双曲线
平面内到两个定点,
的距离之差的绝对值是常数2a(2a<
)的点的轨迹。
考点
题型一 求双曲线的标准方程
1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为22
22(0)x y m n
λλ-=≠,与双曲线
222
21x y a b
-=共渐近线的方程可设为22
22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。
【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。
(1) 虚轴长为12,离心率为
54
; (2) 焦距为26,且经过点M (0,12);
(3) 与双曲线
22
1916
x y -=有公共渐进线,且经过点(3,A -。
解:(1)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22
221y x a b
-=(0,0)a b >>。
由题意知,2b=12,c e a ==54
。 ∴b=6,c=10,a=8。
∴标准方程为236164x -=或22
16436
y x -=。 (2)∵双曲线经过点M (0,12),
∴M (0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y 轴上,且a=12。
又2c=26,∴c=13。∴2
2
2
144b c a =-=。
∴标准方程为
22
114425
y x -=。
(3)设双曲线的方程为22
22x y a b λ
-=
(
3,A - 在双曲线上
∴(2
2
3
1916
-= 得1
4
λ=
所以双曲线方程为22
4194
x y -= 题型二 双曲线的几何性质
方法思路:解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是e 、a 、b 、c 四者的关系,构造出c e a
=
和222
c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦距为2c ,直线l 过点(a ,0)和(0,b ),且
点(1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥4
5
c 。求双曲线的离心率e 的取值范围。 解:直线l 的方程为
1x y
a b
-=,级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式,且a >1,得到点(1,0)到直线l 的距离
1d =
,
同理得到点(-1,0)到直线l 的距离
2d =
122ab
s d d c
=+=
=
。 由s ≥
45c ,得2ab c
≥45c
,即252c ≥。
于是得22e ,即4
2
425250e e -+≤。 解不等式,得
2554e ≤≤。由于e >1>0,所以e
的取值范围是2
e ≤≤ 【例3】设F 1、F 2分别是双曲线22
221x y a b
-=的左、右焦点,若双曲线上存在点A ,使
1290F AF ∠= ,且︱AF 1︱=3︱AF 2︱,求双曲线的离心率。
解:∵1290F AF ∠=
∴22
212
4AF AF c +=
又︱AF 1︱=3︱AF 2︱,
∴12222AF AF AF a -==即2AF a =, ∴2
2
222
2212222910104AF AF AF AF AF a c +=+===,
∴
c a ==
e =。 题型三 直线与双曲线的位置关系
方法思路:1、研究双曲线与直线的位置关系,一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程
组,即222222
0Ax By C b x a y a b
++=??-=?,对解的个数进行讨论,但必须注意直线与双曲线有一个公共点和相切不是等价的。
2、直线与双曲线相交所截得的弦长:
2121l x x y y =-=- 【例4】如图,
已知两定点12(F F ,满足条件
212PF PF -=
的点P 的轨迹是曲线E ,直线y=kx-1与曲线E 交于A 、B 两点,
如果AB =,且曲线E 上存在点C ,
使OA OB mOC +=
,求
(1)曲线E 的方程; (2)直线AB 的方程;
(3)m 的值和△ABC 的面积S 。
解:由双曲线的定义可知,
曲线E
是以12(F F 为焦点的双曲线的左支,
且c =
a=1
,易知1b ==。
故直线E 的方程为221(0)x y x -=<, (2)设11A(x ,y ), 22B(x ,y ),
由题意建立方程组22y=kx-1
x -y =1
???消去y ,得22(1)220k x kx -+-=。
又已知直线与双曲线左支交于两点A 、B ,有
222
122122
10,(2)8(1)0,20,
12
0.1k k k k x x k x x k ?-≠?=+->??
-?+=<-?
?-=>?-?
解得1k <-。 又∵
12AB x x =-=
==
依题意得=,整理后得422855250k k -+=, ∴2
57k =
或2
54
k =。
但1k <<-,
∴2
k =。 故直线AB
的方程为
102
x y ++=。 (3)设(,)c c C x y ,由已知OA OB mOC +=
,得1122(,)(,)(,)c c x y x y mx my +=,
∴1212
(,)(
,)(0)c c x x y y x y m m m
++=≠。
又122
21k x x k +==--212122222()22811
k y y k x x k k +=+-=-==--,
∴点8
(
)C m m
-。 将点C 的坐标代入曲线E 的方程,的
22
80641m m -=, 得4m =±,但当4m =-时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意。 ∴4m =,C
点的坐标为(,
C 到AB
1
3
=
, ∴△ABC
的面积11
23
S =?=
一、抛物线 高考动向:抛物线是高考每年必考之点,选择题、填空题、解答题皆有,要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌,在高考中才能做到应用自如。 (一) 知识归纳
(二)典例讲解
题型一 抛物线的定义及其标准方程
方法思路:求抛物线标准方程要先确定形式,因开口方向不同必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为2
y mx =或2
(0)x my m =≠。 【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。
(1)抛物线的焦点是双曲线22169144x y -=的左顶点;
(2)经过点A (2,-3);
(3)焦点在直线x-2y-4=0上;
(4)抛物线焦点在x 轴上,直线y=-3与抛物线交于点A ,︱AF ︱=5.
