【数学】高中数学精彩结论汇总(后改)1
高中数学精彩结论汇总
——高考临近，最后给你提个醒
熟悉解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，总结解题方法，防止解题易误点的产生，对提升高考数学成绩将会起到立竿见影的效果。
一、集合与常用逻辑用语：
（一）集合：（必修1 第一章）
1.集合的元素具有确定性、无序性和互异性.
2.对集合A B 、，A B =? 时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；求集合的子集时是否注意到?是任何集合的子集、?是任何非空集合的真子集.
例如：
()()012222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论a ＝2的情况了吗？
3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为
，n 2，12-n ，12-n .22-n
如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有多少个? 4. （1）A B A B A A B B ??=??= （2）()U U U C A B C A C B = ”；（3）
()U U U C A B C A C B = ”.
5．研究集合,首先必须弄清集合的代表元素,才能理解集合的意义。即弄清是点集还是数集（是方程的解集还是不等式的解集、是定义域还是值域）。 已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；
与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2+1,x ∈R}，求M ∩N 。 你能区别吗？
（二）常用逻辑用语：（2-1 第一章）
6.判断命题的真假
关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”. 7.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”.
p 、q 形式命题的复合命题的真值表: p q P 且q P 或q 非ｐ
真 真
真 假
假 真
假 假
8.四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’也”. 原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价. 反证法分为三步：假设、推矛、得果.
注意区别：命题的否定、否命题与含有量词的命题的否定。
（1） 命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，
（2） 否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题”
（3） 含有量词的命题的否定
①M M ?∈??∈?全称命题p：x ，p（x），它的否定p：x ，p（x）
②M q x M ?∈??∈?特称命题q：x ，（），它的否定q：x ，q（x）
9．命题的四种形式及其相互关系：
互 逆
互 互
互 为
互 否 逆 逆
否 否
否
否
否
互 逆
10.充要条件：判断充要条件时，首先应分清楚条件、结论；并注意采取适当的判断方法。
二、函数与基本初等函数：（必修1 第二、三章）
1.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合A 中的元素必有像，但第二个集合B 中的元素不一定有原像（A 中元素的像有且仅有一个，但B 中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集B 的子集”.
(2)函数图像与x 轴垂线至多一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可任意个. (3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像. (4)原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数的反函数，分三步：逆解、交换、定域（确定原函数的值域，并作为反函数的定义域）.
注意：①1()()f a b f b a -=?=，1[()]f f x x -=，1[()]f f x x -=，
但1
1[()][()]f f
x f f x --≠.
②函数(1)y f x =+的反函数是1()1y f x -=-，而不是1(1)y f x -=+.
2．求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算可以实施为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解，其准则一般是： （1）分式中，分母不为零；
（2）偶次方根中，被开放数非负；
（3）对于y=x 0
,要求x ≠0 ；
（4）对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1；
（5）由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束。 （6）抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系。 3.求值域的方法有： （1）观察法；（2）配方法；（3）反解法； （4）判别式法；（5）利用函数的单调性；（6）利用函数的有界性；（7）图像法； （8）换元法（代数换元法、三角换元法）；（9）利用基本不等式； （10）利用a b a b a b -≤±≤+；（11）分离常数法；（12）导数法。
4.（1）分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的，处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段，从而选相应的关系式。分段函数的定义域是各段区间的并集，各个段上的定义域交集为空集，即各个段的端点处不能重复。 （2）复合函数化单函数的常见方法有：
①配凑法；②换元法；③待定系数法；④消去法（取相反数、取倒数）；⑤特殊值法。
5.单调性和奇偶性
(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.
原命题
若p 则q
逆命题 若q 则p
否命题 若﹃ｐ则﹃q 逆否命题 若﹃ｑ则﹃ｐ
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. 注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.
确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等.
对于偶函数而言有：()()(||)f x f x f x -==. （2）若奇函数定义域中有0，则必有(0)0f =.
即0()f x ∈的定义域时，(0)0f =是()f x 为奇函数的必要非充分条件.
（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；
在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等.
（4）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”.
（5）复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”.
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 复合函数要考虑定义域的变化。（即复合有意义） 6.对称性与周期性（以下结论要消化吸收，不可强记）
(1)函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于直线0=x （y 轴）对称. 推广：如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f --=+
或f （2a-x ）= —f （x ），那么函数()x f y =的图象关于点（a,0）对称.
(2)函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于直线0=y （x 轴）对称. 推广：如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+
或f （2a-x ）=f （x ），那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.
(3)函数()x f y =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点中心对称.
推广：函数()x f y =与函数()y m f n x =--的图像关于点(,)22
n m 中心对称. (4)函数()x f y =与函数()1
y f
x -=的图像关于直线y x =对称.
