爱提分几何第04讲基础学习知识燕尾模型

知识图谱

几何第04讲_基础燕尾模型-一、基础燕尾模型已知两外比的应用已知一外比一内比的应用已知两内比的应用

一：基础燕尾模型

知识精讲

根据等高三角形中的比例关系，我们可以得到如图所示的结论．我们把这种图形，称为燕尾模型．

三点剖析

重难点：如何选择合适的份数，使得份数统一．

常用的方法：①最小图形面积为中心，进行标份数；②公共部分的整数化，优先考虑．

通常已知两内比的燕尾模型，需要借助未知数解决问题．

题模精讲

题模一已知两外比的应用

例1.1.1、

根据图中的比例关系填空．

，；

，；

，；

，．

答案：

COD，ACO；CEO，BCO；BOD，AOC；AOE，BOC

解析：

，；

，；

，；

，．

例1.1.2、

如图，三角形ABC中，已知，，已知△AOE的面积是1，那么△COD的面积是__________．

答案：

4

解析：

标数如图所示．所以那么△COD的面积是4．

例1.1.3、

在△ABC中，，，OB的长度是OE的__________倍．

答案：

2

解析：

标份数如图所示．所以，即OB的长度是OE的2倍．

例1.1.4、

如图，在三角形ABC中，，，已知三角形ABC面积是1，那么三角形ABO的面积是_______．

答案：

解析：

连结OC，设面积为1份，则面积也为1份．根据燕尾模型，

，故面积为4份．这样，

．

例1.1.5、

如图，的三边上各有一点D、E、F，三条线段AD、BE、CF相交于同一点O．已知、的面积分别是65和16，．求的面积．

答案：

20

解析：

，且，故

，，进而，

，．因此

．

例1.1.6、

如图，已知正方形ABCD中，F是BC边的中点，GC=2DG，E是DF与BG的交点．四边形ABED的面积与正方形ABCD的比是______.

答案：

5:8

解析：

如图连接BD和CE，设DGE的面积为1份，则CGD的面积为2，DEB的面积为2，BGD的面积为4，BCG的面积为8，长方形的面积为24，四边形ADEB的面积为15，．