解:(1)双曲线方程可化为
22
1916
x y -=,左顶点是(-3,0) 由题意设抛物线方程为22(0)y px p =->且32
p
-=-, ∴p=6.
∴方程为212y x =-
(2)解法一:经过点A (2,-3)的抛物线可能有两种标准形式: y 2=2px 或x 2=-2py .
点A (2,-3)坐标代入,即9=4p ,得2p =
2
9 点A (2,-3)坐标代入x 2
=-2py ,即4=6p ,得2p =3
4 ∴所求抛物线的标准方程是y 2
=
29x 或x 2=-3
4y 解法二:由于A (2,-3)在第四象限且对称轴为坐标轴,可设方程为2y mx =或2x ny =,
代入A 点坐标求得m=
29,n=-3
4, ∴所求抛物线的标准方程是y 2=29x 或x 2
=-3
4y
(3)令x=0得y=-2,令y=0得x=4,
∴直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为(0,-2),(4,0)。 ∴焦点为(0,-2),(4,0)。 ∴抛物线方程为2
8x y =-或2
16y x =。
(4)设所求焦点在x 轴上的抛物线方程为2
2(0)y px p =≠,A (m ,-3),由抛物 线定义得p
52
AF m ==+
, 又2
(3)2pm -=, ∴1p =±或9p =±,
故所求抛物线方程为2
2y x =±或2
18y x =±。
题型二 抛物线的几何性质
方法思路:1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线l 的距离处
理,例如若P (x 0,y 0)为抛物线22(0)y px p =>上一点,则02
p PF x =+
。 2、若过焦点的弦AB ,11(,)A x y ,22(,)B x y ,则弦长12AB x x p =++,12x x +可由韦达定理整体求出,如遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到。
【例6】设P 是抛物线24y x =上的一个动点。
(1) 求点P 到点A (-1,1)的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值; (2) 若B (3,2),求PB PF +的最小值。
解:(1)抛物线焦点为F (1,0),准线方程为1x =-。 ∵P 点到准线1x =-的距离等于P 点到F (1,0)的距离,
∴问题转化为:在曲线上求一点P ,使点P 到A (-1,1)的距离与P 到F (1,0)的距离之和最小。
显然P 是AF 的连线与抛物线的交点,
最小值为AF =(2)同理PF 与P
过B 做B Q ⊥准线于Q 点,交抛物线与P 1点。 ∵11
PQ PF =, ∴114PB PF PB PQ BQ +≥+==。 ∴PB PF +的最小值是4。
题型三 利用函数思想求抛物线中的最值问题
方法思路:函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。
【例7】已知抛物线y =x 2,动弦AB 的长为2,求AB 的中点纵坐标的最小值。
分析一:要求AB 中点纵坐标最小值,可求出y 1+y 2的最小值,从形式上看变量较多,结合图形可以观察到y 1、y 2是梯形ABCD 的两底,这样使得中点纵坐标y 成为中位线,可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解。
解法一:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点为M(x,y)
由抛物线方程y =x 2知焦点1
F(0,
)4
,准线方程1
4
y =-
,设点A 、B 、M 到准线的距离分别为|AD 1|、|BC 1|、|MN|,则|AD 1|+|BC 1|=2|MN|,且
1
M N =2(y +)4
,根据抛物线的定义,有|AD 1|=|AF|、
|BC 1|=|BF|,∴1
2(y+)4
=|AF|+|BF|≥|AB|=2,
∴1
2(y+
)24≥ ∴3y 4≥,即点M 纵坐标的最小值为34
。
分析二:要求AB 中点M 的纵坐标y 的最小值,可列出y 关于某一变量的函数,然后求
此函数的最小值。
解法二:设抛物线y =x 2上点A(a,a 2),B(b,b 2
),AB 的中点为M(x ,y),则
2
,222b a y b a x +=+=
∵|AB|=2,∴(a ―b)2
+(a 2
―b 2
)=4,则(a +b)2
-4ab +(a 2
+b 2)2
-4a 2b 2
=4
则2x =a +b,2y =a 2+b 2,得ab =2x 2-y,∴4x 2―4(2x 2―y)+4y 2―4(2x 2
―y)=4 整理得1
412
2
++
=x x y
43411414124
1141)14(4122=-=-≥-+++=
∴x x y 即点M 纵坐标的最小值为3/4。
练习: 1、以y =±
3
2
x 为渐近线的双曲线的方程是( ) A、3y 2
―2x 2
=6 B、9y 2
―8x 2
=1 C 、3y 2
―2x 2
=1 D 、9y 2
―4x 2
=36
【答案D 】解析:A 的渐近线为y=,B 的渐近线为y=3x ±
C 的渐近线为y=,只有
D 的渐近线符合题意。
2、若双曲线22
