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数分选讲讲稿第30讲

讲授内容备注第三十讲

二、多元函数连续性 1．连续性的证明

例8 设()f x 及()g y 分别在区间[,], [,]a b c d 上连续．定义

(,)()() (,)x y a c F x y f s ds g t dt a x b c y d =

≤≤≤≤?

试用""εδ-方法证明：(,)F x y 在

{}(,)|,D x y a x b c y d =≤≤≤≤内连续．

证 ()f x 及()g y 分别在[,], [,]a b c d 上连续， 0 M ∴?>，使得

(), ()f x M g y M ≤≤ (,)a x b c y d ≤≤≤≤

于是00(,)x y D ?∈， 00(,)(,)F x y F x y - 00 ()()()()x y x y a c a c f s ds g t dt f s ds g t dt =-???? 0

()()()()x y x y a c a c f s ds g t dt f s ds g t dt

≤

()()()()x y x y a c a c f s ds g t dt f s ds g t dt

000

()()()()x y x y x c a y f s ds

g t dt f s ds

g t dt

≤+

|()||()||()||()x d b y x c a y f s ds

g t dt f s ds

g t dt

≤

2200()||()||M d c x x M b a y y ≤--+-- 记 {}max ,b a d c ?=--，于是

0, 0

2M ε

εδ?>?=

，则当00||, ||x x y y δδ-<-<时，

恒有 00(,)(,)F x y F x y ε-<．

3学时

补充二元函数连续的定义

补充命题：

()f P 在0P 处不连续的充要条件是：00ε?>及点列{}n P ，

虽然0 ()n P P n →→∞，但00()()n f P f P ε-≥．

例9 设(,,)u f x y z =在闭立方体[,;,;,]D a b a b a b =上连续．试证：(,)m ax (,,)a z b

g x y f x y z ≤≤=在正方形2[,;,]a b a b ? 上连续．

证（用反证法）

假设(,)g x y 在某点00(,)[,;,]x y a b a b ∈处不连续，则

00ε?>及点列{}00(,): (,)(,) ( )n n n n x y x y x y n →→∞，

使得 000(,)(,) ( 1,2,)n n g x y g x y n ε-≥= (1)

(,,)

f x y z 在D 上连续，必在D 上一致连续．

对00ε>，0δ?>，当||, ||, ||x x y y z z δδδ'''-<-<-<时，恒有

0(,,)(,,)f x y z f x y z ε'''-<

特别当 00||, ||, x x y y z z δδ'-<-<=时，有

000(,,)(,,) [,]f x y z f x y z z a b ε-

即 000000(,,)(,,)(,,)f x y z f x y z f x y z εε-<<+ 固定,x y ，让z 在[,]a b 上变化，取最大值，可得

000000

(,)(,)(,)g x y g x y g x y εε-<<+

即 00||, ||x x y y δδ-<-<时，

000(,)(,)g x y g x y ε-<．

00 (,)(,) ( )n n x y x y n →→∞ 对0δ>，0N ?>，当n N >时，有

00||, ||n n x x y y δδ

-<-<

从而有 000(,)(,)n n g x y g x y ε-<．与(1)式矛盾．

2．连续与按单变量连续的关系

函数(,)f x y 连续必按单变量连续．反之，按各单变量连

续(,)f x y 不一定连续．在补充某种条件之后，才能保证连续．例10 若(,)f x y 分别是单变量x 及y 的连续函数，对其中一个变量是单调的，则(,)f x y 是二元连续函数．

证设(,)f x y 分别是单变量x 及y 的连续函数，且关于 y

单调增加．

设00(,)x y 是(,)f x y 定义域2

内的任意一点． (,)f x y 关于y 连续，所以

10, 0

εδ?>?>，当01||y y δ-<时，有

000(,)(,)2

f x y f x y ε

(1)

对于点001(,)x y δ-及001(,)x y δ+，由于 (,)f x y 关于x 连续，从而01 (,)f x y δ±在0x 连续．

对上述20, 0εδ>?>，当02||x x δ-<时，有

010*******(,)(,) 2(,)(,)

2f x y f x y f x y f x y ε

δδεδδ?

---<

+-+

令{}12min ,0δδδ=>

则在00(,)x y 的方形邻域{}00(,)|||, ||x y x x y y δδ-<-<上， (,)f x y 关于y 单调增加

(2)

000 (,)(,)(,)2

f x y f x y f x y ε

δδ∴≤+<++

(1)

0000(,)(,)22f x y f x y εεε

?<++=+???

000(,)(,)(,)2

f x y f x y f x y ε

δδ≥->--

0000(,)(,)22f x y f x y εε

ε?

?>--=-????．所以在方形邻域上，有

0000(,)(,)(,)f x y f x y f x y εε

-<<+

即

00(,)(,)f x y f x y ε-<

于是(,)f x y 在00(,)x y 点连续．由00(,)x y 的任意性知，

(,)f x y 连续．

例11 设所论区域上的函数(,)f x y 分别对x ，y 连续．试证：在下列条件之一满足时，(,)f x y 连续． 1) (,)f x y 对x 连续，关于y 一致；