例1.1.7、

如图，在四边形ABCD中，，，四边形AEOf的面积是12，BCDE的是平行四边形．那么四边形ABCD的面积是多少？

答案：

56

解析：

连接BD和AO，利用燕尾模型中的比例关系，可以标出△ABD中每一块的份数．因为BCDE是平行四边形，可知△BCD的面积也是7

份．，四边形ABCD的面积是56．

题模二已知一外比一内比的应用

例1.2.1、

在rABC中，，F是AD的中点，rABC的面积是12，则阴影部分的面积是__________．

答案：

7

解析：

如图所示标份数，所以阴影部分的面积是7．

例1.2.2、

如图，O点是AD的中点，．已知△ABC的面积是24，那么阴影部分的面积是多少？

答案：

6

解析：

连接OC，标份数如图所示．所以阴影部分面积占△ABC面积的，即．

例1.2.3、

如图，在中，点D、E、F分别在三边上，AD、BE、CF交于一点G，，面积，面积．则

的面积为__________．

答案：

60

解析：

因为，面积，所以△BGD面积为，

．，，可得，

，即，得

．，所以的面积为．

题模三已知两内比的应用

例1.3.1、

如图，在三角形ABC中，三角形AEO的面积是1，三角形ABO的面积是2，三角形BOD的面积是3，则四边形DCEO的面积是多少？

答案：

24

解析：

连接四边形CDOE的对角线OC，将其分为△EOC和△OCD，如下图所示．

很明显，．四边形CDOE被分成了两部分，不妨设△EOC为，

那么在△EBC中，，所以△OBC的面积为，△ODC的面积就是．

在△ADC中，，也就是．

交叉相乘可得，解得．

于是，四边形CEOD的面积是．

例1.3.2、

如图，点E和F分别在线段AC和AB上，BE与CF相交于点O．已知、、的面积分别是22、8、11．求．

答案：

55

解析：

延长AO交BC于

D．，

，

故，进而．

例1.3.3、

如图，三角形ABC中，BO:OE=1:1，AO:OD=3:1，S△ABC=48平方厘米．则S四边形DCEO为多少平方厘米？

答案：

20

解析：

连接OC，设S△ABO为3份面积．设S△CEO=x份，S△DCO=y份，可由等高模型列

方程组进行求解．得到份数后，按比例分配即可．则S四边形DCEO 为20平方厘米．

随堂练习

随练1.1、

如图，三角形ABC中已知2个三角形的面积，，那么三角形AOD 的面积是___________．

答案：

6

解析：

，所以．

随练1.2、

如图，△ABC的面积是30．已知，．那么四边形CDOE的面积是__________．

答案：

8

解析：

如图所示标份数．所以四边形CDOE的面积是8．

随练1.3、

如图是一个正方形，图中所标数字的单位是厘米，那么阴影部分的面积是______平方厘米．

答案：

解析：

连结CG．易知E为中点，故．由对称性可知且

，故，

，．

随练1.4、

如图，在三角形ABC中，，D点是BC的四等分点，阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？

答案：

解析：

连接四边形CDEF的对角线CE，将其分为△EFC和△ECD，如下图所示．

由题意，D点是BC的四等分点，不妨就设△CDE的面积是“1”，而△BDE的面积则是“3”．再根据E是AD的中点，那么△ABE 的面积就是“3”，△ACE的面积是“1”．

根据燕尾模型得，所以△AEF的面积就是“”份，△ECD的面积就是“”份．

由此可得阴影部分的面积和是“”，而△ABC的总面积是“8”，阴影部分占总面积的．

随练1.5、

如图，三角形ABC中，S△ABO=30，S△BCO=50，S△AOC=32，求S△AOD．

答案：

12

解析：

根据燕尾模型，AD:DC=S△ABO:S△BCO=30:50=3:5，所以S△AOD为3+5=8份面积，所以S△AOD=．

课后作业

作业1、

求下面图形的面积．

答案：

18；12，6，6

解析：

左图：，所以

．

右图：，所以．

又因为，所以．

作业2、

如图，三角形ABC的面积是30，，，那么三角形AEF的面积是_________．

答案：

3

解析：

如图所示标份数．所以三角形AEF的面积是3．

作业3、

如图，三角形ABC中已知2个三角形的面积，，那么，三角形AOD 的面积是__________．

答案：

6

解析：

，所以．

作业4、

如图，已知正方形ABCD的边长是6．E点是BC上靠近B点的三等分点，F点是CD的中点．阴影部分的面积是__________．

机械制图基本知识和技巧.

1 常用绘图工具、用品及仪器 “工欲善其事，必先利其器”。正确地选择和使用绘图工具和用品是学好《制图》课程的前提。常用的绘图工具和用品共有10种，现一一介绍给大家 一、常用绘图工具 1、图板： 图板是用来固定图纸的矩形木板。其要求： （1）板面平整、光滑； （2）左侧的“导边”应平直。 ＃常用图板规格： 0号（900mm×1200mm）、1号（600mm×900mm）、2号（450mm×600mm） 2、丁字尺： 丁字尺由“尺头”和“尺身”组成。 ＃其用途： （1）与图板配合来画平行线。 （2）与图板、三角板配合来画角度线、垂直线。 3、三角板： 一副三角板由两块三角板组成，一块45o，另一块30o（或60o）。 ＃其用途： （1）与丁字尺配合来画垂直线、倾斜线（15o倍数角的角度线）：45o、30o、60o、75o、105o和15o等， （2）两块三角板配合来画已知直线的平行线或垂直线。 4、比例尺： 比例尺俗称“三棱尺”，共有六种常用的比例刻度，是供绘制不同尺寸比例的图形所用的。 注意：比例尺不能当作直尺来画线使用，只能用于量取不同比例的尺寸。