1x y -=的左支上一点P (a ,b )到直线y=x a+b 的值为
( ) A 、12-
B 、1
2
C 、2-
D 、2 【答案A 】解析:∵P 在双曲线上,
∴22
1a b -=即(a+b )(a-b )=1
又P (a ,b )到直线y=x
=a b <
即2a b -=- ∴a+b=1
2
-
3、如果抛物线的顶点在原点、对称轴为x 轴,焦点在直线34120x y --=上,那么抛物线的方程是()
A 、216y x =-
B 、212y x =
C 、216y x =
D 、212y x =-
【答案C 】解析:令x=0得y=-3,令y=0得x=4,
∴直线34120x y --=与坐标轴的交点为(0,-3),(4,0)。 ∴焦点为(0,-3),(4,0)。
∴抛物线方程为212x y =-或216y x =。 4、若抛物线y=
4
1x 2
上一点P 到焦点F 的距离为5,则P 点的坐标是 A.(4,±4) B.(±4,4) C.(
1679,±879) D.(±8
79,1679) 【答案B 】解析:抛物线的焦点是(0,1),准线是1y =-,
P 到焦点的距离可以转化为到准线的距离。 设P (x ,y ),则y=4,
∴4x ===±
5、若点A 的坐标为(3,2),F 为抛物线x y 22=的焦点,
点P 是抛物线上的一动点,则PF PA + 取得最小值时点P 的坐标是 ( C )
A .(0,0)
B .(1,1)
C .(2,2)
D .)1,2
1
(
【答案C 】解析:抛物线焦点为F (1,0),准线方程为1x =-。 ∵P 点到准线1x =-的距离等于P 点到F (1,0)的距离,
∴问题转化为:在曲线上求一点P ,使点P 到A (3,2)的距离与P 到F (1,0)的距离之和最小。
显然P 是A 到准线的垂线与抛物线的交点, ∴P 的坐标为(2,2)
6、已知A 、B 是抛物线2
2(0)y px p =>上两点,O 为坐标原点,若︱OA ︱=︱OB ︱,且 △AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点,则直线AB 的方程是( )
A 、x=p
B 、x=3p
C 、x=
32p D 、x=52
p 【答案D 】解析:设A (22y p ,y ),B (2
2y p
,-y ),
∵F (p ,0)是△AOB 的垂心, ∴
22122
2y y
y p y p p
?
=-- 整理得225y p =
∴25
22
y x p p ==
7、过点P (4,1),且与双曲线
22
1916
x y -=只有一个公共点的直线有 条。 【答案】两条
解析:因为P (4,1)位于双曲线的右支里面,故只有两条直线与双曲线有一个
公共点,分别与双曲线的两条渐近线平行。 这两条直线是:41(4)3y x -=
-和4
1(4)3
y x -=-- 8、双曲线C 与双曲线2
212
x y -=有共同的渐近线,且过点A(2,-2),则C 的两条准线之间的距离为 。
【答案】
3
解析:设双曲线C 的方程为2
2(0)2
x y k k -=≠, 将点A 代入,得k=-2。
故双曲线C 的方程为:
22
124
y x -=
∴a =
b=2, c =
所以两条准线之间的距离是22a c =。 9、已知抛物线2
2(0)y px p =>,一条长为4P 的弦,其两个端点在抛物线上滑动,则此弦
中点到y 轴的最小距离是
【答案】
32
p 解析:设动弦两个端点为A 、B ,中点为C ,作AA ’,BB ’,CC ’垂直于准线的垂线,垂
足分别为A ’、 B ’、 C ’,连接AF 、BF ,由抛物线定义可知,︱A F ︱=︱AA ’︱, ︱B F ︱=︱BB ’︱
∵CC ′是梯形ABB ′A ′的中位线
∴︱CC ′︱=
1(')')2AA BB += 1())2AF BF + 1
2
AB ≥=2p 当AB 经过点F 时取等号,所以C 点到y 轴的距离最小值为3
2p-22
p p =。
10、抛物线212y x =-的一条弦的中点为M (2,3)--,则此弦所在的直线方程是 。 【答案】2x-y+1=0
解析:设此弦所在的直线l 方程为3(2)y k x +=+, l 与抛物线的交点坐标分别是A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则124x x +=-
将l 的方程代入抛物线方程整理得
2222(4612)(23)0k x k k x k +-++-=
由韦达定理得2122
(4612)
4k k x x k
-++=-=- 解得2k =
∴此直线方程为32(2)y x +=+ 即2x-y+1=0
11、已知双曲线的中心在原点,焦点在y 轴上,焦距为16,离心率为4
3
,求双曲线的方程。 解:由题意知,216c = 8c ∴=
又4
3
c e a =
= 6a ∴= 22228b c a =-=
2213628
y x ∴-=
12、已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率e =(0,)A b -和B (a ,0)
的直线与原点的距离为
2
。 (1)求双曲线的方程;
(2)直线(0,0)y kx m k m =+≠≠与该双曲线交于不同的两点C 、D ,且C 、D 两点都在
以A 为圆心的同一圆上,求m 的取值范围。
解:(1
)由题设,得222413b e a ?=+=??
