高中平面向量常考题型
平面向量常考题型
一、线性运算
1、如图，在ABC ?中，点M 为BC 的中点，点N 在边AC 上，且2AN NC =，AM
与BN 相交于点P ，则:AP PM = .【答案：4】 2、已知向量,a b 不共线，OA a α=，OB b β=（实数
0,0αβ≠≠）
.若点C 在直线AB 上，且OC xa yb =+（,x y 都是实数），则x
y
αβ+= .【答案：1】
3、在ABC ?所在的平面内有一点P 满足PA PB PC BC ++=，则PBC ?与ABC ?的
面积之比为 .【答案：13
】 4、点O 时ABC ?内的一点，满足(1)0OA OB OC λλ++-=，若OAB ?的面积与
OAC ?的面积的比为13
，则λ的值为（ ） 3.2A 2B 1.3
C 1.2
D 【答案：A 】
二、数量积 1、（2012浙江卷15）．在?中，M 是的中点，＝3，＝10，则AB AC ?＝． 【答案】—16
2、..已知平行四边形ABCD 中，8AB =，5AD =，3CP PD =，若2AP BP ?=，则
AB AD ?= .【答案 22】
3、函数()4024
tan <
直线l 与函数的图像交于C B ,两点，则 =?+OA OC OB )(
（ ）
A ．8-
B ．4-
C ．4
D ．8 【答案 D 】
4、四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD DC ⊥.若||AB a =，
||AD b =，则AC BD ?= .【答案：22b a -】 5、（2012宁波十校联考.理科17）在ABC ?中，2=AC ,6=BC .已知点O 是ABC ?内一点，且满足043=++OC OB OA ，则=+?)2(BC BA OC .【答案 40】
6、在矩形ABCD 中，2,2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ?=，则AE BF ?的值为 .【答案 2】
7、如图：在ABC ?中，AD AB ⊥，3BC BD =，
||1AD =，则AD AC ?= .
【答案：3】
8、2012天津理（7）已知△为等边三角形，=2AB ，设点P ，Q 满足=AP AB λ，
=(1)AQ AC λ-，R λ∈，若3=2
BQ CP ?-，则=λ （A ）12 （Ｂ）122± （Ｃ）110± （Ｄ）3222-± 【答案】A . 9、点O 是ABC ?的外接圆的圆心，M 是BC 的中点，3AC =，若4AO AM ?=，则AB = .【答案 7】
10、（2014宁波十校联考）.已知c b a ,,均为单位向量，且满足0=?b a ，则?++)(c b a )(c a +的最大值是
A.222+
B. 23+
C. 52+
D. 321+ 【答案】C .
11、边长为2的正方形ABCD 内有一动点P ，满足PBC PAB ??,的面积都不超过1，则PC PB ?的取值范围为 .【答案】.(1,1)-
12、已知平面向量e b a ,,满足，1||=e ，1=?e a ，2=?e b ，2||=-b a ，则b a ?的最小值为 .【答案：54
】 13、（2010全国卷11）已知圆O 的半径为1，,PA PB 为该圆的两条切线，,A B 为两切
点，那么PB PA ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 【答案 D 】
14、已知ABC ?的边BC 的垂直平分线交BC 于Q ，交AC 于P ，若||1AB =，
||2AC =，则AP BC ?的值是（ ）
.A 3 .B
32 .C 3 .D 3 【答案】B 15、
（2013年浙江高考）设ABC ?，0P 是边AB 上一定点，满足014
P B AB =,且对于AB 边上任意一点P ，恒有00PB PC P B PC ?≥?，则（ ） .A ?=∠90ABC .B ?=∠90BAC .C AC AB = .D BC AC = 【答案】D
16、已知向量a ，b ，c 满足0=?b a ，0)()=-?-b c a c （，5||=-b a ，3||=-c a ，则c a ?的最大值是 .
【解析】如图所示，设a OA =，b OB =，c OC =，则b a BA -=，
由0)()=-?-b c a c （得，点C 在以AB 为直径的圆上运动，
3,5AC BA ==，4BC =.
c a ?||||cos OA OC AOC =?∠4||||5
OA OC =?， 设ACO θ∠=，在AOC ?中，由正弦定理，
||||||5sin sin()sin OA OC AC AOC AOC θπθ===--∠∠， 所以||5sin OA θ=，||5sin()OC AOC θ=+∠，
20sin sin()a c AOC θθ?=?+∠4320sin sin cos 55θθθ??=+ ???