5、曲线板： 曲线板是用于绘制不规则的非圆曲线的工具（可正、反两面使用）。 其使用方法： （1）至少保证4个点（或4个以上的点）与曲线板的边缘相吻合，才能连接这4个点（或4个以上的点）。 （2）两段之间应有重复。 二、常用的绘图用品 1、铅笔： 铅笔分：硬、中、软三种。其标号有：6H、5H、4H、3H、2H、H、HB、B、2B、3B、4B、5B、6B共13种。其中：6H为最硬，HB为中等硬度，6B为最软。 铅笔的选择与使用： （1）绘制底稿时，应使用H或2H铅笔，并削成尖锐的圆锥形； （2）绘制图形时，应使用B或HB铅笔，并削成四棱柱形（扁铲形）。 （3）铅笔应从没有标号的一端开始使用，以便保留铅笔的软硬标号。 2、绘图纸： 绘图纸有正、反面之分，绘图时，应选用正面画图。其识别方法：用橡皮擦拭几下，不易起毛的一面就是正面，或采用观察法，反光较亮的一面就是正面。 三、常用绘图仪器 1、分规： 分规是用来截取尺寸、等分线段或圆周的工具。 其使用方法：两针尖并拢时应对齐。。 2、圆规： 圆规是用来画“圆”或“圆弧”的工具。 （1）其附件有：钢针插脚、铅芯插脚、鸭嘴插脚、延长杆等。

空间几何体知识点

空间几何体知识点 第一章空间几何体复习 基础知识 （一）空间几何体的结构 一、棱柱定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平 行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE -A B C D E 或用对角线的端点字母。 几何特征：①两底面是对应边平行的全等多边形；②侧面、对角面都是平行四边形; ③侧棱平行且相等；④平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥P -A B C D E 几何特征：①侧面、对角面都是三角形； ②平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3）棱台分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台P -A B C D E 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行； ③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形

（5）圆锥' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去 截棱锥，截面和底面之间的部分。定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转, 其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴, 旋转一周所成的曲面所围成的几何体。 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点； ③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 知识拓展 1. 特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱； 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱； 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱； 底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体； 侧棱垂直于底面的平行六面体叫做直平行六面体；底面是矩形的直平行六面体叫做长方体； 棱长都相等的长方体叫做正方体，其中长方体对角线的平方等于同一顶点 上三条棱的平方和. 2. 特殊的棱锥：如果棱锥的底面为正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱 锥称为正棱锥，正棱锥各侧面底边上的高均相等，叫做正棱锥的斜高； 侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体. 3. 特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的侧面是全等的等腰梯形，正棱台 各侧面等腰梯形的高称为正棱台的斜高 4. 球心与球的截面圆心的连线垂直于截面 5. 规定：在多面体中，不在同一面上的两个顶点的连线叫做多面体的对角线，不在同一面 上的两条侧棱称为多面体的不相邻侧棱，侧棱和底面多边形的边统称为棱. 定义：用一个平行于

(完整版)初中平面几何知识点汇总(一)

平面几何知识点汇总（一） 知识点一相交线和平行线 1.定理与性质 对顶角的性质：对顶角相等。 2.垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 3.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 4.平行线的性质： 性质1：两直线平行，同位角相等。 性质2：两直线平行，内错角相等。 性质3：两直线平行，同旁内角互补。 5.平行线的判定： 判定1：同位角相等，两直线平行。 判定2：内错角相等，两直线平行。 判定3：同旁内角相等，两直线平行。 知识点二三角形 一、三角形相关概念 1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接． 2．三角形中的三种重要线段 （1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． （2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． （3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．

二、三角形三边关系定理 ①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b． ②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c， c>b-a． 注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可 三、三角形的稳定性 三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理． 四、三角形的内角 结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 结论2：在直角三角形中，两个锐角互余． 注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B） ②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角． 如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数． 五、三角形的外角 1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角． 2．性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 六、多边形 ①多边形的对角线 2)3 ( n n条对角线；②n边形的内角和为（n－2）×180°；③多边形的外角和为360°

