压杆

压杆稳定

1．图示两端球形铰支细长压杆，弹性模量E ＝200Gpa ，试用欧拉公式计算其临

界载荷。 (1) 圆形截面，d=25mm,l =1.0m ；

(2) 矩形截面，h ＝2b ＝40mm ，l ＝1.0m ；

(3) No16工字钢，l ＝2.0m 。

解：求各杆的临界压力Pcr

(1)圆形截面杆：

∵两端球铰 μ=1，

()()

KN l EI P d I cr 8.3711109.110200 m 101.9 642

8

922214

8-4

=????==∴?==-πμππ (2)矩形截面杆：

∵两端球铰 μ=1， 又∵Iy

()()

KN l EI P h I y cr y 8.3711106.210200 m 106.212 b 2

8922214

8-3=????==∴?==∴-πμπ(3) No16工字钢杆：

∵两端球铰 μ=1， 又∵Iy

()

()

KN l EI P y

cr 45921101.9310200 2

8

922

21=????=

=

∴-πμπ

2．图示桁架，由两根弯曲刚度EI 相同的等截面细长压杆组成。，设载荷F 与杆AB 的轴线的夹角为θ，且0<θ<π/2，试求载荷F 的极限值。

解：由铰B 的平衡可得

θtg P P 12=

由已知条件可知，

z

1

60212

121012=====μμI I E E tg l l

AB 和BC 皆为细长压杆

2

2

222

1

21 l EI

P l EI

P cr cr ππ=

=

欲使F 为最大值，则两杆需同时达到临界值，即

3

1

31

60)(022211212arctg

ctg l l tg P P tg P P cr cr cr cr =∴=====θθθ

由铰B 的平衡得

2222111

3104310)2

(310cos cos a EI a EI P P F P F cr cr cr ππθθ=

?===∴=

3. 三根圆截面压杆，直径均为d =160 mm 材料为Q235钢，E =200 GPa ，σp =200 MPa ，σs =240

MPa 。三杆均为两端铰支，长度分别为l 1、l 2和l 3，且l 1=2l 2=4l 3=5m 。试求各杆的临

界压力P cr 。 解：(1) 求柔度极限值

查表得Q235钢：a = 304MPa, b

= 1.12MPa

12

30424099.3 571.12

S a b σλλ--====== (2) 求各杆的临界压力P cr

1杆：

()()

1

(1)1

44

54

2295

(1)22

15

1250.16/40.16 3.2210 6464

20010 3.22102542 15cr l i d I m EI P kN l μλλππππμ--?=

=

=?===?????===? 2杆：

2

2

(2)(1)1

2

(2)1

(2)62(2)62.5304 1.1262.5234 1

234100.164705 4

cr cr cr l l i

l a b MPa P A kN

μλλλλλσλσπ==?

=∴=-=-?===????=

3杆：

3

3

(3)(1)2

1

62(3)31.251

240100.164825 4

cr s

cr S l l i

l P A kN

μλλλσσσπ=

=?

=∴=∴==????=

5． 图示矩形截面压杆，有三种支持方式。杆长l ＝300mm ，截面宽度b ＝20mm ，

高度h ＝12mm ，弹性模量E ＝70Gpa ，λp ＝50,λo ＝50，中柔度杆的临界应力公式为

σcr ＝382MPa – (2.18 MPa)λ

试计算它们的临界载荷，并进行比较。

解：(a)

(1)计算压杆易弯曲平面的柔度：

∵i y < i z ∴求λy

由支持方式： μ=2

2.173012

.03

.02121212

1213

=??==

=

===

h l i

l

h bh bh

A I i y μμλ

(2)判别压杆的性质并计算临界力

p y λλ

(b) (c)

(a) A –A

压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；

kN A E A P cr a cr 53.5012.002.02.17310702

9

222)

(=????=?=?=πλπσ

(b)

(1)计算压杆易弯曲平面的柔度： ∵i y < i z ∴求λy

由支持方式： μ=1

6.86012

.03

.011212=??==

=

h l i

l

y μμλ (2)判别压杆的性质并计算临界力

p y λλ

压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；

kN A E A P cr b cr 1.22012.002.06.8610702

9

222)

(=????=?=?=πλπσ

(c)

(1)计算压杆易弯曲平面的柔度： ∵i y < i z ∴求λy

由支持方式： μ=0.5

3.43012

.03

.05.01212=??==

=

h l i

l

y μμλ (2)判别压杆的性质并计算临界力

p o λλλ

压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力

()kN A b a A P cr c cr 0.6912.002.010)3.4318.2382(6)(=????-=-=?=λσ

)()()(c cr b cr a cr P P P <<∴

6． 图示压杆，截面有四种形式。但其面积均为A ＝3.2×10mm 2， 试计算它们

的临界载荷，并进行比较。材料的力学性质见上题。

(a)

(b)

(c)

解：(a)