?=
解得2
3a =,2
1b =
∴双曲线的方程为2
213
x y -=。 (2)把直线方程y kx m =+代入双曲线方程, 并整理得222(13)6330k x kmx m ----= 因为直线与双曲线交于不同的两点,
∴2
2
1212360m k =+-> ① 设11(,)C x y ,22(,)D x y 则122613km x x k +=
-,12122
2()213m
y y k x x m k
+=++=- 设CD 的中点为00(,)P x y ,
其中1202x x x +=
,12
02y y y +=, 则02313km x k =-,02
13m
y k
=- 依题意,A P ⊥CD ,∴22
1113313AP m
k k km k k +-==-- 整理得2
341k m =+ ② 将②式代入①式得 2
40m m -> ∴m >4或m <0
又2
3410k m =+>,即14
m >- ∴m 的取值范围为m >4或1
04
m -
<<。 13、已知点A (2,8),B (x 1,y 1),C (x 2,y 2)在抛物线2
2y px =上,△ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合(如图)
(1)写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标; (2)求线段BC 中点M 的坐标;
(3)求BC 所在直线的方程.(12分)
解:(1)由点A (2,8)在抛物线22y px =上,
有2822p =?,解得p=16. 所以抛物线方程为232y x =, 焦点F 的坐标为(8,0).
(2)如图,由于F (8,0)是△ABC 的重心, M 是BC 的中点,所以F 是线段AM 的 定比分点,且
2AF
FM
=,设点M 的坐标为00(,)x y ,则 00
22828,01212
x y ++==++,解得0011,4x y ==-, 所以点M 的坐标为(11,-4).
(3)由于线段BC 的中点M 不在x 轴上,所以BC 所在
的直线不垂直于x 轴.设BC 所在直线的方程为:4(11)(0).y k x k +=-≠
由24(11)32y k x y x
+=-??=?,消x 得23232(114)0ky y k --+=, 所以1232
y y k +=
,由(2)的结论得1
242
y y +=-,解得 4.k =- ∴BC 所在直线的方程是44(11)y x +=--即4400x y +-=。 14、如图, 直线y=
21x 与抛物线y=8
1
x 2-4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=-5交于Q 点.
(1)求点Q 的坐标;
(2)当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含A 、B )的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.(14分)
解:(1) 解方程组212
148y x y x ?=????=-??
得1142x y =-??=-?或22
8
4x y =??=?
即A(-4,-2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1). 由AB 1
k =
2
,直线AB 的垂直平分线方程 y -1=-2(x -2). 令y=-5, 得x=5, ∴Q(5,-5). (2) 直线OQ 的方程为x+y=0, 设P(x,
2
148
x -) ∵点P 到直线OQ 的距离
2832
x
+-
, OQ=
∴SΔOPQ=
1
2
OQ d=2
5
832
16
x x
+-.
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,
4或
∵函数y=x2+8x-32在区间[-4,8] 上单调递增, ∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值为30.
高中数学双曲线抛物线知 识点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a<)的点的轨 迹。 方程 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a => (1)c e e a => 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于x 轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲 线22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 (1) 虚轴长为12,离心率为 5 4 ; (2) 焦距为26,且经过点M (0,12); _x _y _x _y
(3) 与双曲线22 1916 x y - =有公共渐进线,且经过点() 3,23A -。 解:(1)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知,2b=12,c e a ==5 4 。 ∴b=6,c=10,a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x - =。 (2)∵双曲线经过点M (0,12), ∴M (0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y 轴上,且a=12。 又2c=26,∴c=13。∴222144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 (3)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 233 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路:解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是e 、a 、b 、c 四者的关系,构造出c e a = 和222c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ,直线l 过点(a ,0)和 (0,b ),且点(1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥ 4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值范围。
<一>圆的方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2,圆心O(a,b),半径r。 (1)圆的一般式方程:x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 此方程可用于解决两圆的位置关系: 配方化为标准方程:(x+D/2)^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 其圆心坐标:(-D/2,-E/2) 半径为r=√[(D^2+E^2-4F)]/2 此方程满足为圆的方程的条件是: D^2+E^2-4F>0 若不满足,则不可表示为圆的方程 (2)点与圆的位置关系点P(X1,Y1) 与圆(x-a)^2+(y-b) ^2=r^2的位置关系: ⑴当(x1-a)^2+(y1-b) ^2>r^2时,则点P在圆外。 ⑵当(x1-a)^2+(y1-b) ^2=r^2时,则点P在圆上。 ⑶当(x1-a)^2+(y1-b) ^2
2.如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A,它平行于y轴(或垂直于x 轴),将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x-a)^2+(y-b) ^2=r^2。令y=b,求出此时的两个x值x1、x2,并且规定x1
双曲线及其标准方程 【学习目标】 1.知识与技能: 从具体情境中抽象出双曲线的模型;掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形;能正确推导双曲线的标准方程. 2.过程与方法: 学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图象和标准方程. 3.情感态度与价值观: 了解双曲线的实际背景,感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用,进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用. 【要点梳理】 要点一:双曲线的定义 把平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于12F F )的点的集合叫作双曲线. 定点1F 、2F 叫双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距. 要点诠释: 1. 双曲线的定义中,常数应当满足的约束条件:常数=1212PF PF F F -<,这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解; 2. 若常数分别满足以下约束条件,则动点的轨迹各不相同: 若 常数=1212PF PF F F -<(常数0>),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支; 若 常数=2112PF PF F F -<(常数0>),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支. 若 常数=1212PF PF F F -=,则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点); 若 常数=1212PF PF F F ->,则动点轨迹不存在; 若 常数=12=0PF PF -,则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线. 要点二:双曲线的标准方程
