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线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习

第一章行列式

一、单项选择题

1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).

(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351

2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n (C)

k n 2

! (D)k n n 2)1(

3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.

(A) 0 (B)2 n (C) )!2( n (D) )!1( n

4． 0001001001001

000( ).

(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2

5. 0

001100000100100( ).

(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2

6．在函数1

323211112)(x x x x x f 中3x 项的系数是( ).

(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2

7. 若2

232221

131211 a a a a a a a a a D ，则 32

3133

2221232112

111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 8．若

a a a a a 22

2112

11，则

2212ka a ka a ( ).

(A)ka (B)ka (C)a k 2 (D)a k 2

9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4 , 第3行元的余子式依次为

x ,1,5,2 , 则 x ( ).

(A) 0 (B)3 (C) 3 (D) 2

10. 若5

7341111

326

478

D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)0

11. 若2

23500101111

0403

D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)0

12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组

00321

321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.

( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)0

二、填空题

1. n 2阶排列)12(13)2(24 n n 的逆序数是.

2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.

3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是

4．若一个n 阶行列式中至少有12 n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于

5. 行列式 0

100111010100111.

6．行列式

10000200

0010

n n .

7．行列式

01)1(2211)1(111

n n n n a a a a a a .

8．如果M a a a a a a a a a D 3332

232221

1211

，则 32

3331

2222232112121311

133333 3a a a a a a a a a a a a D .

9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为

10．行列式

111

11111

x x x x .

11．n 阶行列式

111111

12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为

13．设行列式5

678123487654

321

D ，j A 4)4,3,2,1( j 为D 中第四行元的代数余子式，

则

44434241234A A A A .

14．已知d

b c a c

c a b b a b c a c

b a D

， D 中第四列元的代数余子式的和为.

15．设行列式62

211765144334321

D ，j A 4为)4,3,2,1(4 j a j 的代数余子式，则

4241A A ，

4443A A .

16．已知行列式n

n D

0301

0021

12531 ，D 中第一行元的代数余子式的和为

17．齐次线性方程组

0202321

1321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.

18．若齐次线性方程组

230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.

三、计算题

b a d

c a d

c b

d c b a d c b a d c b a

2222; 2．y

x x y x y y x y x ；

3．解方程

11011101110 x x x x ； 4．

11111

32122

1221

221 n n n n a a a a x a a a a x

a a a a x a a a a x

；

5. n

a a a a

11111

11111210(n j a j ,,1,0,1 )； 6. b

n b b

)1(11

11211

131111

7. n a b b b a a b b a a a b

32122

2111111111； 8．x

a a a a x

a a a a x a a a a x n n

21212121;

2122

1212

121111n

n n n

n x x x x x x x x x x x x x x x

; 10.

120000021

000121

00012

11．a

a a a a a a

a a D

11000

110001100

0110001.

四、证明题

1．设1 abcd ，证明：

01111111111112

222

d c c c c b b b b a a a a .

2．3

222

11123

333322

22211

111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a x

b a .

3．))()()()()()((1

1114

2222

d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a

c b a .

4．

j i i j

i i

n n

n n n n n

a a

a a a a a a a a a a a a a 11

2221222

212

)(111

5．设c b a ,,两两不等，证明01

33 c b a c b

a 的充要条件是0 c

b a .

参考答案

一．单项选择题

A D A C C D A

D B B 二．填空题

1.n ;

2.”“ ;

3.43312214a a a a ;

4.0;

5.0;

6.!)1(1n n ;

7.1)1(212

)1()

1(n n n n n a a a ; 8.M 3 ; 9.160 ; 10.4x ; 11.1)( n n ; 12.2 ;

13.0; 14.0; 15.9,12 ; 16.)1

1(!1 n

k k n ; 17.3,2 k ; 18.7 k

三．计算题

1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ； 2. )(233y x ； 3. 1,0,2 x ; 4.

