【高中数学题型归纳】3.3定积分和微积分基本定理
第三节定积分和微积分基本定理
考纲解读
1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念.
2.了解微积分基本定理的含义.
命题趋势探究
定积分的考查以计算为主，其应用主要是求一个曲边梯形的面积，题型主要为选择题和填空题.
知识点精讲 一、基本概念
1.定积分的极念
一般地，设函效()f x 在区间[a ，b]上连续.用分点0121
i
i a
x x x x x n
x b 将区间
[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x （b a
x
n
），在每个小区间
1,i i x x 上任取一点
()1,2,,i i n ξ=，作和式：1()n n i i S f x ξ==?=∑
1
()n
i i b a
f n ξ=-∑，当x 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分．记为：
()b
a
S f x dx =
?
，()f x 为被积函数，x 为积分变量，[,]a b 为积分区间，b 为积分上限，a 为积分下限．
需要注意以下几点： （1）定积分
()b
a
f x dx ?
是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），称为()b
a
f x dx ?，而不是n S ．
（2）用定义求定积分的一般方法. ①分割：n 等分区间
,a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1
()n
i i b a
f n
ξ=-∑
；④取极限：()
1
()lim n
b
i a
n i b a
f x dx f n
ξ→∞
=-=∑?
（3）曲边图形面积：()b
a
S f x dx =?
；变速运动路程2
1
()t t S v t dt =?；变力做功(x)b
a
S F dx =?
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间,a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分
()b
a
f x dx ?表示由直线
,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y
f x 所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影部分所示)的面积，这就
是定积分
()b
a
f x dx ?的几何意义．
一般情况下，定积分
()b
a
f x dx ?
的值的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图像以及直线,x a x b 之
间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．
二、基本性质
性质1
1b
a
dx b a =-?.
性质2
()()(0)b
b
a
a
kf x dx k f x dx k =?
?其中是不为的常数（定积分的线性性质）.
性质3 1
2
1
2
[()()]()()b
b
b
a
a
a
f x f x dx f x dx f x dx ±=±???（定积分的线性性质）.
性质4 ()()()()b
c
b
a a c
f x dx f x dx f x dx a c b =+<
推广1 121
2
[()()()]()()()b b b b
m
m
a
a
a
a
f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±???? 推广2 12
1()()()()k
b
c c b
a a
c c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++????．
三、基本定理
设函数()f x 是在区间[,]a b 上连续，且()F x 是()f x 是在[,]a b 上的任意一个原函数，即
'()()F x f x =，则()()()b a f x dx F b F a =-?，
或记为()()b a b f x dx F x a
==? ()()F b F a -，称为牛顿—
莱布尼兹公式，也称为微积分基本定理．
该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，只要求出被积函数()f x 的一个原函数()F x ．然后计算原函数()F x 在区间[],a b 上的增量()()F b F a -即可，这一定理提示了定积分与不定积分之间的内在联系．
题型归纳及思路提示
题型51 定积分的计算
思路提示
对于定积分的计算问题，若该定积分具有明显的几何意义，如圆的面积等（例3.26及其变式），则利用圆面积计算，否则考虑用牛顿-莱布尼茨公式计算． 例3.25（2012江西11）计算
()1
2
-1
sin x
x dx +?= ．
解析 ()1
2
3-1
11112
sin =cos cos1cos113333
x x dx x x ??????+-=----= ? ? ?-???????．
A. B. C. D.
变式1
()4
21
dx x =?
A.-2ln 2
B. 2ln 2
C.-ln2
D. ln 2
变式2
(
)1
(2)x e x dx +=?
A.1 B 1e -. C.e D. +1e
变式3 设函数()()2
0f x ax c a =+≠，若
()()()1
01f x dx f x x
=≤≤?，则0x 的值为 ．
变式4 设函数()y f x =的定义域为R, 若对于给定的正数k ，定义函数()()
(),(),k k f x k
f x f x f x k ≤?=?>?，则
当函数()1
,1f x k x ==时，定积分()214
k f x dx ?的值为
（ ）
A.2ln 22+
B. 2ln21-
C.2ln2
D. 2ln21+ 例3.26 根据定积分的几何意义计算下列定积分
（1）
()40
2x dx -?； （2）1
-?
分析根据定积分的几何意义，利用图形的面积求解.