1.双曲线的标准方程 2.标准方程的推导 如何建立双曲线的方程?根据求曲线方程的一般步骤,可分为4步:建系、设点、列式、化简. (1)建系 取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系. (2)设点 设M(x,y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距是2c(c>0),那么F1、F2的坐标分别是(-c,0)、(c,0). (3)列式 设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a. 由定义可知,双曲线就是集合:P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}. ∵2222 12 ||(),||(), MF x c y MF x c y ++=-+ ∴2222 ()()2 x c y x c y a ++-+=± (4)化简 将这个方程移项,得 当焦点在x轴上时, 22 22 1 x y a b -=(0,0) a b >>,其中222 c a b =+; 当焦点在y轴上时, 22 22 1 y x a b -=(0,0) a b >>,其中222 c a b =+
高中数学复习-抛物线 抛 物 线 ) 0(22>=p px y )0(22>-=p px y ) 0(22>=p py x )0(22>-=p py x 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线。 {MF M =点M 到直线l 的距离} 范围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ ,0x R y ∈≥ ,0x R y ∈≤ 对称性 关于x 轴对称 关于y 轴对称 焦点 (2 p ,0) (2 p - ,0) (0, 2 p ) (0,2 p - ) 焦点在对称轴上 顶点 (0,0)O 离心率 e =1 准线 方程 2 p x - = 2 p x = 2 p y - = 2 p y = 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 顶点到准线的距离 2 p 焦点到准线的距离 p 焦半径 11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 1. 直线 ,抛物线 , ,消y 得: (1)当k=0时,直线l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点; (2)当k ≠0时, Δ>0,直线l 与抛物线相交,有两不同交点; Δ=0, 直线l 与抛物线相切,有一个切点; Δ<0,直线l 与抛物线相离,无公共点。 x y O l F x y O l F l F x y O x y O l F
(3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定) 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l :b kx y += 抛物线 ,)0(φp ① 联立方程法: ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ,则有0φ?,以及2121,x x x x +,还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+,2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如 a. 相交弦AB 的弦长 2 12 212 212 4)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ? +=2 1 或 212 2122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点坐标 ),(00y x M , 2210x x x += , 2 2 10y y y += ② 点差法: 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ,代入抛物线方程,得 12 12px y = 22 22px y = 将两式相减,可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+- 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时,2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时,设线段AB 的中点 为),(00y x M , 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--, 即0 y p k AB = , 同理,对于抛物线)0(22≠=p py x ,若直线l 与抛物线相交于B A 、两点,点),(00y x M 是弦AB 的中点,则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= (注意能用这个公式的条件:1)直线与抛物线有两个不同的交点,2)直线的斜率存在,且不等于零)
双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a< )的点的轨迹。 方程 22 22 1(0,0)x y a b a b -=>> 22 22 1(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于x轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 (1) 虚轴长为12,离心率为 54 ; (2) 焦距为26,且经过点M(0,12); (3) 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线,且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y
解:(1)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知,2b=12,c e a ==54 。 ∴b=6,c=10,a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 (2)∵双曲线经过点M(0,12), ∴M (0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y 轴上,且a=12。 又2c =26,∴c =13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 (3)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 331916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路:解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是e、a、b 、c四者的关系,构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b ),且点(1, 0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率e的取值范围。 解:直线l 的方程为 1x y a b -=,级bx +ay-ab=0。 由点到直线的距离公式,且a >1,得到点(1,0)到直线l的距离12 2 d a b = +, 同理得到点(-1,0)到直线l 的距离22 2 d a b = +,
双曲线:了解双曲线的定义、几何图形和标准方程;了解双曲线的简单几何性质。 重点:双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及简单的几何性质. 难点:双曲线的标准方程,双曲线的渐进线. 知识点一:双曲线的定义在平面内,到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数(大于0且)的动点 的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点,两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意:1. 双曲线的定义中,常数应当满足的约束条件:,这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解; 2. 若去掉定义中的“绝对值”,常数满足约束条件:(),则动点轨迹仅表示双曲线中 靠焦点的一支;若(),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支; 3. 若常数满足约束条件:,则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线(包括端点); 4.若常数满足约束条件:,则动点轨迹不存在; 5.若常数,则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点二:双曲线的标准方程 1.当焦点在轴上时,双曲线的标准方程:,其中; 2.当焦点在轴上时,双曲线的标准方程:,其中. 注意: 1.只有当双曲线的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程; 2.