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初三数学.圆的概念及性质.教师版

中考内容

中考要求

A B C

圆的有关概念理解圆及其有关概

念

会过不在同一直线

上的三点作圆；能利

用圆的有关概念解

决简单问题

圆的性质知道圆的对称性，了

解弧、弦、圆心角的

关系

能用弧、弦、圆心角

的关系解决简单问

题

能运用圆的性质解

决有关问题

圆周角了解圆周角与圆心

角的关系；知道直径

所对的圆周角是直

角

会求圆周角的度数，

能用圆周角的知识

解决与角有关的简

单问题

能综合运用几何知

识解决与圆周角有

关的问题

垂径定理会在相应的图形中

确定垂径定理的条

件和结论

能用垂径定理解决

有关问题

点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系

直线与圆的位置关系了解直线与圆的位

置关系；了解切线的

概念，理解切线与过

切点的半径之间的

关系；会过圆上一点

画圆的切线；了解切

线长的概念

能判定直线和圆的

位置关系；会根据切

线长的知识解决简

单的问题；能利用直

线和圆的位置关系

解决简单问题

能解决与切线有关

的问题

圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置

关系

能利用圆与圆的位

置关系解决简单问

题

中考内容与要求

圆的概念及性质

弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题

扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题

圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积

和全面积

能解决与圆锥有关

的简单实际问题

圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。

要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。

年份2010年2011年2012年

题号11，20 20，25 8，20，25

分值9分13分17分

考点垂径定理的应用；

切线判定、圆与解

直角三角形综合

圆的有关证明，计

算（圆周角定理、

切线、等腰三角形、

相似、解直角三角

形）；直线与圆的

位置关系

圆的基本性质，圆

的切线证明，圆同

相似和三角函数的

结合；直线与圆的

位置关系

中考考点分析

定义

示例剖析

圆：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆．固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径．由圆的定义可知：

⑴ 圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． ⑵ 要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．圆O

半径

圆心

表示为“O ⊙”

圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；

圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．

等圆

O‘

同心圆

知识互联网

模块一圆的基本概念

知识导航

弦和弧：

1. 连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．

2. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．

以A B 、为端点的弧记作AB ，读作弧AB ．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 3. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

4. 在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆

的弧叫做劣弧． C

劣弧

优弧

弦B

表示：劣弧AB

优弧ACB 或AmB

圆心角和圆周角：

1. 顶点在圆心的角叫做圆心角．

2. 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

O D

C B

A 圆周角

圆心角

下面这些都不是圆周角：

【例1】如图，若点O 为O ⊙的圆心，则线段_________________是圆O 的

半径；线段___________是圆O 的弦，其中最长的弦是________；

________是劣弧；___________是半圆．若40A ∠=?，则

ABO ∠=_________，C ∠=_______，ABC ∠=_______．（西城区教研）

【解析】 OA OB OC ，，；AB BC AC ，，；AC ；AB BC ，；AC ABC ，；40?；50?；90?

夯实基础

O C

B A A B C

【例2】如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线

交于点E ，若2AB DE =，18E ∠=?，求AOC ∠的度数．

【解析】连结OD

∵AB 是直径，2AB DE =，

∴1

DE AB OD ==

∴18DOE E ∠=∠=?，

∴36ODC DOE E ∠=∠+∠=?

∵OC OD =，∴36OCD ODC ∠=∠=?，

【解析】 ∴54AOC OCD E ∠=∠+∠=?．

定理

示例剖析

1. 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两

条弧． 2. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

如图，AB 是O ⊙的直径，CD 是弦

E D

1. 若AB CD ⊥于E ，则CE DE =； AC AD =；BC BD =．

2. 若CE DE =，则AB CD ⊥； AC AD =；BC BD =．

能力提升

知识导航

模块二垂直于弦的直径

【例3】 1．如图，M N 、分别是O ⊙中长度相等但不平行的两条弦AB CD 、的中点．

求证：AMN CNM ∠=∠．

【解析】连结OM ON 、、OB 、OD ．

∵M N 、分别是弦AB CD 、的中点，

∴OM AB ON CD ⊥⊥， ∵AB CD =，∴MOB NOD △≌△ ∴OM ON =

∴OMN ONM ∠=∠，∴AMN CNM ∠=∠．

2．如图，∠P AC =30°，在射线AC 上顺次截取AD =3cm ，DB =10cm ，以DB 为直径作 ⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是 cm ． (2012辽宁锦州)

【解析】6 F

E A

B C

P H F

E A

O B C

3．如图，⊙O 的半径为2，弦32=AB ，点C 在弦AB 上，AB AC 4

=，则OC 的长为（）

（2012山东淄博）

A ．

B ．

C ．

D ．【解析】如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则 AD =BD ．

∵32=AB ，AB AC 4

， ∴3==BD AD ，2

=CD ．

又∵⊙O 的半径为2，即OB =2，

∴12

2=-=BD OB OD ．

∴2

22=+=OD CD OC ．故选D ．

C B A B

D C B

A M

O D C B A D

A N M

A O

H D

【例4】 ⊙O 的半径为5cm ，弦AB ∥CD ，且AB =8 cm ，CD =6cm ，求AB 与CD 之间的距离．

(2012黑龙江牡丹江)

【解析】1 cm 或7 cm ．F E A

C D B

【备选】1．如图所示，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，试证明：AC BD =．【解析】作OM AB ⊥，垂足为M ，