（即0,0, x ε?>0(,)0x δδε?=>，当0||x x δ-<时，对一切y ，恒有

0(,)(,)f x y f x y ε-<）

2) (,)f x y 对y 连续，关于x 一致；

3) 特别，若对其中一个变量满足Lipschitz 条件；

（如对y 满足Lipschitz 条件，即0L ?>，使得12,,y y x ?，有

1212(,)(,)||f x y f x y L y y -≤-）

4) 设所考虑的范围是某个有界闭区域D ，而(,)f x y 在包含D 的某个区域G 上有意义，且在G 上对变量x 或y 满足局部Lipschitz 条件

（如对y 满足局部Lipschitz 条件，即00(,), x y G ?∈?邻域

00(,)U x y G

?及0L ?>，使得1200(,), (,)(,)x y x y U x y ?∈，有

1212(,)(,)||f x y f x y L y y -≤-）

证 1) 设(,)f x y 对x 连续，关于y 一致． 00110(,), 0, (,)0x y x εδδε??>?=> （与y 无关）

当01||x x δ-<时，对一切y ，恒有

0(,)(,)2

f x y f x y ε

又在00(,)x y 处，0(,)f x y 对y 连续，于是对上述20, 0εδ>?>，当02||y y δ-<时，有

000(,)(,)2

f x y f x y ε

取{}12min ,0δδδ=>，则当00||, ||x x y y δδ-<-<时，有

00(,)(,)f x y f x y -

0000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y ≤-+- 22

由00(,)x y 的任意性，这就证明了(,)f x y 的连续性． 2) 类似1)．

3) 可从Lipschitz 条件导出1)或2)．

4) 可从条件4) 导出条件1)（用有限覆盖定理）．例12 在凸域D 上，(,), (,)x y f x y f x y ''有界．则函数

(,)f x y 在D

上连续．

证 00(,)x y D ?∈，由于D 是凸域，则点0(,)x y ，0(,)x y 至少有一个在D 内．不妨设0(,)x y 在D 内，于是有

00(,)(,)f x y f x y -

0000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y ≤-+- 已知

(,), (,) , 0, (,)x y f x y M f x y M M x y D

''≤≤>∈

所以(,)f x y 在0[,]x x （或0[,]x x ），0[,]y y （或0[,]y y ）上可导，由L agrange 中值定理

000(,)(,)(,)||||y f x y f x y f x y y M y y ξ'-=-≤-

ξ介于0,y y 之间 000000(,)(,)(,)||||x f x y f x y f y x x M x x η'-=-≤-

η介于0,x x 之间

[]0000(,)(,)||||f x y f x y M x x y y -≤-+-

于是 0, 0

εδ?>?=>，当00||, ||x x y y δδ-<-<时，有

00(,)(,)22f x y f x y M M M ε

εε??-<+=????

．

则(,)f x y 在0(,)x y 处连续．

由00(,)x y D ∈的任意性，(,)f x y 在凸域D 上连续．注：由上题的证明过程可看出，满足题目的条件，可推出 (,)f x y 在凸域D 上一致连续．

人教版小学数学一年级下册第四单元《100以内数的数数与组成》说课稿讲课讲稿

人教版小学数学一年级下册第四单元《100以内数的数数与组成》说课稿南康市逸夫小学许苏林一、教材分析一年级的学生在入学前，经过了学前教育，很多学生在未学习这一课前，已能数出100以内的数，而且在他们的生活体验中，常常会接触到100以内的数。但孩子们的头脑中，还未有100以内数的概念，这一课教学就是要帮助孩子建立100以内数的概念，为以后学习数学其他知识奠定十分重要的基础。教材很注重学生数感的建立，主题图给了学生100这个数有多大的概念，通过估计和比较建立数感。教材还十分重视让学生实际操作，例题1、2、3的教学都是在学生的动手实践中进行，通过操作建立100以内数的概念，初步掌握数100以内数的方法。二、教学目标、教学重点及教学难点经过对教材的理解和分析，确定了以下教学目标、教学重点及教学难点。教学目标是：

1．学生在已有知识基础上，学会数100以内的数，建立100以内数的概念，能够运用数进行表达和交流。 2．引导学生观察、操作，初步体验数与生活的密切关系，培养学生的主动探究精神。 3．与实际生活相联系，让学生体会到数学知识来源于生活，服务于生活。教学重点是建立100以内数的概念，正确数出100以内的数。教学难点是数数时接近整十数到整十数的过渡。三、教法和学法 1．动手操作学习。通过让学生动手操作，注意调动学生的学习积极性，使学生各种感官协同活动，做到在观察中思维，在思维中操作，概念的形成由具体到抽象，符合学生的认知规律。 2．合作学习。师生合作、生生合作贯穿教学全过程，注意学生之间的信息交流，培养学生的合作意识、团队精神，

营造平等、互助的学习氛围。四、教学过程 1．本课学习是建立在学生20以内数的认识和已有的生活经验的基础上的，学生对100以内的数看似了解，却概念模糊，教师在引入时为学生创设学习情境，给学生送来礼物──100颗星星，通过观察、估计、比较，逐步建立数感。 2．数豆子。首先向学生展示1粒豆子的大小，接着让他们抓一把进行估数，这时也是想通过操作建立数感，但这种数感的建立已进一步扩展到了视觉、触觉和空间的范围，然后动手数一数，通过数数达到验证估计是否准确以及学生主动探索数数方法的目的。最后以汇报的形式与全班进行交流。学生数数的方法多种多样，有些是方便快捷的，也有些是繁琐缓慢的。这时，对各种方法的优劣我不进行评论，而是展示各种方法，至于哪一种方法较好，让学生在操作中自己体会。 3．数100。这一环节以学生操作学具为主，要求就进一步提高了。物品选择正好要数出100，还得让人一眼看出有

微积分选讲讲稿(完整版)(安徽财经大学内部资料)