高中数学立体几何知识点整理

三、立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱： 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到 截面距离与高的比的平方。 （3）棱台： 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图 是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变； ②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，' h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积rh S π2=圆柱侧'2 1ch S =正棱锥侧面积rl S π=圆锥侧面积 ')(2 121h c c S +=正棱台侧面积l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表()l r r S +=π圆锥表()22R Rl rl r S +++=π圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱2V Sh r h π==圆柱13V Sh =锥h r V 231π=圆锥 '1()3 V S S h =台'2211()()33V S S h r rR R h π==++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343 R π ； S 球面=24R π 4、空间点、直线、平面的位置关系 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 应用： 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

第一章空间几何体知识点归纳及基础练习

第一章 空间几何体 一、知识点归纳 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何 体叫圆柱. 2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 ②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+ ④圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π= ⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形 （其中l 表示弧长，r 表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积 V S h =?底 ②锥体的体积 13 V S h =?底 ③台体的体积 1)3V S S h =+ +?下上（ ④球体的体积343 V R π= 二、巩固练习： 222r rl S ππ+=

(完整版)高中立体几何基础知识点全集(图文并茂)

立体几何知识点整理 姓名： 一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 l 符号表示： 2. 线面相交 符号表示： 3. 线在面内 符号表示： 二．平行关系： 1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α 方法二：用面面平行实现。 m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。 若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。 方法四：用向量方法： 若向量和向量共线且l、m不重合，则m l//。 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 方法三：用平面法向量实现。 若n为平面α的一个法向 量，⊥且α ? l,则 α // l。 3.面面平行： 方法一：用线线平行实现。 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l 方法二：用线面平行实现。 β α β α α // , // // ? ? ? ? ? ? ?且相交 m l m l 三．垂直关系： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 α α ⊥ ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ⊥ ⊥ l AB AC A AB AC AB l AC l , m l α

方法二：用面面垂直实现。 αββαβα⊥??? ? ?? ?⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥???? 方法三：用向量方法： 若向量和向量的数量积为0，则m l ⊥。 三．夹角问题。 (一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(?? (2)求法： 方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理： ab c b a 2cos 2 22-+= θ (计算结果可能是其补角) 方法二：向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)： = θcos (二) 线面角 (1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。 (2)范围：]90,0[?? 当?=0θ时，α?l 或α//l 当?=90θ时，α⊥l (3)求法： 方法一：定义法。 步骤1：作出线面角，并证明。 步骤2：解三角形，求出线面角。 方法二：向量法(为平面α的一个法向量)。 ><=, cos sin θ = θ c b a

机械制图识图基本知识1

机械制图基本知识 一.零件图的作用与内容 1.零件图的作用 任何机械都是由许多零件组成的，制造机器就必须先制造零件。零件图就是制造和检验零件的依据，它依据零件在机器中的位置和作用，对零件在外形、结构、尺寸、材料和技术要去等方面都提出了一定的要求。 2.零件图的内容 一张完整的零件图应该包括以下内容，如图1所示 图1 INT7 2”的零件图 （1）标题栏 位于图中的右下角，标题栏一般填写零件名称、 标题栏 技术要求

材料、数量、图样的比例，代号和图样的责任人签名和单位名称等。标题栏的方向与看图的方向应一致。 （2）一组图形用以表达零件的结构形状，可以采用视图、剖视、剖面、规定画法和简化画法等表达方法表达。 （3）必要的尺寸反映零件各部分结构的大小和相互位置关系，满足零件制造和检验的要求。 （4）技术要求给出零件的表面粗糙度、尺寸公差、形状和位置公差以及材料的热处理和表面处理等要求。 二、视图 基本视图:物体向６个基本投影面(物体在立方体的中心，投影到前后左右上下6个方向)投影所得的视图，他们是他们是:

前视图（主视图）、左视图、右视图、顶视图、底视图及后视 图。 三、全剖半剖 为了辅助了解物体内部结构及相关参数，有时候需要对物体进行剖切所得的视图分为全剖视图和半剖视图。 全剖视图：用剖切面完全的剖开物体所得到的剖视图称为全剖试图