大圆中，∵OM AB ⊥，∴AM BM =

小圆中，∵OM CD ⊥，∴CM DM =

∴AM CM BM DM -=- 即AC BD =．

2．如图，M N 、分别是O ⊙中长度相等但不平行的两条弦AB CD 、的中点．求证：AMN CNM ∠=∠．

【解析】连结OM ON 、、OB 、OD ．

∵M N 、分别是弦AB CD 、的中点，

∴OM AB ON CD ⊥⊥， ∵AB CD =，∴MOB NOD △≌△ ∴OM ON =

∴OMN ONM ∠=∠，∴AMN CNM ∠=∠．

【备选】已知O ⊙的半径是5，点A 到圆心O 的距离为3，求过点A 的所有弦中最短弦的长度．【解析】连结OA ，过A 点作OA 的垂线交O ⊙于B C 、两点，则弦BC 即为所求．

连结OB ，由垂径定理得1

AB BC =．

在Rt AOB △中，90OAB ∠=?，53OB OA ==，，

∴22

4AB OB OA =-=， ∴28BC AB ==．

【点评】此题是经典的垂径定理的应用，也是一个十分有用的结论．当然，在使用前需要证明一

下．这里编辑给出一种常规证法，如果各位老师有更好的证法，希望能提供分享．证明：过A 点再任意作一条与BC 不同的弦DE ，过O 点作OH DE ⊥于H ．

在Rt AOC △和Rt EOH △中，显然OE OC =，

能力提升

C B A

又AOH

△是直角三角形，∴OH OA

<，

则222222

OE OH EH AC OC OA

-=>=-

∴DE BC

>．

定理示例剖析弧、弦、圆心角之间的关系：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对

的弧相等，所对的弦也相等．

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．

如图，由定理可知：

若AOB COD

∠=∠，则AB CD

=、AB CD

=；若AB CD

=，则AOB COD

∠=∠、AB CD

=；若AB CD

=，则AB CD

=、AOB COD

∠=∠．

圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径．

AOB ACB

∠=∠

若ACB AED

∠=∠，则AB AD

直角

直径

圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.

圆内接四边形的对角互补．如图，A B C D

、、、四点都在圆上，

知识导航

模块三弧、弦、圆心角和圆周角

E O B D

【例5】 ⑴ 如图，△ACD 和△ABE 都内接于同一个圆，则

∠ADC +∠AEB +∠BAC =

（2012黑龙江大庆）

⑵ 在⊙O 中，直径AB ⊥CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF ⊥AD ．则∠D = ．

（2012宁夏）

⑶ 如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边

形OABC 为平行四边形，则∠OAD +∠OCD = °．

（2012安徽）(2013东城期末)

⑷ 如图，A B C D 、、、是O ⊙上的点，直径AB 交CD 于点E ，已知

57C ∠=?，45D ∠=?，则CEB ∠=________．

（北大附中练习）

⑸ 如下图OA =OB =OC 且∠ACB =30°，则∠AOB 的大小是．

⑹ 已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径，则该弦所对的圆周角为．

【解析】 ⑴?60；⑵?60；⑶ 102?；⑷ 22；

⑸ ?60；

⑹ 30?或150?．

能力提升

A O

30°C

O 30°C

B E

【例6】如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，BE 是⊙O 的直径，AC =3，求线段DE 的长度．

（2012山东淄博）【解析】∵BE 是⊙O 的直径．

∴∠BDE =900．

∴∠BED ＋∠DBE =900． ∵AB ⊥CD ，

∴∠BCD ＋∠ABC =900．

又∵∠BED 和∠BCD 是同弧所对的圆周角， ∴∠BED =∠BCD ． ∴∠DBE =∠ABC ．

∴∠DBE ＋∠ABE =∠ABC ＋∠ABE ，即∠ABD =∠CBE ．又∵∠ABD 和∠ACD 是同弧所对的圆周角， ∠CBE 和∠CDE 是同弧所对的圆周角， ∴∠ABD =∠ACD ，∠CBE =∠CDE ． ∴∠ACD =∠CDE ．

连接AE ，设BE 与CD 交于点F ，

∵BE 是⊙O 的直径．

∴?=∠90BAE ．

∵AB ⊥CD ，

∴AE ∥CD ．

∴四边形ACDE 是等腰梯形． ∴DE =AC ．

∵AC =3，∴DE =3．

【例7】已知：在半径为52的⊙O 内，有互相垂直的两条弦AB ，CD ，它们相交于P 点．（1）求证：P A ·PB =PC ·PD ；

（2）设BC 的中点为F ，连接FP 并延长交AD 于E ，求证：EF ⊥AD ；（3）如果AB =8，CD =6，求O 、P 两点之间的距离．

（2013大兴期末）

【解析】（1）证明：∵∠A ，∠C 所对的圆弧相同，

∴∠A =∠C

∵AB ⊥CD,

∴Rt △APD ∽Rt △CPB ． ∴AP PD C P PB

=． ∴PA ·PB =PC ·PD ．（2）证明：∵F 为BC 的中点，△CPB 为直角三角形，

∴PF =FC ，∠CPF =∠C ．

探索创新

M P E

C A P

C A F

D B

C F

O D

B C A

又∵∠A =∠C，∠DPE =∠CPF，

∴∠A =∠DPE．

∵∠A +∠D=90°，

∴∠DPE +∠D=90°．

∴EF⊥AD．

（3）解：作OM⊥AB于M, ON⊥CD于N, ∴OMPN为矩形．连接OB，OD，OP，由垂径定理，得AM=BM=4,CN=DN=3．

由勾股定理，得222

(

25)44

O M=-=，222

(25)311

O N=-=．

∴2215

P O

=+=．

判断正误

⑴半圆是弧

⑵半径相等的两个圆是等圆

⑶过圆心的线段是直径

⑷两个端点能够重合的弧是等弧

⑸圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分

⑹长度相等的弧是等弧

⑺直径是最大的弦

⑻半圆所对的弦是直径

⑼两个劣弧的和是半圆

⑽圆的半径是R，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R

【解析】正确的是⑴⑵⑺⑻⑽

不理解圆中相关的概念和定义，或产生概念上的混淆。

第07讲精讲：垂径定理的应用；

垂径定理是初中圆章节知识中应用最多且最重要的定理之一，对于垂径定理，我们需要认识以下三点：

(1) 根据圆的轴对称性，在以下五条结论中，Ⅰ.直径；Ⅱ.平分弦；Ⅲ.垂直弦；Ⅳ.平分优弧；Ⅴ.平分劣弧．只要满足其中的两条，另外三条结论一定成立，即“知二推三”；

