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【创新设计】(全国通用)高考数学二轮复习 专题一 第1讲 函数图象与性质及函数与方程训练 文

【创新设计】(全国通用)高考数学二轮复习 专题一 第1讲 函数图象与性质及函数与方程训练 文

第1讲 函数图象与性质及函数与方程

【创新设计】(全国通用)高考数学二轮复习 专题一 第1讲 函数图象与性质及函数与方程训练 文

一、选择题

1.(2015·石家庄模拟)函数f (x )=1-3x

x -1

的定义域为( ) A.(-∞,0] B.[0,1)∪[1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(1,+∞)

解析 由题意知?????1-3x ≥0,x ≠1,解得x ≤0且x ≠1. 答案 A

2.函数f (x )=log 2x -1x

的零点所在的区间为( ) A.? ????0,12 B.? ??

??12,1 C.(1,2) D.(2,3) 解析 函数f (x )的定义域为(0,+∞),且函数f (x )在(0,+∞)上为增函数.

f ? ????12

=log 212-112=-1-2=-3<0, f (1)=log 21-1

1

=0-1<0, f (2)=log 22-1

2

=1-12=12>0, f (3)=log 23-1

3>1-13=23>0,即f (1)·f (2)<0,

∴函数f (x )=log 2x -1x

的零点在区间(1,2)内. 答案 C

3.(2015·安徽卷)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )

A.y =ln x

B.y =x 2

+1 C.y =sin x D.y =cos x

解析 对数函数y =ln x 是非奇非偶函数;y =x 2+1为偶函数但没有零点;y =sin x 是奇函数;y =cos x 是偶函数且有零点,故选D.

答案 D

4.(2015·山东卷)若函数f (x )=2x +12-a

是奇函数,则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( ) A.(-∞,-1) B.(-1,0)

C.(0,1)

D.(1,+∞)

解析 ∵f (x )为奇函数,∴f (-x )=-f (x ),

即2-x +12-x -a =-2x

+12x -a

,整理得(1-a )(2x +1)=0, ∴a =1,∴f (x )>3即为2x +12x -1

>3,化简得(2x -2)(2x -1)<0,∴1<2x <2,∴0<x <1. 答案 C

5.(2015·天津卷)已知函数f (x )=?????2-|x |,x ≤2,(x -2)2,x >2,函数g (x )=3-f (2-x ),则函数y =f (x )-g (x )的零点个数为( )

A.2

B.3

C.4

D.5

解析 函数y =f (x )-g (x )的零点个数即为函数f (x )与g (x )图象

的交点个数,记h (x )=-f (2-x ),在同一坐标系中作出函数f (x )

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与h (x )的图象,如图,g (x )的图象为h (x )的图象向上平移3个单

位,可知f (x )与g (x )的图象有两个交点,故选A.

答案 A

二、填空题

6.(2015·浙江卷)计算:log 222

=________,2log23+log43=________. 解析 log 222=log 22-12=-12

, 2log23+log43=2log23+12log23=2log2332

=3 3. 答案 -12

3 3 7.(2015·长沙模拟)已知奇函数f (x )满足f (x +2)=-f (x ),且当x ∈(0,1)时,f (x )=2x

,则f ? ??

??72的值为________. 解析 由f (x +2)=-f (x )知f (x )的周期为4,

又f (-x )=-f (x ),

∴f ? ????72=f ? ????72-4=f ? ????-12=-f ? ??

??12=- 2.

答案 - 2

8.(2015·武汉模拟)若函数f (x )=?????2x -a ,x ≤0,ln x ,x >0有两个不同的零点,则实数a 的取值范围

是________.

解析 当x >0时,由f (x )=ln x =0,得x =1.

因为函数f (x )有两个不同的零点,则当x ≤0时,

函数f (x )=2x -a 有一个零点,令f (x )=0得a =2x

因为0<2x ≤20=1,所以0<a ≤1,

所以实数a 的取值范围是0<a ≤1.

答案 (0,1]

三、解答题

9.定义在[-1,1]上的奇函数f (x ),已知当x ∈[-1,0]时,f (x )=14x -a 2x (a ∈R ). (1)写出f (x )在[0,1]上的解析式;

(2)求f (x )在[0,1]上的最大值.

解 (1)∵f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,

∴f (0)=0,∴a =1,∴当x ∈[-1,0]时,f (x )=14x -12x . 设x ∈[0,1],则-x ∈[-1,0],

∴f (-x )=14-x -12

-x =4x -2x , ∵f (x )是奇函数,∴f (-x )=-f (x ),∴f (x )=2x -4x .

∴f (x )在[0,1]上的解析式为f (x )=2x -4x .

(2)f (x )=2x -4x ,x ∈[0,1],令t =2x ,t ∈[1,2], g (t )=t -t 2=-? ????t -122

+14. ∴g (t )在[1,2]上是减函数,∴g (t )max =g (1)=0,

即x =0,f (x )max =0.

10.(2015·太原模拟)已知函数f (x )=ax 2-2ax +2+b (a ≠0)在区间[2,3]上有最大值5,最小值2.

(1)求a ,b 的值;

(2)若b <1,g (x )=f (x )-2m

x 在[2,4]上单调,求m 的取值范围.

解 (1)f (x )=a (x -1)2+2+b -a .

①当a >0时,f (x )在[2,3]上为增函数,

故?????f (3)=5,f (2)=2??????9a -6a +2+b =5,4a -4a +2+b =2??

????a =1,b =0. ②当a <0时,f (x )在[2,3]上为减函数,

故?????f (3)=2,f (2)=5??????9a -6a +2+b =2,4a -4a +2+b =5??

????a =-1,b =3. 故?????a =1,b =0或?

????a =-1,b =3. (2)∵b <1,∴a =1,b =0,即f (x )=x 2

-2x +2, g (x )=x 2-2x +2-2m x =x 2-(2+2m )x +2.

若g (x )在[2,4]上单调,

则2+2m 2≤2或2m

+22

≥4,∴2m ≤2或2m ≥6, 即m ≤1或m ≥log 26.

故m 的取值范围是(-∞,1]∪[log 26,+∞).

11.已知函数f (x )=-x 2+2e x +m -1,g (x )=x +e 2x

(x >0). (1)若g (x )=m 有实根,求m 的取值范围;

(2)确定m 的取值范围,使得g (x )-f (x )=0有两个相异实根.

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解 (1)∵x >0,∴g (x )=x +e 2x ≥2e 2=2e , 等号成立的条件是x =e.

故g (x )的值域是[2e ,+∞),因而只需m ≥2e,则g (x )=m 就有实

根.

故m ∈[2e,+∞).

(2)若g (x )-f (x )=0有两个相异的实根,即g (x )=f (x )中函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点,

作出g (x )=x +e 2x

(x >0)的大致图象. ∵f (x )=-x 2+2e x +m -1=-(x -e)2+m -1+e 2

.

其对称轴为x =e ,开口向下,最大值为m -1+e 2.

故当m -1+e 2>2e ,

即m >-e 2+2e +1时, g (x )与f (x )有两个交点,

即g (x )-f (x )=0有两个相异实根.

∴m 的取值范围是(-e 2

+2e +1,+∞).