(5)类比“三角函数图像”得：
①若()y f x =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，
且一周期为2||T a b =-.
②若()y f x =图像有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数，且一周期为2||T a b =-.
③如果函数()y f x =的图像有下一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠， 则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-.
④如果()y f x =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么()()()f x nT f x n ±=∈Z . 特别：若()()(0)f x a f x a +=-≠恒成立，则2T a =.
若1
()(0)()f x a a f x +=
≠恒成立，则2T a =. 若1
()(0)()
f x a a f x +=-≠恒成立，则2T a =.
7.图像变换
(1)函数图像的平移和伸缩变换应注意哪些问题？
①函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数
()a x f y +=()0( a 个单位得到的； ② 函数 ()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿 x 轴伸缩为原来的a 1 得到的；函数 ()x af y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到的. ③函数()y f x =的图像按向量(,)a k h = 平移后，得函数()y h f x k -=-的图像. (2)函数图像的平移、伸缩变换中，图像的特殊点、特殊线也作相应的变换. (3)图像变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、对数 函数、指数函数、三角函数、“对钩函数 ()0k y x k x =+>”及函数 ()0k y x k x =+<等）相互转化. （ 你知道函数()0>+ =a x a x y 的单调区间吗？（该函数在(]a -∞-,和[)+∞,a 上单调递增；在 [)0 ,a - 和(]a ,0上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！ 若a<0呢？） 注意：①形如2y ax bx c =++的函数，不一定是二次函数. ②应特别重视“二次三项式”、“二次方程”、“二次函数”、“二次曲线”之间的特别联系. ③形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是等轴双曲线，双曲线两渐近线分别直线d x c =-(由分母为零 确定)、直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，双曲线的中心是点(,)d a c c -. 8.(1)指数函数y=x a （a ＞0且a ≠1）和对数函数y=log a x （a ＞0且a ≠1）互为反函数，其图象 和性质都受a 的影响，要分a ＞1于0＜a ＜1来研究，研究时还要注意对数函数的定义域。 （2）作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性只要作出幂函数在第一象限内 的图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象。 9.必记性质与公式： （1）有理指数幂的运算性质： ①r s r s a a a +=（a ＞0,r,s ∈Q ）; ②()r s rs a a =（a ＞0,r,s ∈Q ）; ③()r r r ab a b =（a ＞0, b ＞0,r ∈Q ）. (2)对数：①对数的性质：log 10a =； log 1a a =； ②对数的运算性质：如果a ＞0且a ≠1,M ＞0,N ＞0,那么 log ()log log a a a MN M N =+; log ( )log log a a a M M N N =- log log n a a M n M = ③对数恒等式：log a N a N = （a ＞0且a ≠1,N ＞0）； ④换底公式：log log log a b a N N b =（a ＞0且a ≠1, b ＞0且b ≠1,N ＞0）. 三、三角函数、三角恒等变换与解斜三角形：（必修4 第一、三章，必修5 第一章） 1.α与2 α的终边关系由“两等分各象限、一二三四”确定. 2.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：2 11||22 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈ . 3.三角函数符号特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正. 注意：6262sin15cos75,sin 75cos1544 -+?=?= ?=?=， tan15cot7523,tan75cot1523==-==+ ，51sin184 -?= . 4.三角函数线的特征是：正弦线“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线“站在点(1,0)A 处(起点是A )”.务必重视“三角函数值的大小与单位圆上相应点的坐标之间的关系，‘正弦’?‘纵坐标’、‘余弦’?‘横坐标’、‘正切’?‘纵坐标除以横坐标之商’”；务必记住：单位圆中角终边的变化与sin cos αα±值的大小变化的关系.α为锐角?sin tan ααα<<. 5.三 角函数同角关 系中， 平方关系 的运用中，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定角的范围，并进行定号”； 6.三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限. ：奇偶即看πn 中的n 是 2 π 的奇数倍还是偶数倍，奇数倍后面三角函数名变，偶不变则三角函数名不变；符号看象限：即把α看成锐角，加上2 π n 终边落在第几象限则是第几象限角的符号。 7.三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数(常值)的变换，其核心是“角的变换”! 角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+， 2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+-- 22 αβ αβ++=? ， ( )() 2 2 2αβ β ααβ+=- -- 等. 常值变换主要指“1”的变换： 22221sin cos sec tan tan cot tan sin cos042 x x x x x x ππ=+=-=?==== 等. 三角式变换主要有：三角函数名互化(切化弦)、三角函数次数的降升(降次、升次)、运算结构的 转化(和式与积式的互化). 解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角、看函数、看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次. 