(2) 使用垂径定理时，常需要作出弦心距，利用“半径、半弦、弦心距”构成的直角三角形结合勾股定理、三角形全等进行计算、证明；

(3) 在较复杂的图形中注意准确识别垂径定理的基本图形．

【探究一】根据垂径平分弦所对的弧，处理角的关系；

【变式1】如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于( )

A. 80°

B. 50°

C. 40°

D. 20°

【解析】D

【探究二】已知弦长或欲求弦长，可构造“半弦、半径、弦心距”组成的直角三角形；

【变式2】在半径为1的O

⊙中，弦AB AC

、

，则BAC

∠的度数为_____．

【解析】此题分两种情况讨论：

⑴若AB AC

、在圆心O的同侧，如图

连结OA，过O点分别作OD AB OE AC

⊥⊥

，，

垂足分别为D E

、

则AD AE

==，

∴3045

OAD OAE

∠=?∠=?

，，

∴453015

BAC DAE

∠=∠=?-?=?．

⑵若AB AC

、在圆心O的异侧，如图

根据圆的对称性，75

BAC

∠=?

综上所述，BAC

∠的度数为15?或75?．

【变式3】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的O

⊙交于点G B F E

、、、，8cm

GB=，1cm

AG=，2cm

DE=，则EF=_________．

【解析】过O点作OH CD

⊥于H．

由题意得：45

OG AG

，，则3

EH=，

∵OH EF

⊥，∴

EH EF

=，∴6

EF=．

【探究三】根据垂径垂直平分弦，证明相关线段相等；

【变式4】如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，过A ，B 向CD 引垂线，垂足分别为E ，F ，求证：CE =DF 。

【解析】过O 作OM ⊥CD 于M ，

∴CM =DM ，

∵AE ⊥CD ，BF ⊥CD ， ∴AE ∥OM ∥FB ，又∵O 是AB 中点，

∴M 是EF 中点（平行线等分线段定理）， ∴EM =MF ， ∴CE =DF .

【探究四】遇垂直弦，根据垂径定理，构造矩形；【变式5】半径为2的圆O 中，弦AB

与弦CD

垂直相交于点P ，连结OP ，若OP =1，求

AB 2+CD

2．

【解析】28

【探究五】遇弧中点，连接圆心和弧中点，构造垂径定理；

【变式6】如图，P 为O

⊙外一点，过点P 引两条割线PAB 和PCD ，点M N ，分别是AB CD ，的中点，连结MN 交AB ，CD 与E F ，．求证：PEF ?为等腰三角形．

【解析】连结OM ON ，，分别交AB CD ，于G H ，．

∵M N ，分别是AB CD ，

的中点， ∴OM AB ⊥，ON CD ⊥，即90MGE NHF ∠=∠=?．

又∵OM ON =，∴M N ∠=∠，由此得MEG NFH ∠=∠，

即PEF PFE ∠=∠，

∴PE PF =，即PEF ?为等腰三角形．

A O

M O

F B

D C

P D

N M

P D

A O E F

B D C

F B

D C M M

B A F

D C

训练1. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径

为______．

（北大附中月考）

【解析】如图，连两条半径

由已知小正方形边长为4cm ，设大正方形边长为2x

则()2

22544x x =++，整理得2280x x --=

解得1242x x ==-，（舍去） ∴大正方形的边长为8cm 则半圆的半径为45cm ．

训练2. 如图所示，已知O ⊙的直径AB 和弦CD 相交于点E ，6cm AE =，2cm EB =，

30BED ∠=?，求CD 的长．

【解析】过O 作OF CD ⊥于F ，连结CO ，

∵6cm AE =，2cm EB =，∴8cm AB =，

∴1

4cm 2OA AB ==，2cm OE AE OA =-=，在Rt OEF △中，

∵30CEA BED ∠=∠=?

∴1

OF OE ==.

在Rt OCF △中，4cm OC OA ==，1cm OF =，

∴2215cm CF OC OF =-=

又∵OF CD ⊥

∴2215cm CD CF ==，故CD 的长为215cm .

【点评】要充分利用条件30BED ∠=?，构造出以弦心距、半径、半弦组成的一个直角三角形，

通过直角三角形的边角关系求得未知量.