(1)计算压杆易弯曲平面的柔度：

∵i y < i z ∴求λy

由已知：

mm b mm b 4,102.3222=∴?=

由支持方式： μ=0.5

1299

004

.03

5.0121212)2()2(1211213

3=??==

=

====

b l i l

b b b b b bh bh A I i y μμλ

(2)判别压杆的性质并计算临界力

p y λλ

压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；

kN A E A P cr a cr 1.1310102.31229

10706

2

9222)

(=?????=?=?=-πλπσ (b)

(1)计算压杆的柔度： 由已知：

mm a mm a 24,102.322=∴?=

由支持方式： μ=0.5

6.918005657

.03

5.0121212

=??==

=

==

a l i

l

a A I i μμλ

(2)判别压杆的性质并计算临界力

p λλ

压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；

kN A E A P cr b cr 2.2610102.36

.918107062

9

222)

(=?????=?=?=-πλπσ (c)

(1)计算压杆的柔度：

由已知：mm d mm d 38.6,102.34

122

=∴?=π 由支持方式： μ=0.5

940

004

.035.04444

64124

=??====

==d l i l d d

d A I i μμλππ

(2)判别压杆的性质并计算临界力

p λλ

压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；

kN A E A P cr c cr 0.2510102.3940

10706

2

9222)

(=?????=?=?=-πλπσ (d)

(1)计算压杆的柔度： 由已知：mm D mm D D 94.8,102.3])7.0([4

1

222=∴?=-π 由支持方式： μ=0.5

550

00894

.049.135.0449.14449

.14)7.0(44

41641641222222

4

4=???====+=+=-

-==D l i l D D D d D d D d D A I i y μμλππππ (2)判别压杆的性质并计算临界力

p λλ

压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；

kN A E A P cr d cr 1.7310102.3550

10706

2

9222)

(=?????=?=?=-πλπσ )()()()(d cr b cr c cr a cr P P P P <<<∴

8．图示压杆，横截面为b×h 的矩形， 试从稳定性方面考虑，确定h/b 的最佳值。

当压杆在x –y 平面内失稳时，可取μy ＝0.7。

解：(1)求在x –z 平面内弯曲时的柔度；

b l b l i l b hb

hb A I i y

y y y y 12

7.012

7.012

121

3=?==

==

=

μλ

(2)求在x –y 平面内弯曲时的柔度；

h l h l i l h hb bh

A I i z z z z z 12

12

112

1213

=?=====μλ

(3) 考虑两个平面内弯曲等稳定性；

y z γλ=

429

.11212

7.0=∴=b h h l b l

9．图示结构AB 为圆截面杆，直径d=80 mm ，A 端固定，B 端与BC 直杆球铰

连接。BC 为正方形截面，边长a=70 mm ，C 端也是球铰。两杆材料相同，弹性模量E ＝70Gpa ，比例极限σp ＝200MPa ，长度l ＝3m 。求该结构的临界力。

解：(1)计算AB 和BC 杆的柔度：

148

07.0311212

5

.15708

.05

.47.044

1222221

11

1

1=??====??=

=

=

a l i l d l i l BC

AB μμλμμλ

(2)比较和确定计算的压杆：因为BC AB λλ ，所以AB 杆的稳定性比BC 杆差，

选AB 杆计算；

(3) 判别压杆的性质并计算临界力：

3.9910

200102006

9

2=??==πσπλp p E p AB λλ ，AB 是细长压杆；

kN d E P cr 4005.157408.01020042

2

93222=????=?=ππλπ

10．图示托架中AB 的直径d ＝4cm ，长度l ＝80cm ，两端可视为铰支，材料是Q235钢。

(1)试按杆AB 的稳定条件求托架的临界力Qcr ；

(2)若已知实际载荷Q ＝70kN ，稳定安全系数[n st ]=2，问此托架是否安全？

解：（1）受力分析 以梁CD 为研究对象，由静力平衡方程可求得 AB

AB

AB C

F Q Q

F Q F M

θθ

θsin 3

2

sin 2309.06.0sin ;0=∴=

∴=?-?=∑

（2）AB 压杆的柔度

80

04.04

8.014

14

d ,1=??====

=d l i l i AB

μμλμ （3）判别压杆的性质并计算临界力：

由Q235钢，E ＝210 GPa ，比例极限σp=200MPa ，屈服极限σs=240Mpa ，a=310 Mpa ，b ＝1.14 MPa 。

1

269

24.6114.1240

310100

1020010210λλλσλπσπλ ∴=-=-=

=??==b a E S S p p

AB 杆为中长杆 （4）计算临界压力

()()KN F F Q KN

A b a A F ABcr ABcr cr cr ABcr 2.1214

732sin 322754

04.0108014.13102

6

=?==

∴=??