注意：和(差)角的函数结构与符号特征；余弦倍角公式的三种形式选用；降次(升次)公式中的 符号特征.“正余弦‘三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、 ’的内存联系”(常和三角换元法联系在一起sin α02211-02222-22-cos α02211-02222-22 -tan α+∞11-0-∞0+∞11--∞sin cos αα+0211-12-1-0sin cos αα-0211-12-1-0 sin cos t x x =±[2,2],sin cos x x ∈-= ). 辅助角公式中辅助角的确定：()22sin cos sin a x b x a b x θ+=++(其中θ角所在的象限由 a , b 的符号确定，θ角的值由tan b a θ= 确定)在求最值、化简时起着重要作用.尤其是两者系数绝对值之比为13或的情形.sin cos A x B x C +=有实数解222 A B C ?+≥. 8.三角函数性质、图像及其变换：正弦函数图象的变换： (1)三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性 注意：正切函数、余切函数的定义域；绝对值对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变；其他不定. 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但 sin cos y x x =+x x y cos sin +=的周期为2 π ， y=|tan x |的周期不变。 （2）三角函数的图象和性质 定义域 R R 值 域 R 周期性 奇偶性 对称性 奇函数，图象关于 坐标原点对称 偶函数，图象关于 轴对称 奇函数，图象关于 坐标原点对称 单调性 在区间 上单调递增； 在区间 上单调递减。 在区间 上单调递增； 在区间 上单调递减。 在区间 上单调递增。 （3）正弦函数图象的变换： ()()αωαωω+=???→?+=???→?=???→?=x A y x y x y x y sin sin sin sin 振幅变换平移变换 横伸缩变换 (4)三角函数图像及其几何性质： 三角函数图象几何性质x O y x =x 1 x =x 2 x 4 邻中心|x 3-x 4|= T /2 邻渐近线|x 1-x 2|=T y =A tan(ωx +φ)x 3 tan()y A x ω?=+ (5)三角函数图像的作法：三角函数线法、五点法(五点横坐标成等差数列)和变换法. 9.三角形中的三角函数： 内角和定理：三角形三角和为π，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方. 10. 必记公式： （1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式： Sin(α±β)=sni αcos β±cos αsni β; cos(α±β)=cos αcos β sin αsni β; tan(α±β)= tan tan 1tan tan αβ αβ ± . （2）二倍角的正弦、余弦、正切公式： Sin2α=2sni αcos α； cos2α= 2 2 cos sin αα-=2 2cos 1α-=2 12sin α- tan2α= 22tan 1tan α α -. （3）升降幂公式： 2 1cos sin 22α α-= ； 21c o s c o s 22 αα+=。 (4)正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===(R 为三角形外接圆的半径). 注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解. (5)余弦定理：222222 2 2 ()2cos ,cos 122b c a b c a a b c bc A A bc bc +-+-=+-= =-. (6)三角形面积公式：11sin 224a abc S ah ab C R ===. 四、向 量：（必修4 第二章） 1.向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征. 2.几个概念：零向量、单位向量(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ± ，特别：()()A B A C A B A C A B A C A B A C +⊥- )、平行(共线)向量(无传递性，是因为有0 )、 相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a 在 b 上的投影是cos ,a b a a b b ?=<>=∈R ). 3.两非零向量平行(共线)的充要条件： //a b a b λ?= 22 ()(||||)a b a b ??= 12210x y x y ?-=. 三角函数图象几何性质 x O y x =x 1 x =x 2 x 4 邻中心|x 3-x 4|=T /2 邻轴|x 1-x 2|=T /2 无穷对称中心: 由y =0确定 无穷对称轴: 由y =A 或-A 确定 y =A sin(ωx +φ)x 34 T 邻中心轴相距 sin() y A x ω?=+ 两个非零向量垂直的充要条件： 0||||a b a b a b a b ⊥??=?+=- 12120x x y y ?+=. 特别：零向量和任何向量共线. b a λ=是向量平行的充分不必要条件! 4.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一 向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2. 5.三点A B C 、、共线? AB AC 、共线； 向量 PA PB PC 、、中三终点A B C 、、共线?存在实数αβ、使得：PA PB PC αβ=+ 且1αβ+=. 6.向量的数量积：22||()a a a a ==? ，1212||||cos a b a b x x y y θ?==+ ， 12122222 1122 cos ||||x x y y a b a b x y x y θ+?==++ ， 121222 22 ||cos ,||x x y y a b a b a a b b x y +?=<>== + 在上的投影. 注意：,a b <> 为锐角?0a b ?> 且 a b 、不同向； ,a b <> 为直角?0a b ?= 且 0a b ≠ 、； ,a b <> 为钝角?0a b ?< 且 a b 、 不反向 0a b ?< 是,a b <> 为钝角的必要非充分条件. 向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，这是题目中的天然条件，要注意运用；对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量；向量的“乘法”不满足结合律，即c b a c b a )()(?≠?，切记两向量不能相除(相约). 7.||||||||||||a b a b a b -≤±≤+ 注意： a b 、同向或有0 ?||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=- ； a b 、反向或有0 ?||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+ ； a b 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+ .