^l mv 2 ② 公 对木块fs= *MV 2_0 ③ 由①式得 v= m (v o —v)代入③式有fs= 1 M *器(v o _v)2 ④ ② + ④得 f I =lmv (f -- mv^— MV mv 。2 -{- mv 2 - - M [— (v o -v)]2 } 2 2 2 2 2 2 M 结论：系统损失的机械能等于因摩擦而产生的内能，且等于摩擦力与两物体相对位移的乘 积。即Q=A E 系统=fS 相 问题：①若要子弹刚好能(或刚好不能)穿出木块，试讨论需满足什么条件? ②作出作用过程中二者的速度-时间图像，你会有什么规律发现？ 例题：一木块置于光滑水平地面上，一子弹以初速 v o 射入静止的木块，子弹的质量为 m 打 入木块的深度为d ，木块向前移动S 后以速度v 与子弹一起匀速运动，此过程中转化为内能 的能量为 滑块、子弹打木块模型练习 1.在光滑水平面上并排放两个相同的木板，长度均为 L=1.00m, —质量与木板相同的金属 块，以v o =2.OOm/s 的初速度向右滑上木板 A,金属块与木板间动摩擦因数为 卩=0.1，g 取 10m/s 2 。求两木板的最后速度。 —A B I 2.如图示，一质量为 M 长为I 的长方形木块B 放在光滑水平面上，在其右端放一质量为 m 的小木块A , m< M 现以地面为参照物，给 A 和B 以大小相等、方向相反的初速度使 A 开始 向左运动，B 开始向右运动，但最后A 刚好没有滑离B 板。以地面为参照系。 ⑴若已知A 和B 的初速度大小为V 。，求它们最后速度的大小和方向； v .o A _____________________________ o ⑵若初速度的大小未知，求小木块 A 向左运动到最远处(从地面上看-)''1 二* -m(v 。2 -v o v) B. mv o (v o -v) C. m(v 。. v)vd ~2s - D. m(v ° …v) __S__ vd

子弹打木块典型例题

高三物理专题：子弹射木块问题中的物理规律及其应用 教学目标 引导学生分析并总结子弹射木块中的物理规律，以便于触类旁通处理类似的问题。 教学过程 高考中常见的“子弹射木块”类型题及解题思想 在分析和解答动量守恒定律应用题时，“子弹射木块”是常见的类型题之一，若根据物理过程及实质将其分类，则可使问题简化．按实际中出现的类型大致可分为射入、射穿两类，具体分析如下： 一、射入类 其特点是：在某一向上动量守恒，如子弹有初动量而木块无初动量，碰撞时间非常短，子弹射入木块后二者以相同速度一起运动． 规律：从运动情况看，子弹在木块受到恒定的阻力做匀减速运动，木块受到子弹的恒力作用做匀加速运动，到二者速度相等时，水平向的相互作用力为零，木块速度最大，此后二者一起做匀速运；从规律上看，子弹、木块作为一个系统，因水平向系统只受力而不受外力作用，其动量守恒。 二、穿透类 其特点是：在某一向动量守恒，子弹有初动量，木块有或无初动量，击穿时间很短，击穿后二者分别以某一速度度运动. 规律：选子弹和木块为一个系统，因系统水平向不受外力，则水平向动量守恒．选向右为正向，据动量守恒定律求解。 点评：⑴一个系统不受外力或所受的合外力为零，系统物体相互作用前后，系统的总动量保持不变；⑵若系统在某一向上如水平向或竖直向等不受外力，或外力与力相比可忽略不计，则系统的总动量保持不变；⑶系统各物体的动量变化、能量变化产生的原因归根到底是系统的力作用的结果． 子弹射木块类问题是一个常见的并且典型的问题，它涉及的物理规律比较广泛，今天这一节课我们要讨论的就是子弹射木块问题中的物理规律及其应用” 典型例题：

一、射入类 例1：设一质量为M 的木块放在光滑的水平面上，另一质量为m 的子弹以速度0v 水平射进木块（如图所示）。假设子弹进入木块深度为d 时，子弹与木块具有共同速度v ，此时木块位移为1S ，子弹位移为2S ， 假设子弹所受木块阻力f 恒定不变。则在该过程中，子弹、木块或系统可能遵循哪些物理规律呢？请写出相应的表达式。（设取向右向为正向） 讨论画什么样的子弹射木块的运动示意图比较好。 讨论总结以下容： 1、几关系：d S S +=12 2、对系统应用动量守恒定律： v M m mv )(0+= 3、用动量定理： 对子弹：0mv mv ft -=- 对木块：0-=Mv ft 4、用动能定理： 对子弹：20222 121mv mv fS -=- 对木块：02 1 21-= Mv fS 5、对系统应用能量转化和守恒定律: )2 1 21(212220Mv mv mv fd Q +-= = 小结（思考题）： 1、通常情况下，可不可以认为1S =0，2S =0，为什么？ （由于子弹射木块时间极短，如果题目不要求考虑木块的长度，则可认为子弹和木块的 位移均为0，射过之后，可认为子弹和木块仍在原来的位置。） 2、如果平面不光滑，木块受摩擦力作用，这种情况还可以认为系统动量守恒吗？ （外力虽不为0，但只要外力远小于力，可以为动量是守恒。） 3、假设木块厚度为L ，子弹射穿木块的条件是什么？ ①假设木块足够长，子弹与木块最终速度相同，子弹射穿木块的条件是子弹与木块速度相等时，d ≥L ； 或：②假设子弹能够到达木块另一端，子弹射穿木块的条件是d=L 时，子弹速度≥木块速度。