??-=-==θπλλσ

（5）稳定性校核

][73.1st cr

n Q

Q n <==

不满足稳定要求。

建筑力学行动导向教学案例教案提纲

模块七压杆稳定性 7.1压杆稳定的概念 为了说明问题，取如图 7-2 (a)所示的等直细长杆，在其两端施加轴向压力 F ,使杆在直 线状态下处于平衡，此时，如果给杆以微小的侧向干扰力， 使杆发生微小的弯曲，然后撤去干扰 力，贝9当杆承受的轴向压力数值不同时， 其结果也截然不同。当杆承受的轴向压力数值 F 小于某 数值 F cr 时，在撤去干扰力以后， 杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡, (a)、(b)所示，这种原有的直线平衡状态称为稳定的平衡; 压力F 小于匚 时，杆件就能够保持稳定的平衡，这种性能称为压杆具有稳定性；而当压 F cr 杆所受的轴向压力 F 等于或者大于 F cr 时，杆件就不能保持稳定的平衡而失稳。 压杆经常被应用于各种工程实际中，例如脚手架立杆和基坑支护的支撑杆，均承受压力， 此时必须考虑其稳定性，以免引起压杆失稳破坏。 7.2临界力和临界应力 7.2.1细长压杆临界力计算公式一一欧拉公式 从上面的讨论可知，压杆在临界力作用下，其直线状态的平衡将由稳定的平衡转变为不稳 定的平衡，此时，即使撤去侧向干扰力，压杆仍然将保持在微弯状态下的平衡。当然，如果压力 超过这个临界力，弯曲变形将明显增大。 所以，使压杆 在微弯状态下保持平衡的最小的轴向压力, 即为压杆的临界压力。下面介绍不同约束条件下压杆的临界力计算公式。 一、两端铰支细长杆的临界力计 算公式一一欧拉公式设两端铰支长度 为z 的细长杆，在轴向压力/ cr 的作 用下保持微弯平衡状态，如图 7-3所示。杆在小变形时其挠曲线近似微分方程为: 图7-2 到某一数值匚时，即使撤去干扰力，杆仍然处于微弯形 F cr 状，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，如图 7-2 (c)、 (d)所示，则原有的直线平衡状态为 不稳定的平衡。如果力 F 继续增大，则杆继续弯曲， 产生显著的变形，甚至发生突然破坏。 上述现象表明，在轴向压力 F 由小逐渐增大的过程中，压 杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆 丧失稳定性或者压杆失稳。显然压杆是否失稳取决于轴向 压力的数值，压杆由直线状态的稳定的平衡过渡到不稳定 的平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界 力，用表示 / cr 当压杆所受的轴向 图7-2 如图7-2 图 7-1 F 逐渐增大 当杆承受的轴向压力数值 图7-1

§压杆稳定的概念 构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。例如，受轴向压力的细长杆，当压力超过一定数值时，压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯（图15-1a），致使结构丧失承载能力；又如，狭长截面梁在横向载荷作用下，将发生平面弯曲，但当载荷超过一定数值时，梁的平衡形式将突然变为弯曲和扭转（图15-1b）；受均匀压力的薄圆环，当压力超过一定数值时，圆环将不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式（图15-1c）。上述各种关于平衡形式的突然变化，统称为稳定失效，简称为失稳或屈曲。工程中的柱、桁架中的压杆、薄 壳结构及薄壁容器等，在有压力存在时，都可 能发生失稳。 由于构件的失稳往往是突然发生的，因而其危害性也较大。历史上曾多次发生因构件失稳而引起的重大事故。如1907年加拿大劳伦斯河上，跨长为548米的奎拜克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。近代这类事故仍时有发生。因此，稳定问题在工程设计中占有重要地位。 “稳定”和“不稳定”是指物体的平衡性质而言。例如，图15-2a所示处于凹面的球体，其平稳是稳定的，当球受到微小干扰，偏离其平衡位置后，经过几次摆动，它会重新回到原来的平衡位置。图15-2b所示处于凸面的球体，当球受到微小干扰，它将偏离其平衡位置，而不再恢复原位，故该球的平衡是不稳定的。 受压直杆同样存在类似的平衡性质问 题。例如，图15-3a所示下端固定、上 端自由的中心受压直杆，当压力小于 某一临界值时，杆件的直线平衡形式 是稳定的。此时，杆件若受到某种微小 干扰，它将偏离直线平衡位置，产生微 弯（15-3b）；当干扰撤除后，杆件又回 到原来的直线平衡位置（图15-3c）。 但当压力超过临界值时，撤除干扰后，杆件不再回到直线平衡位置，而在弯曲形式下保持平衡（图15-3d），这表