半剖视图：当物体具有对称平面时，向垂直于对称平面的投影面上投影所得的图形，可以对中心线为界，一半画成剖视图，另一半画成视图，称为半剖视图。 四、尺寸及其标注

1、尺寸的定义：以特定单位表示线性尺寸值的数值 2、尺寸的分类： 1）基本尺寸通过它应用上、下偏差可计算出极限尺寸的尺寸。 2）实际尺寸通过测量获得的尺寸。 3）极限尺寸一个尺寸允许的两个极端，其中最大的一个称为最大极限尺寸；较小的一个称为最小极限尺寸。 4）尺寸偏差最大极限尺寸减其基本尺寸的所得的代数差称为上偏差；最小极限尺寸减其基本尺寸所得代数差称为下偏差。上下偏差统称为极限偏差，偏差可正可负。 5）尺寸公差简称公差最大极限尺寸减去最小极限尺寸之差，它是允许尺寸的变动量。尺寸公差永为正值 ；其中Φ20为基本尺寸，0.81为公差。0.5为上偏差，-0.31例如：Φ200.5 -0.31 为下偏差。20.5和19.69分别为最大最小极限尺寸。 6）零线 在极限与配合图中，表示基本尺寸的一条直线，以其为基准确定偏差和公差。 7)标准公差 极限与配合制中，所规定的任一公差。国家标准中规定，对于一定的基本尺寸，其标准公差共有20个公差等级。 公差分为CT 、IT、JT 3个系列标准。CT系列为铸造公差标准，IT是ISO 国际尺寸公差，JT为中国机械部尺寸公差

空间几何体知识点归纳

第一章空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' 'E D C B A ABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图： 正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等

平面几何基础知识教程

平面几何基础知识教程（圆） 一、几个重要定义 外心：三角形三边中垂线恰好交于一点，此点称为外心 内心：三角形三内角平分线恰好交于一点，此点称为内心 垂心：三角形三边上的高所在直线恰好交于一点，此点称为垂心 凸四边形：四边形的所有对角线都在四边形ABCD内部的四边形称为凸四边形折四边形：有一双对边相交的四边形叫做折四边形（如下图） （折四边形） 二、圆内重要定理： 1．四点共圆 定义：若四边形ABCD的四点同时共于一圆上，则称A，B，C，D四点共圆基本性质：若凸四边形ABCD是圆内接四边形，则其对角互补 证明：略 判定方法： 1．定义法：若存在一点O使OA=OB=OC=OD，则A，B，C，D四点共圆2．定理1：若凸四边形ABCD的对角互补，则此凸四边形ABCD有一外接圆证明：略 特别地，当凸四边形ABCD中有一双对角都是90度时，此四边形有一外接圆3．视角定理：若折四边形ABCD中，∠=∠ ADB ACB，则A，B，C，D四点共圆

证明：如上图，连CD ，AB ，设AC 与BD 交于点P 因为∠=∠ADB ACB ，所以 180=∠=∠∠=∠∠+∠=∠+∠+∠= ∠+∠+∠=ΔCPB ∽ΔDPA 所以有 再注意到因此Δ∽Δ因此由此（ΔABD 的内角和） 因此A ，B，C，D四点共圆PC PB PD PA CPD BPA CPD BPA PCD PBA BCD BAD BCA PCD BAD BDA PBA BAD 特别地，当∠=∠ADB ACB =90时，四边形ABCD 有一外接圆 2．圆幂定理： 圆幂定理是圆的相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理的统一形式。 相交弦定理：P 是圆内任一点，过P 作圆的两弦AB ，CD ，则PA PB PC PD ?=? 证明：

《空间解析几何2》教学大纲.