子弹打木块模型

子弹打木块模型：物理学中最为典型的碰撞模型 (一定要掌握) 子弹击穿木块时,两者速度不相等；子弹未击穿木块时,两者速度相等.这两种情况 的临界情况是：当子弹从木块一端到达另一端，相对木块运动的位移等于木块长度时， 两者速度相等． 模型：设质量为m 的子弹以初速度v 0射向静止在光滑水平面上的质量为M 的木块，并留在木块中不再射出，子弹钻入木块深度为d 。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。 解析：子弹和木块最后共同运动，相当于完全非弹性碰撞。 从动量的角度看，子弹射入木块过程中系统动量守恒： ()v m M mv +=0 从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。设平均阻力大小为f ，设子弹、木块的位移大小分别为s 1、s 2，如图所示，显然有s 1-s 2=d 对子弹用动能定理：22012121mv mv s f -= ? …………………………………① 对木块用动能定理：222 1Mv s f =?…………………………………………② ①、②相减得：()() 2022022121v m M Mm v m M mv d f +=+-=? ………………③ ③式意义：f ?d 恰好等于系统动能的损失；根据能量守恒定律，系统动能的损失应该等于系统内能的增加；可见Q d f =?，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热(机械能转化为内能),等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积(由于摩擦力是耗散力，摩擦生热跟路径有关，所以这里应该用路程，而不是用位移)。 由上(③)式不难求得平均阻力的大小：()d m M Mmv f +=220 至于木块前进的距离s 2，可以由以上②、③相比得出： 从牛顿运动定律和运动学公式出发，也可以得出同样的结论。试试推理。 由于子弹和木块都在恒力作用下做匀变速运动，位移与平均速度成正比： ()d m M m s m m M v v s d v v v v v v s d s +=+==∴+=+=+2020022,,2/2/ 一般情况下m M >>，所以s 2<

第二轮专题复习：子弹打木块、板块问题

第二轮高三物理复习专题：“子弹打木块“和“板块”问题（2014.03） 质量为m子弹，以速度V0射向静止在光滑水平面上的木块并留在其中，木块的质量为M。已知子弹在木块中运动所受阻力恒为f，求： （1）子弹、木块相对静止时的速度v； （2）子弹、木块发生的位移S1、S2以及子弹打进木块的深度S相； （3）比较S1、S2、S相的大小关系； （4）要使子弹不穿出木块，木块至少多长？ （5）系统损失的机械能ΔE、系统增加的内能。 方法一：动能定理 解：子弹与木块组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得 mv0=(M+m)v 对子弹由动能定理得 —fS1=mv2/2—mv02/2 对木块由动能定理得 fS2=Mv2/2—0 且S相＝S1—S2 由以上各式解得：S1=Mm（M+2m）v02/2f(M+m)2，S2=Mm2v02/2f(M+m)2，S相=Mmv02/2f(M+m) 方法二：能量的转化与守恒定律 解：子弹与木块组成的系统动量守恒，设共同运动的速度为v，由动量守恒定律得 mv0=(M+m)v 对子弹与木块组成的系统由能量守恒定律得 fd = mv02/2—（M＋m）v2/2 由以上各式解得：S相=Mmv02/2f(M+m) 则系统损失的机械能ΔE= mv02/2—（M＋m）v2/2=Mmv02/2(M+m) 系统增加的内能Q=fs相。 方法三：v－t图象法 从图象比较S1、S2、S相的大小关系。 变形一：改变条件 1、如图木块与水平桌面间的接触是光滑的，子弹沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短。现将子弹、木块和弹簧作为一个系统，则此系统开始射入木块到压缩至最短的整个过程中， A、动量守恒，机械能不守恒 B、动量不守恒，机械能不守恒 C、动量守恒，机械能不守恒 D、动量不守恒，机械能守恒

子弹打木块、弹簧模型学案

动量守恒、能量守恒定律的综合应用 “子弹打木块、弹簧”模型 学习目标 1.动量守恒与能量守恒的综合运用 2.物理模型的建立 学习重点：能用动量守恒与能量守恒解决一些问题 一、 子弹打木块模型 引入:子弹质量为m ，以速度水平打穿质量为M 、厚为d 的放在光滑水平面上的木块，子弹的速度变为v ，求此过程木块获得的速度及动能。 例1、一质量为m 的子弹，以水平初速度v 0 射向静止在光滑水平面上的质量为M 的木块内，设木块对子弹的阻力恒为f ，且子弹并未穿出，求: （1）子弹、木块相对静止时的速度v （2）子弹在木块内运动的时间 （3）子弹、木块发生的位移以及子弹打进木块的深度 （4）系统损失的机械能、系统增加的内能 （5）要使子弹不穿出木块,木块至少多长? 总结求解方法： 1、 动量守恒——关键看系统的合外力是否为零 2、 受力分析，“子弹打木块”模型实质是两个物体在一对作用力和反作用力（认为是恒力）作用下的运动，物体做匀变速运动，可用动力学规律求解 3、 求时间——单个物体运用动量定理或牛顿运动定律和运动学关系 4、 求位移——单个物体运用动能定理或牛顿运动定律和运动学关系 5、 涉及相对位移——有机械能向内能转化 E 损=Q =fS 相 6、 匀变速运动---可利用v-t 图像（定性分析时多用到） 二、 弹簧模型的特点与方法 1. 注意弹簧弹力特点及运动过程。 弹簧弹力不能瞬间变化 2. 弹簧连接两种形式：连接或不连接。 连接：可以表现为拉力和压力 不连接：只表现为压力。 3. 动量问题：动量守恒。 4. 能量问题：机械能守恒（弹性碰撞）。 动能和弹性势能之间的转化 0V 1图1s M 相S 2S