压杆稳定 【例1】 压杆的压力一旦达到临界压力值，试问压杆是否就丧失了承受荷载的能力？ 解：不是。压杆的压力达到其临界压力值，压杆开始丧失稳定，将在微弯形态下保持平衡，即丧失了在直线形态下平衡的稳定性。既能在微弯形态下保持平衡，说明压杆并不是完全丧失了承载能力，只能说压杆丧失了继续增大荷载的能力。但当压杆的压力达到临界压力后，若稍微增大荷载，压杆的弯曲挠度将趋于无限，而导致压溃，丧失了承载能力。且在杆系结构中，由于某一压杆达到临界压力，引起该杆弯曲。若在增大荷载，将引起结构各杆内力的重新分配，从而导致结构的损坏，而丧失其承载能力。因此，压杆的压力达到临界压力时，是其承受荷载的“极限”状态。 【例2】 如何判别压杆在哪个平面内失稳？图示截面形状的压杆，设两端为球铰。试问，失稳时其截面分别绕哪根轴转动？ 解：（1）压杆总是在柔度大的纵向平面内失稳。 （2）因两端为球铰，各方向的μ=1，由柔度知l i μλ= （a ）x y i i =，在任意方向都可能失稳。 （b ），x y i i ＜失稳时截面将绕x 轴转动。 （c ）x y i i ＞，失稳时截面将绕y 轴转动。 【例3】 细长压杆的材料宜用高强度钢还是普通钢？为什么？ 解：对于细长压杆，其临界压力与材料的强度指标无关，而与材料的弹性模量E 有关。由于高强度钢与普通钢的E 大致相等，而其价格贵于普通钢，故细长压杆的材料宜用普通钢。 【例4】 图示均为圆形截面的细长压杆（λ≥λｐ），已知各杆所用的材料及直径d 均相同，长度如图。当压力P 从零开始以相同的速率增加时，问哪个杆首先失稳？

1.6a P P 1.3a a P 解：方法一：用公式P lj = π2 EI ／（μl ）２ 计算，由于分子相同，则μl 越大，P lj 越小，杆件越先失稳。 方法二：运用公式P lj ＝σlj A ＝π2 EA /λ2 ，分子相同，而λ＝μl /i ,i 相同,故μl 越大，λ越大，P lj 越小，杆件越先失稳。 综上可知，杆件是否先失稳，取决于μl 。 图中，杆A ：μl ＝2×a ＝2 a 杆B ：μl ＝1×1.3a ＝1.3a 杆C ：μl ＝0.7×1.6a ＝1.12a 由(μl )A ＞(μl )B ＞(μl )C 可知，杆A 首先失稳。 【例5】 松木制成的受压柱，矩形横截面为b ×h ＝100mm ×180mm ，弹性模量E ＝10GPa ， λP ＝110，杆长l ＝7m 。在xz 平面内失稳时（绕y 轴转动），杆端约束为两端固定（图a ），在xy 平面内失稳时（绕z 轴转动），杆端约束为两端铰支（图b ）。求木柱的临界应力和临界力。

第16章压杆稳定 16.1 压杆稳定性的概念 在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度条件，就能保证其正常工作。但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。 当短粗杆受压时(图16-1a)，在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷F s(或抗压强度载荷F b)，杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a所示的同样粗细而比较长的杆件(图16-1b)，当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。此时，F1可能远小于F s(或F b)。可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。 图16－1 失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转(图16-2)；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆(图16-3)；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳(图16-4)。本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。

图16-3 所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状态的稳定性。我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。 第一种状态，小球在凹面内的O点处于平衡状态，如图16-5a所示。先用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。 第二种状态，小球在凸面上的O点处于平衡状态，如图16-5c所示。当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡位置。因此，小球原有的干衡状态是不稳定平衡。 第三种状态，小球在平面上的O点处于平衡状态，如图16-5b所示，当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，把干扰力去掉后，小球将在新的位置O1再次处于平衡，既没有恢复原位的趋势，也没有继续偏离的趋势。因此。我们称小球原有的平衡状态为随遇平衡。 图16-5 图16-6 通过上述分析可以认识到，为了判别原有平衡状态的稳定性，必须使研究对象偏离其原有的平衡位置。因此。在研究压杆稳定时，我们也用一微小横向干扰力使处于

停车库的受力分析计算 一、停车状态如下图所示 二、分析立柱受力并校核 已知：立柱截面为环形，令钢管厚度﹩=(D-d)/2为20mm 即D-d=0.02,材料选为45#， 屈服强度s σ≥355Mpa,安全系数n 取为1.5，弹性模量取为210Gpa ，泊松比取为0.26。 解：简化模型如图1所示,显然Mx>My,故按照Mx 情况进行校核。板自重m1=500Kg ，小车自重为m2=2000Kg 。分析立柱受力知其受压力和弯矩（包含风载）， 故：需校核其强度 即，[]σσ≤ 1、起升载荷Q 的确定 起升载荷包括允许起升的最大汽车重量、以及载车板，因起 升高度＜50米，故钢丝绳质量不计。 因起升速度≤R v 0.2m/s,故起升载荷动载系数2?05.1min ==? 故，()2221m ???+=?=g m Q F 2、 风载荷W P 的确定 qA CK P W h = C ——风力系数，用以考虑受风结构物体型、尺寸等因素对风压的影响 h K ——风力高度变化系数 q ——计算风压() 2/m N A ——立柱垂直于风向的迎风面积() 2m 正视图左视图