第一讲函数、极限、连续一、极限（一）极限基本概念 1、极限的定义（1）数列极限：设}{n a 为一个数列，A 为常数，若对任意0>ε，总存在0)(>εN ，当 )(εN n >时，有ε<-||A a n 成立，则称A 为数列}{n a 的极限，记A a n n =∞ →lim 或 )(∞→→n A a n 。（2）函数当自变量趋于无穷时的极限：设)(x f 为一个函数，A 为一个常数，若对任意 0>ε，存在0>X ，当X x >||时，有ε<-|)(|A x f 成立，称)(x f 当∞→x 时以A 为极限，记为A x f x =∞ →)(lim 或)()(∞→→x A x f 。（3）函数当自变量趋于有限值的极限：设)(x f 为一个函数，A 为一个常数，若对任意 0>ε，存在0>δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<-|)(|A x f 成立，称)(x f 当a x →时以 A 为极限，记为A x f a x =→)(lim 或)()(a x A x f →→。（4）左右极限：)(lim )0(0 x f a f a x def +→=+，)(lim )0(0 x f a f a x def -→=-，分别称) 0(),0(-+a f a f 为函数)(x f 在a x =处的左右极限，)(lim x f a x →存在?)0(),0(-+a f a f 都存在且相等。问题：（1）若对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε2||≤-A a n ，数列}{n a 是否以常数A 为极限？（2）若数列}{n a 有一个子列以常数A 为极限，数列}{n a 是否以常数A 为极限？（3）若数列}{n a 的奇子列与偶子列都存在极限，数列}{n a 是否有极限？若其奇子列和偶子列极限存在且相等，数列}{n a 的极限是否存在？

数学分析选讲

分析数学教案主讲人姜广浩淮北师范大学数学科学学院 2010年3月1日

第一章一元函数的极限 § 利用定义及迫敛性定理求极限设R 表示实数集合,*R 表示扩张的实数集,即*R {}+∞∞-?=,R . 例1 若*lim R a a n n ∈=+∞ →.证明*21lim R a n a a a n n ∈=++++∞→ (算术平均值收敛公式). 证明 (1)设R a ∈,由a a n n =+∞ →lim ,0>?ε,01>?N ,当1N n >时, 2 ε< -a a n .因此 a n a a a n -+++ 21 n a a a a a a n ) ()()(21-++-+-= n a a a a a a N -++-+-≤121 n a a a a n N -++-+ + 11 21ε?-+≤ n N n n A 2 ε+N ,当2N n >时, 2 ε 时, a n a a a n -+++ 21εε ε=+<22. (2) 设+∞=+∞ →n n a lim ,则0>?M ,01>?N ,当1N n >时,M a n 3>.因此 n a a a n +++ 21 n a a a N 121+++= n a a a n N N ++++ ++ 2111 M n N n n A 31?-+>, 其中121N a a a A +++= .由于0→n A ,11→-n N n )(+∞→n ,所以存在02>N ,当2 N n >时, 2M n A <,211>-n N n .因此n a a a n +++ 21M M M =-?>2 1321. (3) 当-∞=+∞ →n n a lim 时,证明是类似的.(或令n n a b -=转化为(2)). 注例1的逆命题是不成立的.反例为()n n a 1-=),2,1( =n ,容易看出

《数学分析选讲》第一次作业

《数学分析选讲》第一次作业一、判断下列命题的正误 1. 设S 为非空数集。若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界. 2. 函数()sin =f x x 为(,)-∞+∞上的有界函数. 3．函数()sin cos f x x x =-既不是奇函数，也不是偶函数. 4. 若数列{}n a 收敛，则数列2{}n a 收敛. 5．若数列{}n a 有界，则数列{}n a 一定收敛. 6．若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 的任何子列都收敛. 7. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. 8．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷. 9．若函数)(x f 在0x 的极限存在，则)(x f 在0x 处一定连续. 二、选择题 1．设2,1()3,1x x f x x x +≤?=?->? , 则 [(0)]=f f ( ) A 1 ； B 2 ； C 3 ； D 0 2．设函数1,()0,x f x x ?=??为有理数为无理数，则 1)=f （）． A 1- ； B 1 ； C 0 ； D 12 3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（） A 必不存在； B 至多只有有限多个； C 必定有无穷多个； D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （）． A 收敛； B 发散； C 是无穷大； D 可能收敛也可能发散 5．设lim ||2n n x →∞ =，则（） A 数列}{n x 收敛； B lim 2n n x →∞ =； C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散； D lim 2n n x →∞ =-； 6．已知 2 lim()01 x x ax b x →∞--=+，其中b a ,是常数，则（）

[0088]《数学分析选讲》

[0088]《数学分析选讲》第一次作业 [论述题]1346658460111.doc 《数学分析选讲》第一次主观题作业一、判断下列命题的正误 1. 若数集S 存在上、下确界，则inf su p S S ≤. 2. 收敛数列必有界. 3. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. 4．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷. 5．若一数列收敛，则该数列的任何子列都收敛. 二、选择题 1．设2,1 ()3,1 x x f x x x -≤?=? ->?, 则 [(1)]f f =( ) . A 3- ； B 1- ； C 0 ； D 2 2．“对任意给定的)1,0(∈ε，总存在正整数N ，当N n ≥时，恒有2||2n x a ε-≤”是数列 }{n x 收敛于a 的（）. A 充分必要条件； B 充分条件但非必要条件； C 必要条件但非充分条件； D 既非充分又非必要条件 3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（） A 必不存在； B 至多只有有限多个； C 必定有无穷多个； D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （）． A 收敛； B 发散； C 是无穷大； D 可能收敛也可能发散 5．设a x n n =∞ →||lim ，则（） A 数列}{n x 收敛； B a x n n =∞ →lim ； C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散； D a x n n -=∞ →lim ； 6．若函数)(x f 在点0x 极限存在，则（） A )(x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值； B )(x f 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值； C )(x f 在0x 的函数值可以不存在；