专题复习-子弹打木块教案

专题复习: “子弹打木块” 教学目标: ―子弹打木块‖是中学物理中十分典型的物理模型，几乎可以涉及力学的全部定理、规律．因 此，可以从解题的角度对力学知识、方法概括和总结，以提高分析、解决问题的能力． 用拓宽的方法可以达到培养学生一题多解、多题一法融会贯通的效果． 教学重点： 掌握―子弹打木块‖典型的物理模型的力学规律以及解答基本思路。 教学难点： ―子弹打木块‖模型动量、能量规律。 德育目标： 培养学生严谨的科学态度和认真细致的科学精神。 教学过程： [子弹打木块原型] 题1.设质量为m 的子弹以初速度v0射向静止在光滑水平 面上的质量为M 的木块，并留在木块中不再射出，设木块对子 弹的阻力恒为f,求: 木块至少多长子弹才不会穿出? 子弹在木块中运动了多长时间? 分析:子弹射入木块后,m 受M 的阻力做匀减速运动,M 受m 的阻力而从静止开始做匀加速运动,经一段时间t,两者达到相同的速度v 处于相对静止,m 就不至于从M 中穿出,在此过程中,子弹在木块中进入的深度L 即为木块的最短长度,皮后,m 和M 以共同速度v 一起做匀速直线运动. (1)解：以m 和M 组成的系统为研究对象,根据动量守恒 ()v m M mv +=0 从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。设平均阻力大小为f ，设子弹、木块的位移大小分别为s1、s2，如图所示，显然有s1-s2=L 对子弹用动能定理： 22012121mv mv s f -=? ……① 对木块用动能定理：2221Mv s f =? ……② ①、②相减得：()()2022022121v m M Mm v m M mv L f +=+-= ? ……③ 由上式可得: ()202v m M f Mm L += (2)以子弹为研究对象,由牛顿运动定律和运动学公式可得: v

专题：子弹打木块模型

专题：子弹打木块模型 例题： 【例1】光滑水平面上 静置着一质量为M 的小车一颗质量为m 的木块以速度V 0水平滑向小车．木块滑出后，木块速度减为V 1， 小车的速度增为V 2．将此过程中下列说法补全完整： A. 木块克服阻力做功为 。 B. 木块对小车做的功为 。 C. 木块减少的动能 小车增加的动能. D 系统产生的热量为 。 【例2】在光滑水平面上有一个静止的质量为Ｍ的木块，一颗质量为ｍ的子弹以初速ｖ0水平射入木块，且陷入木块的最大深度为d 。设冲击过程中木块的运动位移为s ，子弹所受阻力恒定。试证明：s

【练习】 1．如图6-13所示，木块与水平弹簧相连放在光滑水平面上，子弹A 沿水平方向射入木块后留在木块B 内，入射时间极短，尔后木块将弹簧压缩到最短，关于子弹和木块组成的系统，下列说法正确的是：（ ） A ．从子弹开始射入到弹簧压缩到最短的过程中系统动量守恒 B ．子弹射入木块的过程中，系统动量守恒 C ．子弹射入木块的过程中，系统动量不守恒 D ．木块压缩弹簧过程中，系统动量守恒 2、物块A 、B 用一根轻质弹簧连接起来，放在光滑水平面上，A 紧靠墙壁，在B 上施加向左的水平力使弹簧压缩，如图7-25所示，当撤去此力后，下列说法正确的是：（ ） A.A 尚未离开墙壁前，弹簧和B 的机械能守恒 B.A 尚未离开墙壁前，A 和B 的总动量守恒 C.A 离开墙壁后，A 和B 的系统的总动量守恒 D.A 离开墙壁后，弹簧和A 、B 系统的机械能守恒 3．如图6-14，光滑水平面上有A.B 两物体，其中带有轻质弹簧的B 静止，质量为m 的A 以速度v o 向着B 运动，A 通过弹簧与B 发生相互作用的过程中：( ) （1）弹簧恢复原长时A 的速度一定最小 （2）两物体速度相等时弹簧压缩量最大 （3）任意时刻系统总动量均为mv o （4）任一时刻B 的动量大小总小于mv o A ．(1)(3) B ．(2)(3) C ．(1) (3) (4) D ．(2) (4) 4.如图7-17所示，质量为M 的木板B 放在光滑水平面上，有一质量为m 的滑块A 以水平向右的初速度v 0滑上木板B ，A 与木板之间的动摩擦因数为μ，且滑块A 可看做质点，那么要使A 不从B 的上表面滑出，木板B 至少应多长？ 5.如图6-28所所示，abc 是光滑的轨道，其中ab 是水平的，bc 为ab 与相切的位于竖直平面内的半圆，半径R=0.30m ，质量m=0.20Kg 的小球A 静止在轨道上，另一质量M=0.60Kg ，速度v 0=5.5m/s 的小球B 与小 球A 正碰。已知相碰后小球A 经过半圆的最高点c 落到轨道上距b 点为L=处，重力加速度g=10 m/ s 2， 求： （1）碰撞结束时，小球Ａ和Ｂ的速度大小； （2）试论证小球Ｂ是否能沿着半圆轨道到达c 点。 A B 图6-14 图6-28