1） 计算风压q 风压计算公式为 2613.0q v = 风压按照沿海地区工作状态风压计算v=20m/s,故q=245.22 m /N 风压按照工作状态下的最大计算风压计算，此时q 取2502m /N ，故最终q 取250 2m /N 。 2） 风力系数C 因为离地面高度≤10m,按照海上及海岛2 .010?? ? ??h ，风压高度变化系数h K 取1.00 因为是圆管结构且10q 2≈d （q 为计算风压，d 为圆管直径），故C 取0.9 3） 迎风面积A t A A ψ= ψ——结构的充实率，t A A = ψ，钢管桁架结构ψ值取0.2-0.4，故0.3 t A ——结构或物品外形轮廓面积在垂直于风向平面上的投影() 2m h D A t =() 2m D ——立柱外径；h ——立柱高度 D D qA CK P W 675 325000.19.0h =????== 3、 强度校核1 []n s σσσ= ≤ 即[]σσ≤+= W M A F max cmax 令W M A F + = σ 2??=Q F ;()g m m Q 21+= () 22 4 d D A -= π 21M M M += M1——由重力引起的弯矩；M2——由风载引起的弯矩 ()3.121m 1?+=g m M ;h P M W *=2 1 2

15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？ 解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示Z 轴转动。 15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径d ＝1.6cm ，杆材A 3钢的弹性模量E =200MPa ，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。 解：(a) 柔度： 230 1500.4 λ?= = 相当长度：20.30.6l m μ=?= (b) 柔度： 150 1250.4 λ?== 相当长度：10.50.5l m μ=?= (c) 柔度： 0.770 122.50.4 λ?= = 相当长度：0.70.70.49l m μ=?= (d) 柔度： 0.590 112.50.4 λ?= = 相当长度：0.50.90.45l m μ=?= (e) 柔度： 145 112.50.4 λ?== 相当长度：10.450.45l m μ=?= 由E=200Gpa 及各柔度值看出：各压杆的临界力可用欧拉公式计算。即：() 22 cr EJ P l πμ=各压杆的EJ 均相同，故相当长度最大的压杆(a)临界力最小，压杆(d)与(e)的临界力最大，分别为： () 2948 2 2 2 320010 1.610640.617.6410cr EJ P l N π ππμ-??? ??= ==?

() 2948 2 2 2 320010 1.610640.4531.3010cr EJ P l N π ππμ-??? ??= ==? 15-3 某种钢材P σ=230MPa ，s σ=274MPa ，E =200GPa ，直线公式λσ22.1338-=cr ，试计算该材料压杆的P λ及S λ值，并绘制1500≤≤λ范围内的临界应力总图。 解： 92.6 33827452.5 p s s a λπσλ===--=== 15-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为，12mm 和10mm ，杆长为383mm ，两端为铰支座，材料的E ＝210GPa ，P σ=288MPa ，试求此挺杆的临界力cr P 。若实际作用于挺杆的最大压缩力P =2.33kN ，规定稳定安全系数W n =2~5。试校核此挺杆的稳定性。 解：(1)

压杆的稳定 一．填空题 1.细长压杆有时在杆内应力还还远远小于——之前，就可能突然变弯曲，甚至折断。细长压杆这种由于不能维持原有的直线平衡状态，而发生突然变弯甚至折断的现象，称为——，简称——。 2使细长压杆失稳的——称为该细长压杆的临界力，用——表示。压杆在此力作用下，其横截面上的平均正应力称为——，用——表示 3.压杆两端的支承方式有——、——、——、——，其相应的压杆长度系数u分别是——，——，——，——。 4.对各种不同的材料，其极限柔度值为——，铸铁的值为——，木材的值为——。 5.压杆的稳定条件为——。应用它可以————，————，及————。 二.判断题 1承受轴向压力作用上午直杆，其破坏的原因有其强度不足和因压杆失稳两种。2压杆临界力的大小与杆件的长度、杆件的截面积、杆端支承情况、杆件的材料和杆件和横截面的形状等因素有关。 3在其他因素相同的情况下，压杆越细长，压杆的临界力越小。 4由于压杆截面各方向的惯性矩J不一样，在用欧拉公式计算细长压杆的临界力是，公式中的J应取最大值。 5对同一材料制成的压杆，若柔度相同，则临界力相同。 6欧拉公式对所有的压杆都适用。 7对于同一种材料制成的压杆，折减系数随柔度的增大而减小。 三．问答题 1为什么要研究压杆的稳定性问题？ 2何谓柔度？它与那些因素有关？什么样的压杆称为细长杆 3提高压杆的稳定性的措施有哪些？ 四．计算题 1一根长L=4m，直径d=20cm的圆截面立柱，弹性模量E=10MPa。试求下列两种情况下的临界力和临界应力：（1）两端铰接；（2）一端固定，一端自由。 2截面为16cm 24m的矩形木柱长L=6m两端铰接，许用应力若轴向压力P=7KN，问木柱是否安全？ 3有一根用18号工字钢制成的刚柱，L=4m，它的一端固定，另一端铰接，承受压力P=120KN许用应力试