在双曲线的两种标准方程中,都有; 3.双曲线的焦点总在实轴上,即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时,焦点在轴上,双曲线的焦点 坐标为,;当的系数为正时,焦点在轴上,双曲线的焦点坐标为,. 知识点三:双曲线的简单几何性质 双曲线(a>0,b>0)的简单几何性质 (1)对称性:对于双曲线标准方程(a>0,b>0),把x换成―x,或把y换成―y,或把x、y同时换成―x、― y,方程都不变,所以双曲线(a>0,b>0)是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为双曲线的中心。 (2)范围:双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧,是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a。(3)顶点:①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线(a>0,b>0)与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点,坐标分别为A1(―a,0),A2(a,0),顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴;设B1(0,―b),B2(0,b)为y轴上的两个点,则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a,|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长。 注意:①双曲线只有两个顶点,而椭圆有四个顶点,不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
抛物线经典结论和例题
方程 1. 直线与抛物线的位置关系 直线 ,抛物线 , ,消y 得: (1)当k=0时,直线l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点; (2)当k ≠0时, Δ>0,直线l 与抛物线相交,两个不同交点; Δ=0, 直线l 与抛物线相切,一个切点; Δ<0,直线l 与抛物线相离,无公共点。 (3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定) 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l :b kx y += 抛物线 ,)0(φp ① 联立方程法: ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ,则有0φ?,以及2121,x x x x +,还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+,
2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如 a. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += , 2 2 10y y y += ② 点差法: 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ,代入抛物线方程,得 1212px y = 22 22px y = 将两式相减,可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+-所以 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时,2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时,设线段AB 的中点为),(00y x M , 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--,即0y p k AB =, 同理,对于抛物线)0(22≠=p py x ,若直线l 与抛物线相交于B A 、两点,点 ),(00y x M 是弦AB 的中点,则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= (注意能用这个公式的条件:1)直线与抛物线有两个不同的交点,2)直线的斜率存在,且不等于零) 一、抛物线的定义及其应用
第八节抛物线基础测试题知识梳理 1、抛物线定义 2、抛物线的标准方程与几何性质 抛物线 定义与一个定点F和一条定直线l的距离相等() F l ?的点的轨迹。 标准方程①焦点在x轴上,开口向右:22 y px =②焦点在x轴上,开口向左:22 y px =- ③焦点在y轴上,开口向上:22 x py =④焦点在y轴上,开口向下:22 x py =- 图形①焦点在x轴上,开口向右:22 y px =②焦点在x轴上,开口向左:22 y px =-①② ③焦点在y轴上,开口向上:22 x py =④焦点在y轴上,开口向下:22 x py =-③④ 焦点①(,0) 2 p ;②(,0) 2 p -③(0,) 2 p ;④(0,) 2 p - 顶 点 (0,0) 关 系 p为焦点到准线的距离离 心率 1 e= 准线①焦点在x轴上,开口向右准线: 2 p x=-②焦点在x轴上,开口向左准线: 2 p x= O x y l F P O x y l F P O x y P F O x y P F
第一部分 基础自测 1、抛物线28y x =-的准线方程是() A. 116x = B. 116y = C. 132y = D. 132 x = 2、已知抛物线的焦点坐标是(0,3)-,则抛物线的标准方程是() A. 212x y =- B. 212x y = C. 212y x =- D. 212y x = 3、抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4、在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线关于x 轴对称,顶点在原点O ,且过点(2,4)P ,则该抛物线的方程是_________. 5、设抛物线28y x =,过焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,过AB 中点M 作x 轴平行线交y 轴于N ,若2MN =,则AB =_________. 第二部分 课堂考点讲解 1、已知抛物线22y x =的焦点是F ,点P 是抛物线上的动点,又有点 (3,2)A . (1)求PA PF +最小值,并求出取最小值时P 点的坐标; (2)求点P 到点1 (,1)2B -的距离与点P 到直线12 x =-的距离之和的最小值. 渐 近 线 ③焦点在 y 轴上,开口向上准线:2 p y =- ④焦点在y 轴上,开口向下准线:2 p y = 统一 定义 到定点F 的距离与到定直线l ()F l ?的距离之比等于定值e 的点的集合.01e <<时, 轨迹是椭圆;1>e 时,轨迹是双曲线,1=e 时,轨迹是抛物线。 (注:焦点要与对应准 线配对使用)
抛物线知识点总结 标准化文件发布号:(9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
抛物线 1.定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线. 其数学表达式:|MF |=d (其中d 为点M 到准线的距离) 7、抛物线的几何性质: 标准方程 22y px = ()0p > 22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =- ()0p > p 的几何意义:焦点F 到准线l 的距离 图形 顶点 ()0,0 对称轴 x 轴 y 轴 焦点 ,02p F ?? ??? ,02p F ??- ??? 0,2p F ?? ??? 0,2p F ??- ??? 准线方 程 2p x =- 2p x = 2p y =- 2p y = 离心率 1e = 范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤ 方程的记忆:一次项是谁焦点就在那一条轴上,一次项系数为正开口正方向,为负开口负方向. 1.若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合,则p 的值为( ) A .2- B .2 C .4- D .4
2.若抛物线22(0)y px p =>的焦点到双曲线221x y -=的渐近线的距离为2 ,则p 的值为( ) A . B .6 C . D .3 3.抛物线28y x =的准线方程为( ) A .4x =- B .2x =- C .4y =- D .2y =- 4. 若点P 到点(0,2)F 的距离比它到直线40y +=的距离小2,则点P 的轨迹方程是( ) A .28y x = B .28y x =- C .28x y = D .28x y =- 5.O 为坐标原点,F 为抛物线2:C y =的焦点,P 为C 上一点,且 ||PF =POF 的面积为( ) A .2 B ...4 6.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,若||3AF =,则||BF =____________。 已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离 为2 .设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (1) 求抛物线C 的方程; (2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ?的最小值.