子弹打木块模型及其应用教学文案

子弹打木块模型及其 应用

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 子弹打木块模型及其应用 江苏省海安县立发中学 杨本泉 迁移能力的培养是物理教学过程中的重要组成部分。在物理习题教学过程中，注重培养学生构建正确的物理模型，掌握基本模型的思维方法并能合理的迁移，可以受到事半功倍的效果。子弹打木块问题是高中物理主干知识：动量与能量相结合应用的重要模型之一。 一、 原型 一质量为M 的木块放在光滑的水平面上，一质量m 的子弹以初速度v 0水平飞来打进木块并留在其中，设相互作用力为f 问题1 子弹、木块相对静止时的速度v 由动量守恒得： mv 0=(M+m)v ∴ 0v m M m v += 问题2 子弹在木块内运动的时间 由动量定理得： 对木块 0-=?Mv t f 或对子弹 0mv mv t f -=?- 1 图

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 ∴ ) (0 m M f Mmv t += 问题3 子弹、木块发生的位移以及子弹打进木块的深度 由动能定理得： 对子弹：20212 121mv mv s f -= ?- 2 2 1) (2)2(m M f v m M Mm s ++=∴ 对木块：222 1 Mv fs = 2 2 22) (2m M f v Mm s +=∴ 打进深度就是相对位移 S 相 ＝S 1－S 2＝) (22 m M f Mmv + 问题4 系统损失的机械能、系统增加的内能 E 损＝) (2)(21212 02 20m M Mmv v m M mv +=+- 由问题3可得： ) (2)(2 021m M Mmv s f s s f Q +=?=-=相 说明： 相互作用力与相对位移（或路程）的乘积等于系统机械能 的减小，这是一个重要关系，通常都可直接运用。 问题5 比较S 1、S 2、S 相的大小关系 2 图

动量守恒之滑块、子弹打木块模型

l v 0 v S 动量守恒定律的应用1—— 子弹打木块模型 模型：质量为M 、长为l 的木块静止在光滑水平面上，现有一质量为m 的子弹以水平初速v 0射入木块，穿出时子弹速度为v ，求子弹与木块作用过程中系统损失的机械能。 解：如图，设子弹穿过木块时所受阻力为f ，突出时木块速度为V ，位移为S ，则子弹位移为(S+l)。水平方向不受外力， 由动量守恒定律得：mv 0=mv+MV ① 由动能定理，对子弹 -f(s+l )=2022 121mv mv - ② 对木块 fs=02 1 2-MV ③ 由①式得 v= )(0v v M m - 代入③式有 fs=2022 )(21v v M m M -? ④ ②+④得 f l =})]([2121{212121212022 02220v v M m M mv mv MV mv mv -+-=-- 结论：系统损失的机械能等于因摩擦而产生的内能，且等于摩擦力与两物体相对位移的乘积。即Q=ΔE 系统= fS 相问题：①若要子弹刚好能（或刚好不能）穿出木块，试讨论需满足什么条件？ ②作出作用过程中二者的速度-时间图像，你会有什么规律发现？ 例题：一木块置于光滑水平地面上，一子弹以初速v 0射入静止的木块，子弹的质量为m ，打入木块的深度为d ，木块向前移动S 后以速度v 与子弹一起匀速运动，此过程中转化为内能的能量为 A ．)(2102 0v v v m - B.)(00v v mv - C.s vd v v m 2)(0- D.vd S v v m )(0-

v 0 A B v 0 A B v 0 l A 2v 0 v 0 B C 滑块、子弹打木块模型练习 1．在光滑水平面上并排放两个相同的木板，长度均为L=1.00m ，一质量与木板相同的金属块，以v 0=2.00m/s 的初速度向右滑上木板A ，金属块与木板间动摩擦因数为μ=0.1，g 取10m/s 2 。求两木板的最后速度。 2．如图示，一质量为M 长为l 的长方形木块B 放在光滑水平面上，在其右端放一质量为m 的小木块A ，m ＜M ，现以地面为参照物，给A 和B 以大小相等、方向相反的初速度使A 开始向左运动，B 开始向右运动，但最后A 刚好没有滑离B 板。以地面为参照系。 ⑴若已知A 和B 的初速度大小为v 0，求它们最后速度的大小和方向； ⑵若初速度的大小未知，求小木块A 向左运动到最远处(从地面上看) 到出发点的距离。 3．一平直木板C 静止在光滑水平面上，今有两小物块A 和B 分别以2v 0和v 0的初速度沿同一直线从长木板C 两端相向水平地滑上长木板。如图示。设物块A 、B 与长木板C 间的动摩擦因数为μ，A 、B 、C 三者质量相等。 ⑴若A 、B 两物块不发生碰撞，则由开始滑上C 到A 、B 都静止在C 上为止，B 通过的总路程多大？经历的时间多长？ ⑵为使A 、B 两物块不发生碰撞，长木板C 至少多长？

滑块、子弹打木块模型

v 0 A B v 0 A B v 0 l A v 0 5m B A 2v 0 v 0 B C 滑块、子弹打木块模型 1．在光滑水平面上并排放两个相同的木板，长度均为L=1.0m ，一质量与木板相同的金属块，以v 0=2.0m/s 的初速度向右滑上木板A ，金属块与木板间动摩擦因数为μ=0.1，g 取10m/s 2 。求两木板的最后速度。 2．如图示，一质量为M 长为l 的长方形木块B 放在光滑水平面上，在其右端放一质量为m 的小木块A ，m ＜M ，现以地面为参照物，给A 和B 以大小相等、方向相反的初速度，使A 开始向左运动，B 开始向右运动，但最后A 刚好没有滑离B 板。以地面为参照系。 ⑴若已知A 和B 的初速度大小为v 0，求它们最后速度的大小和方向； ⑵若初速度的大小未知，求小木块A 向左运动到最远处(从地面上看)到出发点的距离。 3．一平直木板C 静止在光滑水平面上，今有两小物块A 和B 分别以2v 0和v 0的初速度沿同一直线从长木板C 两端相向水平地滑上长木板。如图示。设物块A 、B 与长木板C 间的动摩擦因数为μ，A 、B 、C 三者质量相等。 ⑴若A 、B 两物块不发生碰撞，则由开始滑上C 到A 、B 都静止在C 上为止，B 通过的总路程多大？经历的时间多长？ ⑵为使A 、B 两物块不发生碰撞，长木板C 至少多长？ 4．在光滑水平面上静止放置一长木板B ，B 的质量为M=2㎏同，B 右端距竖直墙5m ，现有一小物块 A ，质量为m=1㎏，以v 0=6m/s 的速度从B 左端水平地滑上B 。如图所示。A 、B 间动摩擦因数为μ=0.4，B 与墙壁碰撞时间极短，且碰撞时无能量损失。取g=10m/s 2 。求：要使物块A 最终不脱离B 木板，木板B 的最短长度是多少？