)(n k k

1()1(00

k k n

k k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ;

7. n

k k k

a b

)()

1(; 8. n

k k n

k k a x a x 1

)()(;

9. n

k k x 1

1; 10. 1 n ;

11. )1)(1(42a a a . 四. 证明题 (略)

第二章矩阵

一、单项选择题

1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。 (a)

A (b)

)

)((22B A B A B A (c)

AB A A B A 2)(

(d)T T T B A AB )( 2.设方阵A 、B 、C 满足AB=AC,当A 满足( )时，B=C 。

(a) AB =BA (b) 0 A (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B 、C 可逆 3.若A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则 kA ( )。 (a) A k (b)

A k (c) A k n (d)

A k n

4.设A 为n 阶方阵，且0 A ，则( )。

(a) A 中两行(列)对应元素成比例 (b) A 中任意一行为其它行的线性组合

* n A

A (d) 1

* n A

7. 设A 为3阶方阵,行列式1 A ,*A 为A 的伴随矩阵,则行列式

*12)2(A A ( )。 (a) 827

(b) 278 (c) 827 (d) 27

8. 设A ，B 为n 阶方矩阵,22B A ,则下列各式成立的是( )。

(a) B A (b) B A (c) B A (d) 2

B A 9. 设A ，B 均为n 阶方矩阵,则必有( )。

(a) B A B A (b) BA AB (c) BA AB (d) 2

B A 10.设A 为n 阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（）。（a ）T A A 22 (b) 112)2( A A

11.如果

3332

232221

331332

1231

113332

232221

131211

333a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A ，则 A （）。（a ） 103010001 (b) 100010301 (c) 101010300 (d)

130010001 12.已知

113022131A ，则（）。

（a ）A A T (b) *1A A

（c ） 113202311010100001A （d ）

113202311010100001A

13.设I C B A ,,,为同阶方阵，I 为单位矩阵，若I ABC ，则（）。

（a ）I ACB （b ）I CAB （c ）I CBA （d ）I BAC 14.设A 为n 阶方阵，且0|| A ，则（）。（a ）A 经列初等变换可变为单位阵I

（b ）由BA AX ，可得B X

（c ）当)|(I A 经有限次初等变换变为)|(B I 时，有B A 1

（d ）以上（a ）、（b ）、（c ）都不对 15.设A 为n m 阶矩阵，秩n m r A )(，则（）。

（a ）A 中r 阶子式不全为零（b ）A 中阶数小于r 的子式全为零

（c ）A 经行初等变换可化为

0r I （d ）A 为满秩矩阵 16.设A 为n m 矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，AC B ，则( )。 (a)秩(A )> 秩(B ) (b) 秩(A )= 秩(B )

(a)有一个等于零 (b)都为n (c)都小于n (d)一个小于n ，一个等于n

18.n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是( )。

(a)n r A r )( (b) A 的列秩为n

(d)对任何n 维非零向量X ，均有0 AX

二、填空题

1.设A 为n 阶方阵,I 为n 阶单位阵,且I A 2,则行列式 A _______

2.行列式 0

c b c a b

_______

3.设2

100020101A ，则行列式)9()3(21I A I A 的值为_______

4.设

212

32321A ，且已知I A 6，则行列式 11A _______ 5.设A 为5阶方阵，*A 是其伴随矩阵，且3 A ，则 *A _______ 6.设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵*A 的秩为_______

7.非零矩阵

n n n n n n b a b a b a b a b a b

a b a b a b a

212221

212111的秩为________ 8.设A 为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量X ，均有0 AX ，则A 的秩

为_______

9.若)(ij a A 为15阶矩阵，则A A T 的第4行第8列的元素是_______

10.若方阵A

与I 4相似，则 A _______ 11.

K K K K

K K 3111221

lim _______ 12.

n 410013

212

lim _______ 三、计算题

1.解下列矩阵方程(X 为未知矩阵).

1) 223221103212102X ； 2) 0101320100211100110X

； 3) 1()T T X I B C B I ,其中310404422B ； 101212121C

； 4) 2AX A X I ,其中101020101A

；

5) 2AX A X ,其中423110123A

；

2.设A 为n 阶对称阵,且20A ,求A .

3.已知110021101A

,求21(2)(4)A I A I .

4.设11201A ,23423A ,30000A ,41201A

,求1234A A A A

5.设112224336A

,求一秩为2的方阵B ,使0AB .

6.设211011101,121110110A B

,求非奇异矩阵C ,使T A C BC .