训练3. 已知在O ⊙中，半径5r =，AB CD 、是两条平行弦，且86AB CD ==，，求AC 的长．

（郴州中考）

【解析】此题要分四种情况讨论

不仅要讨论弦AB CD 、在圆心的同、异侧，还要讨论A C 、两点在两弦垂直平分线的同、异侧．如下图

图(4)

图(3)

图(2)

图(1)

E F A B C

O E F A

C D O

E F F E O

D C B A

连接半径，作出垂径，求解是不困难的．

图⑴中2AC =；图⑵中52AC =；图⑶中52AC =；图⑷中72AC =

思维拓展训练(选讲)

A B

E P D

A ∴AC的长为2或52或72．

训练4.如图，已知AB AC

、是O

⊙的弦，AD平分BAC

∠交O

⊙于D，弦

DE AB

∥交AC于P，求证：OP平分APD

∠．

【解析】过O点分别作OF AC OG DE

⊥⊥

，，垂足分别为F G

、．

∵DE AB

∥，∴BAD D

∠=∠，

∵AD平分BAC

∠，∴BAD CAD

∠=∠，

∴CAD D

∠=∠，

∴AE CD

=，∴AE EC CD EC

+=+，即AC DE

∴AC DE

=，

∵OF AC OG DE

⊥⊥

，，∴OF OG

=，

∴点O在APD

∠的平分线上，即OP平分APD

∠．

知识模块一圆的基本概念课后演练

【演练1】已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C D

，两点．

⑴求证：AOC BOD

∠=∠；

⑵试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．

（西城区教研）

【解析】⑴∵OA OB

=，∴A B

∠=∠，∵OC OD

=，∴OCD ODC

∠=∠，

∴AOC BOD

∠=∠．

⑵由⑴可知AOC BOD

△≌△，

∴AC BD

=．

知识模块二垂直于弦的直径课后演练

【演练2】如图，O

⊙的弦AB垂直于弦CD，E为垂足，3

AE=，7

BE=，且

AB CD

=，则圆心O到CD的距离是__________．

【解析】2

【演练3】如图所示，在Rt ABC

△中，90

∠=?，2

AC=，1

BC=，若以C为

圆心、CB的长为半径的圆交AB于P，则AP=.

（山西中考）

实战演练

A B

【解析】过C 作CM PB ⊥于M ，即MP MB =，设为MB x =，

ABC △中，

有AB =ABC CBM △∽△，

得2BC BM AB

∴21

=，∴x

故2AP AB x =-=.

【演练4】在半径为1的O ⊙中，弦AB AC 、的

长分别

为和，则BAC ∠的度数为

___________．

【解析】此题分两种情况讨论：

① 若AB AC 、在圆心O 的同侧，如图连结OA ，过O 点分别作OD AB OE AC ⊥⊥，，垂足分别为D E 、

则AD AE =

， ∴3045OAD OAE ∠=?∠=?，，

∴453015BAC DAE ∠=∠=?-?=?．

② 若AB AC 、在圆心O 的异侧，如图

根据圆的对称性，75BAC ∠=?

综上所述，BAC ∠的度数为15?或75?．

知识模块三弧、弦、圆心角和圆周角课后演练

【演练5】已知如图，在O ⊙中，AB 是O ⊙的直径，AC 、BC 分别交O ⊙于E 、D ，D 是BE

的中点，40A ∠=?，求C ∠的大小．（北大附中练习）

【解析】连结AD ， ∵AB 是O ⊙的直径，∴90ADB ∠=?，

∵D 是BE 的中点，∴DE BD =，

∴1

202

CAD BAD BAC ∠=∠=∠=?，

∴70C ∠=?．

C B

A P

O N

M H G F E

D C B A

B A

O D C B

A O

测试1. 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设

BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是（） A. a b c >> B. a b c ==

C. c a b >>

D. b c a >> 【解析】选B ．

连结OM OD OA 、、由矩形对角线相等可知 OM NH c OD EF b OA BC a ======，，，

又OM OD OA ==， ∴a b c ==．

测试2. 如图所示，在O ⊙与三角形所组成的图形中，OA OB =，求证：AC BD =．【解析】过O 作OE AB ⊥于E

因为OA OB =，所以AE BE =

又根据垂径定理可知CE ED =

所以AE CE BE ED -=- 即AC BD =．

测试3. ⑴ 如图，CD 为O ⊙的直径，AB CD ⊥于E ，8cm DE =，2cm CE =，

则AB =__________．

⑵ 如图，O ⊙的弦6AB =，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则O ⊙的半径为___________．（十三分月考）

【解析】 ⑴ 8cm ；⑵ 5

课后测

O O E C B

圆的有关概念和性质总结

圆的有关概念和性质知识考点: 1、理解圆的定义,掌握点与圆的位置关系； 2、理解弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、弓形、圆心角、圆周角等与圆有关的概念; 3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，并会运用这些关系解决一些几何证明题和计算题。圆的形成性描述:在一个平面内,线段ＯA绕它固定的O一端旋转一周，另一端点A所形成的图形叫做圆,固定的端点叫做圆心,线段OＡ叫做半径。以点O为圆心的圆记作“” 1.圆是定点的距离等于定长的点的集合２、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径 4、同圆或等圆的半径相等 5、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线 6、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 7、到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 8、不在通一条直线上的三点确定一个圆垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1: ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 12、推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等１3、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 1４、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

圆心角定义：顶点在圆心上,角的两边与圆周相交的角叫圆心角圆心角定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等,所对的弦心距也相等。在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等,所对的弦心距也相等。在同圆或等圆中,如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦心距也相等。推论: 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等。圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。这一定理叫做圆周角定理。定理证明已知在⊙Ｏ中,∠ＢOC与圆周角∠BAC同对弧BC,求证：∠BOC＝２∠BAＣ. 证明：情况１: 如图1,当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：图1 ∵OA、ＯC是半径解：∴ＯA=OC ∴∠ＢＡC＝∠ACO(等边对等角） ∵∠BＯC是△AＯC的外角 ∴∠BOC=∠ＢＡＣ+∠ACO=2∠BAC 情况２：如图2,,当圆心O在∠ＢAC的内部时：连接AO，并延长AO交⊙O于D