动量守恒之滑块子弹打木块模型

模型：质量为M 长为I 的木块静止在光滑水平面上，现有一质量为 m 的子弹以水平初速 v o 射入 木块，穿出时子弹速度为 v ,求子弹与木块作用过程中系统损失的机械能。 水平方向不受外力, —mv 2 {=mv 2 =M[ — (v o v)]2} 2 2 2 M 结论：系统损失的机械能等于因摩擦而产生的内能，且等于摩擦力与两物体相对位移的乘积。 即Q=AE 系统=fS 相 ②作出作用过程中二者的速度 -时间图像，你会有什么规律发现? 例题：一木块置于光滑水平地面上，一子弹以初速 v o 射入静止的木块，子弹的质量为 m,打入木 块的深度为d ，木块向前移动 S 后以速度v 与子弹一起匀速运动，此过程中转化为内能的能量为 A 1 , 2 、 m(v o v)vd m(v o v) A ?匚m (v 2 v o v ) B. mv o (v o v) C. D. vd 2 v ' 2s S 动量守恒定律的应用1 子弹打木块模型 解：如图，设子弹穿过木块时所受阻力为 f ,突出时木块速度为 V,位移为S,则子弹位移为(S+I)。 由动量守恒定律得: mv o =mv+MV ① 由动能定理，对子弹 心 l) =^ -v 2 1 2 2 mV 0 对木块 fs= -MV 2 2 由①式得v =辭"0 v)代入③式有 fs= 2M ?5 (V o V)2 ④ ②+④得 f |= -—v 2 问题：①若要子弹刚好能(或刚好不能)穿出木块, 试讨论需满足什么条件?

滑块、子弹打木块模型练习 1在光滑水平面上并排放两个相同的木板，长度均为L=1.00m，一质量与木板相同的金属块, .. . _ 2 以v o=2.OOm/s的初速度向右滑上木板A,金属块与木板间动摩擦因数为卩=0.1 , g取10m/s。求 两木板的最后速 度。L v°_ , __________ , I A ................ I .......... B…二 2.如图示，一质量为M长为I的长方形木块B放在光滑水平面上，在其右端放一质量为m的小木 块A, m< M,现以地面为参照物，给A和B以大小相等、方向相反的初速度使A开始向左运动，B 开始向右运动，但最后A刚好没有滑离B板。以地面为参照系。 ⑴若已知A和B的初速度大小为vo，求它们最后速度的大小和方向； ⑵若初速度的大小未知，求小木块A向左运动到最远处（从地面上看） 至U出发点的距离。 V o A 3 .一平直木板C静止在光滑水平面上，今有两小物块A和B分别以2v o和v o的初速度沿同一直线从长木板C两端相向水平地滑上长木板。如图示。设物块A、B与长木板C间的动摩擦因数为卩，A、 B、C三者质量相等。 ⑴若A、B两物块不发生碰撞，则由开始滑上C到A B都静止在C上为止，B通过的总路程多 大？经历的时间多长？ ⑵为使A、B两物块不发生碰撞，长木板C至少多长? ri—> ^-n C

经典高中物理模型--打木块模型之一

l v 0 v S v 0 A B v 0 A B v 0 l 滑块、子弹打木块模型之一 子弹打木块模型：包括一物块在木板上滑动等。μNS 相=ΔE k 系统=Q ，Q 为摩擦在系统中产生的热量。②小球在置于光滑水平面上的竖直平面内弧形光滑轨道上滑动 ：包括小车上悬一单摆单摆的摆动过程等。小球上升到最高点时系统有共同速度(或有共同的水平速度)；系统内弹力做功时，不将机械能转化为其它形式的能，因此过程中系统机械能守恒。 例题：质量为M 、长为l 的木块静止在光滑水平面上，现有一质量为m 的子弹以水平初速v 0射入木块，穿出时子弹速度为v ，求子弹与木块作用过程中系统损失的机械能。 解：如图，设子弹穿过木块时所受阻力为f ，突出时木块速度为V ，位移为S ，则子弹位移为(S+l)。水平方向不受外力，由动量守恒定律得：mv 0=mv+MV ① 由动能定理，对子弹 -f(s+l )=2022 121mv mv - ② 对木块 fs=0212-MV ③ 由①式得 v=)(0v v M m - 代入③式有 fs=2022)(21v v M m M -? ④ ②+④得 f l =})]([2121{21212121202202220v v M m M mv mv MV mv mv -+-=-- 由能量守恒知，系统减少的机械能等于子弹与木块摩擦而产生的内能。即Q=f l ，l 为子弹现木块的相对位移。 结论：系统损失的机械能等于因摩擦而产生的内能，且等于摩擦力与两物体相对位移的乘积。即 Q=ΔE 系统=μNS 相 其分量式为：Q=f 1S 相1+f 2S 相2+……+f n S 相n =ΔE 系统 1．在光滑水平面上并排放两个相同的木板，长度均为L=1.00m ，一质量 与木板相同的金属块，以v 0=2.00m/s 的初速度向右滑上木板A ，金属 块与木板间动摩擦因数为μ=0.1，g 取10m/s 2。求两木板的最后速度。 2．如图示，一质量为M 长为l 的长方形木块B 放在光滑水平面上，在其右端放一质量为m 的小木块A ，m ＜M ，现以地面为参照物，给A 和B 以大小相等、方向相反的初速度 (如图)，使A 开始向左运动，B 开始向右运动，但最后A 刚好没有滑离 B 板。以地面为参照系。 ⑴若已知A 和B 的初速度大小为v 0，求它们最后速度的大小和方向； ⑵若初速度的大小未知，求小木块A 向左运动到最远处(从地面上看)到出发点的距离。