解析 根据定积分的几何意义，所求的定积分是直线所围成图形（如图3-14所示）的面积的代数和，很显然这是两个面积相等的等腰直角三角形，如图3-14所示，其面积代数和是0，故
()4
20x dx -=?．
（2）根据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线()2
2
10x y y +=≥和x 轴围成图形（如图3-15所示）
的面积，显然是半个单位圆，其面积是2
π
，故1211=2x dx π--?．
评注 定积分
()b
a
x dx ?的几何意义是函数和直线,x a x b ==以及x 轴所围成的图形面积的代数和，面积是
正值,但积分值却有正值和负值之分，当函数时,()0f x >面积是正值，当函数()0f x <时，积分值是负值．
变式1 根据定积分的几何几何意义计算下列定积分． （1）
()40
2x dx +?； （2）0
2
2
4x dx --?
； （3）100
sin xdx π
?
； （4）34
4
sin xdx ππ-?．
题型52 求曲边梯形的面积
思路提示
函数()(),y f x y g x ==与直线(),x a x b a b ==<围成曲边梯形的面积为
()()|f g |dx b
a
S x x =-?，具体思路是：先作出所涉及的函数图象，确定出它们所围成图形的上、下曲线
所对应函数，被积函数左、右边界分别是积分下、上限． 例3.27 由曲线2
3
,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（ ）
A.
112 B.14 C.13 D.712
解析 由23x x =得01,x x ==或则由2y x =和3
y x =围成的封闭图形的面积为()
123340
11111103
43412x x dx x x ??-=-=-= ????，故选A ． 变式1（2012湖北理3）已知二次函数()y f x =的图象如图3-16所求，则它与x 轴所围成图形的面积为（ ） A.
25π B.43 C.32 D.2π
1
-y
x
O
图3-16
1
1
变式2 由曲线2
y x =和直线()2
0,1,,0,1x x y t t ===∈所围成的图形（如图3-17中阴影部分所示）面积
的最小值为（ ）
A.23
B.13
C.12
D.1
4
变式3 求抛物线2
4y x =与24y x =-围成的平面图形的面积．
变式4 求由两条曲线221
4,y 4
y x x ==和直线4y =所围成的面积．
最有效训练题16（限时45分钟）
1.已知函数()2
23f x x x =--，则()1
1
f x dx -=?（ ）
A. -2
B.16
3
- C.-4 D. 163
2.定积分)
10
x dx =?（ ）
A,
2
4π- B.
12π- C.
14π- D. 12
π- 3.设()[]
2,0,12,(1,2]x x f x x x ?∈=?-∈?
，则()20
f x dx =?（ ）
A.34
B.45
C.5
6
D.不存在 4.2
2
2
,,sin x
a xdx
b e dx
c xdx =
==?
??，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A,a c b << B.a b c << C.c b a << D. c a b << 5.曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2
x x π
==所围成的平面区域的面积为（ ）
A,１ B. ２ 1 D. )
21
6.由直线,,033x x y ππ
=-
=
=与曲线cos y θ=所围成的平面图形的面积为（ ）
A,1
2
B.１ D.
7.抛物线2
2y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积为 ．
8.已知()f x 是偶函数，且()5
6f x dx =?
，则()5
5
f x dx -=? ．
9.
()20
2|1x |dx --=? ．
10.已知函数()y f x =的图象是折线段ABC ，其中()()10,0,5,1,02A B C ??
???
，
．函数()()01y xf x x =≤≤的图象与x 轴所围成的图形的面积为 ．
11.根据定积分的几何意义计算下列定积分．
（１）
1
1|x|dx -?； （２）22
411x dx x ??+ ??
??； （３）11dx +?； （４）20cos 2
x dx π?； （５）2
0cos 2cos sin x dx x x π
-?