数分选讲讲稿

讲授内容第三十四讲 § 6.4隐函数存在定理对方程F(x,y) 0而言，隐函数存在定理是：F(x,y)满足 10F(x o, y o) 0, F y(x o, y o) 0 ； 20F (x, y)及F y(x, y)在(x。, y。)的某邻域内连续，则方程F(x, y) 0在(x o,y。)的邻域里确定了唯一的隐函数. 具体来说，即o, o，及函数y y(x)，满足： i) y o y(x o)； ii) F x, y(x) o, |y(x) y°| , x U(x o,) 其中U (x o, ) x||x-x o | ； iii) 满足条件i)、ii)的函数y(x)是唯一的； iv) y y(x)在U(x o,)内连续. 若附加条件：F x(x,y)在(x o,y o)的邻域内连续，则y (x)存在，且y (x) dy F x(x, y). dx F y(x,y) 例1给定方程x2y sin (xy) o (A) 1) 说明在点(o,o)的充分小的邻域内，此方程确定唯一的、连续的函数y y(x)，使得y(o)o ； 2) 讨论函数y(x)在x o附近的可微性； 3) 讨论函数y(x)在x o附近的升降性(单调性)； 4) 在点(o,o)的充分小的邻域内，此方程是否确定唯一的单值函数x x(y)，使得x(o)o ?为什么？解1) F(x, y) x2y sin(xy) 0, y y; j 3学时［注：定理的条件|只是充分条件，!而不是要条件. |偏导数是两个特- i殊方向的方向导 |数 - i梯度方向是函数I变化最剧烈的方I - i向，或个方向导 1数的最大值就是i - i梯度的模；书P ioo E x5 i i外法线方向［对一元函数 ■ ! i 若f (x) 0, x I j 则f (x) C, x I I |注：本结论可推: I广到E n中.

小学数学三年级作业讲课讲稿

小学数学三年级作业

1.爸爸、妈妈和我分别掰了9个玉米，小弟弟掰了6个。问我们全家一共掰了多少个玉米？ 2.小兔种了5行萝卜，每行9个。送给邻居兔奶奶15个，还剩多少个？ 3.王师傅做了80个面包，第一次卖了17个，第二次卖了25个，还剩多少个？ 4.妈妈买了15个苹果，买的橘子比苹果少6个，问一共买了多少个水果？ 5.动物园有熊猫4只，有猴子是熊猫的3倍。问一共有熊猫和猴子多少只？ 6.图书馆有90本书。一年级借走20本，二年级借走17本。问图书馆还有多少本书？ 7.二.一班有女生15人，男生比女生多11人，问二.一班有学生多少人？ 8.小汽车每辆能坐4人，大客车能坐25人，有3辆小汽车和1辆大客车。问一共能坐多少人？ 9.商店里有4盒皮球，每盒6个，卖出20个，还剩多少个？ 10.小明有6套画片，每套3张，有买来4张，问现在有多少张？ 11.学校买回3盒乒乓球，每盒8个，平均发给二年级4个班，每个班分得几个乒乓球？ 12.小熊捡了9个玉米，小猴检的是小熊的4倍，他们一共捡了多少个玉米？

13.食品店有85听可乐，上午卖了46听，下午卖了30听，还剩多少听？ 14.操场上原有16个同学，又来了14个。这些同学每5个一组做游戏，可以分成多少组？ 15.小明买了3个笔记本，用去12元。小云也买了同样的6个笔记本，算一算小云用了多少钱？ 16.体育室有60副羽毛球拍。小明借走了15副，小亮借走了26副，现在还剩多少副？ 17.一小桶牛奶5元钱，一大桶牛奶是一小桶的4倍，买一大一小两桶牛奶共需要多少钱？ 18.一本故事书，小明每天看5页，看了9天，还剩28页，这本书共有多少页？ 19.王老师在文具店买了5张绿卡纸，15张红卡纸。红卡纸是绿卡纸的多少倍？ 20.二年级一班有20名男生，22名女生，平均分成6个小组，每组有几名同学？ 21、一辆空调车上有42人，中途下车8人，又上来16人，现在车上有多少人? 22、面包房一共做了54个面包，第一队小朋友买了8个，第二队小朋友买了22个，现在剩下多少个?

数学分析选讲

《数学分析选讲》A/B 模拟练习题参考答案一、选择题：（共18题，每题3分） 1、下列命题中正确的是（ A B ） A 、若'()()F x f x =，则()F x c +是()f x 的不定积分，其中c 为任意常数 B 、若()f x 在[,]a b 上无界，则()f x 在[,]a b 上不可积 C 、若()f x 在[,]a b 上有界，则()f x 在[,]a b 上可积 D 、若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上可积 2、设243)(-+=x x x f ，则当0→x 时，有（ B ） A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非是等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 3、若f 为连续奇函数,则()x f sin 为( A ) A 、奇函数 B 、偶函数 C 、非负偶函数 D 、既不是非正的函数,也不是非负的函数. 4、函数()f x 在[,]a b 上连续是()f x 在[,]a b 上可积的（ A ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分