(这些和实数集中类似) 8.平移与定比分点 (1)1()3PG PA PB PC =++ ?G 为ABC ?的重心； 特别0PA PB PC P ++=? 为ABC ?的重心. PA PB PB PC PC PA P ?=?=?? 为ABC ?的垂心； ()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠ 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=? ABC ?的内心. 222 11sin ()22 ABC S AB AC A AB AC AB AC ==-? . (2)平移公式： 如果点P (x ，y )按向量a ＝(h ，k )平移至(,)P x y ''，则x x h y y k '=+?? '=+?. 曲线(,)0f x y =按向量a ＝(h ，k )平移得曲线(,)0f x h y k --=. 五、数 列（必修5 第二章） 注意：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ （累加法）； 121121 n n n n n a a a a a a a a ---= ???? （累乘法或叫迭代法）. （一）.等差数列{}n a 中： 1、等差数列的证明方法：（1）. 定义法； （2）．等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a 2、等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=------该公式整理后是关于n 的一次函数 3、等差数列的前n 项和： （1 ）2 )(1n n a a n S += ；（2）d n n na S n 2) 1(1-+ =； （3）21()22 n d d S n a n = +- 即Bn An S n +=2 。 4、等差中项: 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。 即：2 b a A += 或b a A +=2 5、等差数列的性质: （1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且 n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+= （2） 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。 （3）若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，* N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等 差数列。如下图所示： k k k k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ （4）设数列{}n a 是等差数列，奇S ：奇数项和，偶S ：偶数项和，n S 是前n 项和，则有如下性质： ①当n 为偶数时，d 2n S = -奇偶S ； ②当n 为奇数时，则中偶奇a S =-S ，= 偶 奇S S n n 1+。 (5)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和； “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和； （二）.等比数列{}n a 中： 1.等比数列的判定方法: ① 定义法：若 )0(1 ≠=+q q a a n n ② 等比中项：若2 12++=n n n a a a ，则数列{ }n a 是等比数列。 2.等比数列的通项公式: 如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为1 1-=n n q a a 。 3.等比数列的前n 项和： （1）)1(1) 1(1≠--= q q q a S n n （2 ）)1(11≠--=q q q a a S n n （3）当1=q 时，1na S n = 4.等比中项: 如果使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。那么ab G =2 。 5.等比数列的性质: （1）．等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且 n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -= （2） 对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ?=?也就是： （3） 若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等 比数列。如下图所示： k k k k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ (4) {||}n a 、1(1){}n k m a +-、{}n ka 成等比数列；{}{}n n a b 、成等比数列{}n n a b ?成等比数列. （5）1111 11 (1) (1) (1) (1) (1)1111n n n n na q na q S a a a a q a q q q q q q q q ==???? ==--??-+≠=≠??----?? . （6）并非任何两数总有等比中项. 仅当实数,a b 同号时，实数,a b 存在等比中项.对同号两实数 ,a b 的等比中项不仅存在，而且有一对G ab =±.也就是说，两实数要么没有等比中项(非同号时)， 如果有，必有一对(同号时).在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解. （三）.等差数列与等比数列的联系 1.如果数列{}n a 成等差数列，那么数列{}n a A (n a A 总有意义)必成等比数列. 2.如果数列{}n a 成等比数列，那么数列{log ||}(0,1)a n a a a >≠必成等差数列. 3.如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列； 但数列{}n a 是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件. （四）.数列求和的常用方法： （1）公式法：①等差数列求和公式（三种形式），②等比数列求和公式（三种形式）， ③1123(1)2n n n ++++=+ ，2222 1123(1)(21)6 n n n n ++++=++ ， 2 135(21)n n ++++-= ，2135(21)(1)n n +++++=+ . （2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. （3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. （4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前n 和公式的推导方法之一）. （5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ① 111(1)1n n n n =-++， ②1111()()n n k k n n k =-++， ③2211111()1211k k k k <=---+， 21111111 1(1)(1)1k k k k k k k k k -=<<=-++--， ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =--++++ ，⑤11 (1)!!