子弹打木块练习题

子弹打木块模型 子弹打木块问题是力学综合问题，涉及运动学公式与力，动量（动量守恒定律、动量定力），能量（动能定理、能量守恒定理、功能关系）。熟练应用这些力学规律，可以解决相关问题。 一、单选题 1.能量的形式有多种并且通过做功会发生相互转化．如下图所示，在光滑水平面上，子弹m水平射入木块后留在木块内．现将子弹、弹簧、木块合在一起作为研究对象，则此系统从子弹开始射入木块到弹簧压缩到最短的整个过程中，则系统的 () A．子弹与木块有摩擦阻力，能量不守恒，机械能不守恒 B．子弹与木块有摩擦阻力，但能量和机械能均守恒 C．子弹与木块有摩擦阻力，但能量守恒，机械能不守恒 D．能量不守恒，机械能守恒 2.如图所示的装置中，木块通过一细线系在O点，子弹沿水平方向射入木块(子弹射入木块过程时间极短，可认为细线不发生摆动)后留在木块内，接着细线摆过一角度θ.若不考虑空气阻力，对子弹和木块组成的系统，下列说法正确的是 () A．在子弹射入木块的过程中机械能守恒 B．在子弹射入木块后，细线摆动的过程机械能守恒 C．从子弹开始射入木块到细线摆过θ角的整个过程机械能守恒 D．无论是子弹射入木块过程，还是子弹射入木块后细线摆动的过程机械能都不守恒 3.子弹的速度为v，打穿一块固定的木块后速度刚好变为零．若木块对子弹的阻力为恒力，那么当子弹射入木块的深度为其厚度的一半时，子弹的速度是() A． B．v

C． D． 4.如图所示，木块A、B并排且固定在水平桌面上，A的长度是L，B的长度是2L.一颗子弹沿水平方向以速度v1射入A，以速度v2穿出B.子弹可视为质点，其运动视为匀变速直线运动，则子弹穿出A时的速度为() A．(v1＋v2) B． C． D．v1 5.1964年至1967年6月我国第一颗原子弹和第一颗氢弹相继试验成功，1999年9月18日，中共中央、国务院、中央军委隆重表彰在研制“两弹一星”中作出贡献的科学家。下列核反应方程式中属于原子弹爆炸的核反应方程式的是（） A．U→Th +He B．U +n→Sr +Xe +10n C．N +He→O +H D．H +H→He +n 6.如图所示，质量为m的子弹水平飞行，击中一块原来静止在光滑水平面上的质量为M的物块，物块由上下两块不同硬度的木块粘合而成．如果子弹击中物块的上部，恰不能击穿物块；如果子弹击中物块的下部，恰能打进物块中央．若将子弹视为质点，以下说法中错误的是 A．物块在前一种情况受到的冲量与后一种情况受到的冲量相同 B．子弹前一种情况受到的冲量比后一种情况受到的冲量大

子弹打木块模型及其应用

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 子弹打木块模型及其应用 江苏省海安县立发中学 杨本泉 迁移能力的培养是物理教学过程中的重要组成部分。在物理习题教学过程中，注重培养学生构建正确的物理模型，掌握基本模型的思维方法并能合理的迁移，可以受到事半功倍的效果。子弹打木块问题是高中物理主干知识：动量与能量相结合应用的重要模型之一。 一、 原型 一质量为M 的木块放在光滑的水平面上，一质量m 的子弹以初速度v 0 水平飞来打进木块并留在其中，设相互作用力为f 问题1 子弹、木块相对静止时的速度v 由动量守恒得： mv 0=(M+m)v ∴ 0v m M m v += 问题2 子弹在木块内运动的时间 由动量定理得： 对木块 0-=?Mv t f 或对子弹 0mv mv t f -=?- ∴ ) (0 m M f Mmv t += 问题3 子弹、木块发生的位移以及子 1 图

弹打进木块的深度 由动能定理得： 对子弹：20212 121mv mv s f -= ?- 2 2 1) (2)2(m M f v m M Mm s ++=∴ 对木块：222 1 Mv fs = 2 2 22) (2m M f v Mm s +=∴ 打进深度就是相对位移 S 相 ＝S 1－S 2＝) (22 m M f Mmv + 问题4 系统损失的机械能、系统增加的内能 E 损＝) (2)(21212 02 20m M Mmv v m M mv +=+- 由问题3可得： ) (2)(2 021m M Mmv s f s s f Q +=?=-=相 说明： 相互作用力与相对位移（或路程）的乘积等于系统机械能的减 小，这是一个重要关系，通常都可直接运用。 问题5 比较S 1、S 2、S 相的大小关系 运用图象法：子弹做匀减速直线运动 木块做匀加速直线运动 由图可以判定： ① 不论m 、M 关系怎样 总有S 相＞S 2 S 1＞2S 2 ②若m ＜M 则S 相＞2S 2 S 1＞3S 2 问题6 要使子弹不穿出木块，木块至少多长？（v 0、m 、M 、f 一定） 运用能量关系 fL= 220)(2 1 21v m M mv +- 2 图