C. 充分必要条件 D. 非充分也非必要条件. 5、若f 为连续奇函数,则()x f cos 为( B ) A 、奇函数 B 、偶函数 C 、非负偶函数 D 、既不是非正的函数,也不是非负的函数. 6、设arctan (),x f x x = 则0x =是()f x 的（ B ） A. 连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点 7、设+N ∈?N ,当N n >时,恒有n n b a >,已知A a n n =∞ →lim ,B b n n =∞ →lim .则正确的选项是( A ) A 、 B A ≥ B 、B A ≠ C 、B A > D 、A 和B 的大小关系不定. 8、函数f(x,y) 在点00(,)x y 连续是它在该点偏导数都存在的（ A ） A.既非充分也非必要条件 B 充分条件 C.必要条件 D.充要条件 9、极限=+-∞→3 3 21 213lim x x x ( D ) A 、 3 23 B 、3 23- C 、3 23± D 、不存在. 10、部分和数列}{n S 有界是正项级数∑∞ =1 n n u 收敛的( C )条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C.充分必要 D.非充分非必要

数分选讲讲稿第讲

第十九讲 3、在不等式两端取变限积分证明新的不等式例15证明：当x 0时，证已知cosx 1，( x 0，只有x 2n时，等号成立) 在此式两端同时取［0, x］上的积分，得 i X2 再次取［0, x］上的积分，得 1 cosx 一x 0 2 : i 一X3 第二次取［0, x］上的积分，得x sinx —x 0 | 3 所以x —sin x 6 2 上式再在［0, x］上的积分，得——1 cosx x 0 ' 2 24 2 4 I 即cosx 1 —一 2 24 3 5 |再在［0, x ］上的积分，得si nx x - + -^ x 0. 6 120 i : 例16设f (x)是［a,b］上连续的凸函数.试证：人公2 ［a,b］,人X2，有 ! 证令t X1 (X2 xj (0,1)，贝U 同理，令t X2 (X2 xj, (0,1)，贝U i 从而注意到 X1 (X2 X1)与X2 (X2 X1)关于中点凶一X1对称，f (X)又! 2 为凸函数，所以另一方面，由(1)式及f (X)的凸性 I 例17设函数g(x)在［a,b］上递增.试证：x (a,b) X 函数f (x) ° g(t)dt为凸函数.3学时几何解释：方法III可推广. Cauchy不等式的积分形式称为Schwarz 不第二项积分值大于零.

证 Q g(x)在［a, b ］上递增， x 1, x 2, x 3 (a,b),为 x 2 x 3 所以，f(x)为凸函数. b 例 18 设 f (x) , p(x)在［a,b ］上连续，p(x) 0, p(x)dx 0 a 且m f(x) M , (x)在［m,M ］上有定义，并且有二阶导数， I (利用积分和)将区间［a,b ］ n 等分，记在［a,b ］上取积分其中 (x) 0.试证: (x) 0， (x)为凸函数. 由詹禁定理，取 P i n P j j 1 (j 1,2,L , n)， i II r b a P i f i —— i 1 n n b a P i i 1 n n P i (f i ) i 1 ~n P i b a n b a n (利用Taylor 公式) X 。 b p(x) f (x)dx a b a P(x)dx (y) (X 。) (X o )(y X 。) ()(y X 。)2. 注意 (y) (x o ) (x °)(y x °). 在上式中，令 f(x)，然后两边乘以 b P(X) ，得 a P(x)dx b a P(x) b a P(x)dx f(x) dx ---------- (X o ) (X 。) b a P(X) f(x) X o dx a b a P(x)dx § 4.5 不等式

数列分组求和法讲课讲稿

分组求和法典题导入 [例1] (2011·山东高考)等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列第二列第三列第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前2n 项和S 2n . [自主解答] (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意；当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18.所以公比q ＝3，故a n ＝2·3n －1. (2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，所以S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝2(1＋3＋…＋32n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n ](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n 2n ]ln 3＝2×1－32n 1－3 ＋n ln 3＝32n ＋n ln 3－1. 由题悟法分组转化法求和的常见类型 (1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和． (2)通项公式为a n ＝????? b n ，n 为奇数， c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．以题试法 1．(2013·威海模拟)已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求： (1)p ，q 的值； (2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．

数学分析选讲大纲

《数学分析选讲》教学大纲课程编号：课程名称：数学分析选讲总学时数：54 一、说明（一）《数学分析选讲》的课程性质：本课程是数学与应用数学专业的专业选修课程，主要授课对象是是为报考数学专业硕士研究生及对分析感兴趣的学生。（二）教材及主要参考书：本课程不指定教材，建议学习者可以参考以下几本重要的参考书： 1、数学分析讲义，陈纪修、於崇华、金路，高等教育出版社，1999 2、数学分析解题方法600例，李世金、赵洁，东北师范大学出版社，1992 3、数学分析选讲，王家正、乔宗敏，北京师范大学出版社，2010 4、裴礼文著《数学分析的典型问题与方法》（三）《数学分析选讲》的课程目标（教学目标）：本课程的目的是通过本课程的学习，使学生对已学过的数学分析的知识进行巩固、加深、提高，并扩大所学的知识，更好地掌握分析的基本思想、基本方法，使对所学的数学分析知识能做到触类旁通，为报考数学专业硕士研究生的学生提供专业课程的辅导。（四）《数学分析选讲》课程授课计划（包括学时分配）

（五）教学建议：（六）考核要求：本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成，平时学习情况包括：课堂表现、平时作业完成情况。成绩的评定采用百分制。期末考试成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的30%。二、教学内容第一讲：数列极限与函数极限主要教学目标：通过这一讲的学习，学习者要准确理解数列极限和无穷大量、函数极限、数列的上、下极限的概念和性质，进一步熟练掌握求数列、函数极限的方法，及论证极限的存在性，理解数列的上、下极限的概念和性质。教学方法及教学手段：主要应用教育学理论，采取讲授法，多媒体辅助法。教学重点及难点：论证极限的存在性及求极限的一些方法。第二讲：函数连续性主要教学目标：通过这一讲的学习，学习者要理解函数连续的定义，掌握连续的性质、闭区间上连续函数的主要性质，理解函数在某区间上一致连续的概念,并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在这一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别。教学方法及教学手段：主要应用教育学理论，采取讲授法，多媒体辅助法。教学重点及难点：重点：函数连续性概念，连续函数性质，一致连续的概念。难点: 函数一致连续的判别。