(1)!n n n n =- ++, ⑥12(1)2(1)n n n n n +-<<--, ⑦1(2)n n n a S S n -=-≥，⑧11 11m m m m m m n n n n n n C C C C C C --+++=?=-. 特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时分类讨论. 六、不等式：（必修5 第三章） 1.解不等式：(1)解不等式是求不等式的解集，最后务必用集合的形式表示；不等式解集的端点值往 往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值. (2)解分式不等式()() ()0≠>a a x g x f 的一般解题思路是什么？)() (x g x f ≥0呢？ （移项通分，分子分母分解因式，x 的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回）； (3)含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？ (一般是根据定义分类讨论、平方转化、换元转化或零点分段讨论法)； (4) 解指对不等式应该注意什么问题？ （利用指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.） (5) 无理不等式的几种常见类型及等价转化是怎样的？ ()()()()()()()[] ???>≥???<≥?>2 00x g x f x g x g x f x g x f 或； ()()()()()()[];002 ?? ? ??<≥≥? ()()()()()().00 ?? ? ??>≥≥?>x g x f x g x f x g x f (6) 解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”在解含有参数的不等式时，应怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底10<a ） 讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是……． 另要特别注意：每一类中是否求交集，分清归纳结论时是求并集还是分类回答 2. 利用重要不等式ab b a 2≥+ 以及变式2 ()2 a b ab +≤等求函数的最值时，务必注意 a ， b + ∈R （或a ，b 非负），且“等号成立”时的条件是积ab 或和a ＋b 其中之一应是定值。 注意：一正二定三相等. 3.常用不等式有：2222211 a b a b ab a b ++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) a 、b 、c ∈R ，222 a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号） 4.比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法和放缩法(注意：对“整式、分式、绝对值不等式”的放缩途径， “配方、函数单调性等”对放缩的影响). 5.含绝对值不等式的性质： a b 、同号或有0?||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； a b 、异号或有0?||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+. 注意：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用方程函数思想和“分离变量法”转化为最 值问题）. 七、解析几何： （一）直线与方程：（必修2 第三、四章） 1.直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围； （1）直线方向向量的意义((1,)a k λ= 或(0,1)(0)λλ≠)及其直线方程的向量式 (00(,)x x y y a λ--= (a 为直线的方向向量)). （2）应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时，一般可设直线的斜率为k ，但你是否注意到直线垂直于x 轴时，即斜率k 不存在的情况？（例如：一条直线经过点?? ? ??--23,3，且被圆2522=+y x 截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程。要注意，不要漏掉x+3=0这一解.） 2.知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =；知直线横截距0x ，常设其方程为 0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =.知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =. 注意：(1)直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式、向量式．以及各种形式的局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截矩式呢？） 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=； 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为： 00()()0A x x B y y -+-=； 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为： 00()()0B x x A y y ---=. (2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0. 如：直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以为 1=+a y a x ，但不要忘记当 a=0时，直线y=kx 在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等．类似地，你能举出例子吗？ 3．（1）点P 00(,)x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式d=————— （2）两平行直线01=++C By Ax 和02=++C By Ax 的距离公式d=————— 4．在解析几何中，研究两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合. 特别：12121212121()0l l k k k k A A B B ⊥?=-?+=、都存在时； { { 1212 211212121221 //()k k A B A B l l k k b b AC A C ==? ?≠≠、都存在时； { { 12 2112 12121212211221 ()=A B A B k k l l k k b b AC A C B C B C ==? ?==、重合、都存在时或. 5.