7.求非奇异矩阵P ,使1P AP 为对角阵.

1) 2112A 2) 112131201A

8.已知三阶方阵A 的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为

(0,0,1),(1,1,0),(2,1,1)T T T ,求矩阵A . 9.设532644445A

,求100

A .

四、证明题

1. 设A 、B 均为n 阶非奇异阵,求证AB 可逆.

2. 设0k A (k 为整数), 求证I A 可逆.

3.设12.,,k a a a L 为实数,且如果0k a ,如果方阵A 满足

1110k k k k A a A a A a I L ,求证A 是非奇异阵.

4. 设n 阶方阵A 与B 中有一个是非奇异的,求证矩阵AB 相似于BA .

5. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.

6. 证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.

7.证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.

8. 证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵.

9.证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1.

10.证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。

第二章参考答案

一：1. a ；2. b ；3.c ；4.d ；5.b ；6.d ；7.a ；8.d ；9.c ；10.d ；11.b ；12.c ；13.b ；14.a ；15.a ；16.b ；17.c ；18.b ；19.d.

二．1. 1或-1；2. 0；3. -4；4. 1；5. 81；6. 0；7. 1；8. 100；9. i815

1i i4a a ；

10. I ；12. 0；11.

0020.

三、1.1）、

0162

130

10；2）、

132121

；3）、 461351341；4）、

201030102； 5）、 9122692683. 2. 0；3. 010131130

；4.

10002100121001

21； 5. 001111113不唯一；6. 100001010；7. 1）、

1111. 2)、 221112311；

8. 111001023

；9.

13231213213232244322133221223100100100100100100100100100100100100100）（）（）（）（）（）（）（.

第三章向量

一、单项选择题

1. 321,, ， 21, 都是四维列向量，且四阶行列式

m 1321 ,n 2321 ,则行列式

)(

21321

n m a )( n m b )( n m c )( n m d )(

2. 设A 为n 阶方阵，且0 A ,则（）。

成比例中两行（列）对应元素A a )( 线性组合中任意一行为其它行的A )b ( 零中至少有一行元素全为A c )( 线性组合中必有一行为其它行的A )d (

3. 设A 为n 阶方阵，n r A r )(，则在A 的n 个行向量中（）。

个行向量线性无关必有r a )( 个行向量线性无关任意r )b (

性无关组个行向量都构成极大线任意r c )(

个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r )d (

4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是（）

n r A r a )()( n A b 的列秩为)(

零向量的每一个行向量都是非）（A c 的伴随矩阵存在）（A d

5. n 维向量组s ,,,21 线性无关的充分条件是( )

)(a s ,,,21 都不是零向量

)(b s ,,,21 中任一向量均不能由其它向量线性表示 )(c s ,,,21 中任意两个向量都不成比例 )(d s ,,,21 中有一个部分组线性无关

6. n 维向量组)2(,,,21 s s 线性相关的充要条件是( )

)(a s ,,,21 中至少有一个零向量 s b ,,,)(21 中至少有两个向量成比例 s c ,,,)(21 中任意两个向量不成比例

s d ,,,)(21 中至少有一向量可由其它向量线性表示

7. n 维向量组)3(,,,21n s s 线性无关的充要条件是( )

s k k k a ,,,)(21 存在一组不全为零的数使得02211 s s k k k s b ,,,)(21 中任意两个向量都线性无关

s c ,,,)(21 中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示 s d ,,,)(21 中任一部分组线性无关

8. 设向量组s ,,,21 的秩为r ,则( )

s a ,,,)(21 中至少有一个由r 个向量组成的部分组线性无关 s b ,,,)(21 中存在由1 r 个向量组成的部分组线性无关 s c ,,,)(21 中由r 个向量组成的部分组都线性无关 s d ,,,)(21 中个数小于r 的任意部分组都线性无关

9. 设s ,,,21 均为n 维向量,那么下列结论正确的是( )

)(a 若02211 s s k k k ,则s ,,,21 线性相关 )(b 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211 s s k k k ,则s ,,,21 线性无关

)(c 若s ,,,21 线性相关,则对任意不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211 s s k k k