圆的基本概念和性质教学设计

圆的基本概念和性质教学设计教学设计思想圆是初中几何中重要的内容之一。本节通过第一课时建立圆的基本概念，认识圆的轴对称性与中心对称性。讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验；第二课时在第一课时的基础上，掌握垂径定理及其逆定理；第三课时加深学生对弦、弧、圆心角之间关系的认识；第四课时的重点是圆周角，通过圆周角定理及其推理的推理论证，从而把圆周角、圆心角、弧和弦之间的关系展现出来，从而使学生全面了解和掌握圆的基本性质。教学时先让学生动手操作来发现结论，再通过推理的方式说明结论的正确性。数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题。利用电子白板教学帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。教学目标圆的基本概念和性质总目标： 1、理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念，理解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系； 2、掌握垂径定理及推论的意义及应用，掌握圆心角与弧、弦关系定理意义及应用，掌握圆周角定理及推论的意义和应用； 3、探索圆周角与圆心角、弧、弦的关系，理解并会证明圆周角定理及其推论，理解圆内接四边形的对角互补。第一课时教学目标知识与技能： 1、经历圆的形成过程，理解圆的概念， 2、能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等； 3、认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；过程与方法： 1、经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念； 2、通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法；情感态度价值观：经历探索圆及其有关结论的过程，发展学生的数学观察及思考能力以及问题的提出能力。教学重难点重点：（1）了解圆的概念的形成过程；（2）揭示与圆有关的本质属性。难点：圆的概念的形成过程和圆的定义。学情分析

专题13 圆的基本性质(解析版)

专题13 圆的基本性质考纲要求: 1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念；了解等圆、等弧的概念. 2．了解弧、弦、圆心角的关系；理解圆周角与圆心角及其所对弧的关系. 3．能利用圆的有关概念、垂径定理、圆周角定理及其推论解决有关简单问题. 基础知识回顾: 知识点一：圆的有关概念 1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O. （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦. （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角. （6）弦心距：圆心到弦的距离. 知识点二：垂径定理及其推论 2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：

① 弧AC=弧AD; ②弧BC=弧BD ； ③CE=DE; ④AB ⊥CD;⑤AB 是直径. 只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三. 知识点三：圆心角、弧、弦的关系 3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点四：圆周角定理及其推论 4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a ，∠A= 12∠O. 图a 图b 图c ( 2 )推论： ① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b ，∠A=∠C. ② 直径所对的圆周角是直角.如图c ，∠C=90°. 圆内接四边形的对角互补.如图a ，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°. 应用举例: 招数一、垂径定理及其推论【例1】13的O 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=?，6AB =，1AE =，则CD 的长是( )

圆的有关概念与性质练习及答案

圆的有关概念与性质练习及答案 1.如图K28-1,AB为☉O的直径,点C在☉O上,若∠ACO=50°,则∠B的度数为() 图K28-1 A.60° B.50° C.40° D.30° 2.如图K28-2,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上.若∠ACD=25°,则∠BOD的度数为() 图K28-2 A.100° B.120° C.130° D.150° 3.在数学实践活动课中,小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径.如图K28-3,在直角角尺中,∠AOB=90°,将点O放在圆周上,分别确定OA,OB与圆的交点C,D,读得数据OC=8,OD=9,则此圆的直径约为() 图K28-3 A.17 B.14 C.12 D.10 4.如图K28-4,四边形ABCD内接于☉O,E为CD延长线上一点,若∠ADE=110°,则∠AOC的度数是() 图K28-4 A.70° B.110° C.140° D.160°

5.如图K28-5,☉O的半径OC垂直于弦AB,垂足为D,OA=2√2,∠B=22.5°,AB的长为() 图K28-5 A.2 B.4 C.2√2 D.4√2 6.如图K28-6,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-2,3),以点O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于() 图K28-6 A.-4和-3之间 B.3和4之间 C.-5和-4之间 D.4和5之间 7.如图K28-7,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=15°,半径为2,则CD的长为 () 图K28-7 A.2 B.-1 C.√2 D.4 8.如图K28-8是张老师晚上出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象,若用黑点表示张老师家的位置,则张老师散步行走的路线可能是 () 图K28-8

圆的基本概念和性质—知识讲解(提高)

圆的基本概念和性质—知识讲解（提高）【学习目标】 1．知识目标：理解圆的有关概念和圆的对称性； 2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，?圆的对称性进行计算或证明； 3．情感目标：养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯. 【要点梳理】要点一、圆的定义及性质 1.圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； ②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释： ①圆有无数条对称轴； ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）. 要点二、与圆有关的概念 1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

初中数学.圆的概念及性质.教师版

中考内容中考要求 A B C 圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题中考内容与要求圆的概念及性质

弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单实际问题圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。年份2010年2011年2012年题号11，20 20，25 8，20，25 分值9分13分17分考点垂径定理的应用；切线判定、圆与解直角三角形综合圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系中考考点分析

圆的基本概念与性质

圆的有关概念和性质一本讲学习目标 1、理解圆的概念及性质，能利用圆的概念和性质解决有关问题。 2、理解圆周角和圆心角的关系；能运用几何知识解决与圆周角有关的问题。 3、了解垂径定理的条件和结论，能用垂径定理解决有关问题。二重点难点考点分析 1、运用性质解决有关问题 2、圆周角的转换和计算问题 3、垂径定理在生活中的运用及其计算三知识框架圆的定义确定一个圆不在同一直线上的三点点与圆的位置关系圆的性质圆周角定理及其推论垂径定理及其推论距关系定理及其推论圆心角、弦、弧、弦心对称性四概念解析 1、圆的定义，有两种方式：错误！未找到引用源。在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，一个端点A 随之旋转说形成的图形叫做圆。固定端点O 叫做圆心，以O 为圆心的圆记作O ，线段OA 叫做半径；错误！未找到引用源。圆是到定点的距离等于定长的点的集合。注意：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 2、与圆有关的概念：错误！未找到引用源。弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如图1所示线段AB ，BC ，AC 都是弦；错误！未找到引用源。直径：经过圆心的弦叫做直径；如AC 是O 的直径，直径是圆中最长的弦；错误！未找到引用源。弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC,BAC 都是O 中的弧，分别记作BC 和BAC ；错误！未找到引用源。半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成