中点坐标公式：??? ??? ?+=+= 22 2121y y y x x x 若),(),(),(332211y x C y x B y x A ，，，则△ABC 的重心G 的坐标是?? ? ??++++33321321y y y x x x ，。 6.线性规划中几个概念：约束条件、可行解、可行域、目标函数、最优解. （二）圆与方程： 1.圆的方程：（1）最简方程222x y R +=；（2）标准方程222()()x a y b R -+-=； （3）一般式方程22x y Dx ++220(40)Ey F D E F ++=+->； （4）参数方程 {cos (sin x R y R θθ θ ==为参数)； 注意：(1)在圆的一般式方程中，圆心坐标和半径分别是221 (,),4222 D E R D E F --=+-. (2)圆的参数方程为“三角换元”提供了样板，常用三角换元有： 221cos ,sin x y x y θθ+=→==， 221cos ,sin (01)x y x r y r r θθ+≤→==≤≤， 2.解决直线与圆的关系问题有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解，重要的是发挥“圆的平面几何性质(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)的作用!” （1）过圆222x y R +=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200xx yy R +=， （2）过圆222()()x a y b R -+-=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是： 200()()()()x a x a y a y a R --+--=， （3）过圆220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->上一点00(,)P x y 圆的切线方程是： 0000()()022 D E xx yy x x y y F ++++++=. 如果点00(,)P x y 在圆外，那么上述直线方程表示过点P 两切线上两切点的“切点弦”方程. 如果点00(,)P x y 在圆内，那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于1O P (1O 为圆心)的直线方程， 21||O P d R ?=(d 为圆心1O 到直线的距离). 3.曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标?方程组 { (,)0 (,)0f x y g x y ==的解； 过两圆1:(,)0C f x y =、2:(,)0C g x y =交点的圆(公共弦)系为(,)(,)0f x y g x y λ+=， 当且仅当无平方项时，(,)(,)0f x y g x y λ+=为两圆公共弦所在直线方程. 4．处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）几何角度，点到直线的距离；（2）代数角度，直线方程与圆的方程联立，判别式. 一般来说，前者更简捷． 5．处理圆与圆的位置关系，常用两圆的圆心距与半径之间的关系. （三）、圆锥曲线：（2—1第二章） 1.圆锥曲线的两个定义，及其“括号”内的限制条件，在圆锥曲线问题中，如果涉及到其两焦 点(两相异定点)，那么将优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其焦点、准线(一定点和不过该点的一定直线)或离心率，那么将优先选用圆锥曲线第二定义；涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用. (1)注意：①圆锥曲线第一定义与配方法的综合运用；②圆锥曲线第二定义是：“点点距为分子、点线距为分母”，椭圆?点点距除以点线距商是小于1的正数，双曲线?点点距除以点线距商是大于1的正数，抛物线?点点距除以点线距商是等于1.③圆锥曲线的焦半径公式如下图： 2.圆锥曲线的几何性质：圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲 线的变化趋势.其中c e a =，椭圆中21b e a =-、双曲线中2 1b e a =-.重视“特征直角三角形、焦 半径的最值、焦点弦的最值及其‘顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质’”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点.注意：等轴双曲线的意义和性质. 3.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路， 等价转化求解. 特别是： ①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必“判别式＞0”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“判别式＞0”. ②直线与抛物线(相交不一定交于两点)、双曲线位置关系(相交的四种情况)的特殊性，应谨慎处理. ③在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“点差法”、“长度(弦长)”问题关键是长度(弦长)公式 (2 2 1212||()()AB x x y y =-+-，22 22||1||1|| x AB k x x k a ?=+-=+? , 1221||1||AB y y k =+-21 1|| y k a ?=+? ) ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化. 4.要重视常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直译法、相关点法、点差法、参数法、交轨法、向量法等), 以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质(定义法、几何法、代数法、方程函数思想、数形结合思想、分类讨论思想和等价转化思想等)，这是解析几何的 两类基本问题，也是解析几何的基本出发点. 注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几 何形式进行转化，还是选择向量的代数形式进行转化. ②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. () a ex --a ex +a ex -() a ex -+2 p x + a ex -a ex +2 2b p a =2 b d c =2 2b p a =2b d c =2p p 椭圆 抛物线 双曲线 ③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重 身份)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. 八、立体几何：（必修2 第一、二章 2—1第三章） （一）空间几何体： 1.会根据几何体的三视图求该几何体的表面积和体积。 2.画直观图的方法为斜二测画法（即横等长、纵减半、竖等长） 3.