初三数学讲义圆审批稿
初三数学讲义圆
TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
初三数学讲义（10）（圆） 知识梳理：
1.圆定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合
2. 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
（不能直接用）即：在⊙O 中，∵AB ∥
CD
∴弧AC =弧BD
3. 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
B
D
即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；
③OC OF =；④ 弧BA =弧BD
4. 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 5. 圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 6. 切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：
B
A
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。7、切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA 、PB 是的两条切线
∴PA PB = PO 平分BPA ∠ 基本问题：
1.如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝
3，PB ＝1，那么∠APC 等于（
）（A ） 15（B ） 30（C ） 45（D ） 60 1题 2题
2. 等腰△ABC 的顶角A ＝120°，腰AB ＝AC ＝10，△ABC 的外接圆半径等于（ ） A. 20
B. 15
C. 10
D. 5
3. 已知P 为⊙O 内一点，且OP ＝3cm ，如果⊙O 的半径是4cm ，那么过P 点的最短弦等于（ ）A. 2cm B. 3cm
C. 7cm
D. 27cm
4. 下列判断正确的是（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直线也平分弦所对的两条弧 ③弦的中垂线必定平分弦所对的两条弧；④平分一条弧的直线必定平分这条弧所对的弦
5. 圆的半径等于4cm
，圆内一条弦长，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于_____________；
A
F
B
E
C
D
6. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则sin ∠CBE ＝ （ ）A.
63. B. 23. C. 1
3
. D.
10
10
.
6题 7题
7. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（ ）（A ）
54（B ）45（C ）43（D ）6
5 8. 如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE=OB ， ∠AOC=84°，则∠E 等于( )
A.42 °
B.28°
C.21°
D.20° 拓展问题：
9.如图，AB 是半圆的直径，点C 平分⌒AB
，点D 平分⌒AC ，DB 、CA 交于点E ，则=BE
DE ______.
9题 10题
E
10. 如图，在ABC 中，C=90，D 、E 分别是BC 上的两个三等分点，以D 为圆心的圆过点E ，且交AB 于点F ，此时CF 恰好与⊙D 相切于点F. 如果AC=
24
5
，那么⊙D 的半径=__________. 11. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，DP 交AC 于点Q ，若QP=QO ，则
QA
QC
的值为 ． 12. 如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠BAC=60°，H 为边AC 、AB 上的高BD 、CE 的交点，在BD 上取点M ，使BM=CH ． (1) 求证：∠BOC=∠BHC ； (2) 求证：△BOM ≌△COH ； (3) 求
OH
MH
的值 综合问题
13.如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠A BC ．（1）求证：CA 是圆的切线；（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =3
2，tan ∠AEC =3
5，求圆的直径．
14. 如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD PA ，垂足为D .(1) 求证：CD 为⊙O 的切线；
(2) 若DC +DA =6，⊙O 的直径为10，求AB 的长度.
15. 如图，BD 为⊙O 的直径，AB =AC ，AD 交B C 于点E ，AE =2，ED =4，
(1)求证：△ABE ∽△ADB ；(2)求AB 的长；
(3)延长DB 到F ，使得BF =BO ，连接FA ，试判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由．
16. 如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙于点E 、F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF ．
（1）求证：直线PA 为⊙O 的切线；
（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；
（3）若BC=6，tan∠F=1
2
，求cos∠ACB的值和线段PE的长．
17.如图，已知⊙M与x轴交于A、D两点，与y轴正半轴交于B点，C是⊙M 上一点，且A（-2，0），B（0，4），AB=BC。（1）求M的坐标；（2）求四边形ABCD的面积；（3）过C点作弦CF交BD于E点,当BC=BE时，求C F的长度.
课后作业
1.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧AmB上的一点，则tan APB
∠的值是【】
A．1 B．2 C．3 D．3
2. 如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为【】
A．3 B．4 C．32D．2
4
3. 如下图OA=OB=OC且∠ACB=30°，则∠AOB的大小是【】
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
4. 如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于【】
A40°B． 50° C．60° D．70°
5. 如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点
E、F，则【】
A .EF>AE+BF B. EF 6. 如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A, EC CB =，则下列结论中一定正确的有（）个.A.0 B.1 C.2 D.3 (1)BA⊥DA (2)OC∥AE (3)∠COE=2∠CAE (4)OD⊥AC 7. 如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，点M 在PB 上，且OM ∥AP ，MN ⊥AP ，垂足为N ．（1）求证：OM=AN ；（2）若⊙O 的半径R=3，PA=9，求OM 的长． 8. 如图，AB 是⊙O 的弦，D 为OA 半径的中点，过D 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，交⊙O 于点F ，且CE=CB ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）连接AF ，BF ，求∠ABF 的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA= 5 13 ，求⊙O 的半径． 9. 如图，在平面直角坐标系中，ABC △的边AB 在x 轴上，且OA OB >，以 AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为(02)， ，5AB =，A 、B 两点的横坐标A x ，B x 是关于x 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根． （1）求m 、n 的值； （2）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数解析式； （3）过点D 任作一直线l '分别交射线CA 、CB （点C 除外）于点M 、N ．则 11 CM CN + 的是否为定值若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 作业答案：1.A;2.C ；3.C ；4.B ；5.C ；6.D ；7.5；8.48 305 ，； 9. 解：（1）5m =-，3n =-． 32y x =+． （3）过点D 作DE AC ⊥于E ，DF CN ⊥于F ． CD 为ACB ∠的平分线，DE DF ∴=． 由MDE MNC △∽△，有 DE MD CN MN =由DNF MNC △∽△，有DF DN CM MN = 1DE DF MD DN CN CM MN MN ∴+=+=，即 111 CM CN DE +==