关于余割函数不定积分多种形式的统一

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关于余割函数不定积分多种形式的统一

作者：周传斌

来源：《亚太教育》2015年第04期

摘要：不定积分是高等数学的核心知识，任何一个函数的不定积分形式并不统一，但本质是相同的。余割函数是一类非常重要的函数，理解透彻余割函数的不定积分是学好高等数学的关键。

关键词：不定积分;统一;余割函数

中图分类号：O178文献标志码：A文章编号：2095-9214（2015）02-0117-01

一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一族函数，称为原函数族。函数的不定积分形式并不唯一，只要通过逆向求导能得到被积函数就是正确的。

一、余割函数的定义

余割函数是正弦函数的倒数，f（x）=1sinx=cscx，下图是余割函数的图像：

二、第一类换元积分法（凑微分）

定理：设函数f（t）存在原函数F（t），t=α（x）可导，则有公式

∫f[ α（x）]·α′（x）dx=∫f（t）dt=F [α（x）]+C，

此公式称为不定积分的第一换元积分公式，其又称为“凑微分法”。

三、余割函数通过凑微分法呈现出多种形式的不定积分

（1）∫cscx dx=∫1sinxdx=∫sin2x2+cos2x22sinx2cosx2 ;dx

=∫（sinx22cosx2+cosx22sinx2）dx

=∫（sinx2cosx2+cosx2sinx2）dx2

=∫sinx2cosx2dx2+∫cosx2sinx2 dx2

=-∫1cosx2dcosx2+∫1sinx2

dsinx2