一. 直线与抛物线的位置关系 直线 ,抛物线 , ,消y 得: (1)当k=0时,直线l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点; (2)当k ≠0时, Δ>0,直线l 与抛物线相交,两个不同交点; Δ=0, 直线l 与抛物线相切,一个切点; Δ<0,直线l 与抛物线相离,无公共点。 (3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定) 二. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l :b kx y += 抛物线 ,)0( p ① 联立方程法: ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ,则有0 ?,以及2121,x x x x +,还可进一步求出
b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+, 2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如 1. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2 122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += , 2 2 10y y y += ② 点差法: 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ,代入抛物线方程,得 1212px y = 22 22px y = 将两式相减,可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+- 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时,2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时,设线段AB 的中点为),(00y x M , 021*******y p y p y y p x x y y = =+=--, 即0 y p k AB = , 同理,对于抛物线)0(22≠=p py x ,若直线l 与抛物线相交于B A 、两点,点),(00y x M 是弦AB 的中点,则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= (注意能用这个公式的条件:1)直线与抛物线有两个不同的交点,2)直线的斜率存 在,且不等于零)
2019年高二数学双曲线知识点总结 双曲线是高二数学中较难的内容,同时也是高中数学的重点。下面给高二同学带来数学双曲线知识点,希望对你有帮助。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x',y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减” a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。 当λ>0时,λa与a同方向; 当λ<0时,λa与a反方向; 当λ=0时,λa=0,方向任意。 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。 注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍; 当∣λ∣0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。 向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律:①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。 ②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。 4、向量的的数量积
高中抛物线知识点总结 高中抛物线知识点总结 平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。下面是关于高中抛物线知识点总结的内容,欢迎阅读! 高中数学抛物线知识点总结(一) 抛物线方程 1 设,抛物线的标准方程、类型及其几何性质: 图形 焦点 准线 范围 对称轴轴轴顶点(0,0)离心率 焦点 注:①顶点 . ②则焦点半径 ;则焦点半径为 . ③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的. ④(或)的参数方程为 (或
)(为参数). 高中数学抛物线知识点总结(二) 抛物线的性质(见下表): 抛物线的焦点弦的性质: 关于抛物线的几个重要结论: (1)弦长公式同椭圆. (2)对于抛物线y2=2px(p>0),我们有P(x0,y0)在抛物线内部 P(x0,y0)在抛物线外部 (3)抛物线y2=2px上的点P(x1,y1)的切线方程是 抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y=kx+ (4)抛物线y2=2px外一点P(x0,y0)的切点弦方程是 (5)过抛物线y2=2px上两点 的两条切线交于点M(x0,y0),则 (6)自抛物线外一点P作两条切线,切点为A,B,若焦点为F, 又若切线PA⊥PB,则AB必过抛物线焦点F. 利用抛物线的几何性质解题的方法: 根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质:抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.利用抛物线的几何性质,可以进行求值、图形的判断及有关证明. 抛物线中定点问题的解决方法: 在高考中一般以填空题或选择题的形式考查抛物线的定义、标准方程以及几何性质等基础知识,在解答题中常常将解析几何中的方法、技巧与
【关键字】方法、条件、问题、位置、关系 第二章 2.4 抛物线
AB 的几条性质 11(,) A x y 22(,) B x y 以AB 为直径的圆必与准线l 相切 若AB 的倾斜角为α,则22sin p AB α= 若AB 的倾斜角为α,则22cos p AB α = 切线 方程 直线 ,抛物线 , ,消y 得: (1)当k=0时,直线l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点; (2)当k ≠0时, Δ>0,直线l 与抛物线相交,两个不同交点; Δ=0, 直线l 与抛物线相切,一个切点; Δ<0,直线l 与抛物线相离,无公共点。 (3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定) 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l :b kx y += 抛物线 ,)0( p ① 联立方程法: 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ,则有0 ?,以及2121,x x x x +,还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+, 2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如 a. 相交弦AB 的弦长 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += , 2 2 10y y y += ② 点差法:
设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ,代入抛物线方程,得 将两式相减,可得 a. 在涉及斜率问题时,2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时,设线段AB 的中点为),(00y x M , 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--, 即0 y p k AB = , 同理,对于抛物线)0(22≠=p py x ,若直线l 与抛物线相交于B A 、两点,点 ),(00y x M 是弦AB 的中点,则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= (注意能用这个公式的条件:1)直线与抛物线有两个不同的交点,2)直线的斜 率存在,且不等于零)
高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点(限考)概要: 1、椭圆: (1)轨迹定义: ①定义一:在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆,两定点是焦点,两定点间距离是焦距,且定长2a大于焦距2c。用集合表示为: ; ②定义二:在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e,那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数e是离心率。 用集合表示为: ; (2)标准方程和性质:
注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。 (3)参数方程:(θ为参数); 3、双曲线: (1)轨迹定义: ①定义一:在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线,两定点是焦点,两定点间距离是焦距。用集合表示为: ②定义二:到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e,那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数e是离心率。 用集合表示为:
(2)标准方程和性质: 注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。
4、抛物线: (1)轨迹定义:在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线,定点是焦点,定直线是准线,定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 : (2)标准方程和性质: ①焦点坐标的符号与方程符号一致,与准线方程的符号相反; ②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一
致; ③标准方程的顶点在原点,对称轴是坐标轴,有别于一元二次函数的图像; 二、复习点睛: 1、平面解析几何的知识结构: 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线,一个三角形”,即六点:四个顶点,两个焦点;六线:两条准线,长轴短轴,焦点线和垂线PQ;三角形:焦点三角形。则椭圆的各性质(除切线外)均可在这个图中找到。
抛物线及其性质 【考纲说明】 1、掌握抛物线的简单几何性质,能运用性质解决与抛物线有关问题。 2、通过类比,找出抛物线与椭圆,双曲线的性质之间的区别与联系。 【知识梳理】 1.抛物线定义:平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线. 2.抛物线四种标准方程的几何性质: 图形 参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离,p 越大,开口越阔. 开口方向 右 左 上 下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =-> 焦 点位 置 X 正 X 负 Y 正 Y 负 焦 点坐 标 (,0)2 p (,0)2p - (0,)2p (0,)2p - 准 线方 程 2p x =- 2p x = 2p y =- 2p y = 范 围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ 0,y x R ≥∈ 0,y x R ≤∈ 对 称轴 X 轴 X 轴 Y 轴 Y 轴 顶 点坐 标 (0,0) 离心率 1e = 通 径 2p 焦半径11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 焦点弦长AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++ 焦点弦长AB 以AB 为直径的圆必与准线l 相切
3.抛物线)0(22>=p px y 的几何性质: (1)范围 因为p>0,由方程可知x ≥0,所以抛物线在y 轴的右侧, 当x 的值增大时,|y |也增大,说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. (2)对称性:对称轴要看一次项,符号决定开口方向. (3)顶点(0,0),离心率:1=e ,焦点( ,0)2p F ,准线2 p x -=,焦准距p . (4) 焦点弦:抛物线)0(22 >=p px y 的焦点弦AB ,),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||. 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时,通径最短为2p 。 4.焦点弦的相关性质:焦点弦AB ,),(11y x A ,),(22y x B ,焦点( ,0)2 p F (1) 若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦(过焦点的弦),且11(,)A x y ,22(,)B x y ,则:21 24 p x x =,2 12y y p =-。 (2) 若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦,且直线AB 的倾斜角为α,则22sin P AB α =(α≠0)。 (3) 已知直线AB 是过抛物线2 2(0)y px p =>焦点F , 112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? (4) 焦点弦中通径最短长为2p 。通径:过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径. (5) 两个相切:○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 5.弦长公式:),(11y x A ,),(22y x B 是抛物线上两点,则 AB =||1 1||1212212y y k x x k -+ =-+= 【经典例题】 (1)抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法,可抛物线只有一种:到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴,又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1,既使它享尽和谐之美,又生出多少华丽的篇章.
双曲线 平面到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a< )的点的轨迹。 方程 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 简图 围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于x 轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线 22 2 21x y a b -=共渐近线的方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 (1) 虚轴长为12,离心率为 54 ; (2) 焦距为26,且经过点M (0,12); (3) 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线,且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y
解:(1)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知,2b=12,c e a ==54 。 ∴b=6,c=10,a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 (2)∵双曲线经过点M (0,12), ∴M (0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y 轴上,且a=12。 又2c=26,∴c=13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425 y x -=。 (3)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 233 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路:解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是e 、a 、b 、c 四者的关系,构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ,直线l 过点(a ,0)和(0,b ),且 点(1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值围。 解:直线l 的方程为 1x y a b -=,级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式,且a >1,得到点(1,0)到直线l 的距离12 2 d a b = +, 同理得到点(-1,0)到直线l 的距离22 2 d a b = +,