压杆稳定 一、概念题 1．判断题：（以下结论对者画√，错者画×） （1）直杆受压时的承载能力取决于它的强度是否足够。（）（2）临界应力愈大，压杆愈容易失稳。（）（3）压杆的柔度与压杆的材料无关。（）（4）计算压杆临界力的公式是欧拉公式。（）（5）压杆总是在 值大的纵向平面内失稳。（）（6）两杆的材料、长度、截面积以及两端支撑均相同，它们的临界应力相同。（）（7）细长压杆不易采用高强度钢来提高其稳定性。（）（8）提高压杆稳定性的措施，实际上就是如何增大柔度的措施。（）2．选择题： （1）图示截面形状的压杆，设两端为铰链支承。失稳时（） A、图（A）截面绕y轴转动； B、图（B）截面绕x轴转动； C、图（C）截面绕x轴转动； D、以上回答都不正确。 （2）两根材料相同的压杆，下列哪种情况容易失稳（） A、μ 值大的； B、λ值大的； C、μλ值大的； D、i值小的。 （3）图示为四根材料相同、直径相等的杆件，承载能力大的是（）

二、计算题： 9-1．图示细长压杆均为圆杆，直径d 均相同，材料是Q235钢，E=200GPa 。图（a ）为两端铰支，图(b)为一端固定，另一端铰支，图（c ）为两端固定。试判别那种情况的临界力最大？那种最小？若圆杆直径d=16mm ，试求最大的临界力cr P F 。 题图9－1 9-2．有两根细长压杆，其长度、横截面积、弹性模量、端部支承方式相同，其中一根压杆截面为圆形，另一根压杆截面为正方形，试比较二者的临界力cr P F 和cr P F '。 9-3．图示压杆的材料为Q235钢，E=200GPa,在正视图（a ）的平面内，两端为铰支，在俯视图（b ）的平面内，两端为固定，试求压杆的临界力。 (提示：正视图的平面内1μ=，在俯视图的平面内0.5μ=) 题图9－3

9-1(9-2)图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与成反比，此处，为与约束情况有关的长度系数。 （a）=1×5=5m （b）=0.7×7=4.9m （c）=0.5×9=4.5m （d）=2×2=4m （e）=1×8=8m （f）=0.7×5=3.5m 故图e所示杆最小，图f所示杆最大。 返回 9-2(9-5) 长5m的10号工字钢，在温度为时安装在两个固定支座之间， 这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数。试问当温度升高至多少度时，杆将丧失稳定？ 解：

返回 9-3(9-6) 两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按 细长杆考虑），确定最小临界力的算式。 解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况： （a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳： （b）两根立柱一起作为下端固定而上 端自由的体系在自身平面内失稳 失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆 组成一组合截面。 （c）两根立柱一起作为下端固定而上端 自由的体系在面外失稳

故面外失稳时最小 =。 返回 9-4(9-7)图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成，在点B铰支，而在点A和点C固定，D为铰接点，。若结构由于杆件在平面ABCD内弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点D处的荷载F的临界值。 解：杆DB为两端铰支，杆DA及DC为一端铰支一端固定，选取。此结构为超静定结构，当杆DB失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD及DC也失稳时整个结构才丧失承载能力，故 返回 9-5(9-9) 下端固定、上端铰支、长m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。 已知杆的材料为Q235钢，强度许用应力，试求压杆的许可荷载。

第16章压杆稳定 压杆稳定性的概念 在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度条件，就能保证其正常工作。但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。 当短粗杆受压时(图16-1a)，在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷F s(或抗压强度载荷F b)，杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a所示的同样粗细而比较长的杆件(图16-1b)，当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。此时，F1可能远小于F s (或F b)。可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。 图16－1 失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转(图16-2)；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆(图16-3)；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳(图16-4)。本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。 图16-3 所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状态的稳定性。我们借

助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。 第一种状态，小球在凹面内的O点处于平衡状态，如图16-5a所示。先用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。 第二种状态，小球在凸面上的O点处于平衡状态，如图16-5c所示。当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡位置。因此，小球原有的干衡状态是不稳定平衡。 第三种状态，小球在平面上的O点处于平衡状态，如图16-5b所示，当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，把干扰力去掉后，小球将在新的位置O1再次处于平衡，既没有恢复原位的趋势，也没有继续偏离的趋势。因此。我们称小球原有的平衡状态为随遇平衡。 图16-5 图16-6 通过上述分析可以认识到，为了判别原有平衡状态的稳定性，必须使研究对象偏离其原有的平衡位置。因此。在研究压杆稳定时，我们也用一微小横向干扰力使处于直线平衡状态的压杆偏离原有的位置，如图16-6a所示。当轴向压力F由小变大的过程中，可以观察到： 1)当压力值F1较小时，给其一横向干扰力，杆件偏离原来的平衡位置。若去掉横向干扰力后，压杆将在直线平衡位置左右摆动，最终将恢复到原来的直线平衡位置，如图16-6b所示。所以，该杆原有直线平衡状态是稳定平衡。 2)当压力值F2超过其一限度F cr时，平衡状态的性质发生了质变。这时，只要有一轻微的横向干扰，压杆就会继续弯曲，不再恢复原状，如图16-6d所示。因此，该杆原有直线平衡状态是不稳定平衡。 3)界于前二者之间，存在着一种临界状态。当压力值正好等于F cr时，一旦去掉横向干扰力，压杆将在微弯状态下达到新的平衡，既不恢复原状，也不再继续弯曲，如图16-6c所示。因此，该杆原有直线平衡状态是随遇平衡，该状态又称为临界状态。 临界状态是杆件从稳定平衡向不稳定平衡转化的极限状态。压杆处于临界状态时的轴向压力称为临界力或临界载荷，用F cr表示。 由上述可知，压杆的原有直线平衡状态是否稳定，与所受轴向压力大小有关。当轴向压力达到临界力时，压杆即向失稳过渡。所以，对于压杆稳定性的研究，关键在于确定压杆的临界力。 两端铰支细长压杆的临界力