810sin(2)18θ?=++≤ 所以a c ?的最大值是18.
17、已知平面向量,,a b c 满足：||2a b -=，5,12
a b π??=，||6c a -=-，7
,12
c a c b π?--?=
，则a c ?的最大值为 .【答案：
三、模长公式
1、设点M 是线段BC 的中点，4BC =，若||||AB AC AB AC +=-，则AM =( )
.8A .4B .2C .1D 【答案：C 】
2、已知在平面坐标系中，(20)A -，，1,3B （）
，O 为原点，且(1)OM tOA t OB =+-（t 为实数），若(1,0)N ，则||MN 的最小值是 .【答案：2
23】 3、（2012江西）直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 是线段CD 的中
点，则=+2
2
2||||||PC PB PA ( ) .2A .4B .5C .10D 【答案：D 】
4、（2012宁波十校联考.9）已知非零向量c b a ,,，满足1||=-b a ，0)()=-?-c b c a （，设||的最大值最小值分别为n m ,，则n m -的值为（ ）
.A 1 .B 2 .C 21 .D 4
1 【答案 A 】 5、已知向量2||=，1||=?=，0)()2=-?-（，
则||-的最小值是（ ） .A 213; .B 2313- .C 217- .D 2
7 【答案 C 】 6、 已知向量)0,1(=，)1,0(=，向量满足0)()(=-?+，则||的最大值是（ ） .A 2 .B 21 .C 2 .D 2
2 【答案：C 】 7、设向量,,a b c 满足||||1a b ==,12
a b ?=-
，,a c b c --=60°，则||c 的最大值等于 . 【答案：2】
8、(2015年浙江省六校联考.理科6）已知向量,a b 是单位向量，若0a b ，且|||2|5c a
c b ，则|2|c
a 的取值范围是( )
A ．[1,3]
B ．[,3]
C ．[5,
D ．[5
,3] 【答案：D 】 9、已知,a b 是单位向量，0a b ?=，若向量c 满足|
|1c a b -
-=，则||c 的取值范围是（ ）
.A
1]
.B
2]- .C 1] .D 2]
10、设向量(2,0)a =，(,)b x y =，若b
与b a -的夹角是6
π，则||b 的最大值是（ ）
.A 2 B . C . 4 D . 【答案】 C
11、已知单位向量a ，b ，c ，x ，且0a b c ++=，记||||||y x a x b x c =-+-+-，则y 的最大值是 .【答案 4】
12、在ABC 中，2BC =，且对于任意实数t ，都有
00|(1)||(1)|3t AB t AC t AB t AC +-≥+-=0()t R ∈，则AB AC ?的最小值是 ，0t 为 .【答案】 8，12
. 13、在ABC ?中，120A ∠=，213BC =，2AC =，AB = ，当||CB CA λ+取到最小值时，则λ= .【答案：6，52-
】 14、已知向量,a b 的夹角为
3π，||2b =，若对于任意的x R ∈，都有||||b xa a b +≥
-恒成立，则1||||2
tb a tb a -+-（t R ∈）的最小值为（ ） .A
.B 3
2 .C 1+ .D 【答案】 D
四、向量与三角形的“四心”
（一）有关结论：O 是平面上一定点，C B A ,,是平面上不共线的三点，P 为动点，
1、?
???++=||||AC AB OA OP λ，），（∞+∈
0λ，则P 点得轨迹一定通过ABC ?的内心； ||||+||0AB PC BC PA CA PB +=，P 为ABC ?的内心；
2、()AC AB OA OP ++=λ），（∞+∈
0λ过重心；0=++CP BP AP ，P 是重心；()||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC C λ=++过重心；()
13PG PA PB PC =++，G 为重心； 3、HA HB HB HC HC HA ?=?=?，则H 是垂心，()||cos ||cos AB AC OP OA AB B AC C
λ=++ ），（∞+∈0λ，则P 点得轨迹一定通过ABC ?的垂心； 4、M 是ABC ?的外心，H 是垂心，则MH MA MB MC =++，
21||2AM AB AB ?=，21||2
AM AC AC ?=. （二）考题精选 1、若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC △的内角C 为（答：120）
O 是ABC △的外心，且0=++OC OB OA ，则角C 为 （答：60°）
； 2、.已知ABC ?中，5AB =，3=AC ，H O ,分别是ABC ?的外心和垂心，则BC OH ?=
【答案】 8
3、在直角坐标系xoy 中，点(0,1)A ，(3,4)B -，若点C 在AOB ∠的平分线上，且||2OC =，则OC = .