2020年高考物理核心探秘 专题10 子弹打木块问题-2020年高考物理核心探秘

专题十、子弹打木块问题 问题分析 一个长方体木块，静止在光滑水平面上，一个子弹以某一初速度沿水平方向射入该木块，最终没有射穿。阻力始终恒定，那么在这个过程中( ) (3个不定项) 限时15分钟．勇于挑战自己！所有高二、高三都可以做 (1)若产生内能10J，则子弹损失的能量可能为( ) A. 4 J B. 7 J C. 10J D. 12J (2)若子弹损失动能为10J，则木块动能可能为( ) A. 3J B. 5J C. 1J D. 7J (3)若木块获得动能为10J，则产生内能可能为( ) A. 14J B. 10 J C. 29J D. 7J 变为1： 一个长方体木块，静止在光滑水平面上，一个子弹以某一初速度沿水平方向射入该木块，最终没有射穿。阻力始终恒定，那么在这个过程中( ) (1)若产生内能10J，则子弹损失的能量可能为( ) A. 13J B. 19J C. 21J D. 23J (2)若子弹损失动能为10J，则木块动能可能为( ) A. 3J B. 5J C. 15J D. 37J (3)若木块获得动能为10J，则产生内能可能为( ) A. 12J B. 15 J C. 66J D. 20J 变为2： 一个长方体木块，静止在光滑水平面上，一个子弹以某一初速度沿水平方向射入该木块，最终没有射穿。阻力始终恒定，那么在这个过程中( ) (1)若产生内能10J，则木块动能不可能为( )

A. 4J B. 7J C. 10J D. 12J (2) 若木块获得动能为10J ，则子弹损失的能量可能为 ( ) A. 16J B. 20J C. 22J D. 32J (3)若子弹损失动能为10J ， 则产生内能不可能为 ( ) A. 3J B. 4 J C. 6J D. 9J 子弹打木块核心探秘 一、核心装备： 一质量为M 的木块放在光滑的水平面上，一质量m 的子弹以初速度v 0水平飞来打进木块并留在其中，设子弹与木块之间的相互作用力恒为f 【题问透视1】子弹停在木块中时二者的共同速度： 子弹、木块停在木块中，设相对静止时的速度v 由动量守恒得： mv 0=(M +m )v ∴ v = m M m +v 0 【题问透视2】子弹停打入木块中时间 设子弹在木块内运动的时间为t ，由动量定理得： 以木块为研究对象，对木块 f ·t =Mv -0 或以子弹为研究对象，对子弹 -f ·t =mv - mv 0 ∴ t = () Mmv f M m + 【题问透视3】子弹、木块的位移即子弹打入木块的深度 子弹、木块发生的位移以及子弹打入木块的深度，各个量如图所示 由动能定理得： 对子弹：-f ·s 1=12 mv 2-12 mv 02 M m v 0 M m v 0 s 2 s 1 s 相

子弹打木块模型及其应用

子弹打木块模型及其应 用 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

子弹打木块模型及其应用 江苏省海安县立发中学 杨本泉 迁移能力的培养是物理教学过程中的重要组成部分。在物理习题教学过程中，注重培养学生构建正确的物理模型，掌握基本模型的思维方法并能合理的迁移，可以受到事半功倍的效果。子弹打木块问题是高中物理主干知识：动量与能量相结合应用的重要模型之一。 一、 原型 一质量为M 的木块放在光滑的水平面上，一质量m 的子弹以初速度v 0水平飞来打进木块并留在其中，设相互作用力为f 问题1 子弹、木块相对静止时的速度v 由动量守恒得： mv 0=(M+m)v ∴ 0v m M m v += 问题2 子弹在木块内运动的时间 由动量定理得： 对木块 0-=?Mv t f 或对子弹 0mv mv t f -=?- 1 图

∴ ) (0 m M f Mmv t += 问题3 子弹、木块发生的位移以及子弹打进木块的深度 由动能定理得： 对子弹：20212 121mv mv s f -= ?- 2 2 1) (2)2(m M f v m M Mm s ++=∴ 对木块：222 1 Mv fs = 2 2 22) (2m M f v Mm s +=∴ 打进深度就是相对位移 S 相 ＝S 1－S 2＝) (22 m M f Mmv + 问题4 系统损失的机械能、系统增加的内能 E 损＝) (2)(21212 02 20m M Mmv v m M mv +=+- 由问题3可得： ) (2)(2 021m M Mmv s f s s f Q +=?=-=相 说明： 相互作用力与相对位移（或路程）的乘积等于系统机械能 的减小，这是一个重要关系，通常都可直接运用。 问题5 比较S 1、S 2、S 相的大小关系 2 图