１２．有一条直线与抛物线2
y x 相交于Ａ，Ｂ两点，线段ＡＢ与抛物线所围成图形的面积恒等于43
，求线段ＡＢ的中点Ｐ的轨迹方程．
1.高考数学考点与题型全归纳——集合
第一章 集合与简易逻辑 第一节 集 合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 1. 2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 1.3.元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2. 集合间的基本关系 2.1.子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B(或B ?A)． 2.2.真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ，A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B. 两集合相等：A ＝B ?? ??? ? A ? B ，A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性． 2.4.空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}．
3. 集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A∩B ，即A∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B}． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可 知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练]
高中数学各大题型详细方法总结
一三角函数 三角函数的题有两种考法，其中10%~20%的概率考解三角形，80%~90%的概率考三角函数本身。 1.解三角形 不管题目是什么，要明白，关于解三角形，只学了三个公式——正弦定理、余弦定理和面积公式。 所以，解三角形的题目，求面积的话肯定用面积公式。至于什么时候用正弦，什么时候用余弦，如果你不能迅速判断，都尝试一下也未尝不可。 2.三角函数 然后求解需要求的。套路一般是给一个比较复杂的式子，然后问这个函数的定义域、值域、周期、频率、单调性等问题。 解决方法就是，首先利用“和差倍半”对式子进行化简。化简成：
掌握以上公式，足够了。 关于题型，见下图： 二立体几何 立体几何的相关题目，稍微复杂一些，可能会卡住一些人。 这个题目一般有2~3问，一般会考查某条线的大小或者证明某个线/面与另外一个线/面平行或垂直，以及求二面角。 这类题目的解题方法有两种：空间向量法和传统法。这两种方法各有利弊。
向量法： 使用向量法的好处在于：没有任何思维含量，肯定能解出最终答案。缺点就是计算量大，且容易出错。 使用空间向量法，首先应该建立空间直角坐标系。建系结束后，根据已知条件可用向量确定每条直线。其形式为AB=（a，b，c），然后进行后续证明与求解。 箭头指的是利用前面的方法求解。如果有些同学会觉得比较乱，以下为无箭头标注的图。
传统法： 在学立体几何的时候，有很多性质定理和判定定理。但是针对高考立体几何大题而言，解题方法基本是唯一的，除了上图中6和8有两种解题方法以外，其他都是有唯一的方法。 所以，熟练掌握解题模型，拿到题目直接按照标准解法去求解便可。
微积分基本定理(17)
1.6 微积分基本定理（ 2） 一、【教学目标】 重点：使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点：利用微积分基本定理求积分；找到被积函数的原函数． 能力点：正确运用基本定理计算简单的定积分. 教育点：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩 证唯物主义观点，提高理性思维能力. 自主探究点：通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义. 易错点：准确找到被积函数的原函数，积分上限与下限代人求差注意步骤，以免符号出错. 考试点：高考多以填空题出现，以考查定积分的求法和面积的计算为主. 二、【知识梳理】 1. 定积分定义：如果函数() f x在区间[,] a b上连续，用分点 0121- =<<<<<<<= i i n a x x x x x x b，将区间[,] a b等分成n个小区间，在每一个小区间 1 [,] i i x x - 上任取一点(1,2,,) ξ= i i n，作和 1 ()() ξξ = - ?=∑n i i i i b a f x f n ，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数() f x在区间[,] a b上的定积分，记作() b a f x dx ?，即 1 ()lim() n b a i n i b a f x dx f n ξ →∞ = - =∑ ?，这里a、b分别叫做积分的下限与上限，区间[,] a b叫做积分区间，函数() f x叫做被积函数，x叫做积分变量，() f x dx叫做被积式. 2．定积分的几何意义 如果在区间[,] a b上函数连续且恒有()0 f x≥，那么定积分() b a f x dx ?表示由直线, x a x b ==（a b ≠），0 y=和曲线() y f x =所围成的曲边梯形的面积.