第16 章压杆稳定 16.1 压杆稳定性的概念 在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度条件，就能保证其正常工作。但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。 当短粗杆受压时（图16-1a），在压力F 由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F 达到屈服强度载荷F s （或抗压强度载荷F b），杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a 所示的同样粗细而比较长的杆件（图16-1b），当压力F 比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F 逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。此时，F1可能远小于F s （或F b）。可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。 图16－1 失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转（图16-2）；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆（图 16-3）；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳（图16-4）。本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。

所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状态的 稳定性。我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。 第一种状态，小球在凹面内的 O 点处于平衡状态，如图 16-5a 所示。先用外加干 扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。 因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。 第二种状态，小球在凸面上的 O 点处于平衡状态，如图 16-5c 所示。当用外加干 扰力使其偏离原有的平衡位置后， 小球将继续下滚， 不再回到原来的平衡位置。 因此， 小球原有的干衡状态是不稳定平衡。 第三种状态，小球在平面上的 O 点处于平衡状态，如图 16-5b 所示，当用外加干 扰力使其偏离原有的平衡位置后，把干扰力去掉后，小球将在新的位置 O 1 再次处于平 衡，既没有恢复原位的趋势，也没有继续偏离的趋势。因此。我们称小球原有的平衡 状态为随遇平衡。 图 16-5 图 16-6 通过上述分析可以认识到，为了判别原有平衡状态的稳定性，必须使研究对象偏 离其原有的平衡位置。因此。在研究压杆稳定时，我们也用一微小横向干扰力使处于 图 16-3

第九章压杆稳定 9-1由五根圆截面钢杆组成的正方形平面桁架，杆的直径均为d＝40mm，材料的弹性模量E=200GPa, a=1m，试求使结构到达临界状态时的最小荷载。如F力向里作用，则最小荷载又是多少？ 答：F t=124kN, F c=350.2kN F 题 9 - 1 图解：当F的杆受压 由静力学平衡方程可知该杆所受压力为 F 294 2 2 200100.04 124 () 124 cr t cr EI F kN l F F kN π π π μ ???? ===∴== 当F 为压力时，长为a的杆受压 由静力学平衡方程可知该杆所受压力为 2 F 294 2 22 200100.04 64248 ()(11) 248 2 350.7 cr c c EI F kN l F kN F kN π π π μ ???? === ? = ∴= 9-2 如图所示细长杆，试判断哪段杆首先失稳。 答：（d） 解：0.5 μ= a 0.7 μ= b 0.7 μ= c 2 μ= d 2 2 () π μ μμμμ = >=> cr d c b a EI F l

crd F ∴最小 ∴d 杆最容易失稳 9-3 试求图示压杆的临界力，材料是HPB235。 答：F cr =19.7kN 题 9 - 3 图 30X 30X 4 解：一端为自由端，一端为固定端，则2μ = 22 ()cr EI F l πμ= 查表可知： 84084 0 2.92100.7710x y I m I m --=?=? 因为最容易失稳的方向是惯性矩最小的方向 所以8400.7710y I I m -==? 298 2 210100.771019.7(20.45) cr F kN π-????∴= =? 9-4两端为球铰的压杆的横截面为图示各种不同形状时，压杆会在哪个平面内失稳（即失稳时，横截面绕哪根轴转动）？