《数学分析选讲》教学大纲

《数学分析选讲》课程教学大纲一、《分析选讲》课程说明课程代码：0741123110 课程英文名称：Selective Lectures of Mathematic Analysis 开课对象：数学与应用数学本科生课程的性质：考试学时：72 数学分析选讲是数学与应用数学专业重要的选修课,它是学生进一步学习分析数学的分支和科学研究必不可少的专业基础知识, 同时也可使其他理科专业学生进一步了解微积分学知识，是报考对数学要求较高的硕士学位研究生同学的必修课程。本课程的前导课程为数学分析。教学目的：通过本课程的教学，使学生系统拓展和加深数学分析中的基本技能、基本思想和方法,主要培养学生分析论证问题的能力、抽象思维能力和科学研究的初步能力. 教学内容：本课程主要系统拓展和加深学习极限理论, 实数的连续性, 微分中值定理的及其应用, 常数项级数和广义积分,与“一致性”有关的几个概念及判别法, 多元函数微分学,多元函数积分学，两个极限过程的换序这八个核心内容。教学时数教学时数：７2学时学分数：学分教学时数具体分配：

教学方式课堂讲授,课外习作及批改. 考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%。二、讲授大纲与各章的基本要求第一章函数与极限教学要点：本章主要研究内容为函数性质的确定；通过实例总结求数列与函数极限的方法，以及如何确定极限的存在性等。教学时数：8学时。教学内容：第一节函数 1.1 求函数的定义域与值域 1.2 由已知函数关系求函数)(x f 的表达式 1.3 确定函数的性质 1.4 函数方程第二节极限 2.1 极限的概念 2.2 求极限的方法 2.3 确定极限存在性的方法考核要求：通过本章的学习，学生应能理解函数的定义，准确地确定函数的性质；熟练掌握极限的概念及耱极限的各种常用方法；掌握判断极限存在性的常用方法。第二章实数的连续性教学要点：本章主要研究

数学分析选讲

《数学分析选讲》课程教学大纲课程编号:02200070 课程名称：数学分析选讲英文名称： Topics on Mathematical Analysis 课程类型: 专业任选课总学时： 108 讲课学时： 108 习题课学时： 0 学分： 4 适用对象: 数学与应用数学专业、信息与计算科学专业本科四年级先修课程：数学分析一、课程简介本课程是为四年级准备考研的学生开设的《数学分析》复习课。在教学过程中着重按解题方法、解题技巧和题目的类型，将学生已学过的数学分析知识进行归纳、总结，并根据考研的需要作适当的拓宽和补充。通过该课程的学习，使学生对数学分析的内容、方法和技巧有一个整体的提高。同时使学生分析问题、解决问题的能力得到加强。二、课程性质、目的和任务本课程属于数学学院各专业的专业任选课，是为四年级准备考研的学生开设的《数学分析》复习课。其目的是使学生通过该课程的学习，能将《数学分析》的基本知识系统化，将常用的方法和技巧熟练化；使学生分析问题、解决问题的能力有一个整体提升。三、教学基本要求由于《数学分析》的考研试卷是由各招生单位自己命题，而且没有统一的考试大纲要求。因此在复习时，所有知识点及一些常用的方法和技巧都很重要。另外，由于考研题多为综合题，因此加强各章节之间的联系和解题方法的综合使用就显得尤为重要。为此，我们在教学过程中打破了《数学分析》教材中原有的章节次序，着重按解题方法、解题技巧和题目类型组织教学。重点是复习《数学分析》的基本理论、基本方法，通过典型例题的讲解使学生分析问题、解决问题的能力得到提高。四、教学内容及要求第一讲极限 §1.用极限的定义验证极限；§2.用单调有界定理证明极限的存在性； §3.用迫敛性定理求极限；§4.用柯西收敛准则证明极限的存在性； §5.用施图兹定理求极限；§6.用泰勒展开式求极限； §7.用中值定理求极限；§8.两个重要极限罗比塔法则； §9.用定积分的定义求极限；§10.其它教学要求：掌握证明数列极限和函数极限存在性常用的方法，并会求一些数列和函数的极限。第二讲一元函数的连续性

数学分析总结计划选讲学习的教案.doc

精品文档《数学分析选讲》教案 1 授课时间2005 年 9 月 12 日第 3 周星期一第四大节授课 6402 实到 117 地点人数授课题目函数的概念与性质、实数理论授课专业信息与计算班级科学教学目的 1. 掌握函数的概念、性质和运算的方法。 2. 理解实数理论的完备性，并会熟练运用，证明有关问题,. 与教学要求 1、各种符号，函数的概念，几类重要函数，函数的性质，定理 1.1 Contor 闭区间套定理，定理 1.2 （Bolzano --Weierstrass 主定理）任何的有界数列必有收敛子列（列紧性），定理 1. 3(完要备性定理 ) 数列收敛的充要条件是它为基本数列。定理 1.4 （单内容重点与难点教学方法手段（教具）调收敛定理）单调有界数列必收敛。定理 1.5（确界存在定理）上有界的数集必有上确界；下有界的数集必有下确界。定理 1.6 （H eine－Borel 有限覆盖定理）重点：函数的性质和实数理论。难点：实数理论讨论法，传统教学方法与使用多媒体相结合数学分析，高等数学， 2005 年数学研究生考题参考资料 2006 年高等数学考试测试题课后作业与作业 1.2.3.4.5.6 思考题思考题：六个实数完备性定理的相互证明。教学后记