)(d 若000021 s ,则s ,,,21 线性无关

10. 已知向量组4321,,, 线性无关，则向量组（）

14433221,,,)( a 线性无关 14433221,,,)( b 线性无关 14433221,,,)( c 线性无关 14433221,,,)( d 线性无关

11. 若向量可被向量组s ,,,21 线性表示，则（）

)(a 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k 2211

)(b 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k 2211 )(c 存在一组数s k k k ,,,21 使得s s k k k 2211 )(d 对的表达式唯一

12. 下列说法正确的是（）

)(a 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211 s s k k k ，则

s ,,,21 线性无关

)(b 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211 s s k k k ，则

s ,,,21 线性无关

)(c 若s ,,,21 线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示 )(d 任何1 n 个n 维向量必线性相关

13. 设是向量组T )0,0,1(1 ，T )0,1,0(2 的线性组合，则 =（）

T a )0,3,0)(( T b )1,0,2)(( T c )1,0,0)(( T d )1,2,0)((

14. 设有向量组 T

4,2,1,11 ， T

2,1,3,02 ，

T 14,7,0,33 ， T

0,2,2,14 ， T 10,5,1,25 ，则该

向量组的极大线性无关组为（）

321,,)( a 421,,)( b 521,,)( c 5421,,,)( d

15. 设T a a a ),,(321 ，T b b b ),,(321 ，T a a ),(211 ，T b b ),(211 ，下列正确的是（）

;

,,)(11也线性相关线性相关，则若 a

也线性无关；线性无关，则若11,,)( b 也线性相关；线性相关，则若 ,,)(11c

以上都不对)(d

二、填空题

1. 若T )1,1,1(1 ，T )3,2,1(2 ，T t ),3,1(3 线性相关，则t=▁▁▁▁。

2. n 维零向量一定线性▁▁▁▁关。

3. 向量线性无关的充要条件是▁▁▁▁。

4. 若321,, 线性相关，则s ,,,21 )3( s 线性▁▁▁▁关。

5. n 维单位向量组一定线性▁▁▁▁。

6. 设向量组s ,,,21 的秩为r,则 s ,,,21 中任意r 个▁▁▁▁的向量都是它的极大线性无关组。

7. 设向量T )1,0,1(1 与T a ),1,1(2 正交，则 a ▁▁▁▁。 8. 正交向量组一定线性▁▁▁▁。

9. 若向量组s ,,,21 与t ,,,21 等价，则s ,,,21 的秩与

t ,,,21 的秩▁▁▁▁。

10. 若向量组s ,,,21 可由向量组t ,,,21 线性表示，则

),,,(21s r ▁▁▁▁),,,(21t r 。

11. 向量组 T

a 0,0,1,11 ， T

a 0,1,1,22 ， T

a 1,1,1,33 的

线性关系是▁▁▁▁。

12. 设n 阶方阵 ,,,,21n A 321 ,则 A ▁▁▁▁. 13. 设T y )2

1,,

0(1

，T x )0,0,(2 ，若和是标准正交向量，则x

线性代数(李建平)习题答案详解__复旦大学出版社

线性代数课后习题答案习题一 1.2.3（答案略） 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= （奇数） ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ （正号）（2）∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- （负号） 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- （2）()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- （3）原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8（答案略） 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- （2）按第一列展开： 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L

线性代数期末考试试题

《线性代数》重点题一．单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα

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线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题 5 分，共 25 分） 1 3 1 1.若0 5 x 0 ，则__________。 1 2 2 x1 x2 x3 0 2．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。 x1x2x30 3．已知矩阵 A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。 4．已知矩阵A 为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。 5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。二、选择题（每小题 5 分，共 25 分） 6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（） A. 4 0 B. 4 4 C. 0 t 4 4 1 t 5 t D. t 2 5 5 5 5 1 4 2 1 2 3 7．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（） 0 4 3 0 0 5 A.3 B.-2 C.5 D.-5 8 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（） A. A0 B. A 1 0 C.r (A) n D.A 的行向量组线性相关 9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（） 1