两条弧，每条弧都叫做半圆，如AC 是半圆；错误！未找到引用源。劣弧和优弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像BAC 这样大于半圆周的圆弧叫做优弧；错误！未找到引用源。同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆；错误！未找到引用源。弓形：由弦及其说对的弧所组成的图形叫做弓形；错误！未找到引用源。等圆和等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧；错误！未找到引用源。圆心角：定点在圆心的角叫做圆心角如图1中的∠AOB,∠BOC 是圆心角，圆心角的度数：圆心角的读书等于它所对弧的度数；∠ 错误！未找到引用源。圆周角：定点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角；如图1中的∠BAC,∠ACB 都是圆周角。 3、圆的有关性质 ①圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条。圆是中心对称图形，圆心是对称中心，优势旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合。错误！未找到引用源。垂径定理 A. 垂直于弦的直径平分这条弦，且评分弦所对的两条弧； B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且评分弦所对的两条弧。如图2 所示。注意 (1)直径CD ，（2）CD ⊥AB,(3)AM=MB,(4)BD AC =BC ,(5)AD =BD .若上述5个条件中有2个成立，则另外3个业成立。因此，垂径定理也称五二三定理，即推二知三。（以（1），（3）作条件时，应限制AB 不能为直径）。错误！未找到引用源。弧，弦，圆心角之间的关系 A. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； B. 同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，他们所对应的其余各组量也相等；错误！未找到引用源。圆周角定理及推论 A.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半； B.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。五例题讲解例1. 如图所示，C 是⊙O 上一点，O 是圆心，若80AOB =∠，求B A ∠+∠ 的值. 例1题图 A B C O

圆的有关概念和性质

圆的有关性质【中考考纲解读】 1．课标要求 ①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系． ②了解圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征． ③掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题． 2．考向指南从2008、2009两年广东省统一中考数学试卷来看，本讲所学的圆的有关概念、弧长的计算、圆周角定理，垂径定理与三角形的联系等知识点考查的可能性较大．题型以选择题和填空题为主，难度不大，所占分值一般在3～5分．【考点知识网络】【中考考点剖析】考点1：圆的有关概念 1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．其中，定点为圆心，定长为半径 2．弦：连接圆上任意两点的线段． 3．直径：经过圆心的弦． 4．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 5．半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 6．优弧：大于半圆的弧，用三个大写字母表示，如ABC ． 7．劣弧：小于半圆的弧，用两个大写字母表示，如AC ． 8．弓形：由弦及其所对的弧组成的圆形． 9．同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆． 10．等圆：能够重合的两个圆或半径相等的两个圆． 11．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧． 12．圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 13．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 14．圆周角：顶点在圆上，?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． ?? ??????????????? ???? ??基本概念:弧弦圆心角圆周角确定圆的条件对称性圆基本性质垂径定理圆心角弧弦的关系圆周角定理2个推论

初三数学圆的基本概念和性质知识点、

B C 鸣人教育学科教师讲义【考纲说明】 1、理解圆及其有关概念，知道圆的对称性，了解弧﹑弦﹑圆心角的关系。 2、了解圆周角与圆心角的关系，了解直径所对的圆周角是直角，会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论。 3、本部分在中考中占5分左右。【知识梳理】 1.圆的基本概念定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）；以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ” 2.圆的对称性及特性： (1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴; (2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心. (3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 4.直径：经过圆心的弦叫直径。注：圆中有无数条直径 5.圆弧： (1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧” 以A,B 两点为端点的弧.记作AB ,读作“弧AB ”.

(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。如弧AD. (3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ? (用两个字母). (4)大于半圆的弧叫做优弧,如记作ACB ? (用三个字母). 6.垂径定理及其推论: （1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；（2）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。垂径定理归纳为：一条直线，如果具有：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。这五条中可以“知二推三” 7.垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 8.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角； 9.圆周角：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角； 10.弦心距：过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离. 11.弧﹑弦﹑圆心角之间的关系（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。（2）在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,如果有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 12.圆周角定理及其推论（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半；（2）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。【经典例题】【例1】下列判断中正确的是（） A. 平分弦的直线垂直于弦 B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦【例2】如果两条弦相等，那么（） A ．这两条弦所对的弧相等 B ．这两条弦所对的圆心角相等 C ．这两条弦的弦心距相等 D ．以上答案都不对【例3】如图，已知AB 为⊙O 的直径，∠ E ＝20°，∠DBC ＝50°，则∠CBE ＝______．【例4】（08山东滨州）如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图

九年级数学专题复习圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系

总复习圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系【考纲要求】 1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现； 2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质 1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点进阶：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性． 3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点进阶：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点进阶：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条

件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径． 5．圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．要点进阶：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中． 7.圆内接四边形（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．考点二、与圆有关的位置关系 1．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外?d＞r；点P在圆上?d＝r；点P在圆内?d＜r．要点进阶：圆的确定： ①过一点的圆有无数个，如图所示． ②过两点A、B的圆有无数个，如图所示． ③经过在同一直线上的三点不能作圆． ④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．