讲稿部分教学过程第一讲：函数的概念与性质，实数理论一、函数的概念与性质（一）常用符号 N, Z, R,U0 x0 , U x0 ,U x0 @ D D C a, b D a, b R a, b T a, b T (二) 函数的概念 1. 函数的定义 2. 几个重要函数分段函数 1 x 0 符号函数Sgn( x) 0 x 0 1 x 0 1, x q p Dirichlet 函数 D ( x) q 0, x p 1 x p (0,1) q x Rinmann 函数R( x) q p 0 x 0,1 x q 3. 初等函数 4. 周期函数 5.奇偶函数 6. 复合函数 7. 反函数 (三 ) 函数的性质有界性 f ( x) M x I 周期性 f ( x T ) f ( x) 奇偶性 f ( x) f ( x), f ( x) f (x) 单调性 f (x) f ( y)x y I 精品文档时间分配 20m

数分选讲

淮南师范学院尔雅精品视频公共选修课学习系统学生操作指南

目录第一部分：精品视频公共选修课网上选课的通知 1、选课安排-------------------------------------------3 2、学习方式-------------------------------------------4 3、课程考核和成绩管理---------------------------------5 4、其它-----------------------------------------------6 第二部分：精品视频公共选修课学生操作指南 1．系统登录-------------------------------------------- 10 1.1 用户基本信息区---------------------------------- 11 1.2 我的任务---------------------------------------- 12 1.3 作业-------------------------------------------- 14 1.4 考试-------------------------------------------- 17 1.5 资料---------------------------------------------19 1.6 互动--------------------------------------------- 20 1.7 考核标准----------------------------------------- 22 2．修改密码--------------------------------------------- 24

中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第2讲)绝对值

第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ (1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜； (2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜； (4)若｜a｜=b，则a=b； (5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b； (6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解(1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．

(3)对． (4)不对．当a≥0时成立． (5)不对．当b＞0时成立． (6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0) =｜3+｜3+x｜｜ =｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)

小学数学教学优秀案例讲课讲稿

小学数学教学优秀案例(一) （一）平均数吴：你们喜欢什么球类运动？生1：我喜欢足球。生2：篮球。生3：乒乓球。吴：由于受到场地的限制，我们只能在这里进行一次拍球比赛，你们看怎么样？生：好。吴：那我们以这里为界，一分为二，这边算一队，那边算一队。第一件事，先给自己的队起一个自己喜欢的名字，然后派一个代表把名字写在黑板上。第二件事，咱们得商量商量，这么多小朋友参加比赛怎么个比法，你们得出点招儿。听懂了吗？（学生七嘴八舌商量开了，一分钟后，一个同学在黑板上写了“胜利队”。另一对也写了“吴正队”）吴:吴正是什么意思？生：因为您的课讲得特别好，我们用您的名字，一定能赢。吴：行行行。队名产生了，那咱们怎么比呢？生：选出每个队最厉害的一位参加比赛。吴：那你们选吧，再挑一个裁判，每队再请一个小朋友纪录。预备，开始！20秒后，吴老师喊停，然后统计：“吴正队”：30，“胜利队”：29。

下面我宣布，本次比赛胜利者为“吴正队”。“胜利队”服不服气？ “胜利队”：不服气！吴：为什么？生：就一个人能代表我们吗？应该每队再选几个。吴：我建议每队再选三个人，好吗？（每队三人继续比赛，老师把每个人的拍球数写在黑板上。) 吴：下面用最快的速度算出“胜利队”和“吴正队”的总数各是多少，报数。生;118,124. 吴：现在胜利者是“吴正队”，可以吗？生：不可以。（这时，吴老师走到胜利队同学面前。）吴：别急，虽然现在咱们落后，但吴老师决定加入“胜利队”，欢迎吗？胜利队：欢迎！吴：现在把吴老师拍的22个加进来，算一算一共多少个？生;140个。吴;下面我宣布，今天的胜利者是“胜利队”。生：不同意！吴：为什么？

人教版一年级数学下册《分类与整理》第2课时教学设计讲课讲稿

人教版一年级数学下册《分类与整理》第 2课时教学设计人教版一年级数学下册《分类与整理》第2课时教学设计教学内容：教科书第28页例2及相关练习。教学目标： 1.使学生能够根据自己选定的标准进行分类，体验分类结果在不同标准下的多样性。 2.使学生经历完整的解决问题过程与分类统计的过程，会用简单的统计表呈现分类的结果，并感受到用统计表记录分类结果的优势。 3.使学生能够对数据进行简单的分析，并能根据数据提出简单的问题。教学重、难点：重点：让学生学会根据实际需要选择标准自主分类。难点：学会用简单的统计图表呈现计数的结果。教学准备：多媒体。教学过程：一、创设情境，提出问题师：周末，阳光明媚，很多爸爸妈妈相约带小朋友一同去各种学习资料，仅供学习与交流