x y 2 z 4 A. 3 1 2 x y 2 z 4 C. 3 1 2 x y 2 z 4 B. 3 2 2 x y 2 z 4 D. 3 2 2 10 3 1 ．已知矩阵 A , 其特征值为（） 5 1 A. 1 2, 2 4 B. C. 1 2, 2 4 D. 三、解答题（每小题 10 分，共 50 分） 1 1 2, 2, 2 2 4 4 1 1 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 0 1 1 0 11.设B , C 0 2 1 且矩阵满足关系式 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 T X (C B) E ，求。 a 1 1 2 2 12. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？ 1 1 1 , 2 a , 3 。 2 1 2 1 a 2 2 x 1 x 2 x 3 3 13. 为何值时，线性方程组 x 1 x 2 x 3 2 有唯一解，无解和有无穷多解？当方 x 1 x 2 x 3 2 程组有无穷多解时求其通解。 1 2 1 3 14.设 1 4 , 2 9 , 3 0 , 4 10 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7 组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 15. 证明：若 A 是 n 阶方阵，且 AA A1，证明 A I 0 。其中 I 为单位矩阵 I ， 2

北大版线性代数第一章部分课后答案详解

习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值：（1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ；解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --

线性代数期末考试试卷答案合集

线性代数期末考试试卷答案合集文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆，则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。

线性代数期末考试试卷答案合集

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。二、判断正误（正确的在括号填“√”，错误的在括号填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ￡ s ￡ n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示

《线性代数》模拟试卷B及答案

《线性代数》模拟试卷B 及答案一、选择题（每小题3分，共30分）（1）若A 为4阶矩阵，则3A =（） (A) 4A (B) 43A (C) 34A (D)3A （2）设A ，B 为n 阶方阵，0A ≠且0AB =，则（） (A)0B = (B)0BA = (C)222()A B A B +=+ (D)00A B ==或（3）A ，B ，C 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（） (A) AB BA = (B)0,00A B AB ≠≠≠则 (C) AB A B = (D) ,AB AC B C ==若则（4）222()2A B A AB B +=++成立的充要条件是（） (A)AB BA = (B) A E = (C)B E = (D)A B = （5）线性方程组(1)22(1)k x y a x k y b -+=??+-=?有唯一解，则k 为（） (A)任意实数 (B) 不等于 (C) 等于 (D) 不等于0 （6）若A 为可逆阵，则1()A *-=（） (A)A A (B)A A * (C)1 A A - (D)1 A A -* （7）含有4个未知数的齐次方程组0AX =，如果()1R A =，则它的每个基础解系中解向量的个数为（） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

（8）设A 为m n ?矩阵，齐次方程组0AX =仅有零解的充要条件是A 的（） (A) 列向量线性无关 (B) 列向量线性相关 (C) 行向量线性无关 (D) 行向量线性相关（9）已知矩阵A=3111?? ?-?? ,下列向量是A 的特征向量的是（） (A)10?? ??? (B)12?? ??? (C)12-?? ??? (D) 11-?? ??? （10）二次型222123123121323(,,)44224f x x x x x x x x x x x x λ=+++-+为正定二次型，则λ 的取值范围是（） (A)21λ-<< (B)12λ<< (C)32λ-<<- (D)2λ> 二、计算题（第1、2小题每题5分，第3、4小题每题10分，共30分） 1、计算行列式 4x a a a a x a a D a a x a a a a x = 。（5分） 2、设321A=315323?? ? ? ??? ，求A 的逆-1A 。（5分）

线性代数课后习题答案全)习题详解

线性代数课后习题答案全)习题详解第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---；（2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ；（4）y x y x x y x y y x y x +++. 解（1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.

同济大学线性代数第五版课后习题答案

第一章行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a

解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1

解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6

线性代数课后习题答案

线性代数课后题详解第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：相信自己加油（1） 3811411 02 ---；（2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ；（4） y x y x x y x y y x y x +++. 解注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式：多练习方能成大财（1）?? ??????? ???711 00251020214214；（2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12；（3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）?? ??? ???????---d c b a 100 110011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---

同济大学线性代数第五版课后习题答案

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a

bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1

(4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)

线性代数模拟试题(4套)

模拟试题一一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分） 1、若B A ,为n 阶方阵，则B A B A +=+.……………………() 2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆.……………………………() 3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…() 4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………() 5、设A 是n 阶方阵，且0=A ，则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合1、23456. 7、(R 8、若9、设10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为. 三、计算：(每小题8分，共16分) 1、已知4阶行列式1 6 11221212 112401---= D ，求4131211132A A A A +-+.