《空间解析几何2》教学大纲 课程编号：12307229 学时：22 学分：1.5 课程类别：限制性选修课 面向对象：小学教育专业本科学生 课程英语译名：In terspace An alytic Geometry （2） 一、课程的任务和目的 任务：本课程要求学生熟练掌握解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向 量代数知识，并解决一些实际问题。深刻理解坐标观念和曲线（面）与方程相对应的观念，熟练掌握讨论空间直线、平面、曲线、曲面的基本方法，训练学生的空间想象能力和运算能力。 目的：通过本课程的学习，使学生掌握《空间解析几何》的基本知识、基本思想及基本方法，培养学生的抽象思维能力及空间想象力，培养学生用代数方法处理几何问题的能力，提高学生从几何直观分析问题和和解决问题的能力。为学习《高等代数》及《数学分析》及后继课程打下坚实基础，为日后胜任小学教学工作而作好准备。 二、课程教学内容与要求 （一）平面与空间直线（14学时） 1.教学内容与要求：本章要求学生熟练掌握平面与空间直线的各种形式的方程，能判别空间有关点、直线与平面的位置关系，能熟练计算它们之间的距离与交角。 2?教学重点：根据条件求解平面和空间直线的方程，及点、直线、平面之间的位置关系 3?教学难点：求解平面和空间直线的方程。 4.教学内容： （1）平面的方程（2课时）：掌握空间平面的几种求法（点位式、三点式、点法式、一般式）。 （2）平面与点及两个平面的相关位置（2课时）：掌握平面与点的位置关系及判定方法；掌握空间两个平面的位置关系及判定方法。 （3）空间直线的方程（2课时）：掌握空间直线的几种求法（点向式、两点式、参数式、一般式、射影式）。 （5）直线与平面的相关位置（2课时）：掌握空间直线与平面的位置关系及判定方法。 （6）空间两直线的相关位置（2课时）：掌握空间两直线的位置关系及判定方法。 （7）空间直线与点的相关位置（2课时）：掌握直线与点的位置关系及判定方法。 （8）平面束（2课时）：掌握平面束的定义（有轴平面束和平行平面束），并能根据题意求平面束的方程。 （二）特殊曲面（8学时）

高中立体几何基础知识

高中立体几何基础知识 1. 平面的概念： 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 2. 平面的画法及其表示方法： ①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45，横边 画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画 ②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对 角顶点的字母来表示如平面AC. 3. 空间图形是由点、线、面组成的 点、线、面的基本位置关系如下表所示： α a ?

a α α//a 直线a 与平面α平行 a A α a A α= 直线a 与平面α交于 点A l α β= 平面α、β相交于直 线l 注意：直线与平面平行（α//a ）和直线与平面相交（a A α=）两种情 形，统称为直线在平面外，记为α?a . 4. 平面的基本性质 (1)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的 符号表示： ααα??∈∈a B A ,． 如图示： 应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是 否是平面． 公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平 面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法． (2)公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且 所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 B A α

符号表示： A l A ααββ∈? ?=?∈? 且A l ∈且l 唯一 如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；② 判定点在 直线上 公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依 据，提供了确定两个平面交线的方法． (3)公理3: 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推理模式：,, A B C 不共线?存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈ 应用：①确定平面；②证明两个平面重合 注意:“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在， 但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． (4)推论1 :经过一条直线和直线外的一点有且只有 一个平面 推理模式：A a ??存在唯一的平面α，使得A α∈，α?l (5)推论2: 经过两条相交直线有且只有一个 平面

空间立体几何高考知识点总结与经典题目

空间立体几何 知识点归纳： 1. 空间几何体的类型 (1)多面体：由若干个平面多边形围成的几何体，如棱柱、棱锥、棱台。 (2)旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。 如圆柱、圆锥、圆台。 2. 一些特殊的空间几何体 直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱。正棱柱：底面多边形是正多边形的直棱柱。 正棱锥：底面是正多边形且所有侧棱相等的棱锥。 正四面体：所有棱都相等的四棱锥。 3. 空间几何体的表面积公式 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 _ 2 圆柱的表面积：S =2 rl 2 r2圆锥的表面积：S =理「I ?二r 2 2 圆台的表面积：S =理rl 7 r?二RI ?二R 球的表面积：s= 4 R2 4 ?空间几何体的体积公式 1 柱体的体积：V = S底 h 锥体的体积：v = - S底h 3底 1 ---------- 、， 4 3 台体的体积：V = —( S上?S上S T S下)h 球体的体积：V R 3 '3 5.空间几何体的三视图 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。 侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。 俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。 画三视图的原则： 长对正、宽相等、高平齐。即正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，侧视图和正视图一样高。 6 .空间中点、直线、平面之间的位置关系 (1) 直线与直线的位置关系：相交；平行；异面。