郊游。出示课本情境图师：看，这么多人一起玩多开心呀！他们想玩捉迷藏的游戏，现在得把这么多人分成两组。小朋友们想一想，可以怎么分呢？【设计意图：创设贴近学生日常生活的问题情境，激发学生的学习兴趣。】二、操作探究，充分交流（一）小组合作开展探究活动师：分成两组做游戏，你能想出几种不同的分法？把分类的结果用你觉得最好的办法呈现出来。学生活动，教师巡视指导，了解学生活动信息。【设计意图：为学生创设自主探究的空间，让学生用自己的方式完成分类计数，体验分类统计的过程。教师在这个过程中发现学生学习活动中遇到的困难和出现的问题，并获取接下来教学活动的素材。】（二）展示学生分类结果，引导学生评价交流。 1.呈现学生分类计数的结果学生呈现分类计数的结果的方式可能多样，例如：图画式、简单的统计图式（纵向或横向）、图文并茂式、表格式等。教师根据教学需要选取有代表性的作业展示在黑板上。各种学习资料，仅供学习与交流

数分选讲讲稿第2讲

讲授内容备注第二讲例7 按极限定义（εδ- ）证明：11x →=．证 1= 2716|1||1| 1169|(43)(43)| x x x x x +-≤ -= --+．不妨设 11x -<，即02x <<，则上式右端163|1|48|1| 33 341244 x x x x ?--≤ =?-- 为将分母的零点去掉，设118x -<，则379 488 x <<<．上式右端48|1| 32|1|1128 x x -≤=-? 所以 0ε?>，取1min ,832εδ?? =???? ，则当0|1|x δ<-<时，有 1ε< 即 1 1x →=．注在使用“εδ-”定义证明极限时，放大绝对值时分子需保留0||x x -因子．例8 证明：1x =．证 1== 3学时

不妨设 ||x > 1>=，则 2 1|| x < 所以0ε?> ，取2max M ε?=??，则当||x M >时，有 21M ε<<．即 1x =．注在使用“M ε-”定义证明极限时，放大绝对值时需在分母上保留||x 因子．例9 证明：lim sin n n →∞ 不存在．证I （用极限定义）因为1sin 1n -≤≤，只需证明 [1,1], lim sin n A n A →∞ ?∈-≠即可．不妨设[0,1]A ∈，（对于[1,0]A ∈-的情况类似可证）据极限定义，只要证明 000, 0, N n N ε?>?>?>，使得 00sin n A ε-≥．事实上，可取02ε= ，0N ?>，取0(21)24n N πππ? ?=+++??? ? 则0 n N >，且由0(21)(21)2424N n N ππππ ππ++-<<+++ 得 01sin 2 n -≤<- 于是 00sin n A A ε-≥+>．所以lim sin n n →∞ 不存在．

有关数学课前三分钟演讲稿(精选3篇)

有关数学课前三分钟演讲稿（精选3篇）有关数学课前三分钟演讲稿演讲稿具有逻辑严密，态度明确，观点鲜明的特点。在社会发展不断提速的今天，很多地方都会使用到演讲稿，那么，怎么去写演讲稿呢？下面是收集整理的有关数学课前三分钟演讲稿，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。数学课前三分钟演讲稿1尊敬的各位老师亲爱的同学们：大家好！今天我演讲的故事是《爱思考的“数学王子”高斯》。在德国的一个农村，有一个贫苦的农民家庭。爸爸是小店的伙计，妈妈是石匠的女儿，他们的骄傲就是聪明的小高斯。小高斯从小就表现出数学天才。有一次，父亲帮老板算几个工人的工资，忙得他满头大汗，才得出一个数字。谁知刚满四岁的小高斯悄悄地告诉他数字算错了。父亲惊讶极了，重新验算后，果然是小高斯说得对。真奇怪，也没人教他，他是从哪儿学来的呢？小高斯上了小学，在这里有一位从城里来的算术老师。他不愿意大老远来教这群乡下笨孩子，所以总是发脾气，孩子们都特别地怕他。一天，他发完脾气后，在黑板上写下了一个长长的算式，边写边说：“今天，你们给我算1+2+3+4……一直加到100的总和，算不好不准回家吃饭，听到了没有？你们这些笨家伙！”“天哪，这道题真难，

快算吧。要不回不了家了。”“1+2=3，3+3=6……”“咦，高斯，你怎么还不快算？”“哦，我知道，我在想一个更好的办法。”“天哪，快，来不及了。”“唉，算到什么时候才能算完啊。” 此时的小高斯正用一只手托着脑袋，在细心地观察着这个算式，他在开动脑筋，找它们的规律。突然，他眉开眼笑起来，“1+2+3……一直加到100，等于5050。”“老师，我算好了。答案是不是这个？”“去去去，这么快就能算好，肯定是错的。”“老师，是不是5050？”“什么？你？你是怎么算出来的？”“老师，我仔细看了这个算式。在这100个数里，一头一尾两个数相加，都是101，这样一共有50个101，也就是总数为5050，”“唉呀，我怎么就没有想到？你叫什么名字？”“高斯！”“你从哪里学的数学？”“我自己！”“哦？是嘛，了不起！”从此，这位老师再也不对大家凶了。尤其是对高斯，更是精心指点，把他引入了神奇的数学王国。高斯小学毕业那年，发现了二项式定理，惊动了整个数学界。 19岁那年，他在大学读书。一次，他的导师无意中把一道两千多年来的难题夹在了他的作业纸中。他用了整整一夜的时间，终于成功地用圆规和直尺画出了17边形，解决了这个大难题。当他的导师看到他的作业时，又惊又喜，激动地对他说：“你知不知道，你解开了一道有两千多年历史的数学悬案？阿基米德没有解出来，牛顿没有解出来，你竟然一个晚上就解出来了！你真是个天才！” 后来，为了纪念高斯，人们给他造了一座底部为17边形的纪念碑。

数分选讲讲稿第30讲

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