中考试题圆的有关概念与性质

学科：数学专题：圆的有关概念与性质主讲教师：黄炜北京四中数学教师重难点易错点辨析 1、等弧的概念，区别于长度相等的弧. 2、利用圆周角定理求角时，注意分类讨论. 例题2.1：题面：∠AOB=100o, 点C在⊙O上, 且点C不与A、B重合, 则∠ACB的度数为（）A.50° B.80°或50° C.130° D.50°或130° 3、在应用垂径定理的计算中，注意分类讨论. 例题3.1：题面：已知⊙O的半径为5cm，AB和CD是⊙O的弦，AB//CD, AB=6cm，CD=8cm，求AB与CD 之间的距离是多少？

金题精讲题一题面：已知，如图，△ABC内接于⊙O，BC=12cm，∠A=60°. 求⊙O的直径．题二题面：已知，如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是弧AD的中点． (1)在CD上求作一点P，使得AP+PB最短； (2)若CD=4cm，求AP+PB的最小值．满分冲刺题一题面：如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是(2,a)(a﹥2),半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）

A. 23 B.2+ 2 C. 22 D. 2+ 3 题二题面：如图，在⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D 与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E． (1)求证：AE=BF； (2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由 A

讲义参考答案重难点辨析例题2.1 答案：D 例题3.1 答案：1cm 或7cm 金题精讲题一答案：83cm 题二答案：(1)提示：作A 点或者B点关于直径CD的对称点A’或者B’，然后连接A’B或者B’A。 (2) 最小值23cm 满分冲刺

【重点梳理】-初三数学-圆的基本概念和性质(1)

作业帮一课初中独家资料之【初三数学】 1. 圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”．要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为 O，半径为 r 的圆是平面内到定点O 的距离等于定长r 的点的集合. 要点诠释： ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； ②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释： ①圆有无数条对称轴； ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）. 每周六 10 点，【作业帮一课初中】服务号定时上新独家资料，等你来抢~~~ 核心知识点二：与圆有关的概念 1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD. 证明：连结OC、OD ∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时，取“=”号) ∴直径AB 是⊙O 中最长的弦. 2.弧

人教版八年级下册数学圆的有关概念与性质

圆的有关概念与性质 ◆课前热身 1.如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误．．的是（） D．OD＝DE 2.如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是（） A． B． C． D． 3．如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（） A．5 B．4 C．3 D．2 4．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（） A．2 B．3 C．4 D．5 3，则弦CD 5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°,⊙O的半径为cm 的长为（）

A ． 3 cm 2 B ．3cm C ． D ．9cm 【参考答案】 1. D 2. D 3. A 4. A 5. B ◆考点聚焦 1．圆的有关概念，包括圆心、半径、弦、弧等概念，这是本节的重点之一． 2．掌握并灵活运用垂径定理及推论，圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理以及圆周角定理及推论，这也是本书的重点，其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是本节难点． 3．理解并掌握圆内接四边形的相关知识，而圆和三角形、?四边形等结合的题型也是中考热点． ◆备考兵法 “垂径定理”联系着圆的半径（直径）、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系，同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者之间的关系．所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．常考题型：圆心角、圆周角定理及推论常以选择题或填空题出现；垂径定理和勾股定理结合起来常以计算题出现. ◆考点链接 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又是对称图形，是它的对称中心.

中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解(提高)汇总

中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系 —知识讲解（提高）【考纲要求】 1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现； 2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质 1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性． 3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径． 5．圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中． 7.圆内接四边形（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．考点二、与圆有关的位置关系 1．点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP ＝d ，则有：点P 在圆外?d ＞r ；点P 在圆上?d ＝r ；点P 在圆内?d ＜r ．要点诠释：圆的确定： ①过一点的圆有无数个，如图所示． ②过两点A 、B 的圆有无数个，如图所示． ③经过在同一直线上的三点不能作圆． ④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．

中考数学《圆的有关概念及性质》复习题附参考答案

圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义及性质： 1、圆的定义： ⑴形成性定义：在一个平面内，线段O A 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做 ⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合 2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类 3、圆的对称性： ⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴 ⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的 2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径； 3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论： 1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。 2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。】三、圆心角、弧、弦之间的关系： 1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角 2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论： 1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角 2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，是类，它们的关系是，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。性质：圆内接四边形的对角。【名师提醒：圆内接平行四边形是圆内接梯形是】

初三数学圆的概念和性质

?考点链接 1. 圆上各点到圆心的距离都等于. 2. 圆是________ 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ____________ ;圆又是对称图形，是它的对称中心. 3. 垂直于弦的直径平分_________ ，并且平分_________________ ;平分弦(不是直径)的垂直于弦，并且平分__________ . 4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量_____ ，那么它们所对应的其余各组量都分别__ 5. 同弧或等弧所对的圆周角_________ ，都等于它所对的圆心角的_____ __ 6. 直径所对的圆周角是__________ ，90°所对的弦是. ?典例精析例1如图，在Rt△ ABC中，/ C= 90°, AB= 10,若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D,贝U AC的长等于( ) 5.2 CD= 10，弦AB= 8, AB丄CD垂足为M贝U DM勺长为例3 (贵州贵阳)如图，已知AB是OO的直径，点C在OO上, 且AB=13, BC=5. (1)求sin / BAC 的值； (2)如果ODLAC,垂足为点D,求AD的长; (3)求图中阴影部分的面积. 初三数学同步训练圆的有关概念与性质zha ng 例2如图，O O的直径 B. 5