（2）直线与平面的位置关系：直线与平面平行；直线与平面相交；直线在平面内。 （3）平面与平面的位置关系：平行；相交。 7. 空间中点、直线、平面的位置关系的判断 （1）线线平行的判断： ①平行公理：平行于同一直线的两直线平行。 ②线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相 交，那么这条直线和交线平行。 ③面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 ④线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行。 （2）线线垂直的判断： ①线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 ②线线垂直的定义：若两直线所成角为，则两直线垂直 ③一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 （3）线面平行的判断： ①线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平 面平行。 ②面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 （4）线面垂直的判断： ①线面垂直的判定定理：如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这 个平面。 ②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 ③一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ④如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个 （5）面面平行的判断：

《几何图形初步》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《几何图形初步》全章复习与巩固（基础）知识讲解 【学习目标】 1．认识一些简单的几何体的平面展开图及三视图，初步培养空间观念和几何直观； 2．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法； 3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题； 4．逐步掌握学过的几何图形的表示方法，能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的图形． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、多姿多彩的图形 1． 几何图形的分类 要点诠释：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果. 2．立体图形与平面图形的相互转化 （1）立体图形的平面展开图： 把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来． 立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等. ? ? ?平面图形：三角形、四边形、圆等. 几何图形

? ??要点诠释： ①对一些常见立体图形的展开图要非常熟悉，例如正方体的 11种展开图，三棱柱，圆柱等的展开图； ②不同的几何体展成不同的平面图形，同一几何体沿不同的棱剪开，可得到不同的平面图形，那么排除障碍的方法就是：联系实物，展开想象，建立“模型”，整体构想，动手实践. （2）从不同方向看： 主（正）视图---------从正面看 几何体的三视图 左视图-----从左（右）边看 俯视图---------------从上面看 要点诠释： ①会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图. ②能根据三视图描述基本几何体或实物原型. （3）几何体的构成元素及关系 几何体是由点、线 、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成. 要点二、直线、射线、线段 1. 直线，射线与线段的区别与联系 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 要点诠释： ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.

必修立体几何复习知识点习题

一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就 和交线平行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平 面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 90角 1、定义：成 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线 垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影 垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法

机械制图基本知识

青岛市技师学院课时授课计划 编号：QGJ-QR-JW-50L 版本：A/0 流水号：课时授课计划（一体化）

可见轮廓线 尺寸线及尺寸界线 剖面线、过渡线 重合断面的轮廓线 不可见轮廓线 轴线、对称中心线 断裂处的边界线 视图与剖视图的分界线同波浪线 限定范围表示线 相邻辅助零件的轮廓线轨迹线、中断线 极限位置的轮廓线 允许表面处理的表示线

平行。角度的尺寸界线应沿径向引出。 （2）尺寸线 尺寸线由细实线和箭头组成。 尺寸线用细实线绘制在尺寸界线之间, 如图1-7（a ）所示。尺寸线必须单独画出，不能与图线重合或在其延长线上，如图1-7（b ）中尺寸3和8的尺寸线，并应尽量避免尺寸线之间及尺寸线与尺寸界线之间相交，图1-7（b ）尺寸14和18标注不正确。 标注线性尺寸时，尺寸线必须与所标注的线段平行，相同方向的各尺寸线的间距要均匀，间隔应大于7mm ，以便注写尺寸数字和有关符号。标注角度和弧长时，尺寸线应画成圆弧，圆心是该角的顶点，尺寸线不得用其他图线代替。 24 8 16 18 14 R42×φ4 箭头尺寸线数字尺寸界限 2-R416 8 24 3 φ4 18 14 (a)正确 (b)错误图1-7 标注尺寸的要素 尺寸线终端有两种形式：箭头和细斜线。 箭头适用于各种类型的图形，箭头尖端与尺寸界线接触，不得超出也不得离开，如图1-9所示。 （a ）箭头的画法 （b ）正确注法 （c ）错误注法 图1-9 箭头画法 箭头的尾部宽度等于图形中可见轮廓线的宽度b ，长度约为 4b ～5b 。箭头的位置应与尺寸界线接触，不得留有间隙。细45° 斜线的方向和画法如图1-8所示，当尺寸线终端采用斜线形式 时，尺寸线与尺寸界线必须相互垂直，并且同一图样中只能采用 一种尺寸线终端形式。画箭头地方不够时，允许用圆点或斜线代 替箭头，也可用单边箭头。 （3）尺寸数字 讲解， 结讲解 强的画法