1、( )材料相同的压杆，柔度越大，稳定性越差，故它所能承受的外压力就越小。 1、( )压杆的临界应力是压杆处于临界状态维持直线平衡形式时横截面上的正应力。 2、( )材料相同，柔度相等的压杆，空心杆比实心杆的稳定性好，即空心杆所能承受的压力大。 3、对于压杆稳定，下面错误的伦述是( )。 A 、压杆的临界压力是保持稳定直线平衡的最大载荷。 B 、压杆的柔度越大，压杆越不稳定。 C 、大柔度压杆可以使用欧拉公式计算临界压力。 D 、矩形截面细长压杆，已知Iz>Ir ，计算临界载荷时，应取值Iz 为妥。 5、临界应力是压杆失稳时横截面上的应力（ ） 6、示Q235钢压杆，截面为矩形，面积为3.2*103mm 2， 已知E=200GPA ，σs =235MPA ，λp=100,λs=61.6，试计算其临界载荷。（15分） 7、( )压杆的稳定性主要与压杆的截面大小和压杆的长度有关。 一、是非判断题 9.1 所有受力构件都存在失稳的可能性。 （ × ） 9.2 在临界载荷作用下，压杆既可以在直线状态保持平衡，也可以在微弯状态下保持平衡。 （ × ） 9.3 引起压杆失稳的主要原因是外界的干扰力。 （ × ） 9.4 所有两端受集中轴向力作用的压杆都可以采用欧拉公式计算其临界压力。 （ × ） 9.5 两根压杆，只要其材料和柔度都相同，则他们的临界力和临界应力也相同。 （ × ） 9.6 临界压力是压杆丧失稳定平衡时的最小压力值。 （ ∨ ） 9.7 用同一材料制成的压杆，其柔度（长细比）愈大，就愈容易失稳。 （ ∨ ） 9.8 只有在压杆横截面上的工作应力不超过材料比例极限的前提下，才能用欧拉公式计算其 临界压力。 （ × ） 9.9 满足强度条件的压杆不一定满足稳定性条件；满足稳定性条件的压杆也不一定满足强度 条件。 （ ∨ ） 9.10 低碳钢经过冷作硬化能提高其屈服极限，因而用同样的方法也可以提高用低碳钢制成 的细长压杆的临界压力。 （ × ） 二、填空题 9.1 压杆的柔度λ综合地反映了压杆的 对临界应力的影响。 长度(l )，约束(μ)，横截 面的形状和大小（i ） 有应力集中时

第16章压杆稳定 16、1 压杆稳定性的概念 在第二章中,曾讨论过受压杆件的强度问题,并且认为只要压杆满足了强度条件,就能保证其正常工作。但就是,实践与理论证明,这个结论仅对短粗的压杆才就是正确的,对细长压杆不能应用上述结论,因为细长压杆丧失工作能力的原因,不就是因为强度不够,而就是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式,这就就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。 当短粗杆受压时(图16-1a),在压力F由小逐渐增大的过程中,杆件始终保持原有的直线平衡形式,直到压力F达到屈服强度载荷F s(或抗压强度载荷F b),杆件发生强度破坏时为止。但就是,如果用相同的材料,做一根与图16-1a所示的同样粗细而比较长的杆件(图16-1b),当压力F比较小时,这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式,而当压力F逐渐增大至某—数值F1时,杆件将突然变弯,不再保持原有的直线平衡形式,因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象,称为丧失稳定或失稳。此时,F1可能远小于F s (或F b)。可见,细长杆在尚未产生强度破坏时,就因失稳而破坏。 图16－1 失稳现象并不限于压杆,例如狭长的矩形截面梁,在横向载荷作用下,会出现侧向弯曲与绕轴线的扭转(图16-2);受外压作用的圆柱形薄壳,当外压过大时,其形状可能突然变成椭圆(图16-3);圆环形拱受径向均布压力时,也可能产生失稳(图16-4)。本章中,我们只研究受压杆件的稳定性。

图16-3 所谓的稳定性就是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它就是指平衡状态的稳定性。我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。 第一种状态,小球在凹面内的O点处于平衡状态,如图16-5a所示。先用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置,然后再把干扰力去掉,小球能回到原来的平衡位置。因此,小球原有的平衡状态就是稳定平衡。 第二种状态,小球在凸面上的O点处于平衡状态,如图16-5c所示。当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后,小球将继续下滚,不再回到原来的平衡位置。因此,小球原有的干衡状态就是不稳定平衡。 第三种状态,小球在平面上的O点处于平衡状态,如图16-5b所示,当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后,把干扰力去掉后,小球将在新的位置O1再次处于平衡,既没有恢复原位的趋势,也没有继续偏离的趋势。因此。我们称小球原有的平衡状态为随遇平衡。 图16-5 图16-6 通过上述分析可以认识到,为了判别原有平衡状态的稳定性,必须使研究对象偏离其原有的平衡位置。因此。在研究压杆稳定时,我们也用一微小横向干扰力使处于直线平衡状态的压杆偏离原有的位置,如图16-6a所示。当轴向压力F 由小变大的过程中,可以观察到: 1)当压力值F1较小时,给其一横向干扰力,杆件偏离原来的平衡位置。若去掉横向干扰力后,压杆将在直线平衡位置左右摆动,最终将恢复到原来的直线平衡位置,如图16-6b所示。所以,该杆原有直线平衡状态就是稳定平衡。 2)当压力值F2超过其一限度F cr时,平衡状态的性质发生了质变。这时,只要有一轻微的横向干扰,压杆就会继续弯曲,不再恢复原状,如图16-6d所示。因此,该杆原有直线平衡状态就是不稳定平衡。