6. 一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽 0.8米，最深处 ?迎考精练、选择题 1.如图，O O 是厶ABC 的外接圆，已知/ B = 60°，则/ CAO 勺度数是（） 1, AB 是O 0的一条弦，且 AB= 3，则弦AB 所对圆周角的度数为 3.如图，O P 内含于O 0,0 0的弦AB 切O P 于点C ,且AB// 0P. 若阴影部分的面积为 9 ，则弦AB 的长为（ A . 3 B 4. 如图, △ ABC 内接于O 若/ 0AB= 28 ° , 则/ C 的大小为（ A. 28° 56° C. 60° .62° △ ABC 内接于O 0 连结0A 0B 若/ AB0= 25° ，则/C 的度数为（） 5.如图, B . 60° C . 65° .70° C . 45° D . 60° C.30 或 150° D.60 °或 120° .30° ()

初三圆的有关概念性质

圆的有关概念和性质【课前展练】 1.如图，已知BD是⊙O直径，点A、C在⊙O上，AB BC =，∠AOB=60?，则∠BDC的度数是°°° D. 40° 2.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的大小为（） A．28°B．56°C．60°D．62° D C B A O 3.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是( ) ￥ A．45°B．85°C．90°D．95° 4.如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP．若阴影部分的面积为π9，则弦AB的长为（） A．3 B．4C．6 D．9 5.在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.求∠D的度数. 6.如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E。（1）请你写出四个不同类型的正确结论；（2）若BE=4，AC=6，求DE。 < 【要点提示】圆的基本性质应用要点：垂径定理，圆周角定理。垂径定理是圆中利用勾股定理进行计算的基础，圆周角定理是圆中角度转换的基本依据。【考点梳理】 1．圆的有关概念：（1）圆：（2）圆心角：（3）圆周角：（4）弧：（5）弦： 2．圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是；垂径定理：垂直于弦的直径，并且． * 推论：平分弦（不是直径）的直径，并且．（2）圆是中心对称图形，对称中心为．圆是旋转对称图形，圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合（这就是圆的旋转不变性）.

弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是；900的圆周角所对的弦是． 3．三角形的内心和外心: （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆． ) （2）三角形的外心：（3）三角形的内心： 4. 圆周角定理同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，等于它所对的圆心角的一半．圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 【课堂小结】垂径定理、圆心角与弧关系定理、圆周角定理是证明和解决圆中线段之间、弧之间、圆心角、圆周角这间和差倍分关系的基本理论依据. 与圆有关的位置关系【课前展练】 . 1.⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定 2.如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有（） A ．内切、相交 B ．外离、相交 C ．外切、外离 D ．外离、内切 3. 已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm 5. 已知⊙O 的半径是3，圆心O 到直线AB 的距离是3，则直线AB 与⊙O 的位置关系是 . 《【要点提示】点、直线、圆与圆的位置关系可以由相关的数据关系来确定，反过来，由相关的数据关系可以确定点、直线、圆与圆的位置关系。这是考查的重点所在。【知识梳理】 1. 点与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ ；对应的点到圆心的距离d 和半径r 之间的数量关系分别为： ①d r ，②d r ，③d r . 2. 直线与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ . 对应的圆心到直线的距离d 和圆的半径r 之间的数量关系分别为： ①d r ，②d r ，③d r. 3. 圆与圆的位置关系共有五种：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ） / 相交?2121r r d r r +<<-；外切?21r r d +=；内切?21r r d -=；外离?21r r d +>；内含?210r r d -<< 切线的性质与判定【课前展练】 1. 如图，两个同心圆的半径分别为4cm 和5cm ，大圆的一条弦AB 与小圆相切，则弦AB 的长为（）

圆的有关概念和性质教案

圆的有关概念和性质教案谷城县石花镇三中杨建国教学目的：圆的有关概念和性质教学重点：理解圆的有关概念和性质教学难点：掌握圆的有关概念和性质，掌握求线段，角的方法，理解概念之间的相关联系和知识之间的相互转化。教学方法：启发式教学教学过程：首先学生阅读教材，然后学生之间相互讨论圆的有关概念和性质，最后教师板书归纳。(学生通过阅读教材，能够梳理知识的形成过程。回归教材使学生更好理解概念好，性质) 考点1 圆的有关概念弦：连接圆上任意两点的线段。经过圆心的弦叫直径。弧：圆上任意两点的部分。圆的任意一条直径两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫半圆。等圆；能够重合的两个圆。等弧：（在同圆或等圆中）能够重合的弧考点2圆的对称性圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形，圆还具有旋转不变性．考点：圆心角、弧、弦之间的关系（典型例题）如图⊙O 中AB.CD是两条弦, 若∠AOB= ∠COD则＿，＿若AB=CD则＿，＿若AB=CD则＿，＿若⊙O 半径为2cm,弦AB=2√3cm则∠AOB=_________ 考点5圆周角

归类探究探究一圆的有关概念（命题角度分析：1．弦和直径，弧和半圆区别与联系；2．等弧的概念应用．学生容易把概念弄混淆）有下列四个命题；（1）直径是弦（2）弦是直径（3）长度相等的弧是等弧（4）半径相等的两个半圆是等弧，其中正确的有＿＿探究二垂径定理及其推论（命题角度分析：1．垂径定理的应用；2．垂径定理的推论的应用.）例2：【2014中山】如图26—1，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的跑离为_______________ 方法点析垂径定理及其推论是证明两条线段相等，两条弧相等及两条直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的半径(直径)，构造直角三角形探究三圆心角、弧、弦之间的关系命题角度：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系。例3【2014黄石改编】如图，A、B是⊙O上的两点∠AOB=120，C是AB的中点，连接AB、AC、BC.求证：AB平分∠OAC。探究四圆周角定理及推论命题角度：利用圆心角与圆周角之间的关系求圆周角或圆心角的度数．例4 如图26—3，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70，A O∥DC，则∠B的度数为（） A 、40 B 、45 C 、50 D、55