高中物理模型-子弹打木块模型

模型组合讲解——子弹打木块模型 赵胜华 ［模型概述］ 子弹打木块模型：包括一物块在木板上滑动等。Q E s F k N =?=系统相μ，Q 为摩擦在系统中产生的热量；小球在置于光滑水平面上的竖直平面内弧形光滑轨道上滑动；一静一动的同种电荷追碰运动等。 ［模型讲解］ 例. 如图1所示，一个长为L 、质量为M 的长方形木块，静止在光滑水平面上，一个质量为m 的物块（可视为质点），以水平初速度0v 从木块的左端滑向右端，设物块与木块间的动摩擦因数为μ，当物块与木块达到相对静止时，物块仍在长木块上，求系统机械能转化成内能的量Q 。 图1 解析：可先根据动量守恒定律求出m 和M 的共同速度，再根据动能定理或能量守恒求出转化为内能的量Q 。 对物块，滑动摩擦力f F 做负功，由动能定理得： 2022 121)(mv mv s d F t f -= +- 即f F 对物块做负功，使物块动能减少。 对木块，滑动摩擦力f F 对木块做正功，由动能定理得22 1 Mv s F f =，即f F 对木块做正功，使木块动能增加，系统减少的机械能为： ><=-+=--1)(2 1 21212220d F s F s d F Mv mv mv f f f t 本题中mg F f μ=，物块与木块相对静止时，v v t =，则上式可简化为： ><+-=2)(2 121 2 20t v M m mv mgd μ

又以物块、木块为系统，系统在水平方向不受外力，动量守恒，则： ><+=3)(0t v M m mv 联立式<2>、<3>得： ) (220 m M g Mv d +=μ 故系统机械能转化为内能的量为： ) (2)(220 20m M Mmv m M g Mv mg d F Q f +=+?==μμ 点评：系统内一对滑动摩擦力做功之和（净功）为负值，在数值上等于滑动摩擦力与相对位移的乘积，其绝对值等于系统机械能的减少量，即E s F f ?=。 从牛顿运动定律和运动学公式出发，也可以得出同样的结论。由于子弹和木块都在恒力作用下做匀变速运动，位移与平均速度成正比： v v v v v v s d s +=+=+00222/2/)( 所以 d m M m s m m M v v s d +=+==202， 一般情况下m M >>，所以d s <<2，这说明，在子弹射入木块过程中，木块的位移很 小，可以忽略不计。这就为分阶段处理问题提供了依据。象这种运动物体与静止物体相互作用，动量守恒，最后共同运动的类型，全过程动能的损失量可用公式： 2 0) (2v m M Mm E k += ? ［模型要点］ 子弹打木块的两种常见类型： ①木块放在光滑的水平面上，子弹以初速度v 0射击木块。 运动性质：子弹对地在滑动摩擦力作用下做匀减速直线运动；木块在滑动摩擦力作用下做匀加速运动。 图象描述：从子弹击中木块时刻开始，在同一个v —t 坐标中，两者的速度图线如下图中甲（子弹穿出木块）或乙（子弹停留在木块中）

高中物理模型：子弹打木块模型

模型/题型：子弹打木块模型 一．模型概述 子弹射击木块的两种典型情况 1．木块放置在光滑的水平面上 运动性质：子弹对地在滑动摩擦力作用下做匀减速直线运动；木块在滑动摩擦力作用下做匀加速运动。 处理方法：把子弹和木块看成一个系统，①系统水平方向动量守恒；②系统的机械能不守恒；③对木块和子弹分别利用动能定理。 2．木块固定在水平面上 运动性质：子弹对地在滑动摩擦力作用下做匀减速直线运动；木块静止不动。 处理方法：对子弹应用动能定理或牛顿第二定律。 两种类型的共同点： (1)系统内相互作用的两物体间的一对滑动摩擦力做功的总和恒为负值(因为有一部分机械能转化为内能)；系统损失的动能等于系统增加的内能. (2)摩擦生热的条件：必须存在滑动摩擦力和相对滑行的路程，大小为Q ＝F f ·x 相，其中f 是滑动摩擦力的大小，x 是两个物体的相对路程(在一段时间内“子弹”射入“木块”的深度，就是这段时间内两者的相对路程，所以说是一个相对运动问题)。 (3)系统产生的内能，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热(机械能转化为内能)，等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积. (4)当子弹速度很大时，可能射穿木块，这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等，但穿透过程中系统的动量仍守恒，系统损失的动能为ΔE k ＝F f ·L (L 为木块的长度). 二、标准模型 标准模型：一质量为M 的木块放在光滑的水平面上，一质量为m 的子弹以初速度v 0水平打进木块并留在其中，设子弹与木块之间的相互作用力为F f .则： (1)子弹、木块相对静止时的速度是多少？ (2)子弹在木块内运动的时间为多长？ (3)子弹、木块相互作用过程中子弹、木块发生的位移以及子弹打进木块的深度分别是多少？ (4)系统损失的机械能、系统增加的内能分别是多少？ (5)要使子弹不射出木块，木块至少多长？ 答案 (1)m M ＋m v 0 (2)Mm v 0F f (M ＋m ) (3)Mm (M ＋2m )v 022F f (M ＋m )2 Mm 2v 022F f (M ＋m )2 Mm v 022F f (M ＋m ) (4)Mm v 022(M ＋m ) Mm v 022(M ＋m ) (5)Mm v 022F f (M ＋m ) 解析(1)设子弹、木块相对静止时的速度为v ，以子弹初速度的方向为正方向，由动量守恒定律得 mv 0＝(M ＋m )v 解得v ＝m M ＋m v 0 (2)设子弹在木块内运动的时间为t ，由动量定理得 对木块：F f t ＝Mv －0 解得t ＝Mmv 0F f (M ＋m ) (3)设子弹、木块发生的位移分别为x 1、x 2，如图所示，由动能定理得 对子弹：－F f x 1＝12mv 2－12mv 02 解得：x 1＝Mm (M ＋2m )v 022F f (M ＋m ) 2 对木块：F f x 2＝12Mv 2 解得：x 2＝Mm 2v 022F f (M ＋m )2