立体几何基础知识

立体几何基础知识 1. 平面的概念： 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 2. 平面的画法及其表示方法： ①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时， 当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画 ②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC . 3. 空间图形是由点、线、面组成的 为α?a . 4. 平面的基本性质 (1)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内

符号表示：ααα??∈∈a B A ,． 如图示： 应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面． 公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延 伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法． (2)公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这 个公共点的直线 符号表示：A l A ααββ∈? ?=?∈? 且A l ∈且l 唯一如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上 公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法． (3)公理3: 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, A B C 不共线?存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈ 应用：①确定平面；②证明两个平面重合 注意:“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图 形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． (4)推论1 :经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面 推理模式：A a ??存在唯一的平面α，使得A α∈，α?l (5)推论2: 经过两条相交直线有且只有一个平面 推理模式：P b a = ?存在唯一的平面α，使得αα??b a , (6)推论3 :经过两条平行直线有且只有一个平面 推理模式：//a b ?存在唯一的平面α，使得αα??b a , 5. 平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形特别注意空间四边形是平面图形而不是平面图形. 6. 空间两直线的位置关系 （1）相交——有且只有一个公共点； （2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何．． 一个平面内，没有公共点； 7. 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：//,////a b b c a c ?．

平面几何基础知识

平面几何基础知识（基本定理、基本性质） ?? ?????? ???? ? ? ????? ?????? ? ????????余弦定理正弦定理三角定理外接圆线的交点外心：三角形的三条中内接圆线的交点内心：三角形的角平分 线的交点垂心：三角形的三条高 线的交点重心：三角形的三条中四心角平分线定理垂线定理中线定理 三线定理三角形 1.中线定理：设△ABC 的边BC 的中点为P,则有 ： ()BP AP AC AB 2 2 2 2 2+++，中线长： 2 222 22a c b -+ 2.垂线定理：AB ⊥CD ? BD BC AD AC 2 2 2 2 -=-, 高线长：C b B c A a bc sin sin sin == 3.角平分线定理：三角形的一个角的平分线对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 4.重心性质：设G 为△ABC 的重心， （1）连结AG ，并延长交BC 于D,则AG:GB=2：1 （2）ABC ACG S S S S △△BCG 31 △ABG === （3）GC AB GB CA GB BC 3332 22222+=+=+

()CA BC AB GC GB GA 2 22 2 22 3 1++= ++ PG GC GB GA PC PB PA 32 2 2 2 2 2 2 +++=++（P 为△ABC 内任意一点） （4）三角形内到三顶点距离的平方和最小的点是重心，即 GC GB GA 2 22 ++最小 （5）三角形内到三边距离之积最大的点是重心。 5.垂心性质： （1）三角形任一顶点的距离等于外心到对边距离的两倍 （2）垂心关于△ABC 的三边的对称点均在△ABC 的外接圆上。 （3）△ABC 的垂心为H,则△ABC,△ABH,△BCH,△ACH 的外接圆是等圆。 6.内心的性质：设I 为△ABC 的内心，则： （1）I 到△ABC 三边的距离相等 （2）∠BIC=90°+2 1 ∠A,∠AIC=90°+2 1∠B,∠AIB=90°+2 1∠C （3）∠A 平分线交BC 于D,交△ABC 外接圆于点K,则 a c b KD IK KI AK ID AI +=== 7.外心性质： （1）外心到三角形各顶点距离相等 （2）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外切圆半径之和。 8.梅涅劳斯定理