2、设矩阵A 和B 满足B A E AB +=+2，其中??? ? ? ??=101020101A ，求矩阵B . 四、(10分)求齐次线性方程组???????=++-=-++=--+-=++-024********* 432143214 3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解. 五、(10分)设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为 2六、(10（1（2（3（41. 2、（单（1）做矩阵53?A 表示2011年工厂i a 产矿石j b 的数量)5,4,3,2,1;3,2,1(==j i ；

（2）通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值. 模拟试题二一、判断题（正确的打√，不正确的打?）（每小题2分，共10分）（）1、设,A B 为n 阶方阵，则A B A B +=+；（）2、可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E ；（）3、设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零；（）4、若12,x x ξξ==是非齐次线性方程组Ax b =的解，则12x ξξ=+也是该方程组的解. （）5、n 阶对称矩阵一定有n 个线性无关的特征向量。 123、设4、(33α5一； 67、设向量(1,2,1)T α=--，β=()T 2,,2λ-正交，则λ=； 8、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为。三、计算题（每小题8分，共16分） 1、设矩阵??? ? ??=???? ??--=1201,1141B A ，求矩阵AB 和BA 。

大学线性代数模拟题

第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分) 1、若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。(知识点：行列式的逆序数) 2、若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D -。 3、设1101A ??= ? ?? , 则100A =110001?? ???。 23111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A = 1 5n +。由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。答案应该为5的n 次方 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+

线性代数课后习题答案分析

线性代数模拟试卷一

2018—2019学年第二学期期末考试课程名称：线性代数(模拟试卷一) 闭卷 A 卷 120分钟一、选择填空题：（每题2 分，共14分） 1）行列式3 15 4 12231---中，元素4的代数余子式为。 2）设行列式11 121321222331 32 33 3a a a a a a a a a =，则313233 2131 2232 233311 12 13 222222222222a a a a a a a a a a a a +++= 。 3）设112311131111A --?? ??=--????--?? ，则A 的秩()r A = 。 4）设向量组 123,,ααα线性无关，则当t =_____ 时，向量组21α-α，32t α-α，13α+α 线性相关。 5）线性方程组121232 343414 1 x x a x x a x x a x x a -=-??-=??-=??-=?有解的充要条件是。 6）若A 的特征值为1,0,2-，则2 A 的特征值为。 7) 已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系，12,k k 是任意常数，则方程组Ax b =的通解为。二）计算下列行列式（10分） 1110110110110111 ；

三）（12分）设矩阵A 和B 满足关系式2AB A B =+，且已知301110014A ????=?????? ，求矩阵B 。四）已知向量组[ ]1132 0α=，[]270143α=，[]32101α=-， []45162α=，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将剩余向量用该最大无关组线性表示。（12分）五）设有线性方程组12312312336 32334x x x x x x x x ax b ++=?? ++=-??-++=? ，问a b 、为何值时，方程组①有唯一解？② 无解？③有无穷多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示）。（12分）六）（14分） 1、求一正交变换X PY =，将二次型222 123121233322(,,)f x x x x x x x x =+-+化为标准形。（线性代数A 的同学选做） 2）已知矩阵310130002A -?? ??=-?????? 求一正交矩阵p ，使得T P AP 为对角矩阵。（线性代数 B 的同学选做）七）设向量组123120347110 ,,,011234b a αααβ???????? ? ? ? ? ? ? ? ?==== ? ? ? ?- ? ? ? ????????? 。 (1) 当,a b 取何值时，β不能由123,,ααα线性表示？ (2) 当,a b 取何值时，β可由123,,ααα线性表示？并写出此表示式。（12分）八）若矩阵0102040a A b ?? ? = ? ??? 有三个线性无关的特征向量，问a 与b 应满足什么条件？（10 分）九）已知A 为降秩矩阵，证明：矩阵A 至少有一个特征值为零。（4分）

线性代数期末考试试卷答案

枣庄学院线性代数期末考试题样卷一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（） 4. ????? ???? ???=01 00 10000001 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