【精品】高中数学必修1经典题型总结
1.集合基本运算，数轴应用 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A B = A ．{|0}x x ≥ B ．{|1}x x ≤ C ．{|01}x x ≤≤ D ．{|01}x x << 2.集合基本运算，二次函数应用 已知集合{} {}22|,032|2<≤-=≥--=x x B x x x A ，则=B A （ ） A ．]1,2[-- B ． )2,1[- C.．]1,1[- D ．)2,1[ 3.集合基本运算，绝对值运算，指数运算 设集合{}{} ]2,0[,2|,2|1||∈==<-=x y y B x x A x ，则=B A （ ） A.]2,0[ B. )3,1( C. )3,1[ D. )4,1( 4.集合基本性质，分类讨论法 已知集合A= {} 22,25,12a a a -+，且-3 ∈A ，求a 的值 5.集合基本性质，数组，子集数量公式n 2 .集合A=｛（x,y)|2x+y=5,x ∈N,y ∈N ｝,则A 的非空真子集的个数为（ ） Ａ ４ Ｂ ５ Ｃ ６ Ｄ ７ 6.集合基本性质，空集意识 已知集合A={x|2a-1≤x≤a+2}，集合B={x|1≤x≤5}，若A∩B=A，求实数a 的取值范围． 7.函数解析式，定义域，换元法，复合函数，单调性，根式和二次函数应用，数形结合法 已知x x x f 2)1(+=+，定义域为：x>0 （1）求f(x)的解析式，定义域及单调递增区间 （2）求(-1)f x 解析式，定义域及最小值
8.函数基本性质，整体思想，解方程组 设1()满足2()()2,f x f x f x x -=求)(x f 9.函数基本性质，一次函数，多层函数，对应系数法 若f [ f (x )]＝2x ＋3，求一次函数f (x )的解析式 10.不等式计算，穿针引线法 (1-x)(21)0(1)x x x +≥- 求x 取值范围 11.函数值域，反表示法，判别式法，二次函数应用，换元法，不等式法 求函数2241x y x +=-的值域 求函数2122 x y x x +=++的值域 求函数x x y 41332-+-=的值域 93(0)4y x x x =+> 12.函数值域，分类讨论，分段函数，数形结合，数轴应用 若函数a x x x f +++=21)(的最小值为3，则实数a 的值为 （A ）5或8 （B ）1-或5 （C ）1-或4- （D ）4-或8 13.函数单调性，对数函数性质，复合函数单调性（同增异减） 函数212 ()log (4)f x x =-的单调递增区间为 A.(0，)+∞ B.(-∞，0) C.(2，)+∞ D.(-∞，2)- 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） .A y 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+
1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝?? ?0 1(x 2－x )d x B ．S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x C ．S ＝?? ?0 1 (y 2－y )d y D ．S ＝??? 1 (y － y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图 形的面积S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( ) A ．2 3 B ．2－3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S ＝??? -3 1 (3－x 2 －2x )d x ＝(3x －1 3x 3－x 2)|1 －3＝32 3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π [答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， ∴S ＝1 4×π×22＝π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积
高中数学必修一常见题型归类
常见题型归类 第一章集合与函数概念 1.1集合 题型１集合与元素 题型2 集合的表示 题型3 空集与0 题型4 子集、真子集 题型5 集合运算 题型５.1 已知集合，求集合运算 题型5.2 已知集合运算,求集合 题型５.３已知集合运算,求参数 题型6 “二维”集合运算 题型６自定义的集合 1.2函数及其表示 题型1 映射概念 题型2 函数概念 题型3 同一函数 题型4 函数的表示 题型5 已知函数解析式求值 题型6 求解析式 题型７定义域 题型7．1 求函数的定义域 题型7.2 已知函数的定义域问题 题型8 值域 题型8．1 图像法求函数的值域 题型８.2 转化为二次函数，求函数的值域 题型8.３转化为反比例函数,求函数的值域 题型8.4 利用有界性,求函数的值域 题型８.5单调性法求函数的值域 题型8.6 判别式法求函数的值域
题型8．7 几何法求函数值域 题型9 已知函数值域，求系数 1.3函数的基本性质单调性 题型1 判断函数的单调区间 题型２已知函数的单调区间，求参数 题型3 已知函数的单调性,比较大小 题型4 已知函数的单调性，求范围 1.4函数的基本性质奇偶性 题型1 判断函数的奇偶性 题型2 已知函数的奇偶性，求解析式 题型3 已知函数的奇偶性，求参数 题型4 已知函数的奇偶性,求值或解集等 1.5函数的图像 题型1 函数图像 题型2 去绝对值作函数图像 题型3 利用图像变换作函数图像 题型4 已知函数解析式判断图像 题型5 研究函数性质作函数图像 题型6 函数图像的对称性 第二章基本初等函数 2.1指数函数 题型1 指数运算7 题型２指数函数概念 题型３指数函数型的定义域、值域 题型4 指数函数型恒过定点 题型5 单调性 题型6 奇偶性 题型７图像 题型８方程、不等式 ２.２对数函数
7.微积分基本定理练习题
7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 ＋2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C ．1 D.43 2．∫2π π(sin x －cos x )d x 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．0 3．自由落体的速率v ＝gt ，则落体从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B ．gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4．曲线y ＝cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A ．4 B ．2 C.5 2 D ．3 5．如图，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2－4|d x ＝( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7．??241 x d x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2 8．若??1a ? ?? ??2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 等于( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 9．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2 ，y ＝x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10．设f (x )＝??? ?? x 2 0≤x <12－x 1
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