4、已知点O 是ABC △所在平面上的一点，若0aOA bOB cOC ++=，则点O 是ABC △的（ ）
.A 内心 .B 外心 .C 垂心 .D 重心
5、若点O 是ABC △所在平面上一点，满足
2
22222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，则若点O 是ABC △的（ ）
.A 内心 .B 外心 .C 垂心 .D 重心 6、已知ABC △的三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，G 是其重心，且满足
0aGA bGB cGC ++=，则ABC △为（ ）
.A 等腰三角形 .B 等腰直角三角形 .C 等腰三角形 .D 等边三角形
7、若ABC △存在一点P ，使得222
PA PB PC ++取得最小值，则点P 应为ABC △的（ ） .A 内心 .B 外心 .C 垂心 .D 重心
8、在ABC ?中，5BC =，
,G M 分别是ABC ?的重心和外心，且5MG BC ?=，则ABC ?的形状是 （ ）
.A 锐角三角形 .B 钝角三角形 .C 直角三角形 .D 以上三种情况都可能
9、在ABC ?中，1AB =，BC =2CA =，ABC ?外接圆的圆心为O ，若
AO AB AC λμ=+，则=λ ， =μ .【答案：4355
，】 10、 点O 是ABC ?的外接圆的圆心，2AB a =，2AC a =，23BAC π∠=，若
AO x AB y AC =+，则36x y +的最小值是 .【
11*、设点P 是ABC ?所在平面内的动点，满足CP CA CB λμ=+，342λμ+=，,R λμ∈，||||||PA PB PC ==，若||3AB =，则ABC ?面积的最大值是
四、综合问题
1、（2011年高考浙江卷文科15)若平面向量βα 满足1,||1αβ=≤，且以向量βα为邻边的平行四边形的面积为12，则βα的夹角θ取值范围是。 【答案】5[,]66
ππ 2、已知ABC △，若对于任意t R ∈，||||BA tBC AC -≥，则ABC △一定是（ ）
.A 锐角三角形 .B 钝角三角形 .C 直角三角形 .D 答案不确定
3、(2011年高考天津卷文科14)已知直角梯形ABCD 中//AD BC ，90ADC ∠=，2AD =，1BC =,P 是腰DC 上的动点,则|3|PA PB +的最小值为 .
【答案】5
4、已知G 是ABC ?的重心，点,P Q 分别在,AC BC 上，记CA a =，CB b =，CP ma =，CQ nb =，若PQ 过ABC ?的重心，则11m n
+= .【答案：3】 5、已知点O 是ABC ?内的一点，且满足+230OA OB OC +=，则
（1）AOB ?与AOC ?的面积的比为 ；【答案：3:2】
（2）ABC ?与AOC ?的面积的比为 ；【答案：3:1】
（3）ABC ?与四边形ABOC 的面积之比为 .【答案：6:5】
【说明】要注意到，当G 为ABC ?的重心时，易证::1:1:1GAB GBC GCA S S S ???=.
6、点O 时ABC ?内的一点，满足(1)0OA OB OC λλ++-=，若OAB ?的面积与
OAC ?的面积的比为13
，则λ的值为（ ） 3.2A 2B 1.3
C 1.2
D 【答案：A 】 7、（2016宁波二模.文科8）在ABC ?中，点D 满足34AD AB =
，P 为ABC ?内一点，且满足32105
AP AB AC =+，则APD ABC S S ??=（ ） 3
.10A 9.20B 6
.35C 9
.35D 【答案：A 】
8、点O 是ABC ?内的一点，且满足3OA OC OB +=-，则AOB ?与AOC ?的面积之比为 .
【答案：1：3】