线性代数课后习题答案(陈维新)

第一章行列式习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。综上所述，我们有)3(Q 是数域。（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。（反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。所以有0=a 或0=b 。如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。

线性代数期末考试试卷+答案合集(20200412011417)

大学生校园网—https://www.wendangku.net/doc/ed8010637.html,线性代数综合测试题 ×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 131 1.若0 05x，则__________。 122 x 1 x 2 x 3 2．若齐次线性方程组x 1 x 2 x 3 0只有零解，则应满足。 x 1 x 2 x 3 3．已知矩阵A，B，C(c ij)sn，满足ACCB，则A与B分别是阶矩阵。 a 11 a 1 2 4．矩阵A aa的行向量组线性。 2122 a 31 a 3 2 2AE 5．n阶方阵A满足30 A，则 1 A。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1.若行列式D中每个元素都大于零，则D0。（） 2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3.向量组a1，a2，，a中，如果a1与a m对应的分量成比例，则向量组a1，a2，，a s线性相关。 m （） 0100 4. 1000 1。（）A，则AA 0001 0010 5.若为可逆矩阵A的特征值，则 1 A的特征值为。() 三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1.设A为n阶矩阵，且A2，则 T AA（）。 ① n 2② 2n③2n1④4 1 2.n维向量组1（3sn）线性无关的充要条件是（）。 s ，2，， ① 1，2，中任意两个向量都线性无关，

②1，2，，s中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③1，2，，s中任一个向量都不能用其余向量线性表示共3页第1页

大学生校园网—https://www.wendangku.net/doc/ed8010637.html,线性代数综合测试题 ④1，2，，s中不含零向量 2.下列命题中正确的是()。 ①任意n个n1维向量线性相关 ②任意n个n1维向量线性无关 ③任意n1个n维向量线性相关 ④任意n1个n维向量线性无关 3.设A，B均为n阶方阵，下面结论正确的是()。 ①若A，B均可逆，则AB可逆②若A，B均可逆，则AB可逆 ③若AB可逆，则AB可逆④若AB可逆，则A，B均可逆 4.若1，，，是线性方程组A0的基础解系，则1234是A0的（） 234 ①解向量②基础解系③通解④A的行向量四、计算题(每小题9分，共63分) xabcd 6.计算行列式a xbcd abxcd 。abcxd 解· xabcdxabcdbcd axbcdxabcdxbcd abxcdxabcdbxcd abcxdxabcdbcxd 1bcd1bcd 1xbcd0x00 3 (x abcd)(x abcd)(xabcd)x 1bxcd00x0 1bcxd000x 301 7.设ABA2B，且A,求B。 110 014 211522 解.(A2E)BA ( 1 A2E)221，B(A2E) 1A 432 111223

工程数学线性代数第五版答案

线性代数重点第一章行列式 8. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式): (1)a a D n 1 1???=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0; 解 a a a a a D n 0 1 0 000 00 00 0 00 10 00? ????????????????????????????????=(按第n 行展开) ) 1()1(1 0 000 0 0 00 0 001 0 000)1(-?-+??????????????????????????????-=n n n a a a )1()1(2 )1(-?-????-+n n n a a a n n n n n a a a +? ??-?-=--+) 2)(2(1 )1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1). (2)x a a a x a a a x D n ????????????? ????????= ; 解将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得

a x x a a x x a a x x a a a a x D n --??????????????????--???--???=000 0 00 0 , 再将各列都加到第一列上, 得 a x a x a x a a a a n x D n -??????????????????-???-???-+=0000 0 000 0 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1. (3)1 1 1 1 )( )1()( )1(1 1 11???-? ????????-? ?????-???--???-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ; 解根据第6题结果, 有 n n n n n n n n n n a a a n a a a n a a a D )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1-???--?????????-? ?????-???-???-=---++ 此行列式为范德蒙德行列式. ∏≥>≥++++--+--=1 12 )1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D ∏≥>≥++---=112 )1()]([)1(j i n n n j i ∏≥>≥++???+-++-? -?-=1 12 1 )1(2 )1()()1()1(j i n n n n n j i ∏≥>≥+-= 1 1)(j i n j i .

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