公式：（1）表面积公式：①圆柱的表面积公式：2222()S r rl r r l πππ=+=+； ②圆锥的表面积公式：2()S r rl r r l πππ=+=+； ③圆台的表面积公式：22('')S r r r l rl π=+++；④球的体积公式34 3 V R π= （2）体积公式： ①柱体的V Sh =; ②锥体的1 3 V Sh =； ③台体的1 ('')3 V S S S S h = ++； ④球的表面积公式24S R π=。 （二）点、直线、平面、之间的位置关系： 1.熟记：（1）四个公理及公理2的三个推论； （2）线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定及性质的八个定理。 2.计算异面直线所成角的关键是平移（直接平移、中位线平移、补形平移）转化为两直线的夹角，或建立空间坐标系转化为空间向量的夹角计算 (2222 ||()a a x y z ==++ 、121212(,,)a b x x y y z z ±=±±± 、 121212a b x x y y z z ?=++ 、111(,,)()a x y z R λλλλλ=∈ 、 121212//(0),,,()a b b x x y y z z R λλλλ≠?===∈ , 1212120a b x x y y z z ⊥?++= . 特别：111(,,)A x y z =，222(,,)B x y z =, 则AB OB OA =-= 222(,,)x y z - 111(,,)x y z =212121(,,)x x y y z z ---. 121212 222222111222 cos ,x x y y z z a b x y z x y z ++<>=++++ ， 2222121212||()()()()AB AB x x y y z z ==-+-+- 3．计算直线与平面所成的角关键是作面的垂线找射影，或向量法(直线上向量与平面法向量夹角的余角)，三余弦公式(最小角定理，12cos cos cos θθθ=)，或先运用等积法求点到直线的距离，后虚拟直角三角形求解.注：一斜线与平面上以斜足为顶点的角的两边所成角相等?斜线在平面上射影为角的平分线. 4.计算二面角的大小主要有：定义法(先作其平面角后计算大小)、公式法(cos S S θ= 影 原 )、向量法(两平面法向量的夹角)、等价转换法等等.二面角平面角的主要作法有： ①定义法(棱上一点双垂线法);②三垂线法(面上一点三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见.);③垂面法（空间一点垂面法）. 注意：异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角、向量的夹角的范围依次是(0, ]2 π ， [0,],[0,][0,]2πππ，.直线的倾斜角、1l 与2l 的夹角的范围依次是[)0,π0,2π?????? . 5.计算空间距离的主要方法有：定义法(先作垂线段后计算)、等积法、转换法(平行换点、换面)、向量法等. 6.空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行，模式是： 线//线?线//面?面//面，线⊥线?线⊥面?面⊥面。垂直也常用向量来证。 请重视线面平行关系、线面垂直关系(三垂线定理及其逆定理)的桥梁作用.注意：书写证明过程需规范. 特别声明：①证明计算过程中，若有“中点”等特殊点线，则常借助于“中位线、重心”等知 识转化. ②在证明计算过程中常将运用转化思想，将具体问题转化 (构造) 为特殊几何体(如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等)中问题，并获得去解决. ③如果根据已知条件，在几何体中有“三条直线两两垂直”，那么往往以此为基础，建立空间直角坐标系，并运用空间向量解决问题. 7.直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质.如长方体中：对角线长222l a b c =++，棱长总和为4()a b c ++， 全(表)面积为2()ab bc ca ++， 如三棱锥中：①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)?顶点在底上射影为底面外心； ②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)?顶点在底上射影为底面垂心； ③斜高长相等(侧面与底面所成相等)且顶点在底上在底面内?顶点在底上射影为底面内心. 如正四面体和正方体中： 8.求几何体体积的常规方法是：公式法、割补法、等积(转换)法、比例(性质转换)法等. 9.关于多面体的概念间有如下关系： {多面体} {简单多面体} {凸多面体} {正多面体}； {凸多面体} {棱柱} {直棱柱} {正棱柱} {正方体}； {凸多面体} {棱锥} {正棱锥} {正四面体}． 10．球是一种常见的简单几何体．球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合．球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面． 球体积公式343 V R π=，球表面积公式24S R π=，是两个关于球的几何度量公式．它们都是球半径的函数．解决球的相关问题务必注意球的几何性质(尤其是“球的半径、球心截面距、小圆半径构成直角三角形”；球与多面体相切或相接时，组合体的特殊关联关系。如长方体，正四面体的外接球﹑内切球问题。). a 33a 36 a 3 212 V a =63 a 1 arccos 33 arccos 3 ≠?≠?≠?≠?≠?≠?≠?≠?≠?≠? 九.导数及其应用：（2—2第一章） 1.导数的意义：曲线在该点处的切线的斜率(几何意义)、瞬时速度。 2.基本初等函数的导数公式：①0' =C ,（C 为常数）②()()Q n nx x n n ∈=-1 ' ； ③(sin )'cos x x =;④(cos )'sin x x =-;⑤()'x x e e =;⑥()'ln x x a a a =; ⑦1(ln )'x x = ; ⑧1 (log )'log a a x e x =. 3.导数运算法则：①()''' υμυμ±=±； ②()'''uv u v uv =+； （特别地[()]()Cf x Cf x ''=）③2 '' ()'(0)u u v uv v v v -= ≠ 。 4.复合函数的求导法则：'''x u x y y u = 。 5.函数的单调性与导数： 在一个区间上()0f x '≥(个别点取等号)?()f x 在此区间上为增函数. 在一个区间上()0f x '≤(个别点取等号)?()f x 在此区间上为减函数. 6.函数的极值与导数、函数的最大（小）值与导数： (1)函数()f x 在0x 处有0()0f x '=且“左正右负”?()f x 在0x 处取极大值； 函数()f x 在0x 处有0()0f x '=且“左负右正”?()f x 在0x 处取极小值. 注意：①在0x 处有0()0f x '=是函数()f x 在0x 处取极值的必要非充分条件. ②求函数极值的方法：先找定义域，再求导，找出定义域的分界点，列表求出极值. 特别是给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑0()0f x '=，又要考虑验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记. ③单调性与最值（极值）的研究要注意列表！ (2)函数()f x 在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”； 函数 ()f x 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”； 注意：利用导数求最值的步骤：先找定义域 再求出导数为0及导数不存在的的点， 然后比较定义域的端点值和导数为0的点对应函数值的大小，其中最大的就 是最大值，最小就为最小值. 7.应用导数求曲线的切线方程，要以“切点坐标”为桥梁，注意题目中是“处”还是“过”，对“二次抛物线”过抛物线上一点的切线?抛物线上该点处的切线，但对“三次曲线”过其上一点的切线包含两条，其中一条是该点处的切线，另一条是与曲线相交于该点. 8.注意应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值)， 研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题. （如：恒成立问题就是求最大（小）值问题；方程的根、 零点、直线与曲线的交点就是单调性与极值的应用） 9.微积分基本定理：（牛顿莱布尼兹公式） 一般地，如果()f x 是区间[],a b 上的连续函数， 并且'()()F x f x =，那么 ()()()b a f x dx F b F a =-? . 十、计数原理：（2—3第一章） 1.排列数m n A 、组合数m n C 中,1,0,n m n m n m ≥≥≥∈、N . 141 -2-3 -O x y ()f x ' (1)排列数公式 ： !(1)(2)(1)()()! m n n A n n n n m m n n m =---+= ≤- ；!(1)(2)21n n A n n n n ==--? . (2)组合数公式： ()(1)(1)!()(1)21!!m m n n m m A n n n m n C m n m m m n m A ?-??-+===≤?-???- ；m m n n A m C =?！. (3)组合数性质： (),m n m n n C C m n -=≤111()m m m n n n C C C m n ---=+≤, 11k k n n kC nC --=, 1 1 21++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C . 2.解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合． 3.带有附加条件的排列问题： （1）某些元素在或不在某些特殊位置的排列问题： ①特殊元素优先排；②特殊位置优先站；（既优限法）；③间接法。 （2）相邻、相离、问题： ①相邻问题：捆绑法“元素不分离当作一整体”； ②相离(相间)问题：插空法“元素若分离选空插进去”； ③不全相邻间接法。 （3）某些元素有固定顺序用除法。 4. 带有附加条件的组合问题： （1）某些元素入选或不入选； （2）至多至少问题间接法。 5.带有附加条件的排列组合综合应用问题： （1）先选出元素的组合再进行排列的问题； （2）分组问题（分堆问题）： ①非均匀非分堆；k k A ? ②非均匀是分堆；（不乘也不除） ③是均匀非分堆；（不乘也不除） ④是均匀是分堆。k k A ÷ 6.(1)二项式定理： 011()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++ ，其中各系数就是组合数r n C ，它叫做第 r +1项的二项式系数；展开式共有n +1项，其中第r +l 项1r n r r r n T C a b -+=. (2)二项式展开式中二项式系数(组合数)的性质：对称性、等距性、单调最值性和 01r n n n C C C +++ 2n n n C ++= . （3）应用“赋值法”同样可得相关性质或寻求二项式展开式中“奇次(数)项”“偶次(数)项”的 系数和.如0241351 2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++= ， 奇(偶)次项系数和1[(1)(1)]2 f f =--(1[(1)(1)]2 f f +-). 注意：①二项式展开式中区分“二项式系数、项的系数”，寻求其中项的系数的最大值是将相 邻两项的系数构建不等式进行. ②注意应用通项公式1r n r r r n T C a b -+=求指定项（如常数项、3 x 项等等）。 ③二项式的应用主要是进行应用其前几项近似计算、整除性计算或证明、应用其首尾几项进行放缩. 十一.统计、统计案例、概率与随机变量及其分布列： （必修3 第二、三章 2—3第二、三章） （一）统计： 1.抽样方法： （1）简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)：常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体 中逐个抽取. （2） 系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一个； （3）分层抽样：主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概率都相等（n N ） 2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率. 3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差).公式如下： 22 2221111 1111,()()(),n n n n i i i i i i i i x x S x x x x S S n n n n ======-=-=∑∑∑∑(标准方差) 样本数据做如下变换'i i x ax b =+，则' x ax b =+，222()S a S '=. 总体估计还要掌握：(1)一“表”(频率分布表)一“图”(频率分布直方图). 注意：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商 (而不是频率)，横轴一般是数据的 大小，小矩形的面积表示频率. 4.回归直线的方程： y bx a =+ 其中a 、b 的值由下列公式给出： 1 1 2 2 21 1 ()()() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx ====---= = --∑∑∑∑ a y b x =- （二）统计案例： 1.用相关系数r 来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱： 样本相关系数的计算公式为：1 2 2 1 1 ()() ()() n i i i n n i i i i x x y y r x x y y ===--= --∑∑∑ 当r ＞0时，表示两个变量正相关；当r ＜0时，表示两个变量负相关。r 的绝对值越接 近1，表明两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值接近0时，表明两个变量之间几乎不存在的线性相关关系。通常，当r 的绝对值大于0.75时认为两个变量有很强的线性相关关系。 2.用相关指数2R 来刻画回归的效果，其公式是： 221 2 1 ()1() n i i i n i i y y R y y ==-=- -∑∑ 显然2 R 取值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好。 3.两个变量的独立性检验： 2?2列联表 1y 2y 总计 1x a b a b + 2x c d c d +
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